autômatos finitos com transições o autômato vai do estado p para o estado q sem ler um símbolo...
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autômatos finitos com transições
o autômato vai do estado p para o estado q sem ler um símbolo de entrada.
p q
EXEMPLO 1
b b b
Estando no estado s e recebendo o símbolo b: ler b e ir para p ir para t e então ler b e ir para q ir para t, ir para u e então ler b e ir para r.O conjunto aceito pelo autômato acima é {b, bb, bbb}.
s tu
p q r
EXEMPLO 2
a a
a a a a
a a
q2
q3 q4
q1
q5
q8
q7
q9
q6
O conjunto aceito pelo autômato acima é { x {a*} | |x| é divisível por 3 ou 5}.
A maior vantagem de transições é a conveniência.
Autômato com transições tem o mesmo poder computacional que afds e afnds
Propriedades de Linguagens Regulares
Concatenação de dois conjuntos A e BA•B = AB = { xy | x A e y B}
EXEMPLO. {a, ab} • {b, ba} = {ab, aba, abb,
abba}
Se A e B são conjuntos regulares, AB também é.
Prova IntuitivaSeja M o autômato para A e N para B. Construir um novo autômato P cujo os
estados são a união dos de M e N. Todas as transições de M e N serão
transições de P. O estado inicial de M será o de P. Os estados finais de N serão os de P. Finalmente, ligue os estados finais de M
ao estado inicial de N com uma transição .
EXEMPLO 4
Seja A = {aa}, B = {bb}
a a b b
a a b b
q0 q1 q3 q4
q0 q1 q2 q3 q4
q2 q5
q5
Fecho de Kleene
Se A é regular então A* também é.
A* = { } A A2 A3 …
= { x1x2…xn | n 0 e xiA , 1 i n}
Prova IntuitivaSeja M o autômato para A então P para
A* é como segue: Comece com todos os estados e
transições de M. Adicione um novo estado q e uma
transição de q para o estado inicial de M. Faça q o estado inicial de P.
Faça q o único estado final de P. Adicione transições dos estados finais
de M para o estado q.
EXEMPLO 5Dado o autômato para A {aa}, o para
A* :
a a
q q0 q1 q2
Casamento de Padrões e Expressões Regulares
O que acontece quando digitamos ‘rm *’ no Unix? E ‘rm *.dvi’?
Casamento de padrões é uma aplicação importante da teoria dos afds.Seja um alfabeto finito.Um padrão é uma cadeia de símbolos de um certo formato representando um conjunto (possivelmente infinito) de cadeias sobre *.
Casamento de PadrõesPadrões: Básicos CompostosNotação: letras gregas , , , …Associado a definição de padrões, temos
quais cadeias x * casam com os padrões definidos.
Notação: L() é o conjunto de cadeias em * que casam um dado padrão . L(X) = {x * | X casa com }
Padrões Básicos a para cada símbolo a , L(a) = {a} casa com a palava vazia ,L() = { } casa com nada, L() = , o cjto.vazio # casa com qualquer símbolo em , L(#)
= @ casa qualquer cadeia em *, L(@)=*.
Padrões compostos
São formados indutivamente usando os operadores: +, , * , ~ , •
Suponha que definimos os conjuntos de cadeias L() e L() casando e respectivamente. Então dizemos:
x casa com + , se x casa ou com ou com
L( + ) = L( ) L()
X casa com se X casa com ambos e
L( ) = L() L() X casa com se existem cadeias y e z
tal que y casa com , z casa com e x = yz.L() = L()•L()
X casa ~ se X não casa com .L(~) = ~ L( ) = * \ L()
Esta definição depende de .
X casa * se x pode ser dividido na concatenação de várias (talvez nenhuma) cadeias finitas, x=x1x2x3…xn, n 0 tal que cada xi casa com .
L(*) = {x1x2…x n| n e xiL(),1 i n} = L()0 L()1 L()2 …= L()*
Note que Padrões são cadeias de símbolos sobre o alfabeto:
{ a | a } {, , #, @, +, , ~, *, (, )}
EXEMPLOS
* = L(@) = L(#*) Conjuntos com um único símbolo: se x
* , então, x por se só é um padrão e casa somente com a cadeia x, i.e , {x} = L(x)
Conjuntos finitos: se x1 , … , xm * , então
{x1, x2 , …, xm } = L(x1 + x2 + … + xm )
cadeias contendo pelo menos 3 ocorrências de a: @ a @ a @ a @
cadeias contendo um a seguido mais tarde por um b, isto é cadeias da forma xaybz para algum x, y, z
@ a @ b @ \ { a } # (~a) cadeias sem a ocorrência da letra a
(# (~a) ) *
Algumas Questões Importantes
Quão difícil é determinar se uma dada cadeia casa um determinado padrão?
(Existem algoritmos muitos eficientes, veremos alguns deles. Esta é uma questão prática.
Todos os conjuntos são representados por algum padrão?
(Não! Veremos, por exemplo, que o conjunto {an bn | n 0} não é representado por nenhum padrão.)
Quais operadores são redundantes?
pois é equivalente a ~(#@) e a *
@ pois é equivalente a #*# se = a1 , a2 , … , an então # é
equivalente a a1 + a2 + … + an .
é equivalente a ~(~ + ~ )
Todos os padrões são equivalentes a um padrão usando somente o padrão básico a para a , e os operadores ~,+ , * e •. Padrões usando somente estes símbolos são chamados expressões regulares.
Evitando Parentesis+ e . São associativas, i. e.L(+(+)) = L((+)+)L(()) = L(()) , e podemos escrever + + Precedência: * • Menor +
Equivalência de Padrões, Expressões Regulares e Autômatos Finitos
Teorema:Seja A *. As três afirmações abaixo são equivalentes:(i) A é regular; i.e., A = L(M) para algum autômato finito M.(ii) A = L( ) para algum padrão (iii) A = L( ) para alguma expressão regular .
Prova: (iii) (ii)
A implicação (iii) (ii) é trivial, uma vez que toda expressão regular é um padrão por definição.
(ii) (i)
O coração desta prova envolve mostrar que outros conjuntos básicos (correspondendo aos padrões básicos) são regulares, e que conjuntos são fechados sobre operações de fechamento correspondendo aos operadores usados para construir padrões.
Note que:- o conjunto unitário { a } é regular, a - o conjunto unitário {} é regular- o conjunto vazio é regular, uma vez que cada um destes conjuntos é um conjunto aceito por algum autômato.
a
q0 q1 q0 q0
(1) (2)
Mostramos previamente que os conjuntos regulares são fechados sobre o conjunto de operações , , ~ , *, e, ·, i.e. , se A e B são conjuntos regulares então A B, A B,
~A = *\ A, AB e A* são regulares.Seja um dado padrão. Queremos mostrar que L() é um conjunto regular. Procedemos por indução na estrutura de .
O padrão é de uma das seguintes formas:
(i) a, para algum a (vi) + (ii) (vii) (iii)
(viii)
(iv) # (ix) ~(v) @ (x)*
São cinco casos base (i) - (v) corres-pondendo aos padrões atômicos e cinco casos de indução correspon-dendo aos padrões compostos.Para (i) - (iii) temos L(a) = {a} para a , L(e L() = estes são conjuntos regulares.Para (iv) e (v), argumentamos antes que os operadores # e @ são dundantes logo podemos desconsiderar estes casos.
Para (vi), lembre que L(+) = L()L() pela definição do operador +. Pela hipótese da indução, L() e L() são regulares. Como conjuntos regulares são fechados sobre a união, L(+) = L() L() é regular.
Para os casos (vii) - (x) use argumen-tos similares aos usados em (vii).
convertendo autômatos em expressões regulares (I) (iii)
Dado um subconjunto de estados T de um AFND M e estados u e v, construamos a expressão regular:
Tuv
representando o conjunto de todas as cadeias x tal que existe um caminho de u para v em M rotulado x (isto é , (u, x) = v) e todos os estados no caminho, com a possível exceção de u e v estarem em T.
As expressões são construídas por indução no tamanho de T.
Base T = Seja a1, … , ak todos os símbolos em tal
que (u, ai) = v.
uv = a1 + … + ak se u v
a1 + … + ak + se u = v
Indução T Escolha um elemento qualquer q T
Tuv = uv
T-{q} + uqT-{q} (qq
T-{q} )* qvT-{q}
Note que qualquer caminho de u para v com todos os estados intermediários em T ou :
(i) nunca visita q : uvT-{q} ou
(ii) visita q uma primeira vez: uqT-{q}
Seguido por um número finito (≥ zero) de laços de q para q sem visitar q no meio tempo e ficando em q :
(qqT-{q} )*
Seguido por um caminho de q para v deixando q pela última vez
qvT-{q}
A expressão:
Qsf1 + Q
sf2 + … + Qsfk
representa o conjunto de cadeias aceitas por M, onde Q é o conjto de todos os estados de M,s é o estado inicial e { f1 , … , fk } é o conjunto de estados finais.
Ex: Converta o autômato em uma expressão regular equivalente .
p
q
r0
01 0
1
pp{p,q,r} T={p,q,r}
Remova q T- {q}
pp{p,q,r} = pp
{p,r} + pq {p,r}(qq
{p,r})* qp{p,r}
pp{p,r} = 0* pq
{p,r} = 0*1 qq{p,r} = + 01 + 000*1
qp{p,r} = 000*
pp{p,q,r} = 0* + 0*1 ( + 01 + 000*1 )*000*