avaliação numérica do desempenho mecânico de um compósito ... · o objetivo deste trabalho é...
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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Jader dos Santos Miranda
Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito
Vitrocerâmico
São João Del-Rei, 2011
I
Jader dos Santos Miranda
Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito
Vitrocerâmico
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Universidade Federal de São João Del-Rei, como requisito para a obtenção do titulo de Mestre em Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Materiais e processos de Fabricação Orientador: Prof. Dr. Avelino Manuel da Silva Dias Co-orientador: Prof. Dr. André Luis Cristóforo
São João Del-Rei, 2011
II
F64p
Miranda, Jader dos Santos
Título: Avaliação Numérica do Desempenho Mecânico de um Compósito Vitrocerâmico / Jader dos Santos Miranda - São João Del-Rei, MG: [s.n.], 2011.
Orientador: Prof. Dr. Avelino Manuel da Silva Dias.
Dissertação/Tese - Universidade Federal de São João Del-Rei.
1. 2. 3. 4. I. . II. Universidade Federal de São João Del-Rei. III. Título.
III
IV
Dedico este trabalho de maneira muito especial ao meu pai Francisco, minha mãe Cleonice e minha avó Maria Rosa.
V
Agradecimentos Agradeço a DEUS por guiar-me em mais esta fase de minha vida;
Aos meus pais pelo incentivo em todos os momentos;
A minha avó Maria Rosa pela bondade, carinho e amor (saudade eterna);
Aos meus irmãos pela força, companheirismo e união;
Aos amigos pela presença;
A minha namorada pela paciência e amor;
Ao meu orientador Professor Avelino Manuel da Silva Dias, pelo conhecimento
compartilhado e apoio;
Ao meu co-orientador Professor André Luis Christóforo;
A todos os professores e colegas, que ajudaram de forma direta e indireta;
A John Hough e a MSC. Software do Brasil pelo apoio;
Ao Departamento de Engenharia Mecânica da UFSJ e ao Departamento de
Engenharia Metalúrgica e de Minas da UFMG, pelo apoio para execução deste
trabalho.
VI
“Uma mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original.” Albert Einstein
VII
Resumo
Os constantes avanços na indústria originam-se da necessidade de
desenvolvimento de soluções para as mais variadas aplicações. A engenharia
mecânica tem apresentado inovações no que tange à ciência dos materiais
submetidos a esforços diversos. Estudos recentes demonstram o potencial de
algumas classes de materiais, destaque especial para os cerâmicos. Neste trabalho
estudou-se fundamentalmente a sub-classe vitrocerâmica através da análise do
Zerodur. Zerodur é nome comercial dado a um material inorgânico de baixa
expansão térmica, largamente utilizado em equipamentos submetidos a grandes
variações de temperatura, onde é necessário manter boa precisão de forma e
geometria. Possui elevada dureza superficial e conseqüentemente certa fragilidade
quando submetido à tração. No intuito de potencializar as características mecânicas
do Zerodur propõe-se a junção do mesmo com outros materiais (material
compósito). Com auxílio do método dos elementos finitos torna-se possível analisar
o comportamento global do compósito quando submetido a forças externas. Neste
trabalho utilizou-se o solver comercial de elementos finitos Marc™ na análise
numérica computacional de estruturas Zerodur - Aço. O objetivo deste trabalho é
simular o comportamento do compósito quando submetido ao ensaio de flexão em
três pontos através da análise da rigidez mecânica, campos de tensão na interface
Zerodur®/Aço, influência da força cortante nas vigas segundo modelos de Euler
Bernoulli e Timoshenko e implementação de modelos com trinca difusa.
Palavras-chaves: Compósitos, Elementos Finitos, Simulação Numérica, Zerodur®,
Trinca Difusa.
VIII
Abstract
The constant advances in the industry come from the need to develop solutions
for a variety of applications. Mechanical Engineering has presented innovations
regarding the science of materials subjected to various efforts. Recent studies
demonstrate the potential of some classes of materials, special emphasis on
ceramics. In this paper we study primarily the sub-class by examining the Zerodur®
ceramic glass. Zerodur is the commercial name given to an inorganic material with
low thermal expansion, widely used in equipment subjected to large temperature
variations, where it is necessary to maintain good precision of form and geometry. It
has high surface hardness and hence fragility when subjected to tension. In order to
enhance the mechanical characteristics of Zerodur proposes to merge the same
with other materials (composite). With use of the finite element method is possible to
analyze the overall behavior of the composite when subjected to external loads. In
this work we used the commercial finite element solver Marc™ on numerical analysis
of computational structures Zerodur - Steel. The main objective of this work is to
simulate the behavior of the composite when subjected to the bending test of three
points through the analysis of mechanical stiffness, stress fields at the interface
Zerodur®/Steel, influence of shear force on the second Euler Bernoulli and
Timoshenko beam models and implementation of crack strain models.
Keywords: Composite, Finite Elements, Numeric Simulation, Zerodur®, Crack
Strain.
IX
Lista de Ilustrações
Página
Figura 2.1 - Padrões de medida fabricados com Zerodur 7
Figura 2.2 - Modelamento de uma calota esférica com 1/8 de simetria 10
Figura 2.3 - Ensaio de flexão em três pontos de viga bi apoiada 12
Figura 2.4 - Ilustração do Ensaio de Flexão Estática a Três Pontos 13
Figura 2.5 - Convenção de sinais positiva para os esforços 15
Figura 2.6 - Diagrama uniaxial de tensão versus deformação para modelo
de trinca difusa 17
Figura 2.7 - Desenvolvimento de trinca perpendicular à direção da tensão
principal 1 19
Figura 3.1 - Corpo de prova para ensaio de flexão de três pontos 21
Figura 3.2 - Modelo bidimensional do ensaio de flexão para o vitrocerâmico
(Zerodur) 23
Figura 3.3 - Modelo Numérico da viga feita de Zerodur, 24
Figura 3.4.- Compósito Zerodur/Aço com duas barras 25
Figura 3.5 - Compósito Zerodur/Aço com três barras 25
Figura 3.6 - Compósito Zerodur/Aço com quatro barras 26
Figura 3.7 - Parâmetros de entrada de uma simulação numérica do
compósito Zerodur®/Aço (Carga de 65 KN distribuída ao longo de 50
incrementos - steps)
27
Figura 4.1 - Condições de contorno do ensaio numérico 31
Figura 4.2 - Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga
Zerodur® em três pontos (compósito Zerodur®/Aço - duas barras) 33
Figura 4.3 - Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga
Zerodur® em três pontos (compósito Zerodur®/Aço - três barras) 33
Figura 4.4 - Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga
Zerodur® em três pontos (compósito Zerodur®/Aço - quatro barras) 34
Figura 4.5 - Avaliação da deformação de trincamento em uma viga do 35
X
compósito Zerodur®/Aço submetida a um carregamento de 65 KN
Figura 4.6 - Nós escolhidos para análise de deformação de trincamento 36
Página
Figura 4.7 - Deformação equivalente de trincamento avaliada por nó na
interface 37
XI
Lista de Tabelas
Página
Tabela 3.1 - Propriedades mecânicas dos materiais 22
Tabela 3.2 - Parâmetros para o modelo de trinca difusa no vitrocerâmico 28
Tabela 4.1 - Valores de deflexão obtidos através dos modelos numéricos
em comparação com a deflexão calculada através da equação analítica de
Euler Bernoulli
29
Tabela 4.2 - Comparação dos valores de deflexão da viga a partir do
ensaio de flexão em três pontos, em função de seu comprimento para uma
mesma seção transversal
30
Tabela 4.3 - Valores de deflexão (Ymax) obtidos através do modelo
numérico e deflexão calculada através da Equação analítica de Euler
Bernoulli
31
Tabela 4.4 - Valores de Ymax obtidos numericamente para diferentes
configurações de vigas Zerodur®/Aço comparados com o valor de Ymax de
um modelo numérico Cem por cento Zerodur®
32
XII
Lista de Abreviaturas e Siglas
MEF - Método dos Elementos Finitos
a.C. - antes de Cristo
MFV - Método das Forças Virtuais
PTV - Princípio dos Trabalhos Virtuais
XIII
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - Introdução .........................................................................................1
CAPÍTULO 2 - Revisão da Literatura.........................................................................3
2.1 Materiais cerâmicos........................................................................................3
2.2 Vitrocerâmicos................................................................................................4
2.3 Zerodur® ........................................................................................................5
2.4 Materiais compósitos ......................................................................................7
2.5 Método dos Elementos Finitos........................................................................9
2.5.1 Análise Estrutural ......................................................................................11
2.6 Ensaio de flexão em três pontos...................................................................11
2.7 Teoria de vigas .............................................................................................13
2.8 Modelo de Bimodularidade ...........................................................................16
CAPÍTULO 3 - Metodologia.....................................................................................20
3.1 Modelagem numérica ...................................................................................22
CAPÍTULO 4 - Resultados e Discussões ................................................................29
CAPÍTULO 5 - Conclusões......................................................................................38
CAPÍTULO 6 - Referências Bibliográficas ...............................................................40
ANEXOS .................................................................................................................43
1
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
Desde a antiguidade o homem busca desenvolver materiais que sejam
adequados para as variadas necessidades e aplicações. Nos dias atuais é notável o
surgimento de estruturas de elevada complexidade oriundas da junção das mais
diversas classes de materiais. Mesmo com o grande progresso no entendimento da
engenharia dos materiais nos últimos anos, remanescem grandes desafios para a
compreensão dos diversos ramos dessa ciência.
A necessidade de desenvolver materiais eficientes para as mais variadas
aplicações tem estimulado a pesquisa por novos compostos que sejam resistentes a
condições adversas. No entanto, a caracterização mecânica destes compostos tem
sido difícil e onerosa, principalmente, por haver uma diferença das propriedades
mecânicas das fases constituintes e do compósito resultante.
Na atualidade alguns materiais tem tido destaque especial em função de suas
propriedades tribológicas. Estudos recentes demonstram o grande potencial dos
materiais cerâmicos, principalmente em condições em que se exige do material
simultaneamente boa resistência ao desgaste, ataque químico e impacto em
temperaturas elevadas.
Os cerâmicos são constituídos basicamente por diferentes elementos químicos,
metálicos e não metálicos, através de ligações iônicas e/ou covalentes. Podem ser
classificados como cristalinos, amorfos ou vitrocerâmicos. (Braun, 2008).
Os vitrocerâmicos possuem características diferenciadas resultantes do
processo de cristalização controlada a que são submetidos durante formação. Estas
características especiais são descritas ao longo do texto, servindo como motivação
para o desenvolvimento desta pesquisa.
2
Neste trabalho estudou-se o comportamento mecânico de um vitrocerâmico
denominado comercialmente de Zerodur, assim como de um compósito tendo com
fase matriz o vitrocerâmico. Neste estudo, simulou-se o comportamento destes
materiais quando submetido ao ensaio mecânico de flexão em três pontos. A
metodologia numérica adotada foi baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF).
Analisaram-se estruturas com cem por cento Zerodur e compósitos tendo como
fase matriz o Zerodur e fase dispersa pequenas barras longitudinais de aço. Este
arranjo teve como objetivo melhorar o comportamento mecânico deste vitrocerâmico
quando submetido à esforços de flexão. O deslocamento transversal dos corpos de
provas simulados foi avaliado com o objetivo de comparar a rigidez mecânica quanto
à flexão entre os diferentes materiais e suas configurações.
Em etapa complementar introduziu-se um modelo de trinca difusa para avaliar
possível trincamento (fratura frágil) nos modelos numéricos do compósito em estudo.
Também, avaliou-se o comportamento da força cortante nestes mesmos compósitos
através da comparação dos resultados numéricos com os obtidos pelas teorias de
vigas de Timoshenko e Euler Bernoulli (Gere, 2003).
As simulações propostas neste trabalho utilizaram modelos discretos através
do MEF, o qual é uma técnica numérica confiável para análise de tensões e
deformações e na simulação de diferentes problemas de engenharia. Este método
tem sido utilizado para simular e resolver inúmeros problemas não lineares nas
áreas de instabilidade estrutural, de sistemas dinâmicos e termo-fluidodinâmicos,
sistemas eletromagnéticos e de conformação mecânica. As simulações numéricas
foram executadas no solver comercial de elementos finitos MARC (2010).
3
CAPÍTULO 2 REVISÃO DA LITERATURA
2.1 Materiais cerâmicos
Este trabalho tem como base de estudo um material da sub-classe dos
vitrocerâmicos comercialmente denominado Zerodur®, largamente empregado na
indústria moderna. Antes de dissertar sobre aspectos gerais do trabalho é
interessante fazer uma pequena menção ao desenvolvimento dos cerâmicos ao
longo do tempo.
Os materiais cerâmicos são largamente utilizados na fabricação de utensílios
domésticos, isolantes, revestimentos, etc. O aperfeiçoamento da ciência dos
materiais teve grande destaque na revolução industrial, na Primeira e Segunda
Guerra Mundial. No entanto, existem diversos marcos de interesse ao longo dos
tempos.
Há vestígios de cerâmicos que datam desde o período neolítico (10000 a 6000
anos a.C) na forma de potes que eram usados para armazenamento de grãos.
Relacionado com a construção das civilizações, os cerâmicos são utilizados desde
períodos remotos com evidência de grandes blocos, estruturas de sustentação e
revestimentos. A idade da Pedra (10000 a 5000 a.C) foi marcada pela utilização de
artefatos desenvolvidos através de cerâmicas primitivas (Rosa, et. al., 2003).
Durante a revolução industrial (meados do século XVII) os cerâmicos eram
usados em larga escala como revestimento de utensílios. Tal técnica contribuía para
maior durabilidade dos produtos (www.abceram.org.br, acessado em Março/2011).
Como marco recente, tem-se a fase da cerâmica industrial caracterizada pelo
desenvolvimento da indústria mecânica. Nesta fase temos o desenvolvimento dos
materiais modernos, onde se inclui o Zerodur®, aplicações aeroespaciais e
4
tecnologias de ponta, como blindagem térmica de ônibus espaciais, produção de
nanofilmes, sensores, etc.
Os materiais cerâmicos são oriundos do processo de fusão da argila. Possuem
propriedades bem definidas tais como resistência ao ataque de produtos químicos,
resistência a compressão, refratividade, boa dureza superficial. São constituídos
basicamente por elementos metálicos e não metálicos através de ligações iônicas
e/ou covalentes, cuja estrutura após processo de queima em altas temperaturas
apresenta-se inteiramente ou parcialmente cristalizada. Possuem a característica de
serem produtos de cristalização. São classificados em cristalinos, amorfos ou
vitrocerâmicos (Callister Jr., 2000). É interessante fazer uma distinção em sub-
classes, uma vez que neste trabalho restringiu-se os estudos na sub-classe
vitrocerâmica.
A indução da argila sob altas temperaturas tem como resultado a formação de
estruturas cristalinas amorfas e inorgânicas. Ao nível microscópico é facilmente
perceptível a organização da estrutura atômica da cerâmica, de maneira seqüencial
e simétrica, com forma bem definida, apresentando pequenos cristais um do lado do
outro.
2.2 Vitrocerâmicos
Os materiais vitrocerâmicos foram criados a aproximadamente quarenta anos
produzidos à partir da cristalização de materiais vítreos. A cristalização é feita de
maneira controlada, marcada por fenômenos relacionados a reação do vidro com
agentes nucleantes (http://www.redetec.org.br/inventabrasil/zvitcer.htm, acessado
em Março/2011).
Os nucleantes são geralmente óxido de titânio, óxido de fósforo e óxido de
tântalo submetidos a temperaturas que variam de 500° C a 1100° C.
(http://www.redetec.org.br/inventabrasil/zvitcer.htm, acessado em Março/2011).
O processo de fusão é feito de maneira monitorada e contribui diretamente nos
aspectos físicos e químicos destes materiais. Estudos na área da metalurgia do pó
5
contribuíram para produção de vitrocerâmicos cada vez mais homogêneos. O vidro é
fragmentado e a inclusão do agente nucleante é feita de maneira controlada.
2.3 Zerodur®
Em 1968, a Schott Glass Technologies Inc., desenvolveu o Zerodur. Este
novo material foi concebido para aplicações onde mudanças de temperatura são
inevitáveis e podem influenciar negativamente o tamanho e as exatidões de
dimensões. É um material vitrocerâmico usinável de baixa expansão térmica, não
poroso, isotrópico e muito utilizado em aplicações onde ocorrem variações de
temperatura. É caracterizado por uma fase de nanocristais uniformemente
distribuídos dentro de uma fase de vidroresidual, contendo importantes
propriedades.
A produção do Zerodur advém de métodos modernos da tecnologia de
cristais e ópticos. Os cristais são fundidos, refinados, homogeneizados e finalmente
conformados. Após o subseqüente cozimento, diminui-se a pressão, para realização
do tratamento do centro cristalino. Este processo é acompanhado de uma
ceramização precisa, durante a qual os cristais são transformados em vitrocerâmicos
através de uma cristalização de volume controlado (Hartmann, et al., 2008). Durante
este tratamento formam-se núcleos dentro do vidro, e, ocorre o surgimento de
cristais em altas temperaturas. O material resultante é transparente e claro, com as
seguintes propriedades (Döhring, et. al., 2005):
• Coeficiente de expansão térmico extremamente baixo;
• Boa homogeneidade;
• Qualidade interna elevada;
• Bom acabamento superficial;
• Grande estabilidade química.
Basicamente, este vitrocerâmico é formado por óxidos (Li2O, SiO2, Al2O3), com
densidade de 2,53 g/cm³, condutividade térmica de 1,6 W/m.K e coeficiente de
expansão térmica menor 0,10x10-6 m/K (Mirkarimi, et. al., 2000).
6
Ele também possui uma boa processabilidade, ou seja, é de fácil manuseio
durante a sua fabricação, apesar de apresentar uma faixa de temperatura de
sintetização que vai de 700° C a 1000° C (Berezhinsky, et. al., 2004).
A principal característica do Zerodur é a presença de uma fase amorfa que
tem dilatação térmica positiva (expansão) e uma fase cristalina que apresenta uma
expansão térmica negativa (contração), o que lhe proporciona um baixo índice de
variação de tamanho quando submetido a grandes variações de temperatura. Esta
característica é obtida pela nucleação bem definida e condições adequadas de
cristalização, o que torna o Zerodur um material com baixa expansão térmica. Em
determinadas faixas de temperatura seu coeficiente de expansão térmica pode ser
aproximadamente zero ou, até, ligeiramente negativo, dependendo do processo de
ceramização utilizado (Schmitz, et. al., 2002).
Quantitativamente é composto de 70% a 78% de fase cristalina, com alta
solução de quartzo, que dá a sua superfície transparência e o torna mais robusto.
Esta fase apresenta cerca de 11 nm de diâmetro, o que a torna muito dura, de difícil
penetração e com baixa reflexão. Por outro lado, se a parte desta fase ainda receber
uma matriz de sílica fundida é transmitido uma maior proteção (Soufli, et. al., 2007).
Quando nos referimos à transparência do Zerodur é indicado um grau de
transparência para o mesmo, que é definido através da litografia ultravioleta. É uma
técnica que analisa o quanto a fase amorfa interfere nessa transparência, sendo
possível a partir desta análise aperfeiçoar a porcentagem das duas fases para
estabelecer uma maior precisão do grau de pureza desejado (Mirkarimi et. al., 2001).
O Zerodur® possui uma estrutura isotrópica não-direcional tendo superfície não
porosa. As fases cristalinas e vítrea têm características químicas e durezas similares
àquelas de cristais ópticos, podendo ser processado usando máquinas e
ferramentas idênticas com técnicas de cristais e ópticos (por exemplo, corte
trituração e polimento) (Mitra et. al., 2004).
7
Segundo Dohring, et. al. (2006), a capacidade cerâmica do Zerodur®
acompanha por aproveitamento de suas qualidades o processo de tecnologia das
indústrias modernas. Outra peculiaridade deste material é geometria dimensional
(circular ou hexagonal) em conjunto com a qualidade interna e as propriedades do
material.
Devido a sua grande qualidade e desempenho, este material tem sido utilizado
em diversos ramos da indústria moderna como, em elementos óticos para
equipamentos de litografia, peças mecânicas para equipamentos de metrologia de
elevada precisão, espelhos para grandes telescópios astronômicos e padrões para a
tecnologia da medida de precisão, Figura 2.1.
Entretanto, este vitrocerâmico apresenta um baixo módulo de elasticidade,
conseqüentemente, baixa rigidez estrutural, e um comportamento frágil típico de
materiais cerâmicos, limitando seu uso principalmente na aplicação estrutural.
Figura 2.1 - Padrões de medida fabricados com Zerodur
2.4 Materiais compósitos
As inúmeras possibilidades de combinações dos componentes bem como o
desenvolvimento de novos materiais e de novas tecnologias de fabricação, têm
contribuído para o aumento crescente do emprego dos materiais compósitos. Como
conseqüência natural de aplicações cada vez mais numerosas, pode-se notar um
8
crescente avanço nas pesquisas voltadas para a modelagem matemática e
simulações computacionais do comportamento estático e dinâmico de materiais
compósitos. Confeccionados de acordo com as necessidades mecânicas de projeto,
os materiais compósitos são a solução mais adequada quando se necessita de
estruturas mais leves e resistentes, ou combinações de propriedades mecânicas
difíceis de serem obtidas nos materiais convencionais (Pinheiro, et. al., 2006).
Segundo Daniel, et. al. (1994) um compósito estruturado pode ser definido
como um sistema de materiais composto de duas ou mais fases numa escala
macroscópica, cujo desempenho mecânico e propriedades são projetados para
serem superiores as de seus constituintes atuando independentemente. Uma das
fases é geralmente descontínua, mais forte e resistente, sendo denominada dispersa
ou reforçador; enquanto que a fase menos resistente é contínua e denominada
matriz.
A aplicação de materiais compósitos em diversos ramos da engenharia tem
crescido significativamente nos últimos anos, destacando-se as aplicações nas
indústrias aeroespaciais, automobilística, civil, petrolífera, dentre outras.
Diante da motivação pela busca do aumento da resistência mecânica do
Zerodur® propõe-se neste trabalho a adição de barras de aço ordenadas de forma a
trazer uma maior rigidez para a estrutura formada. A opção de utilizar aço como
reforço surgiu da grande difusão do mesmo industrialmente, além de possuir alto
módulo de elasticidade. Cogita-se a possibilidade de usar fibra de carbono mas no
entanto têm-se limitações referentes a construção do compósito e por também
apresentar um comportamento frágil.
No momento atual, o foco é analisar formas de se fabricar o compósito
Zerodur®/Aço. Uma alternativa interessante é a utilização de métodos de fundição,
vazando o Zerodur® ainda em estado líquido sobre as barras de aço. Este método
envolveria altas temperaturas e poderia ter como conseqüências transformações
estruturais do aço. Outra hipótese seria a utilização de processos de fabricação por
meio de usinagem de alta precisão. Tal procedimento consistiria em fazer entalhes
no Zerodur® para adicionar as barras de aço.
9
Estas discussões são escopo de propostas para trabalhos futuros. O que se
pretende neste trabalho é estudar através de modelos numéricos qual seria a
interação do Zerodur® com o Aço e avaliar qual é a relevância deste tipo de
compósito para aplicações industriais onde a variação de temperatura é fator crítico.
2.5 Método dos Elementos Finitos
Segundo Azevedo (2003) o desenvolvimento do método dos elementos finitos
e sua utilização para resolução de problemas de engenharia apresentam alguns
marcos importantes, que datam da década de 60, com a impossibilidade de
resolução de problemas complexos e início da adoção de aproximações e hipóteses
simplificadoras para determinação dos esforços nas estruturas (geometria simples e
aplicação de séries de Fourier). Já na década de 70, houve um avanço no uso desta
metodologia com adoção do uso de elementos finitos triangulares e os tetraédricos,
passando-se, em seguida, a dar preferência aos elementos tridimensionais
quadriláteros e aos hexaedros, na simulação de problemas tridimensionais. A partir
da década de 80, com a difusão do uso de computadores pessoais, houve um
incremento na implementação de problemas complexos e não lineares (geometrias
variadas, múltiplos carregamentos e múltiplos materiais).
Atualmente, o método dos elementos finitos tem sido uma ferramenta numérica
eficiente na área de projeto estrutural que envolve a determinação de forças
internas, deformações e deslocamentos da estrutura. Também é um método
numérico muito utilizado na análise de diferentes problemas físicos em meios
contínuos.
Na solução destes problemas contínuos, utiliza-se de equações diferenciais e
integrais para simular o comportamento de estruturas submetidas a carregamentos
através de análise matriciais e de convergência. Discretiza o problema dividindo o
domínio de integração em um número finito de pequenas regiões denominadas de
elementos, transformando o problema contínuo em um discreto, conforme ilustrado
na Figura 2.2. Calculam-se os deslocamentos, as deformações e as tensões através
de funções de interpolação dentro dos elementos e, em seguida, efetua o somatório
10
destas contribuições ao longo de toda a geometria. Através de equações de
compatibilidade garante-se a continuidade entre os elementos.
No presente trabalho, usou-se o MEF, através do solver comercial de
elementos finitos MARC™(2010), com o objetivo de determinar os campos de
tensões e de deformações de um sólido capaz de representar o comportamento de
corpo de prova do ensaio de flexão feito de diferentes materiais (cerâmico e
compósito).
Figura 2.2 - Modelamento de uma calota esférica com 1/8 de simetria (Fonte:
MSC. MARC™, 2010)
As Equações 2.1 e 2.2 mostram as integrais de domínio base do método dos
elementos finitos. No Anexo I encontra-se uma breve descrição do desenvolvimento
do MEF.
n
i ViV fdVfdV
1 (2.1)
n
iiVV
1 (2.2)
11
2.5.1 Análise Estrutural
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma
estrutura auxiliando no cálculo das tensões, deslocamentos e deformações
decorrentes de esforços diversos em uma parte ou em toda a estrutura. A análise
deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar de
maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura.
Tal afirmação confirma a necessidade de modelar com perfeição as condições de
contorno da estrutura real a ser simulada via método dos elementos finitos. O bom
entendimento do ensaio real é crucial para o modelamento adequado. A idealização
estrutural é a formulação de um modelo matemático de elementos discretos
equivalente à estrutura contínua real.
Os métodos numéricos de análise estrutural podem ser subdivididos em dois
tipos: soluções numéricas de equações diferenciais para deslocamentos ou tensões,
e métodos matriciais baseados na idealização discreta em elementos estruturais. No
primeiro tipo a análise é baseada na aproximação matemática de equações
diferenciais. As equações de elasticidade são resolvidas para uma configuração
estrutural, tanto por técnicas de diferenças finitas quanto pela integração numérica
direta. (Azevedo, 2003)
No segundo tipo a teoria é desenvolvida na álgebra matricial. A estrutura é
inicialmente idealizada com uma montagem de elementos estruturais discretos com
formas da distribuição de deslocamentos e tensões, e a solução completa é então
obtida pela combinação dessa distribuição de maneira que se satisfaça o equilíbrio
de forças e a compatibilidade de deslocamentos nas junções desses elementos.
(Azevedo, 2003)
2.6 Ensaio de flexão em três pontos
Os ensaios de flexão em três pontos têm sido largamente utilizados na
caracterização de materiais frágeis para determinação da tensão e flexa de ruptura
12
permitindo avaliar propriedades mecânicas tais como módulo de elasticidade à
flexão, fator de intensidade de tensão crítico (KIC), entre outros.
O ensaio consiste em aplicar uma carga concentrada vertical, mono
tonicamente crescente, no meio do vão de uma viga simplesmente biapoiada,
conforme Figura 2.3.
Figura 2.3 - Ensaio de flexão em três pontos de viga biapoiada
A força F causa a contração das fibras na região superior (acima da linha
neutra) devido compressão, enquanto que as fibras da região inferior (abaixo da
linha neutra) são alongadas devido tração. Entre a região que se contrai e a que se
alonga fica uma linha que mantém sua dimensão inalterada - a chamada linha
neutra. Em corpos de prova feitos de materiais homogêneos e com seção
transversal simétrica, costuma-se considerar que a linha neutra fica a igual distância
das superfícies inferior e superior do corpo de prova ensaiado.
O ensaio de flexão em três pontos apresenta peculiaridades do ponto de vista
da mecânica da fratura sendo apropriado para avaliação do comportamento de
materiais frágeis. Neste trabalho, optou-se pela utilização deste tipo de ensaio em
detrimento da necessidade de estudar soluções que contribuam para o aumento da
resistência mecânica do Zerodur® quando submetido à flexão, sendo possível
avaliar conjuntamente o comportamento da estrutura diante de esforços de
compressão e tração. Na fase inicial de pesquisas surgiram algumas opções de
reforço tais como fibra de carbono, fibra de vidro. No entanto, a escolha em se
utilizar o aço carbono como reforço foi motivada por análise de compatibilidade das
fases matriz e fibra (Zerodur®/Aço) em relação a aspectos relativos a fabricação do
compósito estrutural proposto.
13
2.7 Teoria de vigas
De forma analítica, o estudo da relação entre comprimento (L) da viga e altura
da seção transversal (h) para o qual o efeito das forças cisalhantes se torna
desprezível no cálculo das deflexões é aqui desenvolvido segundo o Método das
Forças Virtuais (MFV), sendo este uma versão do Princípio dos Trabalhos Virtuais
(PTV). Maiores informações sobre o PTV e MFV podem ser encontradas em
literatura referente à área da mecânica dos materiais, tais como as obras de
Crandall, et. al. (1978), Popov, (1978), Higdon, et. al. (1981), Beer, et. al. (1995),
Gere (2003), Hibbeler (2010), entre outros.
O MFV é empregado sobre o modelo estrutural de flexão estática a três pontos
(Figura 2.4), objetivando-se encontrar a expressão para o cálculo do deslocamento
abaixo do ponto de aplicação da força, considerando-se para tanto, a parcela dos
esforços momento fletor e cortante.
Figura 2.4 - Ilustração do Ensaio de Flexão Estática a Três Pontos
De forma genérica, considerando-se apenas os esforços fletores e cisalhantes,
o deslocamento em um ponto de interesse para uma estrutura constituída por
elementos de barra é expresso pela Equação 2.3.
n
i
s dxAG
xqxQfdxIE
xmxMY1 *
)(*)(**
)(*)(*1 (2.3)
Nesta expressão,
14
Y - deslocamento linear ou rotação a ser calculado mediante o emprego da
força ou momento virtual de módulo um;
F - carga aplicada;
M(x) - variação do momento fletor para um trecho da estrutura segundo o real
histórico de cargas;
m(x) - variação do momento fletor para um trecho da estrutura segundo o
emprego de uma força ou momento unitário aplicado em um ponto de interesse;
Q(x) - variação do esforço cortante para um trecho da estrutura segundo o real
histórico de cargas;
q(x) - variação do esforço cortante para um trecho da estrutura segundo o
emprego de uma força ou momento unitário aplicado em um ponto de interesse;
fs - fator de forma da seção transversal (dependente da geometria das seções
transversais);
E - módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young;
I - momento de inércia da seção transversal;
G - módulo de elasticidade transversal;
A - área da seção transversal;
L - comprimento da viga;
b - medida da base da seção transversal;
h - medida da altura da seção transversal.
Os esforços solicitantes determinados entre os trechos AB e BC da Figura 2.4
são expressos respectivamente pelas Equações 2.4, 2.5, 2.6 e 2.7, segundo a
convenção de sinais ilustrada na Figura 2.5.
15
Figura 2.5. Convenção de sinais positiva para os esforços
xFxM AB *2
)( xxm AB *21)( (2.4)
)*2(*4
)( LxFxM BC )*2(*41)( Lxxm BC
(2.5)
( ) ; ( )2 2AB ABF 1Q x q x
(2.6)
( ) ; ( )2 2BC BCF 1Q x q x
(2.7)
Explicitando-se a Equação 2.3 para o caso do ensaio de flexão estática a três
pontos (Figura 2.4), chega-se a expressão do cálculo do deslocamento (YB) abaixo
do ponto de aplicação da força, assim como expressa a Equação 2.8.
L
L
BCBCSL
ABABSL
L Z
BCBCL
Z
ABAB dxAG
xqxQfdxAG
xqxQfdxIE
xmxMdxIE
xmxMY2/
2/
02/
2/
0 *)(*)(*
*)(*)(*
*)(*)(
*)(*)(
*1 (2.8)
O fator de forma (fs) para seções retangulares é igual a 6/5 (Beer, et. al., 1995).
Substituindo este valor assim como os das Equações 2.4 a 2.7 na Equação 2.8 e
fazendo-se algumas manipulações algébricas chega-se a Equação 2.9, que permite
determinar o deslocamento vertical no ponto central B da viga (Figura 2.4).
AGLF
IELFY
ZB **10
**3**48
* 3
(2.9)
O primeiro termo do lado direito da igualdade apresentada na Equação 2.9
contabiliza a parcela de deslocamento referente ao esforço de momento fletor e, a
segunda, o esforço da força cortante. Utilizando-se da relação entre módulo de
elasticidade longitudinal e transversal para materiais isotrópicos juntamente com a
substituição do momento de inércia da seção retangular e da área de seção
transversal, de medidas b e h, chega-se a expressão analítica final (Equação 2.10)
utilizada para o cálculo do deslocamento vertical do ponto central da viga (ponto B).
16
hbELF
hBELFYB ***5
**)1(*3***4
*3
3 (2.10)
Estes raciocínios são a base para as teorias de vigas desenvolvidas por Euller-
Bernoulli e Timoshenko.
Designa-se por viga de Euler-Bernoulli (Equação 2.11) a formulação do
elemento finito de viga em que se considera que as seções se mantêm planas e
normais ao eixo da barra após a deformação. Neste modelo não é considerada a
parcela da deformação devida ao esforço cortante. (Azevedo, 2003). Este modelo é
também conhecido como modelo de viga longa.
IELFYmáx **48
* 3
(2.11)
Na formulação do elemento de viga de Timoshenko (Equação 2.12) é
considerado que as seções planas se mantêm planas. Contudo, supõe-se que uma
seção normal ao eixo da viga não mantém essa característica após a deformação.
Deste modo é possível considerar a deformação devida ao corte.
hbELF
IELFYmáx ***4
)1(**2**48
* 3 (2.12)
2.8 Modelo de Bimodularidade
Para incorporar ao modelo numérico alguns mecanismos de processos de
fratura tem sido utilizada em diversos trabalhos uma relação constitutiva baseada
nos modelos clássicos da mecânica dos meios contínuos, conhecida como modelo
de bimodularidade ou trinca difusa (Oller, 2001). Este modelo constitutivo considera
que o material analisado teria um comportamento quando solicitado à tração
diferente de quando estivesse sob compressão. Ou seja, o material apresenta uma
17
baixa resistência à tração, porém possui boa resistência à compressão, podendo,
inclusive sofrer deformações plásticas, com ou sem endurecimento, sob compressão
(Figura 2.6).
Figura 2.6 − Diagrama uniaxial de tensão versus deformação para modelo de
trinca difusa
Para esforços de tração, o modelo de trinca difusa permite um comportamento
elástico até o limite de ruptura (cr). Alcançando este limite, admite-se o trincamento
(caracterizado pela deformação de trincamento) do material na direção normal à
máxima tensão principal (teoria de Rankine). Após a formação desta primeira trinca,
o modelo passa a ter um comportamento ortotrópico permitindo a formação de, no
máximo, três trincas perpendiculares entre si, caso as três tensões principais
excedam o limite de ruptura do material. Desta forma, quando o valor da tensão
principal máxima (1) em um ponto excede um valor predefinido para a tensão de
ruptura, uma trinca perpendicular à direção principal seria formada. Neste mesmo
ponto, uma outra trinca também poderia ser formada, mas somente no caso da
segunda tensão principal (2) exceder o valor da resistência à ruptura, Figura 2.7.
Em um caso extremo, neste mesmo ponto, uma terceira trinca, perpendicular às
18
anteriores, poderia acontecer somente se a tensão normal a ela (3) também
ultrapassasse a resistência à fratura do material.
O modelo também permite a incorporação de um comportamento de
decréscimo na resistência da estrutura após a formação das primeiras trincas
descritas através de um parâmetro de amolecimento do módulo de elasticidade (ES).
Este parâmetro, o qual pode ser determinado a partir das características do material
e da geometria da malha utilizada, impede que a tensão de tração do modelo
numérico num ponto trincado tenda rapidamente a zero, após a tensão normal
máxima ter ultrapassado seu limite de resistência (Oller, 2001).
O Zerodur apresenta um comportamento que se assemelha a este modelo de
bimodularidade, ou seja, este material apresenta uma baixa resistência à tração,
porém possui boa resistência à compressão, podendo, inclusive sofrer grandes
deformações plásticas, com endurecimento sob compressão (Trent, 1984).
Pode-se verificar que a correta incorporação de aspectos mecânicos e
fenomenológicos inerentes à fratura em materiais é um fator chave para o sucesso e
eficácia das metodologias aplicáveis à análise numérica de integridade mecânica.
Por exemplo, a implementação da teoria de Rankine como critério de falha ainda
deixa alguma imprecisão, pois não leva em consideração o histórico do
carregamento nem a triaxialidade do campo de tensões que ocorre em problemas
estruturais complexos (Oller, 2001).
Entretanto, este critério de falha tem sido utilizado para avaliação do
comportamento de materiais frágeis e pode apresentar bons resultados quando
associado a uma análise numérica incremental do problema. Nos ensaios de
indentação em materiais frágeis, o fato relacionado à ocorrência de fissuras
localizadas nas proximidades da região de indentação e a manutenção do
comportamento linear elástico da estrutura longe desta região, podem validar a
utilização da teoria de Rankine como critério de falha nestas simulações numéricas.
Isto talvez explique porque estes trabalhos de modelagem dos ensaios de
19
indentação têm utilizado como critério de falha a teoria de Rankine na análise dos
processos de falhas em ensaios de indentação em materiais frágeis.
Figura 2.7 − Desenvolvimento de trinca perpendicular à direção da tensão
principal σ1 (Fonte: MSC. MARC, 2010)
A evolução de trincas na estrutura resulta em uma diminuição de sua
capacidade de resistência à carga, assim o campo das tensões internas deve ser
redistribuída para regiões onde não ocorrem falhas, tornando esta simulação
numérica uma análise extremamente não linear. Este modelo de fissura distribuída
apresenta bons resultados globais quando a zona de fissura está restrita a pequenas
dimensões em comparação com o tamanho da estrutura (Lemaitre, et. al., 1994;
Oller, 2001).
Um modelo similar de bimodularidade foi testado por Zhang e Subhash (2001)
em um trabalho de análise numérica do ciclo de indentação em materiais frágeis.
Entretanto, estes autores não estudaram um material específico, mas trabalharam
com valores de dureza, módulo de elasticidade e resistência dentro da faixa de
valores encontrados para materiais frágeis (Zhang, et. al., 2001).
Para ilustrar o gasto computacional, informaram que este modelo numérico
demandou 10h na execução desta análise, utilizando um computador de última
geração para a época (Zhang, et. al., 2001).
20
Dentre as limitações apresentadas por diversos autores na utilização do
modelo de trinca difusa, a principal seria no modelamento da nucleação de trincas
uma vez que o modelo não permite o aparecimento de trincas que não estejam
orientadas segundo as direções ortogonais principais (Zhang, et. al., 2001).
No presente trabalho utilizou-se o modelo de bimodularidade para simular o
comportamento do Zerodur durante ensaios de flexão em três pontos
implementados no software comercial de elementos finitos MARC™.
O solver comercial MARC™ tem sido uma ferramenta eficaz no estudo de
processos de fratura originados dos conceitos da mecânica clássica.
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA
A metodologia utilizada neste trabalho tem como preceito o ensaio de flexão
em três pontos. Este ensaio tem sido largamente utilizado na avaliação da
resistência mecânica de materiais frágeis como, por exemplo, os cerâmicos e,
recentemente, em compósitos estruturados.
21
O ensaio consiste em aplicar uma carga concentrada vertical, mono
tonicamente crescente, no meio do vão de uma viga simplesmente biapoiada,
conforme Figura 3.1. Tendo em vistas as particularidades do Zerodur® e do
compósito a ser estudado partiu-se do pressuposto que este tipo de análise teria um
grande potencial na resolução do problema proposto.
Figura 3.1 - Corpo de prova para ensaio de flexão de três pontos
A boa interface gráfica do software de elementos finitos Marc™(2010) e outros
fatores como, conhecimento prévio no uso deste programa na simulação de ensaios
de indentação e disponibilidade de sua licença no Laboratório de Mecânica
Computacional do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal
de São João Del-Rei - MG, contribuíram na decisão de se usar este solver na
análise dos modelos a serem estudados.
As dimensões iniciais dos corpos de prova do ensaio de flexão foram definidas
com base nas referências técnicas da norma ASTM E399 (1996). As relações
descritas na norma estão ilustradas na Figura 3.1, onde L é a distância entre apoios,
W é a altura, B a largura e P é a carga aplicada. Esta norma exibe os parâmetros
básicos do ensaio de flexão em três pontos utilizado na mecânica da fratura linear
elástica para determinação do fator crítico de tensões KIC. Ao longo das várias
análises foi mantida constante a área da seção transversal (área = W*B) variando
apenas o comprimento do corpo de prova.
22
Os materiais usados neste trabalho foram considerados isotrópicos e
homogêneos. As principais propriedades mecânicas utilizadas estão mostradas na
Tabela 3.1.
Tabela 3.1 - Propriedades mecânicas dos materiais (Matweb, 2011)
Material Módulo de elasticidade (E) Coeficiente de Poisson ()
Zerodur 91 GPa 0,24
Aço 210 GPa 0,30
Os detalhes do modelo numérico proposto, arranjos e configurações
analisados, validação dos modelos e metodologia de análise estão descritas no item
subsequente.
3.1 Modelagem numérica
Um modelo numérico deve representar de maneira satisfatória o ensaio
experimental correspondente. Tal ação pode ser conseguida através da análise
precisa dos fenômenos relacionados com o ensaio real, escolha de condições de
contornos adequadas e que não gerem grande imprecisão ao modelo numérico.
Na realização deste trabalho deparou-se com alguns problemas na modelagem
devido à necessidade de simular com precisão os apoios e verificar a maneira
adequada para modelar a aplicação da carga total do ensaio. A identificação destas
condições tornou-se possível após análises de modelos bidimensionais e
tridimensionais de vigas feitas com Zerodur®.
O corpo de prova bidimensional foi modelado por elementos isoparamétricos
de 4 nós com restrição de movimento nas direções x e y, Figura 3.2. A malha
adotada para o modelo tem distância entre apoios L = 2 m e altura W = 0,2 m. Neste
modelo aplicou-se uma carga central de F = 500 N, considerando estado plano de
tensões.
23
Figura 3.2 - Modelo bidimensional do ensaio de flexão para o vitrocerâmico
(Zerodur)
Em seguida, as condições modeladas para o estado plano de tensões foram
extrapoladas para um modelo tridimensional (3D), Figura 3.3. O modelo foi
elaborado com elementos tridimensionais hexagonais de oito nós. A configuração
geométrica 3D apresentou resultado de deflexão máxima que destoava dos
resultados esperados segundo o modelo analítico de Euller-Bernoulii (Equação
2.11). A busca por respostas para este resultado inesperado serviu de motivação
para estudos quanto ao efeito da força cortante em vigas curtas e longas.
24
Figura 3.3 - Modelo Numérico da viga feita de Zerodur
Foram criados diversos modelos 3D mantendo a seção transversal da viga
constante (área = W*B) e alterando o seu comprimento. Observou-se que à medida
que se aumentava o comprimento das vigas os resultados de deflexão máxima
convergiam para os valores esperados segundo a equação analítica de Euler
Bernoulli (Equação 2.11). Para melhor entendimento desta situação, comparou-se
também estes resultados numéricos com os valores obtidos através da equação
analítica de Timoshenko (Equação 2.12).
A validação do modelo tridimensional foi conseguida mediante a determinação
de um comprimento de viga que propiciou uma equalização dos resultados de
deflexão (Ymax) obtidos no modelo numérico com os resultados obtidos através das
equação analítica de Euller-Bernoulli (Equação 2.11).
Procedeu-se os estudos com simulações de compósitos. Foi representado
numericamente o ensaio de flexão para avaliar estes materiais, que têm como fase
matriz o Zerodur e como fase dispersa barras de aço carbono, dispostas conforme
arranjos mostrados nas Figuras 3.4, 4.5 e 3.6. As barras de aço carbono totalizam
uma área superficial de 0,00142 m² em cada viga. Espera-se que estas
configurações para fase dispersa melhorem a rigidez mecânica do compósito quanto
25
a flexão, quando comparada com o comportamento de uma viga de mesmas
dimensões feitas apenas com o material vitrocerâmico (Figura 3.3). Também se
espera que as barras metálicas apresentem uma maior contribuição para resistir aos
esforços de tração proveniente da flexão da viga (Miranda, et. al., 2011).
Figura 3.4.- Compósito Zerodur/Aço com duas barras
Figura 3.5 - Compósito Zerodur/Aço com três barras
26
Figura 3.6 - Compósito Zerodur/Aço com quatro barras
Na formação do compósito Zerodur®/Aço há uma região de interface entre os
dois constituintes. Esta região tende ser crítica do ponto de vista da mecânica da
fratura devido a concentração de tensões podendo acarretar uma fratura frágil na
matriz do compósito. No intuito de incorporar ao modelo numérico esta
particularidade utilizou-se o modelo de trinca difusa para avaliar o dano na interface.
Para estudar o fenômeno de nucleação e propagação de trincas utilizou-se
carregamento por incrementos. Isto se fez necessário uma vez que no modelo de
trinca difusa as tensões internas devem ser redistribuídas para regiões onde não
ocorrem falhas, tornando esta simulação numérica uma análise extremamente não
linear. A análise incremental do modelo de trinca de difusa foi configurada com carga
F=65 KN distribuída ao longo de 50 incrementos, conforme Figura 3.7.
27
Figura 3.7 - Parâmetros de entrada de uma simulação numérica do compósito
Zerodur®/Aço (Carga de 65 KN distribuída ao longo de 50 incrementos - steps)
A última etapa do presente trabalho consistiu em avaliar o campo de tensões
no compósito e utilizar os principios da mecânica da fratura através do modelo de
dano de trinca difusa para avaliar uma possivel nucleação de trincas, principalmente,
na interface Zerodur®/Aço.
Esta motivação decorre dos inconvenientes relativos a fratura frágil que podem
acarretar o colapso total da estrutura sem uma propagação visível das trincas. É
comumente definida como fratura silenciosa, pois nem sempre é precedida por uma
trinca mensurável.
As principais propriedades mecânicas usados nos modelos dos compósito
estão ilustradas na Tabela 3.1. Os parâmetros para o modelo de trinca difusa
adotado neste trabalho estão apresentados na Tabela 3.2. Através de sucessivas
análises numéricas para validação do módulo de amolecimento, verificou-se que o
28
mesmo pode ser estimado como sendo um centésimo do valor do módulo de
elasticidade do Zerodur (Dias, et. al., 2010).
Tabela 3.2 - Parâmetros para o modelo de trinca difusa no vitrocerâmico
E Es cr crush
91 GPa 9,1 GPa 98 MPa 1000
Para avaliar a formação de trincas nos modelos numéricos do compósito
Zerodur®/Aço calculou-se a carga crítica a ser aplicada nas vigas. A Equação 3.1
foi desenvolvida a partir do cálculo da tensão normal devido a flexão em vigas
prismáticas.
Lbh
F crcr 3
2 2 (3.1)
Onde Fcr é a carga crítica a ser aplicada no meio do vão capaz de nuclear
trincas, cr é tensão crítica do material, b é a largura da viga, h é a altura e L o
comprimento.
29
CAPÍTULO 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para modelar as vigas submetidas à flexão, restringiu-se o deslocamento nos
apoios nas direções x, y e z. Aplicou-se uma carga total de 500 N no meio do vão
das amostras. Na simulação numérica desta barra biapoiada, adotaram-se os
seguintes valores: distância entre apoios, L = 2 m; altura de 0,2 m e largura de
0,1 m.
A comparação entre os valores de deflexão dos modelos numéricos cem por
cento Zerodur® (bidimensional e tridimensional) e analítico estão apresentadas na
Tabela 4.1. Os resultados numéricos se mostraram compatíveis com o valores de
deflexão máxima esperados em uma barra biapoiada segundo Equação 2.11
(Modelo Analítico de Euler Bernoulli).
Tabela 4.1 - Valores de deflexão obtidos através dos modelos numéricos em
comparação com a deflexão calculada através da equação analítica de Euler
Bernoulli
MODELO Ymáx (m) DIFERENÇA (%) Euler Bernoulli 1,389E-05 -
Zerodur bidimensional 1,399E-05 0,72 Zerodur tridimensional 1,419E-05 2,16
Na etapa inicial do trabalho tinha-se como foco limitações das vigas quanto ao
tamanho e metodologia a ser aplicada. A premissa inicial era desenvolver o modelo
numérico e comparar os resultados com a equação analítica proposta por Euler-
Bernoulli (Equação. 2.11). Com o desenvolvimento do presente trabalho,
apareceram algumas situações interessantes que conduziram o estudo para
abordagens a respeito de quanto o efeito da força cortante sobre o deslocamento
transversal da viga era relevante.
Por isso, manteve-se constante a carga aplicada (F=500N), a área da seção
transversal da viga (0,2 x 0,1 m) para, em seguida, variar o seu comprimento. Esta
30
ação apontou oportunidades de estimar o que seria efetivamente uma viga longa e
uma viga curta.
A Tabela 4.2 traz resultados das simulações numéricas feitas comparando as
diferentes configurações de vigas com os modelos analíticos de Euler- Bernoulli e
Timoshenko.
Tabela 4.2 - Comparação dos valores de deflexão da viga a partir do ensaio de
flexão em três pontos, em função de seu comprimento para uma mesma seção
transversal
ANALÍTICA NUMÉRICA (Zerodur®) L (m) Y (m) Euler Bernoulli Y (m) Timoshenko Viga Y (m) 0,96 1,54E-06 1,73E-06 0,2 x 0,1 x 0,96 1,86E-06 1,20 3,00E-06 3,25E-06 0,2 x 0,1 x 1,4 3,34E-06 2,00 1,39E-05 1,43E-05 0,2 x 0,1 x 2 1,419E-05 2,40 2,40E-05 2,45E-05 0,2 x 0,1 x2,4 2,61E-05 2,80 3,81E-05 3,87E-05 0,2 x 0,1 x 2,8 3,89E-05 3,20 5,69E-05 5,76E-05 0,2 x 0,1 x 3,20 5,67E-05 4,80 1,92E-04 1,93E-04 0,2 x 0,1 x 4,80 1,92E-04 8,00 8,89E-04 8,91E-04 0,2 x 0,1 x 8,0 8,76E-04
Estes resultados indicaram que em vigas de comprimento inferior a L= 3,20 m,
a existência da força cortante exerce influência significativa sobre deslocamento
transversal da viga. Deste modo, para vigas chamadas de curtas, os valores de
deflexão da Equação analítica de Timoshenko traz resultados com maior exatidão
quando comparados com os resultados obtidos pela Equação analítica de Euller-
Bernoulli.
Após essas comparações e análises entre vigas longas e curtas, optou-se por
estudar o compósito com as seguintes dimensões : L = 4,8 m; h = 0,2 m e b = 0,1 m
e carga F = 500N. Conforme Tabela 4.2, este comprimento garante que as vigas a
serem analisadas tenham um comportamento de viga longa, podendo comparar os
resultados de deflexão com o resultado analítico, obtido através da equação de
deflexão da linha elástica de uma barra biapoiada com uma carga aplicada no meio
do vão, Equação 2.11.
31
A Figura 4.1 ilustra a malha do modelo numérico tridimensional para avaliar seu
comportamento durante o ensaio de flexão. A comparação entre os valores de
deflexão deste modelo numérico e o analítico estão apresentados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3 - Valores de deflexão (Ymax) obtidos através do modelo numérico e
deflexão calculada através da Equação analítica de Euler Bernoulli
Modelo Ymax (m) Euler Bernoulli (analítico) 1,92E-04
Cem por cento Zerodur (numérico) 1,92E-04
Figura 4.1 - Condições de contorno do ensaio numérico
Este resultado numérico para o modelo 3D se mostrou compatível com o
analítico. Desta forma, foi possível concluir que este modelo se encontra calibrado. A
validação do modelo foi uma etapa muito importante da análise pois indica o quanto
o grau de influência de certas considerações e condições de contorno assumidos
nos modelos numéricos.
Posteriormente, comparou-se a Ymax do modelo numérico cem por cento
Zerodur® com Ymax dos compósitos Zerodur/Aço nas diferentes configurações
apresentadas. Os resultados estão expressos na Tabela 4.4.
32
Tabela 4.4 - Valores de Ymax obtidos numericamente para diferentes
configurações de vigas Zerodur®/Aço comparados com o valor de Ymax de um
modelo numérico Cem por cento Zerodur®
Configuração Ymáx (m)
Cem por cento Zerodur® 1,92E-04
Compósito com duas barras de aço 1,69E-04
Compósito com três barras de aço 1,75E-04
Compósito com quatro barras de aço 1,75E-04
A diminuição na deflexão indica um aumento da rigidez mecânica do
compósito, potencializando a resistência da viga, o que traz boas perspectivas de
utilização do compósito Zerodur/Aço em diversas estruturas. Percebeu-se que a
configuração com duas barras de Aço é a opção mais indicada quando se pretende
utilizar um compósito sujeito a solicitações majoritariamente de flexão. O valor da
máxima deflexão para esta configuração representou uma diminuição no
deslocamento da barra de aproximadamente 12% quando comparado com o modelo
3D do vitrocerâmico. Esta diminuição na deflexão indica um aumento da rigidez do
compósito melhorando suas perspectivas de utilização em diversas estruturas.
A distribuição numérica dos campos de tensão dos compósitos segundo critério
de falha de Rankine está representada na Figuras. 4.2, 4.3 e 4.4.
33
Figura 4.2 - Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga
Zerodur® em três pontos (compósito Zerodur®/Aço - duas barras)
Figura 4.3 - Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga
Zerodur® em três pontos (compósito Zerodur®/Aço - três barras)
34
Figura 4.4 - Distribuição dos campos de tensão na seção central de viga
Zerodur® em três pontos (compósito Zerodur®/Aço - quatro barras)
Para análise, escolheu-se uma seção transversal do meio do vão ao final do
ensaio uma vez que esta seção apresenta a maior deflexão e consequentemente, o
maior gradiente de tensões devido a flexão da viga. Pode-se verificar que a região
inferior central é a porção crítica da barra, com grande nível de solicitação à tração.
As fibras superiores estão sujeitas apenas aos esforços de compressão.
Avaliando a distribuição de tensões nestas seções, verifica-se que em todas as
configurações as barras de aço estão submetidas a maiores tensões. Isto mostra
que o posicionamento das barras foi correto, pois elas tendem a suportar bem as
tensões de tração. Dessa forma, funcionam como reforço estrutural do compósito
impedindo o carregamento trativo direto sobre as fibras inferiores do vitrocerâmico.
No arranjo com duas barras de aço, a tensão principal máxima foi da ordem de
1,24 MPa, no arranjo com três barras de aço foi 1,18 MPa e no arranjo com quatro
barras 1,28 MPa.
35
Para efeito de análise das regiões sujeitas a propagação das trincas e possível
falha analisou-se os campos de deformação de trincamento no arranjo com três
barras de Aço. Aplicou-se carga de 65 KN, carga superior a Fcrit (54,44 KN),
propiciando a avaliação dos danos após a nucleação das trincas.
A Figura 4.5 mostra a criticidade de tais regiões segundo critério de dano de
trinca difusa.
.
Figura 4.5 - Avaliação da deformação de trincamento em uma viga do compósito
Zerodur®/Aço submetida a um carregamento de 65 KN
Escolheu-se nós dispostos em regiões críticas da viga para avaliar a
deformação de trincamento no decorrer da análise (incrementos). A Figura 4.6
representa a locação e nomenclatura dos nós analisados e a Figura 4.7 o campo de
deformações na viga.
Os nós, localizados na interface Zerodur®/Aço (7805, 9257 e 10709) assim
como, na fibras inferiores da viga (2844, 3086 e 3449) foram escolhidos levando-se
36
em consideração os resultados anteriores de Tensão Principal Máxima. Para uma
melhor intrepretação da criticidade desta região, também foi escolhido um nó fora da
interface e a uma certa distância das fibras inferiores (12403).
Figura 4.6 - Nós escolhidos para análise de deformação de trincamento
A região das fibras inferiores do compósito se mostrou mais crítica do que a
região de interface Zerodur®/Aço. Ocorreu dano nos nós das fibras inferiores (2844,
3086 e 3449) a partir do trigésimo quinto incremento, conforme o comportamento da
deformação de trincamento nesta região. Já na região da interface, o dano a
estrutura começou a surgir entre o trigésimo quinto e o quadragésimo incremento.
Além disso, o dano nas fibras inferiores foi muito mais intenso do que em qualquer
outra região da seção transversal.
No nó 12403, situado entre as duas barras de aço, mas fora da interface e a
uma certa distância das fibras inferiores, ocorreu dano semelhante aos da região de
37
interface. Este ponto sofreu influência da criticidade que aparece na interface entre a
matriz (Zerodur®) e o laminado (Aço).
Figura 4.7 - Deformação equivalente de trincamento avaliada por nó na interface
A fim de melhor detalhar o ensaio fica proposto para trabalhos futuros a
utilização de um fator de atrito estático entre as fases matriz (Zerodur®) e dispersa
(Aço). Esta proposta constitui uma tentativa de simular uma possível falha adesiva
entre as fases matriz e dispersa do compósito. Fica proposto também o estudo de
situações com variação de coeficiente térmico, onde pretende-se manter o aço livre
para sofrer dilatação enquanto o Zerodur® tenderá a se manter com geometria
constante.
38
CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES
Este trabalho apresentou fundamentação teórica e numérica dos fenômenos
envolvidos para desenvolvimento de compósitos de fase matriz Zerodur® no intuito
de impulsionar a utilização do mesmo para variadas aplicações industriais e de
pesquisa. É fase constituinte do desenvolvimento de materiais a análise consistente
dos campos de tensão e deformação quando submetidos a condições de trabalho.
As diversas hipóteses levantadas ao longo das pesquisa foram analisadas
como desafios inerentes ao processo científico e constituiram-se como grandes
oportunidades de entendimento dos mecanismos de flexão das vigas analisadas
(vigas longas e curtas).
Diante das situações abordadas e resultados obtidos neste estudo, conclui-se
que o aumento da resistência mecânica do vitrocerâmico Zerodur® pode ser obtido
através da inserção de barras de aço. Esta conclusão foi obtida através da análise
da deflexão máxima de vigas com cem por cento de Zerodur® e vigas do compósito
Zerodur®/Aço. A inserção de barras de aço nas vigas simuladas propiciou o
aumento da rigidez mecânica do vitrocerâmico (12%). A deflexão numérica das
vigas de Zerodur® e do compósito foi analisada segundo as equações analíticas de
Euler Bernoulli e Timoshenko. A manutenção da área da seção transversal
constante (0,2 x 0,1 m) e variações no comprimento da viga mostraram a relevância
do efeito da força cortante sobre vigas longas e curtas do vitrocerâmico. Percebeu-
se que em vigas com comprimento menor que 3,20 m a influência do cortante deve
ser considerada exercendo influência significativa sobre o deslocamento transversal.
Deste modo, para vigas chamadas de curtas, os valores de deflexão da Equação
analítica de Timoshenko traz resultados com maior exatidão quando comparados
com os resultados obtidos pela Equação analítica de Euller-Bernoulli.
Estudos complementares do compósito, com arranjos de duas, três e quatro
barras de aço, permitiram a identificação de regiões críticas do ponto de vista da
39
mecânica da fratura. A região de interface Zerodur®/Aço apresentou os maiores
campos de tensão da amostra segundo o critério de falha de Rankine (máxima
tensão principal). O estudo da deformação de trincamento confirmou a afirmação
acima e permitiu a avaliação da região de nucleação de trincas.
Será necessário fazer estudos adicionais para termos uma afirmação
consistente sobre qual é a melhor configuração do compósito Zerodur®/Aço. Os
arranjos descritos neste trabalho indicam que o arranjo com duas barras de Aço
apresenta vantagens em relação aos demais, proporciando maior rigidez e menores
campos de tensão na interface.
Fica proposto para trabalhos futuros a incorporação de um coeficiente de atrito
para melhor modelar o comportamento da interface do compósito Zerodur®/Aço.
Também se propõe que no futuro sejam avaliadas os campos de tensões nestas
estruturas de compósito Zerodur®/Aço atavés de uma análise com variação de
temperatura, introduzindo no modelo numérico os coeficientes térmicos dos
materiais constituintes.
40
CAPÍTULO 6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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43
ANEXOS
Anexo I - Descrição sobre o desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos
ANEXO I INTRODUÇÃO À METODOLOGIA DOS ELEMENTOS FINITOS (DIAS, 2004)
44
Este anexo tem por objetivo descrever uma introdução ao MEF. Um estudo
mais profundo e detalhado pode ser feito em uma literatura especifica como, por
exemplo, no livro de Finite Element in procedures Engineering Analysis.a O MEF,
baseado nos deslocamentos, considera as equações de equilíbrio de cada
elemento, Figura A.1, e a posterior solução do sistema de equações resultante. A
determinação da energia potencial total da estrutura é obtida através de um
processo de discretização que consiste em utilizar funções de interpolação do
campo de deslocamentos no domínio do elemento e impor as condições de
equilíbrio no domínio da estrutura e de compatibilidade geométrica entre os
elementos e as condições de contorno, através da minimização do potencial total da
estrutura (Bathe, 1982).
Figura A.1 - Corpo tridimensional genérico (Bathe, 1982)
Considerando o equilíbrio do corpo tridimensional mostrado na Figura A.1, o
carregamento externo aplicado sobre este corpo é dividido em forças de superfície,
forças de corpo e cargas concentradas. Estas forças também incluem as reações de
apoio do corpo e possuem componentes correspondentes ao sistema de
coordenadas globais (X, Y, Z). O equilíbrio do corpo e as correspondentes condições
de contorno são estabelecidas através da minimização da energia do sistema.
45
A formulação do MEF consiste em calcular o potencial total do corpo, funcional
, Equações (A.1) a (A.5), determinando seu variacional () e igualando-o a zero
(Bathe, 1982).
WU (A.1)
Onde,
dVCUV
T
21 Energia potencial de deformação de um corpo (A.2)
ii
iTs
V
sTb
V
T fudVfudVfuW (A.3)
XZYZXYZYXT (tensor de deformações) (A.4)
ZYXT uuuu (vetor de deslocamento do ponto) (A.5)
Considerando as forças de corpo e de superfície iguais a zero, Equação (A.3),
e minimizando o variacional Equação (A.1), tem-se a Equação (A.6)
ii
iT
V
T fudVC (A.6)
Discretiza-se, como esquematizado na Figura A.2, o domínio (estrutura) em
subdomínios (elementos) que estão limitados por pontos nodais. Defini-se o campo
de deslocamentos de um ponto no interior do elemento como u2, Equação A.7, onde
o índice m refere-se a um elemento genérico analisado.
mmm ûzyxHzyxu
(A.7)
46
Figura A.2 − Discretização de uma estrutura através de elementos finitos (Cook,
et. al., 1989)
A definição dos deslocamentos dos pontos nodais ûm do elemento é
determinada através de uma função forma Hm para o campo de deslocamento no
interior do elemento. Esta função forma depende, entre outros parâmetros, do
número de nós do elemento, Figura A.3. Para o elemento de barra constituído de
dois nós a função de forma é linear, Figura A.3a e, para o elemento com três nós,
esta função é de segunda ordem (parabólica), Figura A.3b.
Para elementos bidimensionais como, por exemplo, com quatro ou oito nós,
Figura A.4, a função de forma possui componentes em relação às coordenadas
planares.
Analogamente, para elementos tridimensionais a função de forma tem
componentes em relação aos três eixos coordenados.
47
Figura A.3 − Função de forma para elementos de barra com dois e três nós
(Fonte: Cook, et. al., 1989)
A partir do campo de deslocamento definido pela Equação A.7, considerando o
modelo de elemento especificado, a expressão de deformação associada é obtida
através da Equação A.8, onde Bm é a matriz transformação deformação versus
deslocamento para o elemento.
mmm uzyxBzyx (A.8)
Substituindo-se o campo de deformações obtido para os pontos nodais do
elemento, Equação A.8, na expressão de estacionaridade do potencial total do
corpo, Equação A.6, obtém-se a expressão que representa as condições de
equilíbrio estático para cada elemento, Equação A.9.
V
iimT
i
mmmTmT fûdVûCBBû
(A.9)
O sistema linear de equações que governa o comportamento do corpo sob
ação de cargas externas é obtido pelo somatório das contribuições de todos os
elementos do corpo, conforme Equação A.10.
48
i
i
mmmTm
V
fdVûCBB
(A.10)
Figura A.4 − Represetanção nodal de um elemento isoparamétrico plano com:
(a) quatro; e (b) oitos nós (Fonte: Cook, et. al.., 1989)
A matriz de rigidez do corpo será definida pela Equação A.11.
m
V
mmT dVCBBK
(A.11)
Por fim, encontra-se a seguinte Equação (A.12) para o equilíbrio estático do
corpo, sendo F o vetor de carregamento nodal:
FKû m (A.12)
A formulação até aqui apresentada se refere ao comportamento linear elástico
do material e considerando a hipótese de pequenos deslocamentos e deformações.
Uma metodologia muito utilizada é a formulação através de elementos finitos
49
isoparamétricos, Figura A.4. A principal idéia desta formulação é a de determinar
uma relação entre os deslocamentos nodais e demais pontos no elemento através
de um função de interpolação linear ou de ordem superior.
Um outro importante aspecto desta formulação isoparamétrica é a avaliação
através da integração numérica. Ou seja, a integração da Equação (A.11) é
realizada através do cálculo numérico desta integral volumétrica utilizando pontos de
integração distribuídos ao longo dos elementos.
Para uma análise linear de um problema através da consideração de estado
plano de tensões, a matriz constitutiva elástica seria representada pela Equação
(A.13).
(A.13)
Uma alternativa para utilizar este método para análises nas quais o material
apresenta um comportamento não linear, mantendo-se a hipótese de pequenas
deformações e pequenos deslocamentos, é modificar as relações constitutivas do
material, por exemplo, conforme Equação (A.14).
(A.14)
Nesta expressão, os termos tq e tp representam os vetores dos incrementos da
tensão e da deformação plástica, respectivamente, ao longo do tempo. A função tF
depende do critério de escoamento adotado no modelo, da curva de fluxo do
comportamento não linear do material e , também, do incremento ao longo do
tempo.
50
Para análises com pequenos deslocamentos e grandes deformações pode-se
utilizar a relação tensão versus deformação da formulação de Jaumann adaptada,
conforme pode ser encontrada na literatura e que foi demonstrada no trabalho de
análise dos ensaios de indentação através do MEF dos autores Larsson e
Giannakopoulos (1998).
Diversos solvers comerciais de Elementos Finitos são capazes de realizar
análises complexas, de não linearidade da material e para análises com grandes
deslocamentos e grandes deformações. A utilização destes pacotes comerciais
resulta em um esforço menor na implementação de um modelo numérico, entretanto
estes solvers apresentam limitações na resolução de problemas específicos como,
por exemplo, análise de fratura em materiais compósitos.
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