O Problema da Braquist ocrona eAlgumas Nocoes de C alculo VariacionalAmericoBarbosadaCunhaJuniorResumoEstetrabalhodescreveoclassicoproblemaquebuscaencontraracurvanaqualuma partcula, sujeita somente `a acao da gravidade, descreve a trajetoria mais rapidaentredoispontos. Aolongodotextoapresentamosamodelagemmatematicadesseproblema e desenvolvemos algumas nocoes elementares de calculo variacional deformaaobteracurvaminimizantedesejada.1 OProblemadaBraquistocrona1.1 UmPoucodeHistoriaEm1696omatem aticosu coJohannBernoulli(1667-1748)apresentouaosleitoresdarevistacientcaActaEruditorumumproblemaqueelejahaviaresolvido. Napublicac aoJohannBernoulli desaavaosl osofosnaturaisdaepocaaapresentaremsolucoesparaomesmoproblema,cujoenunciadooriginal eoseguinte:Datis in plano verticali duobus punctis A et Bassignare mobili M, viam AMBperquamgravitatesuadescends et moveri incipiens apunctoA, brevissimotemporeperveniatadalterumpunctumB.Emportuguescontempor aneotalproblemapodeserformuladodaseguinteforma:SejamAeBdoispontosdeumplanovertical. Encontreacurvanaqual umapartculaM, sujeitasomente`aacaodagravidade, descreveatrajetoriamaisrapidaentreospontosAeB.OproblemapropostoporBernoullibuscapelacurvaqueminimizaotempodetrajetoentresdoispontos. Assimsendo, acurvaqueresolveesseproblemarecebeuonomedebraquistocrona,dogregobrachistos(mnimo)echronos(tempo),veja[2].DepartamentodeMatematica,PontifciaUniversidadeCatolicadoRiodeJaneiroamerico.cunhajr@gmail.com1Alemdopr oprioJohannBernoulli, outros cincomatem aticos (Figura1) apresenta-ramsoluc oesoriginaisparaoproblema: SirIsaacNewton(1643-1727); JakobBernoulli(1654-1705); GottfriedWilhelmLeibniz(1646-1716); EhrenfriedWalthervonTschir-nhaus(1651-1708)eGuillaumedelH opital(1661-1704).(a)JohannBernoulli (b)IsaacNewton (c)JakobBernoulli(d)GottfriedLeibniz (e)Tschirnhaus (f)lHopitalFigura1: Matem aticosdoseculoXVIIqueresolveramoproblemadabraquist ocrona.Algunsanosap osapublica caodoproblemadabraquistocrona, omesmofoiresolvidopelograndematem aticosucoLeonhardEuler(1707-1793),quefoialunodeJohannBer-noulli. Osoluc aopropostaporEuleredenaturezabemdiferentedasolucaodeJohannBernoulli(quepodeservistaem[1]). OmetodoapresentadoporEuleralemdesertotal-mente original,permite resolver outros problemas de natureza correlata,sendo uma pedrafundamentalnodesenvolvimentodoc alculovariacional.1.2 ModelagemdoProblemaPara modelar o problema da braquistocrona vamos utilizar um sistema de coordenadascartesiano, cujo eixo yest a orientado de maneira positiva na direc ao da forca gravitacionalqueagesobreapartculaM. Suponhaquenos instantes inicial enal datrajet oriaapartculaocuperespectivamenteospontosA=(x0, y0)eB=(x1, y1),comoilustradonaFigura 2. Adicionalmente, vamos assumir que a trajet oria entre os pontos A e B e descritaporumafuncaoy: [x0, x1] Rcomsegundaderivadacontnuaem[x0, x1].2xyABMgFigura2: Ilustra caode umapartculaMdescendosobacaodagravidade sobre umatrajet oriaentreospontosA = (x0, y0)eB= (x1, y1).Sejat:[x0, x1] Rotempogastopelapartculaparairdaposic ao(x0, y0)ateumaposic aogenerica(x, y(x))sobreatrajetoria. Pelaregradacadeiasabemosquedtdx=dtdsdsdx, (1)sendoqueocomprimentodearcopercorridosobreatrajet orias edadopors =

xx0

1 + y

()2d, (2)ondey

denotady/dx.Assim,peloteoremafundamentaldocalculo,temosquedsdx=

1 + y2. (3)Alemdisso,sabemosqueavelocidadedapartculaveataxadevariacaotemporaldocomprimentodearcopercorridov=dsdt, (4)dondetemosquedtdx=1v

1 + y2. (5)Decorre da Eq.(5) que o tempo gasto pela partcula para descer do ponto inicial ate umpontoqualquerdatrajet oria(emparticularopontonal) edadoport(x) =

xx01v()

1 + y

()2d. (6)3Comoesteproblemanaotematrito, aenergiatotal dosistemaeconservada. Logo,numaposicaogenerica(x, y(x))sobreatrajet oria,aenergiamec anicadosistemasecon-serva,i.e.,asomadaenergiacineticacomaenergiapotencial econstante. Emlinguagemmatematicapodemosescreveresteprincpiofsicodaseguinteforma12mv(x)2mgy(x) = C, (7)ondemeamassadapartcula, geaacelerac aodagravidadeeCeumaconstantereal.Osinal negativonaexpress aoacimase deve afatode que apartculaest aabaixodoreferencial no qual a energia potencial gravitacional e nula, implicitamente assumido comoonvely= 0. AconstanteCeigualaenergiatotaldosistemaetemomesmovalorparaqualquerpontosobreatrajet oria. Assim,noponto(x0, y0)amesmavaleC= mgy0, (8)pois noinstanteinicial datrajetoriaapartculaestaparadaetodaenergiadosistemae fornecidapelopotencial gravitacional. SubstituindoaEq.(8) naEq.(7) e isolandovobtemosaseguinteexpressaoparaavelocidadedapartculav(x) =

2g (y y0). (9)AgoravamossubstituiraexpressaoacimanaEq.(6),oqueresultanaseguinteexpres-s aoparaotempodedescidadapartcula(entreopontoinicial eumpontogenericodatrajet oria)t(x) =

xx0

1 + y

()22g (y() y0)d. (10)Comoobjetivamos descobrir qual atrajet oriacujotempodedescidadapartculaemnimo, precisamosdescobrirafunc aoyparaqual aintegral aoladodireitodaEq.(10)atingeovalormnimo.2 NocoesdeCalculoVariacionalOramodamatematicaque lidacomproblemas similares aoapresentadonasec aoanterior (que objetivammaximizar ouminimizar umfuncional) e conhecidocomoc al-culovariacional. Nestasecaoseraoapresentadosalgunsdosaspectosbasicosdoc alculovariacional,deformaadesenvolveroferramentalnecessarioparasoluc aodoproblemadabraquist ocrona. O leitor interessado em se aprofundar no assunto e encorajado a consultarumareferenciaclassicacomo[3]ouumtextomaismodernotipo[4].42.1 EquacaodeEuler-LagrangeOproblemafundamentalnoqualestamosinteressadosemresolver,utilizandotecnicasde c alculo variacional, consiste em encontrar uma func ao y: [x0, x1] R, cuja segunda de-rivada e contnua em [x0, x1], satisfazendo as condic oes de contorno y(x0) = y0 e y(x1) = y1,queminimizeoumaximizeumfuncionaldaseguinteformaI=

x1x0f (x, y, y

) dx, (11)onde fe uma func ao de tres variaveis (x, y, y

) que possui as derivadas parciais de segundaordememrela caoax,yey

contnuasem[x0, x1].Inicialmente vamos admitir que y seja uma func ao para qual o funcional I atingeumextremo local (mnimooumaximo). Assimsendo, qualquer perturbacao da formay= y + , deveaumentar (se yemnimo) oudiminuir (se yemaximo) ovalor deI,sendo: [x0, x1] Rumafuncaocomprimeiraderivadacontnuaem[x0, x1], tal que(x0) = 0e(x1) = 0.Tomandoy= y + naEq.(11),camoscomaseguintefunc aodeumavari avelemI() =

x1x0f (x, y + , y

+

) dx, (12)aqualpodemosdiferenciarcomrelacaoaparaobterddI() =dd

x1x0f (x, y + , y

+

) dx, (13)quepelaregradeLeibnizresultaemddI() =

x1x0f (x, y + , y

+

) dx, (14)ouseja,ddI() =

x1x0

fy +fy

dx, (15)sendoasderivadasparciaisfyefy

avaliadasem(x, y + , y

+

).Utilizando a integrac ao por partes no segundo termo que aparece dentro da integral noladodireitodaEq.(15)obtemos

x1x0fy

dx =fy

x=x1fy

x=x0

x1x0ddx

fy

dx, (16)mas(x0) = 0e(x1) = 0,logoaEq.(16)seresumea

x1x0fy

dx =

x1x0ddx

fy

dx, (17)5queaosersubstitudanaEq.(15)resultaemddI() =

x1x0fy ddx

fy

dx. (18)Adicionalmente,oleitorpodenotarquequando=0,temosy= y,queporhip oteseeumextremodeI. SeguequeddI(0) = 0, (19)uma vez que essa e uma condicao necessaria ao um extremo de uma func ao de uma vari avel.Dissodecorreque

x1x0fy ddx

fy

dx = 0, (20)sendoqueagorafyefy

s aoavaliadasnoponto(x, y, y

).AgoraobservequeE(x) =fy ddx

fy

, (21)eumafunc aocontnuaem[x0, x1], poisseexpandirmososegundotermonoladodireitodaEq.(21)camoscomE(x) =fy 2fy

x 2fy

yy

2fy2y

, (22)etantofcomoys aofuncoescomsegundasderivadascontnuas.ReescrevendoaEq.(20)daseguinteforma

x1x0E(x)dx = 0, (23)podemosnotarqueseointegrandonaequa caoacimafornulo, amesmaeautomatica-mente satisfeita. Assim sendo, e desej avel se obter uma condicao que permita concluir queE(x) 0paraqualquerfunc aoadmissvel,i.e.,quesatisfa caascondi coesanteriormenteimpostassobreanaturezade.AmdeseprovarqueE(x) 0, vamossuporporabsurdoqueafuncaoEn aosejaidenticamentenula. Ent aoexisteumponto x [x0, x1] ondeEepositivaounegativa.SemperdadegeneralidadeassumaE( x)>0. ComoEecontnuaem[x0, x1], podemosencontrar> 0talqueE(x) > 0sempreque |x x| < .Considereagoraqueafun cao: [x0, x1] Rsejadenidadaseguinteforma(x) =

0 se |x x| > (x x + )2(x x )2se |x x| .(24)6A func ao sendo denida como acima possui todas as propriedades previamente impostassobresuanatureza. Alemdisso,epositivaparatodosospontosdointervalo[x0, x1] taisque |x x| < enulaparaosdemais.Comefeito,temosque

x1x0E(x)dx =

x+ x(x x + )2(x x )2E(x)dx > 0, (25)umavezqueointegrandoepositivonointervalo[ x , x + ] (produtodeduasfunc oespositivasnesteintervalo). Absurdo,poisaEq.(20)dizqueaintegralacima enula.ConcluimosqueE(x) 0,ousejafy ddx

fy

= 0. (26)Acabamosdeobtercondicaonecessariaparaqueumafun caoysejaextremodofunci-onalI. Bastaqueysatisfacaaequac aodiferencialdesegundaordemdadapelaEq.(26),conhecidacomoequacaodeEuler-Lagrange.Aequac aodeEuler-Lagrangepodeserdeduzidasemassumirnenhumahip otesecomrelac aoasegundaderivadadey,masodesenvolvimentosetornamaistrabalhoso.Quandobuscamosextremosdeumafunc aoaumavariavel,umprimeiroltrodepon-tosadmissveisefornecidopelotestedaprimeiraderivadaigual azero. Nocasodeumfuncional, que tem dimens ao innita, a equac ao de Euler-Lagrange desempenha o papel deprimeiroltro.3 SolucaodoProblemadaBraquist ocrona3.1 EquacoesParametricasNoproblemadabraquistocrona, desejamosminimizarofuncional dadopelaEq.(10),queaosercomparandocomofuncionaldaEq.(11)revelaquef(x, y, y

) =

1 + y22g (y y0). (27)Afunc aofdadapelaequac aoacimanaoapresentadependenciaexplicitacomavariavelx,assimadmiteumasimplica caoqueseradeduzidaaseguir.Seyforummnimodofuncional t, denidopelaEq.(6), entaosatisfazaequac aodeEuler-Lagrange,Eq.(26). Da,multiplicandoaEq.(26)pory

temosfy ddx

fy

y

= 0. (28)7Somandoesubtraindoyfy

aoladoesquerdodaequa caoanteriorcamoscomy

fy

+ y

fy y

ddx

fy

y

fy

= 0, (29)dondepercebemosqueddx

f y

fy

= 0, (30)ousejaf y

fy

= 1, (31)onde1eumaconstantereal.Paraafunc aofdadanaEq.(27),temosque

1 + (y

)22g (y y0) (y

)2

2g (y y0) (1 + y2)= , (32)ouequivalentemente(y y0)

1 + y2

= 2, (33)sendo 2outra constante real. Esta equac ao pode ser resolvida de forma parametrica. Sejay

= tan(). Assim1 + y2= sec2()ey = y0 +2sec2()(34)= y0 + 2 cos2()= y0 +22(1 + cos(2)) ,logody= 22 cos() sin()d. (35)Alemdisso,dx = cot()dy (36)=cos()sin()(22 cos() sin()) d= 22 cos2()d= 2 (1 + cos(2)) d.8Integrandoa ultimaequacaotemosquex = 322(2 + sin(2)) , (37)onde3eumaconstantedeintegracao.Asequacoes(34)e(37)fornecemumasoluc aoparametricaparaoproblemadabra-quistocrona. As curvas planas que possuem representacao parametrica dada por estas duasequac oessaoconhecidascomocicloides[5].4 AgradecimentosEste manuscrito foi elaborado como trabalho nal do curso de an alise real na PUC-Rio.Sou muito grato ao Prof. Ricardo Sa Earp pela sugestao de tema e comentarios sobre estedocumento.Referencias[1] Erlichson, H., JohannBernoullisbrachistochronesolutionusingFermatsprincipleofleasttime.EuropeanJournalofPhysics,Vol.20,pp.299304,1999.[2] Haws, L. andKiser, T., Exploring the braquistochrone problem. The AmericanMathematicalMonthly,Vol.102,pp.328-336,1995.[3] Gelfand,I. M. and Fomin,S. V.,CalculusofVariations. New York: Dover Publica-tions,2000.[4] VanBrut,B.,TheCalculusofVariations.NewYork: Springer,2006.[5] Whitman, E. A., Some historical notes on the cycloid. The American MathematicalMonthly,Vol.50,pp.309-315,1943.9