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Odair Vieira dos Santos

Avaliação da estabilidade do sincronismo entresistemas dinâmicos não-lineares: aspectos

teóricos e aplicações

Campinas

2015

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Odair Vieira dos Santos

Avaliação da estabilidade do sincronismo entre sistemasdinâmicos não-lineares: aspectos teóricos e aplicações

Tese apresentada à Faculdade de EngenhariaElétrica e de Computação da Universidade Es-tadual de Campinas como parte dos requisitosexigidos para a obtenção do título de Doutorem Engenharia Elétrica, na Área de Automa-ção.

Orientador: Prof. Dr. Romis Ribeiro de Faissol Attux

Coorientador: Prof. Dr. Diogo Coutinho SorianoCoorientador: Prof. Dr. Filipe Ieda Fazanaro

Este exemplar corresponde à versãofinal da tese defendida pelo alunoOdair Vieira dos Santos, e orientadapelo Prof. Dr. Romis Ribeiro deFaissol Attux

Campinas2015

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Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaRose Meire da Silva - CRB 8/5974

Santos, Odair Vieira dos, 1973- Sa59a SanAvaliação da estabilidade do sincronismo entre sistemas dinâmicos não-

lineares : aspectos teóricos e aplicações / Odair Vieira dos Santos. – Campinas,SP : [s.n.], 2015.

SanOrientador: Romis Ribeiro de Faissol Attux. SanCoorientador: Diogo Coutinho Soriano e Filipe Ieda Fazanaro. SanTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de

Engenharia Elétrica e de Computação.

San1. Teoria dos sistemas dinâmicos. 2. Sincronização. 3. Lyapunov, expoentes

de. 4. Neurônios - Modelos matemáticos. I. Attux, Romis Ribeiro de Faissol. II.Soriano, Diogo Coutinho. III. Fazanaro, Filipe Ieda. IV. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. V. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Analysis of the stability of the synchronism between nonlinear dynamicalsystems : theoretical aspects and applicationsPalavras-chave em inglês:Theory of dynamical systemsSynchronizationLyapunov exponentsNeurons - Mathematical modelsÁrea de concentração: AutomaçãoTitulação: Doutor em Engenharia ElétricaBanca examinadora:Diogo Coutinho Soriano [Coorientador]Márcio EisencraftRicardo SuyamaTakaaki OhishiAlim Pedro de Castro GonçalvesData de defesa: 26-02-2015Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

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ResumoO problema de análise do sincronismo entre sistemas dinâmicos se reveste de enorme impor-tância prática, uma vez que ocorre em uma miríade de contextos naturais e artificiais. Paraavaliar a ocorrência desse fenômeno, é usual lançar mão dos expoentes de Lyapunov condici-onados, que refletem, em sua definição, o acoplamento entre sistemas. Nesta tese, um métodoalternativo previamente desenvolvido para cálculo dos expoentes de Lyapunov é empregadono contexto de sistemas dinâmicos acoplados para obter os expoentes de Lyapunov condi-cionados. Tal abordagem é vantajosa quando há descontinuidades ou quando o cálculo damatriz jacobiana é proibitivo. A nova proposta é validada em diversos cenários, partindo desistemas clássicos e chegando aos modelos neuronais de Hindmarsh-Rose e Hodgkin-Huxley.Como contribuição original, esse trabalho apresenta um conjunto representativo de simula-ções que visam entender melhor o sincronismo em dinâmicas neuronais, além de um primeiroestudo de expoentes condicionados em modelos neuronais mais realistas, tal como efetuadopara o modelo de Hodgkin-Huxley.

Palavras-chaves: Expoentes de Lyapunov, Modelos neuronais, Sincronismo, Sistemas dinâ-micos.

AbstractThe problem of analyzing synchronism between dynamical systems is of enormous practicalsignificance, as this phenomenon arises in several natural and artificial domains. To character-ize the occurrence of synchronism, it is usual to employ the conditional Lyapunov exponents,which reflect, in their definition, the coupling between systems. In this thesis, an alternativemethod previously reported for evaluating the Lyapunov exponents is applied in the contextof coupled dynamical systems for evaluating the conditional Lyapunov exponents. This ap-proach is advantageous when there are discontinuities or when the calculation of the Jacobianmatrix is prohibitive. As an original contribution, this work presents a set of representativesimulations aiming a better understanding of the synchronism of neuronal dynamical systemsand also a first study concerning conditional Lyapunov exponents is more realist neuronalmodel, as performed here using Hodgkin-Huxley model.

Keywords: Dynamical systems, Lyapunov exponents, Neuron models, Synchronism.

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Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fundamentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Definições fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Conjuntos-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Estabilidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Estabilidade não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Ciclo-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Estabilidade estrutural de conjuntos-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 Bifurcação sela-nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Bifurcação transcrítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Bifurcação de forquilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Bifurcação de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.5 Mapa de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1 Cálculo dos expoentes de Lyapunov baseado em Mapa Tangente (Tan-

Map) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Sincronismo e expoentes condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Definições essenciais de sincronismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.1 Tipos de acoplamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Acoplamento unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.3 Acoplamento bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Expoentes de Lyapunov condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1 O Critério de sincronização de Pecora e Carroll . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Proposta de cálculo dos expoentes condicionados baseado na abordagem ClDyn 413.4 O método ClDyn e o cálculo dos expoentes de Lyapunov condicionados . . . 43

4 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1 Dinâmicas não-lineares clássicas com substituição completa . . . . . . . . . . 47

4.1.1 O sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2 O sistema de Rössler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.3 Oscilador Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ix

4.2 Consistência das abordagens TanMap e ClDyn e comparativos numéricos . . 544.3 Sincronismo neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1 O modelo de Hindmarsh-Rose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3.2 Análise da estabilidade do erro para o modelo de Hindmarsh-Rose com

acoplamento resistivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.3 Análise da estabilidade do sincronismo em modelos realistas de neurônios 774.3.4 O modelo de Hodgkin-Huxley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.5 Análise da estabilidade do erro para modelos H-H com acoplamento

resistivo e bidirecional sob estimulação forçada . . . . . . . . . . . . . 814.3.6 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Considerações finais e perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1 Perspectivas para futuros trabalhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Trabalhos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Trabalho submetido para publicação em periódico internacional . . . . . . . 88

A Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.1 Dinâmica do erro do acoplamento do modelo Hindmarsh-Rose . . . . . . . . 89A.2 Pontos de equilíbrio da dinâmica do erro do modelo Hindmarsh-Rose . . . . 91

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

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Dedico esta tese à minha querida esposa Fabiana Vieira,aos meus queridos filhos, Albert Vieira e Amanda Vieira,

à minha querida avó, Maria José (Dedé), com suas inúmeraspreces, e à minha querida tia e primeira professora, Tereza Vieira.

xi

Agradecimentos

Sei que muitos contribuíram de forma direta ou indireta para a construção deste tra-balho. Mas citarei alguns que estiveram mais próximos a mim em algum momento enquantoo mesmo era elaborado. Sendo assim, quero agradecer:

a Deus por ter me abençoado em todos os dias de minha vida, em especial, no períodoem que era desenvolvido este trabalho.

à minha avó Maria José e à minha tia Tereza Vieira, pois sem elas, talvez eu nãoestivesse nem vivo, muito menos ter este trabalho pronto.

à minha esposa Fabiana Vieira, pelo seu apoio e dedicação aos nossos filhos Albert eAmanda durante as minhas inúmeras ausências por motivos de viagens para ver este trabalhoconcretizado.

aos demais familiares, em particular, aos meus pais Manoel Vieira e Maria José por mecolocarem no Mundo e estarem sempre na torcida para que este projeto fosse concretizado.

a Romis Ribeiro de Faissol Attux, pois mesmo sem encontrar palavras que possamexpressar a minha eterna gratidão pela a oportunidade que me deu sendo o meu orienta-dor, não posso deixar de te agradecer por ter acreditado neste projeto, e, com sua enormepaciência, dedicação e competência foi possível torná-lo realidade.

aos meus coorientadores Diogo Coutinho Soriano e Filipe Ieda Fazanaro, pois foram osgrandes motores com suas imensas ajudas não só nos algoritmos, mas também pelas inúmerasdiscussões e ideias levantadas e executadas para a realização deste grande projeto profissionale de vida. Mesmo eu não podendo estar presente na Unicamp, estiveram sempre dispostospara trabalharmos via Skype. Serei eternamente grato a vocês.

ao professor Gustavo Fraidenraich, que educadamente me aceitou no programa dedoutorado.

aos professores da Pós-graduação da FEEC, entre eles: Reginaldo Palazzo, TakaakiOhishi, Renato Baldini, Celso de Almeida, João Marcos Travassos, José Cândido, Max Henri-que e Yuzo Iano por terem ministrado excelentes cursos de grande importância para a minhaformação.

à professora Ana Maria Amarillo Bertone, por ter sempre se colocada à disposiçãoquando precisei de seu apoio e por ter sido a primeira pessoa a me fomentar com a pesquisa,o meu infinito agradecimento.

xiii

ao professor e amigo Christian Pinedo, pela sua enorme ajuda e apoio durante oprocesso de afastamento para doutorado.

a Flávio Alexandre - grande matemático - pela amizade, apoio e confiança que sempredepositou em mim. Mesmo com as poucas vezes que conversamos nos últimos dias, não perdiaa oportunidade de discutir matemática comigo.

a Thadeu Alves Senne pela grandiosa ajuda no Matlab.

aos professores e colegas Silvânio de Andrade e Lícia Tavares por serem os meusincentivadores para estudar matemática.

a todos os professores do meu colegiado, em especial, a professora Elisângela Melo, aprofessora Fernanda Vital e o professor André Luiz Ortiz.

a Samuel Coelho pela imensa ajuda no Latex.

a todos os colegas do extinto colegiado do curso de Ciências/Matemática, entre eles:Francisco Aurilo, José Expedito, Liliana Dávila, Lilyan Luizaga, Elzimar Pereira, Nilo Mau-rício, Sandro Estevan, Alexsandro Silvestre, José Ricardo, Carlos Alberto,

a todos os funcionários que trabalham na UFT do Campus de Araguaína, em especial,aos que passaram domingos e feriados dividindo comigo xícaras de café nos últimos anos.

a todos os colegas da Pós-graduação da Unicamp, entre eles, Rogério, Zanetti, JúlioCésar, Julio Larco, Lorena, Carlos Carrión, Paúl, Júnior Soares e Hector pelo convívio e asboas discussões.

a todos os funcionários que trabalham na Unicamp, em particular os da Faculdade deEngenharia Elétrica e de Computação pelo apoio técnico.

à Universidade Federal do Tocantins por ter me liberado para fazer o doutorado, poissem esse apoio, esta tese não existiria.

a você por ter se interessado em ler este trabalho.

à Capes pelo auxílio financeiro.

xiv

“Quando eu era menino, falava como menino, sentia como menino, discorria como menino,mas, logo que cheguei a ser homem, acabei com as coisas de menino.”

(1 Coríntios 13:11)

xv

Lista de ilustrações

Figura 1 – Natureza dos pontos fixos de (2.11) no plano. . . . . . . . . . . . . . . . 16Figura 2 – (a) Ciclo-limite estável. (b) Ciclo-limite semiestável. (c) Ciclo-limite instável 18Figura 3 – Bifurcação sela-nó. A linha contínua descreve uma série de pontos de equi-

líbrio estáveis e a linha tracejada representa uma sequência de pontos deequilíbrio instáveis. As setas indicam o sentido das trajetórias do sistema. 20

Figura 4 – Bifurcação transcrítica. A linha contínua descreve uma série de pontos deequilíbrio estáveis e a linha tracejada representa uma sequência de pontosde equilíbrio instáveis. As setas indicam o sentido das trajetórias do sistema. 21

Figura 5 – Diagrama de bifurcação forquilha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 6 – Bifurcação de Hopf supercrítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 7 – Seção de Poincaré 𝑆 e uma órbita periódica 𝛾. . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 8 – Diagrama de bifurcação do mapa logístico apresentado em (2.42). . . . . 28Figura 9 – Expoentes de Lyapunov do mapa logístico apresentado em (2.42). . . . . 28Figura 10 – Evolução de um elemento de volume esférico em torno de um ponto inicial

y(0). Depois de um tempo 𝑡 a esfera torna-se um elipsóide. . . . . . . . . 29Figura 11 – Acoplamento unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 12 – Acoplamento bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 13 – Ilustração da evolução temporal do sistema de equações e das correções

empregadas em uma iteração típica da abordagem ClDyn. 𝛿(0)1𝑦 e 𝛿

(0)2𝑦

representam os vetores diferença de estados iniciais dados por 𝛿𝑦0{e1, e2}.p representa a projeção de 𝛿

(1)2𝑦 em 𝛿

(1)1𝑦 usada para obter o vetor u2. A e B

representam as condições iniciais para a próxima iteração do algoritmo [16]. 44Figura 14 – O atrator do sistema de Lorenz descrito em (4.1). . . . . . . . . . . . . . 49Figura 15 – Evolução temporal do sistema de Lorenz (4.1). . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 16 – O atrator do sistema de Rössler descrito em (4.3). . . . . . . . . . . . . . 51Figura 17 – Evolução temporal do Sistema de Rössler (4.3). . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 18 – O atrator do sistema de Duffing descrito em (4.6). . . . . . . . . . . . . . 53Figura 19 – Resultado numérico obtido pela abordagem ClDyn a partir do sistema

erro definido em (4.12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 20 – Sincronismo do sistema de Duffing na configuração mestre-escravo. . . . 57Figura 21 – Cenários de sincronismos na configuração mestre-escravo utilizando o sis-

tema de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 22 – Respectivos erros das configurações apresentadas no painel da Figura 21. 64

xvii

Figura 23 – O painel (a) apresenta o não sincronismo do sistema de Rössler quando𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡); (b) apresenta o não sincronismo do sistema de Rössler quando𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 24 – O painel (a) fornece a evolução temporal do erro obtido na configuraçãode 23a; (b) fornece a evolução temporal do erro obtido na configuração de23b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 25 – Evolução temporal dos expoentes condicionados do sistema de Lorenzquando 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 26 – Típico bursting neuronal caótico produzido pelo modelo de Hindmarsh-Rose. 69Figura 27 – Esquema de acoplamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Figura 28 – Máximo expoente de Lyapunov condicionado. . . . . . . . . . . . . . . . 71Figura 29 – Erro quadrático médio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Figura 30 – Máximo expoente de Lyapunov condicionado com 𝐼1 = 3 e 𝛼21 = 0. . . . 72Figura 31 – Evolução temporal do potencial de membrana dos neurônios com 𝐼2 = 2, 9

e 𝛼12 = 0, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 32 – Evolução temporal do potencial de membrana dos neurônios com 𝐼2 = 2, 9

e 𝛼12 = 0, 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 33 – Máximo expoente de Lyapunov condicionado com 𝛼21 = 0, 1. . . . . . . . 74Figura 34 – Erro quadrático médio com 𝛼21 = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 35 – Correlação com 𝛼21 = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Figura 36 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 3 e 𝛼21 = 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 37 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 3 e 𝛼21 = 0, 3. . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 38 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 2, 8 e 𝛼21 = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . 77Figura 39 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 3, 2 e 𝛼21 = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . 77Figura 40 – Equivalente elétrico do modelo de Hodgkin-Huxley. . . . . . . . . . . . . 78Figura 41 – (a) Resposta do potencial de membrana do modelo H-H para 𝐼𝑚 = 10𝜇𝐴/𝑐𝑚2.

(b) Comportamento caótico do potencial de membrana considerando con-dições iniciais próximas e 𝐼𝑚 definido por pulsos retangulares de amplitude6𝜇𝐴/𝑐𝑚2 e período 7 ms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 42 – Modelos H-H acoplados por um meio resistivo e bidirecional. . . . . . . . 81Figura 43 – O painel (a) Mostra o maior expoente condicional para o espaço de pa-

râmetros 𝛼12 × 𝛼21. (b) O erro quadrático médio entre os potenciais demembrana do neurônio emissor e receptor. (c) Correlação de Pearson en-tre os potenciais de membrana de emissor e receptor. . . . . . . . . . . . 84

Figura 44 – (a) Potenciais de membrana dos neurônios emissor e receptor para 𝛼12 =0, 02 e 𝛼21 = 0, 02. (b) Para 𝛼12 = 0, 17 e 𝛼21 = 0, 17 e (c) 𝛼12 = 0 e𝛼21 = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xviii

Lista de tabelas

Tabela 1 – Expoentes de Lyapunov condicionados para a configuração mestre-escravocom diferentes sinais (drives) emitidos pelo mestre. *Neste caso o expo-ente que fica na quinta coluna reside numa vizinhança de zero assumindoalgumas vezes valores positivos e outras vezes negativos, dependendo dacondição inicial atribuída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tabela 2 – Resultados obtidos por outros trabalhos para um comparativo. . . . . . . 62

xix

Lista de Acrônimos e Abreviações

ClDyn Cloned Dynamics approach (Abordagem via Dinâmicas Clonadas)GSR Gram-Schimidt Reorthonormalization (Reortonormalização de Gram-

Schimidt)TanMap Tangent Map methodology (Metodologia do Mapa Tangente)H-H Hodgkin-HuxleyH-R Hindmarsh-Rose

𝑎 escalara vetor 𝑛-dimensionalx vetor 𝑛-dimensional de variáveis de estadox0 vetor de condições iniciais das variáveis de estadoA matriz de ordem finitaI𝑁 matriz identidade de ordem 𝑁

(.)𝑇 transposto de um vetor ou matriz|𝑎| módulo do escalar 𝑎‖.‖ normal euclidianaTr(A) traço da matriz Adet(A) determinante da matriz quadrada A𝑚 dimensão do espaço de fase𝑛, 𝑡 índices de tempo discreto e contínuo, respectivamente�� derivada de 𝑥 em relação ao tempo 𝑡𝑓 , 𝑔, 𝑓 ′, 𝑔′ funções e suas respectivas derivadas𝑓𝑘 𝑘-ésima aplicação sucessiva de 𝑓F,f funções vetoriaisDf ,J matriz Jacobiana de fR𝑛 espaço euclidiano 𝑛-dimensional⟨x,y⟩ produto escalar entre os vetores x e y𝑊 , 𝑋, 𝑌 , Ω conjuntos𝛾 órbita∑

𝑗,∏

𝑗 respectivamente, somatório e produtório em 𝑗

𝑑(., .) distância entre dois pontos no espaço euclidiano𝜆𝑖 representação do 𝑖-ésimo expoente de Lyapunov𝐶1(Ω) espaço das funções continuamente diferenciáveis em Ω

xxi

1

1 Introdução

A observação de comportamento caótico em sistemas não-lineares em experimentose modelos computacionais vem sendo feita nas mais diversas áreas da ciência. Resultadosexperimentais anômalos que antes eram atribuídos a erros ou ruídos estão sendo reconside-rados para uma explicação em termos de novos conceitos incorporados na teoria de sistemasdinâmicos [3]. Sistema dinâmico pode ser entendido como todo sistema que evolui com otempo, qualquer que seja a sua natureza, a qual pode ser física, biológica, química, social oumesmo econômica [3, 61].

A sincronização é o processo através do qual os elementos de um sistema dinâmicopassam a exibir um comportamento coletivo. Sistemas naturais como vagalumes piscando,marcapassos cardíacos e neurônios disparando apresentam uma predisposição para atuar emsincronia [61]. Entre os vários modelos neuronais, pode-se destacar o de Hindmarsh-Rose,que é descrito por um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem acopladas,em que a variável de estado que representa o potencial de membrana mostra uma sucessãode alternância entre regime de atividade e de repouso [27], além do modelo de Hodgkin-Huxley com quatro variáveis de estado, que visa explicar a origem iônica do potencial deação neuronal [29].

Em um primeiro momento, a sincronização de sistemas não-lineares que podem operarem caos parece contraditória, tendo em vista que uma pequena variação nas condições iniciaisde um sistema desse tipo é potencialmente capaz de provocar divergência exponencial entretrajetórias ao longo do tempo. No entanto, se entre dois ou mais sistemas caóticos existealgum tipo de acoplamento, é possível que se observe o sincronismo entre eles, o que vemdespertando grande interesse por parte da comunidade científica desde a publicação dostrabalhos pioneiros de Yamada e Fujisaka [86] e de Pecora e Carroll [56]. Em linhas gerais,tais estudos exploram a convergência entre sistemas dinâmicos caóticos para uma mesmatrajetória, independentemente das suas condições iniciais, levando ao modo de sincronismocompleto [61]. Esse fenômeno vem sendo fonte de inspiração para soluções utilizadas emdiversos problemas práticos de engenharia, tal como o projeto de sistemas de comunicação [22]ou mesmo na neurociência computacional [30]. Tal fenômeno também é assunto de esforçosde cunho mais teórico, como aqueles ligados à própria identificação do caos via estimaçãodos expoentes de Lyapunov [72].

Na teoria de sistemas dinâmicos não-lineares, os expoentes de Lyapunov possuem fun-damental importância, já que medem a estabilidade do sistema dinâmico em estudo. Classi-

2 Capítulo 1. Introdução

camente, tais expoentes são obtidos via estimação do mapa tangente resultante da solução daequação variacional relativa à trajetória fiducial1 desenvolvida pelo sistema [3]. A aplicaçãodessa metodologia, não obstante, pode se tornar um procedimento trabalhoso quando o sis-tema dinâmico em estudo é não-suave. Nesse contexto, a abordagem das dinâmicas clonadasfoi desenvolvida no sentido de contornar as dificuldades em se obter o espectro de Lyapunovpara uma gama tão ampla quanto possível de sistemas dinâmicos não-lineares [3], a qual sebaseia, em essência, na teoria de perturbações para estimar os expoentes de Lyapunov.

Neste trabalho, procurou-se realizar um estudo acerca da aplicação da abordagem dasdinâmicas clonadas à caracterização do sincronismo entre sistemas dinâmicos não-lineares,suaves ou não, de acordo com os critérios apresentados por Pecora e Carroll [56]. Tambémfoi analisado o sincronismo entre diferentes trens de pulsos neuronais caóticos obtidos a par-tir de modelos de Hindmarsh-Rose com acoplamento resistivo e unidirecional, sendo que osneurônios emissor e receptor receberam diferentes níveis de excitação. Tal processo tambémfoi repetido no caso do modelo de Hodgkin-Huxley considerando excitações não-suaves. Pararealização desta tarefa, primeiramente, o sistema de equações diferenciais para o erro entreas variáveis de estado foi obtido levando em consideração o descasamento estimulatório entreemissor e receptor. Em seguida, verificou-se a análise de estabilidade do sincronismo empre-gando os expoentes de Lyapunov condicionados, onde os quais foram obtidos utilizando aabordagem das dinâmicas clonadas. No caso do modelo de Hodgkin-Huxley, o sincronismofoi suscitado em função dos acoplamentos neuronais. Os resultados permitiram observar umpadrão complexo para a estabilidade do sincronismo de acordo com o acoplamento entre osneurônios e com o descasamento estimulatório.

1.1 Objetivos

O objetivo inicial deste trabalho é aplicar uma metodologia previamente apresentadapara a análise de estabilidade de sistemas dinâmicos não-lineares baseada em teoria de pertur-bações com o intuito de avaliar o sincronismo entre osciladores desta natureza e calcular nãomais os expoentes de Lyapunov clássicos, mas sim os expoentes condicionados. Tal métododestaca-se por não necessitar da linearização das equações de estado, o que se torna adequadopara aplicação em cenários não-suaves ou mesmo em situações em que expressões matemá-ticas complexas são utilizadas, o que, até no presente momento, ainda não foi estudado nocontexto de análise de sincronismo entre sistemas dinâmicos. Neste sentido, apresenta-seprimeiramente o critério de sincronização de Pecora e Carroll aplicado a sistemas dinâmi-cos não-lineares operando em caos e interagindo entre si em uma estrutura mestre-escravo.

1 Trajetória de interesse associado à solução do sistema dinâmico.

1.2. Organização da tese 3

Neste cenário, são calculados os respectivos expoentes de Lyapunov condicionados tanto pelaaplicação de metodologias clássicas quanto por essa abordagem alternativa. Posteriormente,uma análise original da estabilidade do sincronismo entre bursting neuronais caóticos obti-dos a partir de modelos de Hindmarsh-Rose e Hodgkin-Huxley com acoplamento resistivo eunidirecional é realizado, utilizando-se da mesma metodologia alternativa. Destaca-se comocontribuição original, um conjunto de análises de sincronismo utilizando expoentes condicio-nados para a variação de múltiplos parâmetros no modelo de Hindmarsh-Rose, infatizando,sobretudo, o descasamento de acoplamento e de estimulação. No caso do modelo de Hodgkin-Huxley, apresenta-se aqui um primeiro estudo na literatura envolvendo o cálculo de expoentesde Lyapunov condicionados quando o acoplamento entre as dinâmicas é modificado, o qualse justifica pelas facilidades da abordagem empregada.

1.2 Organização da teseEsta tese de doutoramento está organizada da seguinte forma: o capítulo 1 apresenta

uma breve introdução geral. O capítulo 2 apresenta de forma sucinta os conceitos fundamen-tais utilizados nos capítulos seguintes. O capítulo 3 apresenta as definições de sincronismoe da abordagem das dinâmicas clonadas, as quais serão fundamentais para o entendimentodo fenômeno de sincronismo entre osciladores clássicos da literatura como também para osincronismo neuronal. No capítulo 4, são apresentados os conceitos referentes aos modelosHindmarsh-Rose e Hodgkin-Huxley, regimes de disparos, sincronização no caso de neurôniosacoplados e os resultados numéricos de maneira geral. No capítulo 5, estão as consideraçõesfinais. Finalmente, no apêndice A, estão contidas algumas deduções, como aquela relativa àdinâmica do erro de acoplamento do modelo Hindmarsh-Rose.

5

2 Fundamentos teóricos

O marco inicial do desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos está ligado àsinvestigações da Mecânica Celeste, ramo da Astronomia que estuda os movimentos dos corposcelestes [44, 62]. Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu leis que regem o movimento dessescorpos a partir das leis de Kepler (1571-1630), e formulou as equações de movimento apartir do cálculo diferencial. Com isso, chegou-se a uma análise descritiva do sistema solar, econsolidou-se uma forma de estudos em que eram levadas em consideração as causas e efeitos.Teve início então a modelagem científica de sistemas através de equações diferenciais [20].Os desafios subsequentes deram origem a várias técnicas de abordagem do problema de 𝑛corpos, como a técnica de perturbação. Com o avanço da modelagem científica em outrasáreas do conhecimento, tornou-se possível que essas técnicas fossem adaptadas para sistemasdinâmicos em geral.

Em seu livro Essai Philosophique sur les Probabilités, publicado em 1812, P. S. La-place (1749-1827) reflete a pretensão científica daquela época. Segundo o autor, se algumainteligência pudesse conhecer a posição e velocidade de cada partícula do universo num dadoinstante, assim como a massa e a força que age sobre cada uma dessas partículas, então essainteligência poderia prever o futuro do universo para qualquer horizonte de tempo. O pen-samento determinista de Laplace perdeu força no século XX, com o surgimento da mecânicaquântica e o aprofundamento nos estudos de equações diferenciais não-lineares [44].

J.H. Poincaré (1854-1912) introduziu novas técnicas e metodologias para lidar com asequações diferenciais não-lineares. Até o final do século XIX, buscavam-se fórmulas que per-mitissem realizar previsões precisas através da integração analítica das equações. Foi entãoque Poincaré notou que as propriedades qualitativas das soluções podiam ser investigadas,sem que tais soluções precisassem ser determinadas explicitamente. Ele encampou uma abor-dagem qualitativa, utilizando técnicas geométricas e topológicas [44].

Em sistemas não-lineares, uma pequena variação em um parâmetro ou condição dosistema pode dar início a uma mudança de comportamento em larga escala, muitas vezes emum âmbito bastante complexo. Essa noção se vincula ao conceito de comportamento caó-tico. Neste contexto, o termo caos é usado para descrever estudo de determinados fenômenoscom características aperiódicas ou aparente aleatoriedade [3]. Pode ser que Poincaré tenhasido o primeiro a perceber a existência de caos no problema dos três corpos na sua versãosimplificada [44]. Poincaré concluiu que é impossível encontrar uma fórmula exata que des-creva o movimento dos corpos a partir de uma condição inicial qualquer. Como já delineado,

6 Capítulo 2. Fundamentos teóricos

caos ocorre em um sistema determinístico quando seu comportamento é aperiódico e dependesensivelmente das condições iniciais (DSCI). Poincaré escreveu, sobre o problema dos trêscorpos: “...pode acontecer que pequenas diferenças nas condições iniciais produzam grandesdiferenças no fenômeno final. A previsão torna-se impossível...” [44].

O trabalho combinado de A. N. Kolmogorov (1903-1987), V. I. Arnold (1937-2010) eJ. K. Moser (1928-1999), realizado em meados do século XX, mostrou que, dependendo dascondições iniciais, as soluções em série do problema de três corpos podem convergir ou diver-gir [44]. Esse e outros estudos motivaram, em grande parte, a definição de comportamentocaótico de um sistema, tal como abordado mais adiante e formalizado em [38]. Atualmente,identificam-se comportamentos em sistemas dinâmicos aperiódicos nas mais diversas áreasda ciência, como sistemas físicos, químicos, biológicos, econômicos etc.

2.1 Definições fundamentais

A principal tarefa desta seção é apresentar ferramentas para análise da dinâmica desistemas não-lineares. Esta análise possui duas abordagens diferentes. A primeira delas équalitativa, tendo como objetivo principal compreender o comportamento global da evoluçãodo sistema dinâmico. A segunda é quantitativa, e procura analisar a evolução do sistema àmedida que o tempo evolui.

2.1.1 Sistemas dinâmicos

Um sistema dinâmico pode ser visto como um conjunto de possíveis estados de umsistema que são formados por regras que determinam o seu estado atual em função de estadosanteriores [3]. Tais dinâmicas são estabelecidas, especificamente, por equações diferenciais(em tempo contínuo) ou por equações a diferenças (em tempo discreto). Um sistema será detempo contínuo se o tempo 𝑡 pertencer ao conjunto dos números reais. Por sua vez, o mesmoserá de tempo discreto se 𝑡 pertencer ao conjunto dos números naturais ou inteiros [44].

De maneira geral, um sistema dinâmico contínuo pode ser representado por umaequação diferencial como a descrita em (2.1). Por outro lado, um sistema discreto pode serrepresentado por equações a diferenças, como pode ser visto em (2.2). Nesta tese, tanto defi-nições no âmbito de sistemas de tempo contínuo como de tempo discreto serão apresentados,embora as análises tenham se desenvolvido no âmbito de sistemas de tempo contínuo. Even-tualmente, conceitos pertinentes à dinâmica de tempo discreto serão utilizados em provasou demonstrações sem perda de generalidade. Neste sentido, o conjunto de quantidades 𝑥𝑗,sendo 𝑗 = 1, 2, . . . ,𝑚, determinam o estado do sistema dinâmico, caracterizando um ponto

2.1. Definições fundamentais 7

x = [𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑚]𝑇 no espaço R𝑚 [4]. As quantidades 𝑥𝑗 evoluem no tempo e são chamadasde variáveis de estado, enquanto os parâmetros da dinâmica são invariantes no tempo quetambém influenciam o comportamento do sistema. O conjunto de todos os estados possíveisde um sistema é chamado de espaço de estados ou espaço de fase [4].

A solução de uma equação diferencial para uma condição inicial x0 é chamada detrajetória (ou órbita). O conjunto de trajetórias produzidas por todas as condições iniciais édenominado de fluxo [44]. Quando algum dos componentes de f(·) do sistema definido em (2.1)for não-linear (i.e. não puder ser escrito como uma combinação linear das variáveis de estado),o sistema dinâmico será dito não-linear. Do contrário, ele será linear. Um sistema dinâmicoserá caracterizado como autônomo quando não depende explicitamente do tempo. No entanto,se houver alguma dependência explícita do tempo o mesmo será não-autônomo [44].

Em relação à conservação de energia, um sistema é dito conservativo se, durantesua evolução temporal, há preservação de volume no espaço de fase. Os pontos num dadovolume se movem, com o passar do tempo de forma que, em um instante posterior, o volumeocupado por esses pontos permanece inalterado. Um sistema é dissipativo se, durante suaevolução temporal, há contração de volume no espaço de fase [44]. É possível apontar dentrodo espaço de fase diferentes tipos de atratores em sistemas, sendo que estes apresentamcomportamento estacionário (ponto fixo), periódico, quase-periódico ou caótico. Atratoressão regiões no espaço de estados para as quais as soluções do sistema dinâmico convergem,isto é, são regiões para onde as trajetórias do sistema são atraídas à medida que 𝑡 → ∞ [17].

Neste sentido, quando uma trajetória segue para um determinado ponto no espaçode estados e lá permanece, tem-se um ponto fixo (solução estacionária mencionada), já assoluções que se repetem num dado intervalo de tempo denominado período, são denominadasciclos-limite [36]. O sistema é dito quase-periódico quando o mesmo apresenta um númerofinito de soluções periódicas sendo que a razão entre as frequências existentes é irracional [55].Por outro lado, nos sistemas caóticos, as órbitas do atrator nunca apresentarão periodicidade,embora, essas órbitas estejam confinadas (atraídas) a uma região limitada do espaço de fase.Assim, atratores que apresentam aperiodicidade e sensibilidade em relação às condições inici-ais são ditos estranhos [38]. O conjunto de todas as possíveis condições inicias que convergempara o mesmo atrator, como será visto matematicamente na definição 2.12, é denominadobacia de atração [17]. Em geral, cada atrator é inteiramente delimitado no espaço de fase porsua própria bacia de atração.

A seguir, será apresentada uma definição formal de sistemas dinâmicos. Sendo assim,considere o seguinte sistema dinâmico na forma vetorial descrito em (2.1):


x(𝑡) = f(x(𝑡), 𝑡) (2.1)

onde f(x(𝑡), 𝑡) é um vetor de funções com componentes 𝐹𝑗(x(𝑡), 𝑡) para 𝑗 = 1, 2, . . . ,𝑚,denominado campo vetorial [4]. Analogamente, sistemas de equações a diferenças obedecemà seguinte forma vetorial:

x(𝑛+ 1) = f(x(𝑛), 𝑛) (2.2)

Portanto, o conjunto de pontos resultante das sucessivas aplicações do mapeamento de estadosa partir de uma determinada condição inicial x0 = x(𝑡0) no caso contínuo ou x0 = x(𝑛0) nocaso discreto define uma trajetória 𝜙(𝑡,x0) e 𝜙(𝑛,x0) para os respectivos casos [17].

Como grande parte deste trabalho é concentrada em sistemas autônomos, considereo sistema dinâmico autônomo apresentado em (2.3), derivado do sistema (2.1).

x = f(x) (2.3)

onde x ∈ R𝑛 é o vetor de estados do sistema com campo vetorial f : R𝑛 → R𝑛 de classe 𝐶1,condição suficiente para garantir a existência e unicidade das soluções de (2.3). A unicidadedas soluções garante que trajetórias não se interceptam. Dado Ω ⊆ R𝑚, diz-se que uma funçãof : Ω → R𝑛 é de classe 𝐶1(Ω) se é diferenciável com derivadas contínuas em Ω [11].

Agora será apresentado um teorema que será muito útil na seção 3.2.1, denominadocomo Teorema de Existência e Unicidade de Solução.

Teorema 2.1 (Existência e Unicidade) Seja Ω um subconjunto aberto de R𝑛 contendo x0 esuponha que f ∈ 𝐶1(Ω). Então existe um 𝛿 > 0 tal que o problema de valor inicial

x = f(x), x(0) = x0 (2.4)

tem uma única solução x(𝑡) no intervalo [−𝛿, 𝛿].

O conceito de invariância também é de fundamental importância na análise de siste-mas dinâmicos.

Definição 2.1 Um conjunto Ω ⊂ R𝑛 é invariante com relação ao sistema autônomo (2.3)se, para todo x0 ∈ Ω, a solução 𝜙(𝑡,x0) ∈ Ω, para todo 𝑡 ∈ R.

2.2. Conjuntos-limite 9

2.2 Conjuntos-limitePara cada ponto de equilíbrio de um sistema não-linear, obtém-se uma matriz cons-

tante, que corresponde à aproximação linear ao redor desse ponto de equilíbrio. Os valorese vetores próprios dessa matriz permitem analisar a estabilidade do sistema na vizinhançado respectivo ponto de equilíbrio, da mesma forma como é feito para os sistemas lineares.Pensando nisso, será apresentada a seguinte definição:

Definição 2.2 Considere a aplicação x ↦→ f(x) = (𝑓1(x), · · ·, 𝑓𝑛(x)). Suponha que cadaderivada parcial, 𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑥𝑗(x0) exista e seja contínua em x0. A derivada de f em x0 ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛, é

a matriz

(Df(x0))𝑛×𝑛 = 𝜕f𝜕x

(x0) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝜕

𝜕𝑥1𝑓1(x0)

𝜕

𝜕𝑥2𝑓1(x0) · · · 𝜕

𝜕𝑥𝑛

𝑓1(x0)𝜕

𝜕𝑥1𝑓2(x0)

𝜕

𝜕𝑥2𝑓2(x0) · · · 𝜕

𝜕𝑥𝑛

𝑓2(x0)... ... · · · ...

𝜕

𝜕𝑥1𝑓𝑛(x0)

𝜕

𝜕𝑥2𝑓𝑛(x0) · · · 𝜕

𝜕𝑥𝑛

𝑓𝑛(x0)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. (2.5)

ou, simplesmente, Df(x0)𝑖𝑗 = 𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑥𝑗(x0). Ao longo deste trabalho, a equação (2.5) será escrita

apenas como J = Df(x0)𝑖𝑗 para denotar a matriz jacobiana.

Na investigação de sistema dinâmico, o interesse pelo seu comportamento assintótico,no intuito de se obter informações sobre a tendência das soluções quando o tempo tende aoinfinito, é de grande relevância. Essas informações podem ser extraídas dos conjuntos-limite.

Definição 2.3 Um ponto a ∈ R𝑛 é um ponto 𝜔-limite da solução 𝜙(𝑡,x0) de (2.3) se existiruma sequência 𝑡𝑗, com 𝑡𝑗 → +∞ quando 𝑗 → +∞, tal que 𝜙(𝑡𝑗,x0) → a, quando 𝑗 → +∞.O conjunto de todos os pontos 𝜔-limite de 𝜙(𝑡,x0) é chamado conjunto 𝜔-limite da solução𝜙(𝑡,x0), ou simplesmente 𝜔-limite de x0 e é denotado por 𝜔(x0).

Suponha que o interesse agora, é ter informação sobre o comportamento assintóticodas soluções no passado, ou seja, quando 𝑡 → −∞. Neste caso, os conjuntos 𝛼-limite devemser estimados.

Definição 2.4 Um ponto a ∈ R𝑛 é um ponto 𝛼-limite da solução 𝜙(𝑡,x0) de (2.3) se existiruma sequência 𝑡𝑗, com 𝑡𝑗 → −∞ quando 𝑗 → +∞, tal que 𝜙(𝑡𝑗,x0) → 𝑎, quando 𝑗 → +∞.O conjunto de todos os pontos 𝛼-limite de 𝜙(𝑡,x0) é chamado conjunto 𝛼-limite da solução𝜙(𝑡,x0), ou simplesmente 𝛼-limite de x0 e é denotado por 𝛼(x0).


Os conjuntos-limite podem ser muito complexos. Como já dito, os mesmos são cons-tituídos por equilíbrios, ciclos-limite, órbitas quase-periódicas, orbitas caóticas ou pela uniãode um certo conjunto de órbitas [2].

Quando se analisa o comportamento de sistemas dinâmicos, a estabilidade é o estudodo comportamento dinâmico local de (2.3) numa vizinhança de uma determinada solução deinteresse [82]. Há várias definições de estabilidade, porém, neste texto a definição será dadano sentido de Lyapunov, como delineado anteriormente.

Definição 2.5 Considere 𝜓(𝑡) a solução de (2.3) passando por y0 no tempo 𝑡 = 0. Suponhaque esta solução esteja definida para todo 𝑡 ≥ 0. A solução 𝜓(𝑡) é estável no sentido deLyapunov, ou simplesmente estável, se, dado 𝜀 > 0, 𝜀 arbitrariamente pequeno, existir um𝛿 > 0 tal que, para toda condição inicial x0 satisfazendo ‖x0 − y0‖ < 𝛿, a solução passandopor x0, 𝜙(𝑡,x0), está definida para todo 𝑡 ≥ 0 e satisfaz ‖𝜙(𝑡,x0)−𝜓(𝑡)‖ < 𝜀, para todo 𝑡 ≥ 0.

A definição 2.5 assegura que uma solução é estável se qualquer solução iniciandosuficientemente próxima dela, permanecerá próxima em qualquer tempo 𝑡.

Um dos objetos de interesse de bastante relevância em sistemas dinâmicos é o estudoda estabilidade de pontos de equilíbrio ou pontos fixos, que usualmente estão associados apontos de operação de sistemas físicos. Esses pontos são objetos geométricos de dimensãonula que representam as soluções estacionárias, isto é, valores que quando atingidos, fazemcom que o sistema pare de se mover no espaço de fase [44]. Os pontos de equilíbrio tambémsão muito importantes na caracterização de bifurcações, bem como de ciclos-limite.

Definição 2.6 Diz-se que x* ∈ R𝑛 tal que f(x*) = 0 é um ponto de equilíbrio (ou pontosingular) do sistema (2.3).

Sendo assim, se x* ∈ R𝑛 for um ponto de equilíbrio de (2.3), então a solução de (2.3)iniciando em x* no tempo 𝑡 = 0 será a função constante 𝜙(𝑡,x*) = x*. Por outro lado,para sistemas de tempo discreto como definidos em (2.2), pontos fixos são definidos da formax(𝑛+ 1) = x(𝑛). Além disso, o ponto de equilíbrio é um conjunto invariante de (2.3) [82].

Soluções quase-periódicas se caracterizam por definir um movimento composto porduas ou mais frequências independentes cuja razão é um número irracional. Sendo assim,típicas soluções estáveis residem na superfície de um toro 𝑝-dimensional, onde 𝑝 é o númerode frequências independentes [17, 70]. Por outro lado, se a razão entre essas frequências forracional, essa solução terá comportamento periódico [25].


Agora, serão acrescentadas mais informações sobre o comportamento local do sistemadinâmico (2.3) na vizinhança de um ponto de equilíbrio. Para isso, os conceitos de estabili-dade, hiperbolicidade e atratividade são fundamentais [11].

Definição 2.7 Um ponto de equilíbrio x* de (2.3) é estável se, para cada 𝜀 > 0 arbi-trariamente pequeno, existir um 𝛿 > 0 tal que, para toda condição inicial x0 satisfazendo‖x0 − x*‖ < 𝛿, tem-se ‖𝜙(𝑡,x0) − x*‖ < 𝜀, para todo 𝑡 ≥ 0.

Definição 2.8 Um ponto de equilíbrio x* do sistema dinâmico autônomo (2.3) é instável seele não é estável [11,28].

A importância de se obter os autovalores da matriz jacobiana calculada no pontode equilíbrio x*, será mostrada nos dois teoremas a seguir. Eles fornecem uma condiçãonecessária para a existência ou não de estabilidade assintótica. As demonstrações dessesteoremas podem ser encontradas em [28].

Teorema 2.2 Seja x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 um ponto de equilíbrio de (2.3). Se todos os autovaloresde DF(x*) têm partes reais negativas, então o ponto de equilíbrio x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 é assintoti-camente estável.

Teorema 2.3 Seja x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 um ponto de equilíbrio de (2.3). Se pelo menos um au-tovalor de DF(x*) tem parte real positiva, então o ponto de equilíbrio x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 éinstável.

Os pontos de equilíbrio possuem ainda a classificação da definição 2.9.

Definição 2.9 Um ponto de equilíbrio x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 de (2.3) é chamado de hiperbólico, setodos os autovalores de DF(x*) possuem partes reais não nulas. Em caso contrário, x* ∈𝑊 ⊂ R𝑛 é chamado um ponto de equilíbrio degenerado.

Assim, se pelo menos um autovalor de J tiver parte real nula, x* é dito um ponto nãohiperbólico. E é possível mostrar que os pontos de equilíbrio hiperbólicos ou são assintotica-mente estáveis ou instáveis [28]. Estes pontos de equilíbrio podem ser atratores, repulsoresou do tipo sela.

Definição 2.10 Um ponto de equilíbrio hiperbólico x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 de (2.3) é denominadoatrator se todos os autovalores de DF(x*) têm partes reais negativas e um repulsor se todos


os autovalores têm partes reais positivas. Se todos os autovalores de um atrator (ou repulsor)forem reais, ele será chamado de um nó atrator (ou nó repulsor) e, se todos os autovaloresforem complexos, de um foco atrator (ou foco repulsor).

Definição 2.11 Um ponto de equilíbrio hiperbólico x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 de (2.3) é denominadosela se pelo menos dois autovalores de DF(x*) possuírem partes reais de sinais opostos.

Associado a um ponto de equilíbrio assintoticamente estável, há, como indicado em(2.6), um conjunto denominado bacia de atração.

Definição 2.12 Seja x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 um ponto de equilíbrio assintoticamente estável de (2.3).A bacia de atração de x* ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 é o conjunto

ℬ(x*) = {x ∈ 𝑊 : lim𝑡→∞

𝜑𝑡(x) = x*}. (2.6)

Outras definições, muito utilizadas neste trabalho, são os conceitos de órbita e órbitaperiódica de uma equação diferencial [3, 28,36].

Definição 2.13 Uma órbita de (2.3), iniciando no ponto y ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛, é um conjuntoordenado

𝒪(y) = {x ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 : 𝜑𝑡(y) = x para todo 𝑡 ∈ 𝐽(y) ⊂ R}. (2.7)

Definição 2.14 Uma órbita periódica 𝛾 ⊂ 𝑊 ⊂ R𝑛 é uma órbita de (2.3) se, para todoy ∈ 𝛾,

𝜑𝑡+𝑇 (y) = 𝜑𝑡(y) para todo 𝑡 ∈ 𝐽(y) = R. (2.8)

O menor 𝑇 ∈ R com 𝑇 > 0, para o qual (2.8) ocorre, é denominado período da órbitaperiódica.

De modo análogo aos pontos de equilíbrio, as órbitas periódicas podem ser estáveis,assintoticamente estáveis ou instáveis [3, 19, 28,36].


Definição 2.15 Uma órbita periódica 𝛾 ⊂ 𝑊 ⊂ R𝑛 é denominada estável, se dado 𝜀 > 0,existir uma vizinhança 𝑉 ⊂ 𝑊 ⊂ R𝑛 de 𝛾 ⊂ 𝑊 ⊂ R𝑛 tal que se x ∈ 𝑉 , então 𝑑(𝜑𝑡(x), 𝛾) < 𝜀,

para todo 𝑡 ≥ 0.

Se na definição 2.15, forem tomados p ∈ 𝑊 ⊂ R𝑛 e y ∈ 𝛾, segue-se que

𝑑(p, 𝛾) = infy∈𝛾

‖p − y‖ (2.9)

onde ‖ · ‖ é a norma usual em R𝑛.

Definição 2.16 Uma órbita periódica 𝛾 ⊂ 𝑊 ⊂ R𝑛 é denominada assintoticamente estávelse for estável e

lim𝑡→∞

𝑑(𝜑𝑡(x), 𝛾) = 0. (2.10)

Definição 2.17 Uma órbita periódica 𝛾 ⊂ 𝑊 ⊂ R𝑛 é denominada instável se não for estável.

Assim como ocorre para os pontos de equilíbrio, as órbitas periódicas podem ser hiperbólicasou não hiperbólicas.

A próxima definição é de grande importância, já que ela fornece condição para verificarse dois campos vetoriais são topologicamente conjugados.

Definição 2.18 Um homeomorfismo do conjunto 𝑋 ⊂ R𝑚 sobre um conjunto 𝑌 ⊂ R𝑛 éuma bijeção contínua f : 𝑋 → 𝑌 cuja inversa f−1 : 𝑌 → 𝑋 também é contínua.

Nas proximidades de um ponto de equilíbrio hiperbólico, o comportamento de umsistema dinâmico não-linear como descrito em (2.3), é equivalente ao comportamento dosistema dinâmico linearizado. Neste sentido, o Teorema de Hartman-Grobman estabeleceque na vizinhança de pontos de equilíbrio hiperbólicos, existe um homeomorfismo h queconjuga os campos vetoriais, isto é, h𝑜J = f𝑜h, o que garante, localmente, a existência deuma correspondência contínua e biunívoca entre as trajetórias do sistema linearizado e donão-linear. Essa correspondência é garantida pelo homeomorfismo h e preserva o sentido dedireção de evolução do tempo [2, 44]. Para isso, a definição a seguir será fundamental [73].


Definição 2.19 Sejam 𝜙(𝑡,x) e 𝜓(𝑡,x) as soluções geradas pelos sistemas de equações di-ferenciais x = f(x) e x = g(x), em que f , g : Ω ⊂ R𝑛 → R𝑛 respectivamente. Diz-se quef é topologicamente conjugado a g quando existe um homeomorfismo h : Ω → Ω tal queh(𝜙(𝑡,x)) = 𝜓(𝑡,h(x)).

Da definição 2.19 observa-se que as soluções dos sistemas x = f(x) e x = g(x) têma mesma estrutura. Em particular, o homeomorfismo h leva ponto singular de f em pontosingular de g, além de levar órbitas periódicas em órbitas periódicas [73].

Teorema 2.4 (Grobman-Hartman) Sejam f : 𝑋 → R𝑛 um campo vetorial de classe 𝐶1 noaberto 𝑈 ⊆ R𝑛 e x* um ponto singular hiperbólico. Então existem vizinhanças 𝑉 de x* e 𝑊de 0 em 𝑅𝑛 tais que f|𝑉 é topologicamente conjugado a DF(x*)|𝑊 .

O Teorema 2.4, demonstrado em [73], garante que, para avaliar a estrutura localdas soluções de um sistema não-linear x = f(x) na vizinhança de um ponto de equilíbriohiperbólico x*, basta analisar o retrato de fase do sistema linear associado, x = J(0)x,numa vizinhança da origem. Isso porque a estabilidade de um ponto de equilíbrio hiperbólicoé preservada quando se lineariza o sistema em torno desse ponto, de modo que o retratode fase, na sua vizinhança, é topologicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fase dosistema linear associado. Dois retratos de fases são topologicamente orbitalmente equivalentesquando um é uma versão distorcida do outro. Se o ponto de equilíbrio é não-hiperbólico, ouseja, se há algum autovalor com parte real nula, então o Teorema de Grobman-Hartman nãopode ser usado [44].

2.2.1 Estabilidade linear

Agora, diante de todas as informações importantes, a compreensão da estabilidade li-near torna-se mais atraente no âmbito geométrico. Sendo assim, considere o sistema dinâmicolinear bidimensional descrito pela equação (2.11)

x = Ax (2.11)

onde A é a matriz constante denotada por:

A =⎡⎣ 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

⎤⎦ (2.12)


e o vetor x é dado por x = [𝑥, 𝑦]𝑇 . Como o sistema (2.11) é linear, uma possível solução suaserá da forma:

x(𝑡) = 𝑒𝜆𝑡u (2.13)

onde 𝜆 é a taxa de crescimento e u um vetor que pode ser obtido a partir da equação (2.14).

(A − 𝜆I)u = 0 (2.14)

onde I é a matriz identidade de ordem 2. O sistema (2.14) terá solução não trivial se odeterminante

det(A − 𝜆I) = 0 (2.15)

que possui a seguinte equação característica

𝜆2 − 𝜇𝜆+ 𝛿 = 0, (2.16)

onde

𝜇 = 𝑎+ 𝑑 = 𝑡𝑟(A), 𝛿 = 𝑎𝑑− 𝑏𝑐 (2.17)

são respectivamente o traço e o determinante da matriz A. As raízes da equação (2.16) sãoda forma:

𝜆𝑗 = 12(𝜇+

√𝜇2 − 4𝛿), 𝑗 = 1, 2, (2.18)

rotuladas de autovalores da matriz A. Neste sentido, se 𝜇2 − 4𝛿 > 0, os autovalores 𝜆𝑗 serãoreais; já para 𝜇2 − 4𝛿 < 0, serão complexos. Por outro lado, se 𝜇2 − 4𝛿 = 0, a solução geralde (2.11) será

x(𝑡) = 𝑐1u1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2u2𝑒

𝜆2𝑡, (2.19)


com 𝑐1 e 𝑐2 constantes. A natureza dos pontos fixos de (2.11) depende dos autovalores 𝜆1

e 𝜆2; enquanto que a geometria das trajetórias depende dos autovetores associados a essesautovalores. A Figura 1 ilustra essas possibilidades no plano de fase.

Nó estável

CentroSela

Nó instável

Espiralestável

Espiralinstável

Pontosdegenerados

d

m

Figura 1 – Natureza dos pontos fixos de (2.11) no plano.

Neste contexto, se 𝛿 < 0 os autovalores serão reais e com os sinais distintos, formandouma direção expansiva e outra contrativa, e neste caso, o ponto fixo será uma sela. Quando𝛿 > 0, os autovalores poderão ser tanto reais de mesmo sinal - obtendo pontos fixos do tiponó - como complexos conjugados - determinando centros e espirais. Para a obtenção de nós,também será preciso que 𝜇2 − 4𝛿 > 0; enquanto, para a obtenção de espirais, a restrição𝜇2 − 4𝛿 > 0 é fundamental. Já a parábola 𝜇2 − 4𝛿 = 0 define estrelas e nós degenerados quesão casos de fronteira ou transição entre estruturas topológicas mais comuns (nós e focos).Tanto estrelas como nós degenerados apresentam autovalores repetidos, sendo que as estrelasse caracterizam por apresentarem autovetores independentes, enquanto os nós degeneradosapresentam multiplicidade tanto dos autovalores como dos autovetores [70, 74]. Outro típicocaso de fronteira ou transição é dado pelos centros de estabilidade neutra obtidos quando𝜇 = 0.

A estabilidade de nós e espirais depende de 𝜇. Se 𝜇 < 0 os autovalores terão partesreais negativas, e assim os pontos fixos serão estáveis. Se 𝜇 > 0 os autovalores terão partesreais positivas e os pontos fixos serão instáveis. Centro de estabilidade neutra ficam na reta𝜇 = 0, onde os autovalores são puramente imaginários.

2.2.2 Estabilidade não-linear

Em sistemas lineares invariantes no tempo, o cálculo dos autovalores e autovetoresfornece todas as informações do comportamento dinâmico do sistema. Conforme exposto,


sob algumas condições, na vizinhança de um ponto de equilíbrio, o sistema não-linear temcomportamento do ponto de vista qualitativo, da mesma maneira que o sistema linearizadoassociado [2, 82]. Portanto, do ponto de vista local, a análise do comportamento dinâmicode um determinado sistema dinâmico não-linear reduz-se, sob certas condições, a avaliaro sistema linearizado associado. Então, para determinar a estabilidade de x*, considere atransformação

y = x − x*, (2.20)

como sendo uma pequena perturbação em torno de x*. Neste sentido, o sistema (2.20) torna-se em

y = f(x* + y). (2.21)

Expandindo em série de Taylor o lado direito de (2.21) em torno de x*, obtém-se

y = f(x*) + J(x*)y + O(‖y‖2). (2.22)

onde J é a matriz jacobiana de f(x) calculada no ponto de equilíbrio x* e ‖ · ‖ uma normaem R𝑛. Usando o fato que f(x*) = 0, (2.22) torna-se

y = J(x*)y + O(‖y‖2). (2.23)

A equação (2.23) descreve a evolução de órbitas próximas a x*. Como o problema central écompreender o comportamento de soluções arbitrariamente próximas a x*, sendo assim, umaresposta razoável para responder a esta questão, é estudar o sistema linear associado comodescrito em (2.24):

y = J(x*)y. (2.24)

Neste sentido, avaliar a estabilidade de x*, significa avaliar a estabilidade linear de (2.24)quando os termos de 2𝑎 ordem puderem ser desconsiderados.

Neste sentido, o Teorema 2.4 proporciona uma técnica para estudar a estabilidadede um ponto de equilíbrio de um sistema não-linear. Com efeito, um ponto de equilíbriohiperbólico é assintoticamente estável se e somente se todos os autovalores da matriz jacobianado sistema linearizado associado possuem parte real negativa [82].


2.2.3 Ciclo-limite

Um objeto de grande relevância nos estudos de sistemas dinâmicos não-lineares é atrajetória que resulta em movimento periódico. Tal trajetória fechada e isolada, que costumaaparecer no retrato de fase de sistemas não-lineares, é denominada ciclo-limite, e foi estudadainicialmente por Poincaré na segunda metade do século XIX. Diz-se trajetória isolada pelaausência de outras trajetórias fechadas infinitesimalmente próximas [44]. Por esta razão,trajetórias vizinhas a um ciclo-limite devem se aproximar ou se afastar dele. Diz-se que umciclo-limite é assintoticamente estável quando as trajetórias vizinhas internas e externas seaproximam do mesmo à medida que o tempo evolui. Se as trajetórias vizinhas se afastam,diz-se que o ciclo-limite é instável. Entretanto, se as trajetórias se aproximam por um lado,mas se afastam pelo o outro, neste caso, diz-se que o ciclo é semiestável. A Figura 2 ilustraessas possibilidades.

Os ciclos-limite são soluções típicas, por exemplo, de osciladores forçados não-lineares.Eles podem ocorrer em várias situações, como em sistemas neurais, circuitos elétricos, vibra-ções de cordas de violino e osciladores químicos [17].

(a) (b) (c)

Figura 2 – (a) Ciclo-limite estável. (b) Ciclo-limite semiestável. (c) Ciclo-limite instável

Encontrar ciclos-limite em alguns sistemas não-lineares não é nada trivial, mesmohavendo vários indícios que os mesmos possam existir. Porém, para o espaço bidimensional,há resultados que apontam caminhos para a existência de ciclos-limite, que são o Teoremade Poincaré-Bendixson e o Critério de Bendixson [17].

Teorema 2.5 (Poincaré-Bendixson) Seja Ω um domínio finito que não contém pontos esta-cionários e do qual trajetórias não partem. Então Ω contém um ciclo-limite.

Teorema 2.6 (Critério de Bendixson) Seja o sistema de equações diferenciais ordinárias

�� = 𝑓(𝑥, 𝑦), �� = 𝑔(𝑥, 𝑦)

. Se a expressão 𝜕𝑓𝜕𝑥

+ 𝜕𝑔𝜕𝑦

não é identicamente nula e não muda de sinal em um domínio Ω,então a equação diferencial não apresenta órbitas fechadas em Ω.

2.3. Estabilidade estrutural de conjuntos-limite 19

Comportamento caótico ocorre apenas em sistemas não-lineares com pelo menos trêsdimensões. O teorema de Poincaré Bendixson limita as possibilidades da dinâmica e impos-sibilita a existência do caos em duas dimensões. Esse teorema mostra que, para fluxos emduas dimensões, se uma trajetória está confinada em uma região fechada, limitada e que nãocontém pontos fixos em seu interior, então essa trajetória ou é uma órbita fechada ou tendepara uma órbita fechada. Em sistemas discretos entretanto, é possível a obtenção de caoscom apenas uma dimensão desde que o mesmo seja não inversível. Para mapas inversíveis, épossível a existência de caos em sistemas com duas dimensões [17,60,74].

2.3 Estabilidade estrutural de conjuntos-limiteUm sistema dinâmico é estruturalmente estável se, para qualquer perturbação su-

ficientemente pequena das equações que o definem, o fluxo resultante é topologicamenteequivalente àquele associado ao sistema inicial sem a perturbação [17]. Neste contexto, aestabilidade estrutural significa a robustez de um ponto ou uma região no espaço de fase.Entende-se robustez como a propriedade que o sistema apresenta por preservar as caracte-rísticas qualitativas da sua dinâmica em relação a pequenas perturbações. Por outro lado,ao variar os parâmetros de um sistema dinâmico, podem ocorrer mudanças tanto na posiçãocomo nas características qualitativas dos pontos de equilíbrio. Essa mudança qualitativa nadinâmica do sistema é denominada bifurcação. Portanto, uma bifurcação é uma mudança to-pológica conforme os parâmetros passam por valores críticos (pontos de bifurcação), fazendoaparecer retratos de fase topologicamente não equivalentes [36].

Nas subseções seguintes serão apresentadas, de forma resumida, algumas bifurcaçõesclássicas. Neste sentido, considere um sistema de tempo contínuo e autônomo como repre-sentado em (2.25)

x = f(x,𝛽). (2.25)

onde x ∈ R𝑛 e 𝛽 ∈ R𝑚 representam as variáveis e os parâmetros do sistema respectivamente.À medida que um ou mais parâmetros variam, o retrato de fase também varia. Isso gera duassituações: o sistema permanece topologicamente equivalente ao original, ou a sua topologiamuda de forma drástica.

Em geral, o diagrama de bifurcações de um sistema é um gráfico de valores assintóticosda variável de estado versus parâmetro de controle. Por valores assintóticos, entende-se ocomportamento das órbitas após um intervalo de tempo suficientemente grande. Obtém-seo diagrama de bifurcação como um produto da análise qualitativa de um sistema dinâmico.


Este classifica de forma condensada todos os possíveis modos de comportamento do sistemae transições entre eles (bifurcações) sob a variação de parâmetros.

2.3.1 Bifurcação sela-nó

A bifurcação sela-nó, também denominada bifurcação tangente ou bifurcação de do-bra, é o dispositivo básico pelo qual um par de pontos de equilíbrio com estabilidades con-trárias é criado ou destruído. Seja a equação diferencial

�� = 𝑥2 + 𝛽 = 𝑓𝛽(𝑥) (2.26)

em que 𝛽 é um parâmetro real. É fácil ver que (2.26) tem um único ponto de equilíbrio 𝑥 = 0quando 𝛽 = 0. Tem-se ainda que 𝑓 ′

0(0) = 0 e 𝑓 ′′0 (0) = 0. Quando 𝛽 > 0, (2.26) não apresenta

ponto de equilíbrio, já que 𝑓𝛽(𝑥) > 0 para todos os valores de 𝑥. Por outro lado, tomando-se𝛽 < 0, (2.26) retorna um par de equilíbrios ±

√𝛽. Portanto, a bifurcação acontece em 𝛽 = 0.

Assim,

[𝑓 ′𝛽]√

𝛽= 2

√𝛽 > 0 e [𝑓 ′

𝛽]−√𝛽

= −2√𝛽 < 0. (2.27)

Segue-se de (2.27) que o ponto de equilíbrio√𝛽 é instável, enquanto que o equilíbrio −

√𝛽 é

assintoticamente estável. É possível verificar graficamente as variações do valor e da estabi-lidade de cada 𝑥* em função de 𝛽 no diagrama de bifurcação exibido na Figura 3.

Estável

Instável

b

x

0

Figura 3 – Bifurcação sela-nó. A linha contínua descreve uma série de pontos de equilíbrioestáveis e a linha tracejada representa uma sequência de pontos de equilíbrioinstáveis. As setas indicam o sentido das trajetórias do sistema.


2.3.2 Bifurcação transcrítica

A bifurcação transcrítica é caracterizada pela permuta de estabilidade de dois pontosde equilíbrios ao se cruzarem no espaço de fases (𝛽, 𝑥). O exemplo a seguir sintetiza melhoressa descrição. Seja a equação diferencial

�� = 𝛽𝑥− 𝑥2 = 𝑓𝛽(𝑥). (2.28)

Seus pontos de equilíbrio são 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝛽. Tem-se que 𝑓 ′𝛽 = 𝛽 − 2𝑥. Daí, segue-se que

[𝑓 ′𝛽]𝑥=0 = 𝛽. Assim, quando 𝛽 < 0, o equilíbrio 𝑥 = 0 é assintoticamente estável. Por outro

lado, para 𝛽 > 0 o mesmo equilíbrio será instável. Observa-se ainda que o ramo 𝑥 = 0 perdea estabilidade no ponto de bifurcação (𝑥, 𝛽) = (0, 0). Agora, [𝑓 ′

𝛽]𝑥=𝛽 = −𝛽 < 0 quando 𝛽 > 0.Consequentemente, 𝑥 = 𝛽 é assintoticamente estável para 𝛽 > 0, tornando-se instável para𝛽 < 0. Nota-se que há mudança de estabilidade quando o parâmetro de controle passa por𝛽 = 0. A Figura 4 dá uma ideia das características desse tipo de bifurcação.

Instável

Instável

Estável

Estável

b

x

0

Figura 4 – Bifurcação transcrítica. A linha contínua descreve uma série de pontos de equilí-brio estáveis e a linha tracejada representa uma sequência de pontos de equilíbrioinstáveis. As setas indicam o sentido das trajetórias do sistema.

2.3.3 Bifurcação de forquilha

A bifurcação de forquilha costuma ocorrer em sistemas físicos que apresentam algumtipo de simetria. Nesses tipos de sistemas, um par de pontos de equilíbrio de mesma esta-bilidade pode aparecer ou desaparecer simultaneamente, na medida em que o parâmetro decontrole passa por um valor crítico. Esse tipo de bifurcação pode ser dividida em dois tipos:supercrítica e subcrítica. Os exemplos apresentados em (2.29) e em (2.30) caracterizam bemesse tipo de bifurcação. Neste sentido, considere a equação diferencial descrita em (2.29):


�� = 𝛽𝑥− 𝑥3 = 𝑓𝛽(𝑥). (2.29)

Os pontos de equilíbrio de (2.29) são 𝑥 = 0 e 𝑥 = ±√𝛽 para 𝛽 > 0. Segue-se que 𝑓 ′

𝛽 = 𝛽−3𝑥2,

donde, [𝑓 ′𝛽]𝑥=0 = 𝛽. Assim, 𝑥 = 0 é assintoticamente estável quando 𝛽 < 0 e instável para

𝛽 > 0. Já para o equilíbrio 𝑥 = ±√𝛽, tem-se que [𝑓 ′

𝛽]𝑥=±

√𝛽

= −2𝛽 < 0. Neste caso, para𝛽 > 0 os dois ramos são assintoticamente estáveis. Portanto, para (𝑥, 𝛽) = (0, 0), há umabifurcação supercrítica de forquilha, como pode ser vista na Figura 5a. Em seguida, seja aseguinte equação diferencial:

�� = 𝛽𝑥+ 𝑥3 = 𝑓𝛽(𝑥). (2.30)

Seus equilíbrios são 𝑥 = 0 e 𝑥 = −√

−𝛽 para 𝛽 < 0. Assim, [𝑓 ′𝛽]𝑥=0 = 𝛽. Segue-se que

para 𝛽 < 0, 𝑥 = 0 será assintoticamente estável, e instável quando 𝛽 > 0. Agora, seja[𝑓 ′

𝛽]𝑥=±

√−𝛽

= −2𝛽. Então, 𝑥 = ±√

−𝛽 é instável, já que tal ponto só existe para 𝛽 < 0. Estabifurcação subcrítica de forquilha, pode ser vista na Figura 5b.

Estável

Estável

Estável

Instável

b

x

0

(a) Bifurcação supercrítica

Instável

Instável

InstávelEstável

x

b0

(b) Bifurcação subcrítica

Figura 5 – Diagrama de bifurcação forquilha.

2.3.4 Bifurcação de Hopf

A bifurcação de Hopf ocorre quando, para um determinado valor de parâmetro, osautovalores associados à matriz jacobiana em torno do ponto de equilíbrio deixam de serhiperbólicos e passam a ser imaginários puros. Em virtude dessa perda de estabilidade tem-se a criação de um ciclo-limite [36]. Esse tipo de bifurcação pode ocorrer de duas formas:bifurcação de Hopf supercrítica e bifurcação de Hopf subcrítica. Para mais detalhes, seja oseguinte sistema de equações diferenciais:


�� = 𝛽𝑥− 𝑦 − 𝑥(𝑥2 + 𝑦2)

�� = 𝑥+ 𝛽𝑦 − 𝑦(𝑥2 + 𝑦2) (2.31)

Após sucessivas manipulações algébricas, é possível mostrar que o único ponto de equilíbriodo sistema (2.31) é a origem. A matriz jacobiana calculada neste ponto é dada por:

J =⎡⎣ 𝛽 −1

1 𝛽

⎤⎦ . (2.32)

Portanto, os autovalores de (2.32) são 𝜆1,2 = 𝛽 ± 𝑖. Daí, segue-se que o equilíbrio é estávelpara 𝛽 < 0 e instável para 𝛽 > 0. Assim, para 𝛽 = 0, há perda de estabilidade. Deve-senotar a existência de um ciclo-limite estável para 𝛽 > 0. Para comprovar este fato, seráfeita uma mudança de variáveis para as coordenadas polares a partir das suas respectivascoordenadas retangulares e em seguida fazendo uma manipulações algébricas adequadas,obtém-se o seguinte sistema [17]:

�� = 𝜌(𝛽 − 𝜌2)

𝜃 = 1. (2.33)

O retrato de fase é obtido analisando-se o sinal de �� e de 𝜃. As análises seguintesserão feitas sobre 𝛽, já que a componente angular é sempre crescente, isto é, 𝜃 = 1 > 0.Neste contexto, se 𝛽 < 0 então �� < 0, para todo 𝜌 > 0, de modo que a componente radialé decrescente. Sendo assim, a solução tende para a origem em forma de espiral, ou seja, aorigem é um foco atrator. Para 𝛽 > 0, a componente radial é crescente em 0 < 𝜌 <

√𝛽 e

decrescente em 𝜌 >√𝛽. Além disso, se 𝜌 =

√𝛽 então �� = 0, e com isso, o círculo de raio

√𝛽 em coordenadas cartesianas representa um círculo limite no espaço de fase. Por outro

lado, quando 𝛽 = 0, segue-se que �� = −𝜌3 < 0, para todo 𝜌 > 0, de modo que a radial édecrescente. Neste sentido, a solução tende para a origem em forma de espiral, e a origem édita um foco fraco. O diagrama de bifurcação a partir desta análise pode ser visualizada naFigura 6. Este diagrama apresenta uma bifurcação do tipo supercrítica.

2.3.5 Mapa de Poincaré

Denomina-se mapa um sistema dinâmico que evolui no tempo de uma forma discreta[17]. Na busca de se estudar o regime de um oscilador dinâmico não-linear, o mapa de Poincaré


Estável

Estável

bInstável

xy

Figura 6 – Bifurcação de Hopf supercrítica.

aparece como uma importante ferramenta de estudo qualitativo do comportamento dinâmicode um sistema, pelo fato do mesmo ser usado essencialmente para distinguir o comportamentode sistemas periódico, quase-periódico ou caótico.

A ideia desse tipo de mapa foi proposta por Henri Poincaré pela sua dificuldade emestudar a estabilidade do sistema solar, devido a complexidade na obtenção de trajetória dessesistema no espaço de fase. Poincaré estabeleceu que a análise do sistema deveria ser feita apartir do instante em que se conhecia como a trajetória interceptava um plano transversalpreviamente determinado. Com isso, a imagem deixada pela trajetória na seção foi chamadade mapa de Poincaré. Portanto, numa seção de Poincaré de uma trajetória periódica, tem-sea informação da periodicidade da órbita. Ou seja, uma órbita periódica corresponde a umponto fixo no mapa de Poincaré [17]. Para órbitas caóticas e quase-periódicas, a trajetóriasempre atravessará a seção de Poincaré em pontos distintos, imprimindo assim um padrãoaparentemente errático de pontos.

Neste contexto, mapas associados a sistemas de equações diferenciais se tornam maisfáceis de serem analisados, já que a seção de Poincaré proporciona um maior entendimentoda dinâmica geral do sistema através de uma identificação sucinta do comportamento apre-sentado no espaço de fases, salvo as ambiguidades citadas. Essa abordagem permite que umsistema dinâmico contínuo no tempo seja modelado como um sistema discreto, bem comouma redução de dimensionalidade do sistema. Dessa forma, a análise da estabilidade de umaórbita periódica se reduz à análise da estabilidade de um ponto fixo do mapa gerado por essaórbita. Uma seção de Poincaré para o sistema (2.3) fornece o seguinte mapa:

𝑥𝑗+1 = 𝑃 (𝑥𝑗) (2.34)

onde 𝑗 representa os passos temporais fixos e discretos, 𝑥𝑗 representa a 𝑗-ésima interseçãoda trajetória com a seção de Poincaré. A órbita do mapa será então a sequência de pontos

2.4. Expoentes de Lyapunov 25

(𝑥𝑗)+∞−∞ definida pela equação (2.34), também conhecida como uma equação de diferenças [17].

E o mapa de Poincaré é portanto a sequência de pontos nos quais o fluxo intercepta a seçãode Poincaré 𝑆 [17], como ilustra a Figura 7. A superfície 𝑆 deve ser transversal (isto é, nãotangente) ao fluxo [44]. Se 𝑥* = 𝑃 (𝑥*), então 𝑥* é o ponto fixo do mapa 𝑃 .

P(x)x*

g

S

Figura 7 – Seção de Poincaré 𝑆 e uma órbita periódica 𝛾.

2.4 Expoentes de Lyapunov

A sensibilidade às condições iniciais é uma das características mais marcantes apre-sentada pelos sistemas que apresentam comportamento caótico. Tal sensibilidade pode serpercebida pela divergência de duas trajetórias iniciadas em posições infinitesimalmente pró-ximas. Desta forma, qualquer pertubação, por menor que seja, nas especificações de um dadoestado, pode levar a comportamentos distintos após um determinado período de tempo.Consequentemente, fica difícil ou quase impossível predizer o comportamento de um sistemacaótico para qualquer instante futuro.

Os expoentes de Lyapunov quantificam essa sensibilidade às condições iniciais, moni-torando a divergência exponencial média no tempo de duas trajetórias vizinhas, e representamum dos critérios mais importantes utilizados para definir o caos em sistemas dinâmicos.

A seguir, será apresentado um processo algébrico para calcular o expoente de Lya-punov para mapas unidimensionais por se tratar de um caso mais simples, depois o casocontínuo será introduzido. Para tanto, considere o seguinte mapa [17]:

𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛). (2.35)


O comportamento de órbitas de modelos como descrito em (2.35) nas aproximaçõesde um ponto fixo, é fortemente influenciado pela derivada de 𝑓 nesse ponto. Neste sentido,sejam dois pontos iniciais próximos 𝑥0 e 𝑦0 e a distância entre eles 𝛿0 = |𝑥0 − 𝑦0|. Após umaiteração chega-se à distância 𝛿1 = |𝑥1 − 𝑦1|. Depois de uma série de iterações, permite-seassociar 𝛿0 e 𝛿1 e as sucessivas distâncias a partir de uma variação exponencial,

𝛿1 = 𝑒𝜆1𝛿0, 𝛿2 = 𝑒𝜆2𝛿1 = 𝑒𝜆1+𝜆2𝛿0, . . . , 𝛿𝑛 = 𝑒𝜆𝑛𝛿𝑛−1 = 𝑒𝜆1+𝜆2+...,𝜆𝑛𝛿0 = 𝑒𝑛𝜆𝛿0, (2.36)

em que 𝜆 = 𝜆1+𝜆2+...,𝜆𝑛

𝑛mede a taxa exponencial média de expansão das trajetórias vizinhas,

e constitui uma medida da divergência exponencial quando 𝜆 > 0, inalterada se 𝜆 = 0, e umacontração para 𝜆 < 0. Após a sua dedução, (2.36) pode ser descrita como

|𝑓𝑛(𝑥0) − 𝑓𝑛(𝑦0)| = 𝑒𝑛𝜆𝛿0 ⇒ 𝜆 = 1𝑛

ln |𝑓𝑛(𝑥0 + 𝛿0) − 𝑓𝑛(𝑥0)

𝛿0|. (2.37)

onde 𝑓𝑛(𝑥0) indica a 𝑛-ésima iteração de 𝑓 no ponto 𝑥0. Considerando uma perturbaçãoinfinitesimal 𝛿0 → 0, e um número infinito de iterações, isto é, 𝑛 → +∞, tem-se

𝜆 = lim𝑛→∞

lim𝛿0→0

1𝑛

ln |𝑓𝑛(𝑥0 + 𝛿0) − 𝑓𝑛(𝑥0)

𝛿0| ⇒ 𝜆 = lim

𝑛→∞

1𝑛

ln |𝑑𝑓𝑛(𝑥0)𝑑𝑥0

|. (2.38)

Logo, 𝜆 é por definição o expoente de Lyapunov do mapa, e aplicando a regra da cadeia,obtém-se

𝑑

𝑑𝑥0𝑓𝑛(𝑥0) = 𝑑

𝑑𝑥𝑛−1𝑓(𝑥𝑛−1)

𝑑

𝑑𝑥𝑛−2𝑓(𝑥𝑛−2) . . .

𝑑

𝑑𝑥0𝑓(𝑥0) (2.39)

onde 𝑥𝑗 = 𝑓 𝑗(𝑥0) é o resultado da 𝑗-ésima iteração do mapa a partir da condição inicial 𝑥0.Agora, de (2.39) e (2.38) chega-se a


1𝑛

ln |𝑛−1∏𝑗=0

𝑓 ′(𝑥𝑗)|. (2.40)

Em seguida, aplicando-se as propriedades dos logaritmos, o expoente de Lyapunov é descritocomo



1𝑛

𝑛−1∑𝑗=0

ln |𝑓 ′(𝑥𝑗)|. (2.41)

onde 𝑛 indica o número de iterações aplicadas no sistema e 𝑓 ′ é a derivada da lei de evoluçãodo sistema, calculada em cada ponto 𝑥𝑗 de uma órbita gerada a partir de uma condição inicial.Quando o expoente de Lyapunov é positivo, tem-se um indício de caos. Valor negativo, poroutro lado, indica comportamento convergente, como periódico ou de convergência para pontofixo. Já para valor nulo, infere quase-periodicidade ou mudança de comportamento.

O mapa logístico descrito em (2.42) é um exemplo de mapa unidimensional não-linearque é amplamente estudado devido à riqueza de comportamentos que ele apresenta, conformese varia o valor do parâmetro 𝑟 > 0 [44]:

𝑥𝑛+1 = 𝑟𝑥𝑛(1 − 𝑥𝑛) (2.42)

sendo 𝑛 o tempo discreto, 𝑥𝑛 a variável contínua que pode assumir qualquer valor no intervalo[0, 1] e 𝑟 é o parâmetro de controle do modelo, que pode percorrer o intervalo [0, 4]. Oentendimento do comportamento do mapa logístico pode ser auxiliado por seu diagrama debifurcação. Através dele, é possível analisar mudanças relevantes num conjunto de pontosfixos ou órbitas periódicas [3].

A Figura 8 expõe o diagrama de órbitas onde pode se observar a cascata de duplicaçãode períodos ou cenário de Feigenbaum para o aparecimento do caos, sendo o mais estudadoe com maior número de evidências experimentais [17]. Quando o valor do parâmetro atinge𝑟 = 4, o mapa apresenta um comportamento caótico ao longo de todo o intervalo. Paravalores de 𝑟 < 3, haverá apenas órbitas periódicas com períodos iguais a um. Para o intervalo2, 7 < 𝑟 < 3, tomando qualquer condição inicial com 0 < 𝑥 < 1, o tende-se ao ponto fixo𝑥* = 1 − 1

𝑟[74]. Para 𝑟 = 3, ocorre um duplicação de período, ou seja, aumentando o

valor de 𝑟 surgem órbitas de período 2, 4, 8,... e assim por diante, até que para um valorcrítico do parâmetro 𝑟∞ = 3, 56994 . . . , o comportamento torna-se bastante estranho, devidoà instabilidade periódica e o limiar da ocorrência de caos. Já no intervalo 𝑟∞ < 𝑟 ≤ 4 o mapase divide entre apresentar comportamento caótico e janelas de periodicidade [74].

A Figura 9 exibe a variação do expoente de Lyapunov em função do parâmetro decontrole 𝑟 para o mapa logístico. Observa-se que, na região 𝑟 < 𝑟∞ em que a região atratoraé ou um ponto fixo ou uma órbita de período 2𝑛, 𝜆 permanece negativo, aproximando-se dezero nos pontos de bifurcação. Comportamento caótico ocorre para 𝑟 > 𝑟∞, em virtude de


Figura 8 – Diagrama de bifurcação do mapa logístico apresentado em (2.42).

𝜆 apresentar valores positivos nessa região. No intervalo 𝑟∞ < 𝑟 ≤ 4, os vales negativos sãoproduzidos pela presença de janelas de comportamento periódico [44].

l

Figura 9 – Expoentes de Lyapunov do mapa logístico apresentado em (2.42).

A seguir os expoentes de Lyapunov serão definidos matematicamente para um sistemadinâmico contínuo genérico, ou seja, um sistema cujas variáveis temporais são contínuas,embora todos os resultados apresentados possam facilmente ser generalizados para sistemasonde o tempo seja discreto. Inicialmente, considere um sistema dinâmico 𝑚-dimensional

y = f(y, 𝑡). (2.43)

A extrema sensibilidade em relação às condições iniciais pode ser geometricamenteinterpretada como sendo a degeneração de uma hiper esfera em um hiper elipsoide devido àsdeformações introduzidas pela aplicação das próprias equações diferenciais ordinárias [16,44].A Figura 10 dá uma ideia geométrica dessa transformação.


y(t)

y(0)

Figura 10 – Evolução de um elemento de volume esférico em torno de um ponto inicial y(0).Depois de um tempo 𝑡 a esfera torna-se um elipsóide.

Dessa forma, considerando-se que, na 𝑖-ésima dimensão do sistema (2.43), o raio inicial𝛿𝑖(𝑡0) da hiperesfera com centro no ponto 𝑦(𝑡0) tenha variação exponencial, o tempo evoluide tal forma que a sua relação com o valor correspondente no instante 𝑡, dado por 𝛿𝑖(𝑡), édescrita por (2.44) [17]:

𝛿𝑖(𝑡) = 𝛿𝑖(𝑡0) exp[𝜆𝑖(𝑡− 𝑡0)], (2.44)

onde 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚 e os valores 𝜆𝑖 definem os expoentes de Lyapunov [17].

A partir desses resultados, pode-se afirmar que a existência de um ou mais expoentesde Lyapunov positivos define uma instabilidade orbital nas direções associadas. E neste con-texto de uma solução caótica associada a um atrator estranho, a DSCI implica na existênciade pelo menos um expoente de Lyapunov 𝜆𝑖 > 0. Já para uma solução periódica ou quase-periódica, é possível que deslocamentos na direção perpendicular ao movimento diminuamcom o tempo, enquanto que, ao longo da trajetória, eles não devem se alterar, acarretandonum simples deslocamento do ponto inicial. Portanto, se a solução é periódica ou quase-periódica segue-se que 𝜆𝑖 < 0 nas direções perpendiculares ao movimento e 𝜆𝑖 = 0 ao longoda trajetória [17].

Se o volume da hiper esfera no tempo inicial 𝑡0 for 𝑉 (𝑡0) e, se para um tempo 𝑡 > 𝑡0,

o volume 𝑉 (𝑡) for proporcional ao produto das distâncias 𝛿𝑖(𝑡) que o caracterizam, ou seja,[16,44]

𝑉 (𝑡) ∝𝑚∏

𝑖=1𝛿𝑖(𝑡), (2.45)

e substituindo (2.44) em (2.45), obtém-se:


𝑉 (𝑡) ∝ 𝑉 (𝑡0) exp[(𝑡− 𝑡0)𝑚∑

𝑖=1𝜆𝑖]. (2.46)

Assim, para que a solução do sistema dinâmico permaneça confinada dentro de um espaçocompacto, sendo o sistema dissipativo, será preciso que o comportamento contrativo sobre-ponha ao expansivo [44]. Isto é:

𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖 < 0. (2.47)

Dessa forma, pode-se afirmar que qualquer conjunto-limite definido por um sistema autônomode tempo contínuo, exceto para pontos de equilíbrio, possui um expoente de Lyapunov nulo,e o sinal dos demais expoentes definem as características topológicas do atrator [17,44].

Portanto, para um sistema dinâmico dissipativo de tempo contínuo contido num es-paço de fase tridimensional, é possível identificar o tipo de atrator analisando os sinais dosseus respectivos expoentes de Lyapunov [17]. Neste contexto, para a identificação de pontofixo é necessário que os sinais dos expoentes sejam da forma (−,−,−). Isso significa queas trajetórias convergem para um único ponto, eliminando qualquer deslocamento em re-gime permanente. Para o ciclo-limite os sinais dos expoentes assumem a forma (0,−,−),correspondendo o expoente nulo à direção ao longo da trajetória. Em se tratando do toro, ossinais são (0, 0,−), acarretando duas direções ao longo das quais processam-se deslocamentos.Finalmente, para detectar um atrator estranho, é fundamental que um dos expoentes sejapositivo, já que há DSCI. Porém, ao longo da trajetória associa-se um expoente nulo. Comoo sistema é dissipativo, a relação

𝑚∑𝑖=1

𝜆𝑖 < 0 tem que ser verificada e o último expoente de

Lyapunov obrigatoriamente tem que ser negativo, resultando em (+, 0,−).

Seguindo essa análise, segue-se que, para atratores estranhos (dinâmicas caóticas) em

sistemas contínuos a restrição𝑚∑

𝑖=1𝜆𝑖 < 0, garante contração do volume no espaço de fase

(sistema dissipativo): isso estabelece mais um critério para a existência do atrator apenaspara um espaço de fase 𝑚 ≥ 3. Para conferir essa última afirmação, suponha por absurdoque seja possível obter um atrator estranho em duas dimensões, isto é, 𝑚 = 2. Assim, umdos expoentes de Lyapunov é necessariamente positivo. Mas, ao longo da direção paralela aofluxo o expoente associado é nulo. O que implicaria (0,+) como sinais para os expoentes,

tornando2∑

𝑖=1𝜆𝑖 > 0, divergindo o elemento de volume no espaço de fase, conduzindo a uma

contradição [17].


2.4.1 Cálculo dos expoentes de Lyapunov baseado em Mapa Tangente (Tan-Map)

Nesta seção será apresentada uma extensão do caso unidimensional introduzido naseção 2.4. Neste contexto, do ponto de vista prático, os expoentes de Lyapunov podem sercalculados por meio do método do mapa tangente (TanMap) [79]. Nesta abordagem, dadoo sistema dinâmico descrito em (2.43), com condição inicial 𝑦0, e uma matriz identidade 𝐼𝑚

também 𝑚-dimensional, a primeira medida para avaliar o espectro de Lyapunov por meio dométodo (TanMap) consiste em avaliar divergências locais relativas aos 𝑚 vetores linearmenteindependentes e ortogonais escritos na forma [83]:

{𝛿1𝑦, 𝛿2𝑦, . . . , 𝛿𝑚𝑦} = {e1, e2, . . . , e𝑚} = I𝑚, (2.48)

onde os vetores são transformados por contínuas aplicações do mapa tangente associado àsequações do movimento que caracterizam o sistema dinâmico. Os eixos do mapa tangentesão definidos a partir das equações variacionais1 que determinam a evolução temporal apóslinearização das equações de estado [83]:

Φ(y, 𝑡) = J(y, 𝑡)Φ(y, 𝑡), (2.49)

onde J(y, 𝑡) é a matriz jacobiana provinda da linearização de f(y, 𝑡) do sistema dinâmicodefinido em (2.43), da seção 2.4, cujos elementos são dados por:

𝐽𝑖𝑗(y, 𝑡) = 𝜕𝐹𝑖(y, 𝑡)𝜕𝑦𝑗(𝑡)

, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, . . . ,𝑚. (2.50)

Para calcular a taxa de divergência ou convergência em relação à trajetória fiducial, integra-se todo o sistema. Isto é, as equações de estado juntamente com as equações variacionais,por um determinado tempo 𝑇, a partir de y0, com Φ(y0) = I𝑚. O passo seguinte, é atualizaros vetores-pertubação ancorados na trajetória fiducial após a transformação estimulada pelaaplicação do mapa tangente, obtendo-se o primeiro expoente 𝛿

(1)1𝑦 = Φ(y, 𝑇 )u(0)

1 , sendo u(0)1 =

𝛿(0)1𝑦

||𝛿(0)1𝑦 ||

e o índice superior representa o estado atual da interação. Repetindo o processo 𝐾 vezes,deve-se encontrar o maior expoente de Lyapunov via equação (2.51) [55],1 Toda equação diferencial como descrita em (2.49) é denominada equação variacional.


𝜆1 = lim𝐾→∞

1𝐾𝑇

𝐾∑𝑘=1

ln ||𝛿(𝑘)1𝑦 ||. (2.51)

À medida que o tempo evolui, o sistema tende a mudar continuamente, o que torna muitodifícil ou quase impossível definir um eixo específico do espaço de estado como expansivo oucontrativo. Além da tendência de alinhamento dos vetores 𝛿1𝑦, 𝛿2𝑦, . . . , 𝛿𝑚𝑦 com a direçãomais expansiva do movimento, o que pode ocasionar erros numéricos. Este problema podeser corrigido através do processo de Reortonormalização de Gram-Schimidt (GSR), que per-mite subtrair a contribuição da direção mais expansiva das demais direções do movimento,corrigindo o cálculo de todo o espectro de Lyapunov. O algoritmo para este procedimento évisto em (2.52) [83]:

v(𝑘)1 = 𝛿

(𝑘)1𝑦

u(𝑘)1 = v(𝑘)

1

||v(𝑘)1 ||

v(𝑘)2 = 𝛿

(𝑘)2𝑦 − ⟨𝛿(𝑘)

2𝑦 ,u(𝑘)1 ⟩u(𝑘)

1

u(𝑘)2 = v(𝑘)

2

||v(𝑘)2 ||

...

v(𝑘)𝑚 = 𝛿(𝑘)

𝑚𝑦 − ⟨𝛿(𝑘)𝑚𝑦,u

(𝑘)1 ⟩u(𝑘)

1 − . . .− ⟨𝛿(𝑘)𝑚𝑦,u

(𝑘)𝑚−1⟩u

(𝑘)𝑚−1

u(𝑘)𝑚 = v(𝑘)

𝑚

||v(𝑘)𝑚 ||

(2.52)

onde ⟨x,y⟩ denota o produto interno entre os vetores x e y. Segue-se que na 𝐾-ésima iteraçãoo espectro de Lyapunov é dado por

𝜆𝑖 = lim𝐾→∞

1𝐾𝑇

𝐾∑𝑘=1

ln ||v(𝑘)𝑖 ||, 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚. (2.53)

Deve-se ressaltar que, a cada iteração, o mapa tangente dado por Φ(y, 𝑡) deve ser definido maisuma vez como a matriz identidade com o intuito de que a taxa de divergência ou convergênciaseja avaliada de forma correta na iteração seguinte. Vale lembrar que tal procedimento é válidotanto para o caso contínuo como para o caso discreto, fazendo a troca do índice 𝑡 pelo índice𝑛 como também ter a cautela de continuar com o procedimento GSR em cada iteração parao último caso [16,69,70].


Tendo apresentado essa revisão geral e os fundamentos básicos da teoria de sistemasnão-lineares com especial destaque para o cálculo dos expoentes de Lyapunov, o capítuloseguinte fornece uma visão geral desses conceitos no âmbito do estudo do sincronismo entresistemas, apresentando assim, a aplicação da metodologia alternativa para o cálculo dosexpoentes de Lyapunov condicionais.

35

3 Sincronismo e expoentes condicionados

A pesquisa na área de sistemas dinâmicos não-lineares tem despertado um interessecrescente em diversas áreas, tais como: engenharia, matemática, física, biologia, ciênciaseconômicas e biomedicina. Paralelamente a esse anseio de se estudar sistemas não linea-res, tem-se a teoria da sincronização de sistemas dinâmicos que vem ainda mais corroborarsobre a importância e por quê cada dia os cientistas se interessam cada vez mais por essaárea da matemática.

Os primeiros a estudarem o tema da sincronização caótica foram Yamada e Fujisaka[85] em 1983, seguidos por Afraimovich et al. em 1986 [1]. Porém, Pecora e Carrol [56] foramos primeiros pesquisadores que, a partir de uma decomposição de um sistema dinâmico naconfiguração mestre-escravo (tal como definido mais adiante), adotaram a praxe de calcularos expoentes de Lyapunov condicionados. O nome desta importante métrica se deve ao fatode a equação variacional ser condicionada aos estados do sistema mestre. Isso significa queos expoentes ficam condicionados ao sinal enviado pelo mestre ao escravo [54, 81]. Assim, aequação variacional é obtida por meio da linearização do sistema escravo, sendo a matrizjacobiana calculada a partir de trajetórias do sistema mestre [56]. Esquemas de sincronizaçãomestre-escravo semelhantes também foram investigados em [75,76].

Os trabalhos de Pecora e Carroll [56, 58, 59] abriram caminho para várias pesquisasque envolvem caos e, com isso, deram indícios da possibilidade de comunicação segura [9,13, 14, 34, 43, 46–48, 87], já que em seus trabalhos foi possível responder, com propriedadesmatemáticas, a um questionamento a cerca da obtenção sinais caóticos sincronizados em doissistemas separados transmitindo somente uma parte do estado do primeiro para o segundosistema.

A repercussão desses trabalhos foi imediata, suscitando várias aplicações dessa novametodologia de sincronismo entre sistemas, como também métodos numéricos para estimaros expoentes de Lyapunov condicionados [19,23,63,81]. Por outro lado, sistemas caóticos po-dem estar relacionados de formas mais gerais, caracterizando outras formas de sincronismo.Pyragas [64] propõe em seu trabalho que, se existir uma função suave, ou seja, continuamentediferenciável, o sincronismo é classificado como forte. No entanto, se existir um mapeamentocontínuo porém não-suave, o sincronismo entre dois sistemas dinâmicos é dito fraco. Assim,o método dos falsos vizinhos mais próximos mútuos identifica somente sincronismo forte,motivando o desenvolvimento de métodos para detecção de instâncias mais gerais de sincro-nismo, em que o tipo deste pode ser classificado através do estudo dos expoentes de Lyapunov

36 Capítulo 3. Sincronismo e expoentes condicionados

condicionados [63].

Entretanto, Murali [46] investigou numericamente a comunicação segura com basenos sistemas caóticos heterogêneos com ruído de canal e com parâmetros sem identidade.Ele mostra que a sincronização fraca e a sincronização forte são dependentes dos sinais dosexpoentes de Lyapunov condicionados dos sistemas caóticos acoplados, enquanto os trabalhospropostos por Cuomo e Oppenheim [13, 14] visam aplicar de forma simples o critério de Pe-cora e Carroll. Em particular, [32] apresenta uma proposta para sincronismo em comunicaçãoóptica na qual é demonstrado que acoplamento de alta intensidade entre os sistemas dinâmi-cos acarreta expoentes condicionados de Lyapunov negativos e, com isso, tem-se a obtençãodo sincronismo entre os sistemas. Outras propostas agora com expoentes de Lyapunov con-dicionados positivos [12, 43, 68, 88] também surgem como novas alternativas de sincronismoque pode ser visto por exemplo em [21], onde os autores se utilizam de combinação convexa.

Antes de abordar de modo mais formal a definição de expoentes condicionados,apresenta-se a seguir algumas definições essenciais de sincronismo e suas variantes. As con-figurações mestre-escravo são então introduzidas, bem como configurações mais gerais deacoplamentos entre dinâmicas, o que é seguido pela abordagem das dinâmicas clonadas paracálculo dos expoentes de Lyapunov e as transformações necessárias para a respectiva aplica-ção no contexto dos expoentes de Lyapunov.

3.1 Definições essenciais de sincronismo

Em sistemas caóticos existem vários tipos diferentes de sincronização, sendo as maisconhecidas: sincronização generalizada, sincronização completa (ou idêntica), sincronizaçãode fase, sincronização de fase imperfeita, sincronização com atraso, sincronização com atrasointermitente e quase sincronização [10].

A sincronização generalizada ocorre quando os osciladores acoplados são completa-mente distintos, e o comportamento dinâmico de um dos osciladores é determinado em funçãodo outro.

Já a sincronização completa de osciladores idênticos consiste na perfeita convergênciaentre as trajetórias dos dois osciladores, obtida devido ao acoplamento entre eles, de talmaneira que eles se mantêm sincronizados um com o outro na medida que o tempo evolui.Neste sentido, todos os expoentes de Lyapunov são negativos.

A sincronização de fase pode ser considerada como um procedimento intermediáriode sincronização, onde as fases dos osciladores evoluem de forma sincronizada, enquanto suasamplitudes permanecem distintas.

3.1. Definições essenciais de sincronismo 37

Por outro lado, a sincronização de fase imperfeita ocorre quando há desmembramentosde fase, isto é, saltos no valor da diferença de fase, dentro de um regime de sincronização defase, caracterizando um comportamento em forma de escada.

A sincronização com atraso é um nível entre sincronização de fase e sincronizaçãocompleta. Neste caso, os osciladores sincronizam suas fases e amplitudes com um atraso notempo, isto é, um oscilador se atrasa no tempo em relação ao outro.

A sincronização com atraso intermitente ocorre quando os dois osciladores estão namaior parte do tempo em regime de sincronização com atraso, mas podem ocorrer faixasde comportamentos não sincronizados, i.e., a sincronização com atraso pode eventualmenteemergir e depois desaparecer.

Por fim, quase sincronização é devida à existência de um limite assintótico entre umsubconjunto das variáveis de um oscilador e o correspondente subconjunto das variáveis dooutro oscilador.

3.1.1 Tipos de acoplamentos

Basicamente, as formas de acoplamentos podem ser feitas seguindo duas importantescategorias: acoplamento unidirecional e acoplamento bidirecional. Tais formas de acoplamen-tos podem ser vistas no esquema das Figuras 11 e 12. Ou seja, se a evolução de um dossistemas acoplados permanecer inalterada, tem-se a configuração denominada acoplamentounidirecional. Por outro lado, se ambos os sistemas são conectados, de tal forma que os mes-mos se influenciam entre si, tem-se o acoplamento bidirecional. A seguir, são apresentadosesses dois tipos de acoplamentos.

3.1.2 Acoplamento unidirecional

No acoplamento unidirecional, um dos sistemas, designado por condutor ou mestre,interfere no outro, denominado por resposta ou escravo, sem que este forneça retorno aoprimeiro. Analiticamente, pode ser descrito da seguinte forma [57]:

x = F(x)

y = F(y) + 𝜇A(x − y) (3.1)

onde A é uma matriz de ordem 𝑛 que representa uma combinação linear das componentesque são usadas na diferença dos vetores de estado, 𝜇 determina a intensidade do acoplamento,


x e y representam vetores de estado 𝑛-dimensionais dos sistemas e F é um campo vetorialF : R𝑛 → R𝑛 [57].

Observa-se que a primeira equação apresentada em (3.1) é o condutor e a segundaequação é a resposta. Esta forma de acoplamento pode ser visualizada no esquema da Fi-gura 11.

Sistema 1

Mestre

Sistema 2

Escravo

Figura 11 – Acoplamento unidirecional

3.1.3 Acoplamento bidirecional

No acoplamento bidirecional, os sistemas se influenciam entre si. E isto ocorre quandose adiciona um termo de acoplamento na dinâmica, que, matematicamente, torna-se da se-guinte forma:

x = F(x) + B(y − x)

y = F(y) + B(x − y) (3.2)

onde F é um campo vetorial F : R𝑛 → R𝑛, x e y são os vetores de estado 𝑛-dimensionais dossistemas e B é uma matriz de ordem 𝑛 cujos coeficientes governam o acoplamento de dissi-pação ou a intensidade do acoplamento [10]. Esta forma de acoplamento pode ser visualizadano esquema da Figura 12.

Sistema 1 Sistema 2

Figura 12 – Acoplamento bidirecional

Embora essas formas de acoplamentos já se estabeleçam como casos particulares, elassão usadas para modelar diversos processos importantes passíveis de sincronização, o quejustifica sua relevância.

3.2. Expoentes de Lyapunov condicionados 39

3.2 Expoentes de Lyapunov condicionados

3.2.1 O Critério de sincronização de Pecora e Carroll

Devido à grande sensibilidade às condições iniciais, pode parecer que o sincronismode sistemas que geram sinais caóticos seja impossível. No entanto, o trabalho de Pecora eCarroll [56, 57] mostra que certos sistemas, em configuração mestre-escravo, operando comsinais caóticos, podem entrar em sincronismo desde que satisfaçam certas propriedades. Naconfiguração mestre-escravo, como a própria denominação sugere, o sistema pode ser sempredividido em dois subsistemas, o mestre e o escravo, sendo o comportamento do subsistemaescravo influenciado pelo subsistema mestre, mas não o contrário. Enquanto o subsistemamestre depende apenas de suas próprias variáveis, o subsistema escravo depende de suasvariáveis, mas também de algumas variáveis do subsistema mestre. Por sua vez, o subsistemamestre pode ser decomposto em duas partes: uma envolvendo as variáveis que serão utilizadasno subsistema escravo e outra envolvendo aquelas que não o serão. Para que isso seja melhorentendido, será considerado um sistema caótico cuja evolução temporal é governada pelaseguinte equação:

z = F(z) (3.3)

onde z = {𝑧1, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛} representa o vetor de estados e F define um campo vetorial F :R𝑛 → R𝑛. O esquema de sincronização proposto por Pecora e Carroll [56] supõe que osistema dinâmico possa ser dividido em subsistemas da seguinte forma:

u = F(u,v) (3.4)

v = g(u,v) (3.5)

w = h(u,w) (3.6)

onde u = {𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑘}, v = {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑞}, w = {𝑤1, 𝑤2, . . . , 𝑤𝑙} e 𝑛 = 𝑘 + 𝑞 + 𝑙. Osubsistema mestre é definido pelas equações (3.4) e (3.5), e o subsistema escravo é definidopela equação (3.6), cuja evolução é condicionada pela trajetória do sistema mestre atravésdo vetor de estados u(𝑡), o qual é rotulado de sinal transmitido ou sinal de sincronização[10,49,50].

O sincronismo tratado nesta tese é do tipo mestre-escravo homogêneo, isto é, o casoem que 𝑞 = 𝑙 e g(·) = h(·) [58]. Neste sentido, os sistemas (3.4), (3.5) e (3.6) são reescritosna forma:


u = F(u,v) (3.7)

v = g(u,v) (3.8)

u′ = u (3.9)

v′ = g(u,v′). (3.10)

onde u′ e v′ significam variáveis de estado do subsistema escravo e não derivadas de u e vrespectivamente. Neste modelo de configuração, sempre que a condição inicial no mestre e noescravo for a mesma, tem-se v′(𝑡) = v(𝑡) [15]. O sinal u(𝑡) é a informação que é passada domestre para o escravo que tenta recriar o vetor v(𝑡). Neste contexto, o que se pretende saberagora, é que condições devem ser estabelecidas nos sistemas mestre - formado pelas equações(3.7) e (3.8) - e escravo - formado pelas equações (3.9) e (3.10) - para que ao transmitir u(𝑡),consiga-se obter

lim𝑡→+∞

‖v′(𝑡) − v(𝑡)‖ = 0 (3.11)

com condições iniciais não necessariamente iguais no mestre e no escravo. Sendo assim, seránecessária a seguinte definição [24,58]:

Definição 3.1 Considere dois sistemas dinâmicos x = f(x) e y = g(y). Sejam uma órbitado primeiro sistema 𝑥(𝑡,x0) e uma do segundo 𝑦(𝑡,y0). O sistema definido por f(·) sincronizacom o sistema definido por g(·) em um subconjunto não vazio de R𝑚 denotado por Ω se, para{x0,y0} ⊂ Ω, lim

𝑡→∞||𝑥(𝑡,x0) − 𝑦(𝑡,y0)|| = 0. A sincronização é dita global se Ω = R𝑚 e local

se Ω é um subconjunto de R𝑚.

Agora, tomando como referência os resultados inicialmente apresentados por Pecorae Carroll [58] e posteriormente por He e Vaidya [24], segue-se o seguinte teorema:

Teorema 3.1 O sistema escravo definido pelas equações (3.9) e (3.10) sincroniza com osistema mestre definido pelas equações (3.7) e (3.8), com condições iniciais v(0) e v′(0),respectivamente, pertencentes a um conjunto Ω ⊂ R𝑚 se, e somente se, a órbita 𝑣′(𝑡) dosistema escravo é assintoticamente estável para condições iniciais pertencentes a Ω.

Assim, para saber se um sistema em configuração mestre-escravo entrará em sincro-nismo, basta verificar se o subsistema escravo é assintoticamente estável ou não. Uma das

3.3. Proposta de cálculo dos expoentes condicionados baseado na abordagem ClDyn 41

formas de fazer isso é por meio do cálculo dos expoentes de Lyapunov condicionados. Essavariante dos expoentes clássicos, como já mencionado, deve seu nome ao fato de o cálculodos expoentes de Lyapunov ficar condicionado ao sinal de entrada u(𝑡). Segue-se então queuma condição necessária e suficiente para que os sistemas mestre e escravo sincronizem é queas órbitas do sistema escravo possuam expoentes de Lyapunov condicionados negativos [56].

É bom deixar claro que, ao fazer uso da substituição completa, deve existir um hi-perplano de sincronização que seja invariante perante a dinâmica. Em relação ao sistemadinâmico descrito pelas equações (3.4), (3.5) e (3.6), o hiperplano de sincronização é dadopor v = w. Dizer que o hiperplano é invariante perante a dinâmica significa que, qualquercondição inicial dentro do hiperplano, a solução do sistema continuará confinada ao hiper-plano [5].

Tendo em vista que os subsistemas v e w são idênticos, então o Teorema de Existênciae Unicidade de soluções 2.1 das equações diferenciais garante que, se em algum instante 𝑡,os estados v(𝑡) e w(𝑡) forem iguais, essa identidade se permanecerá para todos os instantesfuturos.

3.3 Proposta de cálculo dos expoentes condicionados baseado naabordagem ClDyn

O método das Dinâmicas Clonadas (ClDyn) [16, 69, 70] consiste em analisar a evo-lução dos vetores diferença de estados definidos como a distância entre a trajetória fiduciale as cópias (ou clones) das equações de movimento infinitesimalmente perturbadas [16, 70].Portanto, dado o sistema dinâmico 𝑁 -dimensional descrito por (2.43), são criados 𝑁 clonesdefinidos em (3.12).

y𝑐1 = F(y𝑐1, 𝑡)

y𝑐2 = F(y𝑐2, 𝑡)...

y𝑐𝑁 = F(y𝑐𝑁 , 𝑡) (3.12)

sendo que cada clone herda a mesma condição inicial do sistema original, que, por sua vez,é perturbada por uma magnitude infinitesimal 𝛿𝑦0 numa direção ortogonal específica, comodescrito em (3.13).


y0𝑐1 = y0 + 𝛿(0)1𝑦

y0𝑐2 = y0 + 𝛿(0)2𝑦

...

y0𝑐𝑁 = y0 + 𝛿(0)𝑁𝑦 (3.13)

onde {𝛿1𝑦, 𝛿2𝑦, . . . , 𝛿𝑁𝑦} é uma base ortogonal cuja forma inicial é dada por (3.14):

𝛿𝑦0{e1, e2, . . . , e𝑁} = 𝛿𝑦0I𝑁 . (3.14)

Observe que há o produto entre a matriz identidade e a magnitude da perturbação,resultando numa importante diferença em comparação com a metodologia TanMap [69]. Como intuito de haver uma correspondência entre este método e clássico (TanMap), já amplamenteconhecido na literatura, toma-se o valor de 𝛿𝑦0 suficientemente pequeno para ser consideradoinfinitesimal em relação ao tamanho do conjunto-limite obtido quando 𝑡 → +∞ [69]. Emseguida, integra-se o sistema referencial e seus respectivos clones perturbados por um períodode tempo 𝑇 , com o objetivo de mensurar a taxa de divergência ou convergência dos clones.Feito isso, o vetor resultante (ou vetor diferença de estado), pode ser obtido a partir dadiferença entre os estados finais alcançados pelos clones em relação à trajetória fiducial dosistema, como descrito em (3.15).

𝛿(1)1𝑦 = y(𝑇 ) − y𝑐1(𝑇 )

𝛿(1)2𝑦 = y(𝑇 ) − y𝑐2(𝑇 )

...

𝛿(1)𝑁𝑦 = y(𝑇 ) − y𝑐𝑁(𝑇 ). (3.15)

Para evitar problemas numéricos, aplica-se novamente o algoritmo de reortonormali-zação visto em (2.52), analogamente ao que foi feito na metodologia TanMap. Ao fim de cadaiteração, inicia-se novamente o processo de integração, e os clones são atualizados recebendonovas condições iniciais infinitesimalmente perturbadas em relação à trajetória fiducial aolongo da base ortonormal dada pelos vetores {v1,v2, . . . ,v𝑁}, e descritas em (3.16) [16,69,70].

3.4. O método ClDyn e o cálculo dos expoentes de Lyapunov condicionados 43

y(1)0𝑐1 = y(𝑇 ) + 𝛿𝑦0v(1)

1

y(1)0𝑐2 = y(𝑇 ) + 𝛿𝑦0v(1)

2

...

y(1)0𝑐𝑁 = y(𝑇 ) + 𝛿𝑦0v(1)

𝑁 . (3.16)

Isso assegura que as perturbações estão sendo aplicadas nas respectivas direções duranteos cálculos dos expoentes de Lyapunov. Portanto, na 𝐾-ésima iteração do algoritmo para𝐾 suficiente grande para obter o comportamento médio dos expoentes estimados, o 𝑖-ésimoexpoente de Lyapunov é descrito em (3.17) [16,55,69,70].

𝜆𝑖 = lim𝛿𝑦0→0

lim𝐾→∞

1𝐾𝑇

𝐾∑𝑘=1

ln ||v(𝑘)𝑖

𝛿𝑦0||, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁. (3.17)

A Figura 13 ilustra uma típica iteração da metodologia ClDyn para perturbaçõesinicialmente aplicadas em duas direções ortogonais no espaço de estados, indicadas por 𝛿(0)

1𝑦

e 𝛿(0)2𝑦 (que correspondem a 𝛿𝑦0I2). Para cada iteração, à medida que o tempo evolui, o vetor

diferença de estados é novamente atualizado de acordo com as equações descritas em (3.15),onde a tendência de alinhamento com a direção mais expansiva do movimento é corrigidaatravés do método GSR. Porém, antes mesmo da próxima iteração, os clones são distribuídosinfinitesimalmente próximos à trajetória fiducial de forma ortogonal, conforme as equaçõesdescritas em (3.16). Finalizando com próxima iteração sendo a mesma inicializada com osclones partindo de A e B. Este procedimento é repetido até que o comportamento médiode divergência ou convergência da perturbação em relação à trajetória de referência sejaencontrado, e com isso, ao seu final, obtendo os expoentes de Lyapunov de forma decrescente[16,69,70]. Observa-se ainda que, embora 𝛿𝑦0 apareça no denominador de (3.17), tem-se queas divergências v(𝑘)

𝑖 também são usualmente pequenas, não provocando assim erros numéricosde uma divisão próximo de zero.

3.4 O método ClDyn e o cálculo dos expoentes de Lyapunov condi-cionadosUma vez tendo apresentado o método ClDyn tal como anteriormente proposto, vamos

aqui introduzir as alterações necessárias para viabilizar os cálculos dos expoentes condicio-nados. Em essência, tal métrica pode ser obtida condicionando a estabilidade do sistema


A Bp

Figura 13 – Ilustração da evolução temporal do sistema de equações e das correções empre-gadas em uma iteração típica da abordagem ClDyn. 𝛿

(0)1𝑦 e 𝛿

(0)2𝑦 representam os

vetores diferença de estados iniciais dados por 𝛿𝑦0{e1, e2}. p representa a proje-ção de 𝛿

(1)2𝑦 em 𝛿

(1)1𝑦 usada para obter o vetor u2. A e B representam as condições

iniciais para a próxima iteração do algoritmo [16].

erro, tanto para sistemas mestre-escravo (tal como descrito anteriormente na apresentaçãodo critério de Pecora e Carroll de sincronização), como para sistemas com acoplamento bidi-recional.

De forma objetiva, o sistema dinâmico do erro entre duas dinâmicas pode ser obtidopor meio de uma mudança de coordenada. Por exemplo, caso queira analisar os expoentescondicionados na configuração mestre-escravo tal como efetuado por Pecora e Carroll, con-sidere o sistema mestre definido pelo sistema de Lorenz [39] e que será estudado com maisdetalhes na subseção 4.1.1.

��1 = 𝜎(𝑦1 − 𝑥1)

��1 = −𝑥1𝑧1 + 𝑟𝑥1 − 𝑦1

��1 = 𝑥1𝑦1 − 𝑏𝑧1 (3.18)

em que 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 são variáveis de estado e 𝜎, 𝑟 e 𝑏 são parâmetros do sistema. Considere aindaque o sistema escravo é idêntico ao mestre, mas recebe seu sinal 𝑥1(𝑡) e está condicionado aele, isto é, 𝑥1(𝑡) substitui completamente 𝑥2(𝑡) na expressão do escravo

��2 = 𝜎(𝑦2 − 𝑥2)

��2 = −𝑥2𝑧2 + 𝑟𝑥2 − 𝑦2

��2 = 𝑥2𝑦2 − 𝑏𝑧2. (3.19)

3.4. O método ClDyn e o cálculo dos expoentes de Lyapunov condicionados 45

Com isso, caso as variáveis do erro sejam introduzidas como 𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥2, 𝑒2 = 𝑦1 − 𝑦2 e𝑒3 = 𝑧1 − 𝑧2, tem-se, diferenciando membro a membro e usando (3.20) e (3.19):

��1 = 0

��2 = −𝑒2(𝑥1 + 1)

��3 = 𝑥1𝑒1 − 𝑏𝑒3. (3.20)

Logo, como ��1 = 0, basta analisar o sistema dinâmico fornecido por ��2 e ��3. A apli-cação da abordagem ClDyn a esse sistema transformado nos permite, portanto, inferir aosexpoentes condicionados, gozando assim de todas as vantagens do método, e possibilidade delidar com equações de estado não suaves ou mesmo difíceis de serem linearizadas em geral.Observe que agora o ponto fixo (��2, ��3) = (0, 0) fornece o estado síncrono, o qual está con-dicionado ao sinal 𝑥1, e, portanto, à dinâmica do mestre. Nesta situação, quando ao menosum expoente condicionado for positivo, tem-se ausência de sincronismo, enquanto a presençade todos os expoentes negativos indica sincronismo entre as dinâmicas, o que independe danatureza (caótica ou não) dos sinais produzidos pelos sistemas.

De forma análoga, todo esse desenvolvimento para obtenção da dinâmica do erro podeser realizado também para sistemas com acoplamentos bidirecionais (tal como explorado nocapítulo seguinte, considerando dinâmicas neuronais) ou mesmo para acoplamentos unidire-cionais sem perda de generalidade. Embora tal mudança de coordenadas possa parecer óbvia,é importante observar que dependendo das equações de estado envolvidas, o cálculo dos ex-poentes condicionados utilizado pode se tornar uma tarefa trabalhosa, justificando assim aabordagem ClDyn empregada.

Apresenta-se a seguir resultados numéricos relativos à aplicação da metodologia ClDynem sistemas clássicos, bem como no contexto de modelos neuronais mais complexos.

47

4 Resultados Numéricos

4.1 Dinâmicas não-lineares clássicas com substituição completaEm geral, os sistemas dinâmicos não-lineares possuem características específicas, ou

seja, cada sistema se caracteriza pelo seu comportamento complexo e único. Alguns exemplosbem conhecidos na literatura podem ser citados por serem bastante importantes e largamenteutilizados como paradigmas de teste, merecendo o status de modelos clássicos. Aqui serãoapresentados três deles: Lorenz, Rössler e Duffing. O primeiro originou-se da simplificaçãodas equações diferenciais parciais que governam a convecção em fluidos [20]. O segundo, ori-ginalmente proposto por Otto Rössler (1976), surgiu para simplificar o estudo da dinâmicanão-linear apresentada pelo modelo de Lorenz. O último, se configura como um osciladorforçado com elasticidade não-linear [20]. Com o propósito de verificar a funcionalidade donovo método apresentado na seção 3.3, os sistemas supracitados serão explorados como basespara testes dessa metodologia no âmbito do cálculo dos expoentes condicionados em sistemasmestre-escravo com substituição completa. Objetiva-se aqui, em um primeiro momento, veri-ficar numericamente a consistência da abordagem ClDyn por meio de uma comparação comresultados obtidos previamente na literatura e também de resultados que podem ser obtidosanaliticamente.

4.1.1 O sistema de Lorenz

O sistema de Lorenz (1917-2008) consiste de três equações diferenciais ordinárias deprimeira ordem, acopladas, que retratam a convecção de fluidos atmosféricos e que apresentamcomportamento caótico. Suas equações de estado podem ser descritas por [39]:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜎(𝑦 − 𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑥𝑧 + 𝑟𝑥− 𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑥𝑦 − 𝑏𝑧 (4.1)

onde 𝜎, 𝑟 e 𝑏 são parâmetros positivos. Este sistema é um exemplo clássico de sistema autô-nomo que apresenta um atrator estranho [17], sendo que as variáveis de estado 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e𝑧(𝑡) têm significados físicos bem definidos. Mais especificamente, 𝑥(𝑡) é proporcional à inten-sidade da convecção, isto é, 𝑥(𝑡) = 0 implica que não há movimento convectivo, e, portanto

48 Capítulo 4. Resultados Numéricos

o calor é transportado apenas por condução; quando 𝑥(𝑡) > 0 implica circulação horária,e, para 𝑥(𝑡) < 0, há circulação anti-horária. 𝑦(𝑡) é proporcional à diferença de temperaturaentre as correntes de fluido ascendente e descendente e 𝑧(𝑡) é proporcional à distorção doperfil de temperatura vertical, em relação a um perfil linear [44].

Foi durante sua pesquisa em 1963 - cuja meta era melhorar a previsão do clima -que o matemático e meteorologista Edward Lorenz [39] introduziu este sistema como ummodelo aproximado do fluxo de fluidos da atmosfera. Ele descobriu que, para uma grandevariação dos parâmetros, as soluções do sistema permaneciam confinadas numa determinadaregião limitada do espaço de fases mas que tinham comportamentos oscilatórios de maneiraaperiódica.

Ainda em seu trabalho [39], Lorenz atribui 𝜎 = 10 (número de Prandtl), 𝑏 = 83 (relaci-

onado às dimensões físicas do sistema) e 𝑟 é tomado como o parâmetro de controle do sistema.O autor também consegue mostrar, numericamente, evidências de que, para determinadosvalores de 𝑟, 𝜎 e 𝑏 o sistema apresenta órbitas caóticas, o que foi apenas caracterizado nestestermos posteriormente na década de 1970.

O sistema de Lorenz possui o ponto de equilíbrio 𝑃1 = (0, 0, 0) independente dosvalores atribuídos aos parâmetros. Tomando 𝑟 < 1, tem-se a origem um ponto de equilíbriolocalmente estável, já que todos os valores próprios da matriz jacobiana do sistema têm partereal negativa. Kaplan e Yorke [33] mostraram que para 𝑟 = 28 a origem tem uma variedadeestável𝑊 𝑠(0, 0, 0)1 bidimensional e uma variedade instável𝑊 𝑢(0, 0, 0)2 unidimensional. Nestesentido, com a perda de estabilidade da origem, surgem mais dois novos pontos de equilíbriosimétricos apresentados em (4.2).

𝐶 ={𝑃2 = (

√𝑏(𝑟 − 1),

√𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1) e 𝑃3 =

(−√𝑏(𝑟 − 1),−

√𝑏(𝑟 − 1), 𝑟 − 1

)}, (4.2)

indicando uma bifurcação de forquilha no ponto de bifurcação 𝑟0 = 1. O ponto fixo 𝑃1

corresponde ao regime de condução e os pontos fixos 𝑃2 e 𝑃3 ao regime de convecção [39].Para valores de 𝑟 > 𝑟0 mas próximos a 𝑟0, 𝑃2 e 𝑃3 são localmente estáveis. Aumentandoo valor de 𝑟, as trajetórias se aproximam de 𝑃2 e 𝑃3 se movendo em espiral em torno decada ponto [33]. Seguindo este processo, a dinâmica do sistema não exibe atrator caóticomuito menos a possibilidade para caos. Por outro lado, tomando 𝑟 ≃ 13, 926, a trajetória queantes se distanciava da origem ao longo da sua variedade instável, agora volta a visitá-la. O

1 Seja 𝑥* um ponto de equilíbrio hiperbólico do sistema dinâmico descrito em (2.3). A variedade estável doequilíbrio 𝑥* é o conjunto 𝑊 𝑠(𝑥*) = {𝑥0 ∈ R𝑛 : 𝜑(𝑡, 𝑥0) → 𝑥* quando 𝑡 → ∞}.

2 A variedade instável do equilíbrio 𝑥* é o conjunto 𝑊 𝑢(𝑥*) = {𝑥0 ∈ R𝑛 : 𝜑(𝑡, 𝑥0) → 𝑥* quando 𝑡 → −∞}.

4.1. Dinâmicas não-lineares clássicas com substituição completa 49

que acarreta na fusão da variedade instável 𝑊 𝑢(0, 0, 0) com a variedade estável 𝑊 𝑠(0, 0, 0)produzindo um arco homoclínico [33].

Ainda segundo o trabalho de Kaplan e Yorke [33], o regime caótico tem início quando𝑟 atinge o valor 13,926. Essa transição para o caos apenas deixa de ocorrer dando lugar aoatrator caótico descoberto por Lorenz [39], quando 𝑟 = 𝑟1 ≃ 24, 06 por existirem bifurcaçõesassociadas aos pontos de equilíbrio 𝑃2 e 𝑃3. Esse processo se reproduz indefinidamente comvoltas em torno de um equilíbrio para em seguida se deslocar com comportamento de formaerrática. Sendo que as trajetórias permanecem confinadas e em movimento contínuo semse interceptarem entre si num conjunto limitado [33, 39]. Para valores de 𝑟 superiores a 28existem comportamentos caóticos mas também existem pequenas janelas interpoladas decomportamento periódico [33].

A Figura 14 exibe a solução do sistema de Lorenz (4.1) para 𝜎 = 10, 𝑏 = 83 e 𝑟 = 28,

a partir da condição inicial x0 = [2 5 3]. Essa solução está representada no espaço de fasesou espaço de estados, que é o espaço formado pelos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧. A figura, cujo formatolembra as asas de uma borboleta, é o atrator desse sistema dinâmico. A evolução temporaldas variáveis 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡) está ilustrada na Figura 15 com os mesmos parâmetros daFigura 14 e condição inicial x0 = [1 1 1] (curvas em azul) e para uma nova condição inicial,x0 = [1, 001 1, 001 1, 001] (curvas em verde).

Assim, as condições que caracterizam um atrator estranho (aperiodicidade, sensibi-lidade em relação às condições iniciais e permanência no espaço compacto) são satisfeitas.Além disso, variando 𝑟, o comportamento qualitativo das soluções de (4.1) pode mudar brus-camente, caracterizando uma sequência de bifurcações tendo 𝑟 como parâmetro de controle.

Nas simulações realizadas mais adiante usaremos parâmetros com valores distintosapenas para comparar com dados já existentes na literatura [10], mas que ainda assim, levamao comportamento caótico.

−20 −10 0 10 20 −50

0

50

0

10

20

30

40

50

y

x

z

Figura 14 – O atrator do sistema de Lorenz descrito em (4.1).


0 10 20 30 40 50−20

0

20

t

x

x(0)=1x(0)=1.001

0 10 20 30 40 50−50

0

50

t

y

y(0)=1y(0)=1.001

0 10 20 30 40 500

50

t

z

z(0)=1z(0)=1.001

Figura 15 – Evolução temporal do sistema de Lorenz (4.1).

4.1.2 O sistema de Rössler

Outro sistema caótico popularmente utilizado e analisado é o de Rössler [65] (1940- ),o qual pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais de primeira ordem e autô-nomas que geram um atrator caótico tridimensional, muito semelhante ao atrator propostoanteriormente por Lorenz [39] e que é representado matematicamente como

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑦 − 𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥+ 𝑎𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑏+ 𝑧(𝑥− 𝑐) (4.3)

onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são parâmetros do modelo. Este modelo surgiu da ideia de obter um sistema deequações diferenciais mais simples que o sistema de Lorenz (4.1), mas que ainda mantivessecomplexidade expressiva em suas órbitas, isto é, preservasse o comportamento caótico.

Tomando 𝑧 = 0 o sistema em (4.3) é simplificado, tornando-se num novo sistema deequações diferenciais como descrito matematicamente em (4.4).


−20−10

010

20

−20

−10

0

10

200

10

20

30

40

50

60

xy

z

Figura 16 – O atrator do sistema de Rössler descrito em (4.3).

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑥+ 𝑎𝑦. (4.4)

A análise de estabilidade desse novo sistema no plano 𝑥𝑦 pode ser realizada através dosautovalores (𝑎±

√𝑎2 − 4)/2 obtidos da matriz jacobiana do sistema (4.4) [3]. Neste contexto,

quando 0 < 𝑎 < 2 os valores próprios serão complexos conjugados com parte real positiva,tornando a origem instável e com uma espiral para o exterior do plano 𝑥𝑦 [3]. Quando 𝑧 = 0e considerando esta variação para 𝑎. Desde que 𝑥 seja menor do que 𝑐, o termo c mantém aórbita próximo do plano 𝑥𝑦. Quando a órbita se aproxima de 𝑥 cujos valores são superioresa 𝑐, os valores de 𝑧 tendem a crescer, enquanto que o termo −𝑧 da segunda equação de (4.4)restringe o crescimento de 𝑥 [3].

O sistema de Rössler definido pelo sistema (4.3) é estruturado pela organização dasvariedades estáveis e instáveis na vizinhança dos pontos fixos 𝐹+ e 𝐹−. As coordenadas dospontos fixos são soluções constantes de (4.3) e são da seguinte forma [37]:

𝐹± =(𝑐±

√𝑐2 − 4𝑎𝑏2 ,−𝑐±

√𝑐2 − 4𝑎𝑏2𝑎 ,

𝑐±√𝑐2 − 4𝑎𝑏2𝑎

). (4.5)

O ponto fixo 𝐹− reside no centro do atrator e o mesmo é do tipo sela com umavariedade instável no plano 𝑥𝑦 correspondendo a uma espiral instável quando a trajetória seacomoda num atrator estranho. O termo não-linear 𝑧(𝑥− 𝑐) é acionado quando a trajetóriadeixa o plano 𝑥𝑦. Neste sentido, a trajetória é deslocada para uma vizinhança do pontofixo 𝐹+ - também do tipo sela - na região externa do atrator [37]. O ponto 𝐹+ tem uma


variedade instável que conduz a trajetória ao longo da variedade estável de 𝐹− [37]. Paravalores adequados dos parâmetros a trajetória desenha um atrator caótico.

A Figura 16 exibe uma típica solução do sistema de Rössler (4.3) no espaço de estadospara 𝑎 = 0, 2, 𝑏 = 0, 2 e 𝑐 = 9, 5, a partir da condição inicial x0 = [1 3 2]. A evolução temporaldas variáveis 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡) está ilustrada na Figura 17, adotando-se os mesmos parâmetrosda Figura 16, e diferentes condições iniciais, sendo x0 = [2 2 2] (curvas em azul), em umprimeiro momento, x0 = [2, 01 2, 01 2, 01] (curvas em verde), em uma nova simulação. Adivergência observada mais uma vez, é indicativa da ocorrência de caos, o que também éacompanhado da permanência do atrator no espaço compacto e aperiodicidade.

0 20 40 60 80 100−20

0

20

t

x

x(0)=2x(0)=2.01

0 20 40 60 80 100−20

0

20

t

y

y(0)=2y(0)=2.01

0 20 40 60 80 1000

50

100

t

z

z(0)=2z(0)=2.01

Figura 17 – Evolução temporal do Sistema de Rössler (4.3).

4.1.3 Oscilador Duffing

Dentre os modelos capazes de produzir comportamento caótico, encontra-se classi-camente, o oscilador Duffing. Em essência, o modelo visa capturar o comportamento deum oscilador forçado com elasticidade não-linear, o que pode matematicamente ser descritocomo [20]:

��+ 𝜁��+ 𝛽𝑥+ 𝛼𝑥3 = 𝛾 cos(𝜔𝑡) (4.6)

em que 𝜁 define o comportamento e 𝛼 é uma constante relacionada com a elasticidade dosistema. Quando 𝛽 < 0, tem-se que o comportamento do oscilador é análogo a uma partícula


em um poço de potencial amplo, o que descreveria (considerando ainda, 𝜁 > 0, 𝛼 > 0, 𝛾 = 0e 𝜔 = 0) e deflexão de uma haste de metal por meio de dois ímãs próximos. Detalhes nestesmodos de oscilações podem ser encontrados em [20]. Assumindo a condição 𝛼 = 1 e 𝛽 = −1,tal como usualmente adotado em diversos trabalhos e transformando o sistema de segundaordem em duas equações diferenciais de primeira ordem, tem-se:

�� = 𝑦

�� = 𝑥− 𝑥3 − 𝜁𝑦 + 𝛾 cos(𝜔𝑡). (4.7)

Tomando ainda 𝜁 = 0.25, 𝛼 = 0.3 e 𝜔 = 1, observa-se a presença do comportamento caótico,tal como ilustrado na operante aperiodicidade do espaço de fases mostrado na Figura 18.

−2 −1 0 1 2−1

−0.5

0

0.5

1

x [u.a.]

y [u

.a.]

Figura 18 – O atrator do sistema de Duffing descrito em (4.6).

Uma vez exposto esses três modelos, analisa-se a seguir a consistência das metodo-logias de cálculo para essas dinâmicas apresentando um comparativo entre a abordagemTanMap e ClDyn. Como é difícil obter resultados analíticos para o cálculo de expoentesde Lyapunov condicionais para sistemas não-lineares em geral. Neste sentido, os modelos deLorenz e Rössler foram tratados apenas com ferramentas computacionais pelo fato dos mes-mos serem não-lineares, tornando-se impossível chegar a resultados fechados fazendo apenasmanipulações algébricas. Neste contexto, foram realizadas várias simulações nos mais di-versos cenários de possibilidades nas configurações mestre-escravo, e com condições iniciaisdiferentes tanto para os sistemas mestres como para os escravos, ao mesmo tempo que sãoconfrontados os resultados obtidos com os já existentes na literatura, comprovando a eficáciada metodologia ClDyn. No caso do modelo Duffing, deriva-se um resultado analítico para ocálculo do expoente de Lyapunov condicional considerando sistemas mestre-escravo idênticos,o que sugere que ambas as abordagens fornecem resultados coerentes.


4.2 Consistência das abordagens TanMap e ClDyn e comparativosnuméricos

Os osciladores de Lorenz, Rössler e Duffing foram implementados computacionalmentena perspectiva de se obter sincronismo no sentido de Pecora & Carroll [56]. Para isso, fo-ram calculados os expoentes de Lyapunov condicionados via abordagem clássica, utilizandoo TanMap, e via a abordagem alternativa, ClDyn [69]. Sempre se verificou computacional-mente se tinha lugar ou não o sincronismo para os respectivos sistemas mestre-escravo, comopode ser observado nos dados da Tabela 1. Os valores da tabela sinalizam o potencial desincronismo dos sistemas apresentados na seção 4.1 quando os mesmos estão em configura-ção mestre-escravo, já que, em alguns casos, notam-se expoentes de Lyapunov condicionadosnegativos, que é uma condição necessária e suficiente para a ocorrência de sincronismo entreos sistemas como discutido na seção 3.2 [56].

Com o intuito de ilustrar tal procedimento, considere inicialmente o sistema de Lorenzdescrito pelas equações em (4.1) [10]. Com efeito, a partir do critério de sincronização dePecora e Carroll [56], enviando o sinal 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡), o subsistema escravo é definido pelasequações em (4.8).

𝑑𝑦2

𝑑𝑡= −𝑥1𝑧2 + 𝑟𝑥1 − 𝑦2

𝑑𝑧2

𝑑𝑡= 𝑥1𝑦2 − 𝑏𝑧2 (4.8)

onde os subíndices nas variáveis de estado indicam a natureza das mesmas, i.e., 1 para mestree 2 para escravo. Além disso, nessa configuração 𝜎 = 16, 𝑟 = 45, 92 e 𝑏 = 4.

Uma das principais dificuldades de avaliar se os métodos de cálculo dos expoentesde Lyapunov são de fato consistentes baseia-se na falta de valores analíticos de referênciapara tanto. Poucos sistemas apresentam valores analíticos para os expoentes de Lyapunov,os quais, em geral se concentram em casos particulares de mapas unimodais (e.g. mapatriangular [17]). Tendo isso em vista, apresenta-se a seguir como contribuição um caso emque o expoente condicional pode ser calculado analiticamente, o que, em seguida, servirá devalor de referência para o resultado numérico encontrado por meio da abordagem ClDyn.Para tanto, considere o sistema de Duffing transformado para a forma autônoma:

4.2. Consistência das abordagens TanMap e ClDyn e comparativos numéricos 55

��1 = 𝑦1

��1 = 𝑥1 − 𝑥31 − 𝜁𝑦1 + 𝛾 cos(𝜔𝑧1)

��1 = 1. (4.9)

Considere agora um sistema escravo que recebe a variável 𝑥1 do sistema mestre tal como naconfiguração proposta por Pecora & Carroll, i.e., com substituição completa de 𝑥2 do sistemaescravo por 𝑥1 do mestre, o que leva a:

��2 = 𝑦1

��2 = 𝑥1 − 𝑥31 − 𝜁𝑦2 + 𝛾 cos(𝜔𝑧2)

��2 = 1. (4.10)

Fazendo a mudança de coordenadas para obter o sistema de equações diferenciais do erro,tem-se:

𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥2

𝑒2 = 𝑦1 − 𝑦2

𝑒3 = 𝑧1 − 𝑧2. (4.11)

Daí, segue-se que:

��1 = 0

��2 = −𝜁𝑒2

��3 = 0, (4.12)

uma vez que ��1 = ��2 = 𝑦1 e 𝑧1 = 𝑧2 = 𝑡. Assim, tem-se apenas uma direção para a expansãoou contração da perturbação no sistema condicionado, apesar dos osciladores individualmenteoperarem em caos. Tem-se ainda que o jacobiano de (4.12) é −𝜁 cujo autovalor é o próprio−𝜁. Usando o fato que o expoente de Lyapunov é dado pela média temporal da parte realdos autovalores de 𝜌𝑖 da matriz jacobiana, i.e.:

𝜆𝑖 = lim𝑡→∞

1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑅𝑒{𝜌𝑖(𝑡′)}𝑑𝑡′, (4.13)


tem-se que

𝜆𝑐 = − lim𝑡→∞

1𝑡

∫ 𝑡

0𝜁𝑑𝑡′ = −𝜁, (4.14)

e, portanto, tem-se analiticamente o valor do expoente condicional neste caso.

0 50 100 150 200−0.26

−0.255

−0.25

−0.245

−0.24

tempo [u.a.]

λ c [nat

s/u.

a.]

Figura 19 – Resultado numérico obtido pela abordagem ClDyn a partir do sistema errodefinido em (4.12).

A Figura 19 mostra o valor numérico obtido pela abordagem ClDyn a partir dosistema do erro mostrado em (4.12) tomando 𝜁 = 0.25, 𝜆 = 0.3 e 𝜔 = 1. Nota-se claramentea correspondência com o valor analítico obtido em (4.14), e, de fato, o resultado numéricoapresenta divergência apenas na décima terceira casa decimal.

Como o valor do expoente condicional é negativo, tem-se o sincronismo entre mestree escravo, tal como mostrado na Figura 20. Para todas as escolhas de 𝜁 experimentados,inclusive os de 𝜁 negativos, observam-se plena coerência a abordagem ClDyn e os valoresanalíticos de referência, mesmo para os casos em que os osciladores individualmente nãooperem mais em caos devido à alteração de 𝜁.

Ainda seguindo a configuração mestre-escravo proposta por Pecora & Carrol [56] épossível estabelecer um comparativo entre as abordagens TanMap e ClDyn para os sistemasclássicos, tais como o de Lorenz e o de Rössler apresentados anteriormente, os quais, nestecaso, não possuem uma formulação analítica para o expoente condicional. Apesar da ausênciadeste valor de referência, pode-se usar algumas estratégias que podem ajudar no comparativo.Por exemplo, segundo [4], a soma dos expoentes de Lyapunov é dada por

𝑁∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑡′)𝑑𝑡′ (4.15)


0 50 100 150 200−1

−0.5

0

0.5

1

tempo [u.a.]

y [u

.a.]

y(t) − mestrey(t) − escravo

Figura 20 – Sincronismo do sistema de Duffing na configuração mestre-escravo.

em que 𝑑𝑖𝑣F(𝑡′) é o divergente do campo vetorial.

Observa-se que, para alguns casos, especialmente para o modelo de Lorenz na confi-guração mestre-escravo, resultados analíticos para a soma dos expoentes podem ser obtidos.Assim, considere o sistema de Lorenz descrito em (4.1) [39]. A partir do critério de sincroni-zação de Pecora & Carroll [56], tomando o sinal 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡) como drive do mestre para oescravo, tem-se o subsistema escravo descrito por:

𝑑𝑦2

𝑑𝑡= −𝑥1𝑧2 + 𝑟𝑥1 − 𝑦2

𝑑𝑧2

𝑑𝑡= 𝑥1𝑦2 − 𝑏𝑧2. (4.16)

Fazendo a mudança de coordenadas utilizando

𝑒2 = 𝑦1 − 𝑦2

𝑒3 = 𝑧1 − 𝑧2, (4.17)

tem-se o sistema dinâmico do erro

��2 = −𝑥1𝑒3 − 𝑒2

��3 = 𝑥1𝑒2 − 𝑏𝑒3, (4.18)

cuja matriz jacobiana a ser usada no método TanMap é dada por:


J(x) =⎡⎣ −1 −𝑥1

𝑥1 −𝑏

⎤⎦ . (4.19)

Neste caso, a soma dos expoentes pode ser obtida analiticamente por

𝑑𝑖𝑣F(𝑒2, 𝑒3) = −1 + (−𝑏) = −5 (4.20)

e, portanto,

2∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑒2, 𝑒3)𝑑𝑡′ = −5. (4.21)

De modo análogo, o sistema do erro tomando 𝑢(𝑡) = 𝑦1(𝑡) agora como o drive do mestre parao escravo é dado por:

��1 = −𝜎𝑒1

��3 = 𝑦1𝑒1 − 𝑏𝑒3. (4.22)

Sendo a matriz jacobiana a ser utilizada na abordagem TanMap dada por:

J(x) =⎡⎣ −𝜎 0

𝑦1 −𝑏

⎤⎦ . (4.23)

e a soma dos expoentes assume a forma:

𝑑𝑖𝑣F(𝑒1, 𝑒3) = −𝜎 + (−𝑏) = −20 (4.24)

e, portanto,

2∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑒1, 𝑒3)𝑑𝑡′ = −20. (4.25)


Por fim, quando o drive passa a ser 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡), tem-se:

��1 = 𝜎(𝑒2 − 𝑒1)

��2 = 𝑒1(𝑟 − 𝑧1) − 𝑒2 (4.26)

com matriz jacobiana:

J(x) =⎡⎣ −𝜎 𝜎

𝑟 − 𝑧1 −1

⎤⎦ . (4.27)

e soma dos expoentes:

𝑑𝑖𝑣F(𝑒1, 𝑒2) = −𝜎 − 1 = −17 (4.28)

e, portanto,

2∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑒1, 𝑒2)𝑑𝑡′ = −17. (4.29)

Caso o sistema de Rössler, tal como descrito em (4.3), seja considerado, tem-se que, tomandoo drive 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡), o sistema do erro pode ser descrito como:

��2 = 𝑎𝑒2

��3 = (𝑥1 − 𝑐)𝑒3 (4.30)

com matriz jacobiana dada por:

J(x) =⎡⎣ 𝑎 0

0 𝑥1 − 𝑐

⎤⎦ . (4.31)

e soma dos expoentes

2∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑒2, 𝑒3)𝑑𝑡′

= (𝑎− 𝑐) + lim𝑡→∞

1𝑡

∫ 𝑡

0𝑥1(𝑡′)𝑑𝑡′. (4.32)


Tomando o drive como 𝑢(𝑡) = 𝑦1(𝑡), tem-se:

��1 = −𝑒3

��3 = (𝑥3 − 𝑒3)𝑒1 + (𝑥1 − 𝑐)𝑒3 (4.33)

com matriz jacobiana

J(x) =⎡⎣ 0 −1𝑥3 − 𝑒3 𝑥1 − 𝑐− 𝑒1

⎤⎦ . (4.34)


2∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑒1, 𝑒3)𝑑𝑡′

= (𝑎− 𝑐) + lim𝑡→∞

1𝑡

∫ 𝑡

0𝑥1(𝑥1(𝑡′) − 𝑐− 𝑒1(𝑡′))𝑑𝑡′

= −𝑐+ lim𝑡→∞

1𝑡

∫ 𝑡

0𝑥1(𝑡′)𝑑𝑡′ − lim

𝑡→∞

1𝑡

∫ 𝑡

0𝑒1(𝑡′)𝑑𝑡′. (4.35)

Por fim, quando 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡), tem-se:

��1 = −𝑒2

��3 = 𝑒1 + 𝑎𝑒2 (4.36)

com matriz jacobiana

J(x) =⎡⎣ 0 −1

1 𝑎

⎤⎦ . (4.37)


2∑𝑖=1


1𝑡− 𝑡0

∫ 𝑡

𝑡0𝑑𝑖𝑣F(𝑒1, 𝑒2)𝑑𝑡′ = 𝑎. (4.38)


Sist

ema

Mes

tre

Escr

avo

Met

odol

ogia

Expo

ente

sSo

ma

expo

ente

sSi

ncro

nism

oTa

nMap

−2,

4299

±0,

0056

−2,

5701

±0,

0056

-5,0

000

𝑥1(𝑡)

(𝑦2(𝑡),𝑧

2(𝑡)

)C

IDyn

−2,

4182

±0,

0062

−2,

5818

±0,

0062

-5,0

000

Sim

TanM

ap−

3,99

7±

0,00

01−

16,0

003

±0,

0001

-20,

0000

Lore

nz𝑦 1

(𝑡)

(𝑥2(𝑡),𝑧

2(𝑡)

)C

IDyn

−3,

9997

±0,

0001

−16,0

003

±0,

0001

-20,

000

Sim

TanM

ap−

0,00

01±

0,00

14−

16,9

999

±0,

0014

-17,

0000

𝑧 1(𝑡

)(𝑥

2(𝑡),𝑦

2(𝑡)

)C

IDyn

0,00

05±

0,00

14−

17,0

005

±0,

0014

-17,

0000

Sim

*Ta

nMap

0,20

00±

0,00

00−

8,84

23±

0,04

42-8

,642

3𝑥

1(𝑡)

(𝑦2(𝑡),𝑥

2(𝑡)

)C

IDyn

0,28

27±

0,01

56−

8,84

78±

0,05

54-8

,565

1N

ãoTa

nMap

−0,

0490

±0,

0065

−8,

7892

±0,

0125

-8,8

332

Rös

sler

𝑦 1(𝑡

)(𝑥

2(𝑡),𝑧

2(𝑡)

)C

IDyn

−0,

0347

±0,

0038

−8,

8131

±0,

0111

-8,8

478

Sim

TanM

ap0,

0998

±0,

0002

0,10

02±

0,00

020,

2000

𝑧 1(𝑡

)(𝑥

2(𝑡),𝑦

2(𝑡)

)C

IDyn

0,09

98±

0,00

020,

1002

±0,

0002

0,20

00N

ão

Tabe

la1

–Ex

poen

tes

deLy

apun

ovco

ndic

iona

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sinai

s(d

rive

s)em

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estr

e.* N

este

caso

oex

poen

tequ

efic

ana

quin

taco

luna

resid

enu

ma

vizi

nhan

çade

zero

assu

min

doal

gum

asve

zes

valo

res

posit

ivos

eou

tras

veze

sne

gativ

os,d

epen

dend

oda

cond

ição

inic

iala

trib

uída

.


Tendo obtido o sistema de equações diferenciais para o erro entre as dinâmicas e a respectivamatriz jacobiana a ser usado na abordagem de estimação numérica TanMap, apresenta-sena Tabela 1 um comparativo entre as metodologias de estimação nos cenários anteriores paraambas as dinâmicas:

Todas as simulações do sistema de Lorenz foram feitas utilizando o método Runge-Kutta de quarta ordem com passo fixo de 0,01 até 1000 unidades arbitrárias de tempo comintervalo de Gram-Schmidt de 0,1 e parâmetros 𝜎 = 16, 𝑟 = 45, 92 e 𝑏 = 4 tal como adotadoem [10] para um comparativo. O sistema parte de condições iniciais x0 = [10 1 5] para omestre e x0 = [12 0 7] para o sistema escravo. Obviamente, dependendo do sinal do drive𝑢(𝑡) uma das equações do escravo é tomada idêntica a do mestre assim como sua condiçãoinicial naquela coordenada. No caso do sistema de Rössler foram adotados os parâmetros𝑎 = 0, 2, 𝑏 = 0, 2 e 𝑐 = 9 para um comparativo com [57]. O método de solução numérica,o passo de integração e o intervalo de Gram-Schmidt foram os mesmos adotados no casodo sistema de Lorenz. As condições iniciais do mestre e do escravo foram, respectivamente,x0 = [0, 1 1 0, 5] e x0 = [−0, 1 1, 1 0, 7]. O tempo final de simulação foi de 𝑡𝑓 = 200 unidades detempo quando 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡) e 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡), uma vez que estes casos apresentam divergênciasexponenciais e soluções instáveis. Já o caso 𝑢(𝑡) = 𝑦1(𝑡) utilizou tempo final de 7000. Osvalores das condições iniciais foram adotados apenas para conceber uma pequena perturbaçãoentre os sistemas com o intuito de avaliar se de fato há sincronismo ou se os mesmos apenascoincidem no tempo por serem “idênticos” e com as mesmas condições iniciais.

Sistema Mestre Escravo Expoentes Condicionais𝑥1(𝑡) (𝑦2(𝑡), 𝑧2(𝑡)) −2, 5000 −2, 5000

Lorenz 𝑦1(𝑡) (𝑥2(𝑡), 𝑧2(𝑡)) −3, 9500 −16, 0000𝑧1(𝑡) (𝑥2(𝑡), 𝑦2(𝑡)) 7, 89 × 10−3 −17, 0000𝑥1(𝑡) (𝑦2(𝑡), 𝑥2(𝑡)) 0, 2000 −0, 8790

Rössler 𝑦1(𝑡) (𝑥2(𝑡), 𝑧2(𝑡)) −0, 0560 −8, 8100𝑧1(𝑡) (𝑥2(𝑡), 𝑦2(𝑡)) 0, 0000 −11, 0100

Tabela 2 – Resultados obtidos por outros trabalhos para um comparativo.

Primeiramente, analisando o caso do sistema de Lorenz, observa-se resultados nu-méricos muito próximos entre as abordagens TanMap e ClDyn. Mostra-se ainda que existeperfeita compatibilidade da forma numérica dos expoentes com o resultado teórico obtidopor meio do cálculo do divergente do campo vetorial, o que se mostra como um indicativoda eficiência de ambos os métodos. Como comparativo, os resultados obtidos na Tabela 1 nocaso do modelo de Lorenz pode ser comparado com os obtidos em [10] tal como mostradona Tabel 2. É importante observar que em [10] não são fornecidas as condições iniciais de


simulação, nem mesmo o tempo final de simulação, parâmetros importantes para uma com-paração rigorosa. No entanto, ainda assim, observa-se boa correspondência numérica, o quemais uma vez, também é amparado pelo valor numérico da soma dos expoentes.

0 10 20 30 40 50−40

−20

0

20

40

60

tempo [u.a.]

y [u

.a.]

y − mestrey − escravo

(a)

0 20 40 60 80 100−30

−20

−10

0

10

20

30

40

tempo [u.a.]

x [u

.a.]

x − mestrex − escravo

(b)

0 10 20 30 40 50−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

tempo [u.a.]

x [u

.a.]


(c)

Figura 21 – Cenários de sincronismos na configuração mestre-escravo utilizando o sistema deLorenz.

Os painéis 21a, 21b e 21c da Figura 21 mostram, respectivamente um dos sinais do sis-tema mestre e do sistema escravo assumindo o drive 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡), 𝑢(𝑡) = 𝑦1(𝑡) e 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡).Observa-se claramente a situação de sincronismo completo, tal como apontado pelos expo-entes condicionados, em 21a e 21b. No painel 21c nota-se que os sinais estão aparentementesincronizados, mas com um pequeno desvio, o que implica em um erro não nulo entre eles eum dos expoentes condicionados tendendo a zero.

Com o intuito de evidenciar a situação de sincronismo, a Figura 22 mostra a raizquadrada dos erros quadrados evoluindo no tempo para os respectivos cenários de simulaçãoda Figura 21. Neste caso, observa-se claramente na Figura 22c que não há convergência paraerro nulo tal como ocorre nas Figuras 22a e 22b, embora o erro não seja grande quandocomparado com a magnitude dos sinais originais.


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo [u.a.]

(e12 +

e22 )1/

2

(a)

0 10 20 30 40 50−1

−0.5

0

0.5

1

tempo [u.a.]

(e12 +

e22)1

/2

(b)

0 20 40 60 80 100−1

0

1

2

3

4

5

6

tempo [u.a.]

(e12 +

e22)(1

/2)

(c)

Figura 22 – Respectivos erros das configurações apresentadas no painel da Figura 21.

No caso do sistema de Rössler, observa-se boa correspondência numérica entre as téc-nicas de estimação dos expoentes condicionados. A soma dos expoentes também foi estimadausando integração numérica quando necessário, sendo boa a compatibilidade com os valoresnuméricos estimados. Os valores obtidos também são compatíveis com os obtidos por [57]quando 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡) e 𝑢(𝑡) = 𝑦1(𝑡), o que não se verifica para 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡). É provável quealgum erro possa ter sido cometido nesta referência uma vez que a soma dos expoentes podeser obtido analiticamente e guarda coerência com os resultados da Tabela 1, mas não daTabela 2. A título de ilustração, a Figura 23 mostra um dos sinais dos sistemas mestre eescravo quando não há sincronismo, i.e., quando 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡) e quando 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡), respecti-vamente. Observa-se nitidamente a divergência entre as séries temporais, o que é confirmadopelo comportamento do erro tal como mostrado, respectivamente, na Figura 24.

Também ainda com o intuito de ilustrar a compatibilidade entre as abordagens Tan-Map e ClDyn, a Figura 25 mostra o curso temporal dos expoentes condicionados para umadas técnicas no caso do sistema de Lorenz tomando 𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡). Observa-se claramente umatendência de estimar valores em módulo superiores na abordagem ClDyn quando compa-


0 50 100 150−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

11

tempo [u.a.]

y [u

.a.]

y − mestrey − escravo

(a)

0 50 100 150 200−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10x 10

7

tempo [u.a.]

x [u

.a.]


(b)

Figura 23 – O painel (a) apresenta o não sincronismo do sistema de Rössler quando 𝑢(𝑡) =𝑥1(𝑡); (b) apresenta o não sincronismo do sistema de Rössler quando 𝑢(𝑡) = 𝑧1(𝑡).

0 50 100 1500

2

4

6

8

10

12x 10

11

tempo [u.a.]

(e12 +

e22 )1/

2

(a)

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

7

tempo [u.a.]

(e12 +

e22 )1/

2

(b)

Figura 24 – O painel (a) fornece a evolução temporal do erro obtido na configuração de 23a;(b) fornece a evolução temporal do erro obtido na configuração de 23b.

rada com a abordagem TanMap, diferença essa que vai sendo suavizada na medida em queo tempo vai evoluindo. Tal análise nos permite inferir um tempo mínimo para que um certograu de correspondência numérico seja alcançado entre as duas abordagens.

Por fim, vale observar que os desvios-padrão calculados para os expoentes condicionaisforam obtidos a partir dos valores fornecidos por ambos os algoritmos a partir do tempo𝑡 = 400 quando o tempo final adotado foi 4000 u.a. e 𝑡 = 100 quando o tempo final foi1000 u.a..

Embora uma análise estatística na forma de um teste de hipótese pudesse ser propostaaqui, um teste criterioso exigiria o levantamento das distribuições dos expoentes estimados,tempo de convergência adotado, dentre outros parâmetros, o que foge um tanto do objetivocentral aqui, bem como também se configuraria como uma análise não usual na literatura.


0 200 400 600 800 1000−2.8

−2.7

−2.6

−2.5

−2.4

−2.3

−2.2

tempo [u. a.]

λ c [nat

s/u.

a.]

λc1

− ClDyn

λc2

− ClDyn

λc1

− TanMap

λc2

− TanMap

Figura 25 – Evolução temporal dos expoentes condicionados do sistema de Lorenz quando𝑢(𝑡) = 𝑥1(𝑡).

Uma vez tendo exposto a capacidade de estimação numérica frente à abordagemTanMap e alguns resultados analíticos, apresenta-se a seguir uma série de aplicações originaisno contexto de dinâmicas neuronais.

4.3 Sincronismo neuronal

Além da estrutura mestre-escravo desenvolvida anteriormente, a qual se configuraparticularmente interessante no contexto de sistemas de comunicação baseados em sistemascaóticos [15], o fenômeno de sincronismo ocupa lugar de destaque em diversos ramos daciência, tal como mencionado na seção 1 desta tese de doutoramento. Em especial, na neu-rociência, o sincronismo da atividade elétrica neuronal tem sido associado com fenômenosfisiológicos importantes, tal como observado no córtex motor durante a realização ou imagina-ção de um movimento [84] dentre outras tarefas cognitivas mais complexas. O sincronismo daatividade neuronal pode também estar associado a condições patológicas, tal como observadono caso da epilepsia [31]. Tendo isso em vista, essa tese de doutoramento visa aplicar a meto-dologia de análise da estabilidade do sincronismo entre osciladores no contexto de dinâmicascaóticas neuronais, tendo como principal plataforma de estudo o modelo de Hindmarsh-Rose(H-R) [26] e o modelo de Hodgkin-Huxley (H-H) [29], considerando acoplamento resistivotanto unidirecional como bidirecional. A seguir introduz-se o modelo H-R e os cenários desimulação analisados, passando posteriormente à análise do modelo de Hodgkin-Huxley.

4.3. Sincronismo neuronal 67

4.3.1 O modelo de Hindmarsh-Rose

O modelo de H-R foi introduzido por J. L. Hindmarsh e R. M. Rose em 1984 [26]baseado em modificações do clássico modelo de FitzHugh-Nagumo [18,30], visando capturara característica de rajada (do inglês bursting) do potencial de membrana de certas célulasneuronais. O bursting neuronal é caracterizado por um padrão periódico de disparos de po-tenciais de ação intercalados por períodos de atividade sublimiar de duração irregular, o queconfigura a clássica aperiodicidade dos comportamentos caóticos. De acordo com o traba-lho original de Hindmarsh e Rose, esse comportamento de bursting encontra forte suporteexperimental, tal como observado em registro de potenciais de ação registrados em caracol(Lymnaea stagnalis) a moluscos, crustáceos e também em vertebrados [26].

Originalmente, pode-se imaginar que o potencial de ação, o sinal elétrico supralimiarque se propaga por nervos e músculos levando a informação neuronal, passa ser simuladoconsiderando apenas duas variáveis de estado, uma de ativação e outra de recuperação,tal como presente no modelo de FitzHugh-Nagumo. No caso, para o modelo H-R, pode-seconsiderar inicialmente o sistema bidimensional3 [27]:

�� = 𝑦 − 𝑓(𝑥) + 𝐼

�� = 𝑔(𝑥) − 𝑦 (4.39)

onde 𝑥 é o estado que atua como o potencial de membrana, 𝑦 uma variável de recuperação,𝑓(𝑥) é uma função cúbica, 𝑔(𝑥) é uma função quadrática e 𝐼 é uma corrente externa aplicada.Nos experimentos, Hindmarsh e Rose conseguiram chegar a formas relativamente realistaspara as funções 𝑓(·) e 𝑔(·), que foram definidas como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 𝑐 − 𝑑𝑥2.Sendo assim, as equações (4.39) tornam-se

�� = 𝑦 − 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝐼

�� = 𝑐− 𝑑𝑥2 − 𝑦 (4.40)

onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são constantes. Como a célula nervosa do caracol Lymnaea stagnalis nãodisparava potenciais de ação indefinidamente, já que, após um certo período, os pulsos termi-navam com uma onda hiperpolarizante, surgiu a possibilidade da introdução de uma corrente3 A forma escolhida para as funções 𝑓 e 𝑔 se deu da esperança de exibir o comportamento desejado. Neste

sentido, Hindmarsh-Rose partiram dos ajustes nos valores das correntes iniciais que faziam parte domodelo inicial proposto por eles. Com essas equações eles foram capazes de reproduzir os potenciais deação e a variação da taxa de disparo do neurônio em função da corrente injetada no neurônio [26,27].


lenta, que gradualmente hiperpolarizaria a célula [27]. Sendo assim, Hindmarsh e Rose adi-cionaram uma corrente de adaptação 𝑧 ao sistema em (4.40) e, então, o modelo clássico deHindmarsh-Rose contendo três variáveis é descrito como [27]:

𝑥1 = 𝑦1 − 𝑎𝑥31 + 𝑏𝑥2

1 − 𝑧1 + 𝐼1

𝑦1 = 𝑐− 𝑑𝑥21 − 𝑦1

𝑧1 = 𝑟(𝑠(𝑥1 − 𝑥𝑟) − 𝑧1). (4.41)

Neste modelo, as equações diferenciais têm unidades arbitrárias. A variável 𝑥1 repre-senta o potencial de membrana, 𝑦1 a variável de recuperação, 𝑧1 variável de adaptação atual,𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑠 e 𝑥𝑟 são constantes, 𝐼 que corresponde à entrada de corrente na membrana doneurônio e 𝑟 são os parâmetros de controle. As variáveis 𝑦 e 𝑧 são responsáveis pelo compor-tamento de bursts do modelo. As respostas a um pequeno pulso de corrente despolarizante,também conhecido como sinal excitatório, dependem dos valores dados a 𝑟 e 𝑠, sendo que 𝑟representa a escala de tempo para a corrente de adaptação lenta e 𝑠 representa a escala deinfluência do potencial de membrana na dinâmica lenta. A Figura 26 ilustra um típico com-portamento caótico do potencial de membrana - i.e. aperiódico e com sensibilidade em relaçãoàs condições iniciais - obtido quando 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = 1, 𝑑 = 5, 𝑟 = 0, 006, 𝑠 = 4, 𝑥𝑟 = −1, 56e 𝐼 = 3. Tal comportamento pode ser facilmente modulado tomando a estimulação externa(variável I) como um parâmetro de controle [79].

Observa-se, na Figura 26, o típico comportamento de bursting mencionado, isto é, comperíodos quiescentes4 e spike trains5 de duração irregular. Curiosamente, mesmo apresentandosensibilidade em relação às condições iniciais e comportamento aperiódico, sistemas neuraispodem sincronizar mediante acoplamento fraco, o que pode ser estudado de forma maiscriteriosa no contexto dos expoentes de Lyapunov condicionados [79], objeto de estudo destatese.

Com o intuito de estudar a dinâmica do erro associado ao sincronismo, a subseção4.3.2 introduz um sistema idêntico ao da equação (4.41), porém acoplado a este por um meioresistivo e de maneira bidirecional. Por meio deste cenário geral, vários casos particularespodem ser analisados. Em especial, objetiva-se aqui estudos como o descasamento de aco-plamento e de excitação. Em essência, considerando que as dinâmicas estão acopladas pormeio de uma corrente que flui do neurônio emissor para o neurônio receptor, tem-se assimum termo adicionado à primeira equação de estado do receptor proporcional ao acoplamento4 Quiescência é o período de repouso, ou silêncio elétrico, do neurônio.5 Spiking é a atividade em que o neurônio dispara uma sequência de potenciais de ação mais ou menos

regularmente, durante um período de tempo ininterrupto por período de quiescência.


1000 1500 2000 2500 3000−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

tempo [s]

x(t)

[u.a

.]

Figura 26 – Típico bursting neuronal caótico produzido pelo modelo de Hindmarsh-Rose.

tal como descrito na equação do lado direito do painel da Figura 27. Essa análise configura-secomo uma contribuição original desta tese de doutoramento.

4.3.2 Análise da estabilidade do erro para o modelo de Hindmarsh-Rose comacoplamento resistivo

Considerando o modelo H-R previamente exposto, considera-se agora a situação emque dois neurônios, um chamado de emissor e outro chamado de receptor, estão acopladospor meio de um acoplamento resistivo bidirecional. Do ponto de vista fisiológico, tal acopla-mento equivale a sinapses elétricas, sendo que a influência entre os diferentes neurônios sãoproporcionais à diferença de potenciais entre eles, i.e., dada por uma corrente transmembranadefinida pelo produto entre condutância e gradiente de potencial. Tal configuração pode serilustrada por meio da Figura 27. É importante observar que embora a condução de impul-sos seja unidirecional no sistema nervoso periférico, a transferência de informação pode serbidirecional em regiões corticais, o que justifica o conjunto de simulação [30].

Neurônio emissor Neurônio receptor

Figura 27 – Esquema de acoplamento.


Assim, uma vez definidas as equações dos neurônios emissor e receptor, devem-seconsiderar ainda os parâmetros 𝛼12 e 𝛼21, sendo estes, respectivamente, o acoplamento doneurônio emissor para o receptor e do receptor para o emissor. Neste cenário, o erro desincronização pode ser obtido introduzindo a transformação 𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥2, 𝑒2 = 𝑦1 − 𝑦2,𝑒3 = 𝑧1 − 𝑧2 e 𝛾 = 𝐼1 − 𝐼2. Derivando as três primeiras equações em ambos os lados -como pode ser visto no apêndice A - um conjunto de equações diferenciais para o erro desincronização pode ser obtido sob a forma:

𝑑𝑒1

𝑑𝑡= [−𝑎(𝑥2

1 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥22) + 𝑏(𝑥1 + 𝑥2) − 𝛼12 − 𝛼21]𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 + 𝛾

𝑑𝑒2

𝑑𝑡= −𝑑(𝑥1 + 𝑥2)𝑒1 − 𝑒2

𝑑𝑒3

𝑑𝑡= 𝑟𝑠𝑒1 − 𝑟𝑒3. (4.42)

Nota-se que, após esta mudança de coordenadas, assim como exposto na seção 3.4 paraa configuração mestre e escravo, o ponto fixo da dinâmica de erro é dado por (��1, ��2, ��3) =(0, 0, 0), tornando-se dependente (ou condicionado) das variáveis do osciladores individu-ais. Observa-se ainda que, essa abordagem diferencia-se da anterior baseada em sistemasmestre-escravo, em que o cálculo do expoente de Lyapunov do subsistema escravo, uma vezrealizado a substituição completa, levava ao expoente condicional. Aqui, o expoente con-dicional é calculado após uma mudança de coordenadas para obtenção do sistema do errosem a substituição de variáveis, o que caracteriza cenário diferente e muito pertinente emneurociência, por exemplo.

Obviamente, muitos parâmetros do modelo, tanto do emissor como do receptor, podemser modificados, o que pode afetar de forma drástica a estabilidade do erro de sincronismo.Em particular, alguns candidatos naturais, seriam os acoplamentos entre as dinâmicas e ascorrentes de estimulação dos neurônios, uma vez que essas controlam de forma contundente aatividade elétrica. Tendo isso em vista, os cenários de simulação avaliados a seguir têm comoprincipal objeto de estudo o espaço de parâmetros 𝛼12 e 𝐼2 para diferentes valores de 𝐼1 e𝛼21, possibilitando elucidar em alguma medida os mecanismos de sincronismo subjacentes aeste sistema biológico.

Na sequência, são analisados diferentes cenários representativos, que incluem o aco-plamento bidirecional e unidirecional sob excitação assimétrica. Essas simulações foram re-alizadas através do MATLAB R2014a usando o método de Runge-Kutta de quarta ordemcom passo fixo para resolver as equações diferenciais, com tamanho de passo de 0,01 e to-lerância relativa de 10−6. As condições iniciais dos neurônios emissor e receptor foram aquidefinidas bastante próximas, com uma perturbação aleatória na segunda casa decimal das


suas coordenadas, a fim de assegurar a mesma bacia de atração. O sistema de equações foiintegrado por 3000 segundos e o intervalo de reortonormalização de Gram-Schmidt foi defi-nido empiricamente como 1 segundo. O espaço de parâmetro bidimensional foi sujeito a umpasso de 0.025 para 𝛼12 e 0,04 para 𝐼2, sendo uma estratégia de interpolação adotada paraatribuir a gama de cores para o maior expoente de Lyapunov condicional mapeado.

Inicialmente, considera-se um cenário mais clássico, em que ambos os neurônios “emis-sor” e “receptor” se encontram sob as mesmas correntes de excitação 𝐼1 = 𝐼2 = 3, medianteum acoplamento unidirecional (𝛼21 = 0 e 𝛼12 = 0). Neste caso, a Figura 28 mostra o com-portamento do maior expoente de Lyapunov condicional sob aumento progressivo do aco-plamento de 𝛼12, como também o respectivo erro quadrático médio entre os potenciais demembrana do emissor e receptor, como pode ser visto na Figura 29.

Acoplamento

Figura 28 – Máximo expoente de Lyapunov condicionado.

Erro

qua

drát

ico

méd

io

Acoplamento

Figura 29 – Erro quadrático médio.

É interessante observar o comportamento não-monotônico de 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 e do erro qua-drático médio, uma vez que estas quantidades tendem a aumentar no início, no âmbito doaumento progressivo de 𝛼12, e, posteriormente, a diminuir até que a sincronização leva a uma


convergência abrupta após um valor crítico de acoplamento (em torno de 𝛼 = 0, 80). Estetipo de transição de fase no erro de sincronização - como indicado por um maior expoentenegativo condicional - é acompanhado por um erro de sincronização aproximadamente nulocomo é comum no cenário de sincronização completa.

Observe ainda que mesmo o cenário de acoplamento unidirecional pode permitir análi-ses pertinentes tal como a efetuada quando correntes de excitação diferentes são consideradaspara os neurônios do emissor e receptor. Nesta análise, 𝐼1 é fixado em 3 e uma varredurano espaço de parâmetros definidos por 𝐼2 e 𝛼12, é realizada (Figura 30). Como resultadoprincipal, pode-se mencionar a posição da região de sincronização completa neste espaço bi-dimensional de controle, que se encontra, em grande parte, deslocada para a esquerda, istoé, sob a condição 𝐼2 < 𝐼1. Assim, observa-se que o menor valor (crítico) de 𝛼12, que levapara valores 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 negativos é em torno de 2, 9 < 𝐼2 < 2, 95, ou seja, menor (mas próximo)do que a excitação do neurônio emissor 𝐼1 = 3. Curiosamente, esta simulação ilustra que ainfluência de um neurônio emissor é maior (em termos de transmissão de informação) quandoos neurônios receptores são sub-excitados.

Ac

op

lam

en

to

I2

Figura 30 – Máximo expoente de Lyapunov condicionado com 𝐼1 = 3 e 𝛼21 = 0.

Diante desses resultados, é natural questionar sobre o papel exercido por uma rea-limentação do receptor, ou seja, no cenário em que 𝛼21 = 0. No sentido de analisar essacondição, as Figuras 33, 34 e 35 mostram os espaços de parâmetros quando 𝛼21 = 0, 1,usando diferentes medidas. Pode-se notar que a região de sincronização associada a valores𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 negativos parece não mudar de localização, mas apenas ampliar-se em torno da situa-ção observada para 𝛼21 = 0. Tal fenômeno reforça ainda mais a tendência de sincronizaçãodefinida por 𝐼2 < 𝐼1.


Emissor

Receptor

Tempo [s]

x [u

.a.]

Figura 31 – Evolução temporal do potencial de membrana dos neurônios com 𝐼2 = 2, 9 e𝛼12 = 0, 3.

Emissor

Receptor

Tempo [s]

x [u

.a.]

Figura 32 – Evolução temporal do potencial de membrana dos neurônios com 𝐼2 = 2, 9 e𝛼12 = 0, 7.

Além disso, as Figuras 34 e 35 ajudam a elucidar que a influência do neurônio emissortranscende a região de sincronização completa, tal como mostrado anteriormente por meiode 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥. Nelas, observam-se os erros quadráticos médio entre os potenciais de membrana ea correlação de Pearson6, respectivamente. Neste caso, a correlação de Pearson é dada por

𝜌 =

𝑁∑𝑖=0

(𝑥𝑖 − ��)(𝑦𝑖 − 𝑦)⎯⎸⎸⎷ 𝑁∑𝑖=0

(𝑥𝑖 − ��)2

⎯⎸⎸⎷ 𝑁∑𝑖=0

(𝑦𝑖 − 𝑦)2

= 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 )√𝑣𝑎𝑟(𝑋)𝑣𝑎𝑟(𝑌 )

(4.43)

em que 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) é a covariância entre os sinais dos neurônios emissor e receptor, 𝑣𝑎𝑟(·) de-6 O coeficiente de correlação de Pearson mede o grau da correlação linear entre duas variáveis quantitativas.

É um índice adimensional com valores situados ente -1 e 1 inclusive, que reflete a intensidade de umarelação linear entre dois conjuntos de dados.


nota a variância, �� e 𝑦 são as respectivas médias aritméticas de ambos os sinais dos neurôniose 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 são as observações simultâneas dos neurônios analisados. Assim, tem-se uma medidade similaridade entre esses sinais variando entre -1 e 1, fornecendo 1 quando os sinais sãoidênticos e valor próximo de zero quando não são relacionados.

Aco

pla

men

to

I2

Figura 33 – Máximo expoente de Lyapunov condicionado com 𝛼21 = 0, 1.

Ac

op

lam

en

to

MSE

I2

Figura 34 – Erro quadrático médio com 𝛼21 = 0, 1.

Nota-se, claramente, que as regiões de erro absoluto baixo e também de alta correlaçãode Pearson são mais extensas do que as definidas pelos valores negativos de 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥. Na verdade,o neurônio emissor influencia o comportamento do neurônio receptor mesmo quando 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥

é positivo, ou seja, quando não há sincronização completa. Na verdade, observa-se umatransição para o estado síncrono que talvez seja melhor capturado por medidas como o


erro ou mesmo a correlação. Portanto, tal condição de sincronização completa parece sermais restrita, e talvez, dependendo do âmbito da análise, é bastante razoável supor que atransmissão de informação pode ocorrer fora de seus limites. Esta ressalva conceitual é melhorilustrada pelos potenciais de membrana obtidos pelos neurônios emissor e receptor quando𝐼2 = 2, 9 e 𝛼12 = 0, 3 (Figura 31) e 𝛼12 = 0, 7 (Figura 32), respectivamente. É evidente naFigura 31 que, apesar de os neurônios não sincronizarem completamente, o receptor segue,em boa parte, a atividade do emissor. Mais uma vez, a condição ilustrada na Figura 31 podeter consequências fisiológicas importantes em termos de processamento ou transmissão deinformações.

Para uma melhor compreensão do efeito do acoplamento de realimentação no processode sincronização, as Figuras 36 e 37 mostram, respectivamente, o espaço de parâmetros emrelação ao aumento de 𝛼21 (𝛼21 = 0, 2 e 0,3) respectivamente. Tal como esperado, a regiãode sincronização completa é aumentada, mais uma vez favorecendo combinações de parâme-tros em que 𝐼2 < 𝐼1. Essas figuras mostram, essencialmente, que a região de sincronizaçãocompleta tende a crescer em todo o obtido nas Figuras 30 e 33, justificando e reforçando acondição de excitação mencionada.

Aco

pla

men

to

Pearson

I2

Figura 35 – Correlação com 𝛼21 = 0, 1.

Finalmente, para fechar este conjunto de simulações, é razoável analisar o comporta-mento do espaço de parâmetros sob diferentes excitações do emissor. Neste caso, considere𝛼21 = 0, 1 e tome dois valores de excitação diferentes do emissor, por exemplo, 𝐼1 = 2, 8 e𝐼1 = 3, 2 para avaliar o espaço de parâmetros 𝐼2 ×𝛼12, como mostrado, respectivamente, nasFiguras 38 e 39. Pode-se observar que o deslocamento de excitação do emissor resulta tam-bém numa mudança compatível na região de sincronização no referido espaço de parâmetros.Mais uma vez, pode-se observar que o valor mínimo de acoplamento 𝛼12 que conduz a uma


atividade sincronizada é atingido abaixo (mas perto) da excitação de “casamento” (isto é,𝐼1 = 𝐼2), sendo cerca de 𝐼2 = 2, 7, no primeiro caso, e 𝐼2 = 3, 1, no segundo, o que significa,aproximadamente, de 0,1 menor do que o valor de excitação do emissor. Este resultado tam-bém é coerente com o obtido no contexto anterior, considerando acoplamento unidirecional(Figura 30). Tal padrão de dependência da região de sincronismo em relação à excitação doemissor ilustra bem o poder e a correspondência das análises numéricas efetuadas e podemsugerir aspectos importantes em relação ao acoplamento e a excitação para a transmissão deinformação neuronal.

Aco

pla

men

to

I2

Figura 36 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 3 e 𝛼21 = 0, 2.

Ac

op

lam

en

to

I2

Figura 37 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 3 e 𝛼21 = 0, 3.


Ac

op

lam

en

to

I2

Figura 38 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 2, 8 e 𝛼21 = 0, 1.

Aco

pla

men

to

I2

Figura 39 – Espaço de parâmetros com 𝐼1 = 3, 2 e 𝛼21 = 0, 1.

4.3.3 Análise da estabilidade do sincronismo em modelos realistas de neurônios

Como último conjunto de análise desta tese de doutoramento, apresenta-se aqui umaanálise da estabilidade do sincronismo no contexto de modelos neuronais mais realistas, ou,mais especificamente, no contexto do modelo de Hodgkin-Huxley [29]. Tal conjunto de equa-ções caracteriza-se por delinear uma das mais importantes contribuições na análise quan-titativa da origem dos biopotenciais, tornando-se um marco fundamental na neurociênciacomputacional. Apesar da sua importância, muitos aspectos formais de análise do modeloH-H ainda foram pouco explorados, devido, sobretudo, à dificuldade de manipulação dasequações envolvidas (e.g. obtenção das equações variacionais). Tais dificuldades, em parte,


podem ser contornadas aqui com o uso da metodologia ClDyn aplicada no contexto da dinâ-mica do erro entre tais osciladores neuronais. Neste sentido, apresenta-se a seguir o modeloH-H de maneira geral, seguido do sistema de equações diferenciais obtidas para o erro, bemcomo os resultados numéricos associados aos expoentes condicionados que caracterizam acondição de sincronismo quando os acoplamentos são tomados como parâmetro de controle.

4.3.4 O modelo de Hodgkin-Huxley

Muitos aspectos relacionados à origem dos biopotenciais ainda permaneciam obscurosaté que um conjunto de experimentos elaborados de forma muito elegante por Alan Hodgkine Andrew Huxley explicaram de forma mais precisa e quantitativa o intricado mecanismode geração do potencial de ação e sua natureza iônica [29], o que foi sintetizado no famosomodelo de Hodgkin-Huxley. Pelo conjunto deste trabalho, os respectivos autores receberamo prêmio Nobel de Medicina e Fisiologia de 1963.

O modelo H-H pode ser descrito, em essência, por quatro equações diferenciais não-lineares, sendo a membrana celular retratada por meio de um circuito elétrico (Figura 40)cujas condutâncias aos diferentes íons, sobretudo, sódio e potássio, são variáveis, o que obje-tiva capturar as mudanças transitórias da permeabilidade seletiva da membrana.

Extracelular

Intracelular

Vm Cm

VNa

INa

GNa

VK VL

IK IL

GK GL

Figura 40 – Equivalente elétrico do modelo de Hodgkin-Huxley.

Nesta representação, assume-se que as diferentes concentrações iônicas entre os com-partimentos intra e extra-celular atuam como forças eletromotrizes por meio dos potenciaisde equilíbrio dos íons sódio 𝑉𝑁𝑎, potássio 𝑉𝐾 e demais íons (menos importantes na compo-sição do potencial de membrana) agrupados em um potencial de “vazamento” 𝑉𝐿 tal comocalculados por meio da equação de Nerst [30, 35]. Além disso, a Figura 40 permite aindaconcluir que a corrente transmembrana total 𝐼𝑚 (dada em 𝜇𝐴/𝑐𝑚2) é definida em termos


de uma componente capacitiva e outra componente iônica, o que pode ser matematicamentedescrito por:

𝐼𝑚 = 𝐶𝑚𝑑𝑉𝑚

𝑑𝑡+ 𝐼𝑁𝑎 + 𝐼𝐾 + 𝐼𝐿 (4.44)

em que 𝑉𝑚 é o potencial de membrana (dado em 𝑚𝑉 ), 𝐶𝑚 é a capacitância de membrana(𝜇𝐹/𝑐𝑚2), 𝐼𝑁𝑎 é a corrente de sódio, 𝐼𝐾 é a corrente de potássio e 𝐼𝐿 é a corrente devazamento. As correntes iônicas (dadas em 𝜇𝐴/𝑐𝑚2) são descritas por:

𝐼𝑁𝑎 = 𝐺𝑁𝑎𝑚3ℎ(𝑉𝑚 − 𝑉𝑁𝑎)

𝐼𝐾 = 𝐺𝐾𝑛4(𝑉𝑚 − 𝑉𝐾)

𝐼𝐿 = 𝐺𝐿(𝑉𝑚 − 𝑉𝐿) (4.45)

No sistema de equações (4.45), 𝐺𝑁𝑎, 𝐺𝐾 e 𝐺𝐿 são as condutâncias máximas de mem-brana para os respectivos íons (𝑚𝑆/𝑐𝑚2) e 𝑚,ℎ e 𝑛 são variáveis fictícias variando entre0 e 1 que visam capturar a fração dos canais iônicos de membrana em estado ativado ouinativado. Em particular, a variável 𝑚 relaciona-se com a ativação dos canais de sódio, avariável ℎ com a inativação do sódio e a variável 𝑛 com a ativação dos canais de potássio.Essas variáveis de controle modelam justamente as mudanças transitórias na permeabilidadeseletiva da membrana, as quais dependem do potencial de membrana e também influenciamo mesmo. De acordo com o modelo H-H, a dinâmica dessas variáveis de controle é ditadapor relações cinéticas de primeira ordem, cuja dependência em relação à 𝑉𝑚 foi estabelecidaempiricamente, tal como explicitado em (4.46) e (4.47):

𝑑𝑚

𝑑𝑡= 𝛼𝑚(1 −𝑚) − 𝛽𝑚𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝛼ℎ(1 − ℎ) − 𝛽ℎℎ

𝑑𝑛

𝑑𝑡= 𝛼𝑛(1 − 𝑛) − 𝛽𝑛𝑛 (4.46)

em que 𝛼𝑥 e 𝛽𝑥 são dados por:


𝛼𝑚(𝑉𝑚) = 25 − 𝑉𝑚

10[exp(25−𝑉𝑚

10 ) − 1]

𝛽𝑚(𝑉𝑚) = 4 exp(−𝑉𝑚

18 )

𝛼ℎ(𝑉𝑚) = 0.07 exp(−𝑉𝑚

20 )

𝛽ℎ(𝑉𝑚) = 1[exp(30−𝑉𝑚

10 ) + 1]

𝛼𝑛(𝑉𝑚) = 10 − 𝑉𝑚

100[exp(10−𝑉𝑚

10 ) − 1]

𝛽𝑛(𝑉𝑚) = 0.125 exp(−𝑉𝑚

80 ) (4.47)

Isolando 𝑑𝑉𝑚

𝑑𝑡em (4.44), tem-se, portanto, a quarta equação diferencial do sistema:

𝑑𝑉𝑚

𝑑𝑡= 1𝐶𝑚

(𝐼𝑚 − 𝐼𝑁𝑎 − 𝐼𝐾 − 𝐼𝐿) (4.48)

sendo que 𝐼𝑚 representa uma corrente estimulatória externa também em 𝜇𝐴/𝑐𝑚2. Típicosvalores para o modelo são dados por: 𝐶𝑚 = 1, 𝑉𝑁𝑎 = 115, 𝐺𝑁𝑎 = 120, 𝑉𝑘 = −12, 𝐺𝑘 =36, 𝑉𝐿 = 10, 6 e 𝐺𝐿 = 0, 3.

A Figura 41a mostra típicos potenciais de ação obtidos quando a excitação 𝐼𝑚 éconstante e igual a 10𝜇𝐴/𝑐𝑚2, o que evoca um trem periódico de disparos. É importanteobservar que, diferentemente do modelo H-R, não existem evidências de comportamento caó-tico no modelo H-H mediante excitação constante, o que só ocorre quando entradas externasperiódicas são aplicadas [71]. Assim, a Figura 41b mostra uma típica resposta caótica do po-tencial de membrana quando 𝐼𝑚 é dada por um trem de pulsos retangulares com amplitude𝐴 = 6𝜇𝐴/𝑐𝑚2 e período 𝑇 = 7 ms [71], o que configura um cenário particularmente difícil deser analisado do ponto de vista da estabilidade inferida a partir dos expoentes de Lyapunov,uma vez que incorpora estímulos não-suaves em uma dinâmica de estrutura matemática bemcomplexa. Observa-se ainda que, embora estímulos descontínuos não existam rigorosamentena prática, estímulos bruscos são comumente utilizados no estudo da excitabilidade neuronal,tal como empregado pelos próprios Hodgkin e Huxley em seus estudos pioneiros [29], o quemotiva o emprego de abordagens tais como a apresentada no presente estudo.


0 50 100 150 200 250 300−20

0

20

40

60

80

100

120

tempo [ms]

V m [m

V]

(a)

0 50 100 150 200 250 300 350 400−20

0

20

40

60

80

100

120

tempo [ms]

Vm

[mV

]

(b)

Figura 41 – (a) Resposta do potencial de membrana do modelo H-H para 𝐼𝑚 = 10𝜇𝐴/𝑐𝑚2.(b) Comportamento caótico do potencial de membrana considerando condiçõesiniciais próximas e 𝐼𝑚 definido por pulsos retangulares de amplitude 6𝜇𝐴/𝑐𝑚2 eperíodo 7 ms.

4.3.5 Análise da estabilidade do erro para modelos H-H com acoplamento resis-tivo e bidirecional sob estimulação forçada

Uma vez exposto o modelo H-H, pode-se agora tratar do ponto de vista matemático oestudo da estabilidade do sincronismo em um cenário de acoplamento bidirecional e resistivo,tal como efetuado anteriormente para o modelo H-R. Tal cenário de simulação é retratadona Figura 42, em que 𝐼1 = 𝐼2, sendo estas correntes definidas por pulsos retangulares deamplitude 6𝜇𝐴/𝑐𝑚2 e período de 7 ms, i.e. a mesma forçante que leva ao comportamentocaótico tal como mostrado na Figura 41b.

Figura 42 – Modelos H-H acoplados por um meio resistivo e bidirecional.


No diagrama esquemático da Figura 42, as funções 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 e 𝑓4 do campo vetorialsão definidas tal como explicitamente apresentado nas equações (4.46) e (4.48). Mais umavez, pode-se fazer uma mudança de coordenadas para descrever a dinâmica do erro, sendo𝑒1 = 𝑉𝑚1−𝑉𝑚2, 𝑒2 = 𝑚1−𝑚2, 𝑒3 = ℎ1−ℎ2 e 𝑒4 = 𝑛1−𝑛2. Neste caso, diferenciando membro amembro essas expressões e utilizando as próprias equações de estado (4.46)) e (4.48), tem-se:

��1 = 𝑓1(𝑉𝑚1,𝑚1, ℎ1, 𝑛1) − 𝑓1(𝑉𝑚1 − 𝑒1,𝑚1 − 𝑒2, ℎ1 − 𝑒3, 𝑛1 − 𝑒4) − (𝛼21 + 𝛼12)𝑒1

��2 = 𝑓2(𝑉𝑚1,𝑚1) − 𝑓2(𝑉𝑚1 − 𝑒1,𝑚1 − 𝑒2)

��3 = 𝑓3(𝑉𝑚1, ℎ1) − 𝑓3(𝑉𝑚1 − 𝑒1, ℎ1 − 𝑒3)

��4 = 𝑓4(𝑉𝑚1, 𝑛1) − 𝑓4(𝑉𝑚1 − 𝑒1, 𝑛1 − 𝑒4) (4.49)

Assim, a partir do sistema de equações diferenciais obtido em (4.49), pode-se empregar ométodo das dinâmicas clonadas no sentido de calcular os expoentes condicionados. É inte-ressante observar ainda que, como as excitações 𝐼1 e 𝐼2 são idênticas, as mesmas se anulame o sistema do erro não apresenta pulsos retangulares em suas expressões. Mesmo assim,observa-se que a sua linearização, tal como empregada em métodos clássicos de análise - e.g.mapa tangente - torna-se uma tarefa trabalhosa.

4.3.6 Resultados numéricos

Dado o sistema do erro obtido em (4.49) e a abordagem de estudo de sincronismoproposta nesta tese de doutoramento, tem-se um amplo laboratório de estudos, o qual sejustifica pela possibilidade de estudo do sincronismo de sistemas não idênticos (modelos H-Hacoplados segundo mostrado na Figura 42, mas com parâmetros 𝑉𝑘, 𝑉𝑁𝑎, 𝑉𝐿, 𝐺𝑘, 𝐺𝑁𝑎, 𝐺𝐿 dis-tintos), ou mesmo no caso de descasamento de estimulação ou descasamento de acoplamentotal como analisado aqui para o modelo H-R. No cenários a seguir, optou-se por estudar comoos acoplamentos 𝛼12 e 𝛼21 influenciam o sincronismo, uma vez que a intensidade do aco-plamento define um elemento central na troca de energia entre osciladores e pode provocaralterações abruptas no comportamento qualitativo do estado síncrono.

Nas simulações a seguir, as equações de estado do modelo H-H emissor, receptor e doerro foram integrados utilizando o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo fixode 0, 01 ms, tolerância de 10−6 e tempo de simulação total de 10000 ms com intervalos derenormalização de Gram-Schmidt de 2 ms. O passo nos parâmetros de controle 𝛼12 e 𝛼21 foide 0,002.

Neste sentido, a Figura 43 mostra o maior expoente de Lyapunov condicional (painel43a), o erro quadrático médio (painel 43b) e a correlação de Pearson (painel 43c) entre os


potenciais de membrana do emissor e receptor mediante a estimulação forçada de ambos osneurônios considerando o espaço de parâmetros de 𝛼12 × 𝛼21. Observa-se claramente umasimetria em relação à bissetriz deste espaço de parâmetros, sendo, tal como esperando, acomposição de baixos valores de 𝛼12 e 𝛼21 associados a estados assíncronos, o que se re-flete em expoentes condicionados positivos, altos erros entre os osciladores neuronais e baixacorrelação de Pearson. Observa-se ainda plena concordância entre os valores do erro e dacorrelação, enquanto os expoentes condicionados apresentam comportamentos ligeiramentedistintos em determinadas regiões do espaço de parâmetros. De fato, 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 aponta para umaregião assíncrona melhor delimitada por uma circunferência para baixos acoplamentos, alémde uma extensa região em coloração verde, ou seja, associada com um expoente de Lyapunovmuito próximo de zero, e, portanto, de análise delicada do ponto de vista de estabilidadedinâmica. No entanto, de maneira geral, composições de baixos 𝛼12 e 𝛼21 fornecem estadosassíncronos, enquanto composições com altos 𝛼12 e 𝛼21 fornecem estados síncronos de modocoerente entre as diferentes medidas utilizadas em 43a, 43b e 43c.

Com o intuito de investigar melhor algumas das discrepâncias entre 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 e as demaismedidas e oferecer substratos que apontem para a coerência do método, faz-se interessantemostrar o comportamento das séries temporais para os neurônios emissor e receptor, tais comoilustrado na Figura 44. O painel 44a mostra o curso temporal do potencial de membrana deemissor e receptor quando 𝛼12 = 0, 02 e 𝛼21 = 0, 02, i.e. na região assíncrona de acordo comtodas as medidas obtidas; o painel 44b considera a situação em que 𝛼12 = 0, 17 e 𝛼21 = 0, 17,i.e. região de sincronismo de acordo com todas as medidas; e, por fim, tem-se a situação emque 𝛼12 = 0 e 𝛼21 = 0, 1, (painel 44c), para a qual tem-se expoentes negativos e, apesar disso,as medidas estatísticas parecem indicar assincronismo. Nota-se no painel 44a claramentea situação de assincronismo confirmado por uma medida de correlação relativamente baixa(0,39) e 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 = 0, 0333, enquanto a situação de sincronização completa é alcançada no painel44b, em que a correlação de Pearson é 1 e 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 = −0, 0214. Já no painel 44c, observa-seuma situação mais desafiadora em termos da determinação do sincronismo, já que a medidade correlação (0,38) assemelha-se com a do cenário do painel 44a, mas com 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 final de−0, 0289. Aparentemente, há maior correspondência entre os neurônios emissor e receptornas séries temporais apresentadas em 44c, mas, no entanto, tal observação ainda carece deembasamento quantitativo para evidenciar até que ponto isso pode influenciar nos valores dosexpoentes condicionados. Certamente, esse cenário de sincronismo “intermitente” pode serparticularmente desafiador para qualquer medida que vise avaliar a relação temporal entredois osciladores não-lineares, o que pode, portanto, contribuir para que medidas de naturezasdiferentes possam apresentar comportamentos distintos.

Curiosamente, pode-se mencionar ainda que o resultado das Figuras 43 e 44 parecem


(a) (b)

(c)

Figura 43 – O painel (a) Mostra o maior expoente condicional para o espaço de parâmetros𝛼12 × 𝛼21. (b) O erro quadrático médio entre os potenciais de membrana doneurônio emissor e receptor. (c) Correlação de Pearson entre os potenciais demembrana de emissor e receptor.

tornar, portanto, o expoente condicional menos restritivo na indicação do estado de sincro-nismo completo, algo diferente do observado no caso do modelo de Hindmarsh-Rose. Talveztal discrepância possa ser explicada pelas diferenças intrínsecas na dinâmica, uma vez que omodelo H-R apresenta longos trechos de atividade sublimiar e uma dinâmica mais lenta demaneira geral, prolongando assim os trechos de erro, enquanto a dinâmica H-H é bem maisrápida e parece trabalhar de forma mais efetiva na equalização das diferenças nos potenciaisde membrana de emissor e receptor. Neste caso, parece razoável também supor que o graumínimo de semelhança entre os sinais dos osciladores a partir do qual o expoente condicionalpassa a definir um estado de sincronismo completo dependa também da dinâmica em questão.

É importante ainda ressaltar que embora o tempo de simulação para a obtenção dosresultados no contexto do modelo de Hodgkin-Huxley aqui utilizado tenha sido relativamentelongo, não há garantias de convergência para o expoente de Lyapunov condicional, ainda maisquando sincronizações eventuais são observadas. De fato, pequenas flutuações nos expoentes


0 100 200 300 400 500−20

0

20

40

60

80

100

120

tempo [ms]

Vm

[mV

]

EmissorReceptor

(a)

0 100 200 300 400 500−20

0

20

40

60

80

100

120

tempo [ms]

V m [m

V]

EmissorReceptor

(b)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−20

0

20

40

60

80

100

120

tempo [ms]

Vm

[m

V]

EmissorReceptor

(c)

Figura 44 – (a) Potenciais de membrana dos neurônios emissor e receptor para 𝛼12 = 0, 02 e𝛼21 = 0, 02. (b) Para 𝛼12 = 0, 17 e 𝛼21 = 0, 17 e (c) 𝛼12 = 0 e 𝛼21 = 0, 1.

foram obtidas com tempos de simulação menores, o que pode ser um indicativo importantede convergência numérica lenta. Como perspectiva, pretende-se investigar detalhadamenteesse cenário de simulação e elucidar se essas regiões discrepantes dos 𝜆𝑐𝑚𝑎𝑥 em relação àsmedidas de erro e de correlação de fato estão associadas a alguma condição de sincronismointermitente. Note que tal investigação exige considerável poder computacional, dada a ordemdo sistema de equações diferenciais a ser resolvido, a confiabilidade no método de integração(ou seja, passo de integração reduzido e baixa tolerância), bem como o longo tempo desimulação requerido para avaliar a convergência do expoente.

87

5 Considerações finais e perspectivas

A ascensão da moderna ciência ocidental nos períodos da Renascença e do Iluminismolevou a uma descrição matemática do mundo na qual os sistemas dinâmicos ocupam papelde destaque. Esses sistemas, via de regra, descrevem a evolução temporal e/ou espacial devariáveis que, de alguma forma, são relevantes para um modelo de mundo.

Há vários comportamentos de interesse que podem emergir de sistemas dinâmicos line-ares e não-lineares. Nesta tese, enfocou-se o fenômeno de sincronismo, que ocorre em diversoscontextos naturais e artificiais. Em termos simples, pode-se definir sincronismo como umestado de equilíbrio resultante da interação entre dois ou mais sistemas dinâmicos, idênticosou não, que se encontram acoplados de alguma forma.

Uma ferramenta muito importante para o estudo do sincronismo é o espectro deexpoentes de Lyapunov condicionados, que descrevem de maneira precisa a convergência decomportamentos entre um sistema mestre e um sistema escravo. Tipicamente, esses expoentessão obtidos por meio do mapa tangente à trajetória do sistema, de modo análogo ao que ocorrecom os expoentes de Lyapunov clássicos. No entanto, sistemas com descrição complexa ounão diferenciáveis são empecilhos para a aplicação dessa metodologia paradigmática. Tendoisso em vista, propôs-se, em [70], o método das dinâmicas clonadas (ClDyn), que se baseiano monitoramento da divergência de múltiplas instâncias de execução do sistema de interesse.

Nesta tese, o método ClDyn é aplicado pela primeira vez no cálculo dos expoentes deLyapunov condicionados. O método é, primeiramente, validado com sistemas canônicos – osde Lorentz e Rössler -, o que mostra sua consistência. Em seguida, aplica-se a abordagem noestudo do sincronismo de modelos de Hindmarsh-Rose e Hodgkin-Huxley em acoplamentosuni- e bidirecionais. No caso do modelo H-R, observou-se uma tendência de sincronismo me-diante 𝐼1 > 𝐼2. Essa condição foi fornecida quando o acoplamento 𝛼2 foi aumentado. Essesresultados são indicativos que a maior polarização do emissor tende a facilitar a transmissãode informação deste. No caso do modelo H-H, observou-se a influência dos acoplamentos pormeio da identificação da região de sincronismo. Observou-se também uma região de difícilestimação para os expoentes, a qual configura-se como uma investigação futura. Como contri-buição particular, destaca-se pela primeira vez a análise de sincronismo de modelos neuronaismais realistas (modelo H-H) sob estimulação não suave, cenário este possibilitado pela me-todologia proposta. A ideia é que essa metodologia seja aplicada para redes de neurônios e,com isso, mais sistemas acoplados. Esse estudo, que por si só corresponde a uma contribuiçãoda tese, traz subsídios interessantes para a análise do comportamento de sistemas neuronais

88 Capítulo 5. Considerações finais e perspectivas

sob entradas distintas e não-suaves.

5.1 Perspectivas para futuros trabalhosCom base no que foi observado e analisado durante o desenvolvimento dessa tese, são

expostas algumas perspectivas de estudos que podem ser realizados em trabalhos futuros:

∙ Estudar a questão de estimação de expoente de Lyapunov no âmbito de modelos bio-lógicos mais realistas;

∙ Investigar a relação dos expoentes de Lyapunov condicionados com as medidas estatís-ticas de erro, correlação e informação mútua;

∙ Estudar métricas mais gerais na caracterização dos tipos de sincronismo;

∙ Investigar metodologias de estimação dos expoentes de Lyapunov clássicos ou condici-onados quando ruído é adicionado à dinâmica;

∙ Estudar definição dos expoentes de Lyapunov para mais de duas dinâmicas.

5.2 Trabalhos publicadosVieira, O. S., Fazanaro, F. I., Soriano, D. C. e Attux, R., Análise da Estabilidade de Sincro-nismo no Modelo Neuronal de Hindmarsh-Rose: uma Abordagem Alternativa. XXIV Con-gresso Brasileiro de Engenharia Biomédica. 13 a 17 de outubro de 2014.

Vieira, O. S., Fazanaro, F. I., Soriano, D. C. e Attux, R., Análise da Estabilidade do Sincro-nismo no Modelo Neuronal de Hindmarsh-Rose com Acoplamento Unidirecional e ExcitaçãoAssimétrica. V SPS 2014.

Vieira, O. S., Fazanaro, F. I., Soriano, D. C. e Attux, R., Aplicação da Metodologia dasDinâmicas Clonadas ao Estudo de Sincronismo entre Sistemas Dinâmicos Não Lineares. IVSPS 2013.

5.3 Trabalho submetido para publicação em periódico internacionalVieira, O. S., Fazanaro, F. I., Soriano, D. C. e Attux, R., Analysis of Synchronization Stabilityin Coupled Hindmarsh-Rose Models Under Excitation and Coupling Mismatch. NonlinearDynamics. Janeiro de 2015.

89

A Apêndice

A seguir será deduzido a dinâmica do erro associada ao sincronismo após uma có-pia idêntica do sistema dinâmico neuronal definido em (4.41), com acoplamento de formaunidirecional por meio da diferença entre os potenciais de membrana e analisado na seção4.3.1.

A.1 Dinâmica do erro do acoplamento do modelo Hindmarsh-RoseDados os sistemas em ambos os painéis da Figura 27, considere as seguintes diferenças

como descritas em (A.1):

𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥2

𝑒2 = 𝑦1 − 𝑦2

𝑒3 = 𝑧1 − 𝑧2

𝛾 = 𝐼1 − 𝐼2. (A.1)

Em seguida, derivando membro a membro a primeira equação de (A.1), segue-se aprimeira dinâmica do erro:

��1 = ��1 − ��2

= 𝑦1 − 𝑎𝑥31 + 𝑏𝑥2

1 − 𝑧1 + 𝐼1 + 𝛼21(𝑥2 − 𝑥1) − 𝑦2 + 𝑎𝑥32 − 𝑏𝑥2

2 + 𝑧2 − 𝐼2 − 𝛼12(𝑥1 − 𝑥2)

= 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑎𝑥31 + 𝑎𝑥3

2 + 𝑏𝑥21 − 𝑏𝑥2

2 + 𝑧2 − 𝑧1 + 𝐼1 − 𝐼2 + 𝛼21(𝑥2 − 𝑥1) − 𝛼12(𝑥1 − 𝑥2)

= 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑎(𝑥31 − 𝑥3

2) + 𝑏(𝑥21 − 𝑥2

2) + 𝑧2 − 𝑧1 + 𝐼1 − 𝐼2 + 𝛼21(𝑥2 − 𝑥1) − 𝛼12(𝑥1 − 𝑥2)

= 𝑦1 − 𝑦2 − 𝑎(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥21 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥2

2) + 𝑏(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2) − (𝑧1 − 𝑧2) + 𝐼1 − 𝐼2+

𝛼21(𝑥2 − 𝑥1) − 𝛼12(𝑥1 − 𝑥2)

= 𝑦1 − 𝑦2 + (𝑥1 − 𝑥2)[−𝑎(𝑥21 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥2

2) + 𝑏(𝑥1 + 𝑥2) − 𝛼12] − (𝑧1 − 𝑧2) + 𝐼1 − 𝐼2+

𝛼21(𝑥2 − 𝑥1)

= [−𝑎(𝑥21 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥2

2) + 𝑏(𝑥1 + 𝑥2) − 𝛼12 − 𝛼21]𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 + 𝛾. (A.2)

Analogamente, tem-se a segunda dinâmica do erro:

90 Apêndice A. Apêndice

��2 = ��1 − ��2

= 𝑐− 𝑑𝑥21 − 𝑦1 − 𝑐+ 𝑑𝑥2

2 + 𝑦2

= −𝑑(𝑥21 − 𝑥2

2) − (𝑦1 − 𝑦2)

= −𝑑(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2) − (𝑦1 − 𝑦2)

= −𝑑(𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2) − (𝑦1 − 𝑦2)

= −𝑑(𝑥1 + 𝑥2)𝑒1 − 𝑒2. (A.3)

Finalmente, repetindo o mesmo processo, segue-se a última dinâmica do erro:

��3 = ��1 − ��2

= 𝑟[𝑠(𝑥1 − 𝑥𝑟) − 𝑧1] − 𝑟[𝑠(𝑥2 − 𝑥𝑟) − 𝑧2]

= 𝑟𝑠(𝑥1 − 𝑥𝑟) − 𝑟𝑧1 − 𝑟𝑠(𝑥2 − 𝑥𝑟) + 𝑟𝑧2

= 𝑟𝑠𝑥1 − 𝑟𝑠𝑥𝑟 − 𝑟𝑧1 − 𝑟𝑠𝑥2 + 𝑟𝑠𝑥𝑟 + 𝑟𝑧2

= 𝑟𝑠(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑟(𝑧1 − 𝑧2)

= 𝑟𝑠𝑒1 − 𝑟𝑒3. (A.4)

Portanto, das dinâmicas descritas em (A.2), (A.3) e (A.4), obtém-se o seguinte sistema:

𝑑𝑒1

𝑑𝑡= [−𝑎(𝑥2

1 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥22) + 𝑏(𝑥1 + 𝑥2) − 𝛼12 − 𝛼21]𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 + 𝛾

𝑑𝑒2

𝑑𝑡= −𝑑(𝑥1 + 𝑥2)𝑒1 − 𝑒2

𝑑𝑒3

𝑑𝑡= 𝑟𝑠𝑒1 − 𝑟𝑒3. (A.5)

E consequentemente a sua equação variacional é descrita como:

⎡⎢⎢⎢⎣𝑑𝑒1𝑑𝑡

𝑑𝑒2𝑑𝑡

𝑑𝑒3𝑑𝑡

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣−𝑎(𝑥2

1 + 𝑥1𝑥2 + 𝑥22) + 𝑏(𝑥1 + 𝑥2) − 𝛼12 − 𝛼21 1 −1

−𝑑(𝑥1 + 𝑥2) −1 0𝑟𝑠 0 −𝑟

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣𝑒1

𝑒2

𝑒3

⎤⎥⎥⎥⎦ . (A.6)

A.2. Pontos de equilíbrio da dinâmica do erro do modelo Hindmarsh-Rose 91

A.2 Pontos de equilíbrio da dinâmica do erro do modelo Hindmarsh-RoseAgora com o intuito de se obter os pontos de equilíbrio, o sistema (A.5) será reescrito

como:

𝑑𝑒1

𝑑𝑡= (𝛽1 + 𝑏𝛽2)𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 + 𝛾

𝑑𝑒2

𝑑𝑡= −𝑑𝛽2𝑒1 − 𝑒2

𝑑𝑒3

𝑑𝑡= 𝑟𝑠𝑒1 − 𝑟𝑒3. (A.7)

onde 𝛽1 = −𝑎(𝑥21+𝑥1𝑥2+𝑥2

2)−𝛼12−𝛼21 e 𝛽2 = 𝑥1+𝑥2. Em seguida fazendo 𝑑𝑒1𝑑𝑡

= 𝑑𝑒2𝑑𝑡

= 𝑑𝑒3𝑑𝑡

= 0em (A.7), obtém-se:

(𝛽1 + 𝑏𝛽2)𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 + 𝛾 = 0

−𝑑𝛽2𝑒1 − 𝑒2 = 0

𝑟𝑠𝑒1 − 𝑟𝑒3 = 0. (A.8)

Depois de algumas manipulações algébricas em (A.8), seguem-se os seguintes pontosde equilíbrio:

𝑒1 = −𝛾𝛽1 + (𝑏− 𝑑)𝛽2 − 𝑠

𝑒2 = 𝑑𝛽2𝛾

𝛽1 + (𝑏− 𝑑)𝛽2 − 𝑠

𝑒3 = −𝑠𝛾𝛽1 + (𝑏− 𝑑)𝛽2 − 𝑠

. (A.9)

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