bcc 2008 matematica tf - educacao.pe.gov.br · inclui bibliografia. 1. currÍculo escolar -...

P452b Pernambuco. Secretaria de EducaçãoBase Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambu-

co: matemática / Secretaria de Educação. - Recife : SE. 2008.134p.

CDU 371.214CDD 375

PeR - BPE 08-0216

Inclui bibliografia.

1. CURRÍCULO ESCOLAR - METODOLOGIA - ENSINO FUNDAMENTAL.2. CURRÍCULO ESCOLAR - METODOLOGIA - ENSINO MÉDIO. 3. MATAMÁ-TICA- CURRÍCULOS. 4. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS - PER-

BUCO. 5. LEI DE DIRETRIZES E BASES DA EDUCAÇÃO. 1996 - BRASIL.VROS DIDÁTICOS - ASPECTOS EDUCACIONAIS. 7. INTERDISCIPLINA-

8. APRENDIZAGEM. 9. POLÍTICA PEDAGÓGICA. 10. CONSTRUTIVIS-CAÇÃO - PERNAMBUCO. 11. PRÁTICA PEDAGÓGICA. 15. EDUCA-

ÇÃO E ESTADO. II. Título.

NAM6. LIRIDADE.MO (EDU

GOVERNADOR DO ESTADO DE PERNAMBUCO

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO

CHEFE DE GABINETE

UNDIME-PE

Presidentes Estaduais

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO

Secretária Executiva de

Secretária Executiva de Desenvolvimento da Educação

Gerente de Políticas Educacionais de Educação Infantil e Ensino Fundamental

Gerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio

Gerente Geral do Programa de Correção de Fluxo Escolar

Gerente de Políticas Educacionais em Direitos Humanos, Diversidade e Cidadania

Gerente de Políticas de Educação Especial

Gerente de Avaliação e Monitoramento das Políticas Educacionais

Gerente de Normatização do Ensino

REVISÃO FINAL

CAPA

DIAGRAMAÇÃO

Eduardo Henrique Accioly Campos

Danilo Jorge de Barros Cabral

Nilton da Mota Silveira Filho

Edla Lira SoaresLeocádia Maria da Hora Neta

Margareth Costa Zaponi

A

Zélia Granja Porto

Cantaluce Mércia Ferreira Paiva de Barros Lima

Ana Coelho Viera Selva

Genilson Cordeiro Marinho

Albanize Cardoso da Silva

Maria Epifânia de França Galvão

Vicência Barbosa de Andrade Torres

Ana Prosini

UNDIME-PE

Josué Paulo Santiago Júnior

Gestão de Rede

ída Maria Monteiro da Silva

BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICASDE ENSINO DE PERNAMBUCO

BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICASDE ENSINO DE PERNAMBUCO

Professores assessores: equipe de coordenação da elaboração

Professores especialistas das redes públicas de ensino

Pareceristas

UNICSUL/SP

PUC/SP

UFPE

UFPE

UFMG

UFPE

UEL/PR

Elizabeth Marcuschi (L. Portuguesa )

Irandé Antunes (L. Portuguesa )

Paulo Figueiredo (Matemática )

Marcelo Câmara (Matemática )

Fabiana Júlia A. Tenório (L. Portuguesa )

Missimeire Maria C. Silva (L. Portuguesa )

Tarcísia Maria T. de Aguiar (L. Portuguesa )

Jeanne Amália de A. Tavares (L. Portuguesa )

Edmundo Fernandes C. Silva (Matemática )

Ricardo José M. Ferreira (Matemática )

Marcos Antônio Heleno Duarte (Matemática )

Francisco Sales da Costa (Matemática )

UNDIME

SEDUC

UNDIME

SEDUC

UNDIME

UNDIME

SEDUC

SEDUC

UNDIME

UNDIME

SEDUC

SEDUC

Celi Aparecida Espasandin Lopes

Egon de Oliveira Rangel

Flávio Henrique Albert Brayner

Lívia Suassuna

Maria Manuela David

Paulo Henrique Martins

Regina Luzia Corio de Buriasco

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COMISSÃO DE ELABORAÇÃO

Período: 2004 a 2006

Acácia Silva Pereira

Adalse Mª Arcanjo da Silva

Adalva Mª Nascimento S. de Almeida

Adriana Maria Vidal Nery Machado

Ana Francinete V. Cavalcanti

Ana Maria Morais Rosa

Ana Paula Bezerra da Silva

Ana Paula Pacheco da Silva

Anelúcia Maria de Souza Correia

Angélica Maria Gomes de

Vasconcelos

Antonia Isalida B. de Almeida

Ari José Rodrigues da Silva

Ariandne Araújo Alves

Arundo Nunes da Silva Júnior

Aurelúcio Braga de Oliveira

Dayse Cabral de Moura

Eládio Alves dos Santos

Elizabeth Gomes de Araújo Sousa

Emércia Oliveirad Araújo

Eriberto Vitorino da Silva

Evanilson Landim Alves

Ezinete Alencar de Sá Mendes

Fabiana Oliveira de Araújo

Flávia Jones da Costa Lima

Francinete Monteiro da Silva

Francisco Jairo Timóteo de Sá

Geisa B. de N. Conceição

COMISSÃO DE REVISÃO E ATUALIZAÇÃO

Período: 2007

Gilka Nascimento de Novaes

Givaldo da Silva Costa

Graça Oliveira

Hilda Susiane Muniz Silva

Iraneide Domingos da Silva

Isva Mª Modesto Moraes de Souza

Jeane de Oliveira Lima

José Carlos Julião de Melo

José Luiz Lucena Travassos

José Wagner Queiroz de Almeida

Josefa Rita de Cássia Lima Serafim

Josemar Barbosa de Almeida

Jussara Maria Pereira de Azevedo

Kátia Araújo

Kátia Cilene de Silva Pereira

Leda Soares de Almeida

Lúcia Amélia Paiva Lins

Luís Renan Leal de Melo

Mª das Dores da Silva Vasconcelos

Maria de Lourdes de Sá

Mª Inêz de Menezes Lafayette

Marcela Simone Santos Secundes

Márcia Andrada Brito

Márcia Regina Vilaverde Lopes

Marconi Benedito da Silva

Marcos Antônio Heleno Duarte

Maria Aparecida Silva Rufino

Maria Cristiane Dutra

Maria da Conceção B. de Albuquerque

Maria da Conceição Viana Zoby

Maria do Carmo Barbosa Almeida

Maria do Socorro de Sá Tavares

Santos

Maria Emília Soares da S. Santos

Maria José de Almeida Carvalho

Maria José Holanda Barbosa

Maria José Pereira Gomes

Maria Jucileide Lopes Alencar

Maria Lúcia A. Freire

Maria Lúcia Angelina Torres

Maria Lúcia da Silveira Santos

Maria Marcia Moura Brito

Maria Núbia De Jesus Silva

Maria Valéria Sabino R. Carvalho

Marilene Raimunda Da Silva

Marinaldo Alves de Souza

Marizete de Farias Gomes Fonsêca

Milton Perseus Santos de Melo

Músia Arlane Alves Batista

Nayra Maria Chaves

Onilda Patrícia de Sousa Belo

Paulo José Alves Pedrosa

Pedro Marques de Souza

Regina Celi de Melo André

Ricardo José Oliveira

Ricardo Marins da Silva

Robson Gustavo de Santana

Rosa Maria de Souza Leal Santos

Rosimere Carlos Ferreira da Costa

Rozineide Novaes Ferraz

Sandra Maria Santos

Silvania Félix Barbosa

Silvãnia Maria da Silva Amorim

Sônia Virgínia Martins Pereira

Tarcisia Maria Travassos de Aguiar

Valdir Ferreira da Silva

Veléria Batista Costa

Valéria Maria Tavares

Vanda Maria Braga Cardoso

Vânia de Moura Barbosa

Verônica de Queiroz Arruda

Wilson Pereira de Miranda

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SUMÁRIO

67

65

APRESENTAÇÃO

INTRODUÇÃO

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS DA

BASE CURRICULAR COMUM

1. FUNDAMENTOS E BASES LEGAIS

1.1 Paradigma: solidariedade, vínculo social e cidadania

1.2 Bases legais da proposta curricular

1.3 Diretrizes: identidade, diversidade e autonomia

2. EIXOS METODOLÓGICOS: MOBILIZANDO SABERES

2.1 Ensino-aprendizagem orientado para o desenvolvimento de

saberes e competências

2.2 Interdisciplinaridade e dialogismo

2.3 Contextualização e sentido

3. EIXOS DA ORGANIZAÇÃO CURRICULAR

3.1 Flexibilidade na organização da educação escolar

3.2 Avaliação e direito à aprendizagem

4. QUESTÕES DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM

4.1 Concepções de ensino-aprendizagem

4.2 A idéia de contrato didático

4.3 A transposição didática e a transformação dos saberes

4.4 O livro didático: função pedagógica e papel cultural

5. PROJETO POLÍTICO-PEDAGÓGICO DA ESCOLA:

AUTONOMIA E RESPONSABILIDADE

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6. PRINCÍPIOS ORIENTADORES

6.1 A Matemática como forma de interação humana

6.2 O conhecimento matemático

6.3 A Matemática e a construção da cidadania

7. COMPETÊNCIAS E SABERES

7.1 A matemática na primeira etapa do Ensino Fundamental

7.2 Números e operações

7.3 Álgebra e funções

7.4 Grandezas e medidas

7.5 Geometria

7.6 Estatística, probabilidades e combinatória

8.A MATEMÁTICA NA SEGUNDA ETAPA DO ENSINO

FUNDAMENTAL




8.4 Geometria


9 .A MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO




9.4 Geometria


112

112116

118119122

126131

10. ASPECTOS DIDÁTICOS

10.1 O papel da resolução de problemas na aprendizagem em

matemática

10.2 A Matemática e as novas tecnologias

10.3 A história da Matemática como recurso didático

10.4 Jogos matemáticos

10.5 Outros recursos no ensino-aprendizagem da Matemática

10.6 A avaliação em Matemática

11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

A Secretaria de Educação de Pernambuco SE e a União dos

Dirigentes Municipais de Educação de Pernambuco UNDIME/PE têm a

satisfação de apresentar o documento do componente curricular de

Matemática que compõe a série de documentos da Base Curricular Comum

da Educação Básica para as Redes Públicas de Pernambuco.

A Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de

Pernambuco BCC resulta de projeto proposto pela UNDIME-PE,

elaborado conjuntamente, por várias instituições educacionais do Estado

de Pernambuco: a União dos Dirigentes Municipais de Educação

(UNDIME); a Secretaria Estadual de Educação (SE); o Conselho Estadual

de Educação (CEE); a Associação Municipalista de Pernambuco

(AMUPE) e a Confederação Nacional dos Trabalhadores em Educação

(CNTE).

A elaboração da BCC foi resultado de um processo democrático e

participativo sob a responsabilidade de gestores das redes municipais e

estaduais, através da coordenação do projeto e das comissões de

elaboradores, compostas por assessores de universidades e por professores

especialistas das redes públicas de ensino, estes formados nesse processo,

como Especialistas em Avaliação Educacional, em Matemática.

Esse processo possibilitou o debate em diversas etapas e, em 2007, foi

realizado um seminário de atualização, tendo em vista a necessidade de

incorporar orientações sobre a legislação referente ao Ensino

Fundamental, que inclui a educação obrigatória para as crianças de seis anos

de idade nesse nível de ensino.

Ao destacar os saberes e os conhecimentos comuns aos vários

sistemas públicos, os quais todos os alunos deverão ter acesso,

considerando a formação para a cidadania, entendida como a construção

–

–

–

11

Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco

APRESENTAÇÃO

do “direito a ter direitos”, a BCC cumpre o objetivo de contribuir e orientar

os sistemas de ensino, na formação e atuação dos professores da Educação

Básica. Por dar realce aos eixos considerados comuns aos sistemas, a BCC-

PE deve ser complementada em cada rede de ensino, de forma a garantir a

abordagem de conhecimentos e a diversidade das manifestações culturais

locais.

Além disso, a BCC deve servir como referencial à avaliação do

desempenho dos alunos, atualmente conduzida pelo Sistema de Avaliação

Educacional do Estado de Pernambuco (SAEPE), que tem procurado

avaliar a qualidade do sistema público de ensino neste Estado, nas áreas de

Língua Portuguesa e de Matemática.

Convidamos a todos os segmentos sociais da escola para conhecerem

o documento e debatê-lo numa visão coletiva, compartilhada e ao mesmo

tempo, crítica e transformadora. Essas contribuições devem ser

transformadas em cadernos de complementação curricular nessa área

específica do conhecimento, com vistas à construção de uma Educação

Básica de qualidade, voltada para a formação da cidadania ativa e a

construção de instituições educativas e sociedades mais justas e mais

democráticas.

Danilo CabralSecretário de Educação

do Estado de Pernambuco

Leocádia Maria da Hora NetaPresidente da UNDIME-PE

12


A proposta de uma base curricular comum para as redes públicas de

ensino de Pernambuco tem raízes na necessidade de se colocar em outro

patamar a educação em nosso Estado. Hoje, quase todas as crianças

brasileiras têm vaga assegurada nas redes públicas de Ensino Fundamental.

Contudo, é preciso procurar atingir o estágio em que, além de não haver

crianças e jovens fora da escola, a relação idade-série se revele adequada, e a

qualidade da educação oferecida seja ampliada. Educação que está,

reconhecidamente, longe de atender aos requisitos imprescindíveis a uma

formação que incorpore crítica e articuladamente os conhecimentos, os

saberes e as competências atinentes aos campos cultural, social, estético,

ético, científico e tecnológico.

No espírito do regime de colaboração preceituado pela Lei de

Diretrizes e Base da Educação Nacional (LDBEN), o documento da BCC-

PE responde, em primeiro plano, à aspiração dos sistemas públicos de

ensino localizados no Estado de Pernambuco de disponibilizar uma base

curricular que sirva de referência à formação educacional do conjunto de

crianças, jovens e adultos neles inserido com vistas a contribuir para

responder aos desafios da educação do Estado.

Por tentar convergir diferentes realidades e concepções, a formulação

de uma base curricular comum é um processo muito complexo. No caso de

Pernambuco, a versão aqui apresentada é um momento especial desse

processo, mas novos encaminhamentos que ampliem seu alcance e eficácia

são indispensáveis.

Uma clara e imprescindível ampliação deverá incluir as demais áreas do

conhecimento que fazem parte do sistema escolar. Ao se restringir à Língua

Portuguesa e à Matemática, esse processo inicial responde a demandas

específicas, que têm reivindicado uma maior participação da escola na

13

INTRODUÇÃO


formação para o uso social da linguagem e dos saberes matemáticos. No

entanto, impõe-se o prosseguimento de ações que permitam incorporar à

BCC-PE, as demais áreas do currículo da Educação Básica.

Uma outra ampliação, não menos relevante, deverá contemplar a etapa

da Educação Infantil e a modalidade da Educação de Jovens e Adultos. A

primeira, usualmente dedicada a crianças de 0 a 5 anos, tem sua inegável

importância cada vez mais reconhecida na legislação e na prática

educacional em todo o mundo. A segunda, destinada às pessoas que não

tiveram acesso às oportunidades educacionais na idade esperada, tem a

tarefa de assegurar a escolarização e a inserção mais efetiva na sociedade

desse significativo contingente de indivíduos.

O documento da BCC-PE foi produzido em frutífero processo,

iniciado em 2004, sob responsabilidade de gestores das redes municipais e

estadual, da coordenação do projeto, das comissões de elaboradores,

compostas por assessores de universidades e por professores especialistas

das redes públicas de ensino.

Desse processo, constou uma seqüência de oito reuniões ampliadas e

de seis seminários regionais, nos quais foram debatidos temas relevantes

para a BCC-PE e sugeridas modificações no documento. Esses encontros

ocorreram ao longo de todo o processo de elaboração da BCC-PE e deles

participaram debatedores convidados (das áreas de Sociologia, Educação,

Ciências Políticas, História, Arte, Ciências, Língua Portuguesa e

Matemática), membros da SEDUC e da diretoria da UNDIME,

professores da educação básica das redes públicas, gestores municipais e

estaduais de todos os níveis, integrantes de movimentos sociais, como a

Comissão de Professores Indígenas de Pernambuco (COPIPE) e o

Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem-Terra (MST), representantes

dos núcleos de avaliação instalados em várias redes municipais,

representantes do Conselho Estadual de Educação e de conselhos

14


municipais de educação oriundos de todas as regiões do Estado de

Pernambuco. A BCC-PE contou, também, com a leitura crítica de

pareceristas das áreas de Educação, Sociologia, Língua Portuguesa e de

Matemática.

A despeito do processo de ampla participação na elaboração deste

documento, são imprescindíveis novas ações que permitam aprofundar a

articulação da BCC-PE com a prática educacional da escola pública no

Estado de Pernambuco. Ações que deverão integrar as políticas públicas de

gestão das redes municipais e estadual, em particular das iniciativas de

formação continuada de professores.

Tais ações tornam-se ainda mais necessárias quando são levadas em

conta a ordem de grandeza e a diversidade das redes públicas de ensino a

que se destina a BCC-PE.

O contingente de professores que exerce o magistério nas redes

municipais e estadual de Pernambuco é o interlocutor principal do presente

documento. Para esses profissionais, a BCC-PE se propõe ser um

referencial de aprofundamento de sua prática pedagógica, uma proposta

curricular, moldada por recortes teórico-metodológicos. Não constitui,

pois, um texto definitivo e acabado.

Ainda que o professor seja o leitor privilegiado da BCC-PE, não

podem ser esquecidos os demais interlocutores, quais sejam: a equipe

gestora e os técnicos dos sistemas de ensino, os integrantes das equipes

pedagógicas e os dirigentes de escolas das redes públicas, os integrantes dos

conselhos de educação, os professores dos cursos de licenciatura, os

estudiosos da área educacional, de Língua Portuguesa e de Matemática,

entre outros.

A primeira parte deste documento trata dos pressupostos teóricos e

metodológicos da BCC-PE. Discute-se, de início, o paradigma fundamental

da proposta, com três eixos principais: solidariedade, vínculo social e

15


cidadania. Em seguida, recorre-se aos textos legais vigentes que, em suas

concepções e normas, procuram moldar a realidade educacional do país.

Tomando como referência as bases legais, ampliadas a partir do

paradigma acima referido, desenvolvem-se, no item seguinte do

documento, considerações sobre as diretrizes orientadoras da BCC-PE, ou

seja, a identidade, a diversidade e a autonomia. Uma das reflexões centrais,

nesta altura, é a da possibilidade e da necessidade de coexistência, como já

mencionado, de uma base curricular comum para todos os municípios do

Estado, com uma parte diversificada do currículo, esta última destinada a

abrigar as especificidades das culturas locais.

Na seqüência, são trabalhados tanto os eixos metodológicos

mobilizadores dos saberes, mais precisamente, do ensino-aprendizagem, de

competências, da interdisciplinaridade e da contextualização do

conhecimento, quanto os eixos que orientam a organização escolar, quais

sejam, a flexibilidade e a avaliação.

O ponto seguinte traz uma breve reflexão sobre concepções de ensino

e de aprendizagem, e sobre conceitos como transposição didática e

contrato didático. O papel do livro didático, um dos recursos mais presentes

na prática pedagógica atual, é também objeto de discussão.

O texto dispensa, em seguida, especial atenção à elaboração do projeto

político-pedagógico da escola, no entendimento de que, juntos,

professores, servidores, alunos, dirigentes, comunidade e instâncias

colegiadas estarão em condições de elaborar uma proposta educacional de

qualidade que considere a realidade local.

Após as considerações gerais, a BCC-PE discorre, em seu segundo

segmento, sobre a área de conhecimento de Matemática.

16


Ao longo deste item são apresentados os eixos básicos, que procuram

fundamentar a proposta da

considerando-se as etapas do Ensino Fundamental,

que recentemente foi ampliado para nove anos pela Lei Federal no 11.114/

2005 e do Ensino Médio. Parte-se do princípio, como estabelecido pela

Constituição Federal em seu art. 205, de que a educação é direito de todos,

caracterizando-se a escola como um espaço pedagógico, no qual o ensino

deve se ministrado em “igualdade de condições para o acesso e

permanência” (art. 206, I). Frente a esse direito, impõe-se como dever do

Estado e das redes públicas de ensino, a universalização da oferta

educacional com qualidade social. Para além dessas conquistas firmadas

pela Constituição, ampliou-se, mais recentemente, a idéia de escola, que

passou a agregar não apenas a responsabilidade de promover a

aprendizagem do aluno, mas de fazê-lo respeitando os tempos e os modos

distintos em que essa aprendizagem se processa.

As reflexões iniciais dos

configuram a solidariedade, que se afirma no vínculo

social e na cidadania, como paradigma, e a identidade, vista na diversidade e

na autonomia, como diretriz da proposta educacional. Discorrem ainda a

respeito das bases legais que estabelecem orientações curriculares

obrigatórias para o país. O texto ocupa-se também dos eixos metodológicos

mobilizadores dos saberes e da aprendizagem, mais precisamente, das

competências, da interdisciplinaridade e da contextualização, bem como

dos eixos da flexibilidade e da avaliação, em torno dos quais a rede estadual e

as redes municipais públicas de ensino de Pernambuco são convocadas a se

organizar.

Por reconhecer que a educação formal transcorre prioritariamente na

Base Curricular Comum para as Redes Públicas do

Estado de Pernambuco,

Pressupostos Teóricos e Metodológicos da Base

Curricular Comum

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS DABASE CURRICULAR COMUM

17


escola, o documento dá especial destaque à elaboração do projeto político-

pedagógico. O exercício da autonomia escolar pressupõe, entre outros

aspectos, a convergência de esforços de professores, servidores, alunos,

dirigentes, comunidade e instâncias colegiadas, na construção de uma

proposta político-pedagógica que traduza, no cotidiano da instituição, sua

responsabilidade, partilhada com o conjunto da sociedade, em garantir o

direito do aluno à educação de qualidade.

18


No contexto de elaboração do projeto educacional moderno, o século

XX foi intensamente marcado por reflexões a respeito do papel da escola

nos processos de formação. Esta indagação foi sendo elaborada no bojo de

múltiplos debates e inquietações, que, observados sócio-historicamente,

colocavam em xeque a visão de mundo predominante até meados do século

XVIII e buscavam construir um novo projeto para a humanidade.

Tal como o percebemos hoje, o projeto ocidental de modernidade

(iniciado no século XVI e consolidado no século XVIII) emerge associado

à desconstrução do entrelaçamento dos sistemas político, científico e

religioso, vistos até então como inseparáveis. Sob esse prisma, no mundo

ocidental, a ordem sagrada deixa de ser responsabilizada pelas vitórias e

desgraças da humanidade. Dessa forma, em meio a resistências e

contradições, a população não mais aceita que a injustiça social seja

atribuída a fatalidades. Como afirma Martins (2003, p.21), “a idéia de

modernidade é a de uma sociedade que se libera progressivamente da

influência religiosa na organização do mundo do trabalho, permitindo aos

indivíduos/grupos refletirem livremente sobre a construção racional de

suas próprias identidades históricas”.

Analisando sob o prisma contemporâneo, pode-se dizer que essa

concepção convocou o homem moderno a assumir as rédeas de seu destino

e a recompor sua identidade.

Isso não significa, cabe ressaltar, o fim da religiosidade, que, ao

contrário, além de se renovar e multiplicar intensamente nas últimas

décadas, ocupa importante espaço na vida familiar e social das pessoas.

Significa apenas que, ao se proclamar como laico, ou seja, não-vinculado a

19

1. FUNDAMENTOS E BASES LEGAIS

1. 1 Paradigma: solidariedade, vínculo social e cidadania


religião alguma, como é o caso do Brasil (Constituição Federal, art. 19, I), o

Estado não pode mais justificar a existência das desigualdades sociais,

facilmente identificáveis no país, como sendo decorrentes de

determinações sagradas.

Fundada na tradição, sobretudo a judaico-cristã e a greco-romana, a

sociedade moderna, como de resto todo o processo histórico da

humanidade, passa a vivenciar situações conflitantes, provocadas pelo

confronto entre o velho e o novo. Assim, mesmo preso ao tradicional, para

o homem moderno, o passado deixa de ser, em certa medida, a inspiração

primeira para se pensar a civilização. Nesse conflito, é para a utopia do

futuro que se voltam os esforços de renovação dos saberes e da busca do

conhecimento. A felicidade é percebida agora no progresso do ser humano,

a qual implica o aperfeiçoa-mento das condições inventivas e tecnológicas

da humanidade, e a implementação da ordem da cultura, que se sobrepõe à

ordem da natureza. É a cultura, pois, que pode oferecer os subsídios

necessários à compreensão do que há de diferente e de comum entre os

povos.

No interior desse percurso, consolida-se a crescente contestação feita

a verdades estabelecidas como inquestionáveis, as quais vão sendo

substituídas por outras. Dentre as verdades contestadas, cite-se a certeza até

então dominante de que o mundo é organizado de forma estável, e

conhecer implica na memorização e na reprodução dessas verdades.

Instalada a dúvida frente a dogmas absolutos, constitui-se paulatinamente

com a modernidade um indivíduo mais consciente, crítico e questionador,

capaz de emancipar-se do obscurantismo e de abraçar a utopia de construir

uma sociedade mais justa.

Por outro lado, as novas descobertas científicas e a noção de ordem e

progresso levam o mundo ocidental a uma visão eurocêntrica. Ganha corpo

a convicção de que a sociedade européia e burguesa é superior às demais,

20


tidas como primitivas e inferiores, de que há povos (classes) mais evoluídos,

que detêm a prerrogativa de impor sua cultura a outros povos (classes).

Nesse contexto, o processo de exclusão expande-se significativamente, não

só entre as culturas, mas também no interior de uma mesma cultura.

Em um mundo submetido a mutações dessa ordem e grandeza, bem

como a uma tensão entre regulação social e emancipação social, a sociedade

moderna foi reinventando a realidade, construindo novos paradigmas de

organização social e, conseqüentemente, também de educação. Esses

paradigmas expressam a diversidade assumida pelo projeto de

modernidade, o qual vai incorporar as concepções e os interesses

predominantes em seus espaços de consolidação, além das contradições,

das resistências e dos movimentos diversificados surgidos em seu interior.

Apontar as concepções conflitantes desses paradigmas não significa,

no entanto, considerá-los dicotômicos, superados ou caracterizando

rupturas, mas implica analisá-los no interior de redes de significação

constituídas por nódulos, que se articulam entre si e configuram tanto os

valores alçados pelos paradigmas a primeiro plano quanto os

desdobramentos daí decorrentes. Como seria de se esperar, o contexto

educacional que emerge de um ou outro paradigma é o ponto de maior

interesse para o presente documento . A seguir, três paradigmas são

apresentados: o paradigma do interesse, o paradigma da obrigação e o

paradigma da solidariedade.

1

Paradigma do interesse: funda-se na concepção de que os objetivos

pessoais devem ser priorizados sobre os coletivos, daí advindo a noção de

indivíduo como uma célula à parte da sociedade e, de sociedade, como a

soma dos indivíduos. Tendo esse fundamento como suporte de sua

argumentação, o paradigma do interesse referenda o individualismo

1 As reflexões a respeito dos diferentes paradigmas são baseadas em Martins, P. H. (2003 e 2004).

21


utilitarista. Encontra ainda terreno fértil na idéia de produtividade

econômica, como reguladora do desenvolvimento e do bem-estar da

sociedade, e no primado da mercadoria como valor. Ocorre, por essa via, a

expansão do sistema mercantil e do capitalismo industrial e, com eles, a

formação de um indivíduo utilitarista e interessado em bens imediatos, para

quem o particular é mais importante do que o todo.

desenvolve-se simultaneamente ao

paradigma do interesse, como forma de resistência aos valores

individualistas e de manutenção de uma tradição autoritária e/ou

paternalista. Esta vertente do projeto de modernidade consagra o culto ao

poder centralizador, na medida em que o respeito às regras e aos costumes

deve prevalecer sobre a liberdade individual. Na modernidade, este

paradigma atribui relevância maior à totalidade social, configurada no

Estado, do que aos indivíduos; ou seja, o que importa é garantir o sistema

social no seu todo, mesmo que se sacrifique o indivíduo. Nessa perspectiva,

o paradigma da obrigação opera com a compreensão de que os fenômenos

A preocupação maior da educação, segundo esse paradigma, deve ser

educar para atender o mercado de trabalho, fonte inspiradora e

determinante das especializações que devem assumir papel de destaque nos

processos de formação. Ao apostar no sucesso pessoal, a responsabilidade

pelo bom desempenho e também pelo fracasso na aprendizagem é

atribuída quase que exclusivamente ao indivíduo. Ganha corpo nesse

contexto a teoria que coloca apenas no aluno a responsabilidade por

desenvolver sua capacidade racional. Portanto, para essa teoria, o ser

humano possui aptidões inatas (para o cálculo, por exemplo), que se

desenvolverão naturalmente. Para isso, basta querer. Quando determinadas

aptidões estão ausentes, nada se pode fazer. Por essa perspectiva, a escola

assume a proposta didática que julga eficiente, cabendo ao aluno apenas

responder à aprendizagem, como o consumidor responde ao produtor.

Paradigma da obrigação:

22


sociais devem ser controlados para garantir a ordem coletiva. A sociedade

se organiza a partir de um poder centralizador, o poder estatal, que funciona

hierarquicamente e se apresenta como um modelo autônomo, tomado

como universal e gerenciador do processo de modernização.

No emaranhado de múltiplas compreensões a respeito da

modernidade, para alguns grupos, 'ser moderno' envolvia a urgente

necessidade de superação do 'atraso'. Em decorrência, em países como o

Brasil, a escola assume como uma de suas tarefas a difusão da cultura e dos

valores de grandes centros externos, como os da Europa ou os dos Estados

Unidos, ou internos, como os de São Paulo ou do Rio de Janeiro,

objetivando a formação do cidadão regulamentado, adepto de modelos

culturais tidos como desejáveis. A preocupação básica da educação nesse

contexto é a de salvaguardar a totalidade idealizada do sistema, preservar as

prerrogativas do Estado, com a conseqüente exclusão do sujeito livre no

papel de protagonista social.

Nas últimas décadas, na cena mundial

e também no Brasil, a tensão existente entre as relações individuais e a

realidade supra-social (estatal) provocou a inserção de novos atores no

debate, empenhados na superação do papel de figurantes, na superação do

antagonismo disseminado entre espaço social e indivíduo e, na construção

de uma sociedade mais justa e democrática, que se organiza a partir de redes

sociais fortalecidas local, regional , nacional e globalmente. Nesse contexto,

as forças democratizantes pautam-se por um novo paradigma, o da

que neste documento da BCC-PE, é ampliado para abarcar

as noções de e de ambas fundadas no princípio

da justiça social e na experiência republicana (experiência da coisa pública).

Em suma, a solidariedade é aqui compreendida como a reciprocidade entre

grupos e atores sociais; numa relação de intersubjetividade; o vínculo social,

como a aliança a favor da comunidade; e a cidadania, como o 'direito a ter

Paradigma da solidariedade:

solidariedade,

vínculo social cidadania,

23


direitos', e a aceitação do valor superior da experiência republicana na

organização da política e dos interesses sociais.

O social “livremente solidário” se opõe a um social fundado na

“solidariedade mecânica”, que caracterizou, ao longo dos séculos XIX e

XX, a aliança do mercado e do Estado em favor de um sistema de proteção

voltado exclusivamente para o trabalhador assalariado (contribuinte). O

social “livremente solidário” deve contemplar não apenas o trabalhador

assalariado, mas também a massa excluída. Por isso, é necessário que esta

representação ampliada do social se apóie no Estado solidário, que, por sua

vez, deve favorecer a participação ativa das redes sociais na constituição da

esfera pública e democrática. Dito de outra forma: somos humanos e seres

históricos porque vivemos em sociedade, e é em sociedade, na cultura em

que nos inserimos, que a solidariedade é gerada.

Pensar a escola pelo

implica valorizar as experiências de reconhecimento e de

pertencimento. É por esse prisma que a comunidade escolar (na construção

do projeto político-pedagógico) e os professores (na efetivação de sua

prática) devem orientar-se, no sentido de promoverem a formação do

cidadão ético. Dessa forma, a educação se pauta por conhecimentos

fundados na melhoria da qualidade de vida das pessoas e por concepções

comprometidas com a dignidade humana, a justiça social, a ética

democrática e a cidadania como construção e reconhecimento de direitos.

Em suma, a educação também deve exercer a sua parte na formação

integral do cidadão:

solidário, participativo, criativo e aberto ao diálogo;

crítico, conhecedor do seu entorno e das dimensões nacional e

global;

disposto a assumir concepções éticas, fundadas na justiça social;

sensível à dimensão estética das diferentes manifestações culturais;

paradigma da solidariedade, do vínculo social

e da cidadania

–

–

–

–

24


empenhado em partilhar regras democráticas, construídas com base

no interesse comum e no respeito à diversidade.

Essa é a utopia, que se apresenta como rica em possibilidades, como

catalisadora de esforços, mesmo em uma sociedade marcada pela violência

e pela desigualdade, como a sociedade brasileira.

É uma questão de foco. Enquanto os dois primeiros paradigmas

orientam-se, quase que unicamente, por uma lógica comprometida com

índices de produtividade econômica e tecnológica, por

bem como pela

transmissão, de forma hierarquizada e cumulativa dos conteúdos, isolados

em um conjunto de disciplinas, o terceiro destaca uma

a partir de práticas solidárias,

fundadas na reciprocidade, e de práticas contextualizadas. É, portanto, uma

aprendizagem mobilizadora de saberes e valores éticos e estéticos, lúdicos e

afetivos, criativos e participativos, plurais e sócio-historicamente

construídos. Tudo isso, sem desvalorizar, dado seu caráter

e sua atenção à nem a natureza lógico-racional do ser

humano nem as exigências do mundo do trabalho.

Esse paradigma aponta para a possibilidade de construção de uma

cidadania democrática e plural (pautada nos princípios da ética, da

solidariedade e da justiça social), bem como na perspectiva da autonomia e

do respeito à diversidade dos atores sociais envolvidos no processo. Além

disso, os argumentos a favor de se assumir

encontram respaldo nas bases legais, de âmbito nacional e local, construídas

nas duas últimas décadas, com a participação e a intensa luta dos

movimentos sociais organizados (como a desenvolvida pelo “Fórum em

defesa da escola pública de qualidade na Constituinte”).

uma

aprendizagem individual, racional e pragmática,

aprendizagem

relacional, crítica, situada e conjunta,

interdisciplinar

contextualização,

o paradigma da solidariedade,

do vínculo social e da cidadania como fio condutor da proposta

curricular para as redes públicas do Estado de Pernambuco

–

25


Essas bases legais encontram-se, principalmente, como a seguir

explicitado, na Constituição Federal (CF), de 1988, na Lei de Diretrizes e

Bases da Educação Nacional (LDBEN), de 1996, na Constituição do

Estado de Pernambuco (CEPE), de 1989, no Estatuto da Criança e do

Adolescente (ECA), de 1990, nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o

Ensino Fundamental (DCNEF), nas Diretrizes Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio (DCNEM), ambas de 1998, bem como no Plano

Nacional de Educação (PNE), aprovado em 09 de janeiro de 2001, para um

período de dez anos, na lei 11.114, de maio de 2005 que tornou obrigatória a

matrícula de crianças a partir de seis anos de idade no ensino fundamental e

na resolução Nº 7/2006- CEE/PE.

O direito público subjetivo das crianças, dos jovens e dos adultos de

aprenderem gera em conseqüência o dever do Estado de efetivar o ensino

público de qualidade. Não é outra a compreensão da Carta Magna, que, em

seu art. 6º, reconhece a educação como um “direito social” e, em seu art.

205, determina que a educação é um “direito de todos e dever do Estado e

da família”, anunciando, em seguida, que o processo educacional deve visar

ao “pleno desenvolvimento da pessoa, seu preparo para o exercício da

cidadania e sua qualificação para o trabalho”. Em suma, a educação escolar

é um direito ao qual ninguém, individualmente, pode renunciar, a ponto de

as famílias estarem sujeitas a penalidades legais, caso, garantidas as

condições necessárias, fujam da responsabilidade de colocar seus filhos na

escola. Conseqüentemente, o dever do Estado na oferta educacional

também pode ser requerido judicialmente pelos cidadãos, sobretudo

quando for negada, em qualquer época, a matrícula a crianças e jovens no

1.2 Bases legais da proposta curricular

26


Ensino Fundamental.

Além disso, verifica-se, observando-se os artigos da CF acima

mencionados, que estão no foco da

escolarização e configuram, por assim dizer, os conceitos basilares que dão

sustentação e devem orientar o atendimento educacional nas escolas

brasileiras. Essa perspectiva é referendada pela CEPE (art. 176), pelo ECA

(arts. 53-54) e pela LDBEN (art. 2º). Esta, por sua vez, amplia a formulação

introduzida pela lei maior, ao explicitar que a educação deve estar “inspirada

nos princípios de liberdade e nos ideais de solidariedade humana” (art. 2º).

A LDBEN inova justamente ao fundamentar na e na

os princípios orientadores da educação.

Na BCC-PE, a associada à idéia de reconhecimento

e de aliança a favor da vida em comum

é alçada à condição de paradigma orientador da proposta. É importante

enfatizar que, para este documento, o termo 'comum' expressa um dos

princípios básicos da solidariedade, por privilegiar o interesse da

coletividade sobre os interesses privados. Também a construção de

vínculos sociais inspirados na reciprocidade e na aliança entre os

protagonistas envolvidos é tida como essencial ao processo de

aprendizagem da cidadania democrática, vista como missão precípua da

escola. Trata-se de favorecer a confiança e a parceria entre os atores da

escola em favor do surgimento de rotinas democráticas e de estímulo à

liberdade criativa.

A cidadania democrática, cabe salientar, tem como pressuposto a

inclusão de todos em vínculos solidários, que busquem a superação das

desigualdades e da intolerância, que garantam a formação para o trabalho e

a socialização do conhecimento, dos bens culturais e materiais, que

preconizem a convivência ética e responsável dos grupos sociais e dos

indivíduos, com outros saberes e culturas, meio-ambiente e tecnologias. Por

a pessoa, a cidadania e o trabalho

liberdade

solidariedade

solidariedade,

(pertencimento) (vínculo social),

27


sua vez, o parâmetro da liberdade que na BCC-PE se afasta da concepção

de liberdade que ignora o direito à liberdade do outro se encontra

preservado no respeito às diferenças e é trabalhado e articulado na tessitura

da justiça social.

No que tange especificamente à construção de uma base curricular

comum, o texto constitucional estabelece, no art. 210, que “serão fixados

conteúdos mínimos para o Ensino Fundamental, de maneira a assegurar

formação básica comum e respeito aos valores culturais e artísticos,

nacionais e regionais”. Se aqui o limite é o Ensino Fundamental, na CEPE, a

determinação vale para “a educação fundamental e o ensino médio” (art.

180). Na mesma linha, porém de forma mais explícita, posiciona-se a

LDBEN, ao determinar, em seu art. 26, que “os currículos do Ensino

Fundamental e médio devem ter uma base nacional comum, a ser

complementada, em cada sistema de ensino e estabelecimento escolar, por

uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da

sociedade, da cultura, da economia e da clientela”.

Por um lado, é interessante salientar a descentralização introduzida

pela LDBEN, ao atribuir aos sistemas de ensino a co-responsabilidade pela

construção curricular; por outro, é preciso cautela quanto ao que pode ser

entendido por “características da economia e da clientela”, detalhamento

que “as características locais e da cultura” já estariam em condições de

absorver.

A lei maior da educação conclama ainda (art. 9º, IV) que os currículos

sejam norteados por diretrizes que assegurem a formação básica comum

em território nacional. Por força da Lei Nº 9131/95, a deliberação a respeito

das Diretrizes Curriculares Nacionais, em todos os níveis e modalidades da

educação básica, é reservada à Câmara de Educação Básica do Conselho

28


Nacional de Educação (CEB-CNE), tarefa executada, em grande parte, em

1998 e 1999.

Os documentos produzidos pela CEB-CNE acarretam, portanto,

obrigações legais. Estabelecem as diretrizes que iniciam o processo de

articulação da CEB-CNE com Estados e Municípios, através de suas

próprias propostas curriculares, definindo ainda um paradigma curricular

para o Ensino Fundamental e Médio, que integra a Base Nacional Comum ,

complementada por uma Parte Diversificada (LDBEN, art. 26), a ser

concretizada na proposta pedagógica de cada unidade escolar do País.

Assim, compete aos entes federativos a incumbência de, em regime de

colaboração e no espírito da flexibilização previstos pela LDBEN,

transformar as diretrizes em propostas curriculares, ao mesmo tempo em

que devem, em conjunto com as unidades escolares, complementá-las no

que tange à parte diversificada. Sendo assim, a LDBEN e também as

diretrizes procuram garantir a todos a mobilização de conhecimentos

nacional e globalmente relevantes, promovendo-se a ampliação desse

conjunto com saberes que respeitem a diversidade cultural.

A propósito do respaldo legal para a elaboração de uma base curricular

comum não parece haver dúvidas, sobretudo se considerado o regime de

colaboração estabelecido pela LDBEN, que, em seu artigo 8º, preceitua: “A

União, os Estados, o Distrito Federal e os Municípios organizarão, em

regime de colaboração, os respectivos sistemas de ensino”. Todavia, restam

alguns questionamentos no que tange à aparente contradição de se buscar

uma unidade (um currículo para o conjunto do Estado) na diversidade

2

2 refere-se ao conjunto de conteúdos mínimos das Áreas de Conhecimentoarticulados aos aspectos da Vida Cidadã de acordo com o art. 26 da LDBEN. Por ser a dimensão obrigatóriados currículos nacionais certamente âmbito privilegiado da avaliação nacional do rendimento escolar a BaseNacional Comum deve preponderar substancialmente sobre a dimensão diversificada” (CEB-CNE, DiretrizesCurriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, Brasília, janeiro de 1998).

“Base Nacional Comum:

29


(respeitando-se as diferenças), o que, por isso mesmo, merece um debate

específico.

Em oposição à idéia de identidade associada à genética, a uma espécie

de propriedade individual e pré-determinada, a um 'fazer parte' inato,

extremamente restritivo e conservador, o que se defende aqui é a noção de

identidade como pertencimento social e cultural. Assim, a identidade não é

vista como definitiva, mas como um processo, uma construção simbólica

que leva à incorporação dos indivíduos em determinadas comunidades,

segundo valores, práticas sociais e interesses envolvidos. Nesse movimento

de construções e reconstruções identitárias, configuram-se igualmente as

atitudes, os espaços de atuação, os comportamentos, dentre outras

referências socioculturais. Trata-se, portanto, de um movimento de

natureza estruturante, criado em torno de interesses comuns, que se

delineia nos limites da motivação sociocultural.

As comunidades de prática, nas quais o sujeito se reconhece e elabora

sua identidade, são plurais e não podem ser vistas como previamente dadas.

Assim, o conjunto de vinculações com a qual ele se relaciona pode envolver

o local ou a nação, a origem social ou geográfica, o gênero ou a faixa etária, a

cidade ou o campo, a raça ou a etnia, para ficar apenas em alguns aspectos.

Por isso, um mesmo sujeito pode pertencer simultaneamente a várias

comunidades de prática. A identidade social tanto possibilita que o

indivíduo seja situado socialmente por outros, quanto permite que ele se

localize em um determinado grupo.

1.3 Diretrizes: identidade, diversidade e autonomia

30


Tal identidade não está prévia e naturalmente disponível, dada pela

condição de se ter nascido brasileiro, por exemplo. Na verdade, ela foge à

mera reprodução dos referentes culturais, mas se afirma na apreensão,

organização e revisão das práticas sociais, na experiência compartilhada e na

construção permanente da cultura. Por isso mesmo, as identidades são

construídas e reconstruídas em função da sustentação política e social, na

luta em torno de laços comuns, frente a outras comunidades, e não como

similaridade predeterminada. Com isso, os contornos das comunidades de

prática tornam-se mais salientes na ação, no conflito e na negociação que se

estabelecem com outras comunidades. É no reconhecimento do que há em

comum e, simultaneamente, no desafio da alteridade e das diferenças que as

identidades se fortalecem e se reconhecem. A identidade social provoca

simultaneamente inclusão e exclusão, não apenas na relação com os outros

grupos, mas, no interior do próprio grupo.

Uma base curricular comum, ainda que se destine a um estado

específico do território brasileiro, como esta, não pode se esquivar de

trabalhar os saberes e as competências associados a 'ser universal', 'ser

brasileiro', 'ser contemporâneo', pois todas as crianças e todos os jovens e

adultos têm o direito de construir e elaborar conhecimentos

imprescindíveis ao exercício da cidadania, os quais, por isso mesmo,

constituem um patamar inegociável de aprendizagem.

Como a 'identidade cidadã' é a mais ampla e abrangente, é dela também

a tarefa mais complexa, ou seja, a de operar com as diferenças provenientes

de múltiplos grupos, fazendo-as convergir para o que há de comum na

construção da experiência de nação, que continua sendo um agente

simbólico na construção das identidades sociais, apesar dos impactos

31


gerados pela sociedade global. Esse esforço passa tanto por leituras das

práticas sociais quanto por ações do Estado, impulsionadas e

desencadeadas por pressões dos movimentos sociais. É o que se vislumbra,

por exemplo, na LDBEN, que reivindica, sob a denominação de 'base

nacional comum', a preservação e a exploração de determinados

conhecimentos pelos sistemas de ensino, em todo o território nacional (art.

9º, IV).

Segundo declara a CF em seu art. 1º, o Brasil é um país federativo,

formado “pela união indissolúvel dos Estados e Municípios e do Distrito

Federal“, o que pressupõe tanto o compartilhamento do poder como a

autonomia dos integrantes do sistema federativo em questões de sua

competência. Assim, da mesma forma que os saberes nacionais são

elaborados e postos em debate, cabe aos diversos sistemas estaduais e

municipais ampliá-los e aprofundá-los com base em seus próprios valores,

buscando uma ligação convincente e dinâmica com as experiências das

comunidades e das culturas locais. É o espaço que cabe à autonomia e à

diversidade.

Considere-se que a autonomia não pode ser entendida como sinônimo

de fechamento e de isolacionismo, mas implica cultivar o reconhecimento

dos valores e princípios próprios da comunidade, sem se esquivar do

diálogo com outros grupos. A autonomia das redes municipais e estadual e a

diversidade cultural ficam, nesse sentido, preservadas, na medida em que a

base nacional comum deve dialogar, nas definições e práticas pedagógicas,

com a perspectiva local. Reconhece-se, assim, o valor das experiências

culturais, históricas e sociais locais na formulação de uma ação pública

educativa nacional. Além disso, os conhecimentos socialmente

reconhecidos como universais e/ou nacionais podem e devem ser

32


ampliados na 'parte diversificada' da base curricular, conforme reivindicam

a LDBEN e as Diretrizes Curriculares Nacionais.

A concretização do paradigma e dos princípios aqui pleiteados, no

âmbito da BCC-PE, passa por diversas instâncias e requer um conjunto de

decisões. Uma dessas decisões diz respeito à atenção e ao cuidado que

devem ser dispensados ao desenvolvimento das capacidades dos

aprendizes, perspectiva que libera a proposta curricular do mero domínio

de conteúdos descontextualizados e fracionados. Ou seja, o que se valoriza,

principalmente, é o desenvolvimento de competências e o estudo de

campos do saber, aos quais são inerentes a interdisciplinaridade e a

contextualização. No próximo item, essas concepções são tratadas mais

detalhadamente.

33


2. EIXOS METODOLÓGICOS: MOBILIZANDO SABERES

2.1 Ensino-aprendizagem orientado para o desenvolvimento de


paradigma da solidariedade, do vínculo

social e da cidadania,

a intervenção humana é possível,

Conceber a escola pelo

como foi dito, implica valorizar a dimensão do

reconhecimento e do pertencimento, e atribuir à educação um sentido

renovado, que eleja a qualidade de vida do ser humano como primeiro

objetivo da educação. É esperado, portanto, que, desse ponto de vista, a

educação não se oriente unicamente pelas exigências do mercado do

trabalho, mas busque antes de tudo a emancipação do cidadão solidário,

capaz de assumir com ética e criatividade, o desenvolvimento dos interesses

comuns e da justiça social.

Na perspectiva desse novo paradigma, a definição de uma base

curricular se orienta pela disposição de levar a escola a centrar-se na

ampliação de saberes e competências, dos mais gerais às mais específicas, a

fim de viabilizar a inserção social inerente ao desenvolvimento justo e

solidário.

Perceber os desdobramentos e as implicações pedagógicas do

conceito de 'competência' constitui, assim, uma prioridade. Esse é o

objetivo do tópico seguinte.

2.1.1 Implicações da proposta

Buscar o desenvolvimento de saberes e competências implica o

pressuposto de que isto é, os grupos

humanos podem interferir no controle das mais diferentes situações, seja

para mudá-las, seja para reorientá-las ou reforçá-las. Este pressuposto traz

34


implícito o princípio de que não existe fatalidade nem destino marcado e,

que, portanto, as situações não são como são porque “têm que ser”. As

situações podem mudar, se as pessoas se dispuserem a intervir, a agir, a

inventar, a trabalhar para que elas sejam diferentes; daí, a importância de se

procurar desenvolver competências. Ocorre que

Toda construção humana é, portanto,

coletiva, solidária, participativa, de uns com os outros, de uns e de outros.

Esses princípios definem a orientação ideológica da proposta de se

trabalhar a favor do desenvolvimento de competências ou, em outras

palavras, são eles que explicam por que a escola deve dispor-se a

desenvolver competências nas diversas áreas do conhecimento.

2.1.2 O conceito de competência

Competência é a aptidão dos sujeitos para ligar os saberes que

adquiriram ao longo da vida às situações da experiência, a fim de, pelo

recurso a esses saberes, vivenciar essas experiências de forma gratificante e

eficaz. Equivale, assim, à capacidade de administrar as mais diferentes

situações da vida, pelo recurso a intuições, conceitos, princípios, valores,

informações, dados, vivências, métodos, técnicas já descobertos ou

aprendidos. Conseqüentemente, a competência implica, por um lado, uma

relação com o saber uma vez que mobiliza diversos recursos cognitivos e,

por outro, uma relação com o fazer, com o realizar uma vez que se afirma

no enfrentamento com os mais distintos tipos de situação (Perrenoud,

2000, p. 15). Noutras palavras, a competência supõe a articulação dos

saberes com as condições específicas das situações enfrentadas.

Dessa forma, a competência é conjuntamente anterior e simultânea às

situações, pois incorpora elementos que as precedem e se constrói no

embate com cada situação. Isto significa admitir que a competência não

as atuações humanas

são inevitavelmente interacionais.

35


corresponde a capacidades prontas, acabadas, que se têm em estoque para

se usar quando for preciso; a competência está feita e se faz,

constantemente, no exercício de cada situação, pois a competência mobiliza

o que já se sabe, ao mesmo tempo em que revela o que não se sabe ainda e o

que é preciso saber. Daí, a sua relevância em todo processo de ensino-

aprendizagem e, mais especificamente, no âmbito institucional da

formação escolar.

2.1.3 O perfil de uma base curricular fundamentada no desenvolvimento

de saberes e competências

Um sistema de ensino que objetive o desenvolvimento de saberes e

competências é o avesso de um sistema empenhado apenas na transmissão

de conteúdos ou de um sistema em que predomina a dicotomia entre o

tempo de se adquirir “os saberes” e o tempo de se desenvolver as

“competências”, pois será um sistema

interessado na multiplicidade de agentes e de fontes de informação;

atento à diversidade, à flexibilidade, à dinamicidade e à pertinência

do conhecimento científico elaborado;

sensível à produção e circulação dos valores éticos e das criações

artísticas;

empenhado na observação dos fatos, no levantamento de hipóteses

e na elaboração consistente do conhecimento;

afeito ao desenvolvimento de habilidades argumentativas que

viabilizem a participação do cidadão no espaço público;

orientado para referências que superam a divisão do tempo de

aprender em unidades fixas e estanques, como horas, semestres e ano letivo.

Nessa perspectiva, a forma de o professor intervir no processo de

aprendizagem deve ser a da participação atuante, diligente e respeitosa, sem

–

–

–

–

–

–

36


que, no entanto, ele monopolize o conjunto das ações pedagógicas.

O professor, na busca por desenvolver competências, será alguém que,

com os alunos (e, não, diante deles ou para eles), pensa, busca, analisa,

compara, identifica, estabelece relações entre as coisas e os fatos, reflete,

questiona, levanta hipóteses, seleciona, avalia, articula, conclui, admite,

generaliza..., para outra vez, pensar, buscar, analisar..., em um processo

contínuo, sem data marcada para se consumar. Ou seja, na busca por

competências, o professor é alguém que, com o aluno, está-se fazendo, está

vivendo a experiência de elaborar os saberes e de, circunstancialmente,

mobilizá-los para lidar com as situações da vida. E, assim, ensina não apenas

porque detém determinados conhecimentos teóricos, mas, sobretudo,

porque é capaz de assumir, na prática, os princípios que defende. O aluno,

por sua vez, é alguém que, em interação com o professor, participa

ativamente desse processo de construção do saber, seja como indivíduo em

formação seja como membro de uma coletividade que se beneficia desta

interação para se fazer reconhecer e se representar na esfera pública. Logo,

o aluno é alguém que também constrói socialmente o saber; e não alguém

que passivamente recebe um conteúdo que o outro domina e lhe veio

passar, muitas vezes, sem saber ao certo por que ou para quê.

Na perspectiva das competências, não se concede destaque, portanto,

à ótica da transferência de conhecimentos nem à figura do professor como

mero multiplicador de informações. Esta visão, típica do antigo paradigma

da obrigação, desconsidera o fato de que a educação é um processo

interativo; desconsidera, igualmente, o fato de que o aluno não é mero

recipiente cognitivo e cultural, mas, ao contrário, constitui-se em um elo de

uma rede ativa e crítica, formada na aliança, em favor da qualidade de vida

do conjunto da população.

37


2.1.4 Que competências privilegiar?

Cada momento histórico, com todo o conjunto de suas práticas

sociais, é que deve constituir o principal indicador do que deve ser objeto de

ensino ou que competências privilegiar na prática pedagógica. As

competências-chave não são assim inteiramente definidas fora dos

contextos culturais em que acontecem as situações de ensino-

aprendizagem. Daí que é de extrema importância o conhecimento e a

análise crítica da realidade, da experiência, a interpretação dos fatos, a

identificação das situações-problema, a apreciação da dimensão estética dos

bens culturais. A exigência de observar, de sentir, de questionar, de levantar

hipóteses, de procurar explicações, de criticar, de avaliar, de sistematizar, de

generalizar, de prever, de sugerir, de criar etc. será fundamental para que se

possa definir a prioridade das competências. Conforme o resultado de

algumas avaliações institucionais , muitos dados têm apontado para a

urgência atual de se fortalecer, na escola, competências para:

a análise,

a reflexão,

a crítica e a autocrítica,

a argumentação consistente,

o discernimento fundamentado,

a apreciação dos valores éticos, afetivos e estéticos.

a compreensão e a expressão dos sentidos culturais, científicos e

tecnológicos em circulação nos grupos sociais.

Essas competências vão se refletir na definição das identidades,

a priori,

3

–

–

–

–

–

–

–

3 As avaliações de diversas instituições têm, nos últimos anos, disponibilizado informações a respeito daqualidade dos sistemas de ensino no Brasil. Cite-se, como exemplo, o Sistema de Avaliação da Educação Básica(SAEB), o Sistema de Avaliação da Educação em Pernambuco (SAEPE), o Exame Nacional do Ensino Médio(ENEM), entre outros. Maiores dados sobre as avaliações de âmbito nacional podem ser encontrados napágina www.inep.gov.br

38


individuais e sociais, na participação solidária e nos ideais do

desenvolvimento coletivo e da justiça social.

Nessa perspectiva, é esperado que as competências em

das atividades realizadas na escola. Vale ressaltar que essas

competências são extremamente significativas para todas as áreas do saber,

uma vez que a análise, a produção e a circulação do conhecimento são

processos que passam, necessariamente, pelo uso das linguagens.

É importante destacar ainda que essas situações, em função das quais

se vai propor a aprendizagem de algum saber, não devem ser apenas

situações restritas à vida escolar. A escola deve ultrapassar os esquemas que

têm como parâmetro apenas aquilo que se supõe ser útil dentro dela

própria, como se a escola apenas existisse para consumo interno, e nela se

devesse ensinar para o dia da prova, para o vestibular, ou para o aluno passar

de ano.

A sociedade sofre os efeitos de uma formação escolar impregnada de

um ensino com ênfase no acúmulo de informações fragmentadas e

socialmente irrelevantes. Tanto que, em vez de contribuir para a superação

das desigualdades sociais, a escola por vezes tem concorrido para

reproduzi-las, acentuá-las e reforçar o imobilismo social de que os mais

favorecidos se aproveitam (Dolz & Ollagnier, 2004).

Embora as diversas situações com que nos deparamos sejam

heterogêneas e complexas, não permitindo conclusões simplistas, os

elementos que as constituem se articulam em redes de diferentes tipos, de

modo que procurar entender essas situações exige um olhar amplo, uma

postura relacional, capaz de estruturar os saberes afins no seio de um campo

ou de um domínio. Perder a visão de unidade leva à fragmentação detalhista,

à supervalorização das questões pontuais e irrelevantes e à generalização

descontextualizada.

análise,

leitura e produção das múltiplas linguagens sejam as competências

prioritárias

39


2.1.5 Competências e saberes

Uma base curricular orientada para o desenvolvimento de

competências e saberes não implica ter que optar entre conteúdos, de um

lado, e competências, de outro, como se uma coisa excluísse a outra.

Implica, na verdade, ter que reorganizar e ampliar os paradigmas existentes,

ou mudar o foco de visualização dos objetos, a fim de priorizar os saberes

consistentes, relevantes, funcionais e simbólicos. Isto leva a uma mudança

do ângulo de visualização dos objetos educativos e à priorização de saberes

enriquecidos pela interatividade. Nessa perspectiva, os saberes ganham

relevância enquanto possibilitam o enfrentamento dos diversos desafios

imediatos e mediatos e o pleno desenvolvimento da pessoa e da sociedade.

A relevância dos conteúdos que circulam nas múltiplas atividades

escolares decorre do quanto esses conteúdos permitem à escola cumprir

seu papel social de cultivar os valores da ética, da integridade pessoal, da

criatividade, da solidariedade e do bem-estar comunitário. Assim, e aliada a

outras instituições, a escola poderá atuar na superação das desigualdades e

da exclusão de grande parte das pessoas que constituem a sociedade

brasileira.

2.1.6 Práticas pedagógicas na construção de um currículo orientado para


A construção de um currículo orientado para o desenvolvimento de

saberes e competências implica conceder um lugar de primazia às atividades

curriculares que envolvam diferentes práticas de pesquisa, de reflexão, de

observação, de análise, de expressão, de sistematização, de exercício da

sensibilidade e do gosto estético. Quer dizer: uma pedagogia voltada para a

ampliação de saberes e competências ultrapassa a prática tradicional de

40


simplesmente dar aula, atividade, quase sempre, reduzida a momentos de

mera explicação oral dos conteúdos. Essa prática tradicional somente

encontra respaldo nas propostas que reduzem o ensino à transmissão de

uma grade de conteúdos descontextualizados, inexpressivos e simplistas.

As atividades curriculares voltadas para os saberes e as competências

favorecem a vivência de 'um fazer' que, por sua vez, viabiliza a participação

crítica dos alunos. Neste caso, múltiplas opções de encaminhamento

pedagógico podem ser consideradas, desde que possibilitem: competências

para:

a contextualização dos saberes apreendidos nos momentos de

discussão e reflexão;

as conexões dos saberes entre si, que podem gerar concepções mais

integradas;

a reinvenção dos saberes, pela necessidade de ajustá-los aos

parâmetros de cada realidade;

a organização interdisciplinar dos conhecimentos, pelo diálogo entre

os diversos domínios da experiência;

a superação da tendência do ensino para o simples acúmulo de

informações;

a procura por uma interação mais significativa do professor com o

aluno, dos professores entre si e dos alunos uns com os outros, que favoreça

o pertencimento coletivo;

uma maior inserção dos alunos e do professor na vida da

comunidade;

a capacidade de lidar com os conflitos e os desafios postos pela

realidade;

a capacidade de lidar com os conflitos e os desafios postos pela

realidade;

o desenvolvimento da afetividade, pelo prazer de compartilhar e pela

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

41


felicidade de poder dividir espaços e ações;

formas coletivas de produção do conhecimento, constituindo-se,

assim, em práticas educativas para a igualdade de oportunidades, a

solidariedade e o respeito às diferenças.

Um currículo que privilegie o desenvolvimento de competências

básicas requer que o papel hoje desempenhado pelas disciplinas escolares

seja profundamente revisto e passe a incorporar a perspectiva da

interdisciplinaridade.

O debate sobre o conceito de interdisciplinaridade vem ocorrendo

entre educadores brasileiros há algumas décadas. Uma constante nesse

debate é a denúncia da fragmentação do saber ensinado nas escolas,

alimentada pela organização do currículo em disciplinas justapostas e

estanques. Hoje, na escola, ainda predomina uma prática pedagógica

meramente multidisciplinar. Nessa prática, cada disciplina compete por seu

espaço e seus objetivos particulares, distanciando-se do diálogo com outras

disciplinas.

Dessa maneira, a interdisciplinaridade é ainda uma prática rara na

escola, apesar de defendida por muitos educadores, de ter sido objeto de

debates entre professores, de estar contemplada em documentos de ampla

divulgação como os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Fundamental e Ensino Fundamental de nove anos: Orientações para a

inclusão das crianças de seis anos, além de ser uma das diretrizes

curriculares estabelecidas para o Ensino Médio.

São muitos os obstáculos a entravar a prática da interdisciplinaridade

na escola e seria ilusório julgá-los de fácil superação. Na verdade, tal prática

2.2 Interdisciplinaridade e dialogismo

–

42


requer transformações amplas, que atingem todo o sistema educacional: os

currículos, as modalidades de avaliação, a organização do tempo e dos

espaços na escola (laboratórios de informática, ciências, linguagens,

bibliotecas), o livro didático, entre outros. Atingem, em especial, as

formações inicial e continuada dos educadores, que exercem inegável papel

na moldagem das concepções desses educadores.

As críticas ao modelo disciplinar adotado na escola encontram apoio

em teorias sobre conhecimento, cognição, linguagem e aprendizagem, as

quais conquistaram amplo reconhecimento social.

Algumas dessas teorias delineiam o conhecimento como uma rede de

significações, que são inter-relacionadas, de forma complexa, por meio de

múltiplas conexões. Uma organização curricular fundada na ausência de

integração entre as disciplinas escolares certamente está longe de se

harmonizar com tal visão do conhecimento.

Outras teorias postulam que a aprendizagem se dá de forma mais

eficaz quando o sujeito é exposto a diferentes enfoques sobre um mesmo

objeto de conhecimento. O trabalho interdisciplinar oferece a ocasião

apropriada para o exercício dessa multiplicidade de olhares.

O termo interdisciplinaridade surge, assim, com vários significados,

entre os quais o de uma metodologia de trabalho pedagógico em que se

superam os contornos fechados das disciplinas, que passam a interagir com

outros saberes.

Interdisciplinaridade não implica, por outro lado, uma diminuição da

importância das áreas específicas do conhecimento. Ao contrário, uma

perspectiva interdisciplinar adequada nutre-se do aprofundamento nas

várias áreas do saber, desde que esses saberes sejam articulados da forma

mais diversificada e consistente possível.

Instala-se, dessa maneira, uma dupla exigência. Em uma direção,

procurar interligar vários saberes; buscar temas comuns a vários campos do

43


conhecimento; tentar construir modelos para situações complexas

presentes na realidade. Em outra direção, aprofundar o conhecimento

disciplinar; construir modelos para um recorte específico da realidade.

Encontrar a organização e o tempo pedagógicos para garantir essas duas

direções constitui-se em um dos maiores desafios para a concretização da

perspectiva interdisciplinar na escola atual.

É importante mencionar que várias experiências têm sido propostas

para incorporar a interdisciplinaridade na prática pedagógica. Conhecer as

bases teóricas em que se apóiam tais experiências, os contextos escolares a

que se referem e os resultados obtidos, pode contribuir para que se

formulem propostas interdisciplinares adequadas à realidade das nossas

escolas. A título de fornecer elementos para esses estudos, pode-se citar, em

nosso Estado, o projeto descrito em Bastos (2003). Nos âmbitos

nacional e internacional, dentre muitos outros, podem ser mencionados os

trabalhos de Fazenda (2001, 2003), Pires (2000), Zabala (2002) e Santomé

(1998).

Como apresentado anteriormente, a ênfase que vem sendo dada à

questão da interdisciplinaridade tem, em sua origem, a busca do

estabelecimento de relações, não somente dentro das próprias disciplinas,

mas também entre os diferentes conjuntos de conhecimentos. Dessa

forma, a idéia de aparece como um elemento catalisador

de quebra dos mecanismos estanques de uma excessiva disciplinarização

dos saberes.

Em outras palavras, a contextualização objetiva levar o aluno a

estabelecer relações entre os diferentes conhecimentos com os quais ele

et alli

2.3 Contextualização e sentido

contextualização

44


entrará em contato, buscando, nessas relações, identificar as

complementaridades, as divergências e as convergências entre eles.

Ao mesmo tempo, não se pode esquecer que todo conhecimento está

intimamente relacionado às práticas sociais, que servem de referência a

esses conhecimentos. Dessa forma, falar de contextualização significa

também compreender a dinâmica de produção e circulação dos saberes que

chegarão à escola. Nessa dinâmica, são os diferentes movimentos de

contextualização e descontextualização que irão possibilitar ao aluno a

construção do dos conhecimentos, permitindo que ele

identifique e se identifique com as situações que lhe são apresentadas, seja

em seu contexto escolar, seja no exercício de sua plena cidadania.

Mesmo tendo sua origem nas práticas e nas necessidades sociais, o

conjunto de conhecimentos que servirá de motor para as aprendizagens

escolares precisa, até mesmo para tornar possível a sua circulação, sofrer

algumas transformações. Ele deverá ser submetido a um processo de

descontextualização, ou seja, ele sofrerá uma espécie de ruptura com as

situações, problemas e práticas sociais que lhe deram origem,

apresentando-se lapidado.

A partir desse momento, um novo trabalho é realizado sobre esses

conhecimentos, buscando torná-lo “ensinável” pela escola. Esse conjunto

de conhecimentos se apresenta sob a forma de um “texto escolar”, e se

manifesta, em geral, na forma de orientações curriculares e livros didáticos.

A partir desse momento, duas opções, pelo menos, se oferecem ao

professor: apresentá-lo tal qual aparece no texto escolar aos alunos, ou

promover uma re-contextualização desse conhecimento.

No primeiro caso, ainda bastante freqüente em grande parte das salas

de aula, parte-se da idéia de que cabe ao professor apresentar esse

conhecimento aos alunos, enquanto o papel do aluno seria de ser capaz de

reproduzir esse conhecimento, o que demonstraria que “ele aprendeu”.

significado

45


Desse ponto de vista, caberia ao aluno ser capaz de promover uma re-

contextualização desse conhecimento, em situações em que houvesse a

necessidade de buscar solução para um determinado problema. Nesse

modelo, caberia ao professor “ensinar”, e ao aluno caberia “aprender”, ou

seja, as responsabilidades de cada um dos parceiros do processo de ensino-

aprendizagem ficam bem separadas.

Os limites desse modelo são bastante conhecidos. Na realidade, o que

se tem encontrado são alunos que não conseguem promover essa re-

contextualização face aos problemas com que deparam. Mesmo dentro de

uma própria disciplina se encontra esse tipo de dificuldade. Quantas vezes o

professor se depara com alunos que não sabem resolver uma determinada

situação, mesmo tendo acabado de “aprender” os conhecimentos

necessários ao enfrentamento dessa situação. Costuma-se dizer, então, que

o aluno não está sendo capaz de mobilizar certos conhecimentos, ou, em

poucas palavras, que ele “não aprendeu”.

No segundo caso, caberia ao professor promover uma re-

contextualização do conhecimento em jogo na relação didática, ou seja,

promover uma situação de aprendizagem em que o conhecimento que se

deseja que o aluno aprenda apareça na forma de uma situação a ser

enfrentada, situação essa que se apresenta de maneira contextualizada. Seria

como se, guardadas as devidas proporções, o aluno fosse levado a

“reconstruir ou 'reinventar' o conhecimento didaticamente transposto para

a sala de aula” (Parecer do CNE no 15/98).

Nesse modelo, o aluno aparece com um papel essencialmente

diferente do citado anteriormente, e as responsabilidades são

profundamente modificadas. Aqui, o papel do professor passa a ser o de

provocador, oferecendo ao aluno as condições para que ele entre no jogo. Já

o aluno, passa a representar o papel de “re-construtor” do conhecimento

em questão. Caberia então, ao aluno, por meio de situações de

46


aprendizagem oferecidas pelo professor, chegar a uma nova

descontextualização do conhecimento, o que favorece a sua luta por

reconhecimento e por pertencimento.

Dessa forma, espera-se que o aluno, confrontado com uma nova

situação, diferente daquela que deu origem ao conhecimento, seja capaz de

mobilizá-lo, com o objetivo de resolver a questão. Nesse caso, costuma-se

dizer que houve uma “aprendizagem efetiva”.

Portanto, pode-se afirmar que, para cada um dos modelos

apresentados, duas possibilidades de contextualização se podem ser

identificadas, uma posterior ao processo de aprendizagem, e outra anterior

a esse processo.

A primeira possibilidade aparece estreitamente ligada ao primeiro

modelo, que se caracteriza por um ensino baseado em três fases. Na

primeira o professor apresenta, de forma descontextualizada, o

conhecimento para o aluno. Na segunda fase, são indicados os “exemplos”

de situações em que aquele conhecimento poderá ser utilizado; são os

conhecidos “modelos” que o aluno deverá incorporar. Finalmente, na

terceira fase, caberá ao aluno a repetição mecânica dos modelos anteriores

em atividades que lhe são apresentadas. Diz-se que o aluno aprendeu se ele

for capaz de mobilizar os “modelos” necessários para resolver exercícios

análogos.

Essa utilização da contextualização não apresenta grandes

dificuldades, pois, o que interessa, é a estrutura subjacente à situação

apresentada, ou seja, em que medida ela se mostra semelhante a algum

“exemplo” já apresentado ao aluno. Nesse quadro as situações de

contextualização podem se aproximar fortemente do cotidiano dos alunos,

visto que basta substituir o “aipim” pela “macaxeira”.

Já a segunda possibilidade de contextualização, aquela anterior à

apresentação do conhecimento, aparece associada ao segundo modelo de

47


aprendizagem, ou seja, aquele em que o conhecimento é introduzido na

relação didática a partir de um problema a ser resolvido, e que funciona

como ponte entre a informação abstrata e a realidade concreta do aluno. De

certa forma, tem-se nesse modelo uma situação que pode parecer

paradoxal, na medida em que a solução de uma situação conflituosa exige a

utilização de um certo conhecimento que o aluno ainda não possui. Como

resultado, o aluno é levado a assumir um papel ativo no processo de

aprendizagem, sendo estimulado a (re)construir o conhecimento em

questão. Nesse caso, a contextualização já não pode ser realizada de maneira

ingênua e unilateral, visto que a interatividade é fundamental para as

aprendizagens a serem realizadas.

48


3. EIXOS DA ORGANIZAÇÃO CURRICULAR

3.1 Flexibilidade na organização da educação escolar

Todas as diretrizes oficiais se orientam no sentido de defender padrões

de organização escolar que sejam dotados de flexibilidade. Não bastassem

motivos de ordem mais radical, a reconhecida diversidade da realidade

brasileira legitima que se proponha inteira flexibilidade institucional para a

organização dos sistemas de ensino. Com efeito, os ideais mais amplos da

educação integral se fundamentam no respeito à singularidade do sujeito,

que, embora destinado à felicidade comunitária, não pode abrir mão de suas

potencialidades pessoais e de tudo quanto garante sua própria identidade.

Se esse princípio se sustenta em relação à pessoa singular, não é menos

aceitável em relação à realidade dos grupos, sejam eles locais, regionais ou

nacional. Ou seja, preservar a especificidade de nossa individualidade é uma

condição fundamental para que se possa pensar no desenvolvimento

coletivo, solidário e participante.

A única possibilidade de se preservar essa individualidade é, sem

dúvida, defender esquemas flexíveis de se administrar as diferenças. Muito

mais ainda quando se trata da esfera da educação, espaço onde radicam os

ideais e as pretensões mais legítimos das pessoas e das comunidades.

A flexibilidade que se pensa para a organização escolar se funda, pois,

na pretensão de levar em conta a diversidade do tempo e do modo de

aprendizagem das pessoas, das culturas e das situações em que estão

inseridas as unidades escolares. Manifesta-se nos diferentes setores dessa

organização, o que significa dizer que deve se estender às programações

curriculares, aos procedimentos e aos recursos metodológicos, aos sistemas

de avaliação, aos modos da gestão escolar, enfim.

Uma das graves distorções dos sistemas escolares impostos pela

49


unilateralidade de visões e de organização é, sem dúvida, apagar as

possibilidades de que seja reconhecida e respeitada a identidade de cada

pessoa e de cada grupo. Nesse sentido, convém lembrar o extremo cuidado

que se deve ter para considerar a realidade típica das escolas do campo e das

escolas localizadas em comunidades indígenas, quilombolas, assentados, re-

assentados, ribeirinhas e afrodescendentes (sugestão e nota de rodapé sobre

a Lei n° 10.639/2003 que torna obrigatório o ensino da História e Cultura

Afro-Brasileira). No entanto, considerar esta realidade não significa optar

por conceituações e práticas simplistas e reducionistas, na suposição de que,

dessa forma, a escola estaria adequando-se às condições da comunidade,

vista, por esta ótica, como incapaz de desenvolver competências mais

complexas e elaboradas.

A base curricular comum que se pretende para todos os municípios do

Estado de Pernambuco não pode, portanto, afastar-se desse ideal de

flexibilidade, para que se possa preservar o “rosto” de cada comunidade, de

cada região, ao mesmo tempo em que se garanta, por outro lado, os mais

amplos e legítimos objetivos da educação nacional.

Vale ressaltar que a flexibilidade aqui em questão não abarca apenas

esse aspecto do respeito às particularidades de cada escola ou de cada

região. Concerne também àquele outro que envolve a diversidade da

produção cultural e o diálogo da escola com o repertório de conhecimentos

e crenças já disponíveis e já sedimentados em cada comunidade. A

flexibilidade pretendida pela BCC-PE vai além, portanto, da postura de

abertura a novos modelos ou, ainda, do cuidado de entrar em sintonia com

as particularidades culturais de cada lugar. Pretende, isso sim, perder

qualquer vínculo com todas as manifestações do etnocentrismo sutil que

confere superioridade a determinadas regiões, a determinados grupos,

perdendo, assim, a necessária flexibilidade para considerar legítimas e

passíveis de adoção todas as manifestações culturais. O princípio de que

50


não existem, intrinsecamente, opções culturais melhores ou mais perfeitas

que outras pode representar, para a escola, um valioso parâmetro de

definição de currículos, objetivos e atividades. Além de poder significar um

fundamento seguro para a superação de atitudes preconceituosas e

discriminatórias.

Como desdobramento da flexibilidade aqui considerada, cabe ainda ao

sistema de ensino, no espírito do que preceitua a LDBEN, a abertura para

poder adotar o regime de organização do currículo, por ciclo, ou por série,

ou por etapas, considerando-se a realidade local e a busca da oferta da

educação de qualidade.

Em suma, aceitar a flexibilidade na organização curricular, é incluir

como referência para as escolhas pedagógicas aspectos peculiares à

realidade; é buscar a integração com a herança cultural sedimentada; é

dialogar com os conhecimentos e as práticas sociais já consagrados pela

comunidade; é desacreditar de qualquer espécie de superioridade cultural e,

assim, deixar as fronteiras que dividem o mundo em “urbano” e “rural”, ou

que dividem as regiões em “centro” e “periferia”. Tudo isso com o

propósito de estabelecer com todas as manifestações culturais um contato

de reciprocidade, numa “mão dupla” que dá e recebe, sem deixar,

evidentemente, de ter em conta as diretrizes comuns que garantem a

unidade e a identidade nacional e regional, e o direito dos alunos a uma

educação de qualidade.

No âmbito do ensino-aprendizagem, a avaliação detém função

relevante, pois lhe é atribuída, na quase totalidade das vezes, a prerrogativa

de orientar a tomada de decisões, tanto no que se refere ao tempo destinado

3.2 Avaliação e direito à aprendizagem

51


à aprendizagem, quanto aos conteúdos, fenômenos e procedimentos que

devem ser privilegiados no decorrer da escolarização. Essa expressiva força

da avaliação em nossa cultura advém da autoridade que lhe é concedida,

tanto social quanto institucionalmente, para credenciar ou descredenciar os

estudantes em suas aspirações de ocuparem os diferentes patamares em que

se acha organizada a educação formal no país. Via de regra, para fins de

reconhecimento social, aos saberes do aluno e, por esse meio, também a ele

próprio, é atribuído um perfil valorativo, que é elaborado com base em um

complexo feixe de variáveis agrupado por motivações de natureza cultural e

institucional.

Mas, que elementos integram esse feixe e entram na composição do

valor concedido? Não é simples responder a essa pergunta. Pode-se, no

entanto, afirmar, que os elementos aí envolvidos não são homogêneos. Ao

contrário, comumente, o processo de atribuição das variáveis e os traços

selecionados para integrar a valoração alternam-se consideravelmente,

conforme o papel conferido à escola, a noção de aprendizagem subjacente

ao projeto de sociedade e ao projeto político-pedagógico pretendidos, bem

como as concepções culturalmente construídas e pressupostas a respeito

dos conhecimentos a serem priorizados, entre tantos outros aspectos.

A ação avaliativa envolve concepções de mundo, conhecimentos

partilhados e um conjunto de valores. Diante dos múltiplos aspectos que

podem ser acionados para construir a avaliação, o professor salienta os que

lhe são culturalmente relevantes, no confronto com um conjunto de

critérios tomado como referência. Vale salientar que, tanto o valor atribuído

quanto o critério referencial são dinâmicos e passíveis de alterações,

estando sujeitos a versões variadas, culturalmente situadas, no decorrer do

processo interacional. Desse modo, a avaliação tende a renovar-se e a

reorganizar-se continuamente, na medida em que a ela são agregados novos

conhecimentos, experiências e informações, sendo sensível ao entorno

52


sócio-histórico em que se acha inserida.

3.2.1 A tradição avaliativa no Brasil

No Brasil, a avaliação tem sido tradicionalmente realizada na

perspectiva somativa, sendo associada a categorias que analisam

preferencialmente os resultados atingidos pelos educandos, quando

comparados aos de seus colegas de turma, em fenômenos observáveis e

transparentes, ao término de um período burocraticamente fixado. Com

isso, os resultados dos estudantes são apresentados em termos da posição

relativa dos indivíduos na turma. Em função do desempenho de um aluno,

tido como o ideal, o melhor de todos, elege-se o grau de excelência da

turma. O segundo melhor desempenho é conferido ao estudante que

demonstra ter o menor número de carências, quando comparado ao

primeiro lugar, ou, dito de outra forma, o maior número de traços

coincidentes com o estudante melhor ranqueado, e assim sucessivamente.

O pior desempenho será então atribuído ao aprendiz que mais se afasta do

perfil tomado como medida, justamente aquele revelado pelo aluno mais

bem colocado.

Esse tipo de avaliação ocorre em períodos demarcados, sem o

propósito de interferir no processo de ensino-aprendizagem, mas de fixar

etapas para o tratamento do conteúdo por parte do docente, bem como de

punir, premiar, rotular e classificar o educando. Por essas características,

estimula a hierarquização, padronização e seletividade no interior dos

grupos e, opera de forma polarizada, na medida em que apenas o ou o

o ou o são possíveis. Não há respostas

parcialmente aceitas, pois o processo, o conhecimento em construção, os

pequenos ganhos não são considerados. O principal é o resultado. Com

base no é observado o que o aluno demonstra ter aprendido na

certo

errado, verdadeiro falso

produto

53


comparação com o que foi ensinado (e, o que é mais surpreendente, às vezes

são testados até mesmo os conhecimentos que sequer chegaram a ser

objeto da reflexão pedagógica).

No controle da aprendizagem, predominam em grande parte as

situações de exame e a preocupação precípua é a de atingir uma avaliação

objetiva, que possa ser quantificada, contabilizando-se para tanto os

desvios detectados nas tarefas, com foco no conteúdo. Os resultados

produzidos no âmago da avaliação assim encaminhada são

costumeiramente traduzidos em e retroativos, ou seja, funcionam a

posteriori, pois informam, ao final de uma seqüência de aprendizagem, de

duração variada, quais educandos obtiveram fracasso ou sucesso, tendo em

vista o grau de excelência pretendido. Os grupos de estudantes são tratados

como homogêneos e espera-se que, por terem sido expostos às mesmas

estratégias de ensino, desenvolvidas pelo mesmo educador, em igual

período de tempo, apresentem nível de desempenho aproximado ou

mesmo igual. Quando isso não ocorre, a responsabilidade pelo fracasso é

atribuída ao aluno. É a chamada lógica do “leito de Procusto” , que exclui do

processo educacional, pela perversidade e homogeneização, um número

significativo de aprendizes.

O aluno, por sua vez, atento ao contrato didático que se estabelece

entre educador e educandos em sala de aula, em torno de acordos tácitos

sobre o saber e sua avaliação, não demora a perceber que deve investir seus

esforços nos conteúdos e estratégias realmente valorizados pelo professor

nos momentos dedicados à avaliação. Afinal, com base em sua experiência

de aluno, o aprendiz permite-se concluir que é o conhecimento escolar,

revelado no momento certo e em doses suficientes, que propicia os bons

resultados na avaliação.

nota

4

4 Segundo a mitologia grega, Procusto convidava os viajantes a deitarem num mesmo leito. Caso não coubessemexatamente na cama, Procusto esticava ou cortava as pernas dos passantes, adequando-os ao leito.

54


3.2.2 A proposta da BCC-PE: avaliação formativa, inclusiva e processual

Não apenas do ponto de vista do ordenamento jurídico, mas também

das concepções que veiculam, a CF e a LDBEN trouxeram uma

significativa contribuição à reconfiguração do encaminhamento avaliativo

no âmbito educacional brasileiro. Assim, a Carta Magna, no parágrafo único

de seu art. 1o assevera que “todo o poder emana do povo, que o exerce por

meio de representantes eleitos ou diretamente, nos termos desta

Constituição”, reconhecendo que o poder exercido por intermédio da

delegação de representatividade deve ser associado à cogestão efetuada

com a participação direta da população.

Logo após a promulgação da CF, esse direito à participação em

instâncias colegiadas deixou de ser exercido de forma plena, em virtude da

ausência de informações a respeito da qualidade do ensino oferecido nas

unidades escolares. Os dados então disponíveis, além de serem pontuais,

diziam respeito basicamente à expansão e manutenção da rede física.

Diante disso, evidenciou-se a necessidade de serem implementados

sistemas de avaliação educacional, que disponibilizassem informações

qualitativas sobre a aprendizagem dos alunos, de forma a melhor orientar a

tomada de decisão das administrações públicas e a contribuir decisivamente

para o exercício da gestão democrática. Esse conjunto de fatores levou à

construção do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB),

conduzido pelo MEC, do Sistema Intermunicipal de Avaliação de Rede,

desenvolvido por municípios de capital e de médio porte do Nordeste e,

mais recentemente, do Sistema de Avaliação Educacional de Pernambuco

(SAEPE). Desde então, a avaliação educacional tem atuado como indutora

de políticas, subsidiando medidas efetivas na luta por uma escola inclusiva,

democrática e socialmente justa.

Por sua vez, pautada em grande parte pelo direito do aluno aprender, a

55


LDBEN reivindica atenção permanente para com o conjunto dos

educandos, tanto por parte da unidade escolar, a quem compete “prover

meios de recuperação dos alunos de menor rendimento” (art. 12, V), como

por parte dos professores, incumbidos de “zelar pela aprendizagem dos

alunos” e de “estabelecer estratégias de recuperação para os alunos de

menor rendimento” (art. 13, III e IV).

Em seu art. 24, a lei maior da educação determina as regras comuns

que organizam a educação básica nos níveis fundamental e médio. O inciso

V desse artigo explicita os critérios a serem observados na verificação do

rendimento escolar, a saber: “a) avaliação contínua e cumulativa do

desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os

quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais

provas finais; b) possibilidade de aceleração de estudos para alunos com

atraso escolar; c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries mediante

verificação do aprendizado; d) aproveitamento de estudos concluídos com

êxito; e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência

paralelos ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a

serem disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos”.

Como se observa, são priorizados os critérios qualitativos sobre os

quantitativos, a serem considerados no decorrer do processo de

aprendizagem, abrindo-se a possibilidade de construção de uma avaliação

contínua e não pontual. Também a exigência, até então rigorosa, do aluno

percorrer e mostrar desempenho satisfatório série por série, disciplina por

disciplina, é rompida, na medida em que são oferecidas oportunidades de

aceleração e de avanço aos educandos, bem como de aproveitamento de

estudos não necessariamente realizados na escola. Essas determinações

legais oferecem o patamar básico à luta por uma escola solidária, que,

fundada em princípios da ética democrática, respeite as diferenças e supere

as desigualdades.

56


Na contramão das quatro primeiras alíneas do art. 24, a quinta

reivindica a oferta de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao

período letivo. Se o fato das atividades de recuperação não serem colocadas

ao término de etapas escolares burocraticamente agendadas pode ser

considerado um avanço, a indicação dessas atividades como “paralelas” está

sujeita a ressalvas. Esse encaminhamento provoca uma inadequada cisão

entre a avaliação e a aprendizagem, o que acaba endossando as

características da avaliação como medida.

Para a BCC-PE, coerente com os pressupostos de uma educação

inclusiva, comprometida com a dignidade humana, a justiça social, a ética

democrática e a construção da cidadania, a avaliação acha-se integrada ao (e

não-distinta do) processo ensino-aprendizagem. Presumida essa integração

e com base na expectativa de aprendizagem proposta e nos pontos críticos

identificados em atividades diversificadas, defende-se que a avaliação deve

assumir caráter formativo, ou seja, encaminhar estratégias que

potencializem a construção das competências, do conhecimento, das

atitudes, pelo conjunto dos alunos. Por ser plurirreferencial, a avaliação

formativa admite a adoção de vários caminhos no enfrentamento dos

desafios que se colocam à construção da aprendizagem definida como

socialmente relevante para a totalidade dos estudantes.

Os procedimentos avaliativos não podem se limitar à avaliação do

aluno pelo professor, mas pressupõem igualmente a avaliação interativa,

encaminhada em grupo, e a auto-avaliação. A avaliação conjunta, em

pequenos grupos ou maiores, favorece a experiência de pertencimento,

pois envolve a negociação compartilhada de indicadores e instrumentos de

avaliação, bem como atua no desenvolvimento da autonomia, da postura

crítica e da ética democrática. Simultaneamente a experiências desse tipo, o

aluno deve ser desafiado a realizar sua auto-avaliação, ou seja, a avaliar sua

inserção nas atividades desenvolvidas ao longo de todo o processo, em

57


função de critérios previamente acordados. Esse tipo de análise leva o

educando a compreender melhor sua condição de “eterno aprendiz” e

fornece subsídios ao professor sobre aspectos pedagógicos que precisam

ser redirecionados.

Nesse encaminhamento avaliativo, o erro é observado a partir de seu

aspecto positivo, pois está potencialmente em condições de informar as

hipóteses construídas pelo aprendiz sobre o conhecimento avaliado, bem

como de indicar as aprendizagens que precisam ser retomadas e

retrabalhadas pelo professor. Em lugar de provocar uma sanção, a falta,

nesse caso, incita a busca de respostas a respeito da aprendizagem realizada,

pois o erro não pode ser entendido como carência total de conhecimento,

como se o educando fosse uma tabula rasa, mas deve ser observado a partir

do saber elaborado, ainda que de modo parcial. Inverte-se assim o eixo de

observação, que até então penalizava a ausência de evidências a respeito da

aprendizagem e passa-se agora a valorizar os saberes construídos ou em

construção.

O foco avaliativo não se resume, portanto, apenas a constatar se

determinada atividade foi adequadamente realizada ou não, atribuindo-se a

ela uma pontuação valorativa, mas em observar e descrever a capacidade do

aluno em mobilizar e articular recursos e competências para encaminhá-la e

até mesmo reformulá-la. Assim, o que interessa é concretizar a premissa,

segundo a qual a avaliação, além de estar a serviço das aprendizagens, deve

ainda permitir a adaptação e o redimensionamento do processo de

formação empreendido pelo docente, levando o máximo de alunos à

aprendizagem. Portanto, não se trata de verificar, através da avaliação, se o

aluno está adaptado ao ensino que lhe foi propiciado, mas de regular o

ensino de forma a possibilitar que o aluno construa os conhecimentos

pretendidos.

O parâmetro destacado no processo avaliativo assim encaminhado é a

58


posição assumida pelo indivíduo no confronto com suas próprias posições

anteriores, à vista das aprendizagens desejadas e acordadas. O que se busca é

determinar até que ponto cada educando alcançou as competências

definidas como básicas e necessárias para o processo de escolarização em

andamento, oferecendo-se para tanto as devidas oportunidades, pois os

alunos efetivam a aprendizagem em velocidades distintas e por

procedimentos variados.

Dessa forma, a avaliação não pode ser tida como fixa, nem pré-

determinada, mas deve ser vista como inserida em contextos sociais,

dinâmicos e processuais de construção de conhecimento, vinculando-se a

objetivos pedagógicos sócio-culturalmente elaborados. Posiciona-se,

portanto, em estado permanente de negociação quanto aos elementos a

considerar e às estratégias a adotar ao longo do processo de formação.

Nesse sentido, a deliberação sobre o como avaliar pressupõe uma

construção coletiva que considere as experiências culturais das pessoas,

permita ajustes e envolva diversos agentes e várias instâncias, sendo uma

delas (talvez a mais relevante), a sala de aula, na interação do aluno com

outros colegas e do professor com os alunos.

59


4. QUESTÕES DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM

4.1 Concepções de ensino-aprendizagem

Falar de ensino e aprendizagem implica estabelecer certas relações

entre alguém que ensina (o professor), alguém que aprende (os alunos) e o

objeto de conhecimento (o saber). Nesse contexto, um primeiro

questionamento que surge diz respeito ao que se concebe como ensinar e

aprender. De forma resumida, podemos avançar três grandes correntes de

concepções sobre o processo de ensino-aprendizagem, ressaltando que

outras concepções e variantes poderiam ser contempladas neste

documento.

A primeira, sem dúvida a mais encontrada na maioria de nossas salas

de aula, identifica o ensino como a transmissão e a aprendizagem como a

recepção dos conhecimentos, definindo o professor como o transmissor e

o aluno como receptor desses conhecimentos. Nessa concepção, a

aprendizagem é vista como o acúmulo de conteúdos, e o ensino se baseia

essencialmente na “verbalização” do conhecimento, por parte do

professor. Se, por um lado, essa corrente teórica apresenta a vantagem de

possibilitar que um grande número de alunos seja atingido ao mesmo

tempo, por outro lado demanda alunos passivos, obedientes e dispostos a

considerar a palavra do professor como a verdade estabelecida.

Uma segunda corrente, baseada nas concepções behavioristas do

desenvolvimento da inteligência, concebe a aprendizagem a partir da

fragmentação do conhecimento. Essa idéia apóia-se na identificação de

objetivos de aprendizagem cada vez mais específicos, supondo que atingir

cada um desses objetivos levaria à construção de conceitos que lhe são

subjacentes. Essa corrente teórica, se por um lado considera o aluno como

elemento ativo no processo de aprendizagem, pode, em diversas ocasiões,

60


levar o aluno a centrar sua atenção nos fragmentos do conhecimento,

tornando-o, muitas vezes, impossibilitado de apreender o conceito como

um todo.

Finalmente, uma terceira corrente, ainda pouco explorada em nossos

sistemas de ensino, transfere para o aluno a co-responsabilidade pela sua

própria aprendizagem, na medida em que o coloca como ator principal

nesse processo. A perspectiva sociointeracionista da aprendizagem,

baseada sobretudo nas idéias de Vygotsky, parte do princípio que a

aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio aluno,

na medida em que o aprendiz é desafiado a colocar em confronto antigas

concepções e levado à elaboração dos novos conceitos pretendidos pela

escola. Nesse cenário, cabe ao professor o papel de mediador, ou seja, de

elemento gerador de situações que propiciem o confronto de concepções,

cabendo ao aluno o papel de construtor de seu próprio conhecimento. No

âmbito de sua teoria, Vygotsky elaborou o conceito de Zona de

Desenvolvimento Proximal (ZDP), assumindo que há uma diferença entre

as competências e habilidades que o aluno é capaz de desenvolver sozinho e

as que ele é capaz de realizar com a ajuda de adultos ou parceiros mais

experientes. Há ainda um outro patamar do conhecimento, no qual o aluno

ainda não consegue se movimentar, mesmo com a ajuda de outras pessoas.

Compete ao professor ter sensibilidade suficiente para identificar os

conceitos já construídos pelo aluno, de forma a favorecer sua autonomia

nas atividades adequadas, apoiando-o na medida do necessário, mas sem

exigir o que estiver acima de sua capacidade.

Confrontando a primeira concepção com a terceira, pode-se dizer que

a primeira se baseia no modelo DEFINIÇÃO EXEMPLOS

EXERCÍCIOS, ou seja, a introdução de um novo conceito se daria pela sua

apresentação direta, seguida de um certo número de exemplos, que

serviriam como modelos, os quais os alunos iriam seguir de forma acrítica

61


em momentos posteriores. A cadeia se completa com a apresentação de

exercícios, conhecidos como “exercícios de fixação”. Já a terceira

concepção apresenta uma outra lógica, ou seja, a aprendizagem de um novo

conceito ocorreria pela apresentação de uma situação-problema ao aluno,

sendo que a definição, a generalização e a sistematização do conceito vão

sendo construídas ao longo do processo de aprendizagem. Por sua vez, os

mesmos conceitos vão sendo retomados, posteriormente, em níveis mais

complexos, de forma a levar o aluno a relacionar o que já sabia com o que

veio a aprender em um novo contexto.

As concepções acima exploradas, de uma certa maneira, estão na base

de diferentes fenômenos que atravessam a sala de aula. Um deles diz

respeito ao contrato didático. Nesse âmbito, é preciso diferenciar duas

idéias bastante difundidas, a de contrato didático e a de contrato

pedagógico.

O contrato pedagógico baseia-se essencialmente na relação

professor/aluno, cujas “cláusulas” são, em grande parte, negociadas e

explicitadas por eles. É relativamente estável no tempo e determina quais

são os papéis de cada um dos agentes da situação didática (professor e

alunos), mas não se apresenta necessariamente articulado ao conhecimento.

Por exemplo, o contrato pedagógico estabelece a forma de

acompanhamento das atividades, a organização do espaço da classe, a

distribuição do tempo em sala de aula, os instrumentos avaliativos etc.

É na relação com o terceiro pólo da relação didática (o conhecimento),

que aparece o conceito de contrato didático. Esse contrato, que representa

o “motor” para a aprendizagem de um determinado conceito, é firmado

4.2 A idéia de contrato didático

62


com base em “cláusulas” cultural e cognitivamente construídas. Sua

percepção é mais evidente, quando uma das regras é rompida por um dos

parceiros da relação. É esse contrato que define, de uma certa maneira, quais

as expectativas de cada um dos elementos da relação didática com os

demais, sendo renegociado continuamente, em função dos objetos que

estão em jogo no processo de aprendizagem.

De forma resumida poderíamos dizer que, enquanto o contrato

pedagógico se baseia no funcionamento da classe, o contrato didático tem

suas cláusulas ancoradas no conhecimento que está em jogo nessa classe.

Por exemplo, no caso da Matemática, as regras que norteiam o trabalho com

a geometria não seriam necessariamente as mesmas no caso da álgebra.

A ruptura de cada um desses contratos de forma unilateral pode

provocar efeitos diferentes. No caso do contrato pedagógico, aparecem

mudanças e conflitos na relação estabelecida entre o professor e os alunos.

No caso do contrato didático, a sua ruptura unilateral pode levar à criação

de verdadeiros obstáculos à aprendizagem.

Ancorada nas concepções de aprendizagem, e fortemente articulada

ao conceito de contrato didático, aparece a idéia de

freqüentemente dividida em dois grandes momentos, a transposição

didática externa e a transposição didática interna. A primeira toma como

referência as transformações, inclusões e exclusões sofridas pelos objetos

de conhecimento desde o momento de sua produção, até o momento em

que eles chegam à porta das escolas. Atuando, de certa forma, em uma

esfera exterior à escola (mas sempre como resposta a demandas dela), o

produto dessa transposição didática externa se materializa, em sua maior

4.3 A transposição didática e a transformação dos saberes

transposição didática,

63


parte, pelos livros didáticos e pelas orientações curriculares, como o

presente documento.

Por outro lado, a transposição didática interna se apresenta, por sua

própria natureza, no interior da escola, e, mais particularmente, em cada

uma de nossas salas de aula. É o momento em que cada professor vai

transformar os conhecimentos que lhes foram designados para serem

ensinados em objetos de conhecimento efetivamente ensinados. As

escolhas efetuadas pelo professor é que determinam, de certa maneira, a

qualidade das aprendizagens realizadas pelos alunos.

Nesse processo de transposição, a temporalidade, associada à aparição

dos objetos de conhecimento no cenário didático, também surge como

elemento importante nas aprendizagens realizadas pelos alunos. Se nos

referirmos ao processo de transposição didática externa, podemos pensar

que a apresentação do conhecimento que chega à porta de nossas escolas

aparece segundo uma organização linear, regida pelo tempo legal, ou seja,

aquele determinado pelos referenciais curriculares, e pelo tempo lógico, que

organiza, de uma certa maneira, a apresentação e a articulação dos objetos

de conhecimento, criando uma espécie de cadeia.

A partir desse momento, com a entrada em ação da transposição

didática interna, um outro tempo deverá entrar em ação, diretamente

articulado com o tempo de ensino, o tempo de aprendizagem. Atualmente,

diversos estudos têm mostrado que esse tempo de aprendizagem é próprio

de cada aluno, se caracterizando essencialmente pela não-linearidade. Em

outras palavras, trata-se de um tempo que não obedece à mesma lógica do

tempo de ensino, que, normalmente, se caracteriza pela linearidade.

Assim, o professor aparece como elemento importante nessa gestão

do tempo em sala de aula, na medida em que lhe cabe ajustar a linearidade

própria do tempo didático à não-linearidade do tempo de aprendizagem do

aluno. Pode-se até mesmo afirmar, que a tentativa de associar os tempos de

64


ensino e de aprendizagem tem se mostrado uma importante fonte do

fracasso escolar (Câmara, 1997).

No processo de ensino-aprendizagem em nossas escolas, um fator

interveniente que não pode ser esquecido é o livro didático.

Em primeiro lugar, por um dado de conjuntura, pois, na última década,

programas nacionais do Ministério de Educação têm avaliado e distribuído

livros didáticos para as escolas públicas do país. Observa-se, além do mais,

que muitos desses livros têm sido concebidos segundo princípios teórico-

metodológicos e de ensino-aprendizagem que estão em sintonia com os

propostos nesta BCC-PE, embora haja outros que deles se afastam

bastante.

Em segundo lugar, é amplamente aceito pela maioria dos educadores

que cabe ao livro um papel destacado entre os recursos didáticos que

podem ser mobilizados. O texto didático traz para o processo de ensino-

aprendizagem mais um personagem, o seu autor, que passa a dialogar com o

professor e com o aluno. Nesse diálogo, o autor do texto didático intervém

com sua perspectiva sobre o saber a ser estudado e sobre o modo de se

conseguir aprendê-lo mais eficazmente. Estabelece-se, assim, um enredado

feixe de relações interligando quatro pólos: o autor e o texto didático

formam um deles, o professor, o aluno e o saber compõem os outros três.

Tais relações expressam funções importantes para o processo de ensino-

aprendizagem.

Tomando como base Gérard & Roegiers (1998), as funções mais

importantes do livro didático na relação com o aluno, são

favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes;

4.4 O livro didático: função pedagógica e papel cultural

–

65


propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas, que

contribuam para aumentar a autonomia;

consolidar, ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos

adquiridos;

auxiliar na auto-avaliação da aprendizagem;

contribuir para a formação social e cultural e desenvolver a

capacidade de convivência e de exercício da cidadania.

No que diz respeito a suas relações com o professor, o livro didático

desempenha, entre outras, as importantes funções de:

auxiliar no planejamento e na gestão das aulas, seja pela explanação

de conteúdos curriculares, seja pelas atividades, exercícios e trabalhos

propostos;

favorecer a aquisição dos conhecimentos, assumindo o papel de

texto de referência;

favorecer a formação didático-pedagógica;

auxiliar na avaliação da aprendizagem do aluno.

É indispensável, no entanto, não esquecer que as funções referidas

acima são histórica e socialmente situadas e, por isso, sujeitas a limitações e

contradições. Cabe ao professor, na escolha e no uso do livro, observar a

adequação desse instrumento didático à sua prática pedagógica e ao seu

aluno.

Além disso, o professor deve manter-se atento para que sua autonomia

pedagógica não fique comprometida ao permitir que o livro didático ocupe

papel dominante no processo de ensino-aprendizagem e não o de recurso

auxiliar nesse processo.

–

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–

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–

66


5. PROJETO POLÍTICO-PEDAGÓGICO DA ESCOLA:

AUTONOMIA E RESPONSABILIDADE

projeto,

político,

pedagógico,

responsabilidade

liberdade

autonomia

Considera-se que a educação formal realiza-se prioritariamente na

escola. Assim, feitas as considerações gerais que compõem os itens

precedentes, é indispensável que se reflita, brevemente, sobre o projeto

político pedagógico, texto privilegiado de expressão dos princípios

orientadores das ações da escola e, também, instrumento de planejamento,

execução e avaliação das ações desenvolvidas no seu âmbito.

A denominação projeto político-pedagógico da escola procura

designar um processo que integra, pelo menos, três dimensões. Trata-se de

um processo que é movimento de lançar-se adiante, que busca

romper amarras do e dirigir-se para novos objetivos; que é

ou seja, uma ação orientada na direção de um paradigma, e

também que é na medida em que focaliza, no espaço

privilegiado da escola, a formação integral do homem.

Um projeto político pedagógico orientado para o paradigma da

solidariedade, do vínculo social e da cidadania, é chamado a exprimir a

social da escola, assumida quando os sujeitos da ação, no

meio escolar, reconhecem que sua é uma liberdade para agir com

o outro e para o outro e que visa a um projeto coletivamente construído, não

só para sua escola, mas para a sociedade mais ampla em que ela se insere.

Nesta perspectiva, opõe-se a fechamento e isolacionismo, pois

o que se procura é assegurar o reconhecimento dos valores e princípios

próprios de uma comunidade e, simultaneamente, os de outros grupos

humanos.

A síntese das dimensões política e pedagógica do projeto da escola

exprime-se, igualmente, no processo de sua elaboração, execução e

avaliação, de forma democrática, participativa, e com o permanente

status quo

67


objetivo de organizar/ reorganizar o trabalho pedagógico desenvolvido no

espaço escolar.

No âmbito dos princípios, também é importante que o projeto político

pedagógico procure transformar a escola em um espaço público de debate,

onde, solidariamente, gestores, professores, alunos e a comunidade

circunvizinha sejam capazes de organizar as ações educativas. É

importante, além disso, procurar evitar os procedimentos burocratizados e

segmentados, tão enraizados nas redes de ensino, e buscar não ceder

passivamente às injunções hierárquicas externas. Esta é uma das formas de

se construir o espaço da identidade, da diversidade e da cidadania, uma das

diretrizes norteadoras da BCC-PE.

Do ponto de vista de seu conteúdo, o projeto político pedagógico da

escola deveria abranger as diversas dimensões da vida escolar. Em primeiro

plano, os objetivos curriculares, em harmonia com as finalidades mais

amplas da escola; a organização das ações pedagógicas, que incluem, entre

seus múltiplos aspectos, a formação de turmas e de grupos, o planejamento

do tempo escolar e das atividades fora da sala de aula e o processo de

avaliação da aprendizagem. Deveria também incluir a organização interna

da escola: estrutura, funcionamento, processo decisório, entre outros.

Segundo Veiga (2004, pp. 16-19), um item indispensável no projeto

político-pedagógico da escola é o da valorização do magistério, reconhecida

como permanente preocupação com formação inicial e continuada dos

quadros docentes e gestores e com as condições adequadas de trabalho para

esses quadros.

Para o presente documento da BBC-PE, o primeiro dos conteúdos

acima, os objetivos curriculares, são de especial importância. Além disso,

dentre os mecanismos por meio dos quais se produz a interação do

contexto social com o currículo, destacam-se a seleção e a organização dos

saberes, alvo da ação educativa da escola.

68


Considera-se que a seleção e a organização dos saberes que chegam à

porta da escola, o “texto escolar”, tem sido produzidas por setores da

sociedade que, de alguma forma, atuam no sentido de regular o

funcionamento escolar. Aí figurariam, por exemplo, formuladores de

política, autores de livros didáticos, meios de comunicação, instâncias de

formação inicial e continuada.

Por outro lado, caberia à escola, no âmbito de seu projeto, uma nova

seleção e organização dos saberes, para, assim, transformá-los em saberes a

serem ensinados. Este movimento é influenciado por práticas sociais

específicas da comunidade local, apresentando, às vezes, necessidades e

anseios não obrigatoriamente harmonizados com aqueles da sociedade

mais ampla.

Além disso, não se pode esquecer a sala de aula, espaço em que os

saberes a serem ensinados são transformados em efetivas aprendizagens,

por parte dos alunos, cabendo aos professores uma parte expressiva dessa

responsabilidade.

Voltam à cena, no contexto mais específico da organização curricular,

as duas idéias fundamentais já referidas, a autonomia e a responsabilidade,

que poderão, em grande parte das vezes, determinar o sucesso ou o fracasso

do projeto de aprendizagem, função maior de qualquer escola.

A autonomia surge então como uma necessidade, na medida em que

cabe à escola incorporar as práticas sociais de referência da comunidade em

que está inserida. A escola assume então um papel importante, na direção de

identificar saberes específicos, contemplados em sua proposta pedagógica.

Esses saberes refletiriam o que a Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional compreende como parte diversificada de uma proposta

curricular.

Não se pode esquecer que, como dito anteriormente, a dimensão da

autonomia aparece intrinsecamente associada a uma outra dimensão, a da

69


responsabilidade. Essa responsabilidade, por sua vez, se manifesta em duas

vertentes. Uma diz respeito à responsabilidade por um projeto maior de

escola, que responda às necessidades da sociedade mais ampla e, também,

da comunidade local. A segunda, inerente à própria função da escola, é a de

promover a efetiva aprendizagem dos alunos.

70


6. PRINCÍPIOS ORIENTADORES

6.1 A Matemática como forma de interação humana

6.2 O conhecimento matemático

Atividades matemáticas estiveram, em todas as épocas, entre as formas

de interação do homem com o mundo físico, social e cultural, em

intensidade e diversidade crescentes com a evolução histórica.

No mundo atual, podem ser observadas atividades matemáticas nas

mais diversas culturas, como respostas a um amplo leque de demandas. As

mais elementares ações cotidianas requerem competências matemáticas,

que se tornam mais complexas na medida em que as interações sociais e as

relações de produção e de troca de bens e serviços vão sendo diversificadas

e intensificadas. Na sociedade de hoje, permeada por tecnologias de base

científica e por crescente acúmulo e troca de informação, é consenso

reconhecer que as competências matemáticas se tornaram um imperativo.

As mudanças no mundo do trabalho têm sido rápidas e profundas, exigindo

capacidade de adaptação a novos processos de produção e de comunicação.

Dessa forma, são claras as articulações da Matemática com as práticas

e necessidades sociais, e isso dá suporte ao princípio de contextualização,

anteriormente mencionado neste documento. As conexões da Matemática

com as ciências e com as tecnologias são uma das vertentes indispensáveis

dessa contextualização. O estabelecimento de conexões de conceitos

matemáticos com outros conceitos matemáticos é outra dimensão da idéia

de contextualização, como se justifica a seguir.

As atividades matemáticas, movidas pela necessidade do homem de

organizar e ampliar seu conhecimento e por sua capacidade de intervenção

71


sobre os fenômenos que o cercam, geraram, ao longo da evolução histórica,

um corpo de saber a Matemática, que é um campo científico, extenso,

diversificado e, contrariamente ao que se pensa em muitos segmentos da

sociedade, um campo em permanente evolução nos dias atuais e não um

repertório de conhecimentos antigos e petrificados.

A Matemática pode ser vista como uma fonte de modelos para os

fenômenos nas mais diversas áreas. Tais modelos são construções abstratas

que se constituem em instrumentos para compreensão desses fenômenos.

Modelos matemáticos incluem conceitos, relações entre conceitos,

procedimentos e representações simbólicas que, num processo contínuo,

passam de instrumento na resolução de uma classe de problemas a objeto

próprio de conhecimento.

Na verdade, há uma via de mão dupla que leva, num sentido, dos

problemas dos outros campos da atividade humana para os modelos

matemáticos abstratos e vai, no outro sentido, das especulações internas à

Matemática para as aplicações, muitas delas novas e inesperadas.

Assim, aprofundar o conhecimento sobre os modelos matemáticos

fortalece a contribuição da Matemática para outras áreas do saber. No

sentido oposto, buscar questões cada vez mais complexas nos outros

campos do conhecimento promove o desenvolvimento de novos modelos

matemáticos. Essas duas ações fornecem bons alicerces para a prática da

interdisciplinaridade almejada nesta BCC-PE.

Modelos matemáticos são construídos com vários graus de

abrangência e de sistematização. Nos estágios mais simples, quando, ao

objeto do mundo físico constituído por uma caixa de papelão, se associa a

figura geométrica definida abstratamente como um paralelepípedo

retângulo, o que se faz é formular um modelo matemático para essa caixa.

Analogamente, funções lineares, quadráticas, exponenciais e

trigonométricas podem ser concebidas como modelos matemáticos para

72


fenômenos em que a variação de uma grandeza é relacionada com a

variação de outra. Tais modelos particulares são, quase sempre, enfeixados

em teorias matemáticas gerais que se constituem em modelos abstratos para

amplas classes de fenômenos em vários outros campos do saber. A

geometria euclidiana, a teoria das estruturas algébricas, a teoria das

probabilidades, são exemplos desses modelos matemáticos mais gerais.

Por outro lado, muitas vezes, parte-se de um conceito ou ente

matemático e procura-se no mundo físico um fenômeno ou objeto que o

represente. Neste caso, tal objeto ou fenômeno é chamado

do ente matemático. Assim, uma caixa de papelão pode ser um

modelo concreto da figura geométrica definida como paralelepípedo

retângulo. Outros exemplos são os denominados de

uso freqüente como recurso didático no ensino da Matemática. Em muitos

casos, tais materiais prestam-se a atividades de construção e manuseio por

parte dos alunos, e são, por vezes, denominados materiais de manipulação.

Outra classe importante de modelos concretos de entes matemáticos são os

desenhos, que cumprem papel importante nas atividades em que intervêm

as habilidades de visualização.

Outra característica importante do conhecimento matemático está

relacionada à sua metodologia de validação. Os homens recorreram, nas

práticas matemáticas, a diversos métodos para validar e organizar o

conhecimento nesse campo do saber. Dentre esses, o método axiomático-

dedutivo, em especial, a partir da civilização grega, predomina na

Matemática e assume a primazia de ser o único método aceito, na

comunidade científica, para comprovação de um fato matemático. Os

conceitos de axioma, definição, teorema, demonstração, são centrais nesse

método e, por extensão, passaram a ser, para muitos, a face mais visível da

Matemática.

No entanto, duas ressalvas se impõem. Primeiramente, o próprio

modelo

concreto

materiais concretos,

73


conceito de rigor lógico a ser atingido nas demonstrações mudou, no

decorrer da história, mesmo no âmbito da comunidade matemática.

Em segundo lugar, trata-se de um método de validação do fato

matemático, muito mais do que um método de descoberta ou de uso do

conhecimento matemático. Na construção efetiva desse conhecimento,

faz-se uso permanente da imaginação, de raciocínios indutivos, plausíveis,

de conjecturas, tentativas, verificações empíricas, enfim, recorre-se a uma

variedade complexa de outros procedimentos.

Contudo, é indispensável que, gradualmente, se estabeleça a diferença

entre os vários procedimentos de descoberta, invenção e validação e, em

particular, se compreenda a distinção entre uma prova lógico-dedutiva e

uma verificação empírica, baseada na visualização de desenhos, na

construção de modelos materiais ou na medição de grandezas.

O acervo acumulado do conhecimento matemático tem sido, a partir

de certo ponto de sua evolução, organizado em disciplinas e subdisciplinas,

tais como as conhecidas aritmética, álgebra, geometria, estatística,

probabilidade, entre outras. Entretanto, a Matemática não deve ser

encarada como uma justaposição de subdisciplinas estanques, mas como

um campo em que os conhecimentos são muito articulados entre si. O

conceito de número e as operações numéricas, por exemplo, permeiam

todas as áreas da Matemática. A resolução de equações algébricas repousa

em propriedades dos sistemas numéricos, a medição de grandezas

geométricas esteve sempre associada à produção de números, que estão,

também, na base da estatística e da probabilidade.

Outro aspecto importante da Matemática é a diversidade de formas

simbólicas presentes em seu corpo de conhecimento. Língua natural,

linguagem simbólica, desenhos, gráficos, tabelas, diagramas, ícones, entre

outros, desempenham papel central, não só para representar os conceitos,

relações e procedimentos, como também na própria formação desses

74


conteúdos. Por exemplo, um mesmo número racional pode ser

representado por símbolos tais como ¼, 0,25, 25%, ou pela área de uma

região plana ou, ainda, pela expressão 'um quarto'. Uma função pode ser

representada, entre outras possibilidades, por uma tabela, por um gráfico

cartesiano ou por símbolos matemáticos.

A convivência na sociedade atual, cada vez mais complexa, tem sido

marcada por graves tensões sociais, geradas por persistentes desigualdades

no acesso a bens e serviços e às esferas de decisão política. Tem sido

marcada, também, por uma supervalorização das idéias de mercado e de

consumo. Além disso, ainda prevalece no mundo uma ordem social

contrária aos princípios da solidariedade, da igualdade de oportunidades

para todos; contrária, ainda, ao estabelecimento de vínculos sociais e à

constituição da cidadania plena.

Na superação desse quadro indesejável, múltiplos papéis podem ser

atribuídos ao ensino de Matemática. Dois deles são mencionados a seguir.

Em primeiro lugar, deve-se defender um ensino que reconheça

saberes e práticas matemáticas dos cidadãos e das comunidades locais que

são competências prévias relativamente eficientes mas não se abdique do

saber matemático mais universal.

Em segundo lugar, é preciso desenvolver competências e habilidades

matemáticas que contribuam mais diretamente para auxiliar o cidadão a ter

uma visão crítica da sociedade em que vive e a lidar com as formas usuais de

representar indicadores numéricos de vários fenômenos econômicos,

sociais, físicos, entre outros.

6.3 A Matemática e a construção da cidadania

–

–

75


7. COMPETÊNCIAS E SABERES

Como afirmado anteriormente, construir uma base curricular que

privilegie a idéia de competência implica fazer escolhas que promovam no

sujeito as condições para que possa interpretar e intervir em sua realidade de

cidadão. Para tanto, é necessário romper com um ensino de Matemática

marcado pela concepção de que a aprendizagem de conteúdos matemáticos

levaria, de forma automática, à construção de competências. Pela simples

observação da realidade, não é difícil reconhecer o fracasso desse modelo.

Por outro lado, é preciso reconhecer que a construção de competências não

prescinde da construção de saberes, pois são exatamente tais saberes que

estão na base das competências. O trabalho com os saberes, no entanto,

deve ser orientado para as competências que se deseja que o aluno construa.

Nessa perspectiva, é indicado um conjunto de competências da área de

Matemática, advertindo-se que elas não esgotam todas as possibilidades,

nem devem ser vistas como verdades absolutas. Ao contrário, este elenco

pode e deve ser adaptado, em função das diversidades do projeto

pedagógico de cada escola.

Um conjunto de competências mais gerais inclui:

Estabelecer conexões entre os campos da Matemática e entre esta e

as outras áreas do saber.

Raciocinar, fazer abstrações com base em situações concretas,

generalizar, organizar e representar.

Comunicar-se utilizando as diversas formas de linguagem

empregadas na Matemática.

Resolver problemas, criando estratégias próprias para sua resolução,

desenvolvendo a imaginação e a criatividade.

Utilizar a argumentação matemática apoiada em vários tipos de

raciocínio: dedutivo, indutivo, probabilístico, por analogia, plausível,

etc.

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76


� Utilizar as novas tecnologias de computação e de informação.

Além dessas, deve-se desenvolver a sensibilidade para as ligações da

Matemática com as atividades estéticas no agir humano e, ainda, para

perceber a beleza das construções matemáticas, muitas vezes expressa na

simplicidade, na harmonia e na organicidade dessas construções.

Outras competências, igualmente fundamentais, estão associadas a

campos matemáticos mais específicos e são mencionadas a seguir.

As atividades matemáticas no mundo atual incluem, desde os níveis

mais primitivos aos mais complexos, a contagem de coleções, as

comparações e quantificações de grandezas e as codificações que estão

intrinsecamente associadas à aritmética, à álgebra e à combinatória. Ainda

nesse campo, convém referir-se à utilização do cálculo mental e das

estimativas em contagens, medições e cálculos.

Atividades de interação espacial com os objetos e os movimentos no

mundo físico acompanham as pessoas desde os primeiros dias, gerando seu

conhecimento geométrico.

Associadas ao campo da estatística, probabilidade e combinatória, são

cada vez mais relevantes as questões relativas a dados da realidade física ou

social, que precisam ser coletados, selecionados, organizados, apresentados

e interpretados criticamente. Também são importantes as competências

para fazer inferências com base em informações qualitativas ou dados

numéricos e lidar com o conceito de chance.

Buscar construir, com os alunos, as competências brevemente

mencionadas nos parágrafos anteriores, sem excluir outras a serem

formuladas, requer uma reflexão mais pormenorizada sobre os conteúdos

matemáticos envolvidos nessa construção. Convém esclarecer que, neste

documento, a expressão 'conteúdos matemáticos' refere-se a situações,

conceitos, representações e procedimentos matemáticos.

No ensino dos conteúdos matemáticos propostos a seguir, é

77


indispensável que sejam mobilizados, de forma sistemática, os recursos

metodológicos referidos anteriormente, bem como observados os

princípios norteadores expostos nas seções precedentes, em particular, a

contextualização e a interdisciplinaridade.

É importante que, ao ensinar Matemática, o professor não isole os

conteúdos em blocos estanques e auto-suficientes e, além disso, leve em

conta que a aprendizagem é mais eficiente quando os conteúdos são

revisitados, de forma progressivamente ampliada e aprofundada, durante

todo o percurso escolar. Estudos têm demonstrado que, para grande parte

dos conceitos e procedimentos trabalhados na escola, a aprendizagem não

se realiza num período muito limitado de tempo. Esse ponto de vista tem

levado algumas instituições escolares à adoção de ciclos mais extensos de

aprendizagem. Com base em um ponto de vista análogo, optou-se, neste

documento, por apresentar os conteúdos em três grandes etapas de

escolaridade: anos iniciais do Ensino Fundamental; anos finais do Ensino

Fundamental; e Ensino Médio.

Uma reflexão sobre conteúdos curriculares para a Educação Infantil e

para a Educação de Jovens e Adultos fica, dessa forma, para posteriores

desdobramentos desta BCC-PE.

Em cada etapa da escolaridade, os conteúdos serão apresentados em

blocos de conhecimentos. Porém, tal agrupamento visa, apenas, facilitar a

organização do trabalho pedagógico. É imprescindível que o professor

procure, de forma constante e sistemática, estabelecer relações entre os

diferentes blocos de conteúdos aqui propostos, a saber: a) números e

operações; b) geometria; c) álgebra e funções; d) grandezas e medidas; e)

estatística, probabilidades e combinatória.

78


7.1 A Matemática na primeira etapa do Ensino Fundamental

A criança, ao chegar à escola, traz consigo um conjunto de saberes

matemáticos construídos em interação com seu meio social. Trata-se,

então, de incentivá-la a utilizar tais conhecimentos para resolver situações

que apresentem significado para ela e que facilitem a construção de saberes

mais elaborados nas etapas posteriores. É recomendável que a introdução

dos conceitos, procedimentos, simbologia, nomenclatura e sistematização

característicos da Matemática enquanto conhecimento estruturado se faça

de forma progressiva e com extremo cuidado para que não se gerem

dificuldades de aprendizagem.

Nessa etapa da escolaridade, a Matemática adquire um aspecto mais

informal, e apresenta como referência o espaço social da criança. Por isso, é

fundamental que o professor resgate esse espaço para a construção dos

conceitos. A relação do aluno com o conhecimento é, de início,

marcadamente individualista (“meu quadrado”, “minha conta” ...), como

também o são as representações utilizadas por ele. Embora sirvam de ponto

de partida para a construção dos conceitos e possam, portanto, ser vistas

como normais, o professor é chamado a levar o aluno a perceber as

limitações dessas representações pessoais, por meio de atividades e de

debates coletivos em classe.

O apoio em materiais de manipulação também pode ser necessário

nessa etapa. Porém, é desejável que as situações criadas pelo professor

levem o aluno a operar mentalmente. Tal passagem, bastante delicada, deve

ser realizada de forma cuidadosa e sem imposições, deixando-se que o

próprio aluno perceba as limitações do material concreto.

A forte ligação entre a língua materna e a linguagem matemática

também é uma característica dessa etapa. Os símbolos matemáticos devem

aparecer não como uma imposição do professor ou como uma

79


característica do conhecimento matemático, mas como elementos

facilitadores da comunicação.

As relações entre causa e efeito e as inferências lógicas começam a

aparecer nessa fase. Os alunos começam a descobrir propriedades e

regularidades nos diversos campos da Matemática e cabe ao professor

construir situações que promovam a consolidação progressiva dessas

idéias, evitando, cuidadosamente, antecipar respostas a problemas e

questionamentos vindos do aluno, o que pode permitir o desenvolvimento

do pensamento lógico. A sistematização excessiva é totalmente

desaconselhável nessa etapa.

Nos anos iniciais da escolaridade, construir os

aparece como uma das primeiras tarefas da escola. Para

tanto, as situações propostas pelo professor devem possibilitar ao aluno

identificar um número natural em seus quatro aspectos: o de indicador da

quantidade de elementos de uma coleção discreta (cardinalidade); o de

medida de grandezas (2 quilos, 3 dias, etc); o de indicador de posição

(número ordinal); e o de código (número de telefone, placa de carro, etc.). É

preciso ressaltar, porém, que essas distinções não devem ser introduzidas

formalmente, mas construídas a partir de situações de uso do número

natural.

É também em seu cotidiano social que o aluno toma contato com as

As atividades propostas devem,

então, buscar números que sejam familiares aos alunos, nos primeiros anos

de escolaridade. Nessa fase, ocorrem escritas diretamente articuladas com a

linguagem natural, como, por exemplo, escrever 136 como 100306. A partir

da observação da escrita de números familiares é que o aluno vai


significados dos

números naturais

primeiras leituras e escritas numéricas.

80


construindo os procedimentos adequados para lidar com as representações

numéricas. Estudos têm mostrado que a introdução precoce de

procedimentos muito rígidos de escrita dos números pode, muitas vezes,

provocar o aparecimento de dificuldades de aprendizagem. Nos anos finais

dessa etapa de escolaridade, essa abordagem articulada com o ambiente

social do aluno pode facilitar a interpretação e escrita de outros números,

incluindo a

Nessa fase, ao chegar à escola, o aluno já apresenta certa familiaridade

com as São as situações trazidas de seu

convívio social que deverão servir de ponto de partida para o trabalho com

tais operações. É muito importante fugir do esquema, ainda bastante

encontrado nas escolas, de procurar que o aluno automatize os resultados

das operações básicas de adição e multiplicação com números de um dígito

(tabuada, fatos básicos), seguindo-se da apresentação dos algoritmos e de

uma seqüência de problemas. Atividades baseadas em situações de vida do

aluno levam, progressivamente, à automatização da tabuada sem a

necessidade de exercícios de memorização, que apenas criam a idéia de uma

matemática cansativa e desprovida de significados.

As situações mencionadas acima também são bastante propícias para

que se explorem os

Por exemplo, para a adição e a subtração devem ser

propostas, aos alunos, atividades que levem à compreensão de: a) ações de

juntar, separar e tirar; b) transformações de quantidades, com aumento ou

diminuição; c) comparação de duas quantidades. Para a multiplicação, são

essenciais situações em que surjam: a) a idéia de multiplicação comparativa

(duas vezes mais...); b) a noção de proporcionalidade (um custa 2 reais, 3

quanto custam?); a contagem de configurações retangulares (em 6 filas de 5

bancas, quantas bancas há?); a combinação de elementos de diferentes

maneiras (3 camisas e 4 saias). A divisão pode ocorrer em situações de: a)

escrita dos números racionais em sua forma decimal.

operações fundamentais.

diferentes significados das operações

fundamentais.

81


partição (repartir igualmente 24 chocolates para 6 crianças); b) busca do

número de cotas (quantas prestações de 24 reais são necessárias para pagar

72 reais); c) de proporcionalidade (se 8 viagens custam 24 reais quanto custa

uma viagem?).

Os para as operações devem ser

construídos de forma bem cautelosa. Um primeiro aspecto a observar é que

os alunos desenvolvem estratégias pessoais de cálculo escrito, que devem

ser compreendidas, valorizadas pelo professor e confrontadas com as de

outros alunos. A aquisição da habilidade de calcular com os algoritmos

convencionais das quatro operações, em papel e lápis, deve ocorrer ao

longo de um processo gradual, se desenvolver durante toda a primeira etapa

do Ensino Fundamental e, até mesmo, atingir a etapa posterior de

escolarização. É fundamental nesse processo, o trabalho com o

quase sempre apoiado em diversas estratégias de decomposição

dos números e de realização das operações. Fazer

são outras habilidades numéricas a serem

desenvolvidas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. O uso da

nessa fase, deve ser bastante criterioso. A familiaridade com

tal recurso de cálculo deve ser adquirida com base em atividades que

incentivem o aluno a fazer explorações com números e com as operações, a

confrontar os resultados com o cálculo mental e as estimativas. Por outro

lado, é necessário cautela para que o uso da calculadora não se constitua em

entrave ao desenvolvimento de outras formas de realização dos cálculos

numéricos.

Explorar os diversos algoritmos de cálculo mencionados é um dos

instrumentos para a construção do significado do

Além disso, na articulação entre o cálculo escrito ou mental e as

propriedades do sistema de numeração decimal, é bastante aconselhável o

trabalho com números decompostos em sua forma polinomial, por

algoritmos escritos convencionais

cálculo

mental,

estimativas e

arredondamentos

calculadora,

sistema de numeração

decimal.

82


exemplo, compreender que 345 significa 300 mais 40 mais 5.

O estudo da nos números naturais é

fundamental para o desenvolvimento de competências numéricas.

Atividades que envolvam a reta numérica podem contribuir para a

construção de idéias como maior, menor, bem como para a identificação de

um número entre dois outros.

Propor situações cujas soluções não se encontram no campo dos

números naturais pode levar o aluno a perceber a necessidade de ampliar

seu universo numérico para incluir os A literatura em

Educação Matemática tem mostrado a riqueza dessas situações, entre as

quais se destacam as que envolvem as frações. Desde cedo, a criança, em seu

universo social, entra em contato com as idéias de “metade da turma”, “um

terço da largura da mesa”, “a quarta parte da fita”, “meio quilo de carne”,

etc. Como mostram os exemplos, as frações surgem em situações que

envolvem, quase sempre, uma grandeza, seja discreta (uma coleção de

objetos ou entidades), seja contínua (comprimento, área, volume, massa,

etc.). Explorar essa diversidade de contextos certamente contribui para a

evolução da compreensão do conceito de fração. As situações envolvendo

frações aparecem, também, associadas ao quociente de dois números

naturais, como no exemplo: “repartir igualmente dois chocolates para três

pessoas) e, ainda, para representar uma razão entre duas quantidades (numa

turma, a razão do número de meninas para o de meninos é de 2/3).

Explorar as denominadas frações fundamentais (1/2, 1/3, 1/4, etc.) é um

dos bons caminhos para auxiliar o aluno na compreensão do próprio

conceito de fração, além de contribuir para a aprendizagem da equivalência,

da comparação e das operações básicas no âmbito das frações. Por exemplo,

“3/4 da fita” pode ser entendido como “três pedaços de ¼ da fita”, o que

levaria à operação “3 x ¼ = ¾). De modo análogo, outras situações

contribuem para idéias como “um quinto mais dois quintos resulta em três

relação de ordem usual

números racionais.

83


quintos” (1/5+2/5=3/5); “um quarto cabe oito vezes em duas unidades”

(2:1/4=8). Os algoritmos das operações fundamentais (adição, subtração,

multiplicação e divisão) devem receber um tratamento gradual e ancorado

em situações significativas, evitando-se, a todo custo, a redução ao

automatismo de aplicação de regras. Além disso, é recomendável que parte

do estudo das operações, em particular, a adição e a subtração com frações

de denominadores diferentes, e a multiplicação e a divisão de frações sejam

deixadas para a etapa seguinte de escolarização.

Os números racionais, no entanto, não são representados apenas por

frações. Cada vez mais, a desses números ganha

importância nas práticas sociais e, por isso, torna-se indispensável no

ensino da Matemática. A articulação da representação decimal dos números

naturais com tal representação no caso dos racionais é uma tarefa difícil,

mas necessária, a ser realizada nessa fase da escolarização. São boas

auxiliares para isso as atividades com o nosso sistema monetário, que devem

estar presentes desde o início da formação do aluno.

A construção da idéia de pode ser iniciada, nessa etapa,

em estreita relação com situações encontradas no cotidiano do aluno. As

porcentagens utilizadas devem ser simples, do tipo 10%, 20%, 50%, etc, de

modo a favorecer a passagem para outras representações, tais como

décimo, quinta parte, metade, etc., além do emprego do cálculo mental.

É preciso evidenciar que cabe sempre ao professor determinar a

profundidade com que os conceitos serão explorados em sua sala de aula,

em função do desenvolvimento dos alunos. E mais, nessa etapa de

escolaridade, é importante que os conceitos matemáticos sejam

construídos como respostas a problemas e que devam ser priorizados

problemas que pertençam ao universo sociocultural do aluno. É

recomendável que se evitem os excessos na sistematização e se garanta que

representação decimal

porcentagem

84


as atividades propostas favoreçam o envolvimento efetivo do aluno na

aprendizagem da Matemática.

Durante muito tempo, a organização dos conteúdos escolares de

Matemática foi realizada em três blocos, geometria, aritmética e álgebra.

Usualmente, o estudo dos números tem sido associado ao campo da

aritmética, enquanto o trabalho com as “letras” tem sido ligado à álgebra.

Na realidade, as tendências atuais em Educação Matemática encaram a

álgebra não mais como um bloco de conteúdos, mas como uma forma de

pensar matematicamente, caracterizada, entre outros aspectos, pela busca

de generalizações e de regularidades. Adotado esse ponto de vista, é

recomendável que o ensino de álgebra seja desenvolvido desde a primeira

etapa do Ensino Fundamental, com o cuidado de não o reduzir a simples

manipulação simbólica.

Destaca-se, com relação à formação em álgebra, não o trabalho com

símbolos, mas a busca, por parte de aluno, de identificar

sejam elas numéricas, de figuras ou de outro tipo. As

atividades propostas pelo professor devem, entre outros aspectos, procurar

levar o aluno a identificar os elementos e as regras de formação dessas

seqüências. Tal trabalho pode ser muito bem articulado com o estudo dos

números, em especial com o emprego da

Outra articulação importante com os números e suas operações pode

ser efetivada em situações em que o aluno seja levado à

em uma igualdade matemática. Nesse nível de

ensino, tais situações podem ser exploradas utilizando a idéia de operações

inversas, como, por exemplo, “determinar o número que, multiplicado por


regularidades em

seqüências,

reta numérica.

determinação do

elemento desconhecido

85


quatro, é igual a vinte”. Porém, é preciso cautela na utilização da linguagem

simbólica convencional na Matemática, pois as representações próprias dos

alunos merecem muita atenção. A familiaridade deles com as operações

inversas será uma das bases para o progressivo emprego da simbologia

convencional da álgebra. Em geral, o efetivo trabalho com “letras” somente

será realizado na etapa posterior de escolaridade.

O pensamento funcional também deve ser valorizado nessa etapa de

escolaridade. Em particular, a noção de pode ser

introduzida por meio de situações ligadas ao cotidiano do aluno. Por

exemplo, “se um pão custa dez centavos, três pães custam trinta centavos”.

Nesse sentido, as situações e problemas devem ser elaborados de forma a

permitir que o aluno desenvolva estratégias próprias de resolução, sendo

desaconselhável a apresentação de regra fixas ou algoritmos únicos. Essas

situações podem ser uma ótima ocasião de promover a articulação com o

bloco do tratamento da informação, nas atividades com gráficos de

segmentos. O aluno poderá, então, construir a associação da

proporcionalidade entre grandezas com o gráfico linear.

Estudos em Educação Matemática também têm demonstrado que,

nos anos finais dessa etapa de escolaridade, os alunos demonstram a

competência de resolver, utilizando estratégias próprias, situações simples

envolvendo a proporcionalidade inversa entre grandezas. Por exemplo, se

ele gasta certo tempo para se deslocar de sua casa até a escola, dobrando seu

ritmo (sua velocidade) ele gastará, aproximadamente, a metade do tempo

para cumprir o mesmo percurso, triplicando o ritmo, o tempo cai para a

terça parte, e assim sucessivamente.

Usualmente, o ensino de grandezas e medidas tem privilegiado a

apresentação das unidades padronizadas de comprimento, massa, tempo,

proporcionalidade


86


área e capacidade; além disso, tem sido dada excessiva importância à

conversão de unidades de medida. Em alguns casos, chega-se à

apresentação e à aplicação de fórmulas de cálculo de perímetro e de área de

figuras planas. Essa estratégia tem se mostrado não somente ineficiente em

relação à aprendizagem, mas, muitas vezes, geradora de dificuldades para

futuras aprendizagens.

Embora a criança nessa faixa de escolarização já chegue na escola com

algum conhecimento sobre grandezas, ainda não apresenta, principalmente

nos primeiros anos, compreensão de seu significado. São comuns as

confusões, quando se considera um objeto, entre seus diversos

“tamanhos”, que ora é o comprimento, ora é a área ou mesmo o volume.

Além disso, apesar de a criança estar exposta ao uso social freqüente das

unidades de medida convencionais, falta-lhe, muitas vezes, uma estimativa

da ordem de grandeza dessas unidades de medida. Por exemplo, ela sabe

que o comprimento de uma avenida é de três quilômetros, mas ainda não

tem a compreensão do comprimento (ou distância) equivalente a um

quilômetro. As situações apresentadas podem, então, nos anos iniciais, levar

o aluno a compreender o e

desenvolver a capacidade de estimativa de medidas. Por exemplo,

compreender o que significa o comprimento de um segmento de linha reta

ou de linha curva; saber que comprimentos podem ser medidos com um

metro e não com um metro quadrado; ser capaz de estimar uma distância

(ou comprimento) de um metro, a área de um metro quadrado, e assim por

diante. Convém destacar a necessidade de ligação do estudo das grandezas e

medidas a situações do cotidiano do aluno.

A construção da idéia de também pode ser realizada nos

primeiros anos dessa etapa de escolarização. As situações apresentadas ao

aluno podem levá-lo a compreender que grandezas podem ser medidas e

comparadas. É importante, nesse momento, não dar exclusividade à

significado de algumas grandezas

medição

87


utilização de unidades do sistema métrico, insistindo-se na utilização de

unidades não-convencionais que sejam significativas para a criança.

Quando se faz uso da medição para comparar duas grandezas, é

preciso que seja utilizada a mesma Por exemplo, ao

comparar dois comprimentos medidos em “palitos”, é necessário que os

“palitos” empregados sejam do mesmo comprimento nas duas medições

efetuadas. Por isso, na comunicação entre culturas, foi sendo estabelecida,

progressivamente, uniformização das unidades adotadas, para que os dados

envolvendo medidas de grandezas pudessem ser comparados. Por exemplo,

para estimar o comprimento do corredor da escola quando são utilizados os

passos de dois alunos, as medidas do referido comprimento podem ser

diferentes. A sistematização das unidades convencionais de medida

somente deve ser realizada após a construção dos significados das

grandezas envolvidas. É importante ressaltar que essas unidades devem

estar intimamente ligadas ao cotidiano do aluno. Por exemplo, a conversão

de uma medida em hectômetros para decâmetros não apresenta nenhum

valor formativo, enquanto lidar com hectares ou braças pode estar

relacionado às necessidades do aluno, e contribua mais para sua formação.

O trabalho com as (comprimentos e

perímetros, áreas, etc.) deve merecer especial atenção nesse momento de

escolarização. A apresentação de fórmulas e sua aplicação em uma série

exaustiva de problemas têm-se mostrado ineficaz e geradora de obstáculos

futuros, como, por exemplo, a confusão entre perímetro e área. É

importante que as situações apresentadas pelo professor propiciem ao

aluno construir a distinção entre os três elementos envolvidos no trabalho

com as grandezas geométricas, a figura (quadrados, retângulos, etc.), a

grandeza associada à figura (comprimento de 2m, perímetro de 12m, 4m de

área, capacidade de 30 l, etc.) e o número associado à medição dessa

grandeza numa dada unidade (2, 12, 4, etc.).

unidade de medida.

grandezas geométricas

2

88


Nos anos iniciais dessa etapa, é fundamental a apresentação de

situações que levem o aluno a

Por exemplo, verificar que “a distância da escola à padaria é

maior que a distância da escola ao supermercado”, identificar que “em certo

recipiente cabe mais água que em outro”, etc. Também podem ser

trabalhadas situações que explorem a

Por exemplo, situações em que figuras diferentes tenham o mesmo

perímetro; em que recipientes diferentes tenham a mesma capacidade, etc.

É igualmente importante que o aluno compreenda que o

quando se realiza a medição, depende da unidade

escolhida. Assim, certa área não é igual a dois; de fato, a área pode medir

dois, ou quatro, ou oito, etc., dependendo da unidade escolhida.

É preciso, porém, lembrar que a exploração de deve ser

deixada para a etapa de escolarização seguinte. Em classes em que o

professor perceba que as construções anteriormente citadas já se

apresentam consolidadas, a expressão que fornece a área do retângulo pode

ser sistematizada, a partir dos resultados obtidos pelos alunos em situações

associadas às disposições retangulares. Por exemplo, em uma situação de

determinação da medida da área de um retângulo em papel quadriculado, o

aluno pode perceber que não há necessidade de contar todos os

quadradinhos da figura, realizando a multiplicação do número de

quadradinhos em um dos lados pelo número de quadradinhos no lado

adjacente.

Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, o trabalho com a geometria

deve estar centrado na exploração do espaço que envolve o aluno. As

situações em que o aluno seja levado a se que o cerca

comparar grandezas, sem recorrer a

medições.

distinção entre figura e grandeza.

número

associado à grandeza,

fórmulas

7.5 Geometria

situar no espaço

89


devem ser particularmente exploradas. Assim, em momentos iniciais

podem ser propostas atividades que o levem a compreender as idéias de:

pontos de referência; deslocamentos: esquerda; direita; acima; abaixo; etc.

Essas situações podem avançar na direção de analisar deslocamentos,

verificando os mais longos e os mais curtos, por exemplo. O trabalho com

malhas, mapas e croquis pode contribuir bastante para o desenvolvimento

dessas idéias.

É também no espaço que cerca a criança dessa etapa, que ela encontra

as diferentes planas e espaciais. As situações

propostas pelo professor devem, então, levar o aluno a identificar

propriedades comuns e diferenças entre essas diversas figuras, sem,

contudo, haver a preocupação excessiva com suas denominações. Por

exemplo, nessa etapa de escolaridade, é bastante comum o aluno denominar

o paralelepípedo por retângulo. É desejável que a atuação do professor se

dirija não para enfatizar a nomenclatura das figuras, mas para destacar suas

propriedades distintivas ou comuns. Por exemplo, observar que um

retângulo é uma figura plana, enquanto o paralelepípedo é espacial.

Essa distinção pode ser facilitada no trabalho com, por exemplo,

planificações de sólidos geométricos e suas representações, sem,

entretanto, buscar a apresentação de procedimentos formais de

representações planas. As com o uso de

instrumentos de desenho, também podem contribuir para a identificação

das primeiras propriedades das figuras planas. É importante, porém, que o

trabalho não se restrinja à apresentação de seqüências de etapas de

construção, que acabam por esconder do aluno seus significados.

Associada à idéia de proporcionalidade, a noção de pode

ser iniciada nos anos iniciais do Ensino Fundamental. É preciso esclarecer,

porém, que essa não é uma idéia que se apresenta de forma pronta e

definitiva. Sua construção demanda um longo tempo, e somente será

figuras geométricas,

construções geométricas,

semelhança

90


consolidada em etapas posteriores da escolaridade. Nessa etapa, as

atividades envolvendo malhas são fundamentais para as primeiras

construções do conceito. Podem-se explorar malhas de diferentes tipos

(quadradas, retangulares, triangulares), e situações que levem o aluno a

perceber transformações que ampliem, deformem, reduzam ou

mantenham inalteradas figuras planas e suas propriedades. Atividades de

ampliação e redução de figuras planas por homotetias, no contexto de papel

branco, são também accessíveis a alunos dos anos finais desse ciclo da

aprendizagem.

A Matemática apresenta-se como um campo do saber com um papel

central no desenvolvimento de competências ligadas ao questionamento,

ao estabelecimento de relações e conjecturas e à interpretação de

informações e dados da realidade cotidiana do cidadão. Essas competências

não podem ser desenvolvidas apenas com a construção de gráficos e

tabelas. É preciso que sejam desenvolvidas competências associadas: à

formulação de questões que envolvam a obtenção de dados; à coleta, à

organização e à apresentação de informações; à observação e à

interpretação de fenômenos.

É recomendável que se leve em conta a curiosidade, muitas vezes

presente na criança, para se desenvolver a competência para formular

questões que envolvam a procura de informações por parte dos alunos. Por

exemplo, “Na minha turma, a que horas cada um acorda nos dias de aula?“

Obter as informações, organizá-las por diversos meios é o passo

importante seguinte. Destacam-se, na organização e napresentação de

dados, as tabelas e os gráficos.

O trabalho com deve propiciar ao aluno


tabelas e gráficos

91


compreender essas formas de representação como facilitadoras da

organização de informações. Tabelas simples podem ser construídas pelos

alunos desde os primeiros anos dessa etapa de escolaridade. Da mesma

forma, estudos têm mostrado que a construção de gráficos de barras

elementares pode auxiliar bastante o desenvolvimento de atitudes de

observação e realização de inferências. É preciso ressaltar, porém, que não

se pode esperar de alunos dessa fase a construção formal de gráficos; por

exemplo, a correta representação das escalas nos eixos somente será

completamente efetiva em etapas posteriores da vida escolar do aluno.

A observação e a interpretação das informações contidas nas tabelas e

nos gráficos podem levar a discussões relevantes para o estabelecimento de

relações entre as variáveis envolvidas no fenômeno observado.

Uma oportunidade privilegiada de articulação desse bloco com o

campo das operações numéricas é a exploração das idéias de

O professor pode elaborar situações em que o aluno seja

levado a realizar diferentes combinações de elementos. Por exemplo,

situações em que se pergunte ao aluno, diante de duas calças e três camisas,

de quantas maneiras diferentes ele pode combiná-las e quais são essas

maneiras.

Da mesma forma, a idéia de pode ser trabalhada nessa etapa,

preparando o aluno para a construção da idéia de probabilidade, a ser

elaborada posteriormente. Por exemplo, podem ser elaboradas situações

em que o aluno deva perceber que, ao lançar uma moeda, há metade de

chance de sair cara e metade de sair coroa, etc.

combinatória.

chance

92


8. A MATEMÁTICA NA SEGUNDA ETAPA DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Essa etapa de escolaridade pode ser vista como continuação da

anterior, ou seja, como avanço, ampliação e consolidação das

aprendizagens realizadas anteriormente. Isso significa que, nessa fase, o

professor precisa conhecer bem as aprendizagens já realizadas pelos alunos,

para evitar o aparecimento de rupturas que o possam prejudicar. Partir da

premissa de que o aluno não realizou adequadamente aprendizagens

anteriores, repetindo certos conceitos de forma esquemática e pouco

significativa, pode levar o aluno ao desinteresse e à desmotivação. Por outro

lado, considerar as aprendizagens anteriores como definitivamente

construídas, tem criado barreiras para que o aluno atribua significado aos

novos conhecimentos visados, em particular, no que diz respeito ao

conhecimento mais abstrato e simbólico da Matemática.

Por exemplo, é normal que os alunos cheguem a esse nível de ensino

sem conseguir utilizar de forma adequada a linguagem matemática, o que

não significa ausência de aprendizagens anteriores. Cabe, então, ao

professor identificá-las e utilizá-las como ponto de partida para as novas

aprendizagens e para a ampliação dessa linguagem. Não se espera, porém,

que isso esteja plenamente consolidado mesmo ao fim dos anos finais do

Ensino Fundamental.

O espírito crítico e questionador é uma marca bastante forte nessa

fase. Em relação à Matemática, aparecem questões relativas à utilidade de

certos conceitos, ao processo de sua construção, etc. Boas respostas a tais

questões somente podem ser obtidas se o conhecimento matemático

consegue ser portador de significados para o aluno. A construção desses

significados somente é possível, nessa etapa da escolarização, se o aluno

percebe a construção desse conhecimento como resposta a problemas que

93


lhe são apresentados.

É na elaboração de estratégias e na resolução de problemas que o aluno

estabelece processos cognitivos importantes, que não podem ser

desenvolvidos por meio de um ensino baseado na memorização sem

compreensão ou na sistematização precoce de conceitos.

A capacidade de realizar inferências e deduções desenvolve-se de

maneira importante nessa etapa. As situações propostas pelo professor

devem, então, oferecer oportunidades para que o aluno possa confrontar

suas idéias e estratégias com as de seus colegas e as do próprio professor e,

com isso, validá-las ou reformulá-las. É desejável que esses processos não

venham acompanhados, nessa etapa, de linguagens e sistematizações

finalizadas. É preciso que o professor leve isso em consideração para criar

atividades em que tais processos se consolidem cada vez mais.

Os alunos interagem de forma mais aprofundada com seu contexto

social, e muitos deles já estão inseridos no mercado de trabalho.

Apresentam também preocupação cada vez maior com seu projeto de vida.

É preciso, então, que a Matemática se constitua em um elemento

importante na construção desse projeto, e que o aluno compreenda sua

importância, tanto em seu ambiente social, como para a continuação de

seus estudos.

O trabalho com os deve ser visto como a

continuação e a consolidação das aprendizagens anteriores, principalmente

em relação à escrita e à leitura desses números. A estrutura do

vai sendo progressivamente consolidada, e as

atividades em que sejam exploradas, a composição e a decomposição de


números naturais

sistema de

numeração decimal

94


números em sua forma polinomial contribuem bastante para a

compreensão da mencionada estrutura.

Além disso, com base na compreensão do sistema de numeração

decimal e de suas propriedades, o aluno será capaz de compreender o

funcionamento dos das operações

com os diferentes tipos de números. Porém, tais algoritmos não devem ser

os únicos a merecer a atenção no ensino. Destaca-se, a esse respeito, que sua

compreensão pode ficar bastante facilitada a partir de situações de

em que os alunos sejam levados à explicitação de suas estratégias.

O professor pode explorar, por exemplo, a relação entre o cálculo mental de

35+17 (30+10, 5+5, +2) com o algoritmo da adição com reserva. Além

disso, o cálculo mental, associado ao uso da e à realização de

estimativas e de arredonda-mentos, pode contribuir para que o aluno

desenvolva a capacidade de análise de resultados obtidos como respostas a

problemas.

Os conceitos de

consolidam-se a partir da compreensão das propriedades desses números.

É preciso, porém, que as situações apresentadas pelo professor permitam

que essas idéias sejam construídas como respostas a problemas, evitando-se

o trabalho baseado exclusivamente na aplicação de técnicas ou dispositivos

práticos.

Situações que o aluno encontra em seu contexto social devem ser

tomadas como ponto de partida para a apresentação dos

Dessa forma, tais números podem ser vistos como necessários

para a ampliação dos números naturais. As regras das com esses

números não devem ser apresentadas prontas e acabadas, mas pela

observação de regularidades e aplicação das propriedades dos números

naturais. Por exemplo, para se concluir que 2.(-2)=-4, pode-se observar a

seqüência 2.(2); 2.(1); 2.(0); 2.(-1); 2.(-2).

algo-ritmos escritos convencionais

cálculo

mental,

calculadora

múltiplos e divisores de um número natural

números

inteiros.

operações

95


O conceito de tanto em sua representação

fracionária, como em sua representação decimal, também deve ser

ampliado e consolidado sem que o termo consolidação seja entendido

como a memorização de procedimentos de cálculo. Os diferentes

devem ser aprofundados: parte-

todo; quociente entre dois números inteiros; medida; razão; e operador.

Esta última idéia, que aparece estreitamente associada às

deve vir acompanhada de significado que a

justifique, como, por exemplo, a compreensão de que a metade de seis

corresponde a ½ x 6. A construção dos procedimentos operatórios com

esse tipo de número é uma aprendizagem lenta e que não pode ser finalizada

em um tempo bem definido. A equivalência de frações ainda deve ser

tomada como elemento principal na aprendizagem das operações com as

frações. O mais importante é que o aluno seja capaz de construir significado

para essas operações. Por exemplo, mais importante do que interpretar a

divisão do racional pelo racional como o “produto de pelo inverso de

” seria compreender que tal divisão significa identificar “quantas vezes

cabe em ” ou, ainda, fazer apelo à idéia de divisão como operação inversa

da multiplicação.

A noção de tem suas aplicações ampliadas nessa fase do

ensino. As atividades propostas pelo professor devem permitir ao aluno

não somente realizar cálculos de porcentagens, mas determinar os valores

de reajustes e descontos, decidir a melhor forma de pagar uma compra,

determinar o percentual total a partir de composição de porcentagens, etc.

É nessa etapa de escolaridade que tem início a construção do

significado de pela insuficiência dos números

racionais para resolver determinados problemas de medição abstrata de

grandezas no âmbito da Matemática. Os irracionais devem ser vistos como

números que não podem ser expressos por um quociente de inteiros. Sabe-

número racional,

significados dos números racionais

operações com

os números racionais,

a b a

b b

a

porcentagem

número irracional,

96


se que os radicais de números inteiros são, em geral, números irracionais.

Por exemplo, toda raiz quadrada de um número que não é um quadrado

perfeito é irracional. No entanto, não é correto induzir o aluno a pensar que

esses são os únicos irracionais que ocorrem em Matemática. Muito menos

se justifica a excessiva atenção que usualmente é dada ao cálculo com

radicais.

Na escola básica, pode-se definir um número irracional como uma

dízima infinita e não-periódica. Dessa maneira, tem-se um instrumento

conceitual capaz de “produzir” números irracionais: basta definir

seqüências numéricas infinitas, garantindo-se a não-periodicidade dessa

seqüência. Por exemplo: o número b = 0,1234567891011121314... ,

construído com a própria seqüência numérica dos naturais é irracional.

Essa abordagem é útil, ainda, para dar significado ao fato de que um número

irracional pode ser aproximado por números racionais com a aproximação

que se deseje. Tais aproximações podem ser obtidas aumentando o número

de dígitos nas dízimas finitas extraídas da dízima infinita que define o

irracional. No exemplo acima, os números racionais 0,123; 0,1234; 0,12345;

etc. são aproximações racionais do número irracional b.

A compreensão do significado de cada um dos tipos de números é que

vai servir de ponto de partida para a compreensão da desses

números. No caso dos números racionais representados na forma decimal,

a relação de ordem “maior do que” (ou “menor do que”) tem sido fonte de

muita dificuldade na aprendizagem. É comum o aluno afirmar,

erroneamente, que 3,15 é maior do que 3,3. Convém observar que

atividades com a são um recurso importante na abordagem

dessas questões.

ordenação

reta numérica

97



noção de variável

expressão algébrica

equações de primeiro grau

resolução de equações de primeiro grau

O trabalho com a álgebra deve ser visto como a ampliação do que é

estudado na primeira etapa do Ensino Fundamental. Com o surgimento das

“letras”, é importante que o aluno construa a e

reconheça uma como a interpretação de uma relação

entre duas grandezas. Isso indica que o trabalho no nível simbólico, com a

ênfase na manipulação de “letras”, tão comum nos anos iniciais dessa etapa,

deveria ser evitado.

A ampliação do estudo das seqüências, iniciado anteriormente, pode

contribuir para dar significado às expressões algébricas, principalmente em

atividades que tenham por objetivo determinar a “lei de formação” das

seqüências.

As devem aparecer de forma natural,

não como um objeto de estudo em si mesmo, mas como uma representação

de determinado problema a ser resolvido. Assim, cabe ao professor

elaborar situações em que, cada vez mais, os procedimentos aritméticos

sejam considerados pouco econômicos para resolvê-las, levando os alunos

à necessidade de estabelecer outros processos. É preciso, porém, levar em

consideração que a passagem acima referida não se dá na forma de uma

ruptura, pois há alunos que, sistematicamente, buscam procedimentos

aritméticos, sempre que for possível.

As técnicas de também

não devem ser consideradas como objetos de estudo, em especial nos anos

iniciais da etapa de ensino em tela. Propor situações de resolução de

problemas em que as equações sejam ferramentas apropriadas poderá levar

o aluno, gradativamente, à construção e à sistematização dessas técnicas. A

retomada da idéia de operações inversas, iniciada na etapa anterior, poderá

facilitar bastante a construção desse processo.

98


A ampliação da idéia de generalização, por meio de expressões

algébricas, é que vai dar origem a algumas

Nesse momento, é imprescindível a articulação das

propriedades das operações aritméticas com a geometria e as grandezas

geométricas. Por exemplo, o aluno pode identificar a expressão algébrica

com a que fornece a área de um quadrado de lado Ressalta-

se, mais uma vez, que atividades envolvendo expressões algébricas podem

ser vistas como uma ferramenta para a resolução de problemas, e não como

um objeto de estudo independente.

Tem-se observado que uma abordagem das

apenas pela aplicação direta da fórmula de Bhaskara termina por

provocar dificuldades posteriores. Os alunos acabam tomando-a como

método único e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de

resolver o problema. Assim, é recomendável que, nessa etapa, os alunos

sejam incentivados a resolver equações de segundo grau utilizando a

fatoração e o processo de completar quadrados, que, além de serem

métodos eficazes podem dar significado à fórmula de Bhaskara.

O estabelecimento de relações entre grandezas deve ser tomado como

ponto de partida para o estudo da noção de O aprofundamento

dessa noção deve ter sua origem em atividades ligadas a situações do

cotidiano do aluno, evitando-se a sistematização precoce. Situações que

envolvam a proporcionalidade também podem ser aprofundadas nessa

fase. Em particular, a articulação de problemas envolvendo

com o estudo da constitui-se em um

tópico relevante.

Nessa fase de escolaridade, a idéia de é ampliada,

contemplando as medidas relativas a comprimento, área, volume

fatorações de expressões

algébricas simples.

(a+b)² (a+b).

equações do segundo

grau

função.

proporcionalidade função linear


medição

99


(capacidade), ângulo, tempo, massa e temperatura, sempre em situações que

permitam dar significado a essas grandezas. As atividades envolvendo o

sistema monetário devem dar continuidade ao que foi feito na primeira

etapa do Ensino Fundamental. O trabalho baseado exclusivamente em

transformações de unidades, sem que o aluno consiga perceber as relações

entre elas, deve ser evitado.

A necessidade do emprego de

deve ser enfatizada por meio de atividades que tenham sentido para o aluno.

Outras unidades de medida podem ser introduzidas e ampliadas, como, por

exemplo, as unidades agrárias (particularmente aquelas mais próximas do

contexto dos alunos), as utilizadas no contexto da informática (Kb, Mb,

etc.) e aquelas relativas a grandezas determinadas pela razão de duas outras

(KWh, velocidade, densidade, etc.). No caso da grandeza volume, é

desejável que se compreenda capacidade como o volume interno de

determinados sólidos e não como a “quantidade de líquido” em tal

recipiente, como muitos são levados a pensar, como conseqüência do

ensino usual.

No trabalho com as a busca de dissociação

entre as figuras (triângulo, quadrilátero, etc.), as grandezas associadas à

figura (3m, 4cm² , 12 m3, 30º , etc. ) e o número associado à medição dessas

grandezas (4, 12, 30, etc.) deve ser amplificada.

Iniciar atividades que relacionem a área de algumas figuras planas com

a área do retângulo permite o estabelecimento de expressões algébricas que

possibilitem generalizar procedimentos de medidas de áreas a outras

figuras, levando, assim, à sistematização de algumas (áreas de

quadrados, paralelogramos, triângulos, trapézios, losangos e comprimento

da circunferência). É preciso ressaltar, porém, a necessidade de uma forte

articulação com a geometria, buscando-se utilizar as propriedades das

figuras planas para generalizar expressões.

unidades padronizadas de medida

grandezas geométricas,

fórmulas

100


8.4 Geometria

localização no plano e no espaço,

coordenadas cartesianas

figuras geométricas

figuras espaciais,

figuras planas,

composição e decomposição de figuras

O trabalho com a iniciado na

etapa anterior de escolaridade, deve ser ampliado com as noções de direção

e sentido, de ângulo, de paralelismo e perpendicularismo, etc. A introdução

da idéia de pode ser feita com significado,

articulada a outros campos do conhecimento (plantas, mapas, coordenadas

geográficas, etc.).

A distinção entre as diferentes planas e espaciais

deve ser aprofundada nessa etapa, com o estudo de suas propriedades. É

importante ressaltar que o aluno começa a mudar seu ponto de vista sobre

os objetos geométricos. Se, na primeira etapa do Ensino Fundamental, a

ênfase aparece no aspecto global das figuras, nos anos finais as atividades

propostas pelo professor devem levar o aluno à percepção de que as figuras

geométricas são caracterizadas por suas propriedades. Dessa forma, na

etapa posterior, o Ensino Médio, o aluno deverá ter condições para

aprofundar essas propriedades e desenvolver o pensamento dedutivo.

Construções, planificações e representações das diferentes vistas de

particularmente de prismas, pirâmides, cilindros e cones

são fundamentais para o estabelecimento de suas propriedades. Esse

momento também oferece boas possibilidades de realização de um rico

trabalho de construções com instrumentos.

Em relação às o estudo das propriedades dos

triângulos e dos quadriláteros abre possibilidades de desenvolvimento da

percepção espacial, mas é importante salientar que a ênfase não deve recair

na memorização dessas propriedades e em nomenclatura. As atividades de

complexas, a partir de figuras

geométricas simples, podem auxiliar tanto na articulação dessas

propriedades, como na compreensão dos conceitos relativos às grandezas

101


geométricas.

As atividades explorando as de figuras

planas (reflexão, translação e rotação) são importantes para desenvolver, no

aluno, habilidades de percepção espacial, favorecendo também a

construção da noção de congruência de figuras planas.

As atividades de ampliação e de redução de figuras vão permitir

consolidar a idéia de iniciada na etapa anterior. O aluno já

deverá ser capaz de identificar os elementos que não se alteram e aqueles

que se modificam, em atividades de ampliação e redução. A consolidação

dessas idéias irá permitir, nos últimos anos dessa etapa, a compreensão dos

bem como suas aplicações em

problemas relacionados ao contexto social do aluno.

Formular questões que envolvam a obtenção de dados da realidade;

coletar, organizar e apresentar informações; observar e interpretar

fenômenos; são competências que devem ser alvo da atenção da escola,

desde a primeira etapa do Ensino Fundamental. Na presente etapa, tais

competências devem ser ampliadas e aprofundadas.

Em particular, o tipo de questões que podem ser abordadas desloca-se

para temas mais gerais, capazes de despertar o interesse do aluno e de

favorecer a formação mais ampla. Exemplos desses temas podem ser:

preservação da natureza; reciclagem; sexualidade na adolescência; cuidados

com a saúde, entre muitos outros.

O trabalho com nessa etapa de escolaridade, deve

ir além de atividades de leitura e interpretação, sendo ampliado para

situações que propiciem ao aluno trabalhar com conjuntos de informações,

elaborar conjecturas e destacar aspectos relevantes das informações

transformações isométricas

semelhança,

Teoremas de Tales e de Pitágoras,

8.5 Estatística, probabilidade e combinatória

tabelas e gráficos,

102


apresentadas.

Ao utilizar informações obtidas do ambiente social do aluno, o

professor poderá promover situações que permitam a compreensão de

algumas como, por exemplo,

A interpretação de termos como freqüência, freqüência

relativa, amostra, etc., também pode ser bastante facilitada quando se

trabalha com atividades ligadas ao contexto social do aluno.

Atividades que explorem a representação e a contagem, em uma

situação de devem levar o aluno à construção do conceito de

princípio multiplicativo como recurso fundamental, na

resolução de diversos problemas.

A construção da idéia de deve se apoiar em situações

elaboradas de tal forma que o aluno possa experimentar e realizar

simulações. Dessa maneira, em etapas posteriores, o aluno poderá

estabelecer o modelo matemático que permite determinar a probabilidade

de ocorrência de um evento.

medidas estatísticas, médias aritméticas e

ponderadas.

combinatória

mas não único,

probabilidade

103


9. A MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO

O Ensino Médio caracteriza-se como última e complementar etapa da

Educação Básica e deve visar atingir tanto aqueles que vão encerrar sua

escolaridade regular e ingressar no mundo do trabalho, como aqueles que

ainda se dirigirão a fases posteriores de formação escolar.

Portanto, nessa etapa devem ser oferecidas condições para que o aluno

possa complementar e consolidar as aprendizagens realizadas no Ensino

Fundamental e desenvolver suas capacidades e competências. No âmbito

da escola, isso significa, entre outras mudanças, rever e redimensionar

alguns dos conteúdos atualmente trabalhados. Implica, também, passar de

um ensino livresco ou utilitarista da Matemática, para um ensino com

significado para o aluno e articulado com outros campos do saber.

Dessa forma, as atenções do professor, tanto na escolha dos temas a

serem ensinados como em seu trabalho em sala de aula, devem-se voltar

para as questões da contextualização e da interdisciplinaridade. Em outras

palavras, as escolhas do professor devem priorizar conceitos e

procedimentos que permitam as conexões entre diversas idéias

matemáticas, diferentes formas de pensamento matemático e vários

campos do conhecimento. Importa, também, favorecer a compreensão da

relevância social da Matemática e de seu papel no desenvolvimento

histórico da ciência.

Pode-se dizer, nessa perspectiva, que a palavra-chave da Matemática

do Ensino Médio seria “conexões”; conexões tanto com outras áreas do

conhecimento e aplicações sociais, como também com outros campos da

própria Matemática. Um ponto de vista muito defendido na comunidade

educacional indica que um dos meios de levar o aluno a estabelecer essas

conexões é trabalhar, simultaneamente, as idéias matemáticas em diferentes

quadros (numérico, algébrico, funcional, geométrico, gráfico, etc.). Por

104


exemplo, o estudo das funções, bastante explorado nos currículos atuais de

Ensino Médio, pode ter suas potencialidades ampliadas se houver

articulação com a álgebra e a geometria.

Contudo, não se pode esquecer que a matemática do Ensino Médio,

enquanto disciplina estabelecida, também deve ser vista como uma ciência

que apresenta características estruturais específicas. É importante que o

aluno perceba o papel das definições, simbologia, demonstrações e

encadeamentos conceituais em sua composição interna. Nesse sentido, é

importante que o professor esteja atento ao desenvolvimento, por parte do

aluno, da capacidade de se expressar em linguagem matemática, de realizar

formulações coerentes e validá-las com argumentos apoiados no

pensamento dedutivo. Deve ficar claro, porém, que tais competências não

se desenvolvem pela “visualização” de demonstrações feitas pelo professor,

mas, sobretudo, pela habilidade desse professor em criar, em suas salas de

aula, situações de debate, nas quais os alunos sejam levados a construí-las.

Nessa etapa da escolaridade, é preciso proporcionar aos estudantes o

conhecimento da diversidade de problemas geradores da ampliação dos

campos numéricos e o domínio dos conceitos básicos relativos a tais

números, considerando sua perspectiva histórica. Torna-se necessária,

também, a plena compreensão dos algoritmos (no âmbito das

representações numéricas ou dos símbolos) que envolvem os

A consolidação dos conceitos de e de

apoiada nas idéias já iniciadas nas etapas anteriores, constitui-se

em objetivo importante a ser atingido. Os números complexos devem

aparecer somente pela insuficiência dos números reais na resolução de


números

reais. número irracional reta

numérica,

105


equações algébricas de 2º grau, tornando-se dispensável tomá-los como

objeto de estudo em si mesmos.

As dos números e de suas devem ser

priorizadas nesse nível de ensino, evitando-se a excessiva formalização e a

utilização, muitas vezes artificial, da linguagem e da notação da teoria dos

conjuntos.

A noção de aparece em inúmeras aplicações e as

atividades propostas pelo professor podem resgatar as experiências e os

conhecimentos das práticas sociais dos alunos, particularmente aquelas

ligadas ao trabalho com as finanças e as situações de caráter da economia.

As têm papel central na formação do Ensino Médio,

principalmente por seu papel de modelo matemático para o estudo das

em fenômenos do mundo natural ou social.

Esse aspecto das funções deve ser priorizado, em lugar de uma abordagem

essencialmente simbólica e de difícil compreensão por parte dos alunos.

Em particular, a definição de função baseada na idéia de produto cartesiano

de dois conjuntos aparece como bastante desaconselhável, tanto do ponto

de vista matemático, como do didático.

Estudos têm demonstrado que uma abordagem de funções na

perspectiva da proporciona uma

aprendizagem consistente e duradoura, permitindo a aplicação desses

conceitos em outras áreas do conhecimento. Os conceitos de domínio, de

imagem, de função composta e de função inversa, podem ser gradualmente

construídos, desde que em situações significativas para o aluno e sem

excessos de simbologia. Os conceitos de crescimento e decrescimento, e,

propriedades operações

porcentagem


funções

variações entre grandezas

modelagem de fenômenos reais

106


em particular, o de de uma função merecem atenção

especial, por sua importância no estudo das funções como modelos

matemáticos para os fenômenos em que ocorrem relações entre grandezas

variáveis.

A ligação entre a proporcionalidade e a é um bom

exemplo de conexão a ser retomado na presente etapa. A função afim e as

funções a ela associadas são, também, tópicos relevantes. Além disso,

trabalhar com um ponto de vista funcional as seqüências numéricas tem

sido bastante defendido. Em particular, as progressões aritméticas podem

ser relacionadas à função afim. A articulação com a geometria analítica,

nesse momento, pode permitir um passo importante na direção de

desenvolver o pensamento funcional. Essa conexão pode permitir a

compreensão das relações entre as resoluções gráfica e algébrica de sistemas

de equações do primeiro grau, evitando-se, todavia, a excessiva

manipulação simbólico-algébrica, normalmente privilegiada nessa etapa do

ensino.

O estudo da aparece como tema privilegiado para

o estabelecimento de relações com o estudo da equação do 2º grau,

realizado no Ensino Fundamental. Na presente etapa, é importante

recuperar as aprendizagens realizadas anteriormente, destacando-se a

resolução de equações do segundo grau pela técnica de completar

quadrados, que tem sido abandonada, em troca da aplicação mecânica da

fórmula de Bhaskara. As características da parábola, e sua relação com a

função quadrática, devem ser exploradas, o que pode evitar, por parte do

aluno, a confusão entre “parábola” e outras curvas que são gráficos de

funções não-lineares. O estudo da função quadrática pode, por exemplo, ser

explorado como modelo para o movimento uniformemente acelerado. A

ênfase nas equações e inequações do segundo grau pode, nesse nível de

ensino, desviar a atenção do aluno para aspectos pouco relevantes à

taxa de variação

função linear

função quadrática

107


108

compreensão da função quadrática, reforçando a manipulação simbólico-

algébrica.

A aparece como de fundamental importância no

conhecimento científico, particularmente dentro da própria Matemática.

Seu estudo articula-se bem com as progressões geométricas e com a

matemática financeira. Devem ser priorizadas as características da função

exponencial, seus parâmetros, seu crescimento e seu decrescimento,

deixando-se em segundo plano a abordagem puramente algébrica, por meio

de equações e inequações.

O conceito de logaritmo de um número como elemento facilitador da

realização de cálculos numéricos perdeu, há bastante tempo, sua

importância, principalmente com o aparecimento e a popularização das

calculadoras. A função logaritmo, porém, apresenta importância como

inversa da função exponencial. É recomendável que se evite a ênfase na

resolução de equações logarítmicas.

As funções trigonométricas podem ocupar o lugar central como

modelos matemáticos para os fenômenos periódicos. Resulta dessa

perspectiva que as funções seno e cosseno, com suas propriedades

fundamentais, devem ser privilegiadas no ensino, pois, com base nelas, é

possível construir, gradualmente e com compreensão, modelos simples

para muitos fenômenos periódicos. Resulta, também, que o excessivo

trabalho algébrico com identidades trigonométricas perde o sentido. Em

contrapartida, relações trigonométricas, em particular, as leis dos senos e

dos cossenos, podem ser revisitadas, visando à resolução de problemas em

triângulos quaisquer.

O trabalho do aluno em outras disciplinas como a Física e a Química,

por exemplo, pode servir como motivação para a consolidação da idéia de

função exponencial



grandeza,

grandezas geométricas,

9.4 Geometria

figuras

planas e espaciais,

proporcionalidade,

congruência e semelhança,

relações métricas e trigonométricas nos triângulos

Teorema de Pitágoras.

construções com régua e compasso

particularmente aquelas formadas por relações entre outras

grandezas (densidade, aceleração, etc.).

Em relação às as atividades propostas

deverão proporcionar a consolidação dos conceitos aprendidos nas etapas

anteriores. O aluno já deve reunir as condições necessárias para a

compreensão de demonstrações mais elaboradas, que conduzam a

fórmulas da área do círculo ou e de volume de figuras geométricas tais como

círculo.

As atividades que requerem a representação das diferentes

presentes na natureza ou imaginadas, devem ser

aprofundadas e sistematizadas. Não se pode esquecer que a geometria

aparece como um campo privilegiado (apesar de não ser o único) para

exercitar as inter-relações entre o método lógico-dedutivo e o raciocínio

intuitivo, apoiado nas representações materiais dos objetos abstratos da

geometria.

Alguns conceitos estudados no Ensino Fundamental devem ser

consolidados, como, por exemplo, as idéias de

o Teorema de Tales e suas aplicações, as

(retângulos e

quaisquer) e o

As também aparecem como

elemento importante no desenvolvimento do pensamento geométrico e do

raciocínio dedutivo, desde que não se resumam a uma seqüência mecânica

de procedimentos de construção sem que as propriedades inerentes às

construções sejam colocadas em evidência. Por exemplo, é importante que

os alunos saibam as propriedades necessárias à construção de retas

109


perpendiculares e paralelas, mediatriz de segmentos, divisão de segmentos

em partes proporcionais, bisseção de ângulos, polígonos regulares

(inscritos e circunscritos) e triângulos quaisquer (com a determinação de

seus elementos).

O trabalho com a além de proporcionar o

desenvolvimento das habilidades de visualização, permite a articulação da

geometria com o campo da álgebra. Porém, para que essas características

apresentem significado para o aluno, o trabalho nessa área não deve ser

resumido à simples manipulação simbólica. Os significados geométricos de

coeficientes de equações (da reta e da circunferência), de retas paralelas,

perpendiculares, tangentes e secantes, podem contribuir bastante para a

compreensão das relações entre a geometria e a álgebra. É importante

também que o tema não fique restrito a determinado momento, mas seja

desenvolvido durante todo o Ensino Médio. Assim, as articulações da

geometria analítica com outras áreas da matemática escolar podem ser

exploradas de forma proveitosa. Por exemplo, as idéias como crescimento,

decrescimento, taxa de variação de uma função, inclinação de um gráfico,

entre outras, podem ser relacionadas com o estudo das diferentes funções

abordadas no Ensino Médio.

Esse é um bom momento também para retomar os

enquanto representações analíticas de intersecções de figuras

geométricas. As técnicas de resolução de sistemas de até três equações

podem ser exploradas (escalonamento), sem que seja necessário o recurso a

determinantes, que podem ser dispensados no Ensino Médio.

Nessa etapa de escolarização, o trabalho com deve

promover no aluno a capacidade de análise e instrumentalizá-lo para a

geometria analítica,

sistemas de

equações,


tabelas e gráficos


110

tomada de decisões. A produção rápida e excessiva de informações na

sociedade atual requer um eficiente pensamento analítico para

compreender pesquisas de opinião, índices econômicos, doenças,

problemas ambientais, etc.

Situações em que o aluno precise tomar certas decisões em sua vida

cotidiana podem ser trazidas para a discussão de algumas

como, por exemplo, medidas de tendência central (média,

mediana e moda) e de dispersão (desvio-médio, desvio-padrão e variância).

A interpretação de termos como freqüência, freqüência relativa, amostra,

espaço amostral, etc., também pode ser consolidada.

Em relação à algumas noções devem ser consolidadas,

como, por exemplo, o princípio multiplicativo, a divisão como um processo

de redução de agrupamentos repetidos, etc. Entretanto, as atividades

propostas pelo professor devem ser elaboradas de forma que o aluno possa

ampliar cada vez mais as estratégias básicas de contagem, evitando-se o

ensino restrito a uma extensa lista de fórmulas que não apresentem

significado para o aluno.

A idéia de deve ser ampliada durante o Ensino Médio,

de forma que o aluno, ao final desta etapa, seja capaz de estabelecer o

modelo matemático que permite determinar a probabilidade de ocorrência

de um evento. O conceito pode ser, também, ampliado para situações em

que seja necessário identificar a probabilidade da união e da interseção de

eventos, os eventos disjuntos e o conceito de independência de eventos.

medidas

estatísticas,

combinatória,

probabilidade


111

10. ASPECTOS DIDÁTICOS

10.1 O papel da resolução de problemas na aprendizagem em

matemática

O papel da resolução de problemas no ensino de Matemática foi, de

forma coerente com o paradigma educacional de anos passados, pautado

pela idéia de que “aprender Matemática é resolver muitos problemas”, no

sentido de que os neurônios se assemelhariam a músculos, que seriam

desenvolvidos à custa de “muita malhação”. Na maioria dos livros didáticos

dessa época, o conteúdo era apresentado aos alunos, seguido de alguns

problemas resolvidos, que serviriam de modelo para os exercícios de

fixação, uma bateria extremamente longa de problemas de mesma estrutura

(embora bolas de gude fossem, de vez em quando, substituídas por

carrinhos ou bonecas). Esse papel aparece associado ao primeiro modelo

de concepção sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática, discutido

anteriormente.

Nessa concepção, era fundamental o papel do “problema fechado”,

que se caracteriza como um problema cujo enunciado, ou localização no

desenvolvimento dos conteúdos, já identifica, para o aluno, que conteúdo

deverá ser utilizado para resolvê-lo. A utilização exclusiva desse tipo de

problema consegue mascarar a efetiva aprendizagem, pois o aluno sabe que

está sendo trabalhado, por exemplo, o “Capítulo 3”, que trata da adição. Por

outro lado, no momento da avaliação, em que o assunto a que se refere o

problema não aparece explicitamente, surge a conhecida pergunta:

“professor, o problema é de mais ou de menos?”

A predominância desse tipo de problema, no processo de

aprendizagem da Matemática, provoca a cristalização de uma forma de

contrato didático que apresenta, como uma de suas regras implícitas, que o

112


aluno não deve se preocupar com o enunciado do problema, bastando, para

resolvê-lo, identificar os números presentes no enunciado e descobrir a

operação que resolve o problema. Dessa forma, uma das condições

essenciais para o exercício da plena cidadania, a competência de analisar um

problema e tomar as decisões necessárias à sua resolução, deixa de ser

desenvolvida no ensino da Matemática, gerando o que Stela Baruk chama

de “automáticos” (autômatos matemáticos).

Com o desenvolvimento dos novos paradigmas educacionais, as

limitações da utilização privilegiada desse tipo de problema foram

colocadas em evidência, surgindo, então, as idéias de “problema aberto” e

“situação-problema”. Apesar de apresentarem objetivos diferentes, como

será mostrado mais adiante, esses dois tipos de problemas tomam por eixo

central colocar o aluno, guardadas as devidas proporções, numa situação

análoga àquela em que o matemático se vê ao exercer sua atividade; o aluno

deve, diante desses problemas, ser capaz de realizar estabelecer

e seus resultados, provando que são

verdadeiros ou, em caso contrário, mostrando algum contra-exemplo.

O enfoque pode ser dado, então, na resolução do problema em si

mesmo, o que conduz à idéia de problema aberto, ou na construção do

conceito matemático necessário à resolução do problema, o que conduz à

situação-problema.

Assim, o problema aberto procura levar o aluno à aquisição de um

processo de resolução de problemas, no qual ele desenvolve a capacidade de

realizar as quatro ações apresentadas anteriormente, ou seja, realizar

tentativas, estabelecer hipóteses, testar essas hipóteses e validar resultados.

A prática, em sala de aula, desse tipo de problema, acaba por transformar a

5

tentativas,

hipóteses, testa-las validar

113

5 Baruk (1975), em seus trabalhos, discute os efeitos do problema conhecido como “a idade do capitão”, queapresenta o seguinte enunciado: “Em um barco, há 7 cabras e 5 ovelhas. Qual a idade do capitão desse barco?”.Estudos mostram que a maioria dos alunos, confrontados com esse problema, efetua a multiplicação de 7 por5, dando 35 como a idade do capitão.


própria relação entre o professor e os alunos, e entre os alunos e o

conhecimento matemático, que passa a ser visto como algo provido de uma

dinâmica particular, e não mais como algo que deve ser memorizado para

ser aplicado nas avaliações.

Estudos têm mostrado que as mudanças nas relações entre os

envolvidos no processo de ensino e aprendizagem de Matemática

(professor, aluno e conhecimento), na abordagem de tal tipo de problema,

promovem relações de solidariedade entre os participantes do processo,

sendo o conhecimento matemático encarado não mais como algo externo

ao aluno, mas como elemento natural de seu ambiente social.

Enquanto o problema aberto objetiva levar o aluno a certa postura em

relação ao conhecimento matemático, a situação-problema apresenta um

objetivo distinto, ou seja, levar o aluno à “construção” de um novo

conhecimento matemático. De maneira bastante sintética, pode-se

caracterizar uma situação-problema como geradora de um problema, cujo

conceito necessário à sua resolução seja aquele conceito que queremos que

o aluno construa (Câmara, 2002, p.40).

A idéia de situação-problema pode parecer paradoxal, quando se

indaga: “Como o aluno pode resolver um problema se ele não aprendeu o

conteúdo necessário à sua resolução?”. Mas, a história da construção do

conhecimento matemático mostra que esse mesmo conhecimento foi

construído a partir de problemas a serem resolvidos. A idéia de resolução de

problemas se encontra na base da terceira concepção de ensino-

aprendizagem de Matemática, apresentada anteriormente neste

documento.

Em anos recentes, os estudos em Educação Matemática têm posto em

evidência a idéia de “a arte de transformar

6

modelagem matemática:

6 Ver, por exemplo, Medeiros (2001).

114


problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los

interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (Bassanezi,

2002, p.16).

A modelagem matemática pode ser entendida como um método de

trabalho científico. Nessa perspectiva, há coerência desse método com os

pontos de vista expostos neste documento sobre as características da

Matemática como fonte de modelos para o conhecimento dos fenômenos

da natureza e da cultura.

No entanto, é a modelagem matemática como estratégia de ensino-

aprendizagem que convém destacar, neste momento, pela estreita conexão

dessa estratégia com ações envolvidas no enfoque de resolução de

problemas descrito acima.

De fato, quando a modelagem matemática propõe uma situação-

problema ligada ao “mundo real”, com sua inerente complexidade, o aluno

é chamado a mobilizar um leque variado de competências:

que serão relevantes para o modelo a construir; ou seja,

formular um problema teórico, na linguagem do campo matemático

envolvido; explicativas do fenômeno em causa;

para a resolução do problema formulado, o

que, muitas vezes, requer um esforço de pelo fato de que o

modelo originalmente pensado pode revelar-se matematicamente muito

complexo; isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados

empíricos existentes, o que, quase sempre, leva à necessidade de

que é essencial para revelar o aspecto dinâmico da construção do

conhecimento.

Evidencia-se, além disso, que a estratégia de modelagem matemática

no ensino-aprendizagem tem sido apontada como um instrumento de

formação de um aluno: com problemas relevantes da natureza

e da cultura de seu meio; crítico e autônomo, na medida em que toma parte

selecionar variáveis

problematizar,

formular hipóteses recorrer ao

conhecimento matemático acumulado

simplificação,

validar,

modificação

do modelo,

comprometido

115


ativa na construção do modelo para a situação-problema;

em sua dupla dimensão de instrumento de resolução

de problemas e de acervo de teorias abstratas acumuladas ao longo da

história; que com interesse e prazer.

Já foram mencionados, neste documento, os impactos das mudanças

tecnológicas sobre a configuração do mundo atual. Em particular, verifica-

se que repercutiram de forma evidente, na Matemática, as novas tecnologias

de armazenamento e comunicação de informações, de computação

automática e de criação de 'realidades virtuais'. Não só a Matemática passou

a ser empregada de forma mais extensiva e aprofundada, como novos

campos surgiram, especialmente no âmbito das variáveis discretas,

ampliando de forma impressionante o conhecimento matemático.

Em face dessas mudanças, novas ênfases no ensino-aprendizagem da

Matemática tornaram-se inevitáveis, e as propostas curriculares mais

recentes têm incluído conteúdos de um novo bloco, denominado, em geral,

de 'tratamento da informação'. Nesse bloco, quase sempre, são propostos

conteúdos de que procuram abordar questões de tratamento de

dados com base em conhecimentos básicos desse campo científico; de

como base matemática para a estatística e como modelo

teórico para os fenômenos envolvendo a idéia de acaso; a

que lida com a e suas ferramentas teóricas para a

contagem sistemática de conjuntos discretos e com outros campos de

conhecimento envolvendo estruturas de tais conjuntos, a exemplo dos

Não só o surgimento de novos conteúdos curriculares, mas também o

envolvido com o

conhecimento matemático

'faz Matemática',

combinatória

grafos.

10.2 A Matemática e as novas tecnologias

estatística,

probabilidade,

matemática do

discreto,

116


emprego de metodologias de ensino-aprendizagem que recorram às novas

tecnologias, têm sido intensamente debatidos no campo educacional e é

extensa a literatura hoje disponível sobre esses temas. Desse debate, alguns

aspectos são destacados a seguir.

Um primeiro ponto a mencionar é o papel que a calculadora e o

computador desempenham para, entre outras possibilidades: facilitar os

cálculos com números de ordem de grandeza elevada; armazenar, organizar

e dar acesso a grande quantidade de informações (banco de dados);

fornecer imagens visuais para conceitos matemáticos; permitir a criação de

'micromundos' virtuais para a simulação de 'experimentos matemáticos'.

Apoiados no emprego dessas tecnologias, o aluno poderá ter mais

oportunidade de expandir sua capacidade de resolver problemas, de fazer

conjecturas, de testar um grande número de exemplos, de explorar os

recursos da chamada 'geometria dinâmica', em que é possível fazer variar

continuamente parâmetros atrelados a figuras, operação impossível num

contexto de papel e lápis.

Entretanto, o emprego da calculadora ou do computador não deve ser

encarado como limitadores do desenvolvimento da competência

matemática para operar com números, como tem sido entendido por

muitos. Ao contrário, devem ser instrumento de expansão dessa capacidade

de calcular. A competência de efetuar as operações básicas da aritmética,

com números inteiros e racionais continua sendo necessária para a

formação básica de todos os cidadãos, respeitada a complexidade dessas

operações. A adoção da calculadora e do computador na escola não deve ser

obstáculo para a aquisição dessa competência. Não cabe mais, no entanto, o

aluno despender energia realizando imensas e repetitivas contas, com a

pretensão de “fixar as regras de cálculo”.

O emprego da calculadora, por outro lado, torna indispensável

desenvolver no aluno a capacidade de efetuar cálculos mentais e estimativas.

117


118

O cálculo por arredondamento é uma dessas estratégias, ao lado da

estimativa da ordem de grandeza dos resultados das operações. O

desenvolvimento dessas capacidades vai permitir ao aluno controlar o

resultado de cálculos realizados com a calculadora ou o computador e,

dessa forma, não o deixar refém desses instrumentos.

Além da calculadora e do computador, estão disponíveis em muitas

escolas recursos de comunicação a distância. Em particular, há um acervo

de vídeos educativos que tem sido mobilizado em várias de nossas escolas.

Convém lembrar, também, que as novas tecnologias de ensino não são

ferramentas que atuem por si sós e façam os alunos aprenderem

Matemática. Dessa maneira, elas não trazem a diminuição do papel do

professor. Ao contrário, o planejamento didático das atividades a serem

desenvolvidas assume lugar essencial entre as suas tarefas e, tendo em conta

o amplo leque de possibilidades que tais tecnologias oferecem, pode-se até

dizer que o papel do professor fica ampliado e tornado mais complexo.

Uma das formas mais eficazes de atribuir significado aos conceitos

matemáticos é contextualizá-los no processo de evolução histórica desses

conceitos.

No entanto, trazer a para a sala de aula não se

deve limitar à descrição de fatos ocorridos no passado ou à atuação de

personagens famosos. Em primeiro lugar, é importante que as articulações

da Matemática com as necessidades humanas de cada época sejam

evidenciadas. Mais importante ainda, é preciso levar em conta as

contribuições do processo de construção histórica dos conceitos e

procedimentos matemáticos para a superação das dificuldades de

aprendizagem desses conteúdos em sala de aula.

10.3 A história da Matemática como recurso didático

história da Matemática


A construção progressiva dos números naturais, racionais, irracionais,

negativos e imaginários ao longo da história é uma fonte importante para a

didática atual desses conceitos. Por exemplo, refletir sobre as dificuldades

históricas da chamada “regra dos sinais”, relativa à multiplicação de

números negativos e discutir a criação dos números irracionais podem

contribuir bastante para o ensino desses conteúdos.

Outros exemplos em que o recurso à história pode contribuir para o

ensino-aprendizagem da Matemática podem ser citados: os cálculos

astronômicos realizados em diversas fases históricas podem ser

relacionados a tópicos importantes de geometria; a discussão das Leis de

Kepler e suas conexões com a geometria da elipse, o emprego do logaritmo

com o advento das novas tecnologias de computação; o Princípio de

Cavalieri e as questões de cálculo de volume.

Vem de longa data o interesse pelos jogos matemáticos (ou como

chamam alguns “matemática recreativa”), de tal modo que existe, hoje, uma

extensa bibliografia sobre o tema e um crescente interesse dos professores

para incorporá-lo em sua prática pedagógica.

No entanto, essa bibliografia traz à tona apenas parte do vasto

conhecimento sobre o conceito de jogo e seu papel nas ações humanas,

questão que não será abordada neste documento, mas que pode ser

estudada nos textos de Huizinga (1993) e Caillois (1990), duas referências

clássicas e accessíveis em língua portuguesa.

Igualmente não cabe tratar aqui da teoria dos jogos, campo da

Matemática que assume importância cada vez maior tanto no âmbito

teórico, como nas inúmeras aplicações a outros domínios científicos.

10.4 Jogos matemáticos

119


O que se pretende nesta seção é tecer breves comentários sobre os

possíveis papéis dos jogos matemáticos no ensino-aprendizagem da

matemática.

O ponto de vista adotado é o de que os jogos devem ser encarados

como situações-problema a partir das quais podem ser tratados conceitos e

relações matemáticas relevantes para o ensino básico.

A denominação genérica "jogos matemáticos" pretende englobar

situações-problema de vários tipos, entre os quais podem ser citados: jogos

que envolvem disputa entre duas pessoas ou entre pares, incluindo os

clássicos e suas variações, tais como o xadrez, o jogo de damas, o jogo da

velha e outros jogos com tabuleiro: o jogo do Nim e suas variantes e o jogo

Hex , que têm aparecido cada vez mais nas experiências com jogos

matemáticos; quebra-cabeças de montagem ou movimentação de peças,

tais como o Tangram e os poliminós; os desafios, enigmas, paradoxos,

formulados em linguagem do cotidiano e que requeiram raciocínio lógico

para serem desvendados.

Vários aspectos têm sido apontados como pedagogicamente

relevantes nas experiências com jogos na sala de aula de Matemática.

Em primeiro lugar, menciona-se a necessidade de desenvolver a

dimensão lúdica, importante para o desenvolvimento integral do aluno. Os

jogos são, ao lado disso, um elemento que favorece a inserção aluno em sua

cultura, na medida em que a dimensão lúdica está nela enraizada. Os jogos

seriam, assim, mais uma forma de exploração da realidade do aluno.

Em segundo lugar, argumenta-se que idéias e relações matemáticas

importantes estão presentes numa enorme variedade de jogos e por em

meio desses jogos é possível um encontro inicial e estimulante com tais

idéias.

7

7 Mais informações sobre esses jogos podem ser encontradas na internet.

120


Além disso, a busca de estratégias para a vitória ou para solucionar um

desafio inclui, via de regra, uma variedade de questões de lógica ou de

Matemática, das elementares até problemas não resolvidos por

especialistas. Esse fato possibilitaria a exploração de um mesmo jogo em

diversos níveis, dependendo do estágio dos participantes.

Outro aspecto a ressaltar é o de que muitos dos jogos propiciam a

integração de várias áreas da Matemática - aritmética, álgebra, geometria,

combinatória, etc, - o que tem sido uma das mais ricas características dessa

ciência.

Também é mencionada a compatibilidade do trabalho pedagógico

com jogos com a metodologia de resolução de problema, anteriormente

discutida neste documento. Os jogos matemáticos fornecem uma excelente

oportunidade para que sejam explorados aspectos importantes dessa

metodologia. Como exemplo, convém lembrar que a observação precisa

dos dados, a identificação das regras, a procura de uma estratégia, o

emprego de analogias, a redução a casos mais simples, a variação das regras,

entre outras possibilidades, são capacidades que podem ser desenvolvidas

quando se trabalha com jogos na aula de Matemática.

No âmbito pedagógico, é fundamental o aspecto interativo propiciado

pela experiência com jogos matemáticos. Os alunos não ficam na posição

de meros observadores, tomando conhecimentos de novos fatos, e

transformam-se em elementos ativos, na tentativa de ganhar a partida ou na

busca de um caminho para a solução do problema posto à sua frente.

Certamente tal atitude é extremamente positiva para a aprendizagem das

idéias matemáticas subjacentes aos jogos. Além do mais, a vitória numa

partida ou a descoberta da solução de um desafio são experiências

relevantes para fortalecer a auto-confiança, tão indispensável ao processo

de aprendizagem. É bom notar, em contrapartida, que as derrotas repetidas

e os insucessos freqüentes diante dos desafios podem levar a frustrações e

121


reforçar a idéia de incapacidade para compreender os fatos na área da

Matemática.

O caráter recreativo da experiência com jogos tem sido apontado com

um dos méritos dessa experiência no sentido de tornar mais atraente a

Matemática para aqueles alunos que desenvolveram reações a lidar com esse

conhecimento. Outro mérito seria o de contribuir para atitudes positivas de

convivência pois, nos jogos não-individuais, o aluno é chamado a negociar

as regras do jogo, a respeitá-las, a colaborar com seus parceiros de jogo, a

saber perder e a saber ganhar.

Deve-se, advertir, no entanto, que não é uma tarefa fácil trazer os jogos

matemáticos para a escola básica. A complexidade de alguns jogos, mesmo

aqueles mais comuns, requer, de um lado, clareza sobre os vários conceitos

matemáticos envolvidos e, de outro, um planejamento do momento e da

maneira adequados para sua utilização no processo de ensino-

aprendizagem, para que seja garantida a riqueza conceitual, o prazer em

participar da atividade e a conquista da auto-confiança.

Após as referências feitas neste documento a vários recursos

metodológicos a resolução de problemas; a modelagem matemática; as

tecnologias no campo da informática; a história da Matemática; os jogos

matemáticos; o livro didático cabem alguns comentários sobre outros

recursos didáticos que podem auxiliar o ensino e a aprendizagem da

Matemática na escola.

Como se disse, neste documento, na seção sobre interdisciplinaridade,

recentemente, tem sido mencionada na literatura educacional a atuação em

sala de aula baseada em projetos . Do ponto de vista metodológico, a

10.5 Outros recursos no ensino-aprendizagem da Matemática

8

–

–

8 A esse respeito, consultar Hernández & Ventura (1998) e Pires (2000).

122


proposta de uma pedagogia de projetos de trabalho se harmoniza com a da

resolução de problemas ou a da modelagem matemática, tendo em comum

com elas a valorização do envolvimento ativo do professor e dos alunos nas

ações desenvolvidas na sala de aula. Além disso, os projetos que articulem

vários campos do saber são oportunidades adequadas à prática da

interdisciplinaridade. Outra dimensão positiva dessa ação pedagógica é a

possibilidade de escolha de projetos com temas de interesse da

comunidade, que favoreçam o despertar do aluno para os problemas do

contexto social e para a necessidade de ações que tornem mais justo e

humano esse contexto.

Deve-se dar atenção, por outro lado, à harmonização dos projetos de

trabalho de sala de aula com o projeto pedagógico maior da escola. Sem essa

sintonia, agrava-se a fragmentação do trabalho escolar, que tem sido

apontada como um dos fatores que atuam negativamente na instituição

escolar.

Atenção também é necessária ao delineamento dos objetivos

formadores do projeto, para que não se caia no desvio da ação pela ação.

Em particular, tem sido enfatizada a importância do estabelecimento de um

mapeamento dos conteúdos matemáticos, ou de outras áreas, que devem

estar articulados com um projeto. Parte desse mapeamento deve ser

planejada com antecedência, mas se deve cuidar de incorporar os

conteúdos não-previstos que surjam durante a realização do projeto. Como

exemplo de mapeamento dos conteúdos de um projeto cujo objetivo

central fosse os conceitos de comprimento e área para alunos de alunos de

5ª a 8ª. Séries, se poderiam incluir e articular, entre outros, os conteúdos: a)

comparação de comprimentos sem medição; b) medição de comprimentos

com unidades não convencionais; c) comparação de áreas de figuras planas;

d) medição de áreas com unidades não-convencionais; medição de

comprimentos e áreas com unidades do sistema métrico; e) medições de

123


comprimentos e áreas no mundo da escola e nas práticas sociais; história

dos instrumentos e sistemas de medidas de comprimento e área; fórmulas

de área; f) números racionais como medidas de comprimento ou área; g)

leitura de medidas de distância e de área em desenhos e plantas; h)

comprimento e área nos campos da Física, da Biologia, da Geografia, etc.

Tais conteúdos poderiam ser desenvolvidos como um projeto de cunho

matemático ou serem inseridos como dimensão matemática de projeto

voltado para problemas do contexto comunitário, como a construção de

uma quadra, a reforma do prédio da escola, ou outro, de caráter mais amplo,

como o transporte escolar, a divisão e a ocupação de terras, a moradia nas

cidades etc.

As metodologias de ensino-aprendizagem mencionadas neste

documento requerem de professores e alunos o recurso permanente a

variadas fontes de informação e a momentos de interação fora dos limites

da sala de aula. As leituras complementares de livros, de jornais e revistas, as

buscas na internet, as sessões de vídeo, as visitas e excursões, são alguns dos

recursos mais conhecidos, mas professores e alunos devem exercitar a

criatividade para a busca de novos desses recursos.

O recurso a materiais concretos na sala de aula Matemática tem sido

defendido de forma muito freqüente na literatura educacional. São

numerosos os depoimentos de professores sobre alguns efeitos positivos

do uso de vários materiais concretos sobre a aprendizagem dos alunos.

Sem pretensão de esgotar o que se poderia incluir na categoria de

materiais concretos para uso na aula Matemática, podem ser citados:

modelos concretos de figuras geométricas; moldes para montagem de

figuras; maquetes; dobraduras; material dourado; ábaco; barras Cuisenaire;

“dinheiro de fichas”; instrumentos de desenho; instrumentos de medição;

jogos matemáticos. No entanto, é preciso evitar a queixa freqüente de que

os alunos têm dificuldade de aprendizagem porque “na escola não há

124


materiais concretos para uso em sala de aula”. De fato, além dos citados

acima, outros objetos ou artefatos provenientes do mundo físico podem ser

modelos concretos de conceitos ou estruturas matemáticas.

Todos esses objetos ou artefatos podem, efetivamente, desempenhar

papel relevante na construção do conhecimento matemático. No entanto, é

preciso que se exerça permanente vigilância sobre alguns aspectos

envolvidos no uso didático de materiais concretos. Deve-se evitar a ilusão

de que o uso do material, por si só, exerça um papel positivo sobre a

aprendizagem do aluno. Faz-se necessário uma ação prévia de análise das

estruturas conceituais subjacentes ao material concreto, é preciso

desvendar “a matemática do material”, para que seja eficaz o seu emprego

como instrumento auxiliar da aprendizagem da Matemática.

Um dos conteúdos em que são bastante empregados os materiais

concretos é na representação dos números naturais no sistema hindu-

arábico. Na análise desse conteúdo fundamental no Ensino Básico, em

especial nos anos iniciais, devem ser levados em conta os conceitos de: a)

agrupamento (base); b) princípios aditivo e multiplicativo; c) notação

posicional; d) existência do zero. É preciso, por isso, que se conheçam as

estruturas conceituais do material concreto, para que seu emprego seja

eficaz na aprendizagem de alguns dos conceitos matemáticos acima

mencionados. Por exemplo, o “dinheiro de ficha” pode contribuir para a

compreensão do conceito de base, mas não está associado à notação

posicional.

Outro aspecto a exigir cuidados é a consideração do caráter

aproximado das medidas realizadas no mundo material. As relações entre as

grandezas observadas empiricamente serão sempre aproximadas. Passar

dessas relações aproximadas para as exatas, no âmbito da Matemática, é um

processo a ser realizado de forma gradual e planejada, para que o aluno vá

progressivamente construindo as relações abstratas da Matemática.

125


10.6 A avaliação em Matemática

Quanto à avaliação, na comunidade dos professores de Matemática, o

que se percebe é um sentimento de mal-estar. Se o tema provoca certo

entusiasmo nos administradores escolares, nos professores, provoca,

geralmente, um sentimento de desconfiança. Pode-se dizer que a avaliação

escolar parece se realizar em paralelo ao corpo docente; a interpretação dos

resultados de uma avaliação, tão carregada de conseqüências, não é muito

reconhecida por esse mesmo corpo. Isso parece se acentuar ainda mais

quando esses resultados permitem, à administração escolar, julgar o

desempenho dos professores.

Esses fatos, aliados a uma concepção de aprendizagem em Matemática

fragmentada, em que o conhecimento se decompõe em pequenas parcelas

correspondentes a objetos de aprendizagem, acabam por transformar a

avaliação em Matemática numa espécie de sistema binário, em que a

aquisição do conhecimento se traduz por uma escala na qual os valores são

representados por 0 ou 1; dessa forma, o valor 1 corresponderia a uma

aquisição completa e definitiva, enquanto o valor 0 representaria a não-

aquisição de certo objeto de conhecimento.

Diferentemente de outras disciplinas, a própria natureza

epistemológica do conhecimento escolar tende a refutar essa concepção, na

medida em que se pode afirmar com certa segurança que uma noção

matemática passível de se apresentar de forma simples, completa e

definitiva, e que poderia portanto ter sua aprendizagem avaliada em um

modelo binário, seria, com certeza, sem importância ou inútil.

A fragmentação das noções matemáticas em pequenos objetos de

conhecimento, tão presente no trabalho por objetivos, ainda ocupa grande

espaço e importância em nossas salas de aula de Matemática. Se por um lado

126


o trabalho com objetivos parece importante, na medida em que permite

clarificar e comunicar intenções pedagógicas, por outro lado, não permite

resolver certos problemas essenciais da avaliação em Matemática, sendo

que, em muitos casos, termina por ocultá-los.

Tome-se, como exemplo, o descritor “resolver problema envolvendo

perímetro de figuras planas”. Como explicar que, em média, apenas um em

cada cinco alunos obtém sucesso quando os dados encontram-se no

enunciado do problema, enquanto o índice triplica quando uma figura é

apresentada? Que tipo de afirmação pode ser feita em conseqüência desses

resultados? Que tipo de formulação de objetivos permitiria distinguir os

dois problemas?

A avaliação tem como objetivo fundamental proporcionar a tomada

de decisões. Avaliar seria então a organização (ou estudo) de situações que

permitam recolher informações que, após tratamento, sejam susceptíveis

de revelar algo de confiável e de substancial sobre o “valor” de um objeto.

Além da idéia de “valor” trazida no bojo da idéia de avaliação (pelo

menos por sua etimologia), não se pode negligenciar a idéia de “incerteza”.

O desaparecimento da incerteza na avaliação levaria a substituir avaliação

por medida. Um dos aspectos mais iluminados pelos estudos em Educação

Matemática é, sem dúvida, a impossibilidade desse desaparecimento, em

que se pode perceber que o

Por outro lado, o sistema escolar solicita do professor que ele atribua

notas (ou conceitos) a seus alunos. O professor é levado então a identificar,

num certo tipo de escala, o valor do conhecimento desses alunos em relação

a um domínio mais ou menos definido. Ora, os professores sabem como

essa escala é pessoal, freqüentemente não explicitável, variável no tempo e

9

conhecimento matemático de um aluno (ou

de um grupo de alunos) não pode ser medido.

9 Dados do SAEPE-2002.

127


de difícil relação com as múltiplas significações da ordem didática. Em

resumo, essa escala pouco garante em termos de validade, de fidelidade, de

sensibilidade, de precisão, etc. No entanto, continua havendo necessidade

de atribuir notas, o que se traduz, para o professor, num sentimento de

contradição e de mal estar.

O que se faz necessário reiterar é que, nessas condições, não existe

transparência e a avaliação não garante um acesso direto ao conhecimento

dos alunos; uma observação a propósito de certo conhecimento de certo

aluno poderia não ser mais validada se houvesse uma ligeira modificação

das variáveis em jogo, como apontado anteriormente. O que importa,

então, não é propriamente um comportamento observável dos alunos, mas

as inferências que essas observações permitem fazer. Dessa forma, a

integração das questões de avaliação no processo de ensino e de

aprendizagem de Matemática obriga, de certa maneira, ao abandono da

problemática da medida em prol da problemática do sentido.

Por exemplo, pode ser tomado o mesmo descritor citado

anteriormente, sobre a resolução de problemas envolvendo o perímetro de

figuras planas. A observação dos resultados obtidos por alunos de oitava

série no SAEPE-2002 mostra que, em problemas de mesma estrutura (e

com mesmos valores numéricos), aqueles que apresentam no enunciado a

idéia de “medida de um contorno” obtêm um índice de acertos três vezes

maior que aqueles que apresentam no enunciado a solicitação do

“perímetro”. O que se pode observar é que o sentido de um problema para

o aluno apresenta maior influência sobre seu sucesso do que a estrutura

desse problema em si mesma.

Levar em consideração a idéia de sentido, na avaliação em Matemática,

implica associá-la a duas outras idéias fundamentais, a idéia de “contrato” e

10

10 Fonte: Pernambuco. Secretaria de Educação e Cultura. Sistema de Avaliação Educacional de Pernambuco:SAEPE Relatório 2002. Recife, 2003.–

128


a idéia de “observação”. Sobre esta última, pode-se afirmar que a

observação é a pedra de toque da avaliação. Antes de decidir, antes de

concluir, é necessário observar. Entretanto, a observação está longe de ser

uma atividade simples de ser efetivada em sala de aula; não basta olhar para

observar, é necessário todo um trabalho para aprender a observar.

Mas quando se fala em observar, a primeira questão que surge é,

“observar o quê?”. Se o centro das atenções é a sala de aula e, mais

particularmente, o funcionamento do aluno dentro desse sistema, torna-se

claro que se trata de observar a produção desses alunos, mais

particularmente suas respostas a questões. Cabe aqui retomar as

considerações feitas anteriormente neste documento sobre a importância

da resolução de problemas na aprendizagem de Matemática, que, de fato,

aparece, ao mesmo tempo, como um meio e como um critério de aquisição

das noções matemáticas.

Embora a resolução de problemas esteja presente de maneira bastante

forte nas salas de aula, seria necessário retomar as diferentes características

que pode assumir um problema na sala de aula de Matemática, como já

discutido neste documento, que aparecem estreitamente associadas a

diferentes “tipos” de contratos didáticos. Na realidade pode-se perceber

que grande parte dos problemas que aparecem nas salas de aula é composta

por problemas cuja solução somente pode ser interpretada como “certa ou

errada”.

Ora, como já foi dito anteriormente, para observar é preciso ter

“observáveis”, e, para as ter, seria preciso fugir desse sistema binário, tipo

“certo ou errado”, sobre o qual se baseia a maioria dos contratos

estabelecidos nas salas de aula. Em outras palavras, a verdadeira observação

somente será possível a partir de uma ruptura de contrato didático.

Finalmente, poderia ser dito que, mesmo quando as condições

precedentes fossem satisfeitas, uma boa observação seria dependente do

129


conhecimento matemático em jogo na situação. Deve também ficar clara a

necessidade de que esse conhecimento venha acompanhado de sentido.

Não é demais repetir que uma situação sem sentido não pode levar a uma

aprendizagem consistente e duradoura.

130


131


11.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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