baricentro do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa. do baricentro até o vértice é...
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Baricentro
Do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa.
Do baricentro até o vértice é 2/3 da mediana toda.
a
aa
b
2b
Razão de Semelhança
2
A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é:
a) 8,5
b) 9
c) 10
d) 10,5
A
B C
D
P M
3a
2aa
3a + a + 2a = 15
a = 2,5
PB = 7,5 + 2,5
PB = 10
Teorema da Bissetriz Interna
A
B
CD
AB
BC=
AD
DC
Teorema da Bissetriz Externa
A
AB
BD=
AC
CD
B CD
O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é:
a) 13
b) 12
c) 10
d) 9
A
B
M
C
x
4
6
x – 4
x
x – 4=
6
4
4x = 6x – 24
2x = 24
x = 12
Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm. Em quanto se deve prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo a ele oposto?
a) 120cm
b) 112cm
c) 108cm
d) 100cm
28
20
24
x28
20 + x=
24
x
28x = 480 + 24x
4x = 480
x = 120
Círculo
O
P
r
dA B
DC corda
Arco Menor e Arco Maior
O
A
B
arco menor
arco maior
Toda Perpendicular a uma Corda de um Círculo Traçada de seu Centro, Divide esta
Corda ao Meio
O
A
B
r
r
Disco
O
P
r
Uma Reta é Tangente a um Círculo se, e somente se, ela é Perpendicular ao Raio cujo
Extremo é o Ponto de Tangência
O
A
B
r
r
Por um Ponto Exterior a um círculo podem-se Traçar duas, e somente duas, Tangentes
ao Círculo
O
A
B
R
R
P
Ângulo Central
O
B
A
Ângulo Inscrito
O
B
A
ab
a
b
2a
2b
O ângulo inscrito é metade do ângulo central
Ângulo de Vértice Interior
b
ab
2
a
2
x
x =a + b
2
Ângulo de Vértice Exterior
x =a – b
2
P
A
B
C
D
ab
b
2
a
2
x
a
2=
b
2+ x
Segmentos Secantes Internos
C
D
A
B
P
a
b
b
2
b
2
a
2
a
2
PA
PD=
PC
PB PA . PB = PC . PD
Segmentos Secantes Externos
CB
A
D
P
PA
PC=
PD
PB PA . PB = PC . PD
a
b
a
2
a
2
x
Segmentos Tangente e Secante
C
B
A
P
PA
PC=
PC
PB (PC)2 = PA . PB
aa
2
a
2
x
A21. (PUC – MG) Num círculo de 6m de raio, por um ponto situado a 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento do segmento da tangente do ponto ao círculo, em metros, mede:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 16 0
x
6 6 4
x2 = 16 · 4
x = 8
A22. Na figura, 0 é o centro do círculo. Seu raio mede:
a) 3 3
b) 2 3
c) 4,5
d) 5 0
3
36
x
3 + x
6 · 3 = (6 + x) · x
18 = 6x + x2
x2 + 6x – 18
x =–6 36 +
722
x =–6 + 6 3
2
x = –3 + 3 3
r = 3 – 3 + 3 3 = 3 3
A23. Uma corda de um círculo é perpendicular a um de seus diâmetros e o divide em dois segmentos proporcionais a 1 e 4. A razão entre o comprimento da corda e o diâmetro do círculo é:
a) 0,6
b) 0,7
c) 0,8
d) 0,9 4a a
x
x
4a · a = x2
2a = x
4a
5a= 0,8
Diagonais de um Polígono Convexo
• Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono.
A
B
Número de Diagonais de um Polígono Convexo Seja nn o número de vértices;
Cada vértice faz ligação com todos os outros nn vértices, menos com seus adjacentes e ele próprio, ou seja,
com (n – 3)(n – 3) vértices;
Como há nn vértices, então podemos fazer n.(n – 3)n.(n – 3) ligações;
A
C2
)3.(
nnd
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono
Em um polígono de n lados
traçando-se de um dos vértices todas as diagonais possíveis, o polígono fica dividido em (n – 2) triângulos.
Si = (n – 2) . 180º
Ângulo Interno de um Polígono Regular
Todos os ângulos e todos os lados são iguais.
ai =Si
n
Soma dos Ângulos Externos de um Polígono
ai + ae = 180º
Si + Se = 180º . n
Se = 180ºn – (n – 2) . 180º
Se = 180ºn – 180ºn + 360º
Se = 360ºÂngulo Externo de um Polígono Regular
ae =360º
n
aiae
Quadrado Retângulo
l
l
SQuadrado = l2
3 cm
3 cm
S = 3 × 3 = 9 cm2
h
b
SRetângulo = b × h
3 cm
5 cm
S = 5 × 3 = 15 cm2
Paralelogramo Trapézio
h
b
SParalelogramo = b × h
b
h
h
b B
bB
STrapézio =(B + b) ·
h2
Losango
SLosango =D × d
2
r
2pCírculo = 2r
SDisco = · r · r
r
r
R
r
SCoroa = (R2 – r2)
SSegmento = SSetor – STriânguloSegmento Circular
Disco Setor Circular Coroa Circular
SSetor = · r2
360º·
SDisco = r2
Triângulo
a
b ch
STriângulo =a · h
2
STriângulo Retângulo =b · c
2
STriângulo = p(p – a)(p – b)(p – c)l l
l
STriângulo Eqüilátero =l2 3
4
Triângulo Circunscrito
a
b
c
r
r r
STriângulo Circunscrito =c · r
2+
b · r
2+
a · r
2
STriângulo Circunscrito = r ·a + b + c
2
STriângulo Circunscrito = P · r
Triângulo Inscrito
0
a
b
c
h
a
2R=
h
b
STriângulo Inscrito =c · h
2
STriângulo Inscrito =a · b ·
c4R
h =a · b
2R
Triângulo Dado apenas um Ângulo e os Lados Correspondentes
b
a
H
STriângulo =a · H
2
sen =H
b b · sen = H
STriângulo =a · b · sen
2
Triângulo Quadrado Hexágono
30ºaR
l/2 45ºa R
l/2 60ºa R
l/2
Teorema do Seno
Hb
aC B
c
sen C =H
bsen B =
H
C
sen C · b = H sen B · c = H
sen C · b = sen B · c
b
sen B=
c
sen C
Teorema do Cosseno
Hc
b
a
m b – m
c2 = H2 + m2 a2 = (b – m)2 + H2 c2 – m2 = H2
a2 = (b – m)2 + c2 – m2 a2 = b2 – 2bm + m2 + c2 – m2
cos =m
c cos · c = m
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos
Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que:
a) = 2
b) + = 90º
c) = 3
d) + 2 = 90º
C s
B
A
P
r
90 –
90 –
–2 + 180º + = 180º
= 2
Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR.
B
A
P
C
Q
R
2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16
x
y
8 – x
x
y
8 – y
Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM.
A
B C
M N
P
x x
y
y z
z
x + y = 5
x + z = 8
y + z = 9
x + y = 5
x + z = 8
–y – z = –9
2x = 4
x = 2
(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é
a) 52
b) 54
c) 56
d) 58
32º
58º
2
2 = 58º 2
= 58º
(Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a
a) 50º
b) 45º
c) 60º
d) 30ºO
B A
E
D C
M
x
20º
100º
40º
70º
110º50º
x =100º – 40º
2
x = 30º
(VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo
a) é acutângulo
b) é retângulo
c) é obtusângulo
d) pode ser eqüilátero
C
A
B
diâmetro
180º
90º
Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A; e são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e – = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede
a) 58º
b) 60º
c) 62º
d) 64º
A
t
B C
90º
– = 38º
+ = 90º
2 = 128º
= 64º
128º
64º
As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é:
a) 60º
b) 65º
c) 70º
d) 75º P
A
Bs
r
x50º 2x
65º
65º
2x = 130º
x = 65º
30º
Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é
a) 22
b) 23
c) 24
d) 25
A
P
B
Q
60º
8
4
4
sen 30º =x
81
2 8 =
x
xx = 4
2P = 8 3 = 24
O triângulo é eqüilátero
As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos.
x
x x
x
y
yy
y
9
5
2x = 5 x = 2,5
2y = 9 y = 4,5
x + y = 2,5 + 4,5 = 7
A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm.
a
a b
b
6
6 – a
6 – a
8
2 + a
2 + a
a + b + 2 + a + b + 8 + 6 = 30
2a + 2b = 14
a + b = 7
l1 = a + b = 7
l2 = a + 2 + b = 7 + 2 = 9
A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é
a) 23º
b) 25º
c) 28º
d) 32º
85º
113º
Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares
85º + x = 180º
x = 95º
95º113º + y = 180º
y = 67º
67º
95º – 67º = 28º
Num quadrilátero ABCD, inscrito em um círculo, os pontos A e C são diametralmente opostos e Ĉ = 2Â. Calcule, em radianos, as medidas dos ângulos internos desse quadrilátero.
A
B
C
D
a 2a
2
2
a + 2a =
a =3
2a =23
23
3
;2
; ;2