aula_2_cs

Cinemtica dos Slidos Prof. Cludio S. Sartori Notas de aula 02 2 Bimestre

1

Movimento Plano Geral

Um movimento plano geral pode ser considerado

como a soma de uma translao e de uma rotao:

Movimento geral = Translao + Rotao

Movimento de um corpo decomposto em uma

translao e uma rotao:

Velocidade absoluta e relativa:

/B A B Av v v

:Bv velocidade absoluta do ponto B.

:Av translao da placa com A.

/ :B Av velocidade relativa associada rotao da

placa ao redor do ponto A, medida em relao a eixos com

origem em A e de orientaes fixas. Denotando por :

/ :B Ar vetor de posio de B em relao a A:

/B Ar B A

k : velocidade angular em relao aos eixos de orientaes fixas.

/ /

B A B Av k r

/

B A B Av v k r

Movimento plano = Translao com A + Rotao em torno de A.

Observe que:

//

B AB A B A

vv v tg v l

l

/

/

coscos

A AB A

B A

v vv

v

cos

Av

l

Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como

pono de referncia. Decompondo-se o movimento dado em

uma translao com B e uma rotao ao redor de B (vide

figura), teremos:

Movimento plano = Translao com B + Rotao em torno de B.

/A B A Bv v v

Observe que:

/ / / /A B B A A B B Av v v v l

O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de

referncia escolhido e dever ser cuidadosamente determinada

a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que

a velocidade angular da barra em sua rotao ao redor de B a mesma que em sua rotao ao redor de A. Em ambos os

casos medida pela derivada temporal do ngulo :

d

dt


2

Este resultado geral; assim, sempre a velocidade

angular de um corpo rgido animado de movimento plano independente do ponto de referncia.

A maior parte dos mecanismos mecnicos constam

no de um, mas de vrios elementos em movimento. Quando

tais elementos se encontram articulados, pode-se estud-los

considerando cada um como um corpo rgido, sem, contudo,

esquecer que os pontos de articulao de dois deles devem ter

a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser

feito quando se trata de engrenagens, j que os dentes em

constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto,

se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento

relativo entre si, deve-se levar em consideraoa velocidade

relativa das partes em contato.

Anlise do movimento

Qr OQ Q O

Pr OP P O

Q Pr QP P Q

OQ QP OP

Q P P QQ P Q Pr r r r r r

Aplicando a derivada em relao ao tempo:

Q PQPdrdrdr

dt dt dt

P Q Q Pv v v

Suponha que o corpo rgido gira em torno de um eixo

que passa perpendicularmente ao ponto Q. Ento:

QPQ Pv r

Logo:

P Q QPv v r

Vetor acelerao: O vetor acelerao pode ser obtido como a derivada

temporal do vetor acelerao: dv

a v adt

P Q QPdv d

a a v rdt dt

Q

QP

dv da r

dt dt

Q QP

QP

dv drda r

dt dt dt

Identificando os termos:

QPP Q

dvdva a

dt dt

d ed d d dee

dt dt dt dt dt

Se e for um vetor constante:

0de

dt . Assim:

d

dt

QP

P Q QP

dra a r

dt

Ou

P Qd

a a P Q P Qdt

Aplicando o Teorema de Poisson:

d

P Q P Qdt

P Qa a P Q P Q Resumo: Movimento no plano:

1. Todos os pontos do slido pertencem ao plano do

movimento.

2. O eixo de rotao, quando existir, ser sempre ortogonal

ao plano de movimento.

3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade

angular, e esta, tem a direo do eixo de rotao:

d

e edt

4. Todos os pontos apresentam a mesma acelerao

angular; e esta tem a direo do eixo de rotao:

d

e edt

5. O vetor velocidade instantnea do ponto P do slido, em

funo da velocidade do ponto Q, tambm do slido, dada

por:

P Q QP P Qv v r v v P Q 6. O vetor acelerao instantnea do ponto P do slido, em

funo da acelerao do ponto Q, tambm do slido, dada

por:

P Q P QQP QP QPa a r r r P Q r

P Qa a P Q P Q

x

z

y

P Q

O


3

Centro Instantneo de Rotao (CIR ou IC)

Para calcular a velocidade dos pontos de um slido, pode-

se utilizar de um mtodo grfico que se baseia no conceito de

Centro instantneo de rotao (CIR ou IC).

Considera-se a existncia de um eixo de rotao num

dado instante, e a interseo deste, com o plano de movimento

o ponto denominado CIR Centro instantneo de rotao. Todos os pontos do slido, no instante considerado,

descrevem trajetrias circulares com centro no CIR.

A propriedade fundamental do CIR de possuir

velocidade nula:

0ICv

O CIR um ponto geomtrico imaginrio que pode ser

associado ao slido sem alterar ou interferir no movimento do

mesmo.

Utilizando a relao de velocidades:

P Q QP QPv v r r P Q

Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos:

0

P CIRv v P CIR

Pv P CIR Norma:

A norma da velocidade em P ser dada por:

Pv P CIR sen

P CIR d : a distncia entre o ponto P o CIR.

: ngulo entre o plano do movimento e o eixo de

rotao. Se = 90 sen90=1. Logo: Pv d

Direo: Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto

vetorial: Pv (reta que une e )Pv P CIR

Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a

velocidade de um ponto no corpo sempre perpendicular ao

vetor posio relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades:

A velocidade angular e a velocidade do ponto

Av so conhecidas

Nesse caso, o IC do corpo est localizado atravs de uma

linha perpendicular a Av em A, onde a distncia de A para o IC

dada por:

A

A IC

vr

Note que o IC est a direita de A e vA causa uma

rotao com velocidade angular horria em torno de IC.

As direes de e A Bv v so conhecidas.

Constroem-se duas linhas a partir de A e B,

perpendiculares s direes de e A Bv v , respectivamente. O

cruzamento dessas linhas fornece o IC.

A magnitude e a direo das velocidades de dois

pontos e A Bv v so conhecidas:

Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de

tringulos. Se d a distncia entre os pontos A e B, ento:

A

A IC

vr

: distncia de A ao IC.

B

B IC

vr

: distncia de B ao IC.

Podem ocorrer dois casos:

A IC B IC

r r d B IC A IC

d r r

Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando.


4

0.8 m

z x

y

B

A

Bv

300

0.8 m

z x

y A

300

B

Av

1200

600 300

600

Exemplos resolvidos: Livro Unip

1. (3.01 pag. 64) A barra AB, ilustrada abaixo, tem comprimento 0.8 m, e desloca-se com as extremidades

apoiadas em duas superfcies, conforme ilustrado. O extremo

A da barra, desloca-se para a direita, com velocidade

constante vA = 3.5 m/s. No instante ilustrado, quando o ngulo

entre a barra e o plano de 300, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto B.

(b) a acelerao do ponto B.

Mtodo 1 Uso do conceito do Centro Instantneo de rotao: CIR ou IC.

3.54.375

0.8

AA A CIR

A CIR

v radv r

r s

3.5B BB CIRm

v r vs

Mtodo 2 Relacionando 2 pontos do corpo rgido:

P Q P QQPv v r v v P Q

B A B AABv v r v v B A Achando as coordenadas dos pontos:

, e ,A A B BA x y B x y 00.8 cos30 0.692A Ax x m ; 0Ay m

0Bx m ;00.8 30 0.4B By sen y m

0.692;0 e 0;0.4A B

0.7 0.4AB

r B A i j

k

B A ABv v r

3.5 0.7 0.4Bv i k i j

3.5 0.7 0.4Bj i

v i k i k j

3.5 0.4 0.7Bv i j

Decompondo a velocidadeBv :

0 0 cos60 60B B Bv v i v sen j

Comparando as relaes:

0

00

cos60 3.5 0.4 0.7

6060 0.7

B

B

B

vv

senv sen

0

0

0.7cos60 3.5 0.4

60sen

0.404 3.5 0.4 0.404 0.4 3.5 3.5

4.3750.8

rad

s

0 0

0.7 0.7 4.3753.54

60 60B B B

mv v v

sen sen s

Clculo da acelerao em B:

P Qa a P Q P Q

B Aa a B A B A Como a velocidade constante:

0AA Adv

a adt

d d

edt dt

d k kdt

0.7 0.4 4.38 4.38 0.7 0.4Ba k i j k k i j

0.7 0.4

4.38 4.38 0.7 4.38 0.4

B

j i

j i

a k i k j

k k i k j

0.7 0.4

4.38 3.066 1.752

Ba j i

k j i

0.4 0.7 4.38 3.066 4.38 1.752Bji

a i j k j k i

0.4 0.7 13.43 7.67Ba i j i j

13.43 0.4 7.67 0.7Ba i j

Porm, sabemos que:

600

600

CIR


5

A B

Bv

0.56m

B

Bv

Pv

0.24m d

e2

0 0 cos60 60B B Ba a i a sen j

0.5 0.866B B Ba a i a j

Comparando, teremos:

0.5 13.43 0.4

0.866 7.67 0.7

B

B

a

a

Resolvendo o sistema:

0.5 0.7 0.866 0.4 13.43 0.7 7.67 0.4B Ba a

0.35 0.3464 9.401 3.068B Ba a

2

12.4690.6964 12.469 17.9

0.6964B B B

ma a a

s

13.43 0.50.5 13.43 0.4

0.4

BB

aa

8.95

2

13.43 0.5 17.69 4.4811.2

0.4 0.4

rad

s

2. (3.02 pag. 70) As engrenagens ilustradas, e1 e e2, tem respectivamente raios R1 = 0.32 m e R2 = 0.24 m. A

engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horrio, com

velocidade angular constante 1= 16 rad/s. A haste AB gira no

sentido horrio com velocidade angular constante AB = 13 rad/s. Pedem-se:

(a) a velocidade angular da engrenagem e2;

(b) a acelerao do ponto de contato entre as

engrenagens do ponto que pertence engrenagem e2.

Aqui CIR=A, pois este ponto permanece fixo. A velocidade do ponto B:

1. Possui direo ortogonal reta que liga os pontos A e B. 2. Possui sentido para baixo, pois a rotao da barra AB

horria.

3. Possui intensidade dada por: B ABv AB

1 2 0.32 0.24AB R R AB

0.56AB m

13 0.56 7.28B Bm

v vs

Engrenagem e1:

CIRe1=A, pois este ponto pertencem ao eixo fixo de

rotao.

Velocidade do ponto P: 1. tem direo ortogonal reta que liga os pontos A e P.

2. tem sentido para baixo, pois a rotao de e1 horria.

3. tem intensidade dada por:

1 1

16 0.32 5.12P e P Pm

v R v vs

Engrenagem e2: Com o engrenamento dos dentes: no h

escorregamento. As velocidades dos pontos de contato das

duas engrenagens so iguais.

Velocidades dos pontos da engrenagem e2:

Seu centro: 7.28Bm

vs

.

Do ponto de engrenamento: 5.12Pm

vs

CIR de e2: A determinao do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas

velocidades dos ponto B e P , entretanto, mais trabalhoso

que o usual, pois as linhas ortogonais essas velocidades so

coincidentes e no definem o CIRe2.

A velocidade do ponto P pode ser expressa por:

2 2P e ev PCIR

A velocidade do ponto B pode ser dada por:

2 2B e ev BCIR

2 2

5.125.12P e ev d

d

2

7.28 0.24B ev d

1.2288

5.127.28 0.24 7.28 5.12 0.24 5.12d d d

d

2.16

1.22880.569

7.28 5.12d d m

29e

rad

s

2

9e k

Acelerao do ponto P:

A B

x

y

z

CIR

x

y

z

CIRe2


6

A acelerao do ponto P ser expressa em funo da

acelerao de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B

(pertence barra AB). Utilizando:

P Qa a P Q P Q

B A AB AB ABa a B A B A

Como o ponto A fixo:

0Aa

Vetor velocidade angular da barra AB:

Horrio e constante: 13AB k Vetor acelerao angular da barra AB:

0ABAB ABd

dt

Vetor B-A:

Mdulo: 0.56mDireo: eixo x: i

Sentido: de A para B: 0.56B A i

0 0 13 13 0.56Ba B A k k i

13 13 0.56Bj

a k k i

2

13 7.28 94.64B Bi

ma k j a i

s

Fazendo o clculo da acelerao do ponto P da

engrenagem e2:

2 2 2P B e e e

a a P B P B

294.64B

ma i

s

2

2 2 2

9 0e

e e e

dk

dt

O vetor P-B:

possui mdulo igual distncia de P e B: 0.24m;

direo do eixo x: i

sentido de B para P: 0.24P B i

2

0

94.64 9 9 0.24P ea i P B k k i

2.16

94.64 9 9 0.24Pj

a i k k i

94.64 9 2.16Pi

a i k j

2 94.64 19.44 75.2P P

ma i i a i

s

3. (pag.76) A barra AB, gira com freqncia constante f = 954.96 rpm no sentido horrio. O cursos C est

vinculado a uma haste horizontal fixa. Para o instante

considerado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra CB;

(b) a velocidade do cursos C;

(c) a acelerao do cursor C.

Barra AB:

O vetor velocidade angular da barra AB:

Tem intensidade:

954 60

2 100AB ABrad

fs

Direo: Ortogonal ao plano de movimento: com sentido dado pela regra da mo direita (horrio: negativo).

100ABrad

ks

O ponto A o CIR:

A velocidade do ponto B :

100 0.09 9B AB B Bm

v r v v js

A acelerao do ponto B :


0 CIRAa

y

z

x

B

A

0.56m Bv

B P

e2

x

y

z

150 mm

A

300 mm

90 mm

A

90 mm

B

B

y

x z

Bv CIR

C


7

0 CIR ABAB ABd

dt

0.09B A i

0 0

0.09 100 100 0.09B A ABa a i k k i

100 100 0.09Bj

a k k i

2 900 900B B

ma k j a i

s

Barra BC:

2

2 20.15 0.3 0.09 0.0225 0.26BCIR BCIR BCIR m

934.64

0.26B BC BC BC

radv BCIR

s

34.64 0.15 5.2C BC C Cm

v CCIR v vs

5.2Cm

v is

Acelerao no ponto C:

C B BC BC BCa a C B C B

Vetor acelerao angular:

BC BC k

Vetor: 0.26;0.15 0;0C B 0.26 0.15C B i j

Vetor 34.64BC k

900 0.26 0.15

34.64 34.64 0.26 0.15

C BCa i k i j

k k i j

900 0.26 0.15

34.64 34.64 0.26 34.64 0.15

C BC BC

j i

j i

a i k i k j

k k i k j

900 0.26 0.15

34.64 9 5.196

C BC BCa i j i

k j i

900 0.26 0.15

34.64 9 34.64 5.196

C BC BC

ji

a i j i

k j k i

900 0.26 0.15

311.76 180

C BC BCa i j i

i j

900 311.76 0.15 180 0.26C BC BCa i j

588.24 0.15 180 0.26C BC BCa i j

C Ca a i

2

588.24 0.15 180692.31

180 0.26 0 0.26

C BC

BC BC

BC

a rad

s

588.24 0.15C BCa

2

103.84

588.24 0.15 692.31 484.15C Cm

a as

4. (pag.76) Um carro apresenta rodas traseiras com dimetro 0.75 m, e tem movimento acelerado com

acelerao a = 6.5 m/s2. No instante ilustrado, a velocidade do

auto v = 140 km/h. Sabendo que no ocorre escorregamento

entre as rodas e o piso, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto A;

(b) a velocidade do ponto B;

(c) a acelerao do ponto A;

150 mm

A

300 mm

90 mm B

C

y

x z

Cv

Bv

CIR

Ponto A

Ponto B

x

y

z

y A


8

CIR: a origem do sistema de coordenadas como o

ponto C de contato da roda.

0 OCIR Cv

v v OCIRR

140 3.6 103.7 103.70.75 2

radk

s

A Cv v OA

38.89 0.375Av i k j

38.89 0.375Ai

v i k j

38.89 0.375Av i

77.78Am

v is

B Cv v CB

38.89 103.7 0.375Bv i k i

38.89 103.7 0.375Bj

v i k i

38.89 38.89Bv i j

38.89 38.89Bm

v i js

2238.89 38.89 55 198B B B

m kmv v v

s h

6.5C AC ACa i k

0.375A C j

C C AC AC ACa a A C A C

6.5 0.375

103.7 103.7 0.375

A ACa i k j

k k j

6.5 0.375

103.7 103.7 0.375

A AC

i

i

a i k j

k k j

6.5 0.375

103.7 38.8875

A ACa i i

k i

6.5 0.375

103.7 38.8875

A AC

j

a i

k i

6.5 0.375 4032.63N

T

A AC

aa

a i j

Buscando outro ponto para completar a acelerao

do ponto A: (CIR).

Observe que no instante que o ponto da borda toca

o solo, pra instantaneamente e torna-se o CIR. Nessa posio

a trajetria onde ocorre a inverso da velocidade do ponto da

borda, ou seja, onde o ponto da borda inverta o seu

movimento e desta forma pode-se garantir que possua apenas

acelerao vertical; no instante que o ponto toca o solo,

transforma-se no CIR, e apresenta acelerao vertical:

CIR CIRa a j

Assim:

CIR Ca a CIR C CIR C 103.7 k

6.5Ca i k

0.375CCIR CIR C j

6.5 0.375

103.7 103.7 0.375

CIRa i k j

k k j

6.5 0.375

103.7 103.7 0.375

CIR

i

i

a i k j

k k j

6.5 0.375 103.7 38.8875CIRj

a i i k i

6.5 0.375 4032.6CIRa i j

CIR

Cv

Av

x 0,0

B

Bv

CIRa

y

x z


9

2

6.56.5 0.375 0 17.33

0.375

rad

s

6.5 0.325 17.33 4032.63Aa i j

2 13 4033A

ma i j

s

5. O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira

com velocidade angular constante = 75 rad/s, no sentido horrio. Pela articulao A passa eixo fixo. Para o instante

ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade do pisto;

(b) a acelerao do pisto.

B Av v AB

0 75 0.025Bv k j

0 75 0.025 1.875B Bi

v k j v i


0 cteAB AB

0 0 0.025 75 75 0.025Ba j k k j

1.875

75 75 0.025Bi

a k k j

75 1.875Ba k i

140.625Ba j

C B BCv v BC

0.08;0 0;0.025BC C B 0.08 0.025BC i j

1.875 0.08 0.025C BCv i k i j 1.875 0.08 0.025C BC BCv i k i k j

1.875 0.08 0.025C BC BCv i j i

1.875 0.025 0.08C BC BCv i j 0C Cv v i j

1.875 0.025 1.875

0.08 0 0

C BC C

BC BC

v v i


140.625 0.08 0.025 0 0C BCa j k i j C B

140.625 0.08 0.025C BC BCj i

a j k i k j

140.625 0.08 0.025C BC BCa j j i

0.025 0.08 140.625C BC BCa i j 0C Ca a i j

0.025

0.08 140.625 0

C BC

BC

a

2

2

0.025 1757.81 43.945

140.6251757.81

0.08

C C

BC BC

ma a i

s

rad

s

6. As barras AB, BC e CD so articuladas entre si

conforme ilustrado. Pelas articulaes A e D passam eixos

fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade

angular AB = 5 rad/s, no sentido horrio. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC;

(b) a velocidade angular da barra CD.

Barra AB: Colocando o eixo 0 em A:

B

A

C

25 mm

80 mm

75AB k

B

A

25 mm

z x

y

z x

y Bv

B C

80 mm

BC BC k

Bv

Cv

A

B C

D z x

y

0.18 m

0.20 m

0.12 m 0.12 m

z x

y


10

B A ABv v AB

0; 0.18 0,0AB B A 0.18AB j

0 5 0.18 0.9B Bv k j v i

^

Barra BC:

C B BCv v BC

0.24; 0.18 0; 0.18BC C B 0.24BC i

BC BC k

0.9 0.24C BCv i k i

0.9 0.24C BCj

v i k i

0.9 0.24C BCv i j Barra DC:

C D CDv v CD

0.12; 0.38 0.24; 0.18CD D C 0.12 0.20CD i j

0 0.12 0.20C CDv k i j

0.12 0.2C CD CDj i

v k i k j

0.2 0.12C CD CDv i j Logo:

0.2 0.9

0.12 0.24

CD

CD BC

0.9

0.2

0.12 0.124.5

0.24 0.24

CD

BC CD BC

4.5

2.25

CD

BC

radk

s

radk

s






Barra AB:

B A ABv v AB

0.35AB B A AB j

0 0.35 0.35 8 2.8B AB B Bv k j v i v i

Barra BC:

C B BCv v BC

0.12;0.25 0;0.35BC C B 0.12 0.1BC i j

2.8 0.12 0.1C BCv i k i j

2.8 0.12 0.1C BC BCj i

v i k i k j

2.8 0.1 0.12C BC BCv i j Barra CD:

C D CDv v CD

A

B 0.18 m

AB AB k

Bv

A

B C

D

z x

y

0.18 m

0.20 m

0.12 m 0.12 m

A

B

C D

z x

y

0.10 m

0.25 m

0.12 m 0.25 m


11

0.37;0.25 0.12;0.25CD D C 0.25CD i

0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j

2.8 0.1 0

0.12 0.25

BC

BC CD

2.8 280.1

0.12 28 13.440.25

BC BC

CD CD

radk

s

radk

s






Barra AB:

B A ABv v AB

0.25; 0.12 0;0

0.25 0.12AB B A AB i j

0 8 0.25 0.12Bv k i j

8 0.25 8 0.12Bj i

v k i k j

0.96 2Bv i j

Barra BC:

C B BCv v BC

0.25; 0.2 0.25; 0.12BC C B 0 0.08BC i j

0.96 2 0.08C BCv i j k j

0.96 2 0.08C BCi

v i j k j

0.96 0.08 2C BCv i j Barra CD:

C D CDv v CD

0.45; 0.12 0.25; 0.12CD D C 0.2CD i

0 0.2 0 0.2C CD C CDv k i v i j

0.96 0.08 0

0.2 2

BC

CD

0.96 120.08

2 100.2

BC BC

CD CD

radk

s

radk

s




angular AB = 10 rad/s, no sentido anti-horrio. Pedem-se: (a) a velocidade angular da barra BC;


Barra AB:

B A ABv v AB

0; 0.35 0;0

0.35AB B A AB j

0 10 0.35Bv k j 3.5Bv i

Barra BC:

C B BCv v BC

0.12; 0.45 0; 0.35BC C B 0.12 0.1BC i j

3.5 0.12 0.1C BCv i k i j

3.5 0.12 0.1C BC BCj i

v i k i k j

A

B

C D

z x

y

0.08 m

0.25 m

0.12 m

0.20 m

A

B

C D

z x

y

0.35 m

0.25 m

0.10 m

0.12 m


12

3.5 0.1 0.12C BC BCv i j Barra CD:

C D CDv v CD

0.37; 0.45 0.12; 0.45CD D C 0.25CD i

0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j

3.5 0.1 0

0.25 0.12

BC

CD BC

3.5 350.1

0.12 35 16.80.25

BC BC

CD CD

radk

s

radk

s

10. A barra AB, gira com frequncia constante f

=954.96 r.p.m. No sentido horrio. Pela articulao, a barra

BC encontra-se articulada barra AB e ao curso C, que est

vinculado uma haste horizontal fixa, e desta forma, desloca-

se apenas na horizontal. Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da barra CB;

(b) a velocidade do cursor C.

(c) a acelerao do cursor C.

Barra AB:

15.916

954.96954.96

60f rpm Hz

2 100rad

f ks

B A ABv v AB

0.07; 0.07 0;0

0.07 0.07AB B A AB i j

0 100 0.07 0.07Bv k i j 7 7Bv i j

Barra BC:

C B BCv v BC

0.25;0.12 0.07; 0.07BC C B 0.32 0.19BC i j

7 7 0.32 0.19C BCv i j k i j

7 7 0.32 0.19C BC BCj i

v i j k i k j

7 0.19 0.32 7C BC BCv i j

7 0.19

0.32 7 0

C BC

BC

v

7 21.8750.32

7 0.19 21.875 2.84

BC BC

C C

radk

s

mv v i

s


0AB f constante.

100 100 0.07 0.07Ba k k i j

100 7Bj i

a k k i k j

700 700B Bji

a k j i a k j k i

700 700Ba i j


700 700 0.32 0.19C BCa i j k i j

21.875 21.875 0.32 0.19k k i j

700 700 0.32 0.19C BC BCj i

a i j k i k j

7 4.15625

21.875 21.875 0.32 21.875 0.19j i

k k i k j

700 700 0.32 0.19C BC BCa i j j i

7 4.15625

21.875 21.875 0.32 21.875 0.19j i

k k i k j

700 0.19 700 0.32C BC BCa i j

153.125 21.875 4.15625ji

k j k i

A

B

C

450

z x

y

0.25 m

0.07 m

0.32 m

0.12 m


13

700 0.19 700 0.32C BC BCa i j

153.125 90.9179i j

700 153.125 0.19 700 90.9179 0.32C BC BCa i j

546.875 0.19 609.082 0.32C BC BCa i j

0C Ca a i j

609.082 0.32 0

546.875 0.19

BC

C BCa

2

2

361.642

609.082 1903.380.32

546.875 0.19 1903.38 908.5

BC BC

C C

radk

s

ma a

s

11. Uma polia com raio R = 350 mm, arrastada

atravs de seu centro A, por uma haste que desloca-se

horizontalmente a partir do repouso, com acelerao constante

ah = 45 mm/s2. A polia apoia-se em uma esteira e no

escorrega em relao mesma. A esteira desloca-se com

velocidade constante ve = 100 mm/s. Para o instante em que a

haste alcana a velocidade vh = 250 mm/s, pedem-se:

(a) a velocidade angular da polia.

(b) a acelerao angular da polia,

O ev v

0.25 0.35h O Ov v Oh i v k j 0.25 0.1 0.35i i i

0.15 0.25 0.1 0.350.35

i i i

0.43 k

e Oa a e O e O

0.35 0.43 0.43 0.35e Oa a k j k k j 0 0.35 0.43 0.1505Oa i k i

0 0.35 0.064715Oa i j

0.35 0.064715Oa i j

h Oa a h O h O

0.045 0 0.35 0.35i k j k k j

2 0.045 0.35 0.35 0.35 0.045i i j

2

0.0450.1285

0.35

rad

s

12. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem

respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A

engrenagem e1 fixa e permanece parada. A haste AB, gira no

sentido horrio com velocidade angular AB = 13 rad/s. Pedem-se:


(b) a acelerao do ponto P, de contato entre as

engrenagens que pertence engrenagem e2.

B A ABv v AB

0 13 0.56Bv k i

7.28Bv j

1 2e eP Pv v Ponto de engrenamento.

222eP B e

v v BPe

2 22 2

7.28 0.24 7.28 0.24e eP e P e

v j k i v j

2 2 2

7.287.28 0.24 0 30.33

0.24e e e

rad

s

B A AB ABa a AB AB

0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i

94.64 0.56Ba i j

1 11eP A e ea a AP AP

2 2 2 2 22e

P B e e e e ea a BP BP

22

0.24 30.33 30.33 0.24eP B e

a a k i k k i

22

0.24 220.778eP B e

a a j i

22

94.64 0.56 0.24 220.778eP e

a i j j i

22

94.64 220.778 0.56 0.24eP e

a i j

22

0

126.13 0.56 0.24eP e

a i j

13. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem

respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A

engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horrio com

velocidade angular e1 constante. A haste AB, gira no sentido

horrio com velocidade angular AB = 13 rad/s. A engrenagem

ev

R

ha

O z x

y

z x

y


14

B no gira em torno de si mesma, ou seja, apresenta-se em

translao. Pedem-se:


(b) a acelerao do ponto P, de contato entre as

engrenagens que pertence engrenagem e2.

B A ABv v AB

0 13 0.56Bv k i

7.28Bv j

111eP A e

v v APe

11

0 0.32eP e

v k i

11

0.32eP e

v j

22 22

7.28 0e eP B e P

v v BPe v j

2

7.28eP

v j

11 2

0.32 7.28e eP P e

v v j j

1 1

7.2822.75

0.32e e

rad

s

B A AB ABa a AB AB

0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i

94.64 0.56Ba i j

1 1 1 1 11eP A e e e e ea a AP AP

1 10 constantee e

1 1

22.75 22.75 0.32 165.62e eP P

a k k i a i

14. A barra AB de comprimento L = 20 m,

articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada

de 300 em relao ao horizonte. A barra AB empurrada pelo

disco de raio R = 4 m, que se move em translao com

velocidade constante v = 5 m/s, para a esquerda. No instante


(a) a velocidade angular da haste;

(b) a velocidade do ponto B da haste.

Colocando a origem em A:

2.5

cos 90 30 5 0.5v v sen

30

2 15

R Rtg AC

tgAC

0.2679

414.92

15AC AC

tg

CC AC AC

vv AC

AC

2.50.167

14.92AC AC

rad

s

20 0.167B AB Bv L v

3.349Bm

vs

15. Na figura ilustrada, o disco gira em torno do

eixo fixo, definido pela articulao A, no sentido horrio, com

acelerao angular constante = rad/s2. No instante

ilustrado, a velocidade angular do disco = 2 rad/s, e o ngulo = 300. Fixado ao disco, um pino P, desliza na ranhura vertical de um dispositivo, que desloca-se apenas na

horizontal, limitado por uma guia fixa. O movimento deste

R

B

A

L

v

z x

y

z x

y

R

B

A

L

v /2

z x

y

cos 90v C


15

dispositivo transmitido a um pisto. A distncia do ponto A

ao pino P , R = 0.2 m. Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade do pisto;

(b) a acelerao do pisto.

2 0.2 1.256P P Pm

v R v vs

20.2 0.6283

P P PT T T

ma R a a

s

22

22 0.2 7.895

P P PN N N

ma R a a

s

cos30 1.256 0.866isto istoP P P

v v v

1.0877istoP

mv

s

O ngulo entre as aceleraes tangencial e normal

90.

P

180 90 90 30 60

Como a acelerao do pisto est na direo x:

co cossisto P PP T N

a a a

cos30 7.895 cos0.62 03 68istoP

a

0.544123 3.9475istoP

a

23.403

istoPia

m

s

3.16 O rolamento ilustrado, tem sua capa externa

fixa, enquanto que sua capa interna gira solitria a um eixo

tambm fixo, com freqncia f = 3600 rpm. As esferas do

rolamento so idnticas entre si, apresentam raio R = 0.0025

me, rolam sem escorregar, apoiadas em ambas as pistas. A

pista interna possui raio Ri = 0.0125 m. Pedem-se:

(a) a velocidade linear do centro das esferas;

(b) a velocidade angular das esferas.

2A i A iv R v f R

376.99

36002 0.0125 4.712

60A A

mv v

s

4.712Av j

A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento

com a esfera interna a mesma pois ela rola sem escorregar.

Logo:

0iP iv v OP

0

iPv v k R i

0 0

i iP P

j

v v R k i v v R j

0 4.712 4.712

iP Av v j j v R j

J no ponto externo da esfera de rolamento, que

est em contanto com a esfera fixa, sua velocidade nula:

0eP ev v OP

0 0

0eP

j

v v k R i v R k i

0v R j

Substituindo {2} em {1}, teremos:

0 4.712 j v R j

4.712 j R j R j

4.712 2 2 4.712j R j R

R

A

P z x

y

R

A

P

z x

y

Pv

PTa

PNa

90

cosPT

a cosPN

a

x

Ri

R

Ri

R

B

A

z

x y

Pe

Pi

O


16

4.712 4.712942.4

2 2 0.0025

rad

R s

942.4rad

ks

0v R j

0942.4 0.0025v j

02.356

mv j

s

17. O disco ilustrado rola sem escorregar, apoiado

em superfcie horizontal, e seu centro C, apresenta velocidade

constante 0.04Cv m s . A barra AB, de comprimento L =

0.3 m, acionada pelo disco, atravs da articulao B, e

mantm seu extremo A, em contato permanente com a

superfcie horizontal. A articulao B, dista 0.1 m, do centro C

do disco. Para o instante ilustrado, quando = 300, pedem-se: (a) a velocidade angular da barra AB;

(b) a velocidade do ponto A da barra.

B Cv v CB

; cosB CB sen CB 0.1 30 ;0.1 cos30B sen

0.05 0.0866CB i j

B Cv v CB

Da figura: 90 90 30 60

60 0.2590.3

BH BHsen sen BH

AB

0.1495

0.259 0.25960

60

BHtg tg OH

tgOH OH

OP OH PH OP OH CB sen

0.1495 0.1 30OP sen

0.0995OP

90 90 30CP R

tg tgOP OP

60 60 0.0995 1.732R

tg R OP tg ROP

0.172R

P Cv v CP

0 0.04 0.172i k j

0 0.04 0.172

i

i k j

0.040.2325

0.172

rad

s

B Cv v CB

0.04 0.2325 0.05 0.0866Bv i k i j

0.04 0.2325 0.05 0.2325 0.0866Bj i

v i k i k j

0.04 0.01162 0.020135Bv i j i

0.060135 0.01162Bv i j

; cosx y x yCB sen

A A A A AB PH A R

; 0.3 cos60 0.1 cos30 ; 0.1645x yA A A

; 0.063; 0.1645x yA A A

B

A

0.3 m 0.1 m

C

B

A

0.3 m 0.1 m

C

90-

H O P


17

0.063; 0.1645 0.05;0.0866BA A B

0.113; 0.2511BA 0.113 0.2511BA i j

A B BAv v BA

0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BAv i j k i j 0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BA BAv i j j i

0.060135 0.2511 0.01162 0.113A BA BAv i j 0A Av v i j

0.060135 0.2511

0.01162 0.113 0

A BA

BA

v

0.060135 0.2511 0.1 0.035

0.011320.100

0.113

A A

BA BA

mv v

s

rad

s

18. Um carretel constitudo por cilindros de raios R1

= 90 mm e R2 = 120 mm, acionado por um fio enrolado ao

mesmo, conforme ilustrado. O fio no escorrega em relao ao

carretel. O carretel no escorrega em relao ao piso. O ponto

D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com

acelerao constante aD = 450 mm/s2. Para o instante que

este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:

(a) a acelerao do ponto A, do carretel;

(b) a acelerao do ponto B, do carretel.

A velocidade no ponto D a mesma, no instante

considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a

acelerao tangencial no ponto B a mesma do ponto D, pois

o fio no escorrega.

A velocidade no ponto C nula,pois o carretel no

desliza em relao ao solo e colocando a origem no ponto A:

B Cv v CB

0;0 0; 0.09 0; 0.12A B C

0; 0.09 0; 0.12CB B C CB 0.03CB j

0.09 0 0.03 0.09 0.03i k j i i

0.090.09 0.03 3

0.03

rad

s

TB Da a

1 2

0.450.45 5

0.09

radR

s

T NB B Ba a a

2

1 1

Ba R i R j

2 0.45 0.81B

ma i j

s

0; 0.09 0;0AB B A AB 0.09AB j

Aplicando a semelhana entre os tringulos:

2

2 1

0.12

0.12 0.09T T

A A

B B

a R a

a R R a

0.124 4 0.45

0.03 TT

AA B A

B

aa a a

a

1.8Aa i

19. Um carretel constitudo por cilindros de raios R1

= 90 mm e R2 = 120 mm, acionado por um fio enrolado ao

mesmo, conforme ilustrado. O fio no escorrega em relao ao

carretel. O carretel no escorrega em relao ao piso. O ponto

D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com

acelerao constante aD = 450 mm/s2. Para o instante que

este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se:

D

B

A R2

R1 z x

y

C

Aa

TBa 2R

1R

2 1R R

CIR


18

(a) a acelerao do ponto A, do carretel;

(b) a acelerao do ponto B, do carretel.

A velocidade no ponto D a mesma, no instante

considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a

acelerao tangencial no ponto B a mesma do ponto D, pois

o fio no escorrega.

A velocidade no ponto C nula,pois o carretel no

desliza em relao ao solo e colocando a origem no ponto A:

B Cv v CB

0;0 0;0.09 0; 0.12A B C

0;0.09 0; 0.12CB B C CB 0.21CB j

0.09 0 0.21 0.09 0.21i k j i i

0.090.09 0.21 0.428

0.21

rad

s

TB Da a

1 2

0.450.45 5

0.09

radR

s

T NB B Ba a a

2

2

1 1

0.428 0.09

Ba R i R j

2 0.45 0.017B

ma i j

s

Aplicando a semelhana entre os tringulos:

2

2 1

0.12

0.12 0.09T T

A A

B B

a R a

a R R a

0.12 4 40.45

0.21 7 7TT

AA B A

B

aa a a

a

0.26Aa i

20. Um pequeno automvel, tem rodas dianteiras

com dimetro 0.45 m e traseiras com dimetro 0.60 m e

desloca-se em translao com acelerao constante a = 4.7

m/s2. No instante considerado, a velocidade do mesmo 20

m/s (72 km/h). Considerando-se que no ocorra

escorregamento entre as rodas e o piso, para o instante

descrito, pedem-se:

(a) a velocidade angular da roda dianteira;

(b) a velocidade angular da roda traseira;

(c) a velocidade do ponto superior da roda

dianteira;

(d) a velocidade do ponto superior da roda traseira;

(e) a acelerao do ponto superior da roda traseira.

2

2s sv R

v vv R

40sm

vs

22s s

a Ra a

a R

D B

A R2

R1

z x

y Aa

TBa

2R

1R

2 1R R CIR

C

20v i

2R

R

R CIR

sv Ta

a


19

2

2 4.7 9.4T Tm

a as

No C.I.R.:

0CIRv

v v RR

2088.89

0.45 2D D DR R R

D

v rad

R s

2066.67

0.60 2T T TR R R

T

v rad

R s

N Ta a a

2 9.4 66.7 0,3a i j

9.4 1333.3a i j

2 2

29.4 1333.3 1333,4

ma a

s

21. Um tambor de raio R = 0.45 m, acionado

atravs de uma corda enrolada no mesmo, com o intuito de

faz-lo subir um degrau de altura 0.25 m. No instante em que

o tambor perde contato com o plano horizontal, o topo do

tambor tem velocidade vC = 0.15 m/s. No ocorre

escorregamento entre o tambor e o degrau. Para o instante

descrito, pedem-se:

(a) a velocidade angular do tambor;

(b) a velocidade do centro do tambor.

Nesse instante, o centro instantneo de rotao o

ponto P: logo:

2 2 0.45 0.25 0.65SC R h SC SC 2 2

CP SC SP

cos cosOS R h

R R

0.45 0.25cos cos 0.444

0.45

arccos0.444 63.61

SPsen SP R sen

R

0.45 63.612SP sen

0.4031SP 2 2

CP SC SP

2 20.65 0.4031CP

0.764CP

0.4010.6169

0.65

SPtg tg tg

SC

0.6169 31.67arctg

C

C CP

CP

vv r

r

0.150.196

0.7648

rad

s

0.196 0.45 0.09m

v R v vs

22. No arranjo ilustrado, os cursores A e B, esto

articulados aos extremos A e B de uma barra, e desta forma

fica garantido que a distncia entre os mesmos no se altera.

Os cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que

limitam seus movimentos, desta forma, ao cursor A s

permitido deslocamento vertical e ao cursos B s permitido

deslocamento na direo inclinada de 45 0 em relao

vertical. O cursor A, desloca-se na vertical, subindo, com

velocidade constante vA = 2 m/s. Para estas condies, pedem-

se: (a) o CIR Centro instantneo de rotao da barra AB; (b) a velocidade angular da barra AB;

(c) a velocidade do cursor B.

CIR = B

AA AB

AB

vv r

r

20.2

10

rad

s

0Bv

23. A roda ilustrada possui raio R = 0.2 m, gira com

velocidade angular = /2 rad/s no sentido horrio e seu

h

F R

h

F

R S

B

P

C

O

Cv

Av

A B

045 10m

z x

y


20

centro se desloca com velocidade vC = 0.2 m/s para a direita.

Pedem-se:

(a) o CIR da roda;

(b) determinar se a roda escorrega ou no;

(c) a velocidade do ponto de contato com o piso.

CC

vv r r

0.2

2r

Para o CIR no ponto de contato, sem derrapar:

0.21

0.2

CC

v radv r

r s

0.1273r

0.2 0.1273 0.073CIR CIRr R r r m

Como 1 < , a roda ir derrapar...

24. No arranjo ilustrado, trs engrenagens esto

engrenadas entre si e articuladas a uma barra slida nos pontos

A, B e C. A engrenagem E1 fixa, ou seja, mantm-se

estacionria. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que

passa pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no sentido horrio. Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade angular da engrenagem E2;

(b) a velocidade angular da engrenagem E3;

(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que

faz contato com a engrenagem E2;

(d) a acelerao do ponto da engrenagem E3, que


30 0.688 20.64B ABC A B B Bm

v r r v vs

1 2 3

2 30 1.168 35.04C ABC E E E C Cm

v r r r v v js

2

0 0 0PA A e

v v

30 0.688 20.64B AB AB B Bm

v r v v js

2 22EP B E Ev v BP

2 2

0 20.64 0.288 20.64 0.288E Ej k i j

2 2

20.64 71.660.288

E E k

2 2 32 3E EP B E E Ev v BP

2 3

20.64 71.66 0.288E EP

v j k i

2 3 2 3

20.64 20.638 41.28E E E EP P

v j j v j

3 2 32 3E EP C E E Ev v CP

3

41.28 35.04 0.192C Ej v j k i

3

41.28 35.04 0.192C Ej v j j

3 3

41.28 35.0432.5

0.192E E

3

32.5Erad

ks

z x

y

Cv

R

z x

y

30

B C

A

CIR

0.688

0.4 0.288m

0.480

0.288 0.192m

Bv Cv 2EPv

2 3E EPv


21

2 22EP B E Ev v BP

C A ABC ABC ABCa a AC AC

0 0 30 30 1.168Ca k k i

1051.2Ca i

3 2 3 3 3 2 32 3E EP C E E E E E E Ea a CP CP

2 3

1051.2 32.5 32.5 0.192E EP

a i k k i

2 3

1051.8 32.5 6.24E EP

a i k j

2 3

1051.8 202.176E EP

a i i

2 3 2849.624

E EP

ma i

s



A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que

passa pelo ponto A, com velocidade angular = 30 rad/s, no sentido horrio. A engrenagem E3 no gira sobre si mesmo, ou

seja, apresenta movimento de translao. Para o instante




(c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que


(d) a acelerao do ponto da engrenagem E3, que


2C ABC AC C ABC A B Cv r v r r r

1.1618

30 0.4 2 0.288 0.192 35.04C Cv v

35.04Cm

v js

3 3 3 23 2

0E EE P C E E E

v v P

3 2E EP Cv v

B ABC AB B ABC A Bv r v r r

30 0.4 0.288Bv

20.64Bm

v js


22 3

20.64 0.288E EP E

v j k i

22 3

35.04 20.64 0.288 35.04E EP E

v j

2 2

20.64 35.04 14.4

0.288 0.288E E

2

50Erad

ks


2 1

20.64 50 0.288E EP

v j k i

2 1

20.64 50 0.288E EP

j

v j k i

2 1

20.64 14.4E EP

v j j

z x

y

30

B C

A

CIR

0.688

0.4 0.288m

0.480

0.288 0.192m

z x

y


22

2 1

6.24E EP

mv j

s

2 1 1 2

6.24E E E EP P

mv j v

s

1 1 21 2E EP A E E Ev v AP

1

6.24 0 0.4Ej k i

1 1

6.24 6.24 0.40.4

E Ej j

1

15.6Erad

ks

0

0

B A ABC ABC ABCa a AB AB

30 30 0.688Ba k k i

619.2Ba i

2 2 3 2 2 2 32 3E EP B E E E E E E Ea a BP BP

2 3

619.2 50 50 0.288E EP

a i k k i

2 3

619.2 50 50 0.288E EP

j

a i k k i

2 3

619.2 50 14.4E EP

i

a i k j

2 3 21339.2

E EP

ma i

s



A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que

passa pelo ponto A, com velocidade angular = 2 rad/s, no sentido horrio. A engrenagem E1 fixa e permanece

estacionria. Para o instante ilustrado, pedem-se:



2 0.4 2.5137B ABC A B B Bm

v r r v vs

2.5137Bm

v js


22 '1

0 2.5137 0.1E EP E

v j k i

2

0 2.5137 0.1 Ej j

2

2.5137

0.1E

2

25.1Erad

ks


2C ABC A B Cv r r r

2 0.3 2 0.1 0.1 0.1 3.77C Cm

v vs

3.77Cm

v js


2 3

2.5137 25.1 0.1E EP

v j k i

2 3

2.5137 2.5E EP

v j j

2 3

5.0137E EP

mv j

s

2 3 3 2E E E EP Pv v


3

5.0137 3.77 0.1Ej j k i

3

5.0137 3.77 0.1 Ej j j

z x

y

2

B C

0.3m 0.1m

A

0.1m 0.1m

1E 2E 3E


23

3 3

5.0137 3.7712.34

0.1E E

rad

s

3

12.34Erad

ks

27. Uma viga de comprimento 4.0 m, abaixada

por intermdio de dois cabos presos em suas extremidades A e

B. No instante em que se aplicam os freios ocorre um

problema, e cada extremidade desacelerada de forma

diferente, desta forma, a extremidade A desacelera com

acelerao aA = 3.0 m/s2 enquanto a extremidade B desacelera

com aB = 5.0 m/s2. Pedem-se:

(a) a acelerao angular da viga;

(b) a acelerao do ponto mdio da barra.

A Ca a CA CA

2 2A ca a j k i k k i

2

3

2 2A cj

a i a j

B Ca a CB CB

2 2B ca a j k i k k i

2

5

2 2B Cj

a i a j

2 2

0

2 5 4 0.5

2 3

C c

C

m rada a

s sa

2 24 0.5c

m rada j k

s s

A

4 m

Aa

B

z x

y

Ba

v


24

Exerccios Livros: Kraige, B.J. e Hibbeler 1. Determine as relaes entre as grandezas angulares

do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar

no cho em termos de suas grandezas lineares, velocidade e

acelerao do seu centro, o ponto O indicado na figura.

Observe que o deslocamento linear s do centro O da

roda igual ao arco de comprimento C A . Adotamos a origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato

da roda com o cho.

Relaes:

x r

0v r

0a r

Da figura, observe que:

r

x s r sen x r sen

cos cosr

y s r y r

Para obter as velocidades, faremos as derivadas com

respeito ao tempo:

cosdx dr d d

x sen rdt dt dt dt

cosx r sen r

00

1 cosv

x r sen r

0 1 cosx v Analogamente:

0y v sen Para a acelerao, derivamos as velocidades.

Encontra-se:

20 1 cosx a r sen 2

0 cosy a sen r

Cv x i y j

Ca x i y j

No instante de contato (demonstre):

= 0. 2 0C Cv a r j

2. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias

mostrados. Se vA = 2 m/s para baixo, determine a velocidade

de B no instante que = 450.

B A ABv v r

0 00.2 45 ,0 0,0.2 cos45AB ABr B A r sen 2 2 0.2 0.2

2 2ABr i j

0.1 2 0.1 2ABr i j

B A ABv v k r

2 0.1 2 0.1 2Bv j k i j

2 0.1 2 0.1 2Bj i

v j k i k j

0.1 2 2 0.1 2Bv i j Mas: B bv v i

10 2 0.1 2 20.1 2

22 0.1 2 0 10 20.1 2

b b

b

mv v

v s

rad

s


25

2. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a

superfcie da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s,

horizontal. Determine a velocidade do ponto A do cilindro. O

cilindro possui uma velocidade angular no sentido horrio de

15 rad/s.

A B BAv v r

2B Cv v i

0.5,0 0, 0.5BA BAr BA A B r 0.5 0.5BAr i j

15 k

2 15 0.5 0.5Av i k i j

2 15 0.5 15 0.5Av i k i k j

2 7.5 7.5Av i j i 2 7.5 7.5Av i j i

9.5 7.5Aft

v i js

2 29.5 7.5 12.1A Aft

v vs

7.538.2

9.5

y

x

A

A

varctg arctg

v

012.1 38.2Aft

vs

Soluo: Anlise escalar:

0

045

45A B BA BA

BA

r rv r sen r

r sen

015 10.6

45A B A B

r ftv v

sen s

A B BAv v v

02 10.6 cos45 9.6x x x xA B BA A Ax

v v v v v

00 10.6 45 7.5y y x yA B BA A Ay

v v v v sen v

3. O colar C est se movendo para baixo com uma

velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular da barra

CB nesse instante.

O movimento de C para baixo causa uma rotao no

sentido anti-horrio da barra CB.

B C CB CBv v r 0.2,0 0,0.2CBr B C

0.2 0.2CBr i j


26

2 0.2 0.2Bv j k i j

2 0.2 0.2Bv j k i j

2 0.2 0.2

j i

Bv j k i k j

0.2 0.2 2 2B Bv i j v i

0.2 2 210

0.2 2 0 0.2

rad

s

4. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem

escorregar, com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3

m/s. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante

representado.

Soluo 1: Geomtrica-escalar:

A O AOv v v

A velocidade angular no ponto A a mesma que no

ponto C da periferia:

0

310

0.3

radv r

s

0 0.2 10 2AO AO AOm

v r v vs

2 2 2 2 cos60A O OAO AOv v v v v

2 2 2 213 2 2 3 2 19 192

A A A

mv v v

s

Veja como foi aplicada a lei dos co-senos:

2 2 2 2 cosa b c b c 2 2 2 2 cosb a c a c 2 2 2 2 cosc a b a b

2 2 2 2 cos 180b a c a c

cos cos cos sen sen

1 0

cos 180 cos180 cos 180sen sen

cos 180 cos 2 2 2 2 cosb a c a c

Soluo 2: Vetorial:

A O AOv v v

3Av i A O

0 00.2

cos30 ; 30 0.1732;0.1A r r sen A

0;0 0.1732 0.1O A O i j 10 k

3 10 0.1732 0.1Av i k i j

3 10 0.1732 10 0.1Aj i

v i k i k j

3 1.732 1 4 1.732A Av i j i v i j

2 24 1.732 19A Am

v vs

19 23.4Am

vs

a

b c

a

c

b

180-


27

5. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre

a cremalheira inferior estacionria; a velocidade do seu centro

A de 1.2 m/s para a direita. Determinar:

(a) a velocidade angular da engrenagem,

(b) as velocidades da cremalheira superior R e do

ponto D da engrenagem.

Como a engrenagem rola sobre a cremalheira

inferior, seu centro A percorrer uma distncia igualao

comprimento da circunferncia exterior, 2r1, para cada

rotao completa da engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a direita, (xA > 0), a engrenagem gira em

sentido horrio ( < 0), escrevemos:

1Ax r

1 1A

A

dx dr v r

dt dt

1

1.28

0.150

Av rad

r s

8rad

k ks

O rolamento decomposto em dois movimentos: um

de translao do centro A e outro de rotao ao redor deste

centro. Na translao, todos os pontos da engrenagem

deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaa, cada

ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com

velocidade:

P APv r APr P A

Aqui PAr o vetor de posio de P em relao a A.

Assim, a velocidade da cremalheira superior a

velocidade do ponto B:

R B B A ABv v v v v

B A ABv v r

1.2 8 0.1Bv i k j

1.2 0.8

i

Bv i k j

1.2 0.8 2.0B Bm

v i i v is

Velocidade do ponto D:

D A ADv v r

1.2 8 0.15Dv i k i

1.2 8 0.15

j

Dv i k i

1.2 1.2Dm

v i js

2 21.2 1.2 2.88 1.7D Dm

v vs

tan 1 45

1.2 1.2 1.7 45D Dm m

v i j vs s

Resumindo:

08 /

1.2

0.15

AC A

rad s

vv v AC

R

R B Av v v AB

1.2 8 0.1R Bv v i k j

1.2 0.8 2R B Bm

v v i i v is

D Av v AD

1.2 8 0.15 1.2 1.2D Dv i k i v i j

(c) Se a acelerao do ponto A vale 3 m/s2 para a

direita e sua velocidade 1.2 m/s para a direita, determine a

acelerao angular da engrenagem e as aceleraes dos pontos

B, C e D da engrenagem.


28

Ponto x(m) y(m)

A 0 0

B 0 0.1

C 0 -0.15

D -0.15 0

Vetores

0.15C A j

0.1B A j

0.15D A i

C Aa a C A C A

3 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j 3 0.15 8 1.2Ca i i k i

3 0.15 9.6Ca i j

33 0.15 0

0.15TCa

220 20

radk

s

Clculo das aceleraes nos pontos;

D Aa a D A D A

3 20 0.15 8 8 0.15Da i k i k k i

3 3 8 1.2Da i j k j 3 3 9.6Da i j i

12.6 3Da i j

2 2

212.6 3 12.95D D

ma a

s

03 13.412.6

y

x

D

D

aarctg arctg

a

212.95D

ma

s 13.4

0

B Aa a B A B A

3 20 0.1 8 8 0.1Ba i k j k k j

3 2 8 0.8Ba i i k i 5 6.4Ba i j

22

25 6.4 8.12B B

ma a

s

06.4 525

y

x

B

B

aarctg arctg

a

28.12B

ma

s 520

C Aa a C A C A

3 20 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j

3 3 8 1.2Ca i i k i 9.6Ca j

29.6C

ma

s

090

29.6C

ma

s 90

0

6. No sistema esboado, a manivela AB possui uma

velocidade angular constante de 2000 rpm (freqncia f) no

sentido horrio. Determinar para a posio da manivela

indicada na figura:

(a) a velocidade angular da biela BD.

(b) a velocidade do pisto P.

1 1002000 2000

60 3f rpm f Hz f Hz

2002 209.45

3

rad radf

s s

0.0762 209.45AB AB ABv r v

015.95 50ABm

vs

Movimento da Biela BD:

Aplicando a lei dos senos:

40 400.0762

0.0762 0.203 0.203

sen sen sensen


29

0.241 0.241 13.96sen arcsen Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela

se une ao pisto, deve ser horizontal. Decompondo o

movimento de BD:

Movimento plano de BD= Translao + rotao

D B DBv v v

Fazendo o diagrama vetorial dessa relao:

53.9 50 76.1

D DB Bv v v

sen sen sen

15.9 15.950

53.9 50 76.1 76.1

D DBDB

v vv sen

sen sen sen sen

12.5DBm

vs

76.1

15.953.9 13.2

76.1D D

mv sen v

sen s

Utiizando o CIR:

40B

90D

13.95

53.95B

76.05D 8

76.05 53.95 50

BC CD BD

sen sen sen

10.14 8.44BC CD

628.13 10.14B BD BDv BC

62BD rad s

43.6D BD Dv CD v m s

7. A barra AB de 0.2 m de comprimento est presa a

uma roda de 0.1 m de raio que gira no sentido horrio a 30

rad/s quando = 600. Determine a velocidade angular da barra BC e da roda nesse instante.

B AB ABv r

0 0 30 0.2 cos60 0.2 60Bv k i sen j 0 0 30 0.2 cos60 30 0.2 60Bv k i sen k j

3 5.196Bv j i 5.196 3Bv i j

C B BC BCv v r

5.196 3 0.2C BCv i j k i

5.196 0.2 3C BCv i j


30

15

5.196

5.196 0.2 3

3

0.2

C

C BC

BC

mv

sv i i j

rad

s

Na polia com centro em D:

5.196 0.1C D C Dv r i k j

5.196 0.1 5.196 0.1

i

D Di k j i i

5.1960.1 5.196 51.96

0.1D D D

rad

s


31

Av

15

ABv

Bv

90

75

30

Exerccios 1. Um automvel se desloca para a direita a uma

velocidade constante de 72.4 km/h. Se o dimetro da roda

0.559 m, determine as velocidades dos pontos A, B C D e E

margem da roda.

72 20A Akm m

v vh s

| | | |C A B A D A E Av v v v r

0.5590.2795

2 2

Dr r r m

|

|

2071.55

0.2795

C A

C A

v radv r

r s

| 20 20 0C A C A C Cv v v v v

|D A D Av v v

20 20 cos30 30Dv i i sen j

20 20 cos30 20 30Dv i sen j 37.32 10Dv i j

2 2 2 237.32 10 38.63D x y D Dm

v v v v vs

1015

37.32D Darctg

2. O movimento da haste AB guiado pelos pinos

ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas.

No instante mostrado, = 40 e o pino em B se move para cima e para a esquerda, com uma

velocidade constante de 6 polegadas/s.

Determinar

(a) a velocidade angular da haste,

(b) a velocidade do pino A.

R B B A ABv v v v v

90 75 15B AB Av v v

sen sen sen

90 40 75 15 40B AB Av v v

sen sen sen

50 75 55

B AB Av v v

sen sen sen

55 556 6.412

50 50A B A A

sen sen inv v v v

sen sen s

75 756 7.57

50 50AB B AB AB

sen sen inv v v v

sen sen s

ABv l

7.57

20

ABv

l

0.378rad

s

cos cossen sen sen

cos cossen sen sen

3. O movimento da haste AB guiado pelos pinos

ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras

mostradas. No instante mostrado, = 30 e o pino em A se move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s.

Determinar:

(a) a velocidade angular da haste, (b) a velocidade do

pino no final B.

4. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades

da haste AB e rolam livremente ao longo das superfcies

mostradas.


32

Sabendo que uma roda se move para

a esquerda, com uma velocidade constante de 1.5 m/s,

determinar:

(a) a velocidade angular da haste;

(b) a velocidade da extremidade B da haste.

5. Um colar se move para cima, com uma velocidade

constante de 1,2 m/s no instante mostrado quando =25. Determinar:

(a) a velocidade angular da haste AB;

(b) a velocidade de B.

6. O Colar B se move para baixo para a esquerda

com uma velocidade constante de 1.6 m/s. No instante

indicado quando = 40 , determinar: (a) a velocidade angular da haste AB;

(b) a velocidade de A. Gola.

6. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo

dispositivo est esquematizado, os raios das engrenagens A, B,

C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90

mm. Sabendo que a engrenagem E tem freqncia 120 rpm no

sentido horrio e a engrenagem interna central A possui

freqncia 150 rpm no sentido horrio, determine:

(a) a velocidade angular de cada engrenagem.

(b) a velocidade angular da aranha formada pelas

engrenagens B, C e D conectadas entre si.

180

2 2 E E Erpm

radf

s

240

2 8 A A Arpm

radf

s

Engrenagem E: (externa)

6 90 540E E E E Emm

v r v vs

Engrenagem A:

8 30 240H A A H Hmm

v r v vs

Engrenagem B:

H E Bv v BE

240 540 60Bi i k j

240 540 60 Bi

i k j

300 60 60 300B Bi i

Hv

A

A 30Ar mm

B

Hv

30Br mm

H

H

E

Bv B

30Br mm


33

E

A B

E

A B

a b 0 1

2

3

2v

300 5 60

B B

radk

s

B H Bv v HB

240 5 30Bv i k j

240 150Bi

v i k j

240 150Bv i i

390Bm

v is

Velocidade angular das engrenagens planetrias:

5 5 5 B C Drad rad rad

s s s

150 150 150 B C Df rpm f rpm f rpm

Spider:

BB S S S

S

vv r

r

390

60S

6.5 Srad

ks

195 sf rpm

7. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo

dispositivo est esquematizado na figura do problema anterior,

os raios das engrenagens A, B, C e D so iguais a 3 in (3

polegadas). (1 in = 2.54 cm = 1 feet/33). Sabendo que a

engrenagem A tem uma frequncia constante de 150 rpm no

sentido horrio e a engrenagem E est estacionria, determine

a acelerao do dente da polia E em contato com:

(a) a engrenagem A;

(b) a engrenagem E.

Engrenagem Velocidade

A 1 Av a

Spider 2 sv a b B

2 1 Bv v b

3 2 Bv v b

E 3 2 Ev a b

2

2

2

E Aa b av

22

E A

B

a b a

b

2

2

E A

S

a b a

a b

10

5E S A

8. A barra AB, ilustrada, gira com velocidade

angular constante = 7 rad/s, no sentido horrio. O cursor C desloca-se sobre barra horizontal fixa, no instante ilustrado:

(a) qual a velocidade do ponto B, em m/s ?

(b) qual a acelerao do ponto B, em m/s ?

(c) qual a velocidade do ponto C, em m/s ?

(d) qual a acelerao do ponto C, em m/s ?

9. As barras ilustradas, AB, BC e CD, so

articuladas entre si. A barra AB gira no sentido horrio com

velocidade angular AB = 15 rad/s. Qual a velocidade angular da barra CD, em rad/s ?

10. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade angular, AB = 7 rad/s, no sentido horrio, e acelerao angular nula. O cursor C tem seus movimentos

limitados por haste fixa. Para o instante ilustrado, encontre:

(a) a velocidade do ponto B, em m/s;

Bv

S

60Sr mm


34

(b) a acelerao do ponto B, em m/s;

(c) a velocidade angular da barra BC;

(d) a acelerao do ponto CB, em m/s;

11. As barras AB, BC e CD, so articuladas entre si

conforme ilustrado. A barra AB gira com velocidade angular

constante AB = 6 rad/s, no sentido horrio. Para o instante ilustrado:

(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?

(b) qual a acelerao do ponto B, em m/s ?

12. A barra AB, gira com freqncia constante f =

954,96 r.p.m. no sentido horrio. O cursor C est vinculado a

uma haste horizontal fixa, para o instante configurado:

(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?

(b) qual a velocidade do cursor C, em m/s ?

12. No arranjo ilustrado, o disco AB gira com

velocidade angular constante, AB = 9 rad/s, no sentido horrio. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste

fixa.

(a) Qual a velocidade do cursor C, em m/s ?

(b) Qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?

13. As barras AB, BC e CD, so articuladas entre

si, conforme ilustrado. A barra CD, tem velocidade angular

constante = 5 rad/s, no sentido horrio. Para o instante ilustrado, encontre:

(a) a velocidade angular da barra AB, em rad/s;

(b) a velocidade angular da barra BC, em rad/s.

14. As barras AB, BC e CD, so articuladas entre

si, conforme ilustrado. A barra AB, tem velocidade angular

constante = 3 rad/s, no sentido horrio. Para o instante ilustrado, encontre:

(a) a velocidade angular da barra BC, em rad/s;

(b) a velocidade angular da barra CD, em rad/s.

15. A engrenagem A gira com uma 120 rpm

no sentido horrio. Sabendo-se que a velocidade angular do

brao AB 90 rpm no sentido horrio, determinar a

velocidade angular correspondente da engrenagem B.

16. O brao AB do sistema anterior gira com 42

rpm no sentido horrio. Determinar a velocidade angular

necessria de engrenagem A para os quais


35

(a) a velocidade angular da engrenagem B de 20 rpm

horrio,

(b) o movimento da engrenagem B uma translao

curvilnea.

17. O Brao AB gira com = 20 rad/ s no sentido horrio. Sabendo-se que a engrenagem exterior C

estacionrio, determinar:

(a) a velocidade angular da engrenagem B,

(b) a velocidade do dente de engrenagem localizado

no ponto D.

18. O Brao ACB gira sobre o ponto C com uma

angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. Dois discos

de frico A e B esto presos em seus centros de ACB brao,

como mostrado. Sabendo que os discos rolam sem escorregar

em superfcies de contato, determinar, para cada caso, a

velocidade angular de (a) do disco A, (b) do disco B.

Caso 1:

Caso 2:

19. Sabendo que a manivela AB gira com

frequncia de 160 rpm, no sentido anti-horrio, determinar a

velocidade angular da haste e o BD e a velocidade de gola D

quando: (a) = 0, (b) = 90 .

20. No sistema de motor mostrado, l = 160 mm e b

= 60 mm. Sabendo que a manivela AB gira com uma

frequncia constante de 1000 rpm no sentido horrio,

determinar a velocidade do pisto P e a velocidade angular da

haste de ligao quando (a) = 0, (b) = 90.

21. Uma cremalheira reta repousa sobre uma

engrenagem de raio r e est ligada a um bloco

B, tal como mostrado. Denotando por D velocidade angular

da engrenagem D e por o ngulo formado pela cremalheira e a horizontal, determine expresses para a velocidade do bloco

B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de

r, , e D.

22. Um automvel viaja para a direita a uma

velocidade constante de 48 km /h. Se o dimetro de uma roda

de 22 cm, determinar as velocidades dos pontos B, C, D e E

do aro da roda.


36

22. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a

esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Sabendo-se que

a distncia AD de 50 mm, determinar a velocidade da gola e

a velocidade angular da haste AB quando

(a) = 0, (b) = 90 .

23. Para a engrenagem mostrada, derivar uma

expresso para a velocidade angular C de engrenagem C e

mostrar que C independente do raio da engrenagem B. Suponha que o ponto A fixo e denotam as velocidades

angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A, respectivamente.

24. Num dado instante, um cilindro de raio r possui

velocidade angular e acelerao angular , ambas no sentido horrio, como mostra a figura:

Mostre que a acelerao e a velocidade no ponto G

so dadas por ( o cilindro no escorrega):

Ga

Ga r i

Gv r i 25. O rolete A move-se com velocidade contante vA

= 3 m/s; determine a velocidade angular da barra AB e a

velocidade do rolete B, vB.

Para a engrenagem mostrada, derivar uma

expresso para a velocidade angular C de engrenagem C e

26. A roda rola sem escorregar com uma velocidade

angular de = 10 rad/s. Determine a velocidade do ponto B no instante mostrado.

27. Determine a velocidade angular do carretel. O

cabo est preso no ncleo interior e o carretel no escorrega na

plataforma P.

28. Se a manivela OA gira com velocidade angular

de =12 rad/s,determine a velocidade do pisto B e a velocidade angular da barra AB no instante mostrado.


37

29. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura

horizontal com velocidade de 60 ft/s, determine a velocidade

angular da barra BC no instante mostrado.

30. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s.

Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. A

cavilha move-se ao longo da fenda.

31. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira

fixa B com uma velocidade angular = 4 rad/s. Determine a velocidade da cremalheira C.

32. Suponha, no problema anterior, que a

engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. A cremalheira

B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira

C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. Determine a

velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu

centro.

33. Uma engrenagem repousa numa cremalheira

horizontal. Uma corda amarrada no ncleo da engrenagem e

num dado ponto A, tangente ao ncleo, ela puxada para a

direita com velocidade constante de 2 ft/s. Determine a

velocidade do centro da engrenagem C.

34. Determine a velocidade angular da engrenagem

e a velocidade de seu centro no instante mostrado.

35. Determine a velocidade do ponto A mostrado no

instante considerado.

36. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado

num sistema de transmisso automtica de um automvel,

considere o caso que a engrenagem R fixa, com R = 0, e a

engrenagem S est girando com velocidade angular S = 5 rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e

do eixo A.

37. O pisto P move-se para cima com velocidade

de 300 in/s. Determine a velocidade angular do virabrequim

AB no instante considerado. Encontre a velocidade do centro

de gravidade G.

Bv

Cv


38

38. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no

mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3

rad/s, o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira

da bicicleta com o solo. Determine a velocidade do ponto A.

39. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4 rad/s, determine a velocidade do bloco deslizante C no

instante considerado.

40. A engrenagem D gira no sentido anti-horrio

com velocidade angular D = 5 rad/s, enquando a barra AB

gira com velocidade angular no sentido horrio de AB = 10 rad/s; determine a velocidade angular da engrenagem C.

41. Um sistema de transmisso automtica consiste

de 3 engrenagens A, B e C, montados num portador D,

conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem

externa F (Sol). Pelo controle ao qual o sistema gira e quais

engrenagens recebem a potncia, a transmisso automtica

pode alterar a velocidade do carro e a direo. Se o portador

est girando no sentido anti-horrio, com velocidade angular

D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido

horrio com velocidade angular F = 10 rad/s, determine a velocidade angular das engrenagens e da engrenagem externa

(Sol). O raio das engrenagens planetas (A, B e C) so 45 mm e

da engrenagem Sol 75 mm.

aula_2_cs

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