1 Autovalor e Autoestado de Operadores

Vimos que o estado quântido de uma partícula microscópica é descrita em ter-mos de uma função de onda. No caso da Mecânica Clássica, o estado de umapartícula ponteforme é descrita em termos de sua coordenada ~r e o momento ~p.Para um dado estado da partícula, também podemos pensar em outras quanti-dades, tais como energia. Estas quantidades são representadas por números naMecânica Clássica. Mas, no mundo microscópico, vimos que os valores destasquantidades não necessariamente são bem definidos. Por exemplo, para umdado estado ψ (~r), as observações da posisão desta partícula pela chapa não seconcentra numa posição bem determinada, mas distribue de acordo com ψ(~r).Então, no caso de Mecânica Quântica, como expressamos a quantidade física,por exemplo, a posição ~r ? Para introduzir o conceito de observável, talvez éútil a visualização de função de onda como um vetor no espaço de funções.

1.1 Função como Vetor e Operador como Matriz

Para facilitar a visualização, vamos considerar o caso unidimensional. Nestecaso, a função de onda é expressa por ψ (x). Na algebra linear, aprendemos queuma função pode ser considerada como um vetor num espaço vetorial. Paravisualizar esta afirmação, vamos introduzir a representação em termos de vetor-coluna

ψ(x)→

...ψi−1

ψiψi+1

...

,

ondeψi = ψ(xi)

e {−∞, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · ·+∞} são os pontos de varáveis x com intervalo∆x infinitesimal. Isto é, xi+1 = xi + ∆x. Estamos aproximando uma funçãocontínua pela função de escadas de intervalo infinitesimal. Nesta representação,o produto escalar entre duas funções,∫ ∞

−∞dx ψ∗ (x)φ(x) → ∆x

∑i

ψ∗i φi

= ∆x(· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·

)

...φi−1

φiφi+1

...

.

1

Ainda nesta representação, é importante notar que a função derivada dψ/dxpode ser expressa como

dψ

dx→

...(ψ(xi−1)− ψ(xi−2)) /∆x(ψ(xi)− ψ(xi−1)) /∆x(ψ(xi+1)− ψ(xi)) /∆x

...

=1

∆x

. . .. . . 0

. . . −1 1 00 −1 1 0

0 −1 1 0

0 −1 1. . .

. . .. . .

. . .

...ψi−2

ψi−1

ψiψi+1

ψi+2

...

.

Isto é, um operador diferencial d/dx corresponde a uma matriz que tem +1 emtodo diagonal e −1 em subdiagonal abaixo e dividido por ∆x. Vamos denotaressa matriz que corresponde a derivada por

ˆ

D =1

∆x

. . .. . . 0

. . . −1 1 00 −1 1 0

0 −1 1 0

0 −1 1. . .

. . .. . .

. . .

2

É interessante observar que o quadrado desta matriz,

ˆ

D2

=1

∆x2

. . .. . . 0

. . . −1 1 00 −1 1 0

0 −1 1 0

0 −1 1. . .

. . .. . .

. . .

2

=1

∆x2

. . .. . . 0

. . . 1 −2 10 1 −2 1

0 1 −2 1

0 1 −2. . .

. . .. . .

. . .

2

coincide a expressão da segunda derivada

d2

dx2ψ =

1

∆x

(ψ(x+

1

2∆x)− ψ(x− 1

2∆x)

)=

1

∆x

{ψ(x+ ∆x)− ψ(x)

∆x− ψ(x)− ψ(x−∆x)

∆x

}=

1

∆x2(ψ(x+ ∆x)− 2ψ(x) + ψ(x−∆x)) .

Da Eq.(??), podemos escrever o valor médio do momento num estado ψ (x)como

〈p〉 = ∆x(· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·

)P

...ψi−2

ψi−1

ψiψi+1

ψi+2

...

(1)

Nesta representação, o operador de momento também corresponde à uma ma-triz,

p→ P .

3

Por outro lado, a posição, x também pode ser entendido como um operadorque multiplica x para uma função de onda.

x : ψ(x)→ xψ(x)

Em termos da representação de vetor-coluna, temos

xψ(x)→

...xi−1ψi−1

xiψixi+1ψi+1

...

=

. . .. . . 0

. . . 0 xi−1 00 0 xi 0

0 0 xi+1 0

0 −1 xi+2. . .

. . .. . .

. . .

...ψi−2

ψi−1

ψiψi+1

ψi+2

...

ou seja, uma matriz diagonal, onde i-esimo elemento diagonal é dada por xi.Assim, podemos associar uma matriz para a coordenada,

x→ X =

. . .. . . 0

. . . 0 xi−1 00 0 xi 0

0 0 xi+1 0

0 −1 xi+2. . .

. . .. . .

. . .

. (2)

O valor esperado da posição fica então

〈x〉 = ∆x(· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·

)X

...ψi−2

ψi−1

ψiψi+1

ψi+2

...

(3)

Note que as Eqs.(1) e (3) tem a mesma forma, apenas substituindo a matriz Ppor X.

4

Vamos generalizar o conceito. Vamos postular que qualquer quantidade físicadeve corresponder à uma matriz nesta representação. Em geral, esta matriz temtodos os elementos, tipo,

O → O =

. . .Oi−1,i−1 Oi−1,i Oi−1,i+1

Oi,i−1 Oi,i Oi,i+1

Oi+1,i−1 Oi+1,i Oi+1,i+1

. . .. . .

.

Ainda postulamos que o valor médio deste observável seja dado por

〈O〉 = ∆x(· · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · ·

)O

...ψi−2

ψi−1

ψiψi+1

ψi+2

...

.

Em termos de função de onda contínua, a expressão correspondente fica

〈O〉 =

∫d3~r ψ∗(~r)Oψ(~r),

onde O é o operador correspondente a matriz O. Por exmplo, O pode ser o mo-mento, posição, a energia, ou qualquer quantidade física associada a partícula.

Exercício: Expresse o valor médio da energia cinética de uma partícula.

Embora o valor esperado é um número, naturalmente um operador não éum número. Então, qual é de fato os valores observáveis correspondente ao esteoperador? Para responder esta pergunta, primeiramente vamos considerar o queserá o estado da partícula após da observação desta quantidade.Como vimos, lógo após a observação desta observável e verificando a partícula

tenha sido encontrado o valor, digamos oα. Vamos denotar por ψα a função deonda do estado daquela partícula que acabou de ser observada. Juntamos todasas partículas para quais a quandidadeO tenha sida obserbada como oa. Todas aspartículas estão no estado representado pela função de onda ψa. Vamos planejaruma série de experiências que medem novamente o valor da mesma observávelO para estas partículas no estado ψa. Neste caso, esperamos obviamente todosos valores observados devem ser igual a oa. Em outras palavras, para o estadologo após de ter observado o valor oa para um observável, a medição em seguidado mesmo observável deve fornecer o mesmo valor oa. Assim, o estado ψa éum estado para qual a medição da quantidade O resulta certamente o valor oa.Vamos chamar este tipo de estado como autoestado do observável.

5

• Autoestado de um observável = estado para qual temos certeza de que oobservável tem um determinado valor. Exemplo: uma onda plana, ψ 'ei~p0x é um aotoestado do momento p.

Para autoestado de de um observável O, o desvio quadrado médio deve sernulo, pois não há flutuação nos valores observados para O. Isto pode ser expressamatematicamente por

〈∆O2〉 =

∫d3~rψ∗a(~r)(O − oa)2ψa(~r)→ 0. (4)

Note que a equação pode ser satisfeita se a função de onda ψa tenha a pro-priedade,

Oψa = oaψa. (5)

Em outras palavras, a aplicação do operador O na função de onda é proporcionala própria função ψa com a constante multiplicativa oa.Vamos considerar o caso de momento de uma partícula como a quantidade

observada (caso unidimensional).

O → p ≡ ~i

∂

∂x,

e p0 seja o valor de momento observado. Neste caso, a equação (??) fica

~i

∂

∂xψp0(x) = p0ψp0(x). (6)

onde denotamos por ψp0(x) a função de onda de partícula após de ser observadaseu momento como p0. A Eq.(6) é uma equação diferencial em x, e podemosfacilmente sua solução como

ψp0(x) = N ei~p0x, (7)

que é exatamente a onda plana, representando a função de onda da partículacom momento bem definido como p0.Uma equação da forma Eq.(??) é chamada de equação de autovalor, e oa,

neste caso, é chamado de autovalor do operador O. A Eq.(6) é então a equaçãode autovalor do operador de momento p e p0 é o seu autovalor. A função de ondaque satisfaz a equação de autovalor é chamado de autofunção (ou auto-estado,se refere ao estado). Assim, a onda plana, Eq.(7), é a autofunção do momentocom o autovalor p0.Quando não existe nenhuma condição contorno para funções de onda, qual-

quer valor real de p0 pode ser um autovalor do momento na Eq.(6). Mas de-pendendo do operador, isto não acontece em geral.O que temos mais interesse é o operador de energia, isto é o Hamiltoniano.

A equação de autovalor para o Hamiltoniano pode ser escrita como

HψEα = EαψEα (8)

6

onde ψEα é a autofunção de energia, Eα é o seu autovalor. Normalmente, aequação de autovalor determina os possíveis valores dos autovalores e as respec-tivas autofunções.Na representação matricial, a equação de autovalor tem a forma,

O

...ψi−1

ψiψi+1

...

= o

...ψi−1

ψiψi+1

...

onde o é um dos autovalores do O. Desta forma, vemos que a estrutura deequação de autovalor da Mecânica Quântica é identica ao problema de auto-valores de um matriz. Esta forma de ver a Mecânica Quântica foi primeiravez introduzida por Heisenberg, e chamada de Mecânica Matricial. Como foiindicado acima, a Mecânca Matricial e a Mecânica Ondulatória são equivalentes.

Exercício: Seja λ um dos autovalor de um operador O. Mostre que λ2 é oautovalor do operador O2. Mosrtre que, em geral, para o operador definidopor f (O), f (λ) é autovalor.

Na verdade, para ser um observável, o operador correspondente deve satis-fazer certas propriedades. Discutiremos este ponto mais adiante.

2 Dinâmica Quântica

2.1 Equação de Schödinger

A equação de movimento no caso da Mecânica Newtoniana determina a tra-jetória de uma partícula. No caso da Mecânica Quântica, a dinâmica de umapartícula deve ser descrita pela variação temporal da sua função de onda. Mas,já sabemos que, se observamos a partícula num instante, o estado depois daobservação não permanecerá no mesmo estado antes da observação. Assim, adinâmica quântica deve ser entendida também em termos de probabilidade.Como um estado de uma partícula varia em tempo? Esta questão foi re-

solvida por E.Schrödinger. Vamos considerar, por simplicidade, o caso de umapartícula unidimensional com sua função de onda

ψ(x, t).

Qualquer função de onda pode ser descrita em termos de transformada deFourier,

ψ(x, t) =1

2π~

∫dE

∫dp Φ(E, p) e−

i~ (Et−px), (9)

7

e inversamemente

Φ(E, p) =1

2π~

∫dt

∫dx ψ(x, t) e+ i

~ (Et−px). (10)

Segundo deBroglie, uma partícula de momento p e a energia E tem sua funçãode onda,

ψ(x, t) ∼ e− i~ (Et−px).

Assim, podemos considerar a Eq(9) como sendo a expansão de um estado emsuperposição de ondas planas com a coeficiente,

Φ(E, p),

e esta coeficiente pode ser interpretado como a amplitude de probabilidade de seencontar a partícula com energia E e momento p. Desta forma, o valor esperadoda energia então deve ser dado por

〈E〉 =

∫dE

∫dp E |Φ(E, p) |2 . (11)

Fazendo o raciocíneio análogo ao caso de momento, teriamos

〈E〉 =

∫dt

∫dx ψ∗(x, t)i~

∂

∂tψ(x, t)

o que nos levar a associar à energia um operador

E → i~∂

∂t. (12)

A diferência do sinal comparado ao caso de momento vêm da diferença do sinalno exponente da onda plana.Por outro lado, para uma partícula sob uma força de potencial V (x), a

energia é a soma de energia cinética e o potencial,

E → 1

2mp2 + V (x). (13)

onde denotamos o momento como um operador para função de onda por p. AsEqs.(12) e (13) são ambos a forma de operador correspondente a energia, só quea primeira a derivada em relação ao tempo e a segunda contém a derivada emrelação a coordenada, x. Assim, não podemos igualar as duas formas.Podemos impor que o estado da partícula, ou seja a função de onda compor-

tasse as duas formas ficam equivalente. Para isto, vamos supor que a dependên-cia temporal de uma função de onda deve satisfazer a equação,

i~∂

∂tψ(x, t) =

{1

2mp2 + V (x)

}ψ(x, t). (14)

Isto é a Equação de Schrödinger.

8

Substituindo a forma diferencial do operador

p→ ~i

∂

∂x,

a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial,

i~∂

∂tψ(x, t) = − ~

2

2m

∂2

∂x2ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t). (15)

Para o movimento de uma partícula em tres dimensões, podemos generalizarfacilmente a equação de Schrödinger, sendo

i~∂

∂tψ(~r, t) = − ~

2

2m∇2ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t). (16)

O operador de energia, Eq.(13) é chamado de Hamiltoniano e custuma usar anotação H. Para uma partícula sobe a ação de potencial, temos

H =1

2mp2 + V (x) (17)

= − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x), (18)

ou no caso tridimensional, temos

H = − ~2

2m~∇2 + V (x).

A equação de Schrödinger então é escrita como

i~∂

∂tψ = Hψ. (19)

Vale a pena salientar o aspecto muito importante da equação de Schrödinger.Ela é uma equação linear, isto é, se ψ1 e ψ2 são soluções, então sua combinaçãolinear

ψ = αψ1 + βψ2,

onde α e β são constantes, é também a solução.

2.2 Caso Estacionária

Uma autofunção de energia tem uma importante propriedade. A função de ondadependendo do tempo da forma,

ψ(~r, t) ≡ e− i~Eαt ψα(~r) (20)

satisfaz a equação de Schrödinger,

i~∂

∂tψ(~r, t) = Hψ(~r, t),

9

pois,

i~∂

∂tψ(~r, t) =

(i~∂

∂te−

i~Eαt

)ψα(~r) = Eαψ(~r, t),

eHψ(~r, t) = e−

i~Eαt H ψα(~r) = Eαψ(~r, t).

Assim, uma vez o estado esteja em autoestado de energia, a dependência emt posterior pode ser descrito pela Eq.(20). Mas, neste caso, a densidade deprobabilidade,

ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 =∣∣∣e− i

~Eαt ψα(~r)∣∣∣2

= |ψα(~r)|2 ,

que não depende do tempo. Isto é, a distribuição de probabilidade em x nãovaria em tempo. Tal situação é chamado de estado estacionário. É exatamenteesta propriedade que é desejada para orbitas de elétrons no modelo de átomode Hidrogênio (ver a sessão mais adiante).Uma vez obtido todos os autovalores e autofunções do Hamiltoniano, podemos

escrever a solução geral da Equação de Schrödinger como uma combinação lineardestas,

ψ (~r, t) =∑α

Cαe− i~Eαt ψα(~r). (21)

O conjunto de todos autovalores do Hamiltonianao é chamado de “espectro”doHamiltoniano.

Exercício: Mostre que a Eq.(21) satisfaz a Equação de Schrödinger, Eq.(19).

2.3 Equação de Continuidade e Corrente da Probabilidade

A Equação de Schrödinger tem a forma,

i~∂ψ(~r, t)

∂t= − ~

2

2m∇2ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t). (22)

Vamos analizar o comportamento da densidade de probabilidade, ρ = |ψ(~r, t)|2 =ψ(~r, t)∗ψ(~r, t). Para isto, tomamos o complexo conjugado da Eq.(22),

−i~∂ψ(~r, t)∗

∂t= − ~

2

2m∇2ψ(~r, t)∗ + V (~r)ψ(~r, t)∗. (23)

Aqui, supormos que o potencial é real. Multiplicando ψ∗ para Eq.(22) e ψ paraEq.(23), e subtraindo, temos,

i~(ψ∗∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ∗

∂t

)= − ~

2

2m

(ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗

). (24)

10

Os termos que contêm o potencial V cancelam-se. Definindo a densidade dacorrente

~j(~r, t) =~

2mi

(ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗

), (25)

a Eq.(24) fica escrita por∂

∂tρ+ ~∇ ·~j = 0, (26)

que tem a forma da equação de continuidade. Assim, o vetor ~j representa adensidade de corrente (fluxo) da probabilidade. Integrando os dois lados daequação acima em relação às coordenadas espaciais, temos,∫

V

d3~r

(∂

∂tρ+ ~∇ ·~j

)= 0.

Para o primeiro termo, tiramos a derivada temporal para fora da integral, epara segundo termo, utilzando o teorema de Gauss, temos

d

dt

∫V

d3~r ρ+

∫S

d~S ·~j = 0.

A função de onda tende a zero para |~r| → ∞, então, o segundo termo de integralde superfície fica zero para superfície bem longe da origem. Assim, temos

d

dt

∫V→∞

d3~r ρ = 0.

Isto é, a integral da densidade de probabilidade para todo espaço é constanteem tempo. Esta resultado representa a conservação de probabilidade total.Vamos calcular a corrente de probabilidade para uma onda plana unidimen-

sional,ψ(x, t) = N e−

i~ (Et−px).

j ≡ ~2mi

(ψ∗

∂

∂xψ − ψ ∂

∂xψ∗)

= |N |2 p

m.

Já que |N |2 representa a densidade da probabilidade, a corrente tem a forma,

j ∼ ρv,

onde v ≡ p/m.No exemplo acima, consideramos v = p/m como a velocidade. Mas, lembre

que esta quantidade não é a velocidade clássica no sentido de

dx/dt,

pois não existe a trajetória para partícula. Mas a expressão de corrente j ex-pressa o operador que corresponde ao número de partícula que passa na unidade

11

de área por unidade do tempo. Uma consequência immediata da definição dacorrente é que se a função de onda for real,

ψ = ψ∗,

então, temos~j ≡ 0.

Mais precisamente, se a função de onda é uma função real de posição ~r, vezesum fator constante em ~r ( mesmo que seja complexo), a corrente fica nula.

2.4 Partícula Livre, Pacote de Onda e Velocidade de Grupo

Vamos considerar um outro exemplo simples. Isto é, uma partícula livre. Nestecaso, o Hamiltoniano é dado simplesmente por

H = T = − ~2

2m∇2,

e a equação de Schrödinger fica

i~∂

∂tψ(~r, t) = − ~

2

2m∇2ψ(~r, t). (27)

Em primeira lugar, vamos considerar uma solução estacionária. Neste caso,temos a forma,

ψ(~r, t) = e−i~EtψE(~r),

sendo ψE(~r) é a autofunção do Hamiltoniano,

− ~2

2m∇2ψE(~r) = EψE(~r).

Podemos verificar logo queψE(~r) = e

i~ ~p·~r

é uma solução, onde ~p é um vetor que satisfaz

1

2m~p2 = E. (28)

Assim, verificamos que a onda plana,

ψ~p(~r, t) = e−i~Ete

i~ ~p·~r = e−

i~p2

2m t+i~ ~p·~r,

é uma solução para qualquer vetor ~p. Sabemos que a Equação de Schrödingeré linear e, portanto, uma superposição das soluções é também uma solução.Assim, uma solução mais geral para Eq.(27) pode ser escrita como

ψ(~r, t) =1

(2π~)3/2

∫d3~p Φ(~p) e−

i~p2

2m t+i~ ~p·~r. (29)

12

onde o fator (2π~)−3/2 foi introduzido por conveniência. Tomando a transfor-mada de Fourier desta expressão, vemos que a coeficiente Φ(~p) é dada por∫

d3~r e−i~ ~p·~r ψ(~r, t) =

1

(2π~)3/2

∫d3~r e−

i~ ~p·~r

∫d3~p′ Φ(~p′) e−

i~p′ 22m t+ i

~ ~p′·~r

=1

(2π~)3/2

∫d3~p′ Φ(~p′) e−

i~p′ 22m t

∫d3~r e

i~ (~p−~p′)·~r

= (2π~)3/2∫d3~p′ Φ(~p′) e−

i~p′ 22m tδ(3)(~p− ~p′)

= (2π~)3/2

Φ(~p) e−i~p2

2m t.

Assim, se sabemos a função de onda para a instatne inicial t = 0, então temos

Φ(~p) =1

(2π~)3/2

∫d3~r e−

i~ ~p·~r ψ(~r, t = 0).

Substituindo esta expressão na Eq.(29), podemos determinar a função de ondapara qualquer tempo t. A forma da função de onda Eq.(29) é chamada de pacotede onda.Em geral, a energia E associado a partícula não necessariamente tem a forma

dada pela Eq.(28). A expressão uma pacote de onda é dada em geral,

ψ(~r, t) =1√

(2π~)3

∫d3~p Φ(~p) e−

i~E(p)t+ i

~ ~p·~r. (30)

Um exemplo de que a relação Eq(28) não é válida é o caso de uma partícularelativística,

E(p) =√p2c2 +m2c4. (31)

Em particular, no caso de fóton, m = 0, então

E(p) = cp. (32)

Vamos estudar o caso unidimensional. Escrevemos o pacote de onda como

ψ(x, t) =1√2π~

∫dp Φ(p) e−

i~E(p)t+ i

~px.

No caso de m = 0, podemos escrever a integral formalmente

ψ(x, t) =1√2π~

∫dp Φ(p) e

i~ ξp

= f(ξ),

onde f é a transformada inversa de Fourier da função Φ(p) e introduzimos avariável ξ por

ξ = x− ct.

13

Assim, o pacote de onda neste caso não muda a forma f , representando umapropagação desta pacote de onda com a velocidade c.Mas isto é para o caso de m = 0. Para os casos mais gerais, a velocidade de

deslocamento não é igual a c, mas dado por

~vg =∂E

∂~p, (33)

e a forma inicial da onda não fica mantida, mas vai ser desperçando no tempo(veja o exemplo abaixo). Por esta razão, a relação

E = E(p)

é chamada de relação de dispersão. A velocidade do pacote, Eq.(33) é chamadade velocidade de grupo como mostrado a seguir.Para mostrar a Eq.(33) vamos considerar um exemplo unidimensional, onde

o pacote inicial é dada pela forma Gaussiana,

ψ(x, t = 0) = N e−x2/2σ2+ i

~p0x,

onde N é o fator de normalização1

N2 =1√πσ2

.

O fator,e+ i

~p0x

foi introduzido para ter o valor correto da corrente,

j(x) =~

2mi

(ψ∗

∂

∂xψ − ψ ∂

∂xψ∗)

= N2 p0

m.

Sem este fator, a corrente se torna nula (onda estacionária).Podemos considerar que p0 é o momento inicial médio da parícula. Vamos

caluclar a distribuição em momento, Φ(p).

Φ(p) =1√2π~

∫dx e−

i~px ψ(x, t = 0)

=N√2π~

∫dx e−

i~px e−x

2/2σ2+ i~p0x

=N√2π~

∫dx e−x

2/2σ2− i~ (p−p0)x

=N√2π~

∫dx e−1/2σ2(x− i

~σ2(p−p0))2− σ2

2~2(p−p0)2

=N√2π~

√2πσ2e−

σ2

2~2(p−p0)2

= N ′ e−σ2

2~2(p−p0)2 ,

1Na verdade, a discussão a seguir não depende de fator de normalização.

14

onde N ′ é o fator de normalização,

N ′ 2 =

√σ2

π~2.

Uma vez obtido Φ (p) podemos calcular a função de onda para qualquer tempot,

ψ(x, t) =1√2π~

∫dp Φ(p) e−

i~ (Et−px)

=N ′√2π~

∫dp e−

σ2

2~2(p−p0)2 e−

i~ (Et−px). (34)

É claro que sem saber E = E(p) não podemos avançar mais o cálculo. Mas,para σ2 � ~2, o primeiro fator Gaussiano tende a zero rapidamente quandop afasta muito do valor p0. Neste caso, as contribuição para a integral quevêm muito longe do valor de p = p0 podem ser despreziveis. Podemos fazeruma aproximação no exponente do segundo fator, como uma função de p, pelaexpansão de Taylor em torno do p0.

Et− px '[E(p0) +

(dE

dp

)p0

(p− p0) +1

2

(d2E

dp2

)p0

(p− p0)2

]t− px

=1

2

(d2E

dp2

)p0

(p− p0)2 t+

[(dE

dp

)p0

t− x]

(p− p0) + E(p0)t− p0x .

Substituindo esta expressão na Eq.(34), temos

ψ(x, t) =N ′√2π~

∫dp e

− σ2

2~2(p−p0)2− i

~

{12

(d2Edp2

)p0

(p−p0)2 t+

[( dEdp )

p0t−x

](p−p0)+E(p0)t−p0x

}

=N ′√2π~

∫dp e−{A(p−p0)2+B(p−p0)+C }

=N ′√2π~

√π

Ae−C+B2

4A ,

onde

A =σ2

2~2+

i

2~t

(d2E

dp2

)p0

,

B =i

~

{(dE

dp

)p0

t− x},

C =i

~{E(p0)t− p0x } .

Finalmente a função de onda fica

ψ(x, t) = N ′′ e−{

( dEdp )p0t−x

}2

/2∆2(t)e−

i~{E(p0)t−p0x }, (35)

15

onde

∆2(t) ≡ σ2 + i~t(d2E

dp2

)p0

. (36)

A Eq.(35) mostra que a pacote de onda é uma distribuição Gaussiana, central-izada em

x =

(dE

dp

)p0

t. (37)

A expressão Eq.(36) pode parecer estranho, pois o parâmetro de largura é com-plexo. Mas para a largura da distribuicão de probabilidade, devemos calculara densidade, e não amplitude. A largura para a probabilidade dependente notempo será dada por

1

2

{1

∆2+

1

∆∗2

}=

1

σ2 + (~t)2σ2

(d2Edp2

)2

p0

. (38)

Da Eq.(37), concluimos que a velocidade do pacote é dada por

vg =

(dE

dp

)p0

.

Exercício: Mostre que a largura da distribuição de probabilidade é dada pelaEq.(38).

Exercício: Um pacote de onda de proton cuja largura inicial é 1cm, a energiacinética de 1GeV , viaja 10Km. Qual é a largura final do pacote?

Exercício: Calcule o valor médio da posição 〈x〉 do pacote Eq.(35). Calculetambém o valor médio do momento 〈p〉.

2.5 Problema de Potencial

Na Mecânica Quântica, a equação dinâmica que substitui a Equação de Newtoné a Equação de Schrödinger,

i~∂

∂tψ(~r, t) = Hψ(~r, t),

onde H é o operador Hamiltonianio. Esta é uma equação diferencial parcial e,em geral, não é trivial resolver-la. Mas, como vimos, se resolvemos o problemade autovalor, ou a Equação de Schrödinger independente no tempo,

HψE(~r) = EψE(~r) (39)

para todos os possíveis autovalores E do Hamiltoniano H, a solução geral é dadapor

ψ(~r, t) =∑E

CEe− i~EtψE(~r).

16

Assim, obter todos as soluções de problema de autovalores do Hamiltoniano dosistema é equivalente a resolver o problema dinâmico.Para um sistema físico, o autovalor de Hamiltoniano tem o limite inferior, ou

seja, existe o menor valor do autovalor da energia deve ser finito. O autoestadocorrespondente ao autovalor de energia mínimo é chamado de “estado funda-mental”. Obter solução para o estado fundamental do sistema é um problemaextremamente importante.Para movimento unidimensional de uma partícula ponteforme sob a ação de

um potencial V (x), a Equação de Schrödinger Eq.(39) se torna uma equaçãodiferencial ordinária,

− ~2

2m

d2

dx2ψE(x) + V (x)ψE(x) = EψE(x). (40)

Antes de buscar uma solução, vamos analizar a propriedade geral do sistemaacima. Re-escrevemos a equação como

ψ′′ (x) = −D(x)ψ (x) , (41)

ondeD(x) ≡ 2m

~2(E − V (x)) . (42)

Dependendo do sinal da função D (x) o comportamento da solução ψ (x)muda completamente. Se

D (x) > 0,

então ψ′′ e ψ tem sinais opostos, isto é, quando ψ > 0, então ψ′′ < 0 e, quandoψ < 0, ψ′′ > 0 . Desta forma, se uma vez ψ > 0, enquanto manter isto,a derivada de ψ decresce cada vez mais e, portanto, a função também acabadecrescendo indefinidamente, até cruza o eixo x (ver a figura abaixo).Por outro lado, se ψ se torna negativo, então ψ′′ fica positivo. Assim, en-

quanto ψ < 0, a sua derivada cresce cada vez mais e a função começa crescer.No final, a função acaba cruzando o eixo x mudando o sinal (veja a fuguraabaixo).Combinando as duas propriedades acima, concluimos que o comportamento

da função ψ (x) é oscilatório (ou a parte da função oscilatória) quando D (x) épositivo. A curvatura da função fica maior quando D (x) maior.

17

Agora, quando D (x) < 0, a situação inverte. Neste caso, se ψ > 0, en-tão, a derivada de ψ cresce cada vez mais e, portanto, a função também acabacrescendo indefinidamente e tende a divergir para ∞, se não cruza o eixo xantes (a curva do topo na figura abaixo). Quando cruza o eixo x, então o sinalda função se troca e a derivada decrece. Assim, a função decresce indifinida-mente e tende a divergir para −∞( a curva no meio). Quando com ψ > 0,ψ′ decresce cada vez mais e, portanto, a função também acaba decrescendomesmo começando com ψ′. Assim ψ decresce indefinidamente e tende a divergirpara −∞, se não cruza o eixo x antes (a curva do baixo). Se cruza o eixo antes,então a função começa divergir para +∞ (não ilustrado na figura abaixo).Assim, quando D (x) < 0, a função de onda tende a divergir, seja para +∞,

seja para −∞, exceto uma situação bem particular, onde a função de ondaencosta o eixo x asimtoticamente (ver a figura abaixo). Esta situação particularocorre quando o valor e sua derivada de função de onda tem a relação especial.A análise acima permite discutir o comportamento da função de onda geral

no problema unidimensional. Vamos considerar um potencial atrativo comoilustrado na figura abaixo. Convencionamos que V (x)→ 0 para |x| → ∞.

18

19

Figure 1: Caso A

Podemos considerar os 3 casos distintos de faixa de energia ilustrados nasfiguras abaixo.

Caso A: Neste caso, a energia é menor que o valor mínimo do potencial.Isto é, D(x) < 0 para qualquer valor de x. Neste caso, da discussão acima, afunção de onda sempre tem a mesma curvatura, e não ha possibilidade de teruma solução finita para |x| → ∞. Assim, podemos descartar esta possibilidade.Caso B: Neste caso, a energia fica entre o valor mínimo do potencial e zero.

Esta situação corresponde o estado ligado da partícula para este potencial. Aposição x para qual ocorre

V (x) = E,

é chamada de ponto de retorno, pois na Mecânica Clássica, este ponto é ondea partícula muda a direção da velocidade. Neste exemplo da figura, exitem 2pontos de retorno. A função de onda tem o comportamento oscilatório dentrodo invervalo entre dois pontos de retorno, e fora dos pontos de retorno, a funçãode onda tende a divergir para |x| → ∞. Assim, geralmente não pode satisfazera condição de contorno física para valores de energia E arbitrários. Mas, de-pendendo da situação, pode acontecer que, a oscilação da função de onda noregião no meio fornece justamente a condição não divergente nas regiões fora dosdois pontos de retorno, aproximando asimtoticamente ao eixo x, como ilustradona figura abaixo. Isto mostra que para o caso B, pode existir algum valoresparticulares da energia E para o qual, a função de onda satisfaz a condição decontorno física. Consequentemente, pode existir alguns autovalores descretos deenergia. Assim, o estado ligado na Mecânica Quântica corresponde o autovalordiscreto da energia.Para o caso C, a energia sempre maior que V (x). Classicamente, esta situ-

ação corresponde o estado de espalhamento. Na Mecânica Quânica, neste caso,temos sempre D(x) > 0 e a função de onda é sempre oscilatória. Desta forma,

20

Figure 2: Caso B

Figure 3: Caso C

21

Figure 4: Função de onda que asintoticamente converge a zero fora do potencialnos dois lados.

a condição de contorno física não impor nenhuma condição para E. Qualquervalor da energia E é permitido, em princípio. Assim, na Mecânica Quântica, oespectro de autovalor da energia é contínua para estado de espalhamento.

2.6 Exemplo: Partícula num Poço de Potencial Quadrado

Uma solução da equação de autovalores do Hamiltoniano, Eq.(8) é essencial-mente uma solução da Equação de Schrödinger, também. Assim, a equaçãode autovalores do Hamiltoniano, Eq.(8) é chamada de Equação de Schrödingerindependente do tempo.Vamos considerar um exemplo bastante simples. Parafixar a imagem, vamos tratar um sistema simples. Suponha que uma partículacom massa m esteja num potencial V (x), definido por

V (x) =

{−V0,

0,−L ≤ x ≤ L|x| > L

onde V0 > 0. Potencial deste tipo é chamado de potencial de poço quadrado.O operador Hamiltoniano para esta partícula é

H =1

2mp2 + V

= − ~2

2m

d2

dx2+ V (x).

A equação de autovalor do H fica

− ~2

2m

d2

dx2ψE(x) + V (x)ψE(x) = EψE(x), (43)

22

onde denotamos o autovalor por E.Esta é uma equação diferencial para uma função incognita ψE(x), mas lem-

bre que não sabemos ainda o valor de E. O que vai determinar o valor de E éa condição contorno do problema como vejamos abaixo.Aqui vamos considerar o caso de estado ligado pelo este poço de potencial.

A energia então deve ser negativa, e maior que o fundo do poço,

−V0 < E < 0.

Neste caso, esperamos que a partícula esteja confinado no poço de potencial.Vamos explicitar os três regiões de diferentes valores de potencial,

− ~2

2m

d2

dx2ψE(x) = EψE(x), x < −L, (44)

− ~2

2m

d2

dx2ψE(x)− V0ψE(x) = EψE(x), −L ≤ x ≤ L, (45)

e

− ~2

2m

d2

dx2ψE(x) = EψE(x), x〉L, (46)

Da Eq.(44), temosψE(x) = Ae+qx +Be−qx, (47)

onde

q =

√−2mE

~2> 0, (48)

e A e B são constantes. Não deve esquecer que a solução dada pela Eq.(47) éválida só para x < L.Para x → −∞, o termo exponencial e−qx tende a infinito. Como uma am-

plitude de probabilidade, isto é físicamente não é aceitável2 . Portanto, devemoster

B = 0.

Da Eq.(46), temos novamente

ψE(x) = Ce+qx +De−qx.

Considerando o limite x→ +∞, concluimos que o termo e+qx não deve existir.Portanto, temos

C = 0.

Da Eq.(45) temos

− ~2

2m

d2

dx2ψE(x) = (V0 + E)ψE(x). (49)

Já queV0 + E > 0,

2Qual é a incoveniência da possibilidade ter infinita para x→ −∞?

23

definimos

k =

√2m(V0 + E)

~2, (50)

e a solução da Eq.(49) é escrita por

ψE(x) = α sin kx+ β cos kx.

Resumindo, a solução da equação de autovalor tem a seguinte estrutura;

ψE(x) =

Ae+qx,α sin kx+ β cos kx,

De−qx.

x < −L−L ≤ x ≤ Lx > L.

(51)

Agora, impormos que a função de onda é suave (contínua até primeira derivada)3 .Iso é, impormos que

ψE(x)|x→−L−ε = ψE(x)|x→−L+ε ,

edψE(x)

dx

∣∣∣∣x→−L−ε

=dψE(x)

dx

∣∣∣∣x→−L+ε

.

Analogamente para x = L, temos

ψE(x)|x→L−ε = ψE(x)|x→L+ε ,

edψE(x)

dx

∣∣∣∣x→L−ε

=dψE(x)

dx

∣∣∣∣x→L+ε

.

Estas condições ficam explicitamente para a Eq.(51),

Ae−Lq = −α sin kL+ β cos kL, (52)

qAe−Lq = αk cos kL+ βk sin kL, (53)

De−Lq = α sin kL+ β cos kL, (54)

−qDe−Lq = kα cos kL− kβ sin kL. (55)

Dividindo a Eq.(53) por (52), temos

q = kα cos kL+ β sin kL

−α sin kL+ β cos kL, (56)

e dividindo a Eq.(55) por (54), temos

q = k−α cos kL+ β sin kL

α sin kL+ β cos kL. (57)

3Discutiremos o significado físico destas condições.

24

Das Eqs.(56) e (57), temos

α cos kL+ β sin kL

−α sin kL+ β cos kL=−α cos kL+ β sin kL

α sin kL+ β cos kL. (58)

Daí, concluímos queαβ = 0, (59)

isto é, α = 0 ou β = 0. (α = β = 0 corresponde ψE(x) ≡ 0, portanto nãoconsideramos).

Exercício: Mostre da Eq.(58) a Eq.(59).

De α = 0, temosq = k tan kL, (60)

e se β = 0, temosq = −k cot kL, (61)

Lembramos que q e k são funções de E. Assim, o autovalor de energia E devesatisfazer, ou

q(E) = k(E) tan k(E)L, (62)

ouq(E) = −k(E) cot k(E)L. (63)

Isto é, os autovalores da energia E são as raízes das equações acima.Para ver o comportamento destas raízes, lembramos que,

q2 = −2mE

~2, k2 =

2m (V0 + E)

~2,

portanto,

(Lq)2

+ (Lk)2

=2mV0L

2

~2≡ ξ2. (64)

Escrevendo

u = Lq,

v = Lk,

as equações que devem ser resolvidas ficam{u =

√ξ2 − v2

u = v tan v(65)

ou {u =

√ξ2 − v2

u = −v cot v(66)

Exercício: Desenvolve as contas acima.

25

As raízes são dadas como pontos de cruzamento de duas curvas, uma umcirclo com raio ξ e outra, u = v tan v ou u = −v cot v.

Exercício: Desenhe os graficos das duas curvas da Eq.(65) no plano (ν, u).Dependendo do valor de ξ, existem mais de uma solução. Qual é o valorde ξ para qual existe apenas uma solução?

Exercício: Mostre que todas as autofunções ficam classficadas em dois grupos,ou função simétrica, ou antisimétrica.

Vamos investigar o caso de um poço infinitamente fundo, ou seja, no limitede V0 →∞. Os pontos de cruzamento são dados por

v =

(n+

1

2

)π, n = 1, 2, .. (67)

para o caso deu = v tan v,

ev = nπ, n = 1, 2, ...

para o caso deu = −v cot v.

Assim, os possíveis valores de v em ambos casos são dados por

vn =1

2πn, n = 1, 2, ... (68)

e os valores correspondentes de k ficam

kn =1

2

πn

L

A energia medido do fundo do poço (−V0) fica

En + V0 =~2

2mk2n

=π2~2

8mL2n2. (69)

Exercício: Discuta o comportamento da função de onda em x = ±L no casode V0 →∞.

Exercício: Justifique as Eqs.(67) e (68).

Exercício: Discuta o resultado Eq.(69) do ponto de vista do Princípio de In-certeza.

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