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ELETRÔNICA DIGITAL

Parte 7Mapas de Karnaugh

Prof. Michael

Mapas de Karnaugh

1

Professor Dr. Michael Klug

• “É um método gráfico usado para simplificar umaequação lógica ou para converter uma tabela-verdade no seu circuito lógico correspondente, deuma forma simples e metódica.” Tocci e Widmer;

• Problemas com mais de 4 entradas tornam-sedemasiadamente complicados para serem resolvidos

Mapa de Karnaugh

demasiadamente complicados para serem resolvidosde forma manual, necessitando geralmente dautilização de computadores.

2

Prof. Michael

• Resolvendo a expressão obtida databela-verdade, utilizando os teoremasbooleanos, obtém-se:

Mapa de Karnaugh

L = A.B + A.B Aplicando a propriedade distributiva, colocaremos

0

1

0

1 A.B

A.B

3

L = A.B + A.B 13.a

Aplicando a propriedade distributiva, colocaremos em evidência o B

L = B.(A + A) 8

8) X + X = 1Aplicando o teorema 8.

L = B.1 2

Aplicando o teorema 2. 2) X . 1 = X

L = B O Mapa de Karnaugh facilitará a resolução dos problemasbaseados na tabela-verdade através da resolução gráfica

Prof. Michael

• Para apresentarmos o Mapa de Karnaugh voltaremos a utilizar a tabela-verdade da questão anterior;

Mapa de Karnaugh

0

1 A.B

O Mapa de Karnaugh para duas variáveis é dado por:

B B

A

4

1

0

1 A.B

A.BA

A

Cada espaço em branco será completado com o seunível lógico equivalente da tabela-verdade, sendo acoordenada dada pela intersecção da coluna e linha.

B

A.B A.B

A.B A.B

B

A

A

Prof. Michael

• Iniciaremos preenchendo o Mapa de Karnaugh com todos os 1s, no endereço equivalente;

Mapa de Karnaugh

0

B

1

1

B

AA.B

5

0

1

0

1 A.B

A.B1A

A.B

Preenchendo o restante com 0s

B

0 1

0 1

B

A

A

Prof. Michael

• Após o Mapa de Karnaugh ter sido totalmente preenchido,procura-se agrupar os elementos em pares. Para isso, aformação dos pares ocorre por elementos que estejamadjacentes, ao lado, na vertical ou horizontal, não podendoser na diagonal;

• No exercício temos 1 um par formado pelos dois elementosda direita. Como não temos nenhum outro elemento a

Mapa de Karnaugh

da direita. Como não temos nenhum outro elemento asimplificação deste par é o resultado final.

6

B

0 1

0 1

B

A

A

B

Prof. Michael

• O sistema com 2 variáveis é o mais simples e não compensa oesforço, pois a sua resposta é quase direta, mas vale aquicomo apresentação do conceito do Mapa de Karnaugh. A suaaplicação fica mais interessante com 3 ou 4 variáveis;

• Algumas combinações de pares possíveis do mapa com duasvariáveis são mostradas abaixo.

Mapa de Karnaugh

7

B

1 0

1 0

B

A

A

B

0 1

0 1

B

A

A

B

1 1

0 0

B

A

A

B

0 0

1 1

B

A

A

B

1 1

1 0

B

A

A

B

0 1

1 1

B

A

AB

A Resp: A + B

B B

A

Prof. Michael

Mapa de Karnaugh com 3 variáveis

• Podemos estender o conceito de mapa para o caso de termos 3 variáveis, e assim obtemos a seguinte configuração:

Mapa de Karnaugh

B C BC BC BC

8

A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C

A.B.C A.B.C A.B.C A.B.CA

A

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B• Exemplo 1: A partir da tabela

verdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;

• Inicialmente selecionamostodos os elementos que

Mapa de Karnaugh

A B C L

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

CA

B CA

B CA

B CA

B CA

todos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;

9

1 1 0 0

1 1 1 0

Prof. Michael

Mapa de Karnaugh

De acordo com os elementos da tabela verdade colocamos 1 noMapa de Karnaugh e depois completamos o restante com 0;

B

1 1 1 0A

C BC BC BC

A.C

10

1 1 0 0A

FORMAÇÃO DE GRUPOS: A próxima etapa é a formação de grupos.Neste caso iniciaremos com grupos de 4 e depois passamos paragrupos de 2;

B

Prof. Michael

B• Exemplo 2: A partir da tabela

verdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;


Mapa de Karnaugh

A B C L

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

CA

B CA

B CA

B CAtodos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;

11

1 1 0 1

1 1 1 0

B CA

Prof. Michael

Mapa de Karnaugh

De acordo com os elementos da tabela verdade colocamos 1 noMapa de Karnaugh e depois completamos o restante com 0;

B

1 0 0 1A

C BC BC BC

12

1 0 0 1A

FORMAÇÃO DE GRUPOS: A próxima etapa é a formação de grupos.Neste caso iniciaremos com grupos de 4 e depois passamos paragrupos de 2;

C

Prof. Michael

Mapa de Karnaugh

• Exemplos de grupos de 4 elementos:

1 1 1 1

0 0 0 0

BC BC BC B C

A

A 0 0 1 1

0 0 1 1

BC BC BC B C

A

A 0 1 1 0

0 1 1 0

BC BC BC B C

A

A

13

0 0 0 0

1 1 1 1

BC BC BC B C

A

A 1 0 0 1

1 0 0 1

BC BC BC B C

A

A 1 1 0 0

1 1 0 0

BC BC BC B C

A

A

Prof. Michael

Mapa de Karnaugh


1 1 0 1

0 0 0 1

BC BC BC B C

A

A 0 0 1 0

0 1 1 1

BC BC BC B C

A

A 1 1 0 0

0 1 1 0

BC BC BC B C

A

A

14

0 0 1 1

1 1 0 0

BC BC BC B C

A

A 1 1 0 1

0 1 0 0

BC BC BC B C

A

A 1 0 1 0

1 0 1 0

BC BC BC B C

A

A

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Mapa de Karnaugh com 4 variáveis

• E para o caso de termos 4 variáveis o Mapa de Karnaugh apresenta uma boa alternativa para solução dos problemas, apresentando-se na seguinte configuração:

Mapa de Karnaugh

C D CD CD CD

15

A B

A B

A B

A B

Prof. Michael

B

• Exemplo 3: A partir da tabelaverdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;


Mapa de Karnaugh

A B C D L

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 C DA

B

B

B

B

Btodos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;

16

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

C DA

C DA

C DA

C DA

C DA B

C DA

Prof. Michael

Colocamos 1 no Mapa deKarnaugh e depois comple-tamos o restante com 0;

Mapa de Karnaugh

C D CD CD CDB

A B C D L

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 C DA

17

0 0 0 0

0 0 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

A B

A B

A B

A B

B

B

B

B

B0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

C DA

CA

CA

CA

CA B

CA

D

D

D

D

D

Prof. Michael

• Agora devemos agrupar os 1s. Sempre procurando formar inicialmente grupos maiores e depois menores.

• Cada novo grupo somente pode ser formado se pelo menos um deles não pertencia a nenhum grupo existente.

• Grupos com 8,4 e 2 elementos;

Mapa de Karnaugh

18

C

0 0 0 0

0 0 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

D CD CD CD

A B

A B

A B

A B

A BBC

L= A.B + B.CProf. Michael

B

• Exemplo 4: A partir da tabelaverdade obtenha aexpressão reduzidautilizando o Mapa deKarnaugh;


Mapa de Karnaugh

A B C D L

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 C DA

B C DA

D

D

B

B

B

B

Btodos os elementos queestejam em nível lógico alto(1) e obtemos sua expressão;

19

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

C DA

C DA

C DA

C DA

C DA B

C DA

B CA D

B CA

B CA D

B CA

Prof. Michael

Colocamos 1 no Mapa deKarnaugh e depois comple-tamos o restante com 0;

Mapa de Karnaugh

C D CD CD CDB

A B C D L

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 C DA

B C DA

20

0 0 0 1

0 0 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

A B

A B

A B

A B

D

B

B

B

B

B0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

C DA

C DA

C DA

C DA

C DA B

C DA

B CA D

B CA

B CA D

B CA D

Prof. Michael

• Agora devemos agrupar os 1s. Sempre procurando formar inicialmente grupos maiores e depois menores.

• Cada novo grupo somente pode ser formado se pelo menos um deles não pertencia a nenhum grupo existente.

• Grupos com 8,4 e 2 elementos;

Mapa de Karnaugh

C D CD CD CD

21

A

CD

L= A + B.C + C.D

0 0 0 1

0 0 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

A B

A B

A B

A BBC

Prof. Michael


Mapa de Karnaugh

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

22

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

0 1 1 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Prof. Michael


Mapa de Karnaugh

0 0 0 1

1 1 0 1

1 1 0 1

0 0 0 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

23

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

Prof. Michael

• Exemplos de grupos MISTOS:

Mapa de Karnaugh

0 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 0

1 0 0 1

1 1 0 1

1 1 0 1

1 0 0 1

24

1 1 1 0

0 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

Prof. Michael

• Exercício: encontre o

circuito simplificado dos

exercícios a seguir.

Mapa de KarnaughA B C D L

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

a)

25

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

Prof. Michael

Mapa de KarnaughA B C D L

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

c)b) A B C D L

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

26

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Prof. Michael

APLICAÇÃO 1: Um misturador de tintas está representado pela figura a seguir.Neste sistema temos o motor que gira a hélice que mistura a tinta, representadopela letra M, o sensor de nível A, que indica que o nível do tanque já atingiu o valormínimo para que o motor comece a funcionar. Temos também as válvulas quepermitem a passagem das tintas, representadas pelas letras B, C e D.

Mapa de Karnaugh

APLICAÇÃO DE MAPA DE KARNAUGH

Tanto o motor, quanto o sensor e as válvulas são consideradosligados ou ativados quando estiverem com nível lógico 1 e

27

ligados ou ativados quando estiverem com nível lógico 1 edesligados ou desativados quando estiverem com nível lógico0. Projete um circuito digital para controle do motor M paraque somente quando o nível do tanque atingir o sensor A eduas ou mais válvulas estiverem acionadas. Monte a tabelaverdade e obtenha a expressão reduzida utilizando o Mapa deKarnaugh. Desenhe o circuito resultante.

Prof. Michael

APLICAÇÃO 2: O sistema abaixo é composto por quatro fornos (A,B,C,e D). Cadaforno tem um controlador de temperatura (CA,CB,CC,e CD), que faz o controle datemperatura no respectivo forno. Se a temperatura de determinado fornoultrapassar um valor programado no controlador o respectivo alarme é ativado.No caso, quando algum dos controladores estiver com seu respectivo alarmeligado a saída correspondente (A,B,C e D) tem nível lógico 1, caso contrário, temnível lógico 0.

Mapa de Karnaugh

Projete um circuito digital que ative o

28

Projete um circuito digital que ative oSINALIZADOR sempre que dois ou trêssaídas de alarmes estiverem ativos, emqualquer outra situação o SINALIZADORdeverá estar desligado. Monte a tabelaverdade e simplifique a expressãoutilizando o Mapa de Karnaugh. Desenheo circuito resultante.

Prof. Michael

• Tocci e Widmer.Sistemas Digitais. Princípios e

Aplicações;

• Floyd. Sistemas Digitais. Fundamentos e

Aplicações;

• Idoeta e Capuano. Elementos de Eletrônica

REFERÊNCIAS

29

• Idoeta e Capuano. Elementos de Eletrônica

Digital

• Mairton. Eletrônica Digital. Teoria e

Laboratório

• www.alldatasheet.com

Prof. Michael

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