auxiliar curricular...autor : prof. carmen mihaela minea auxiliar curricular fiȘe de lucru pentru...
TRANSCRIPT
Autor : prof. Carmen Mihaela Minea
AUXILIAR CURRICULAR
FIȘE DE LUCRU
PENTRU
ACTIVITĂȚI REMEDIALE
LA MATEMATICĂ
CLASA a X-a
mai 2020
Cuprins
Fișe de lucru remediale clasa a X-a
1. Puteri cu exponent real
2. Radicali de ordin 2 și 3
3. Logaritmi. Proprietăți
4. Logaritmi; Ecuații logaritmice
5. Funcții injective, surjective, bijective
6. Ecuații iraționale
7. Ecuații exponențiale
8. Ecuații logaritmice
9. Ecuaţii trigonometrice
10. Numere complexe
11. Metoda inducției matematice
12. Permutări, aranjamente , combinări
13. Probleme de numărare
14. Binomul lui Newton
15. Coordonatele unui vector în plan
16. Geometrie analitică
17. Ecuatia dreptei
18. Elemente de calcul financiar
19. Elemente de probabilităţi
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr.1
Puteri cu exponent real
Noțiuni teoretice
Aplicații
Au loc relațiile:
IQRRIRQZN ;;
IRQQRI \;\
Definiție: Se numește puterea cu exponentul
real x a numărului real pozitiv a, numărul
factorix
x aaaaa
.... .
Operație fără sens: 00 .
Formule
a 10 ,(a 0); a 1 = a ; 1 n = 1; 0 n = 0 , (n 0 )
parn
imparnn
,1
,11
mn aa mna
; mn aa : = mna
mna = mna
; nba = nn ba
nba : = n
nnn
b
aba : ,( b 0)
);0(,1
aa
an
n
)2(, maa m nm
n
Compararea puterilor:
1) Scrieți cu ajutorul radicalilor puterile:
.........;2 2
1
.........;5 2
1
.........;6 2
1
.........;132
1
.........;3
4 2
1
.........;
11
5 2
3
.........;
13
9 3
5
2) Scrieți ca puteri:
.........;17 .........;193 .........;34 7
.....;..........16
35
2
....;..........
17
57
3
3) Efectuați:
a) 4,05
4
2
1
2
3
2551255
b)
5
23
2
4
3
)3(,0
192781
4) Comparați:
;2
mn aaa
mn
nn ba
a
n
ba
1
0
;1.....4
32
;1.....3
2
1
;1.....4
32
;1.....123
;6
1.......
6
16
102
7
;12.......12 2
121
5) Ordonați crescător:
;8 ;425 .2 3
6) Care dintre urmatoarele numere este cel mai mare?
A= (-2) · (-2)4
B= [ (−
1
2)4]2
C= 310
38
7) Sa se calculeze :
a)22 · 42 · 82 · ( 𝟏
𝟏𝟔)2 =
b)5-3 · ( 𝟏
𝟓)-3 · 25-3 · (
𝟏
𝟏𝟐𝟓)-3 =
c)( 𝟑
𝟒 ) 100 · (
𝟐
𝟓 ) 200 · (
𝟐𝟓
𝟑 )100 =
d)53 · 152 ·253 · (𝟏
𝟏𝟐𝟓)3 =
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 2
Radicali de ordin 2 și 3
1) Scoateți factorii de sub radicali : 288 = 216 = 432 =
72 = 48 = 150 = 64 = 643
=
320 = 3203 = 24 = 243= 614 =
6143= 1122 = 11223
=
2) Introduceți factorii sub radicali : 2 2 = 2 23
= 5 6 = 5 63 =
2 7 = 2 73= 4 2 = 4 2
3= −2 13 = −2 133 =
3) Calculati a) 50 − 72 + 98 ;
b) 108 + 75 .
4) Calculati a) 2 5 − 3 6 ∙ 2 6 + 3 5 .
b) 5 (4 2 − 3 5) − 2(2 10 + 3)
c) 3 5 − 2 6 (3 5 + 2 6)
d) 7 + 4 3 (7 − 4 3)
5) Comparați 3 5 ș𝑖 5 2 ; 2 3 ș𝑖 7 2
6) Calculati a) 163 + 543
− 1283.
b) 163 −2
43 =
7) Calculati a) 3 7 − 2 3 2 ;
b) 1 + 2 + 5 2 ;
c) 53
+ 2 103 3 .
8) Rationalizati numitorii : a) 11
2 b)
12
2 3 c)
3
3−4
d)2
5− 3 e)
1
2+ 3+1
f) 5
63 − 113
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 3
Logaritmi. Proprietăți
1.
Calculati: a) 2log 128 ; b) 3log 81 ; c) 10log 1000 ; d) 2log 1024 e) 5log 625
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Rezolvare model:
a) Descompunem 128=27 si avem: 7
2 2log 128 log 2
Din definitia logaritmului, log n
a a n . Rezulta 7
2log 2 7 .
2. Calculati:
2 2
4log 5 log
5a ;
2 2
3 8log log
2 3b ; 3 3 3log 2 log 12 log 8c
Rezolvare model:
a) Daca A si B sunt doua numere strict pozitive, atunci
log log loga a aA B A B si log log loga a a
AA B
B
Aplic prima proprietate: 2 2 2 2
4 4log 5 log log 5 log 4 2
5 5a
.
3. Folosind operaţiile cu logaritmi menţionate la exerciţiul 2:
a) Să se arate că 2 2log 6 log 3 Z .
b) Să se arate că numărul 18log48log3log 222 este număr natural.
4. Folosind proprietăţile logaritmilor, să se scrie mai simplu expresiile:
a) log2 8; b) log5 125;
c) log3 93 ;
d) log5 27;
e) log1
4
32 ;
f) log 1
25 5 ;
g) log81
8;
h) log21
16;
i) log 2
1
16;
j) log 33 81
5. Efectuaţi:
a) log0,55
12 – log0,5
80
3 ;
b) log2 5 + log24
5 ;
c) log0,1 50− log0,1 0,5 + lg 10;
d) 2log4 6 + 3 log41
2− 2log4
3
4;
e) 2log3 4− 4 log3 2 ;
f) log 5 18−log 5 2
log 5 3;
g) log 7 32−log 7 2
log 7 4.
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 4
Logaritmi; proprietăți ale logaritmilor ; Ecuații logaritmice
Definiție ,1,log abaxb x
a a>0,b>0; x este
soluția unică a ecuației .ba x
Notații:
....718281,2,lnlog,lglog10 Iebbbb e
Proprietăți:
;1log aa ;01log a ;loglog bcb a
c
a
;log xa x
a ;log
xaxa ;
loglog ac bb ca
;log1
log bm
b aam ;logloglog cbcb aaa
naaana bbbbbb log...loglog)...(log 2121
;logloglog cbc
baaa
Formule pentru schimbarea bazei
;log
1log
ab
b
a ;log
loglogloglog
a
bcbb
c
c
aca
Semnul logaritmului
balog > 0 )1,0(, ba sau ),1(, ba
balog < 0
).1,0();,1(
),1();1,0(
ba
sau
ba
Compararea logaritmilor
0<a<1: balog > calog b < c;
1<a: balog > calog b > c.
1. Stabiliți
domeniul de
definiție al
logaritmilor:
a) );1(log xa
b) );3(log 2 xx
c) ax 52log .
2. Calculați:
a) 27log3
b) 32log2
c) 2log4
d) 25log5
e) 1024log2
f) 1000log10
g) 64
1log2
h) 9
1log3
i) 3ln e
j) 5lne
k) 100lg
l) 01,0lg
m) 16log2
1
n) 7
5
ln e
o) 25,0log4
p) 25,0log2
3. Determinați xR știind că:
a) 1)1(log2 x
b) 2)12(log3 x
c) 2)3(log4 x
d) 2)5(log 2
5 x
e) 2)23(log4 x
f) 6loglog 42 xx
g) 3loglog 93 xx
h) 0loglog 24 xx
i) 216log 1 x
Comparați :
a) 22 şi log2 32 ;
b) 6log 6 10 şi 24 − 6 ;
c) log31
81 şi −81 ⋅ 9
3 ;
d) −643
şi log31
27
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 5
Funcții injective, surjective, bijective
1. Aratati ca functia 𝑓:𝑍 → 𝑍,𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2 𝑛𝑢 este surjectiva .
2. Aratati ca functia 𝑓: (2,∞) → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 6 este injectiva .
3. Aratati ca 𝑓: 2,15 → −1,38 ,𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 7este bijectiva și aflați inversa .
4. Fie functia 𝑓:𝑅 → −5,∞) , 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 4
a) Aratati ca f este surjectiva
b) Aratati ca f nu este injectiva
5. Sa se arate ca functia 𝑓: 0,∞ → 1,3 ,𝑓 𝑥 =𝑥+6
𝑥+2 este inversabila și determinați inversa ei.
6. Fie 𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 4,𝑥 ≤ 35𝑥 − 𝑎, 𝑥 > 3
Determinați a real astfel încât f să fie funcție surjectivă .
7. Aratați că funcția f :𝑍 → 𝑍, 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 nu este surjectivă .
8. Aratați că funcția 𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 − 2 nu este injectivă .
9. Aratați că 𝑓: 1,5 → 6,22 ,𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 2este bijectivă și aflați inversa .
10. Aratați că funcția este bijectivă 𝑓: 2,∞ → 3,∞ ,𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 7
11. Arătați că functia 𝑓: 0,∞ → 1,3 ,𝑓 𝑥 =𝑥+3
𝑥+1 este inversabilă și determinați inversa ei.
12. Fie 𝑓:𝑅 → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 35𝑥 + 𝑎, 𝑥 > 3
Determinați a real astfel încât f să fie funcție injectivă .
13. Să se arate căurmătoarele funcții sunt bijective și să se afle inversele acestora :
a) 𝑓: −∞, 1 → 4, +∞ 𝑓 𝑥 = 5 − 𝑥
b) 𝑓: −∞, 2 → −∞, 10 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 4
c) 𝑓:𝑅{−2} → 𝑅\{3} 𝑓 𝑥 =3𝑥−1
𝑥+2
d) 𝑓:𝑅{4
3} → 𝑅\{2} 𝑓 𝑥 =
6𝑥+1
3𝑥−4
14. Să se studieze injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea funcțiilor :
a) 𝑓:𝑅 → 𝑅 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 ,𝑥 ≤ 0𝑥 + 1 , 𝑥 > 0
b) 𝑓: −1, +∞ → 𝑅 𝑓 𝑥 =
−3𝑥 , 𝑥 ∈ [−1,0]
−𝑥 , 𝑥 ∈ (0,1)−𝑥−1
2 , 𝑥 ∈ [1, +∞)
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 6
Ecuații iraționale
1) Rezolvați ecuațiile iraționale:
1 . 𝑥 − 5 = 2 9. 2𝑥 − 33 = 2 17. 2𝑥 + 3 = 𝑥 + 2
2. 𝑥+ 2 = 3 10. 1− 𝑥3 = −2 18. 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2
3. 𝑥 − 1 − 2 = 0 11. 𝑥 + 𝑥 + 13 = 𝑥 19. 3𝑥 + 4 = 2 𝑥
4. 𝑥2 + 1 = 2 12. 2 + 𝑥 = 𝑥 20. 4𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 𝑥 + 2
5. 5− 𝑥2 = 1 13. 7− 𝑥 = 𝑥 − 1 21. 𝑥 − 1 = 𝑥2 − 𝑥 − 2
6. 𝑥2 − 3 = 1 14. 𝑥 + 1 = 5 − 𝑥 22. 1− 𝑥 = 𝑥 − 1
7. 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 2 15. 2𝑥+ 3 = 𝑥 23. 𝑥2 − 3 = 3− 𝑥
8. 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 2 3 16. 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 24. 4 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1
2) Rezolvați ecuațiile iraționale:
a) 𝑥 + 2 = 3; b) 3𝑥 − 2 = −3; c) 3𝑥 − 23
= 1; d) 𝑥− 24
= 2;
e) 2𝑥2 − 𝑥 + 33
= −1; f) 𝑥 + 1 = 2𝑥 − 1; g) 4− 𝑥2 = 1− 𝑥;
h) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 3− 𝑥; i) 𝑥 − 2 − 3− 𝑥 = 1;
3) Să se rezolve ecuațiile iraționale:
a) 31 x b) 3𝑥 + 83 = 2 c) xx 512 d) 𝑥3 + 2𝑥 + 43
= 𝑥 e) 113 xx
f) 𝑥 = 2 g) 𝑥 + 1 = 3 h) 𝑥 − 3 = 0 i) 43 X = -1 j) 52 X = 3
k) 3𝑥 + 2=4 l) 2𝑥 − 1=2 m) 𝑥 − 3 = 𝑥 + 1 n) 3𝑥 + 1 = 𝑥 + 1
o) 𝑥3 − 1 3
= 0 p) 3𝑥2 − 13
= 𝑥 − 1 r) 4𝑥2 − 83
= 𝑥 − 2
s) 02 xx ; t) 02 xx ; u) 213 x ; v) 123 x ;
4) Să se rezolve ecuațiile iraționale:
a) 2𝑥 − 1 = 7 b) 3𝑥 + 4 = 2 𝑥 c) 𝑥 + 6 = 𝑥 d) 𝑥2 − 3− 𝑥 = −1
e) 𝑥2 − 𝑥 − 33
= −1 f) 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 23
= 𝑥 g) 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 2 2
h) 4𝑥 + 1 = 1 − 2𝑥 i) 𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 1 j) 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 1
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 7
Ecuații exponențiale
1. Rezolvați ecuațiile exponențiale :
a) 4𝑥+1 = 64; b) 3𝑥−1=27; c) 5𝑥+2 = 125 d) 1
2 𝑥+1
= 4
e) 1
2 −𝑥
+ 2𝑥 = 6; f) 2𝑥 = 3 − 2𝑥+1 g) 2𝑥 2𝑥 + 1 = 6 h) 2𝑥+1 + 4𝑥 = 8
i) 1
2𝑥=
3𝑥
36 j)
2
3 𝑥+1
= 4
9
2−𝑥 k)
1
2𝑥= 4−1 l) 10𝑥 =
1
5 m) 5𝑥 = 25
3
2. Rezolvați ecuațiile exponențiale :
a) 3𝑥 = 9; b) 3𝑥2−𝑥−1,5 = 81 3;
c) 22𝑥−1 = 23𝑥+1; d) 2𝑥 − 4 2𝑥 − 5 = 0;
e) 3𝑥 + 3𝑥+1 + 3𝑥+2 = 117; f) 4𝑥 − 6 ∙ 2𝑥 + 8 = 0;
g) 25𝑥 − 24 ∙ 5𝑥 − 25 = 0; h) 4𝑥 + 6𝑥 = 9𝑥;
3. Să se rezolve ecuațiile :
a) 2𝑥 + 2𝑥+1 = 6 b) 3 ∙ 2𝑥 + 2𝑥+1 = 44
c) 3𝑥2+1 = 243 d) 5𝑥+ 𝑥 = 25
e) 53𝑥+2 = 25𝑥2 f) 4𝑥 − 10 ∙ 2𝑥 + 16 = 0
g) 16𝑥 + 4𝑥 − 2 = 0 h) 6𝑥+1 + 6𝑥 = 42.
4. Să se exprime cu ajutorul logaritmului soluṭiile ecuaṭiilor:
a) 2𝑥 = 3 𝑒) 3𝑥 = 2
b) 𝑒𝑥= 4 f) 2𝑥 = 4
c) b) 8132
x
g) xx 52
d) d) 39333 21 xxx
h) 04254 xx
5. Să se rezolve ecuațiile :
a) 2𝑥 + 2𝑥+3 = 36 b) 36𝑥 − 7 ∙ 6𝑥 + 6 = 0
c) 52𝑥+1 − 52𝑥−1 = 120 d) 2𝑥 + 4𝑥 = 72
e) 3𝑥 + 2 ∙ 3𝑥+1 = 7 f) 9𝑥 − 4 ∙ 3𝑥 + 3 = 0
g) 32𝑥 + 2 ∙ 3𝑥 − 3 = 0 h) 2𝑥−4𝑥 =1
8
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 8
Ecuații logaritmice
1) Rezolvați ecuațiile logaritmice :
1. log2 𝑥 = log4 5;
2. log3 𝑥2 + 5 = 2;
3. log2 𝑥2 + 1 = log2 5;
4. log2 𝑥 + log2 4 = 3
5. log3 𝑥 + 2 − log3 𝑥 − 4 = 1.
6. log2 𝑥 2 + 7 = 3;
7. log2 𝑥 + 2 − log2(𝑥 + 3) = 3
2) Rezolvați ecuațiile logaritmice:
a) lg 2𝑥 − 3 = 1; b) logx−1(x2 + 2) = 2; c) log3 3𝑥 − 1 = log3(𝑥 + 1);
d) lg 𝑥 − 1 + lg 𝑥 + 89 = 3; e) lg 2x − 1 − lg 2x + 1 = −2;
f) log3 𝑥 + log9 𝑥 + log27 𝑥 = 33; g) 𝑙𝑔2𝑥 − 5 lg 𝑥 + 4 = 0;
h) 𝑙𝑜𝑔72 𝑥 − log7 𝑥 − 2 = 0;
3) Să se rezolve ecuația:log2 𝑥 + 1 = 3.
4) Să se rezolve ecuația: log3 3𝑥 − 1 = 1
5) Să se rezolve ecuația: log2 𝑥 + 1 + log2 𝑥 − 1 = log2 3
6) Să se rezolve ecuația: log2 3𝑥 + 2 + log2 𝑥 + 1 = 1
7) Să se rezolve ecuația: log5𝑥+1
𝑥−1= 1
8) Să se rezolve ecuația: log𝑥+1 𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 2
9) Să se rezolve ecuația: log3 𝑥 + 1 − log3 3𝑥 − 7 = 2
10) Să se rezolve ecuația: log2 3𝑥 − 1 − 5 = 0
11) Să se rezolve ecuația: log3 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 + log4 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = log12 𝑥
12) Să se rezolve ecuațiile :
a) 3)1(log2 x b) 4)4(log)2(log 33 xx c) 02lg3lg2 xx
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 9
Ecuaţii trigonometrice
Ecuaţii trigonometrice fundamentale
Ecuaţiile cuprinse sub această titulatură sunt :
1) sin x a , a . Dacă 1a ,ecuaţia nu are soluţii, iar dacă 1,1a ,mulţimea S de soluţii a
ecuaţiei este : 1 arcsink
S a k k .
2) cos x a , a . Dacă 1a ,ecuaţia nu are soluţii, iar dacă 1,1a ,mulţimea S de soluţii a
ecuaţiei este: arccos 2S a k k .
3) tgx a , a .Soluţiile acestei ecuaţii sunt date de mulţimea S arctga k k .
4) ctgx a , a .Soluţiile acestei ecuaţii sunt date de mulţimea S arcctga k k .
Dacă intervin mai multe funcţii trigonometrice , dar care au acelaşi argument , de exemplu
sin cos 1x x , atunci exprimăm ambele funcţii trigonometrice prin alte funcţii, de exemplu :
2
22sin
12
xtg
xx
tg
,
2
2
12cos
12
xtg
xx
tg
.
Dacă intervine numai o funcţie trigonometrică , dar cu argumente diferite , atunci cu ajutorul
formulelor trigonometrice de adunare transformăm funcţiile astfel ca să avem în expresie un argument
unic.
1. Să se rezolve în mulţimea 0, 2 ecuaţiile:
a) sin 𝑥 =1
2; b) cos 𝑥 =
2
2; c) 𝑡𝑔 𝑥 = − 3;
d) sin(𝑥 +𝜋
6) =
3
2; e) cos 𝑥 −
𝜋
4 =
1
2; f) sin 𝑥 = sin 7𝑥;
g) cos 4𝑥 = cos 5𝑥; h) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 4 sin 𝑥 + 3 = 0; i) 𝑡𝑔2𝑥 − 3𝑡𝑔 𝑥 + 2 = 0 ;
j) 2 cos 2𝑥 + 1 = 8 cos 𝑥; k) sin2 𝑥 + 2 cos 𝑥 − 1 = 0;
l) 1
sin2
x ; m) sin sin 2x x ; n) 1 2tg x tgx ; o) 1
cos 22
x .
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 10
Numere complexe
1. Se dau numerele complexe:z1=5+3i, z2= –5+2i, z3= – 4 – 3i, z4=6 – 3i.
Se cere: a) Să se reprezinte grafic numerele,
b) Să se determine: conjugatele, părțile reale și părțile imaginare a celor 4 numere complexe,
c) Să se calculeze: Iz3I, z1+z4, z2 – z4, z3z4, 2z2+3z3,
3
2
z
z, (z1)
2.
2. Se dau numerele complexe:z1=6+2i, z2= –5+3i, z3= – 5 – 4i, z4=7 – 2i.
Se cere: a) Să se reprezinte grafic numerele,
b) Să se determine: conjugatele, părțile reale și părțile imaginare a celor 4 numere complexe,
c) Să se calculeze: Iz3I, z1+z4, z2 – z4, z3z4, 2z2+3z3,
3
2
z
z, (z1)
2.
3. Să se calculeze produsul 𝑧 ∙ 𝑧 pentru următoarele numere complexe:
a) 𝑧 = 2 − 3𝑖;
b) 𝑧 = −3 − 4𝑖;
c) 𝑧 = −1 − 𝑖;
d) 𝑧 = 2 + 𝑖.
4. Să se scrie în formă algebrică:
a) 𝑧 =1
2−2𝑖;
b) 𝑧 =1
−𝑖;
c) 𝑧 =1
2+𝑖 3;
d) 𝑧 =1
𝑖+ 5 .
5. Să se determine forma algebrică a numerelor complexe:
a) 𝑧 =5
2−𝑖;
b) 𝑧 =4+𝑖
2+𝑖;
c) 𝑧 =−3+2𝑖
−3−𝑖;
d) 𝑧 =1+3𝑖
−3+5𝑖.
6. Să se determine numerele reale x şi y pentru care:
a) 1+𝑖
2−𝑖= 𝑥 + 𝑦𝑖;
b) 8−6𝑖
6+8𝑖= 𝑥 + 𝑦𝑖;
c) 2−3𝑖
3+2𝑖= 𝑥 + 𝑦𝑖;
d) 1
1+𝑖 2 +1
1−𝑖 2 = 𝑥 + 𝑦𝑖
7. Să se rezolve ecuațiile de gradul aldoilea:
a) z2+81=0, b) 5z
2+2z+7=0.
8. Să se rezolve ecuațiile bipătrate:
a) x4–81=0, b) x
4+5x
2+4=0.
9. Să se rezolve ecuațiile de gradul aldoilea:
a) z2+16=0, b) 6z
2+2z+9=0.
10. Să se rezolve ecuațiile bipătrate:
a) x4–16=0, b) x
4+10x
2+9=0
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 11
Metoda inducției matematice
Etapele de rezolvare prin Metoda inducției matematice :
I . Verificăm propoziția pentru cazuri particulare .
II. Se presupune că P(k) este adevărată și se demonstrează că P(k+1) este adevărată , oricare
k >m .
Pentru fiecare din propozitiile P(n) de mai jos verificati ca P(2); P(3); P(4) sunt afirmatii
adevarate !
Demonstrați egalitățile :
a) 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2
b) 1 + 3 + 5 + ⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛2
c) 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 =𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)
6
d) 13 + 23 + 33 + ⋯+ 𝑛3 = 𝑛(𝑛+1)
2
2
e) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯+ 𝑛 𝑛 + 1 =𝑛 𝑛+1 (𝑛+2)
3
f) 1 ∙ 4 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 10 + ⋯ + 𝑛 3𝑛 + 1 = 𝑛(𝑛 + 1)2
g) 1
1∙3+
1
3∙5+
1
5∙7+ ⋯ +
1
2𝑛−1 (2𝑛+1)=
𝑛
2𝑛+1
h) 1
1∙4+
1
4∙7+
1
7∙10+ ⋯+
1
3𝑛−2 (3𝑛+1)=
𝑛
3𝑛+1
i) 1
1∙5+
1
5∙9+
1
9∙13+ ⋯ +
1
4𝑛−3 (4𝑛+1)=
𝑛
4𝑛+1
Pentru fiecare din propozitiile P(n) de mai sus scrieți ce înseamnă P(k) și ce înseamna P(k+1) .
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 12
Permutări, aranjamente , combinări
𝑃𝑛=n!=123…n, 𝐴𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑛−𝑘 !,𝐶𝑛
𝑘 =𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !
1. Să se calculeze a) 𝐶32 + 𝑃4 − 𝐴4
1 . b) 𝐶43 − 2𝐴3
1 + 𝑃2.
2. Să se calculeze 0!+4!-5!+3!-1!.
3. Să se calculeze a) 𝐴53 − 𝐶7
6 = b) 𝐴55 -𝑃5=
4. Să se calculeze a) 𝐶86 − 𝐶7
6 − 𝐶75= b)
𝑃3+𝐴30
𝐶71 =
5. Să se calculeze a) 3!+4
𝐶54 = b)
𝑃5
𝐶52+𝐴6
2 =
6. Calculați: a) 2
5
5
4
7
A
PA = b) .
5
32
35
2
43
PP
AP
7. Calculați: a) 10 ! ; b) !8
!9
!10
!12 ; c)
2
10
5
10
5
11
6
11
AA
AA
.
8. Să se calculeze 𝐶201414 -𝐶2014
2000
9. Să se calculeze 𝐶𝑛+1𝑛 − 𝐶𝑛+1
1
10. Să se afle nN, dacă 𝐶8𝑛2
=70 .
11. Să se scrie sub formă mai simplă expresiile 𝐶𝑛
2+𝐶𝑛−12
𝐶𝑛+12
12. Să se rezolve ecuația 𝐶𝑛2 = 28, nN .
13. Să se rezolve ecuația 𝐴𝑥3 + 3𝐴𝑥
2 =1
2 𝑥 + 1 !
14. Să se determine numărul natural n, știind că 𝐴𝑛1 + 𝐶𝑛
1 =10 .
15. Să se determine numărul natural n, știind că 𝑛−5 !
𝑛−7 !=6 .
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr.13
Probleme de numărare
1. Câte submulțimi se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2, 3, 4, 5}?
2. Să se determine numărul natural nenul n astfel încât numărul submulțimilor cu 2 elemente ale unei mulțimi cu n elemente să fie egal cu 6.
3. Să se calculeze numărul submulțimilor cu 3 elemente ale unei mulțimi care are 7 elemente.
4. Câte numere formate din 4 cifre distincte elementele mulțimii A={1, 2, 3, 4, 5}?
5. În câte moduri diferite poate fi alcătuită o echipă de fotbal cu ajutorul a 33 de jucători, dacă
echipa conține 11 jucători?
6. Determinați câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele pare.
7. Determinați câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele impare.
8. Un sportiv trebiue să susțină 3 probe în 8 zile. În câte moduri pot fi programate aceste probe știind că nu pot fi date două probe în aceeași zi?
9. Să se determine câte numere de câte cinci cifre distincte există.
10. Să se determine câte numere de trei cifre distincte, impare există.
11. Într-o clasă sunt 28 de elevi, dintre care 8 sunt băieți. Să se determine în câte moduri se poate
alege un comitet al clasei format din 3 fete și 2 băieți.
12. Să se determine numărul de submulțimi cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 5 elemente .
13. Să se determine câte numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {0. 1, 2, 5} .
14. Să se calculeze câte submulțimi cu cel mult 2 elemente are mulțimea {2, 4, 6}.
15. Să se calculeze în câte feluri se poate alcătui o echipă formată din 5 persoane , dacă avem la
dispoziție 8 persoane .
16. Câte cuvinte de 3 litere se pot forma cu un alfabet format din 8 litere .
17. Să se determine câte numere de două cifre se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2, 3, 4} .
18. Să se determine câte numere de trei cifre se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2, 3, 4} .
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 14
Binomul lui Newton
1. Să se dezvolte după formula binomului lui Newton binoamele la putere:
a) (x + 2 )4= d) 4ba = g) 43 )23( xx
b) (2x +3y)5= e) )3( yx 6
= h) 64 )( xx
c) (x + 2y)5 = f) (x
2 – a)
6= i) (x + 2 )
7=
2. Să se determine termenul al optulea al dezvoltării:
113 1
xx .
3. Să se determine termenul al cincilea al dezvoltării: 7)2( aba .
4. Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării: 6yx .
5. Să se determine termenul din dezvoltarea 9)( yx care il conţine pe x3.
6. Să se determine termenul în care nu apare x din dezvoltarea
21
5
x
1x
.
7. Să se determine termenul din dezvoltarea
13
3 a
3
3
a
care îl conţine pe a
4.
8. În dezvoltarea
n
aaa
14 , suma coeficienţilor binomiali de rang par este egală cu
128. Să se găsească termenul care îl conţine pe a3.
9. Să se determine termenul al șaptelea din dezvoltarea 𝑎3 +1
𝑎 9, a 0;
10. Să se determine termenul din mijloc din dezvoltarea 𝑥3 − 𝑥
10, xR.
11. În dezvoltarea 𝑥 +1
𝑥23
𝑛 raportul dintre coeficianții termenilor T6 și T4este
3
5 . Să
se determine termenul care nu conține pe x.
Binomul lui Newton are formula:
(a+b)n = aC
non + baC
1n1n
+ baC22n2
n +…+ baC
kknkn
+…+ baC1n1n
n + bC
nnn
Termenul general este: : Tk+1 = baCkknk
n
, 0 ≤ k ≤ n
Formula combinărilor:
knnkknk
nC
k
n,,0,
)!(!
!
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 15
Coordonatele unui vector în plan,
coordonatele sumei vectoriale,
coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real
Aspecte teoretice Fie A(a, b). Coordonatele lui OA , vectorul de poziţie al lui A, sunt (a, b).
Fie I(1, 0) şi J(0, 1) şi fie i = OI vectorul de poziţie al lui I, respectiv j = OJ vectorul de
poziţie al lui J. i şi j sunt ortogonali. OA = a i + b j .
Fie A(a, b), B(c, d). Atunci:
AB = OB – OA = (c i + d j ) – (a i + b i ) = (c – a) i + (d – b) j . Rezultă că AB (c – a, d – b).
Fie u (a, b), v (c, d). Atunci u + v (a + c, b + d). Fie u (a, b) şi r R. Atunci r u (ra, rb).
Fişa de lucru
1) Fie punctele A(3, 4), B(6, 5). a) Să se reprezinte punctele A şi B şi vectorii lor de poziţie. b) Să se
calculeze coordonatele vectorului AB .
2) Fie u (2, 3), v (4, 2). Să se determine coordonatele vectorilor u + v şi 2u .
3) Fie A(a, b), B(c, d). Să se determine coordonatele punctului M(e, f) – mijlocul segmentului AB.
Aplicaţie: A(2, 5), B(6, 1).
4) Fie punctele A(a, b), B(c, d) şi C(e, f). Să se determine coordonatele centrului de greutate al
triunghiului ABC.
5) Fie punctele A(0, 1), B(6, 5). Să se determine coordonatele vectorului AB .
6) Fie u (2, 3), v (3, 0). Să se determine coordonatele vectorilor: u + v , 3u , 2 u + 4 v .
7) Determinaţi numărul a cu proprietatea că u (4, 6) şi v (6, a) sunt coliniari.
8) a) Să se arate că vectorii 𝑢 = 2𝑖 − 4𝑗 și 𝑣 = −𝑖 + 2𝑗 sunt coliniari.
b) Să se determine valorile parametrului m∈ℝ astfel încât vectorii
𝑢 = 𝑖 − 𝑗 și 𝑣 = 𝑚𝑖 + (2𝑚 − 3)𝑗 să fie coliniari.
9) a) Să se arate că vectorii 𝑢 = 3𝑖 − 𝑗 și 𝑣 = 2𝑖 + 6𝑗 sunt perpendiculari.
b) Să se determine valorile parametrului m∈ℝ astfel încât vectorii
𝑢 = −𝑖 + 3𝑗 și 𝑣 = 𝑚𝑖 + 5𝑗 să fie perpendiculari.
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 16
Geometrie analitică
1) Fie punctele A(0;2);B(2;6). Determinați:
a) lungimea segmentului AB;
b) coordonatele mijlocului segmentului [AB];
c) panta dreptei AB;
d) ecuația dreptei AB;
e) ecuația mediatoarei segmentului [AB];
f) ecuația paralelei prin punctual C(3;1) la dreapta AB.
2) Fie ∆ABC cu A(2;1);B(4;5) și C(-1;3).
a) Aflați coordonatele centrului de greutate al ∆.
b) Calculați distanța de la C la dreapta AB.
c) Aflați aria triunghiului.
3) Fie punctele A(1,2),B(4,-1), C(-4,-3) trei puncte in reperul cartezian xOy. Sa se determine:
a) Distanta de la punctul A la punctul B;
b) Lungimea segmentului AB ;
c) Ecuatia dreptei AB;
d) Panta dreptei AB;
e) Coordonatele mijlocului segmentului BC;
f) Ecuația dreptei AB , AC , BC ;
g) Ecuatia medianei dusa din varful A a triunghiului ABC;
h) Ecuatia medianei dusa din varful B a triunghiului ABC;
i) Ecuatia mediatoarei segmentului AB;
j) Coordonatele centrului de greutate a triunghiului ABC;
k) Ecuatia dreptei paralele dusa prin C la dreapta AB;
l) Ecuatia dreptei perpendiculare in A pe dreapta AB;
m) Distanta de la punctul C la dreapta AB;
n) Coordonatele ortocentrului triunghiului ABC;
o) Coordonatele punctului D, astfel incat ABCD sa fie paralelogram;
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 17
Ecuatia dreptei
1. Stabiliti daca punctele M(1,1), N(3,4) si P(5,7) sunt coliniare.
2. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(1,3), B(2,5), C(5,1).
a) Sa se calculeze lungimea segmentului [BC];
b) Sa se calculeze aria triunghiului ABC;
c)Sa se determine a, bR astfel incat x+ay+b=0 sa fie ecuatia dreptei AC.
3. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,1A , 5,1B , 7,3C .
a) Să se determine ecuaţia dreptei AB ;
b) Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel. ;
c) Să se calculeze lungimea medianei CM unde M este mijlocul segmentului [AB].
4. Fie punctele: A(7,3), B(-1,1), C(3,5)
a) Calculati aria triunghiului ABC;
b) Scrieti ecuatia dreptei AC;
c) Scrieti ecuatia medianei AD a triunghiului ABC;
d) Scrieti ecuatia dreptei care trece prin A si este paralela cu dreapta BC;
e) Scrieti ecuatia dreptei care trece prin A si este perpendiculara pe BC;
5. In sistemul cartezian xOy se considera triunghiului MNP determinat de dreptele de ecuatii
(MN): x+2y-4=0;
(NP): 3x+y-2=0;
(MP): x-3y-4=0.
Calculati perimetrul triunghiului MNP.
6. Fie punctele A(-2,2), B(5,1) si C(2,5).
a) Scrieti ecuatia dreptei AB;
b) Calculati perimetrul triunghiului ABC;
c) Determinati coordonatele mijlocului segmentului BC;
d) Calculati aria triunghiului ABC;
e) Aflati panta dreptei BC.
7. Intr-un reper cartezian xOy , se considera punctele ;19,11;4,4;1,1;4,2 DCBA
a) Aflati lungimea segmentului .AC
b) Aflati panta dreptei .AB
c) Scrieti ecuatia dreptei .BC
d) Aratati ca punctele DAB ;; sunt coliniare.
clasa a X-a Fișă de lucru remedială Nr. 18
Elemente de calcul financiar
1. Prețul unui obiect este 180 lei. Cât va costa obiectul după o scumpire cu %20 ?
2. Prețul unui obiect este 200 lei. Cât va costa obiectul după o scumpire cu %10 ?
3. Prețul unui obiect este 300 lei. Cât va costa obiectul după o ieftinire cu %20 ?
4. Prețul unui obiect este 400 lei. Cât va costa obiectul după o ieftinire cu %30 ?
5. Prețul unui obiect este 350 lei. Cât va costa obiectul după două scumpiri succesive cu %10 ?
6. Prețul unui obiect este 800 lei. Cât va costa obiectul după două scumpiri succesive cu %20
?
7. Prețul unui obiect este 200 lei. Cât va costa obiectul după două scumpiri succesive cu %10
respectiv %20 ?
8. Prețul unui obiect este 400 lei. Cât va costa obiectul după două scumpiri succesive cu %10
respectiv %15 ?
9. Prețul unui obiect este 400 lei. Cât va costa obiectul după două ieftiniri succesive cu %10 ?
10. Prețul unui obiect este 800 lei. Cât va costa obiectul după două ieftiniri succesive cu %20 ?
11. După o ieftinire cu %20 prețul unui obiect devine 320 lei. Care a fost prețul inițial al
obiectului?
12. După o ieftinire cu %30 prețul unui obiect devine 210 lei. Care a fost prețul inițial al
obiectului?
13. După o scumpire cu %20 prețul unui obiect devine 660 lei. Care a fost prețul inițial al
obiectului?
14. După o scumpire cu %10 prețul unui obiect devine 198 lei. Care a fost prețul inițial al
obiectului?
15. După o ieftinire cu 8 % un produs costă 23000 lei. Care a fost preţul iniţial? 16. Într-o cutie sunt 28 de baloane. 25% sunt roşii, iar restul galbene. Câte baloane galbene sunt?
Cât % din numărul baloanelor roşii reprezintă numărul baloanelor galbene? 17. S = 400euro, r = 8%, t = 3 ani. Calculaţi suma primită în cazul a) dobanzii simple b)
dobanzii compuse. 18. După o scumpire cu 15% un produs costă 126500 lei. Care a fost preţul iniţial?
19. Într-o cutie sunt 60 de baloane. 40% sunt roşii, iar restul galbene. Câte baloane galbene sunt? Cât % din numărul baloanelor roşii reprezintă numărul baloanelor galbene?
20. S = 700 RON, r = 25%, t = 3 ani. Calculaţi suma primită în cazul a) dobanzii simple b) dobanzii compuse
21. După o scumpire cu 4 % un produs costă 31200 lei. Care a fost preţul iniţial? 22. Într-o cutie sunt 120 de baloane. 30% sunt roşii, iar restul galbene. Câte baloane galbene
sunt? Cât % din numărul baloanelor roşii reprezintă numărul baloanelor galbene? 23. S = 500 RON, r=30%, t = 2 ani. Calculaţi suma primită în cazul a) dobanzii simple b)
dobanzii compuse. 24. După o ieftinire cu 14% un produs costă 103200 lei. Care a fost preţul iniţial?
25. Într-o cutie sunt 44 de baloane. 75% sunt roşii, iar restul galbene. Câte baloane galbene sunt? Cât % din numărul baloanelor roşii reprezintă numărul baloanelor galbene?
26. S = 1000euro, r = 8%, t = 4 ani. Calculaţi suma primită în cazul a) dobanzii simple b) dobanzii compuse .
clasa a X-a Fişă de lucru remedială Nr.19
Elemente de probabilităţi
Într-un câmp de evenimente egal probabile probabilitatea realizării unui eveniment A
este: ( )numarul cazurilor favorabile evenimentului
p Anumarul total de cazuri
.
Aplicaţii:
1. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element n al mulţimii
{1,2,3,4,5}A acesta să verifice inegalitatea 2 2nn .
2. Să se calculeze probabilitatea ca alegând unul dintre numerele 2 2 2
4 5 6, ,C C C acesta
să fie divizibil cu 3. 3. Să se calculeze probabilitatea ca alegând unul dintre numerele
2 5 7log 2, log 25, log 1 acesta să fie supraunitar.
4. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element x al mulţimii
2 8 7 0A x x x N acesta să fie număr prim.
5. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimmea
{ 2, 3,..., 10}A , acesta să fie raţional.
6. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimmea 3 3 3 3{ 1, 2, 3,..., 100}A , acesta să fie raţional.
7. Să se calculeze probabilitatea ca alegând la întâmplare o submulţime mulţimii
{1,2,3,4,5}A acesta să aibă trei elemente.
8. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element n al mulţimii {2,3,4,5}A
acesta să verifice inegalitatea 2 !n n n .
9. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element al mulţimii
sin30 ,sin 45 ,sin 60A acesta să fie raţional.
10. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor de
două cifre acesta să fie pătrat perfect. 11. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr de două cifre acesta să fie cub
perfect. 12. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din mulţimea
{7,10,13,16,...,28}A acesta să fie divizibil cu 5.
13. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din mulţimea
{11,12,13,...,20}A acesta să fie număr prim.
14. Considerăm experienţa aruncării a două zaruri. Să se calculeze probabilitatea
realizării următoarelor evenimente: A: Să apară combinaţia 6-6.
B: Să apară suma punctelor egală cu 11. C: Să apară suma punctelor cel mult 4.
D: Să apară suma punctelor mai mare decât 4. E: Să apară produsul punctelor egal cu 12.
F: Să apară produsul punctelor diferit de 12.