AVALIAÇÃO NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA

Juares Cordeiro da Silva1

Nelma Sgarbosa Roman de Araújo2

Resumo

Este artigo visa socializar os resultados obtidos por meio do Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), implementado no Colégio Estadual James Patrick Clark - E.M.F.D., da cidade de Terra Rica-PR, com alunos da 1ª série do Ensino Médio, durante o 2º semestre de 2011. Pretendeu-se mostrar a importância da utilização de uma metodologia de ensino-aprendizagem e de avaliação que priorize o pensar, o raciocínio e, principalmente, os conhecimentos previamente construídos. O objetivo principal do projeto foi auxiliar um número significativo de alunos de uma turma de Ensino Médio a superar as suas dificuldades em Matemática, por meio da utilização da metodologia de ensino de Matemática Resolução de Problemas e de um instrumento de avaliação que compreende três fases. Os resultados obtidos foram positivos, pois a utilização de uma metodologia de ensino-aprendizagem e de avaliação, voltada para o pensar, para o raciocínio e para utilização dos conhecimentos previamente construídos, contribuiu para que alguns dos alunos do 1º ano do Ensino Médio superassem as suas dificuldades em Matemática. Com este projeto, os alunos melhoraram sua capacidade de resolver e formular hipóteses, fazer questionamentos e analisar os resultados obtidos. Palavras-chave: avaliação; instrumentos de avaliação; resolução de problemas. 1 INTRODUÇÃO

Este artigo tem por finalidade apresentar os resultados obtidos com o Projeto de

Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE-turma

2010) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), intitulado Avaliação

no processo ensino-aprendizagem de Matemática, implementado no Colégio

1 Graduado em Ciências do 1º grau com Habilitação em Matemática, pela Faculdade Estadual de Educação,

Ciências e Letras de Paranavaí - Fafipa, Pós- Graduado em Ensino da Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí – Fafipa, Pós- Graduado também em especialização em Administração, Supervisão e Orientação Educacional pela União das escolas Superiores do Vale do Ivaí – UNIVALE. E-mail: juares@seed.pr.gov.br Professor da Rede Pública do Estado do Paraná.

2 Doutoranda em Educação para a Ciência e a Matemática pela Universidade Estadual de Maringá-UEM.

Professora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de Paranavaí/FAFIPA.

Estadual James Patrick Clark – E.M.F.D., da cidade de Terra Rica-PR, com os

alunos do 1º ano do Ensino Médio, no ano de 2011.

O PDE é um Programa de Formação Continuada desenvolvido pela Secretaria de

Estado da Educação do Paraná em parceria com a Secretaria de Estado da Ciência,

Tecnologia e Ensino Superior, envolvendo professores das Escolas Públicas

Estaduais de Educação Básica e as Instituições de Ensino Superior.

A temática Avaliação é bastante polêmica, pois não há unanimidade entre os

professores sobre qual é a melhor forma ou quais são os melhores instrumentos que

podem ser utilizados efetivamente no processo ensino-aprendizagem, mesmo

havendo um consenso de que a avaliação é imprescindível no decorrer deste.

Zabala (1998, p. 195, apud Pavanello e Nogueira (2006, p.30), nos diz que

O estudo e a pesquisa de vários autores no que refere-se à avaliação

em Matemática mostra que existem caminhos que apontam para

uma melhoria no processo ensino aprendizagem dessa disciplina,

que normalmente é apontada como uma das principais causadoras

de traumas e principalmente da evasão escolar, ocasionando com

isso a exclusão social.

Um dos caminhos que se acredita ser coerente é a utilização da Metodologia

Resolução de Problemas e de um instrumento de avaliação que compreenda três

fases. Isso permitirá auxiliar aos alunos superarem as suas dificuldades em

Matemática, por meio da pesquisa com utilização de recursos de apoio, da

colaboração dos colegas e da orientação do professor, que com questionamentos

conduz e estimula os alunos na busca pela solução desejada.

Assim, o tema relacionado com o ensino-aprendizagem e a avaliação na disciplina

de Matemática mostra a sua importância, pois, ao se pensar em avaliação, deve-se

refletir sobre o que ensinar, para quem ensinar, para que ensinar, e, portanto, como

ensinar.

Pode-se notar, pela prática pedagógica do primeiro autor deste, e pelos vários tipos

de avaliação de desempenho escolar aplicados, tanto em nível nacional ou

internacional, que os alunos, em sua maioria, apresentam um baixo nível de

aproveitamento na disciplina de Matemática, em todos os níveis de escolaridade

avaliados. Em geral, eles consideram a Matemática uma disciplina difícil de ser

assimilada.

Em nível internacional, pode-se apontar o PISA (Programa Internacional de

Avaliação de Alunos), exame feito pela Organização para Cooperação e

Desenvolvimento Econômico (OCDE), indicando o Brasil como um dos piores

desempenhos em leitura e Matemática.

Em nível nacional, há diversos tipos de exames utilizados para avaliar o

desempenho escolar. Entre eles, pode-se citar: Sistema Nacional de Avaliação da

Educação Básica (SAEB) criado no início de 1988 e sistematizado em 1990,

aplicado a cada 2 anos numa amostra de escolas públicas e privadas de ensino

fundamental e Médio; Exame Nacional de Ensino Médio (ENEM), em que se avalia

o aluno e não o sistema (inicialmente uma auto -avaliação do aluno, hoje um grande

vestibular que pauta o Ensino Médio), é realizado anualmente e sua pontuação é

utilizada junto com a nota de vestibular para o ingresso nas Universidades e

Faculdades em todo o país; Exame Nacional de Desempenho de Estudantes

(ENADE) que integra o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Superior

(SINAES); Prova Brasil e Provinha Brasil aplicada pelo INEP, além de outros

sistemas utilizados em vários Estados brasileiros, como Saresp, Simave, Saego,

Spaece e Saepo.

Pode-se observar que esses exames apontam resultados preocupantes sobre o

processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Quais seriam as causas desse

problema? Ao utilizar a metodologia de aulas expositivas e aplicar uma avaliação no

modelo formal (prova), o professor de Matemática consegue que todos os seus

alunos demonstrem os conhecimentos que construíram durante as aulas? O que o

professor faz pelos alunos que não atingiram os objetivos almejados nesta avaliação

formal?

Ao refletir sobre essas indagações, por meio de leituras e conversas com os

colegas da área, considera-se necessário mudar a abordagem adotada em sala de

aula, tanto no decorrer do processo de ensino e aprendizagem, como no processo

avaliativo. Para dar início a esse processo de mudança, o projeto que deu origem a

este artigo teve como objetivo principal, por meio da utilização da metodologia

Resolução de Problemas e de um instrumento de avaliação que compreende três

fases, auxiliar os alunos de uma turma de Ensino Médio a amenizar ou superar as

suas dificuldades em Matemática. Mais especificamente, pretendeu-se: a) utilizar a

metodologia Resolução de Problemas no processo ensino-aprendizagem, no intuito

de propiciar a construção do conhecimento do aluno de forma mais significativa; b)

identificar, pelas situações-problema apresentadas e pelas fases da prova, quais os

conceitos em que os alunos apresentam maior dificuldade na temática trabalhada; c)

incentivar o envolvimento dos alunos nas tarefas propostas, bem como no trabalho

em grupo; e d) demonstrar que o aproveitamento dos alunos, diante de um

conhecimento trabalhado pelo professor, pode melhorar de acordo com as

oportunidades dadas a eles no processo ensino-aprendizagem e, principalmente, no

processo avaliativo.

A implementação do Projeto utilizou como apoio o Material Didático Pedagógico

produzido pelo professor no 1º ano do PDE, o qual contém textos de fundamentação

teórico-metodológica, uma sequência de atividades e situações-problema que

envolvem o conteúdo Função do 2º grau ou Função Quadrática (Gráfico da Função,

Raízes ou Zeros da Função, Interpretação Gráfica, Vértice e eixo de simetria,

Conjunto Imagem e o Estudo do sinal de uma Função Quadrática).

No segundo semestre de 2011, o professor teve a oportunidade de apresentar o

projeto e o Material Didático Pedagógico produzido a um grupo de professores de

Matemática da Rede Estadual de Ensino, por meio do Grupo de Trabalho em Rede

(GTR) on line. O GTR constitui uma atividade do PDE, que tem como objetivo a

interação virtual entre os professores da Rede Pública Estadual, possibilitando

novas alternativas de formação continuada para estes. A interação ocorre por meio

de fóruns e diários, nos fóruns, os participantes contribuem com perguntas

propostas pelo professor PDE e se interagem com outros cursistas; e nos diários,

eles respondem à questão sugerida pelo professor PDE.

Com estas ações, e ainda outras que foram oportunas no decorrer do Programa,

acredita-se estar otimizando os processos de ensinar e aprender Matemática,

colaborando com o sucesso dos alunos, do primeiro autor deste, assim como de

outros professores, por meio das reflexões e da diversidade de situações didáticas

apresentadas.

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 Matemática formativa e informativa

Se conduzisse-se uma pesquisa a fim de saber as razões pelas quais a Matemática

faz parte do currículo escolar, provavelmente se chegaria a três categorias de

respostas: a) a função da Matemática é desenvolver o raciocínio, b) a Matemática

precisa ser ensinada e aprendida porque está presente na vida cotidiana e c) a

Matemática é ferramenta para as demais ciências.

É necessário observar que as razões pelas quais a Matemática foi incluída no

currículo escolar não ocorreram de qualquer forma e nem recentemente, mas

decorrem de paradigmas, que estão umbilicalmente ligadas a correntes filosóficas

que remetem à antiguidade.

A crença de que a Matemática desenvolve o raciocínio lógico é associada ao

primeiro paradigma e se sustenta filosoficamente nas ideias de Platão (427-347

a.C), para quem o mundo real era constituído de aparências. Para ele, existia um

mundo de formas ou ideias onde estariam os modelos ideais dos objetos do mundo

físico ou das situações que o homem deveria se esforçar para alcançar

(PAVANELLO e NOGUEIRA, 2006, p. 33). Nessa crença, pode-se observar que é

valorizado o mundo das ideias e das formas, para que assim o homem consiga, pelo

seu esforço, atingir seus objetivos.

Em relação à justificativa de que a Matemática está presente no cotidiano e leva a

aplicações na vida prática, fundamenta-se em Aristóteles (384-322 a.C), cujo ponto

de vista se contrapõe ao de Platão, por considerar que a Matemática seria

constituída de construções elaboradas pelos Matemáticos a partir da percepção do

mundo real. Dessa maneira, as verdades matemáticas poderiam ser comprovadas

mediante experiências no mundo real (PAVANELLO e NOGUEIRA, 2006, p.33).

No que se refere à Matemática como ferramenta para as outras ciências, a ideia

baseia-se em Descartes (1506-1650), para quem a Matemática era condição para o

desenvolvimento de qualquer ramo do conhecimento, de tal modo que, sem a

Matemática, as demais ciências não seriam possíveis (PAVANELLO e NOGUEIRA,

2005. p. 33). Segundo essa vertente, a existência de outras ciências só é possível

graças a Matemática, que pode ser considerada como a origem, o ramo de todas as

outras ciências.

As justificativas discutidas podem ser sintetizadas em dois outros aspectos

igualmente importantes, apontados como objetivos da Matemática escolar: “ser parte

da educação geral, preparando o indivíduo para a cidadania e servir de base para

uma carreira em ciência e tecnologia” (D´AMBROSIO, 2004). Ou, como diz Santaló

(1996, p. 25), “a matemática tem um valor formativo que ajuda a estruturar todo o

pensamento e agilizar o raciocínio dedutivo, porém é uma ferramenta que serve para

a atuação diária e para muitas tarefas específicas de todas as atividades laborais”

(PAVANELLO e NOGUEIRA, 2006, p. 31).

A escola tem se baseado tradicionalmente na Matemática informativa, em

conhecimento e saberes, buscando somente objetivos específicos para cada

conteúdo previsto nos programas de ensino. Ao citar a Matemática formativa, volta-

se a atenção para o desenvolvimento do pensamento, que mesmo não estando

desvinculado dos conteúdos não pode ser reduzido a ele. Enquanto a Matemática

informativa se resume ao conhecimento pronto e acabado, a formativa preocupa-se

com o processo de construção do conhecimento, envolvendo a Matemática

propriamente dita. Dessa forma, a Matemática formativa dá importância ao cultivo de

atitudes matemáticas, tais como: estabelecer relações entre objetos matemáticos e

formular conjecturas, testá-las e prová-las, se for o caso.

Nesse sentido, pensando no processo ensino-aprendizagem de Matemática,

Pavanello e Nogueira, (2006, p.38) sugerem algumas atitudes que devem ser

cultivadas pelo aluno, com a orientação do professor, quando se pensa em

Matemática formativa. São elas:

- Partir de situações-problemas internas ou externas à Matemática;

- Analisar as situações;

- Pesquisar as situações;

- Pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução de problemas;

- Elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las;

- Refinar as conjecturas;

- Perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;

- Sistematizar o conhecimento construído a partir de solução encontrada;

generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições particulares;

- Submeter os resultados obtidos à comunidade, utilizando, para isso, uma

linguagem adequada; e

- Argumentar a favor ou contra os resultados.

Pavanello e Nogueira (2006, p. 38) ainda nos sugerem que, ao introduzir uma

atividade, o professor deve fazer uma seleção das informações captadas, utilizando

apenas o que é realmente importante, de forma que a atividade não atrapalhe no

cumprimento de outras atividades didáticas. Para isso, existem indicadores que,

segundo VERGANI apud Pavanello e Nogueira (2006, P. 38), podem nortear a

observação pelo professor, entre os quais poderiam ser citados:

- O interesse com que o aluno se entrega as atividades Matemáticas;

- A confiança que tem em suas possibilidades;

- Sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas;

- Se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas de pesquisa;

- Se avalia criteriosamente a adequação do processo que adotou ou a solução que

encontrou;

- Se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e de organizar o seu

trabalho;

- Se pede ajuda em caso de dúvida ou falta de conhecimento; e

- Se comunica suas dificuldades e descoberta aos colegas, de maneira adequada.

Entretanto, essas atitudes somente serão cultivadas pelo aluno se as práticas

pedagógicas não estiverem centradas na exposição e reprodução de conteúdos que

só privilegiam a memorização e não o desenvolvimento do pensamento. Estudos de

pesquisadores exemplificam metodologias de ensino que privilegiam o

desenvolvimento do pensamento matemático e atitudes positivas com relação à

Matemática. Entre essas metodologias, pode-se citar a de Resolução de Problemas

(ONUCHIC, 1999 a 2005), investigações matemáticas (PONTE e outros, 2003) e

Modelagem Matemática (BASSANEZI, 2002).

2.2 Avaliação no contexto escolar

A avaliação não é uma criação da escola, mas sim um ato natural do ser humano e

nossa sociedade a utiliza como um instrumento que ajusta e regula as relações

entre indivíduos de um mesmo grupo, ou até de grupos diferente.

Segundo Pavanello e Nogueira (2006, p. 71):

[...] poucos educadores e educandos possuem consciência de que a avaliação é um processo contínuo e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam constantemente, nas mais diversas situações, diante da necessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as mais complexas.

O ser humano, desde a sua concepção, já começa a ser avaliado, demonstrando

que o processo de avaliação é inerente e próprio do ser humano, que, por meio de

procedimentos de verificação de ações e da análise destes, consegue tomar

decisões para atingir um determinado objetivo.

No campo educacional ou escolar, encontra-se a seguinte definição de avaliação,

proposta por Hadji (1994):

[uma] operação particular da realidade: operação pela qual tomamos posição, nos pronunciamos sobre uma dada realidade à luz de uma grelha de leitura que exprime, em relação a essa realidade, determinadas exigências; o momento de confrontar-projetar/ resultados (BURIASCO, FERREIRA e CIANI, 2009, p. 71).

Mas por que se avalia? Segundo Hadji (1994) apud Pavanello e Nogueira (2006, p.

72) avalia-se por três razões (desejos) principais:

- conferir medidas com os respectivos padrões e situar objetivamente, estimar ou

suscitar o desempenho ou eficácia, tal como um especialista;

- apreciar uma realidade em relação às normas e valores pré-definidos. Emissão de

ato julgamento, tal como um juiz;

- ampliar o horizonte de compreensão, por meio da construção de um sistema de

interpretação (referente) próprio para torná-lo inteligível, como uma recusa a um

referente pré-determinado, tal como um filósofo.

Nos três casos apresentados, pode-se observar que a avaliação está em função de

uma ação melhorada, que busca ampliar a visão de um determinado conhecimento.

Não aceitam-se hipóteses pré-determinadas, mas buscam-se interpretações e

soluções que possam melhorar a construção desse conhecimento. Segundo Luckesi

(1998, p.168), “a avaliação é uma forma de tomar consciência sobre o significado da

ação na construção do desejo que lhe deu origem”.

Não há duvidas de que a avaliação escolar é essencial e que a prática pedagógica é

inseparável desta, pois, é por meio dela, que o professor pode fazer o

acompanhamento do desenvolvimento dos seus alunos e verificar se o seu

progresso está acontecendo de acordo com suas expectativas ou se há necessidade

de repensar sua ação pedagógica. Em relação ao aluno, a avaliação possibilitará

que ele saiba de que forma está se desenvolvendo do ponto de vista do professor,

além de saber se há lacunas no seu aprendizado, nos quais ele precisa atentar.

Dessa forma, no processo ensino-aprendizagem, não somente o aluno, mas o

professor também acaba sendo avaliado.

Buriasco (2002, p. 259) nos diz que “A avaliação como parte integrante das

atividades escolares possui várias funções. Uma delas tem sido pouco evidenciada

– a avaliação como reguladora do processo de ensino e aprendizagem”.

Pensando assim, percebe-se que existe uma ligação entre o ato de avaliar e o de

aprender, eles estão interligados e são interdependentes, um sendo reflexo do outro,

pois o resultado da avaliação está diretamente relacionado à forma de ensinar.

Diversas publicações (DE LANGE, 1987; NCTM, 1989/1991; LEAL, 1992; NCTM,

1995/1999; DE LANGE e VAHAGE, 1997), destacam princípios orientadores que

devem orientar a avaliação da aprendizagem em Educação Matemática. Mesmo

fazendo uso de denominações distintas para alguns princípios, é comum descobrir

interações entre eles.

Segundo Leal (1992) apud Menino e Santos, (2011, p.2), que retoma as ideias

principais apresentadas por De Lange (1987), a avaliação deve estar de acordo com

esses princípios:

a) Princípio da coerência - a avaliação deve estar em consonância com os três componentes do currículo: objetivos, conteúdos e metodologias;

b) Princípio da integração - a avaliação é vista como parte integrante da aprendizagem;

c) Princípio do caráter positivo - a avaliação deve dirigir-se para aquilo que o aluno melhor sabe fazer;

d) Princípio da generalidade - por um lado, a avaliação deve dirigir-se a objetivos gerais de ensino, ao mesmo tempo que o aluno deve ser visto como um todo e não como um elemento dentro do coletivo. Por outro, a escolha de uma forma ou instrumento de avaliação não deve ser feita em função da sua adequabilidade a uma classificação quantitativa, mas sim aos fins para os quais foi pensada;

e) Princípio da diversibilidade - na avaliação o professor deve recorrer a múltiplas fontes de evidência do desempenho do aluno, permitindo dar resposta às características pessoais dos alunos;

f) Princípio da postura - a avaliação deve acontecer num ambiente em que a confiança e a clareza imperem e em que as críticas e sugestões sejam entendidas como naturais.

Em síntese, é fundamental que a avaliação guiada promova a aprendizagem para

fazer a regulação do ensino do professor e da aprendizagem dos alunos, portanto,

deve ser um processo participativo e transparente, “concomitantemente deve

aparecer de maneira integrada com as práticas curriculares, auxiliando na sua

própria construção”.

Vários artigos sobre avaliação em Matemática apontam que esta deve acontecer

simultaneamente ao processo de ensino-aprendizagem, (APM, 1988; DEB 2001;

NCTM, 1985, 1991, 2009), destacando um novo entendimento daquilo que deve ser

dado valor nessa disciplina. Deixa-se de lado a importância dada à compreensão de

conceitos e rotinas de cálculos, em um ensino expositivo e sem senso crítico e

propondo um ensino que tenha como centro a resolução de problemas, para que

haja compreensão de um mundo significativo para aqueles que estão aprendendo,

em aula onde se descobre, discute e faz Matemática (MENINO e SANTOS, 2011, p.

1). Tudo isso para tornar o ensino de Matemática mais agradável e significativo para

os alunos.

As publicações do National Council of Teacher of Mathematics (NTCM, 1991, 1999,

2000) indicam que deve haver uma diversificação de técnicas e instrumentos na

avaliação de desempenho dos alunos, sugerindo a utilização de observação,

entrevistas, tarefas abertas, problemas, investigações, portfólios e testes com

diferentes características. A utilização de instrumentos variados e a integração entre

eles permitem a existência de uma avaliação mais coerente com o processo ensino-

aprendizagem, além de permitir ao aluno reunir um conjunto de evidências daquilo

que melhor consegue fazer em diferentes tarefas e em variados contextos de

trabalho (MENINO e SANTOS, 2011, p.1-2, adaptado).

Dessa maneira, nota-se que quanto mais diversificado ocorrer o processo de

avaliação, quanto maior o número de instrumentos utilizados, haverá maior

coerência no processo ensino-aprendizagem.

2.3 Avaliação Matemática e fracasso escolar

Observando a maioria das escolas em nosso país, pode-se perceber que o processo

avaliativo é baseado na aplicação de uma prova ou teste escrito, convertendo as

respostas de cada aluno em um determinado valor numérico, considerando-se que,

com isso, tenha sido cumprido o processo de medir e classificar de forma

adequada os alunos. Ou seja, geralmente a avaliação é considerada como a última

etapa de verificação de um conjunto de ações, cujo objetivo é determinar o melhor e

o pior, o vencedor e o perdedor, o aprovado e o reprovado.

Dessa forma, a avaliação como uma prática social, atualmente, na maioria das

escolas, baseia-se em uma atividade de classificação, hierarquização, seleção e

exclusão de alunos.

De acordo com Santos, (2009, p. 6):

Embora nas últimas décadas várias pesquisas e projetos educacionais apresentam abordagens metodológicas que estimulam uma mudança na prática pedagógica e no processo avaliativo, prevalece, em nossas escolas, uma avaliação que valoriza a memorização e reprodução dos conhecimentos desenvolvidos. Na maioria dos casos ela é efetuada, por meio de provas bimestrais nas quais o elemento de maior relevância é o resultado, cujo valor se traduz em uma classificação, estimulante para os poucos que se destacaram e humilhante para os que não alcançaram o êxito desejado.

Nota-se, assim, que a avaliação continua funcionando como um instrumento de

disciplina e classificação. Seguindo este pensamento, Buriasco (2002, p.1) nos diz

que:

[...] nas escolas, na maioria das vezes, a avaliação tem sido usada para dar nota ao aluno, e como tal, parece ter se transformado em instrumento para disciplinar a turma. É o braço autoritário do professor que mais atinge o aluno. Por conseguinte, a avaliação se desvia de sua função diagnóstica e volta-se, quase que exclusivamente, para a função classificatória, que é incentivada pelo

modo de vida de uma sociedade que valoriza a competição (SANTOS, 2009, p. 6; 7).

Especificamente na prática pedagógica da Matemática, tradicionalmente, a

avaliação tem-se centrado nos conhecimentos específicos e na contagem de erros.

Consiste numa avaliação somatória, que ao selecionar os estudantes, compara-os

entre si e os coloca em um determinado lugar numérico em função do desempenho.

Segundo Santos (2009, p.7), considerar o resultado, não levando em conta todas as

fases que constituíram o processo de construção dos conhecimentos, caracteriza a

avaliação do conhecimento escolar como uma prática extremamente punitiva, que

não serve para diagnosticar os meios necessários para alcançar as metas previstas.

Tal prática reduz a avaliação à simples obtenção do “produto” final.

Para exemplificar essa prática punitiva, cita-se alguns dos jargões utilizados no

cotidiano escolar: “anotem, pois vai cair na prova”, “prestem atenção nesse assunto,

porque semana que vem tem prova”, ”se não ficarem calados vou fazer, uma prova

surpresa”, “já que vocês não param de falar, considero a matéria dada e vai cair na

prova”. Esses, e outros que se equiparam, são indicadores de como a avaliação no

ensino da Matemática tem sido utilizada como instrumento de repressão.

Segundo Luckesi (1998, p.168), “A prática escolar usualmente denominada de

avaliação da aprendizagem pouco tem a ver com avaliação. Ela constitui-se muito

mais de provas/exames do que de avaliação”.

Pode-se notar que o processo de avaliação não acompanhou as mudanças

ocorridas na sociedade, pois apresenta um quadro de estagnação perene e

duradouro, sem notáveis avanços. Ou seja, “hoje se avalia a aprendizagem do aluno

como se avaliava há décadas; usam-se os mesmos instrumentos que se usava no

passado, não mudou praticamente nada, está inerte” (BASSO e HEIN, 2008 apud

BASSO e SANCHEZ, 2009).

Considera-se que, para superar essa prática de avaliação ultrapassada e

empobrecida que almeja apenas resultado demonstrado por total, em favor de uma

prática avaliativa que auxilie para o desenvolvimento do ensino e da aprendizagem,

faz-se necessário questionar: O que significa avaliar?

Para Barlow (2006) apud Santos, (2009, p.7) “avaliar é emitir um julgamento preciso

ou não sobre algo justificável ou não, depois de ter efetuado ou não uma medição”.

Essas palavras apontam as contradições existentes no termo avaliar, quando faz-se

a sua associação nos mais diversos setores das atividades que são desenvolvidas

pela nossa sociedade.

Até que ponto medir pode ser vinculado à ação de avaliar? De acordo com Hadji

(1994), apud Santos, (2009, p.7), medir

[...] é apreender um objeto físico, ao adotar dimensão considerada de uma escala numérica [...]. Uma medição traduz-se em números, uma avaliação por meio de palavras.. Avaliar é situarmo-nos, de corpo inteiro, na esfera da comunicação ao produzirmos um discurso que dê uma resposta argumentativa a uma questão de valor. Uma primeira regra fundamental para quem avalia é, pois, a de entregar uma mensagem que tenha sentido para aqueles que a recebem.

Compreender o ato de avaliar como uma forma de comunicação talvez seja um

caminho para aproximar seu conceito da prática escolar, visto que, ora o aluno, ora

o professor são emissores de mensagens ou receptores destas que, decodificadas

de forma dialógica, tornam fecundo e promissor o processo de aprendizagem

(SANTOS, 2009, p.8-adaptado).

Entretanto, no espaço escolar, há predominância de um monólogo em que o

professor, após analisar as tarefas efetuadas pelos alunos, expõe seus resultados

por meio de nota ou conceito que, ao final de uma etapa, poderá servir para aprová-

los ou reprová-los. Para Luckesi (1998, p.66), isso configura-se como verificação e

não como avaliação.

Ainda segundo Luckesi (1998, p.75-76),

[...] o termo verificar provém etimologicamente do latim – verum-facere-e significa “fazer verdadeiro”. Contudo, o conceito verificação emerge de determinações da conduta de, intencionalmente buscar “ver se algo é isso mesmo...”, investigar a verdade de alguma coisa. O processo de verificar configura-se pela observação, obtenção, análise e síntese dos dados ou das informações que delimitam o objeto ou ato com o qual se está trabalhando. [...] Por si, a verificação não implica que o sujeito retire dela conseqüências novas e significativas. [...] O termo avaliar também tem sua origem no latim, provindo da composição a-valere, que quer dizer “dar valor a”. Porém o conceito avaliação é formulado à partir das determinações da conduta de atribuir um valor ou qualidade a alguma coisa, ato ou curso de ação...” [...] Isto quer dizer que o ato de avaliar não se

encerra na configuração de valor ou qualidade atribuídos ao objeto em questão, exigindo uma tomada de posição favorável ou desfavorável ao objeto de avaliação, com uma consequente decisão de ação [...].

Isso demonstra que a avaliação pode se efetivar por meio da investigação, da

verificação, da observação, da obtenção, análise e síntese de dados ou informações

que compõem o objeto de estudo. Na avaliação, dá-se um valor quantitativo ou

qualitativo ao objeto, sem com isso dizer que o ato de avaliar termina na

determinação de valor ou de uma qualidade atribuída ao objeto, mas necessita de

uma tomada de decisão que seja favorável ou não em relação ao objeto avaliado,

isto quer dizer deve haver uma tomada de decisão.

Dessa forma, pensa-se que cabe ao professor, como mediador do processo ensino-

aprendizagem-avaliação, tomar decisões e medidas para intervir e melhorar este

processo. Uma tomada de decisão que exige definir os critérios, os fins principais, os

instrumentos, as funções e consequentes estratégias a serem adotadas mediante

aplicações de uma avaliação.

Diz-se isso porque entende-se que, se tratados com naturalidade, os erros começam

a desempenhar uma importância pedagógica, passando a ter um papel

profundamente construtivo, não fazendo com que o aluno tenha um sentimento de

fracasso, mas possibilitando-lhe um instrumento de compreensão de si próprio,

dando-lhe motivação para superar os obstáculos do sucesso para o seu futuro

pessoal. É por isso que Vergani (1993), apud Pavanello e Nogueira (2006, p. 37),

afirma: “Interessar-se pelo aluno e interessar-se pelos seus erros”. Nessa

perspectiva, os erros não devem apenas ser detectados, mas devem ser motivo

para um trabalho específico do professor com o aluno.

Ao abordar o erro, Fiorentini (2006) apud Santos (2009, p. 13), afirma que

[...] o erro escolar, na verdade, resulta de um esforço dos alunos em participar do processo de aprendizagem produzindo e negociando, a partir de seu mundo e de sua cultura, sentidos e significados sobre o que ensina e aprende na escola. E, nesse sentido, o erro não poderia ser visto como um mal a ser erradicado, mas como parte do processo de aprender e desenvolver-se intelectualmente.

Corroborando com Fiorentini, pode-se notar que o erro mostra que o aluno buscou

participar do processo de aprendizagem, a partir do seu conhecimento e das suas

limitações. Sendo assim, não pode-se considerar o erro como um mal a ser

erradicado, mas sim como parte do processo.

De acordo com Santos (2009, p. 13),

Reconhecer a importância da análise de erros não significa desconsiderar os acertos, pelo contrário, a análise tanto dos erros como dos acertos pelo professor é essencial para compreensão das competências e limitações dos alunos e para promoção da avaliação da aprendizagem matemática a fim de que os olhos destes seja algo promissor.

Ao conduzir a avaliação com este intuito, segundo Buriasco (2004) apud Santos

(2009, p. 13), a avaliação “[...] pode ser objeto de investigação [...], nesse sentido é

importante que os professores tenham clareza e conhecimento da importância da

análise dos resultados e estratégias desenvolvidos por seus alunos ao procederem

registros em questões da produção didática.

Assim, pode-se verificar que a avaliação passa a ter um papel importante, podendo

ser objeto de investigação. É fundamental que os professores saibam valorizar a

importância da análise dos resultados e as estratégias que foram utilizadas pelos

seus alunos ao registrarem questões da produção didática.

Nesta concepção, de acordo com Esteban (1999, p.14),

[...] avaliação como prática de investigação pode responder à impossibilidade de reduzir os processos ao que é imediatamente observável. Interroga as respostas, indaga sua configuração, procura encontrar as relações que as constituem. Não se satisfaz com a constatação do erro e do acerto, à resposta dada faz novas perguntas. Sobretudo, como prática de investigação, não nega o erro, tampouco lhe atribui um valor negativo. O erro é considerado um importante elemento na tentativa de compreender a complexidade dos processos e de produzir práticas que incorporem os processos em sua complexidade. O erro dá pistas sobre os conhecimentos, práticos, processos, valores, presentes na relação, pedagógica, embora freqüentemente invisíveis. O erro é portador de conhecimentos, processos lógicos, formas de vida, silenciados e negados pelo pensamento hegemônico. A avaliação, nesta perspectiva, vai desafiando e desfiando o que se mostra para se

encontrar o que se oculta (apud SANTOS, 2009, p. 13).

A avaliação como prática de investigação confronta as respostas buscando

descobrir como elas foram concebidas. Não se aceita apenas o acerto ou erro, sem

fazer ponderações sobre o porquê das suas causas. Considera-se o erro como um

elemento importante na complexidade do processo de ensinar e aprender,

demonstrando que, pelo erro, também pode ocorrer aprendizagem.

Dessa forma, é fundamental que o professor procure conhecer e entender os erros

que os alunos cometem nas atividades propostas, já que, “(...) quando um aluno

comete um erro, ele expressa o caráter incompleto de seu conhecimento” (PINTO,

2000 apud BURIASCO e NAGY SILVA, 2005, p. 501).

Nesse contexto, no qual o erro tem grande importância, tanto para o aluno quanto

para o professor, a avaliação acaba também ganhando novas dimensões, atribuindo

aos resultados encontrados uma característica orientadora.

Percebe-se que os instrumentos de avaliação que o professor utiliza com os alunos,

estão, muitas vezes, relacionados com o que ele vivenciou no seu curso superior.

Assim, entende-se que uma mudança no processo avaliativo se torna difícil, pois os

educadores reproduzem as práticas no seu dia a dia. Isso demonstra que as

mudanças necessárias no processo avaliativo envolvem um repensar de todos os

níveis de ensino.

Se a avaliação na disciplina de Matemática não pode ser apenas uma constatação,

uma aferição, muito menos pode significar aprovação ou reprovação. Ela deve estar

relacionada com o caminho percorrido pelo aluno durante o processo de

aprendizagem (que normalmente é uma construção), considerando seus avanços

como etapas integrantes do processo.

Dessa forma, para que isso ocorra:

- A avaliação deve ser contínua, realizada todo dia, sem ser percebida,

pois ela acontece antes, durante e depois do trabalho pedagógico. A

avaliação na disciplina de Matemática apresenta funções distintas de

acordo com o momento em que é realizada.

- A avaliação em Matemática deve ocorrer utilizando-se inúmeros

instrumentos para obter informações, instrumentos variados para aluno

que também não são homogêneos, não fazendo diferença sejam quais

forem os instrumentos utilizados para avaliar o aluno. Este instrumento

deve comprovar o que foi aprendido pelo aluno e quais as falhas no

processo, tendo como objetivo buscar a melhora sistemática no processo

ensino-aprendizagem e avaliação em Matemática.

- Na disciplina de Matemática, pode-se destacar variados instrumentos de

avaliação em sala de aula com o objetivo de ocorrer à superação da

Inércia, em que se encontra o processo avaliativo utilizado normalmente.

O sucesso ou o fracasso escolar é normalmente relacionado ao resultado verificado

nas práticas avaliativas utilizadas pelos professores.

2.4 Novas perspectivas de avaliação do processo ensino-aprendizagem de

Matemática

Várias questões relacionadas à avaliação da aprendizagem escolar já foram

discutidas na literatura (HADJI, 1994; LUCKESI, 1998; CURY, 1996, 2006; VAN

DEN HEUVEL-PANHOIZEN,1996; GIMENEZ, 1997; SACRISTAN, 1998;

BURIASCO, 1999, 2000, 2002; ESTEBAN, 2002, 2003; BARLOW), portanto, com o

avanço desses estudos , questões novas aparecem e servem de motivação para

investigações (BURIASCO, FERREIRA e CIANI, 2009, p. 73).

Apesar de existirem vários estudos concernentes à avaliação, percebe-se que não

existe um consenso entre os educadores de qual seria o instrumento mais coerente

para ser utilizado no processo ensino-aprendizagem. É, portanto, um dos assuntos

da educação que mais provocam discussões ao se tentar chegar a um denominador

comum entre os educadores.

Em concordância com as Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do

Paraná (DCEs, 2008, p. 43), considera-se que “a avaliação deve se dar ao longo do

processo do ensino-aprendizagem, ancorada em encaminhamentos metodológicos

que abram espaço para a interpretação e discussão, que considerem a relação do

aluno com o conteúdo trabalhado, o significado desse conteúdo e a compreensão

alcançada por ele”.

Segundo Ponte (1997) apud Santos (2009, p. 14), “as práticas de avaliação

Matemática, consideradas como tarefas que favoreçam aprendizagem, não podem

estar vinculadas a um único momento ou forma de avaliar, do mesmo modo somos

injustiçados quando consideramos como algo inalterável um primeiro resultado seja

individual ou coletivo”.

De acordo com as DCEs do Paraná (2008, p.43), algumas questões são

fundamentais para que o professor elabore uma proposta de práticas avaliativas que

indique se o aluno:

- Comunica-se matematicamente, oral ou por escrito (BURIASCO, 2004).

- Participa coletiva e colaborativamente nos trabalhos realizados em

grupos.

- Compreende, por meio da leitura, o problema matemático.

- Elabora um plano que possibilite a solução do problema.

- Encontra meios diversos para a resolução de um problema matemático.

- Realiza o retrospecto da solução de um problema.

Dessa forma, as DCEs (2008, p. 44) também indicam que certas atitudes devem ser

cultivadas pelo aluno sob a orientação do professor e se caracterizam por:

- partir de situações-problema internas ou externas à Matemática;

- pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos

problemas;

- elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las;

- perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;

- sistematizar o conhecimento construído a partir da solução encontrada,

generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições

particulares;

- socializar os resultados obtidos, utilizando, para isso, uma linguagem

adequada;

- argumentar a favor ou contra os resultados (NOGUEIRA e PAVANELLO,

2006).

A partir dessas orientações, existem diversas sugestões de novas perspectivas de

avaliação em Matemática, as quais propõem uma maior participação do aluno no

processo de ensino-aprendizagem-avaliação. Dessa forma o aluno passa a ser um

dos agentes responsáveis pelo seu desempenho, por seu desenvolvimento e por

sua aprendizagem.

Há vários instrumentos de avaliação, propostos pelos teóricos contemporâneos, que

são coerentes com o processo ensino-aprendizagem de Matemática, como por

exemplo: A Produção Escrita, O Relatório, A Observação, O Portfólio, A prova em

duas fases, A prova em três fases. Na implementação do projeto, utilizou-se o

instrumento Prova em três fases, o qual será descrito na seção metodologia.

3 METODOLOGIA

Observa-se, na atualidade, um descontentamento e uma frustração muito grande no

ambiente escolar, na busca constante pela superação do desinteresse de grande

parte dos alunos.

Com o intuito de que os conteúdos matemáticos sejam desenvolvidos para terem

significado, conectando-se com outras áreas e preparadas de forma a dar

oportunidades futuras de sua utilização em situações do dia a dia, as Diretrizes

Curriculares de Matemática do Estado do Paraná (2008, p.63) sugerem a utilização

de Tendências Metodológicas em Educação Matemática, como: Etnomatemática,

Modelagem Matemática, Mídias Tecnológicas, História da Matemática, Investigação

Matemática e Resolução de Problemas.

A opção pela metodologia Resolução de Problemas, neste estudo, justifica-se pela

necessidade que sentiu o professor de trabalhar com uma maneira mais atraente,

funcional e significativa de ensinar e aprender Matemática utilizando problemas

escolares e do cotidiano dos alunos.

Como é sabido, a avaliação continua funcionando como um instrumento de

disciplina e classificação na maioria das escolas. Pensando na possibilidade de

mudar essa realidade, após o trabalho do conteúdo específico utilizando a

Metodologia Resolução, a prova em três fases foi escolhida como uma metodologia

para avaliar o processo ensino-aprendizagem ocorrido na implementação do Projeto

de Intervenção Pedagógica.

3.1 Resolução de Problemas como uma metodologia de trabalho em Educação

Matemática

O que vem a ser um problema matemático?

Os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) (1998, p. 41) definem um problema

matemático como:

Uma situação que demanda a realização de ações ou operações para obter em resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.

Nesta perspectiva, problema matemático é uma situação que utiliza vários tipos de

estratégia e operações para encontrar uma solução que não estará acessível no

início da resolução, mas poderá ser construída no desenvolvimento da resolução.

Segundo Polya (1994, prefácio):

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na solução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade suscetível, poderiam gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, sua marca na mente e no caráter.

Nesse mesmo sentido, para Gazire (1998), citado por Cyrino (2000, p.20), uma

pessoa tem um problema quando “compreende a solução e não encontra uma

solução óbvia imediata; reconhece que a situação exige uma ação (que ou precisa

agir sobre a situação)”. Assim, é no decorrer da execução de uma sequência de

ações que se obtém o resultado.

De acordo com Schoenfeld (1997, apud PARANÁ, 2008, p.36), a Tendência

Resolução de Problemas “possibilita compreender os argumentos matemáticos e

ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser aprendido pelos sujeitos do

processo de ensino-aprendizagem”.

Utilizando-se dessa tendência, as aulas poderão ser mais dinâmicas, não se

prendendo a modelos clássicos, como exposição oral e resolução de atividades. Por

meio da resolução de problemas o aluno perceberá que pode compreender os

conhecimentos matemáticos e utilizá-los em seus argumentos.

Onuchic, comentando sobre o processo ensino-aprendizagem por meio da

Resolução de Problemas, expõe:

Os problemas são importantes não somente como um propósito de

se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo

para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático

começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave

desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como

respostas razoáveis. Um objetivo de se aprender matemática é o

poder ser visto como um movimento do concreto (um problema do

mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica

operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma

classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos)

(ONUCHIC, 1999, p.207).

3.2 A prova em três fases como proposta de avaliação

Esta é uma proposta inovadora utilizada por Santos (2009) em uma pesquisa com

alunos de 8ª série. A seguir, é apresentada a explicação de como deve ser

realizada a intervenção pedagógica. Em um primeiro momento (1ª fase), a prova

deve ser resolvida individualmente e sem o auxílio do professor.

No segundo momento (2ª fase), os alunos formam grupos com três integrantes.

Cada grupo recebe uma das questões da prova com perguntas elaboradas pelo

professor, a partir da análise da resolução das provas da 1ª fase. Pretende-se que

as questões favoreçam a reflexão a respeito das estratégias mais empregadas pelos

alunos. Com o auxílio do professor e consulta ao material de apoio (cadernos e

livros), eles devem resolver as questões propostas. Quando todos concluírem suas

tarefas, cada grupo fará a exposição da resolução da questão, justificando-a por

meio dos conceitos utilizados. Por fim, cada aluno deverá entregar um relatório

sobre a exposição das outras equipes.

No terceiro momento (3ª fase), os alunos, ainda nos mesmos grupos, farão a

correção das provas que fizeram na 2ª fase, agora contendo também os comentários

e indicações do professor. Para essa correção, deve-se utilizar o relatório que foi

feito na 2ª fase.

Conforme Santos (2009, p. 25), adotar uma prova em três fases como instrumento

de avaliação é favorecer para que os alunos superem suas dificuldades por meio da:

• pesquisa com utilização de recursos de apoio;

• ajuda dos colegas;

• orientação do professor que com questionamentos conduz e estimula os

alunos na busca da solução desejada.

Além disso, ela também pode promover o desenvolvimento de atitudes e habilidades

que envolvem: a argumentação oral e escrita de ideias e de conceitos matemáticos,

o companheirismo e a autonomia para refletir e regular a aprendizagem, de modo

que a avaliação seja um momento em que a análise dos erros e acertos promova

uma aprendizagem Matemática mais efetiva.

3.3 Desenvolvimento do Projeto

O Projeto de Intervenção Pedagógica foi implementado pelo professor participante

do PDE com alunos do 1º ano do Ensino Médio (E.M.), do Colégio Estadual James

Patrick Clark – EMFD, no período matutino, na cidade de Terra Rica/PR, no segundo

semestre do ano de 2011.

No transcorrer da Semana Pedagógica, realizada em julho de 2011, o Material

Didático foi apresentado aos professores, à equipe pedagógica e à direção da

escola, procurando compartilhar a proposta de trabalho que foi elaborada durante a

realização do PDE. Esta, utilizaria a Metodologia de Resolução de Problemas no

Ensino da Matemática e seria implementada com os alunos do referido colégio.

Iniciadas as aulas, no segundo semestre de 2011, o Material Didático também foi

apresentado aos alunos do 1º ano do E.M., período matutino, expondo o seu

desenvolvimento e a metodologia a ser utilizada no decorrer do trabalho e na

avaliação. A escolha dos participantes foi realizada por meio de convite a todos os

alunos que estudavam o 1º ano no turno vespertino, que tivessem interesse em

participar do processo de implementação do material didático. Durante a fase de

implementação do Material Didático, verificou-se alguns imprevistos relacionados

ao dia e ao horário de sua realização, devido a outros compromissos assumidos

pelos alunos, contudo, conseguiu-se chegar a um consenso, adequando um horário

que fosse viável a participação de todos os que tivessem interesse em participar do

projeto. Com isso, foi possível cumprir o cronograma estabelecido durante o

programa.

O trabalho foi realizado com 20 alunos, no contraturno, e demandou 32 horas/aulas

para que todas as atividades planejadas fossem trabalhadas.

O Material Didático foi dividido em 4 ações relacionadas com o conteúdo Função do

2º grau ou Quadrática, utilizando a Metodologia Resolução de Problemas:

- 1ª Ação: breve histórico da equação do 2º grau e uso das funções e sua

aplicação prática;

- 2ª Ação: construção de Gráfico da função do 2º grau ou quadrática e

cálculo do vértice;

- 3ª Ação: encontrar as raízes ou zeros da função quadrática e valor

máximo ou mínimo;

- 4ª Ação: estudo dos sinais da função do 2º grau;

- 5ª Ação: relacionada à 1ª fase da prova;

- 6ª Ação: relacionada à 2ª fase da prova;

- 7ª Ação: relacionada à 3ª fase da prova.

A implementação da 1ª ação ocorreu de forma oral e escrita, partindo de várias

situações-problema associadas ao período histórico dos gregos, chineses e

indianos, as quais relacionavam situações que são comuns em nosso cotidiano e

que poderiam ser representadas pelo uso de funções do 2º grau ou quadrática do

tipo (y = ax² + bx + c). O professor procurou instigar os alunos, por meio de

questionamentos relacionados aos termos que não conheciam.

O desenvolvimento da 2ª ação compreendeu-se na construção do gráfico da função

do 2º grau ou quadrática, sendo sua representação por meio de uma curva,

chamada de parábola. Foi determinado o cálculo do vértice da parábola, partindo de

uma situação problema que associava o plano cartesiano e as suas coordenadas

com a latitude e a longitude, relacionando temas geográficos e a criação do Sistema

de Posicionamento Global (GPS). Foi exposto o plano cartesiano com os seus

respectivos quadrantes e a representação de pontos utilizando as respectivas

ordenadas. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões que, para não se

colidirem, são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.

Também se utilizou uma situação problema, para que os alunos percebessem que o

cálculo de área de um terreno pode ser associado ao plano cartesiano, visualizando

a sua utilidade de forma precisa e objetiva.

Na sequência, foi exposto aos alunos que para a construção do gráfico de uma

função do 2º grau do tipo y = ax2 + bx + c no plano cartesiano, pode-se utilizar um

roteiro que facilita o trabalho. Sabendo que um ponto importante para a construção

da parábola é o seu vértice, seguiram-se algumas etapas que favoreceram a sua

construção utilizando como base o cálculo do valor do seu vértice Xv e Yv:

a) Determinar as coordenadas V (Xv, Yv);

b) Construir uma tabela, determinando os valores para a variável x maiores e

menores que Xv;

c) Executar a marcação dos pontos (x, y) no plano cartesiano;

d) Fazer a união desses pontos para construir a parábola;

e) Traçar uma curva que passa por esses pontos, formando uma parábola.

A 3ª ação, relacionada às raízes ou zeros da função quadrática e o cálculo do valor

máximo ou mínimo, foi desenvolvida associando situações do dia a dia dos alunos,

possibilitando que pudessem observar que, de acordo com o valor do discriminante

(Δ) delta, a função poderá apresentar um número diferente de zero ou raízes. Esse

número pode ser determinado e representado pelo cálculo do valor do discriminante

(Δ) delta e do esboço do gráfico. Uma função poderá apresentar 2 raízes diferentes

quando o valor de Δ > 0, apresentar uma única solução ou raiz quando Δ < 0 e não

possuir solução real quando Δ < 0. O valor de máximo e de mínimo da função será

determinado pelo sinal do seu coeficiente a.

O desenvolvimento da 4ª ação, voltada para o estudo dos sinais da função

quadrática ou do 2º grau, ocorreu com a análise do coeficiente a, do valor do

discriminante (Δ) delta e da construção de gráficos, relacionados a funções oriundas

de situações-problemas do cotidiano. Observou-se que, de acordo com a

concavidade da parábola, é possível determinar o estudo dos seus sinais.

Os alunos participaram das atividades, individualmente ou em dupla, fazendo

indagações ao professor e aos colegas para tirar dúvidas sempre que necessário.

Devido ao tempo destinado à implementação do projeto, algumas situações-

problema utilizadas foram impressas e entregues aos alunos; outras foram passadas

no quadro negro pelo professor e transcritas no caderno pelos alunos.

No decorrer de cada ação, também foram trabalhadas algumas atividades

complementares, as quais buscavam instigar os alunos. Algumas dessas atividades

foram resolvidas individualmente, outras em dupla, para proporcionar maior interação entre os alunos, visando à solução do problema proposto.

Em todas as ações, após os alunos concluírem a resolução dos problemas ou das

atividades propostas, as soluções encontradas eram confrontadas e discutidas.

Quando não se chegava a uma solução viável, o professor fazia intervenções,

questionava, buscando subsídios juntos aos alunos para que a solução encontrada

estivesse de acordo com o solicitado no enunciado. Nesse processo, houve troca de

informações, o que propiciou a interação entre professor, aluno e conteúdo. Após

trabalhar as quatro ações planejadas, o professor iniciou a prova em três fases.

Na 5ª ação, relacionada à 1ª fase da prova, os alunos resolveram uma prova

composta de (10) questões dissertativas, em que deveriam responder a todas as

questões apresentadas individualmente, sem auxílio do professor. Essa prova foi

realizada em um período de 3 horas, uma hora a mais do que o esperado.

Na 6ª ação, relacionada à 2ª fase da prova, os alunos se organizaram em equipes

formadas por três integrantes: cada equipe recebeu uma das questões da prova da

1ª fase, contendo perguntas elaboradas pelo professor a partir de sua análise. Os

alunos puderam receber auxílio do professor e de material de apoio (cadernos e

livros) para responderem as perguntas propostas. Respondidas as questões, cada

equipe fez a exposição da sua questão no quadro negro, justificando-a por meio dos

conceitos utilizados. Para concluir esta fase, cada aluno entregou um relatório sobre

a exposição das outras equipes.

Na 7ª e última ação, relacionada à 3ª fase da prova, os alunos permaneceram nas

mesmas equipes da fase anterior. O professor solicitou-lhes que fizessem a correção

das provas realizadas na primeira etapa, agora contendo os comentários e indicações do professor. Para isso, utilizaram o relatório que escreveram na 2ª fase.

4 APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Durante o desenvolvimento da 1ª ação, relacionada ao histórico da equação e

função do 2º grau, o uso das funções e sua aplicação na vida prática, notou-se que

os alunos tinham uma visão superficial dessas informações e que alguns

desconheciam a importância da sua aplicabilidade no cotidiano. Os alunos puderam

observar que a resolução de problemas com equações do 2º grau aparece na

história da Matemática desde a antiguidade, com os babilônios, os egípcios, os

gregos, os hindus e os chineses. Verificou-se que, ao final dessa ação, os alunos

apresentavam uma visão mais elaborada do que é função do 2º grau, estabelecendo

ligação com situações do seu dia a dia.

No decorrer da 2ª ação, referente à construção de gráfico da função do 2º grau ou

quadrática e vértice da parábola, percebeu-se que a utilização das situações-

problema e das etapas propostas aos alunos para construir um gráfico facilitou a

compreensão. Os alunos aprenderam a construir e fazer a leitura de um gráfico.

Uma das maiores dificuldades apresentadas foi em relação à construção do gráfico

da função do 2º grau, que é representada por uma parábola que tem o formato

aproximado de uma curva em forma de U, apresentando um eixo de simetria vertical.

Em princípio, alguns também fizeram confusão em relação ao valor de x e y no par

ordenado, ao fazerem a representação no plano cartesiano. No entanto, essas

dificuldades foram superadas no decorrer da resolução das atividades propostas,

pois os alunos puderam discutir, observar e construir seus gráficos.

Durante a implementação da 3ª ação, relacionada a raízes ou zeros da função

quadrática e valor máximo ou mínimo, uma das principais dificuldades apresentadas

pelos alunos foi a interpretação dos enunciados dos problemas. A leitura foi

realizada pelo professor, que precisou ler o enunciado duas vezes para que os

alunos o compreendessem. Os termos utilizados nos problemas estavam

relacionados com alguns conceitos de tempo e espaço, os quais os alunos

apresentavam dificuldades na sua assimilação. Neste momento do trabalho, o

professor esclareceu os termos desconhecidos, possibilitando melhor interpretação

do enunciado.

Na 4º ação, relacionada ao Estudo dos Sinais da Função do 2º grau, os alunos já

estavam mais confiantes no tocante ao conteúdo. A análise do gráfico tornou-se

simples e objetiva, ocorrendo, assim, o processo ensino-aprendizagem de forma

mais rápida e eficaz.

Na 5ª ação, relacionada à 1ª fase da prova, apesar de alguns alunos encontrarem

dificuldades em algumas das 10 questões, todas foram resolvidas.

A realização da 6ª ação, referente à 2ª fase da prova, foi importante porque houve

grande interação entre os alunos. No momento em que estavam em suas equipes,

ocorreu a troca de ideias na busca pela solução da questão recebida. Quando cada

equipe expôs a sua questão, houve participação efetiva dos outros, a fim de sanar

as possíveis dúvidas que, porventura, ainda tivessem. Cada equipe fez a justificativa

da resolução da sua questão por escrito.

Durante a implementação da 7ª e última etapa, referente à 3ª fase da prova, foram

corrigidas todas as questões da prova da 1ª fase. Para isso, os alunos, em equipe,

utilizaram o relatório que escreveram na 2ª fase. Dessa forma, constatou-se que

todas as dúvidas existentes foram sanadas. Os resultados obtidos nesta ação

demonstram a viabilidade deste tipo de avaliação, que envolve a interação entre os

alunos e a discussão das questões propostas em várias oportunidades.

Os resultados obtidos com os alunos, de forma geral, podem ser considerados

positivos, pois atingiram os objetivos propostos. No transcorrer da implementação do

material didático, ocorreram algumas dificuldades, principalmente de interpretação

dos dados de alguns problemas propostos, os quais foram superados a partir do

momento em que os alunos conseguiram associar a situação problema com o seu

cotidiano. Algumas atividades tiveram que ser adequadas, para facilitar a sua

compreensão e assimilação, especialmente aquelas que relacionavam área,

perímetro e volume, visando a favorecer a compreensão e a efetivação do processo

ensino-aprendizagem.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Resolução de Problemas sempre foi uma alternativa metodológica coerente no

ensino-aprendizagem da disciplina de Matemática, pois, por meio dela, o professor

faz o papel de problematizador, que instiga os alunos a terem dúvidas a fim de

desenvolver o pensamento heurístico, para que possam refletir, questionar, ousar e

criar maneiras de solução.

A utilização da Metodologia de Resolução de Problemas foi de suma importância,

os alunos gostaram da sua utilização, por terem questões associadas a fatos do seu

cotidiano. Apesar de alguns encontrarem dificuldades no início, principalmente com

a leitura e interpretação do enunciado, a aprovação dessa metodologia foi geral. Os

alunos mencionaram que ela facilita a compreensão, pois relaciona fatos da vida

diária ao conteúdo em estudo, contribuindo para assimilação e favorecendo o

processo ensino-aprendizagem.

A realização desse trabalho permite sugerir, como fazem outros autores (DANTE,

2010; ONUCHIC, 1999; SMOLE e DINIZ, 2001), que a utilização da Metodologia

Resolução de Problemas no Ensino da Matemática é eficaz, tendo em vista que os

alunos participantes tornaram-se mais críticos. Eles passaram a ter uma visão mais

abrangente do conhecimento, fazendo associação dos conteúdos com situações do

seu cotidiano, percebendo que o estudo da Matemática tem um sentido e que a

resolução de um determinado problema pode ser feita de inúmeras formas, ou seja,

há vários caminhos para se chegar a uma solução.

A prova em três fases ainda é recente, pouco conhecida pelos professores. No

entanto, pelo trabalho desenvolvido neste projeto, os resultados obtidos foram

significativos e mostraram que esta pode ser incorporada ao sistema de avaliação

utilizado nas escolas. Trata-se de uma alternativa viável, significativa para o

educando e que contribui para o processo de avaliação diagnóstica, pois

proporciona o repensar e a discussão dos conteúdos que ainda não estavam

totalmente compreendidos.

Os resultados obtidos com essa prova foram fundamentais, pois os alunos tiveram

vários momentos para verificarem quais partes dos conteúdos estavam com

dificuldades e corrigirem seus “erros”. Relatou-se que houve espaço para,

individualmente ou em duplas, debater as questões, realizando a sua correção,

proporcionando a sistematização do processo ensino-aprendizagem.

Durante a realização do projeto, os alunos apresentaram dificuldades em conceitos

relacionados ao sistema de medidas, como comprimento, área e volume. Essas

dificuldades puderam ser superadas com a resolução das situações-problema.

O Material Didático produzido recebeu interações à distância de alguns professores

da Rede Pública Estadual de Ensino. O Grupo de trabalho em Rede (GTR) foi

indispensável, pois os professores tiveram a oportunidade de analisar, refletir e

discutir sobre o material produzido, além de dar sugestões de atividades. A

socialização e a discussão das produções e atividades desenvolvidas neste projeto,

permitiu avaliar de forma positiva a relevância e viabilidade deste para a realidade

da escola pública.

Com as discussões proporcionadas pelo GTR e depoimentos de professores

cursistas, percebeu-se que a utilização da metodologia Resolução de Problemas,

associada à prova em três fases, realmente demonstra uma alternativa a ser

inserida no processo ensino-aprendizagem. Destaca-se que alguns cursistas

utilizaram esse modelo de avaliação com os seus alunos e gostaram do resultado

obtido, afirmando que ela possibilitou maior participação na discussão das possíveis

alternativas de soluções dos problemas propostos.

A participação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE foi de extrema

importância para o primeiro autor deste artigo, pois possibilitou uma visão diferente

de tudo o que havia vivenciado. Observou-se que mudança de postura na prática

pedagógica do dia a dia é possível e contribui para o aprendizado dos alunos,

principal objetivo de todo educador.

Considera-se que o projeto atingiu o seu objetivo, que foi mostrar a importância da

utilização de uma metodologia de ensino-aprendizagem e de avaliação que visem ao

pensar, ao uso do raciocínio e principalmente à utilização de conhecimentos

previamente construídos, contribuindo para que alguns dos alunos do 1º ano do

Ensino Médio superassem as suas dificuldades em Matemática. Com este projeto,

os alunos melhoraram sua capacidade de resolver e formular hipóteses, fazer

questionamentos e analisar os resultados obtidos.

6 REFERÊNCIAS:

BRITO, Márcia Regina Ferreira de (org.) Solução de Problemas e a Matemática

Escolar. Campinas: Alínea, 2006.

BURIASCO, R. L. C; FERREIRA, P. E. A; CIANI, A. R. Avaliação como prática de investigação (alguns apontamentos), BOLEMA, Rio Claro SP, Ano 22, nº 33 Disponível em: <http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/ article/view/2959/2440>. Acesso em: 11 mai. 2011.

BURIASCO, R. L. C; NAGGY-SILVA, M. C. Análise da produção escrita em matemática: algumas considerações. Londrina: UEL, 2005.

BURIASCO, R. L. C; Sobre Avaliação em matemática: uma reflexão. Ed. Em

Revista, Belo Horizonte MG, nº 36, dez 2002. Disponível em: <http://www.educa. fcc.org.br/pdf/edur/n36/n36a15.pdf>. Acesso em: 11 mai. 2011.

CYRINO, Márcia Cristina de Costa Trindade. Resolução de Problemas. In: Anais do VI Encontro Paranaense de Educação Matemática Londrina: UEL, 2000.

LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e preposições. São Paulo: Cortez, 1996.

MAKIYAMA, Evandro. Fórmula de Bhaskara. São Paulo, 2011. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matemática/formula-de-bhaskara>. Acesso em: 1 jun. 2011.

MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais / Secretaria de Educação Fundamental.

Brasília, DF: MEC/SEF, 1997.

MENINO, H.; SANTOS, L. Instrumentos de avaliação das aprendizagens em Matemática o uso do relatório escrito, do teste em duas fases e do portfólio no 2º ciclo do Ensino Médio. Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, CIE.

Lisboa, 2011. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/msantos/ Hugomenino.pdf>. Acesso em: 17 mar. 2011.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através de resolução de problemas. In BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999.

PARANÁ, Secretária de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica: matemática. Curitiba: SEED/BEB, 2008.

PAVANELLO, R. M. NOGUEIRA, C. M. I. Avaliação em Matemática: algumas considerações. 2006. Disponível em: <http://www.fcc.org.br/pesquisa/publicacoes/ eal/arquivos/1275/1275.pdf>. Acesso em 16 mar. 2011.

POLYA, George. A arte de resolver de problemas. Rio de Janeiro: Interciência,

1994.

Portal São Francisco. Bhaskara. Porto Alegre, RS. Disponível em:

<http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/bhaskara/bhaskara.php>. Acesso em: 18 jun. 2011.

SANTOS, Maria Cristina Conceição dos. Uma prática avaliativa em matemática. Londrina, 2009. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/ arquivos/1508-6.pdf>. Acesso em: 19 mar. 2011.