binomio de newton

BINÔMIO DE NEWTONPROFESSOR: keyson Gondim

Binômio de NewtonBinômio de Newton


Isaac Newton nasceu na pequena cidade Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e revolucionaram a matemática, física e astronomia. astronomia. Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton.

3.1- Definição3.1- Definição


Denomina-se Denomina-se Binômio de NewtonBinômio de Newton, a todo binômio da forma , a todo binômio da forma (a + (a + b)b)nn, sendo , sendo nn um um número naturalnúmero natural, que é chamado de , que é chamado de ordemordem do do binômio. binômio.

Expansão de alguns Expansão de alguns Binômios:Binômios:

(a + b)(a + b)00 = =(a + b)(a + b)11 ==(a + b)(a + b)22 ==(a + b)(a + b)33 ==(a + b)(a + b)44 ==

11

11..aa + + 11..bb

11..aa22 + + 22..aa..bb + + 11..bb22

11..aa33 + + 33..aa22..bb + + 33..aa..bb22 + + 11..bb33

11..aa44 + + 44..aa33..bb + + 66..aa22..bb22 + + 44..aa..bb33 + + 11..bb44

(a + b)(a + b)55 ==

11..aa55 + + 55..aa44..bb + + 1010..aa33..bb22 + + 1010..aa22..bb33 + + 55..aa..bb44 + + 11..bb55

(a + b)(a + b)66 ==

11..aa66 + + 66..aa55..bb + + 1515..aa44..bb22 + + 2020..aa33..bb33 + + 1515..aa22..bb44 + + 66..aa..bb55 + + 11..bb66


Para expandir uma equação binomial, pode-se seguir os passos:Para expandir uma equação binomial, pode-se seguir os passos:

01.01. Todos os membros terão o termo Todos os membros terão o termo aa e, também, o e, também, o bb. . (Ou seja, deve existir o termo (Ou seja, deve existir o termo aa..bb em todos os termos). em todos os termos).

02.02. No primeiro No primeiro termotermo atribui-se ao expoente de atribui-se ao expoente de aa o valor o valor nn e e ao expoente de ao expoente de bb o valor o valor 00. A seguir diminui-se de . A seguir diminui-se de 11 o valor do o valor do expoente de expoente de aa e aumenta-se de e aumenta-se de 11 o valor do expoente de o valor do expoente de bb. . Continua-se até o último termo que deve ter o valor Continua-se até o último termo que deve ter o valor 00 no no expoente de expoente de a a ee o valor o valor nn no expoente de no expoente de bb. .

03.03. A soma dos expoentes de cada termo deve ser igual ao A soma dos expoentes de cada termo deve ser igual ao expoente do binômio. expoente do binômio.

04.04. Os valores numéricos em cada termo, são chamados de Os valores numéricos em cada termo, são chamados de coeficientes binomiaiscoeficientes binomiais, e são retirados do , e são retirados do TRIÂNGULO DE TRIÂNGULO DE PASCALPASCAL


3.2- Triângulo de Pascal3.2- Triângulo de Pascal

Linha Linha 00

Linha Linha 11

Linha Linha 99

Linha Linha 22

Linha Linha 88

Linha Linha 33

Linha Linha 44

Linha Linha 55Linha Linha 66Linha Linha 77

11

1 11 1

1 2 11 2 11 3 3 1 3 3

111 4 6 4 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1 7 21 35 35 21 7

111 8 28 56 70 56 28 8 1 8 28 56 70 56 28 8 111 9 36 84 126 126 84 36 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1

Propriedades do triângulo de pascal

P1: Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Esses binomiais são complementares.

Propriedades do triângulo de Pascal

P2: Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é 2n.


P3: Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até qualquer outro é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo. Se n ≥ p, , sendo n e p naturais. No caso dos

exemplos, temos:i)

ii)


P4: Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de outra qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.Se n ≥ p, sendo n e p naturais. No caso do exemplo, temos:

4

7

4

16

4

6

3

5

2

4

1

3

0

2


3.3- Exemplos3.3- ExemplosQual é o termo em xQual é o termo em x55 no desenvolvimento de no desenvolvimento de (x + 3)(x + 3)88 ? ?

8

1

81

3 5 5 5 54

( 3)

3

8

. .

8.3 .

8 5

3

8 8.7.6.3 . .27. 56.27. 1512

3 3!

p n pP

p pp

sendo x temos

X x

a

n

Termo geral

nT a x

p

T xp

p

p

T x x x x


3.4- Fatorial3.4- FatorialO Fatorial de um O Fatorial de um número naturalnúmero natural n n (n!), é o (n!), é o produtoproduto de todos de todos os números os números naturais decrescentesnaturais decrescentes de de nn até até 11..

Exemplos:Exemplos:

1! = 11! = 1

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) .... . 3 . n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) .... . 3 . 2 . 12 . 1

2! = 2 . 1 = 22! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2 . 1 = 63! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 244! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 1205! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7206! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720


3.5- Termo Geral do Binômio3.5- Termo Geral do BinômioUm termo genérico do desenvolvimento de Um termo genérico do desenvolvimento de (a+b)(a+b)nn , sendo , sendo pp um número natural, é dado por:um número natural, é dado por:

Onde:Onde:

é denominado é denominado Número BinomialNúmero Binomial

ppnp ba

p

nT ..1

)!(.!

!, pnp

nC

p

npn

Números binomiais

Binomiais complementares:

Números binomiaisigualdades

Números binomiaisrelação de StiFel

Soma dos coeficientes de um Binômio de Newton

Basta substituir qualquer variável por 1

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