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Modelagem de Sistemas Dinmicos Aula 9Prof. Daniel [email protected]

Programa de P s-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas o Universidade Federal de Santa Catarina

PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.1/52

Sumrio Sistemas Fludicos

1. Conceitos Bsicos 2. Elementos Ideais: Capacitncia Inertncia Resistncia

3. Gerao das Equaes de Movimento 4. ExemplosPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.2/52

Introduo Escoamento de udos esto presentes em vrias aplicaes

na rea de automao e controle (reatores qumicos, atuadores pneumticos e hidrulicos, controle de nvel, etc.). Os elementos que compe os sistemas udicos possuem

uma srie de variaes que no aparecem em outros tipos de sistemas o que torna bastante complexo a obteno de modelos matemticos. Nesta aula, apresentam-se os conceitos bsicos necessrios

para a modelagem de processos udicos de forma simplicada.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.3/52

Conceitos Bsicos - I Press o: a presso P aplicada em uma rea innitesimal a

dA dada por dFn P = dA onde Fn a componente normal da fora F aplicada em dA. Consideraremos, em geral, que P uniformemente

distribudo sobre a rea dA. Normalmente, o escoamento de uidos feito em tubos:


Conceitos Bsicos - II Fludo que se desloca devido a ao de uma fora Fn :

O trabalho realizado por Fn ao deslocar o uido pela rea A

por uma distncia innitesimal dx dado por: dW dW = Fn dx = P Adx = P dV P = dV onde dV = Adx o volume innitesimal deslocado.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.5/52

Conceitos Bsicos - III Vaz o: a vazo com que um udo se desloca em um tubo a

dV Q= (analogia circ. eltrico: Q i , V q) dt Supondo um uido incompressvel, a vazo se transmite ao

longo de um tubo Qm = Qj = Q , Pm > Pj


Conceitos Bsicos - IV Pot ncia e Energia: e

dV Q= e dW = P dV dt A potncia p dada por:

dW dV p= =P = P Q ( anlogo eltrico: p = V i) dt dt A energia E dada por:t

E(t) =0

p( )d


Elementos Ideais - I Capacit ncia Fludica: a

Reservatrio ou tanque pressurizado com udo incompressvel:


Elementos Ideais - II Vazo

dH dV = d(AH) = AdH = Qdt Q = A dt Para uma massa especca

F2 F1 = gHA P2 P1 = P21 = gH dH 1 dP21 Q = = dt g dt A A dP21 Q= g dt dV anlogo eltrico: i = C dt


Elementos Ideais - III Denindo a capacitncia udica

A 1 CF = P21 (t) = g CF

t

Q( )d + P21 (0)0

A potncia e a energia fornecidas para aumentar a presso

de P1 para P2 so dadas por: p = Q P2 P1 = QP21 t P21

E(t) =0

P21 ( )Q( )d =0

CF P21 dP21

CF 2 = P21 2


Elementos Ideais - IV Tanque pressurizado com udo compressvel:

A presso P aumenta devido ao udo injetado dentro do

tanque. Pelo princpio da conservao de massa: dV d V d d[ln()] =V = Q Q = Q=V dt dt dt dtPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.11/52

Elementos Ideais - V Para lquidos, em geral, a variao innitesimal da massa

especca: d = dP , onde uma constante Para gases, em geral, tem-se que:

dP d = nP onde n um nmero que varia entre 1, 0 e 1, 4 dependendo de quo rapidamente o udo comprimido.


Elementos Ideais - VI Quando a mudana de presso for pequena:

nP d = dP Q = V dP CF = V = dt

Acumulador com mola (udo incompressvel):


Elementos Ideais - VII Capacitncia udica para acumulador com mola e udo

incompressvel: dV dx = A = Q dt dt AP21 dx dP21 k dx dP21 =k = = kx A dt dt dt A dt

A2 dP21 dP21 A2 Q= = CF CF = k dt dt k


Indutncia Fludica - I Suponha que todas as partculas do udo no tubo abaixo

representado se deslocam com a mesma velocidade

A fora necessria para deslocar o udo:

F = A(P2 P1 ) = AP21

dv = ma = AL dt


Indutncia Fludica - II Portanto:

L dQ Q v= P21 = A A dt

di anlogo eltrico: V = L dt

Dene-se a indutncia (ou inertncia) udica como

L 1 LF = Q(t) = A LF

t

P21 ( )d + Q(0)0

Tambm, pode-se denir uma grandeza anloga ao uxo

concatenado que chamado de momento de presso: P21 d21 = dt d anlogo eltrico: V = dtPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.16/52

Indutncia Fludica - III Tem-se que:t 0

dv F ( )d = AP21 ( )d = AL d d 0 0 = ALv(t) = LA(t) = A21

t

t

Portanto:

21

L = Q = LF Q (anlogo eltrico: = Li) A

Energia Armazenada:t t

E(t) =0

Q( )P21 ( )d = LF0

dQ( ) LF 2 Q( ) d = Q (t) d 2


Resistncia Fludica - I O conceito de resistncia udica RF til para calcular a

perda de carga ao longo de circuitos hidrulicos. No entanto, a determinao da resistncia udica depende

do tipo de escoamento do udo ao longo de um condutor. Numero de Reynolds: grandeza adimensional que

caracteriza o escoamento Dv Re = onde a massa especca, D o dimetro interno da tubulao, v a velocidade mdia do udo na tubulao, e a viscosidade absoluta do udo.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.18/52

Resistncia Fludica - II Tipos de Escoamento:

A equao de Bernoulli que estabelece uma relao

envolvendo perda de presso em tubulaes tambm um conceito fundamental na obteno de uma expresso para a resistncia udica.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.19/52

Equao de Bernoulli - I Considere o escoamento em regime estacionrio de um uido

no viscoso e incompressvel atravs de uma tubulao


Equao de Bernoulli - II Na gura anterior, considere que:

1. a seo transversal do tubo muda de A1 para A2 , 2. A1 e A2 esto em alturas diferentes h1 e h2 , 3. em A1 a presso P1 e em A2 a presso P2 , e 4. a velocidade de escoamento v1 em A1 e v2 em A2 . Relembrando, o trabalho realizado para deslocar o udo

igual a variao da energia cintica: W (da fora resultante) = Ec


Equao de Bernoulli - III As foras que realizam trabalho so F1 = A1 P1 e

F2 = A2 P2 , alm da fora da gravidade mg(h2 h1 ). O trabalho realizado para deslocar a massa de udo:

1. o trabalho da fora F1 P1 A1 l1 , 2. o trabalho da fora F2 P2 A2 l2 3. o trabalho realizado pela gravidade mg(h2 h1 ). Portanto:

W = P1 A1 l1 P2 A2 l2 mg(h2 h1 )PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.22/52

Equao de Bernoulli - IV Como se supe que o uido seja incompressvel, tem-se

que V = A1 l1 = A2 l2 . O volume de uido deslocado corresponde a V = m/. Portanto:

m W = (P1 P2 ) mg(h2 h1 ) A variao de energia cintica:

1 2 2 Ec = m v2 v1 2PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.23/52

Equao de Bernoulli - V Como W (fora resultante) = Ec :

m 1 2 2 (P1 P2 ) mg(h2 h1 ) = m(v2 v1 ) 2 1 2 1 2 P1 + v1 + gh1 = P2 + v2 + gh2 2 2 Como as posies 1 e 2 so quaisquer:

1 2 P + v + gh = constante 2 que a equao de Bernoulli para escoamento estacionrio.


Equao de Bernoulli - VI Note que se o udo se encontra em repouso:

P1 + gh1 = P2 + gh2 P21 = P2 P1 = g(h2 h1 ) = gh O termo P + gh que existe sem escoamento chamado de

presso esttica. E o termo v 2 /2, chama-se presso dinmica.


Resistncia Fludica - III Existe uma relao denida entre a velocidade do uido e a

presso diferencial atravs de qualquer componente de carga em uma tubulao (trecho reto, curva, vlvula, medidor). A partir da equao de Bernoulli, pode-se deduzir que

existe uma relao de proporcionalidade entre a vazo de uido e a raiz quadrada da perda de presso: Q = k P Portanto, pode-se denir a resistncia udica como:

P = RF Q

2

P RF = 2 Q


Resistncia Fludica - IV Escoamento atravs de um tubo:

Relaes perda de presso e vazo:

1. Escoamento turbulento em tubo rugoso: P RF,T R Q2 =PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.27/52

Resistncia Fludica - V2. Escoamento turbulento em tubo liso P RF,T L Q1,75 = 3. Escoamento laminar: P RF,L Q = onde P a perda de carga, RF a resistncia udica e Q a vazo. As relaes acima so vlidas para escoamentos de

qualquer lquido incompressvel em tubulaes com dimetro constante, em instalaes horizontais, verticais ou inclinadas.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.28/52

Resistncia Fludica - VI Os termos para RF,T R e RF,L :

RF,T R

fa L 8L 128L = , RF,L = = 2 2 2DA A D4

onde fa o coef. de atrito ou perda de carga a massa especca do uido (kg/m3 ) L o comprimento da tubulao (m) D o dimetro interno da tubulao (m) A a rea interna da seo reta da tubulao (m2 ) a viscosidade absoluta do uido (P a s) O fator fa determinado experimentalmente. PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.29/52

Resistncia Fludica - VII Escoamento atravs de um tubo capilar

Perda de presso:

P21

128L = P = RF Q , RF = D4


Resistncia Fludica - VIII Escoamento atravs de singularidades Exemplos de singularidades: reduo/expanso na tubulao;

curvas; cotovelos; entrada e sadas de vasos em tubulaes; ltros, etc. Perda de carga:

P2 P1 = P21 = P = RF Q2 Resistncia Fludica:

K RF = 2A2 onde K = fa L/D o coeciente de resistncia que normalmente fornecido em tabelas que variam com o dimetro.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.31/52

Resistncia Fludica - IX Escoamento atravs de elementos geradores de presso

diferencial Exemplos: tubos de Venturi, bocais de vazo, placas de

orifcio e orifcios de restrio.


Resistncia Fludica - X Perda de carga:

P2 P1 = P21 = P = RF Q2 Resistncia Fludica:

RF =

8 CE 2 D2 fa2

1 CE 2 1 + CE 2

onde C o oeciente de descarga, E = 1/ 1 4 o fator de velocidade de aproximao; = d/D a relao dos dimetros da restrio e da tubulao; e fa o fator de dilatao trmica. Para medidores no se considera o termo

(1 CE 2 )/(1 + CE 2 ).


Resistncia Fludica - XI Escoamento atravs de vlvulas Em geral os fabricantes denem o chamado coeciente de

vlvula Cv como sendo um fator de proporcionalidade que depende das dimenses da vlvula: Q = Cv P G

onde G a densidade relativa do uido. Para lquidos, G corresponde a razo entre a massa

especca do uido e a massa especca da gua nas condies padres (15, 56o C e 1 atm), isto : agua = 999, 08 kg/m3 .PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.34/52

Resistncia Fludica - XII O valor de Cv deve ser ajustado quando existem variaes em

relao ao seu valor padro (escoamento turbulento com uido incompressvel). Perda de carga e resistncia udica

1, 7338 109 P = RF Q , RF = 2 f 2 (X)Cv2

onde X posio de abertura da vlvula (X = 0 indica vlvula aberta), f (X) porcentagem do valor de Cv relativa a posio (f (0) = 0 e f (1) = 1). Geralmente o valor de f (X) fornecido pelo fabricante atravs

de uma curva de operao para cada tipo de vlvula.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.35/52

Equaes de Movimento - I Relacoes do Sistema Equao da continuidade: balanceamento de massas

dm = mentra msai dt Equilbrio de foras: preservao da quantidade de

movimento d(mv) = F dt onde v a velocidade do uido e m a massa de uido em movimento.


Equaes de Movimento - II Relacoes Constitutivas Relao presso/densidade: para lquidos pode se supor

que a densidade independente da presso (incompressvel) e para gases: P V = nRT onde n nmero de moles, R a constante universal dos gases, e T a temp. absoluta. Seja M a massa molecular, ento

m PM P V M = mRT = = V RTPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.37/52

Equaes de Movimento - III Perda de carga:

P = P21 = P2 P1 = RF Q onde RF a resistncia udica que depende da forma da tubulao e do tipo de escoamento, e uma constante variando entre [1, 2]. Para a maioria das perdas de carga localizadas ou

distribudas, considera-se que = 2. No caso de ltros, perdas de carga distribudas ao longo de

trechos retos de tubulaes com escoamento laminar e atravs de tubos capilares, utiliza-se = 1.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.38/52

Equaes de Movimento - IV Relao fora de atrito com vazo: aplicvel a tubulaes A fora de atrito pode ser aproximada pela seguinte funo:

Fa = bv

fa LD , b= 8

onde um coeciente que depende do tipo de escoamento. Quando o atrito viscoso dominante (escoamento laminar e

escoamento em tubos capilares), utiliza-se = 1. Para tubos lisos = 1, 75 e para tubos rugosos = 2,

considerando um escoamento turbulento.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.39/52

Equaes de Movimento - V Balanceamento de foras em um tubo com escoamento de

uido:


Equaes de Movimento - VI Desprezando a inuncia do peso e considerando o escoamento

em regime permanente: Fi = mv = 0 P2 A = P1 A + Fa Para = 1 (escoamento laminar)

b b P = 2 Q = RF Q RF = 2 A A Para = 2 (escoamento turbulento)

b 2 b 2 P = 3 Q = RF Q RF = 3 A A Relao presso P e nvel H

P = gH + PaPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.41/52

Exemplo 1 - I Um gs perfeito com massa molecular M ui em um cilindro a

uma vazo W0 (lbm/min) atravs de uma restrio.

Escrever a equao do movimento do sistema. Supor que P

(lbf/ft2 ) a presso no cilindro, P0 a presso a esquerda e o sistema isotermal (temperatura constante).PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.42/52

Exemplo 1 - II Relaes do sistema:

Balano de foras P A = Patm A + kX Balano de massasdm dt

= A d(X) = W0 dt

Relaes constitutivas:

W0 = K0 Equaes do movimento:

M P0 P , = P RT

AM d(XP ) P A = Patm A + kX , = K0 dt RT

P0 P


Exemplo 2 - I Seja um tanque com escoamento livre:

Obter as equaes de movimento do sistema. Suponha

escoamento turbulento em tubo rugoso.PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.44/52

Exemplo 2 - II Relacoes do sistema: Balano de massa

dm d(AH) = = e Qe Q dt dt Supondo que e = = cte dH A = Qe Q dt


Exemplo 2 - III Balano de Foras: Diagrama de corpo livre

Pelo diagrama acima Fi = FH Fa .


Exemplo 2 - IV Relacoes Constitutivas Denio de Fi

d(mT v) Fi = dt onde mT = AT L a massa do uido na tubulao, e v = Q/AT a velocidade mdia do uido na tubulao. L dQ , LF = (inertncia hidrulica) Fi = A T L F dt AT

Denio de FH

FH = (P Pa )AT = (gH + Pa Pa )AT = AT gHPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.47/52

Exemplo 2 - V Denio de Fa (escoam. turbulento, tubo rugoso)

fa LDv 2 fa LDQ2 Fa = = 8 8A2 T Equacoes de Movimento

dH dH 1 A = Qe Q = Qe Q dt dt A fa LDQ2 dQ = AT gH AT LF 2 dt 8AT dQ fa L 2 LF = gH Q 2 dt 2DATPGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.48/52

Exemplo 2 - VI Modelo por variveis de estado

x1 x2

=

g LF

1 A x2 +

x1

1 Au fa L 2DLF A2 T

x2 2

onde x1 = H altura do uido no tanque x2 = Q a vazo de sada u = Qe a vazo de entrada Parmetros do modelo: A, , LF , D, L, AT e fa . Fator de atrito para escoamento turbulento:

fa 64/RePGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.49/52

Exerccios Propostos - I1. Um lquido com massa especca constante bombeado em um tanque em forma cnica com volume HR2 /3, conforme a gura abaixo. Suponha que a vazo de sada Qs = K H.

Gerar as equaes de movimento descrevendo o sistema.

Para uma aproximao linear com h = H/2, obter a funo de transferncia G(s) = h(s)/Qe (s).PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 9 p.50/52

Exerccios Propostos - II2. Considere um vaso recebendo lquido a uma vazo Qe e perde lquido por uma vlvula com constante Cv . A rea do tanque A e a densidade do lquido .

Gerar as equaes de movimento descrevendo o sistema.

Para uma aproximao linear com Qe = 0.6 102 [m3 /s], obter a funo de transferncia G(s) = P1 (s)/Qe (s).


Exerccios Propostos - III Parmetros do sistema

A = 2 m2 , = 103 [kg/m3 ] Cv = 5 105 [m3 s/P a1/2 ] , G Pa = 1.013 105 [P a] , g = 9.8 [m/s2 ]


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