av1_ma11_2011

MA11 Numeros, conjuntos e funcoes elementares Prova 1 2011

Questao 1.

Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de agua potavel

permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de agua por dia (e e o que os tripulantes fazem). Apos 12 dias de viagem,

o barco encontra 3 naufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:

(1.0) (a) Quantos litros de agua por dia caberao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?

(1.0) (b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de agua cada um, em quantos dias, no maximo,

sera necessario encontrar uma ilha onde haja agua?

Questao 2.

(1.0) (a) Quais sao os valores de y para os quais existe uma funcao quadratica f : R R tal que f(1) = 3, f(2) = 5 ef(3) = y?

(1.0) (b) Tome y = 9 e determine a funcao quadratica correspondente. Justifique seus argumentos.

Questao 3.

(1.0) (a) Seja f : A B uma funcao. De as definicoes de f(X) e f1(Y ), para X A e Y B. Se f : R R e dadapor f(x) = 2x2 + 3x+ 4, determine os conjuntos f(R) e f1(3).

(1.0) (b) Seja f : A B uma funcao. Prove que f(X Y ) = f(X) f(Y ), quaisquer que sejam X,Y A. De umexemplo em que f(X Y ) 6= f(X) f(Y ).

Questao 4.

(0.5) (a) Se r 6= 0 e um numero racional, prove que r2 e irracional.

(0.5) (b) Dado qualquer numero real > 0, prove que existe um numero irracional tal que 0 < < .

(1.0) (c) Mostre que todo intervalo [a, b], com a < b, contem algum numero irracional.

Questao 5.

Sejam m e n numeros naturais primos entre si.

(1.0) (a) Mostre que mn e equivalente a uma fracao decimal (isto e, com denominador potencia de 10) se, e somente se,

n nao tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.

(1.0) (b) Mostre que se n tem outros fatores primos alem de 2 ou 5 entao a expansao decimal e infinita e, a partir de

um certo ponto, periodica.


Questao 1.

Calcule as seguintes expressoes:

(1,0) (a) logn

[logn

n

n

nn

](1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos e fixada arbitrariamente.

Questao 2.

(Como caracterizar a funcao exponencial a partir da funcao logaritmo.) Seja f : R R uma funcao crescente, talque f(x + y) = f(x) f(y) para quaisquer x, y R. Prove as seguintes afirmacoes:

(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x R e f(1) > 1.

(1,0) (b) Pondo a = f(1), a funcao g : R R definida por g(x) = loga f(x) e linear. (Use o Teorema Fundamental daProporcionalidade.)

(0,5) (c) Para todo x R, g(x) = x, onde g e a funcao definida no item (b).

(0,5) (d) f(x) = ax para todo x R.

Questao 3.

(1,0) (a) 24h apos sua administracao, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% da inicial. Que percentagem

resta 12h apos a administracao? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga

no sangue e exponencial.

(1,0) (b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?

(0,5) (c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual e a quantidade

presente no organismo apos 24h da primeira dose?

Questao 4.

(1,0) (a) Usando as formulas para cos(x + y) e sen(x + y), prove que

tg(x y) = tg(x) tg(y)1 + tg(x) tg(y)

(desde que tg(x y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).

(1,5) (b) Levando em conta que um angulo e maximo num certo intervalo quando sua tangente e maxima, use a formula

acima para resolver o seguinte problema:

Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversario ao longo de uma

reta paralela a` lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam

a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador ve a meta sob angulo maximo quando sua

distancia x ao fundo do campo e igual aab.

ab

x


Questao 1.

(1,0) (a) Prove isto: Se um numero natural nao e o quadrado de um outro numero natural, sua raiz quadrada e irracional.

(1,0) (b) Mostre que

2 +

5 e irracional.

Questao 2.

(2,0) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu

choque com a agua no fundo do poco decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poco. Dar a resposta

em funcao da aceleracao g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a formula s = g2 t2 do espaco percorrido

no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.

Questao 3.

(2,0) Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distancia d = AB em direcao a` base inacessvel de um poste

CD, nota-se (com o auxlio de um teodolito) que os angulos CAD e CBD medem, respectivamente, e

radianos. Qual e a altura do poste CD?

A B C

D

d

Questao 4.

(2,0) Um reservatorio contem uma mistura de agua com sal (uma salmoura), que se mantem homogenea gracas a

um misturador. Num certo momento, sao abertas duas torneiras, com igual capacidade. Uma despeja agua no

reservatorio e a outra escoa. Apos 8 horas de funcionamento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura

reduziu-se a 80% do que era antes que as torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecera

na salmoura apos 24h de abertura das torneiras?

Questao 5.

Considere a funcao f : [1,+) R, definida por f(x) = x3 x2.

(1,0) (a) Defina funcao crescente e prove que f e crescente.

(1,0) (b) Defina funcao ilimitada e prove que f e ilimitada.

MA11 Numeros, conjuntos e funcoes elementares AV1 2012

Questao 1. (2,0) Prove que se a, b, c e d sao numeros racionais tais que a

2 + b

3 = c

2 + d

3 entao a = c e

b = d.

Questao 2. (2,0) Seja f : R R uma funcao crescente tal que, para todo x racional, vale f(x) = ax + b (coma, b R constantes). Prove que se tem f(x) = ax+ b tambem se x for irracional.

Questao 3.

(a) (1,0) Determine uma funcao afim f : R R tal que g : R R, definida por g(x) = | |f(x)| 1|, tenha o graficoabaixo.

(b) (1,0) Expresse g na forma g(x) = A+1|xa1|+2|xa2|+ . . .+n|xan|, para algum n, explicitando os valoresde A, 1, . . . , n.

0-1-2-3

1

2

X

Y

Questao 4. (2,0) Ache uma fracao ordinaria igual ao numero real = 3, 757575 . . .

Questao 5. Considere as seguintes possibilidades a respeito das funcoes afins f, g : R R, em que f(x) = ax+ b eg(x) = cx+ d.

A) f(x) = g(x) para todo x R.

B) f(x) 6= g(x) seja qual for x R.

C) Existe um unico x R tal que f(x) = g(x).

Com essas informacoes,

(i) (1,0) Exprima cada uma das possibilidades acima por meio de relacoes entre os coeficientes a, b, c e d.

(ii) (1,0) Interprete geometricamente cada uma dessas 3 possibilidades usando os graficos de f e g.

MA11 Numeros, conjuntos e funcoes elementares AV2 2012

Questao 1. (2,0) Seja f : R R uma funcao tal que f(0) = 0 e |f(x) f(y)| = |x y| para quaisquer x, y R.Prove que ou f(x) = x para todo x ou entao f(x) = x seja qual for x.

Questao 2. (2,0) Dada a funcao quadratica f(x) = ax2 + bx + c, consideremos as funcoes afins g(x) = mx + t,

onde m e fixo e t sera escolhido convenientemente. Prove que existe uma (unica) escolha de t para a qual a equacao

f(x) = g(x) tem uma, e somente uma, raiz x. Interprete este fato geometricamente em termos dos graficos de f e g.

Questao 3. (2,0) Dados os pontos A = (3, 7), B = (4, 5), C = (5, 5) e D = (5, 3) em R2, determine a funcao afimf(x) = ax+ b cujo grafico contem tres desses pontos.

Questao 4. (2,0) A populacao de uma cultura de bacterias, num ambiente estavel e controlado, e estimada pela

area que ocupa sobre uma superfcie plana. Se, decorridos 20 dias, a populacao duplicou, entao ela ficou 50% maior

(a) antes de 10 dias.

(b) ao completar 10 dias.

(c) apos 10 dias.

Escolha a resposta certa e justifique sua opcao.

Questao 5. (2,0) Dados numeros reais positivos x e y, ache e tais que cosx cos y = 12 cos + 12 cos. Emseguida mostre como (mediante o uso de uma tabela de funcoes trigonometricas) esta igualdade pode ser empregada

para reduzir o produto de dois numeros reais positivos quaisquer a`s operacoes de soma e divisao por 2.

MA11 Numeros e funcoes reais AV3 2012

Questao 1. (2,0) Sejam a, x numeros reais positivos, coma < x. Pondo y = 12 (x +

ax ), prove que

a < y < x.

Questao 2. (2,0) A imagem (ou conjunto de valores) de uma funcao f : R R e o conjunto f(R) cujos elementossao os numeros f(x), onde x e qualquer numero real.

Determine as imagens da funcao afim f : R R, f(x) = rx + s, e da funcao quadratica g : R R, g(x) =ax2 + bx + c. Discuta as possibilidades e justifique suas afirmacoes.

Questao 3. (2,0) Uma torneira leva x horas para encher um tanque, outra leva y horas e uma terceira enche esse

mesmo tanque em z horas. Em quanto tempo as tres juntas encherao o tanque?

Questao 4. (2,0) Uma cultura de bacterias, cuja populacao e medida pela area que ocupa sobre uma superfcie

plana, ficou 64 vezes maior apos 1 ano. Quantas vezes maior ela estava apos 1 trimestre?

Questao 5. (2,0) Seja r o raio da circunferencia sobre a qual estao os vertices do triangulo ABC. Se a e a medida

do lado oposto ao angulo A, prove que sen A = a2r (dica: baixe, do centro da circunferencia, a perpendicular a BC).

Conclua da a Leis dos Senos.

1. Determine se as afirmaes a seguir so verdadeiras ou falsas, justificando adequadamentee em detalhes as suas respostas.

(a) A soma de dois nmeros irracionais um nmero irracional. (pontuao 1,0)

(b) O produto de dois nmeros reais com representao decimal infinita e peridica umnmero real que no possui representao decimal finita. (pontuao 1,0)

2. Da mesma forma que se expressa um nmero real no sistema de numerao decimal, possvel express-lo em um sistema de numerao posicional qualquer, de base N, > 2. Dizemos que um nmero a R est expresso no sistema de base se ele escritona forma:

a = a0 ++n=1

an n

em que a0 Z e os an so dgitos entre 0 e 1.(a) Sejam x e y os nmeros reais cujas representaes no sistema de numerao de base

4 so dadas por 0, 321 e 0, 111 . . ., respectivamente. Determine as representaes dex e de y no sistema decimal. (pontuao 1,0)

(b) Mostre que um nmero racional a = mn R, com m,n Z, n 6= 0 e mdc(m,n) = 1,

possui representao finita no sistema de numerao posicional de base se, e somentese, o denominador n no possui fatores primos que no sejam fatores de . (pontuao1,0)

3. (a) Considere a funo h : [0,+[ R definida por h(x) = x+2x . Usando o fatode que a funo g : [0,+[ R, definida por g(x) = x montona crescente,mostre que h montona crescente. (pontuao 0,5)

(b) Conclua, com base no item anterior, que, a R, a > 0 a equao x = a2xadmite uma nica soluo real. (pontuao 0,5)

(c) Considere a seguinte resoluo para a equaox = 12x :

x = 12x x = 1 22x+ 2x 1 + x = 22x

1 + 2x+ x2 = 8x x2 6x+ 1 = 0 x = 3 22Este mtodo de resoluo est correto? Justifique sua resposta. (pontuao 1,0)

4. Considere a funo p : [1, 5] R definida por:{

3x x2 se 1 6 x < 1||x 2| 1| se 1 6 x 6 5

(a) Faa um esboo do grfico de p. (pontuao 0,5)

(b) Determine todas as solues reais da equao p(x) = 2. (pontuao 0,5)

(c) Determine todos os pontos de mximo e de mnimo locais e absolutos de p. (pontu-ao 0,5)

(d) Faa um esboo do grfico da funo q : [1, 2]] R definida por: q(x) = p(2x+ 1) 2 .5. Considere a funo quadrtica f : R R, f(x) = a x2+ b x+ c, com a > 0. Use a forma

cannica do trinmio de segundo grau y = a (x x0)2 + y0 para mostrar que:(a) (x0, y0) um ponto de mnimo absoluto de f ; (pontuao 1,0)

(b) a reta x = x0 um eixo de simetria vertical do grfico de f . (pontuao 1,0)

AV1-2013

MA11 Nmeros e Funes Reais Avaliao 2

1. [ 2 pontos ] Em cada um dos itens abaixo, d, se possvel, um exemplo de um polinmiop(x) satisfazendo todas as condies dadas.

Caso o exemplo no seja possvel, justifique a sua resposta.

Lembre-se que se p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + an1xn1 + anxn ento

p(x) = a1 + 2a2x+ + (n 1)an1xn2 + nanxn1

(a) p(1) = p(1) = 0, p(0) = 1 e p(x) de grau 2.(b) p(1) = p(1) = 0 e p(0) = 1.(c) p(1) = p(1) = 0, p(0) = 0 e p(x) de grau 2.(d) p(1) = p(1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) de grau 2.(e) p(1) = p(1) = 0, p(0) = p(2) = 1 e p(x) de grau 3.

2. [ 2 pontos ] Um nmero real x0 raiz de multiplicidade k do polinmio p(x) se p(x) =(x x0)kq(x), para algum polinmio q(x), com q(x0) 6= 0.Sugesto para resolver os tens abaixo: Use o fato de que toda funo polinomial umafuno contnua e que "Se f uma funo real contnua e f(x0) 6= 0, ento existe umavizinhana de x0 em que f no se anula".

(a) Mostre que x0 raiz de multiplicidade par de p(x) se, e somente se, existe r > 0 talque p(x) no muda de sinal para x pertencente ao conjunto ]x0 r, x0 + r[ \{x0} ={x R : x0 r < x < x0 + r, x 6= x0}.[ 0,8 ponto ]

(b) Mostre que x0 raiz de multiplicidade mpar de p(x) se, e somente se, existe r > 0 talque o sinal de p(x) para x ]x0r, x0[ oposto ao sinal de p(x) para x ]x0, x0+r[ .[ 0,8 ponto ]

(c) Interprete geometricamente os resultados dos dois tens anteriores.[ 0,4 ponto ]

3. [ 2 pontos ] A massa de certas substncias radioativas decresce a uma taxa proporcional prpria massa. A meia-vida T de uma substncia como essa definida como o tempotranscorrido para que sua massa se reduza metade da inicial. Considere uma substnciaradioativa S que cuja meia-vida de 5.000 anos.

(a) Considere uma massa de m0 = 7 g da substncia S. Qual o tempo transcorridopara a massa se reduza a 1

8da inicial? Este tempo depende da massa inicial m0?

Justifique sua resposta. [ 0,2 ponto ]

(b) Determine a funo m : [ 0,+[ R que d a massa da substncia S, com massainicial m0, em funo do tempo medido em anos. [ 0,8 ponto ]

(c) Use as aproximaes log10(2) = 0, 3 e log10(5) = 0, 7 para determinar uma aproxi-mao para o tempo gasto para a massa da substncia S se reduzir a 10% da inicial.[ 1 ponto ]

2013

4. [ 2 pontos ] Considere uma reta r, um ponto A 6 r e trs pontos B,C,D r, tais que Cest entre B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados so suficientes paradeterminar com certeza as medidas de:

(i) cada um dos lados do tringulo ABC;

(ii) cada um dos ngulos do tringulo ABC.

Justifique rigorosamente as suas respostas.

(a) BC = 1 e BAC = 60;[ 0,5 ponto ]

(b) BC = 1 e ACD = 135;[ 0,5 ponto ]

(c) BC = 1, BAC = 60 e ACD = 135;[ 0,5 ponto ]

(d) BAC = 60 e ACD = 135.[ 0,5 ponto ]

5. [ 2 pontos ] A figura a seguir representa um esboo do grfico da funo g : ]0,+[ Rdefinida por g(x) = sen (log10(x)), feito por um aplicativo computacional. Observe que oaplicativo no conseguiu desenhar em detalhes o que ocorre perto da origem do sistema decoordenadas.

(a)Determine todas as razes da equao g(x) = 0. possvel determinar a menor raiz?

[ 0,6 ponto ]

(b)Faa um esboo do grfico de g na janela grfica 0 < x < 0, 1 e 2 < y < 2.[ 0,7 ponto ]

(c)Considere um sistema de coordenadas xy em que o eixo horizontal x est em escala

logartmica decimal (isto , se x representa um eixo em coordenadas cartesianasconvencionais, ento x = log10 x) e o eixo vertical y est em coordenadas cartesianasconvencionais. Faa um esboo do grfico de g neste sistema, para 104 < x < 104

e 2 < y < 2.[ 0,7 ponto ]

MA11 Nmeros e Funes ReaisAvaliao 3 06 de julho de 2013

1. (1,5 pontos) Determine se as afirmaes a seguir so verdadeiras ou falsas, justificandoadequadamente e em detalhes as suas respostas.

(a) (0,5 ponto) Se f : R R e g : R R so funes montonas crescentes, entoa funo soma f + g : R R, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) montonacrescente.

(b) (0,5 ponto) Se f : R R uma funo limitada superiormente, ento f admite umponto de mximo absoluto.

(c) (0,5 ponto) Se f : R R admite um ponto de mximo local, ento f admite umponto de mximo absoluto.

2. (2,0 pontos) Da mesma forma que se expressa um nmero real no sistema de numeraodecimal, possvel express-lo em um sistema de numerao posicional qualquer, de base N, > 2. Dizemos que um nmero a R est expresso no sistema de base se ele escrito na forma:

a = a0 ++k=1

ak k

em que a0 Z e os ak so dgitos entre 0 e 1 (incluindo-os).(a) (1,0 ponto) Mostre que, se um nmero x R irracional, ento x possui represen-

tao infinita em toda base .

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um nmero x R possui representaoinfinita em toda base , ento x irracional.

3. (2,0 pontos) Considere a funo p1 : R R, p1(x) = (x2 1)2. A figura abaixo mostrao grfico de uma funo p2 : R R na forma p2(x) = c p1(a x b) + d, sendo a, b, c e dconstantes reais. Determine a, b, c e d. Justifique sua resposta.

4. (2,0 pontos) Considere as funes u, v : R R, definidas por u(x) = 2 sen (x) e v(x) =sen (2x).

(a) (1,0 ponto) Determine o maior e menor valores atingidos por u e v.

(b) (1,0 ponto) Esboce os grficos de u e de v.

5. (2,5 pontos) Considere a funo g : R R, g(x) = 21 1x .

(a) (1,0 ponto) Faa um esboo o grfico de g.

(b) (0,75 ponto) Determine todas as solues reais das equaes g(x) = 2 e g(x) = 4.

(c) (0,75 ponto) Resolva a inequao g(x) < 4, para x R.

2

MA11 Nmeros e Funes ReaisAvaliao de Recuperao - MA 1123 de novembro de 2013

1 Determine se as afirmaes a seguir so verdadeiras ou falsas, justificando adequadamente eem detalhes as suas respostas.

a) O produto de dois nmeros irracionais um nmero irracional.(0,5)

b) Se a R no possui representao decimal finita, ento 1atambm no possui represen-

tao decimal finita.(0,5)

c) Se f : R R possui um ponto de mximo em x0 R, ento a funo f 2 : R Rdefinida por f 2(x) = f(x).f(x), x R, tambm possui um ponto de mximo em x0.(0,5)

d) Se a funo f 2 : R R possui um ponto de mnimo em x0 R, ento f : R Rtambm possui um ponto de mnimo em x0.(0,5)

2. Seja f : X Y uma funo injetiva e sejam A,B X.a) Mostre que f(AB) = f(A)f(B). Indique claramente em que ponto da demonstrao

voc usou a hiptese de injetividade. (1,0)

b) A igualdade de conjuntos demonstrada no item anterior continua valendo sem a hiptesede que f injetiva? Justifique sua resposta, com uma demonstrao ou um contra-exemplo.

3. a) Mostre que o nmerop, em que p um nmero natural primo, irracional. (0,5)

b) Mostre que o nmeroa, em que a um natural qualquer, inteiro ou irracional. (1,5)

(Sugesto: Suponha que a seja racional, escreva-o na forma irredutvel a =r

s, r, s N, s 6= 0,

e observe quea satisfaz x2 a = 0)

4. Determine o polinmio p de menor grau possvel que tenha uma raiz dupla em x = 1 e talque p(1) = 2. Justifique sua resposta.

5. (valor 2,0) Certas substncias radioativas decaem a uma taxa proporcional prpria

massa. A meia-vida T de uma substncia radioativa com essa propriedade definida como otempo decorrido at que sua massa reduza-se metade, isto , se a massa de uma substnciacom meia-vida T dada pela funo f : R+ R+, ento f(t+ T ) = 1

2f(t), t > 0.

a) Se a meia-vida de uma substncia radioativa de 1 hora, qual nmero inteiro mnimode horas que deve transcorrer para que sua massa fique menor do que 10% da original? (0,5)

b) Nas condies do tem a), se a massa inicial dessa substncia m0, deduza uma frmulapara sua massa em funo do tempo t > 0. (0,5)

c) Verificou-se que 2 kg de uma substncia radioativa se reduziram a 500 g, depois detranscorridas 3 horas. Qual a meia vida dessa substncia? (0,5)

d) Nas condies do tem c), deduza uma frmula para a massa dessa substncia em funodo tempo t > 0, medido em horas. (0,5)

MA11 Numeros e Funcoes Reais AV1 2014

Questao 1 [ 2,0 pt ]

Sejam A,B,C conjuntos. Prove que

(a) A (B C) = (AB) (A C).

(b) A (B C) = (AB) (A C).

As identidades acima sao versoes para tres conjuntos das leis de De Morgan, em homenagem ao ma-

tematico Augustus De Morgan (1806-1871), um dos pais da logica matematica moderna.


Prove que f : R (1, 1), f(x) = x1 + x2

e uma bijecao.


Prove que log10 2 nao e um numero racional.


Apesar do grau Celsius (C) ser a medida mais usada para a temperatura, alguns pases, como os Estados

Unidos, usam outra medida de temperatura, o grau Fahrenheit (F). Sabendo que os pontos de fusao

e ebulicao da agua sao 0C e 100C, respectivamente, e 32F e 212F, respectivamente, determine uma

funcao afim que relaciona as temperaturas medidas em graus Celsius e graus Fahrenheit.


Considere o conjunto dos numeros racionais diadicos D ={m

2n: m,n Z, n 0

}.

(a) Prove que se a e b sao numeros reais tais que a < b, entao existe d D tal que a < d < b.

(b) A partir do item (a) conclua que em qualquer intervalo (a, b) existem infinitos numeros racionais

diadicos.



Divide-se um arame de comprimento L em duas partes. Uma das partes estara destinada para construir um quadrado

e a outra parte para construir um triangulo equilatero. Qual e o comprimento de cada parte para que a soma das

areas das figuras obtidas seja a menor possvel? E possvel encontrar uma divisao tal que a soma das areas do

quadrado e do triangulo equilatero seja maxima? Justifique.


(a) Usando o fato de que x4 = (x4 + 1) 1, mostre que

x2014 = ((x4 + 1) 1)503 x2 = [(x4 + 1) q(x) + (1)503] x2

para algum polinomio q(x). Conclua que o resto da divisao de x2014 por x4 + 1 e x2.

(b) Determine o resto da divisao do polinomio p(x) = 2x2014 + 15x5 + 9x 2014 pelo polinomio d(x) = x4 + 1.

Sugestao para o item (b): Use o fato que o resto da divisao de p1(x) + p2(x) por d(x) e igual a` soma r1(x) + r2(x)

dos restos r1(x) e r2(x) das divisoes de p1(x) e p2(x) por d(x), respectivamente.


Seja f : R+ R uma funcao crescente tal que f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y R+. Mostre que existea > 0 tal que f(x) = loga x para todo x R+.


Observacoes por longo tempo mostram que, apos perodos de mesma duracao, a populacao de uma cidade fica

multiplicada pelo mesmo fator. Sabendo-se que a populacao de uma cidade era de 750 mil habitantes em 1990 e 1

milhao de habitantes em 2010, calcule:

(a) A populacao estimada para 2020;

(b) Em que ano a populacao da cidade alcancara a marca de 2 milhoes de habitantes?

Observacao: Caso julgue necessario, use as igualdades aproximadas a seguir: ln 4 = 1, 386, ln 3 = 1, 098, e0,144 =

1, 154


Resolva a equacao

arctg

(1 + x

2

)+ arctg

(1 x

2

)=pi

4.



Sejam p e q dois numeros primos distintos.

(a) Mostre quepq e irracional.

(b) Use o item (a) para provar quep +q e irracional.


Sejam X e Y conjuntos arbitrarios e f : X Y uma funcao. Prove que, se A,B X entao(a) f(A B) = f(A) f(B)(b) f(A B) f(A) f(B).(c) De um exemplo para o qual a igualdade de conjuntos no item (b) acima nao ocorre.


Joao tem uma fabrica de sorvetes. Ele vende, em media, 300 caixas de picoles por R$20, 00 cada caixa.

Entretanto, percebeu que, cada vez que diminuia R$1, 00 no preco da caixa, vendia 40 caixas a mais.

Considerando-se apenas valores inteiros de caixas e reais, quanto ele deveria cobrar pela caixa para que

sua receita fosse maxima?


Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicacao. A bula do remedio informava que a meia-vida do

medicamento era de seis horas. Como o paciente nao sabia o significado da palavra meia-vida, foi a um

site de busca e encontrou a seguinte definicao:

Meia-vida: tempo necessario para que uma grandeza (fsica, biologica) atinja metade de seu valor inicial.

(a) Apos 12 horas da ingestao do remedio, qual e a quantidade do remedio ainda presente no organismo?

(b) E apos 3 horas?

(c) Quanto tempo apos a ingestao a quantidade de remedio no organismo e igual a 20 mg?

Caso julge necessario, use os dados

2 = 1, 4, ln 3 = 1, 1 e ln 2 = 0, 7.


(a) Encontre uma expressao para sen 3x como um polinomio de coeficientes inteiros em termos de sen x.

(b) Mostre que sen 10 e raiz de um polinomio com coeficientes inteiros e use este fato para concluir que

sen 10 e irracional.

MA11 Numeros e Funcoes Reais AVF 2014


Mostre que, para todo m > 0, a equacaox + m = x tem exatamente uma raiz.


(a) Seja p um numero primo. Mostre que log10 p e irracional.

(b) Mais geralmente, dado n um numero inteiro positivo, mostre que log10 n e racional se, e

somente se, n e uma potencia de 10.


Seja f : R R a funcao quadratica f(x) = ax2 + bx. Determine as constantes reais a e b de modoque f1({3}) = {1, 3

2} e, em seguida, determine o conjunto imagem de f.


Seja p(x) um polinomio do setimo grau tal que

p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = p(7) = 10.

Sabendo que p(8) = 30, determine p(3).


(a) Mostre que, para qualquer numero real x, vale a identidade(1 x21 + x2

)2+

(2x

1 + x2

)2= 1.

(b) Use o item anterior para mostrar que

cos 2t =1 tg2t1 + tg2t

e sen 2t =2tg t

1 + tg2t.

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMATICA EM REDE NACIONAL

Avaliacao 1 - MA11 - 2015.1

Questao 1 [ 2,0 pts ]

Faca um esboco do conjunto dos pontos do plano tais que

bxc2 + byc2 = 4; x, y R,

onde bxc = max{m Z : m 6 x} representa o maior inteiro menor do que x ou igual a x.


Seja f : R R uma funcao monotona injetiva. Prove que, se o acrescimo f(x+h) f(x) = (h) depender apenasde h, mas nao de x, entao f e uma funcao afim.


Os termos a1, a2, . . . , an de uma progressao aritmetica positiva e crescente sao os valores f(1), f(2), . . . , f(n) de

uma funcao afim.

(a) Mostre que cada ai e igual a` area de um trapezio delimitado pelo grafico de f, pelo eixo OX e pelas retas

verticais de equacoes

x = i 12

e x = i +1

2.

(b) Mostre que a soma S = a1 + a2 + + an e igual a` area do trapezio delimitado pelo grafico de f, pelo eixo OXe pelas retas verticais x =

1

2e x = n +

1

2.

(c) Conclua que S =(a1 + an)n

2.


Dados dois conjuntos A e B, definimos o produto cartesiano de A por B, que denotamos por AB, como sendoo conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que a A e b B, isto e, AB = {(a, b)|a A, b B}.

(a) Determine, justificando, se o conjunto X = {(1, 3), (2, 3), (2, 4)} e um produto cartesiano de dois conjuntos.

(b) Suponha que A e B tenham exatamente 2 e 3 elementos, respectivamente. Quantos subconjuntos nao vazios

de AB sao tambem produtos cartesianos?


Sejam E e F conjuntos com pelo menos 2 elementos e f : E F uma funcao.

(a) Prove que, se f e bijetiva entao f(E\A) = F\f(A), A E.

(b) Reciprocamente, prove que se f(E\A) = F\f(A), A E, A 6= e A 6= E, entao f : E F e bijetiva.

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMATICA EM REDE NACIONAL

Avaliacao 2 - MA11 - 2015.1


Prove que uma funcao do tipo exponencial fica determinada quando se conhecem dois dos seus valores. Mais

precisamente, se f(x) = a bx e F (x) = A Bx, com b, B 6 {0, 1}, a 6= 0 e A 6= 0, sao tais que f(x1) = F (x1)e f(x2) = F (x2) com x1 6= x2 entao a = A e b = B.


Considere a funcao f(x) = ax2 + bx+ c, com a > 0.

(a) Mostre que, se x 6= y, entao f(x+ y

2

) 1.

av1_ma11_2011

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