bloco 06

VIPPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender Bender Bender Bender Bender Binômio deinômio deinômio deinômio deinômio deNewtNewtNewtNewtNewton?on?on?on?on?

Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososossobrsobrsobrsobrsobre Be Be Be Be Binômio de Newtinômio de Newtinômio de Newtinômio de Newtinômio de Newton?on?on?on?on?

Binômio de Newton é uma ferramenta matemáticadesenvolvida por Isaac Newton que facilita certoscálculos matemáticos que seriam trabalhosos peloprocesso convencional.

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– LOGARITMO

As descobertas de Newton são importantíssimasnos dias de hoje para fabricação de motores,para a previsão do curso das naves espaciais,para os cálculos da economia, programas decomputação etc.

Manual de Matemática

324

Capítulo 1

FATORIAL/NÚMEROS BINOMIAIS EBINÔMIO DE NEWTON

Físico e matemático inglês, Isaac Newton generalizou o estudo do binômiopara expoentes racionais. Devido a essa expansão, o binômio passou a cha-mar binômio de Newton.

Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento de um binômio são osnúmeros binomiais, que formam o triângulo de Pascal.

00

1 10 1

2 2 20 1 2

3 3 3 30 1 2 3

4 4 4 4 40 1 2 3 4

5 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

6 6 6 60 1 2 3

6 6 64 5 6


325

Fatorial

Fatorial de um número inteiro e não negativo n se define como sendo aexpressão:

n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . (n – 4) ... 2 . 1

Indicação: n! (n fatorial)

Exemplos:

a) 2! = 2 . 1 = 2

b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

c) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320

d) 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880

Obs.:Definimos: 0! = 1

1! = 1

Convém notar que:

7 = 7 . 6!9 = 9 . 8 . 7!

n! = n . (n – 1)!(n + 1)! = (n + 1) . n!(n – 2)! = (n – 2) . (n – 3)!

Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente pararesolvermos um exercício.

Algumas calculadoras científicas possuem a tecla n!.Podemos observar que a utilização da tecla n! pode nos ajudar na

resolução de fatoriais e na resolução de problemas envolvendo AnáliseCombinatória.


326

Exemplos:

1) Simplifique as expressões:

a) 7!5!

Solução:

7 6 5!⋅ ⋅5!

42= ⇒ Desenvolvemos 7! até 5! e

simplificamos com denominador.

b) 3! 6!4!

3! 6 5 4!⋅ ⋅4!

3 . 2 . 1 . 6 . 5 = 180

c)n!

(n 2)!

n(n 1) . (n 2)!

−

− −(n 2)!−

n (n 1)= −

d) n (n 2)!(n 3)!

n (n 2)!

++

+(n 3) (n 2)!+ ⋅ +

nn 3

=+

e) n! (n 1)!

(n 2)! (n 1)!

n

−− ⋅ +

(n 1) (n 2)!− ⋅ − (n 1)!⋅ −(n 2)!− (n 1) n⋅ + (n 1)!−

n 1n 1

−+


327

f)n! (n 1)!

(n 1)!

n (n 1)! (n 1) n (n 1)!(n 1)!

n (n 1)!

− +−

⋅ − − + ⋅ −−

− [1 (n 1)](n 1)!

− +−

2n ( n) n⇒ ⋅ − = −

2) Resolva as equações:

a) n! = 24

Solução:

n! = 4! Transformamos 24 em 4!

n = 4

S = {4}

b) n! = 5 . (n – 1)!

Solução:

n . (n – 1)! = 5 . (n – 1)! Desenvolvemos n! até (n – 1)!

n = 5

S = {5}

c) (n – 1)! = 10 . (n – 2)!

Solução:

(n – 1) . (n – 2)! = 10 . (n – 2)!

n – 1 = 10

n = 11

S = {11}


328

Números Binomiais

Definimos como um número binomial o número: n n!

p!(n p)!p

= −

Leitura “binomial de n sobre p”, em que n é o numerador e p o denomina-dor, em que n ∈ , p ∈ e n ≥ p.

Conseqüência da Definição:

1) n

0

=1 exemplo: 4

0

=1 3) n

n

=1 exemplo: 6

6

=1

2) n

1

=n exemplo: 5

1

=5 4) n

n 1

−

=n exemplo: 8

7

=8

Outros exemplos:5

3

Solução:Aplicando a fórmula, obtemos:

5 5! 5! 5 4 3!3!(5 3)! 3! 2!3

⋅ ⋅= = = − 3!10

2!=

⋅9 9! 9 8 7!

7!(9 7)!7

⋅ ⋅= = − 7!9 8

3622!⋅= =

⋅

Igualdade de Números Binomiais

Se n np q

=

, então p = q ou p + q = n.

Exemplo:10 102x 8

=

Solução:

2x = 8 ou 2x + 8 = 10x = 4 2x = 2 ⇒ x = 1


329

Se x = 4, obtemos números binomiais iguais e, se x = 1, obtemos núme-ros binomiais complementares.

ResumindoDois binomiais são complementares se p + q = n.p + q = n.p + q = n.p + q = n.p + q = n.

Relação de Stiffel

É válida a relaçãon n n 1p p 1 p 1

+ + = + +

Exemplos:

a) 12 12 136 7 7

+ =

Sendo n = 12 e p = 6

b)9 9 105 6 7

+ +

Solução:

10 10 116 7 7

+ =

Resolvendo Equações com Números Binomiais

1) Determine x, tal que: x x

50 1

+ =

.

Solução:x + 1 = 5

x = 5 – 1 ⇒ x = 4

S = {4}

2) 8 8 93 4 x

+ =

Solução:

Usando a Relação de Stiffel:9 94 x

=

x = 4 ou x + 4 = 9 ⇒ x = 5 ⇒ S = {4, 5}


330

3) 13 13

3n 1 2n 3

= + + Solução:

3n + 1 = 2n + 3 ou 3n +1 + 2n + 3 = 133n – 2n = 3 – 1 5n = 13 – 1 – 3

n = 2 5n = 9 ⇒ (nao con-9

nvém n )5

=∉ �

S = {2}

Triângulo de Pascal

Podemos escrever os números binomiais abaixo na forma de um triânguloconhecido como Triângulo de Pascal.

0linha n 0

0

1 1linha n 1

0 1

2 2 2linha n 2

0 1 2

3 3 3 3linha n 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4linha n 4

0 1 2 3 4

5 5 5 5linha n 5

0 1 2 3

=

=

=

=

=

=

5 54 5

6 6 6 6 6 6 6linha n 6

0 1 2 3 4 5 6

n n n nlinha n n ............................

0 1 2 n

=

=


331

A linha é representada pelo numerador do número binomial iniciado pelalinha 0 e a coluna, pelo denominador iniciado pela coluna 0.

Esses valores podem ser dispostos numa tabela, como está demonstradoabaixo:

n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1n = 6 1 6 15 20 15 6 1

Obs.1:

• Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1, pois n

10

=

para qualquer n natural.

• O último elemento de cada linha é igual a 1, pois n

1n

=

para qualquer n natural.

• Em qualquer linha, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

• A soma dos elementos da linha n do triângulo de Pascal é sempre 2n.

nn n n n n n... 2

0 1 2 3 n 1 n

+ + + + + + = −

Exemplos:

a) 33 3 3 3

2 80 1 2 3

+ + + = =

b) 55 5 5 5 5 5

2 320 1 2 3 4 5

+ + + + + = =


332

Obs.2:• A soma dos n primeiros termos da coluna p é igual ao termo n da coluna p + 1.Exemplo:

3 4 5 6 9...

3 3 3 3 3

+ + + + + Observamos que se trata da soma dos nove primeiros termos da 3ª coluna do triângulode Pascal.

Portanto, essa soma é igual ao 10º termo da 4ª coluna 104

.

10 10! 10 9 8 7 6!4 4! (10 4)!

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = − 4! 6!210=

• A soma dos n termos das diagonais de ordem p é igual ao termo n da coluna deordem p + 1.

Exemplo:

0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 4

+ + + + =

Binômio de Newton

Podemos obter uma fórmula para desenvolver todas as potências de(x + a)n, em que n ∈ .

(x + a)0 = 1(x + a)1 = 1x + 1a(x + a)2 = 1x2 + 2xa + 1a2

(x + a)3 = 1x3 +3x2a + 3xa2 + 1a3

� � �

Os coeficientes dos termos do binômio representam o próprio triângulode Pascal.

n = 0 1n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1

� � � � �


333

De modo geral, temos:

n n 0 n 1 1 n 2 2 0 nn n n n(x a) x a x a x a ... x a

0 1 2 n− −

+ = + + + +

Obs.:• Quando desenvolvemos (x + a)n, verificamos que os expoentes de x decrescem de n a0 e os expoentes de a crescem de 0 a n.

• No desenvolvimento de (x – a)n, os termos de ordem ímpar têm sinal positivo e os deordem par têm sinal negativo.

Exemplos:Com o auxílio do triângulo de Pascal, desenvolva:

a) 5 5 0 4 1 3 2 2 3

1 4 0 5

5 5 5 5(x 2a) x (2a) x (2a) x (2a) x (2a)

0 1 2 3

5 5x (2a) x (2a)

4 5

+ = + + +

+ +

=1x5 . 1 + 5x42a + 10x34a2 + 10x28a3+ 5x16a4 + 1 . 32a5

=x5 + 10ax4 + 40a2x3 + 80a3x2+ 80a4x + 32a5

b) 4 4 0 3 1 2 2 1 3

0 4

4 4 4 4(a 3b) a (3b) a (3b) a (3b) a (3b)

0 1 2 3

4a (3b)

4

− = − + −

+

=1a4 . 1 – 4a33b + 6a29b2 – 4a27b3+ 81b4

=a4 – 12a3b + 54a2b2 – 108ab3+ 81b4

Termo Geral

Podemos obter com a fórmula do termo geral qualquer termo no desenvol-vimento de.

n n 0 n 1 n 1 n 2 n 2

1 termo 2 termo 3 termo

n n n(x a) x a x a x a ...

0 1 2− − − −

+ = + +

º º º


334

Portanto:

n p p p n p pp 1 p 1

n nT x a ou T ( 1) x a

p p− −

+ +

= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

Exemplos:

1) Calcule o 4º termo no desenvolvimento (2x + 1)6.

Solução:

Queremos encontrar o quarto termo, então:

p + 1 = 4

p = 3

Substituindo na fórmula:

6 3 33 1

4

6T (2x) 1

3

6 5 4 3!T

−+

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

3!3

34

34

(2x) 13!

T 20 8x

T 160x

⋅ ⋅

= ⋅

=

2) Determine o termo independente de x no desenvolvimento 7

34

1x

x −

.

Solução:

Termo independente de x significa que o expoente de x é zero.

Logo:

p 3 7 p 4 pp 1

p 21 3p 4pp 1

7T ( 1) (x ) . (x )

p

7T ( 1) x x

p

− −+

− −+

= − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅


335

Temos então:–7p + 21 = 0

–7p = –217p = 21

p= 3

p 7p 21p 1

3 03 1

04

4

7T ( 1) x

p

7T ( 1) x

3

7!T 1 x

3! 4!

7 6T

− ++

+

= − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

⋅= 5 4!⋅ ⋅6 4!

0

4

x

T 35

⋅

= −

3) Determine o termo médio de (x – 1)6.

Solução:Se desenvolvermos (x – 1)6, obteremos 7 termos.Portanto, o termo médio ou central será o quarto termo.

p + 1 = 4p = 3

p n p pp 1

3 6 3 33 1

33 1

34

nT ( 1) x a

p

6T ( 1) x 1

3

6!T 1 x

3! 3!

T 20x

−+

−+

+

= − ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

= −

EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Calcule o valor dos fatoriais:

a) 6! b) 3! c) 0! d) 4! + 2! e) 5! – 4! – 3! f) 4! 5!

3!+

2) Simplifique as expressões:

a) 4!2!

d) n!

(n 2)!− g) (2x 2)!

(2x)!+


336

b) 12!10!

e) (n 3)!(n 1)!

++ h)

n! (n 1)!(n 2)! (n 1)!

−− +

c) 8!

4! 6! f) (n 1)! n!

n!+ +

3) Resolva as equações:

a) (n 2)!

0n!+ = c)

x! (x 1)!26

(x 2)! x!++ =

−b) (n + 1)! = 8 . n! d) (x!)2= 36[(x –1)!]2

4) (UFPA) Simplificando (n 1)! n!

(n 2)!+ +

+, obtemos:

a) 1

n 2+ c) 1

(n 2) (x 1)+ ⋅ + e) 1

n 1+

b) n!

n 1+ d) n!

n 2!+

5) Calcule os seguintes números binomiais:

a) 42

b) 60

c) 88

d) 5 5 50 1 2

+ +

6) Resolva as seguintes equações:

a) 12 122x x 6

= +

c) 12 12 13

3x 1 2x 4 8

+ = + +

b) 2

10 10n 9 10n 2

= − +

d) x 2

32+

=

7) Calcule:

a) 6 6 6 6 6 6 60 1 2 3 4 5 6

+ + + + + +


337

b) 3 4 5 6 72 2 2 2 2

+ + + +

c) 5 5 5 5 51 2 3 4 5

+ + + +

8) Sendo 7 7 6

, calcule2x x 2 x

= −

.

9) (UNESP – SP) Seja n um número natural tal que

10 10 114 n 1 4

+ = +

. Então:

a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2

10) Desenvolva os seguintes binômios:

a) (x + 1)6 b) (2x – 3y)5 c) (ax2 – 2b)3 d) (x – 1)3 e) 4

2 2x

x −

11) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de51

xx

− .

12) Determine o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 2)7.

13) (PUC – SP) O termo no desenvolvimento de (2x2 – y3)8 que contémx10 é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14) (UFES) Qual o termo central de (x – 3)6?

a) – 540x3 b) – 3240x3 c) 3240x3 d) 540x3 e) 540x4


338

Respostas

1) a) 720 b) 6 c) 1 d) 26 e) 90 f) 242) a) 12 d) n2 – n g) 4x2 + 6x + 2

b) 132 e) n2 + 5n +6 h) n 1n 1

−+

c) 73

f) n + 2

3) a) ∅ b) S = {7} c) S = {5} d) S = {6}

4) e

5) a) 6 b) 1 c) 1 d) 16

6) a) x = 6 ou x = 2 b) 11 c) 2 d) 1

7) a) 64 b) 8

563

=

c) 31

8) 20 9) d

10) a) x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1b) 32x5 – 240x4y + 720x3y2 – 1080x2y3 + 810xy4 – 243y5

c) a3x6 – 6a2bx4 + 12ab2x2 – 8b3

d) x3 – 3x2 + 3x – 1

e) 8 5 24

32 16x 8x 24x

x x− + − +

11) Não existe. 12) 84x5

13) c 14) a

bloco 06

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