1

MODELOS MATEMÁTICOS

(Cap.2 do Dorf & Bishop)

OBJETIVO Escrever as equações que relacionam entre si as variáveis de interesse

Sistemas mecânicos: relação entre forças (acelerações), torques, velocidades, deslocamentos, ...

Sistemas elétricos: relação entre correntes, tensões, cargas,

campos, ... Sistemas térmicos: relação entre temperaturas e fluxos de calor,

... Sistemas hidráulicos: relação entre pressões, velocidades, fluxos

de escoamento, ... Sistemas com transporte de massa: relação entre concentrações,

fluxos de massa, ... Para todo tipo de sistema, pode-se definir a energia armazenada em cada modo (mecânico, elétrico, térmico, ...) e usar o princípio da conservação da energia para equacionar a troca de energia entre os vários modos.

2

OS COMPONENTES MECÂNICOS BÁSICOS Mola de tração se a massa for desprezível, teremos F1 = −F2 = F se a mola estiver no regime elástico, F = −K(x1 − x2 − L) (L é o comprimento de equilíbrio)

abreviadamente, F = −K.(x12−L) = K.(x21+L) (relação força-deslocamento)

(relação força-velocidade) Massa: inércia de translação F = M.a Massa: inércia de rotação A aceleração angular é igual ao torque aplicado J = momento de inércia do tambor Atrito viscoso F12 = força de atrito viscoso que 2 faz em 1 F12 = −F21 = F (ação e reação)

Definição de atrito viscoso: F = −λ(v1 – v2) = −λ.v12

21K

dt

dFv=

x1 x2

v1v2

F1F2

x

K

x

v

FM

dt

dMF

v

= 2

2

dt

xdMF =

dt

dJ

ω=τ

dt

dθ=ω

2

2

dt

dJ

θ=τ

τ

ω

θ

v1

v2

1

2

v1v2

F-Fλ

3

O SISTEMA MASSA-MOLA COM AMORTECIMENTO Supondo que o ponto de equilíbrio é x = 0, teremos fmola = −Kx fatrito =

2

2

dt

xdMKx

dt

dxFa.mF =−λ−⇒=∑

relação entre deslocamento e força externa

relação entre velocidade e força externa

OS COMPONENTES ELÉTRICOS BÁSICOS

INDUTOR

φ = −L.i RESISTOR CAPACITOR (fluxo magnético) v = R.i q = C.v (indução) (lei de Ohm)

C = capacitância L = indutância

[C] = F (Farad) no SI [L] = H (Henry no SI)

dt

dxλ−

x

F

M

K

x = 0

F

M

fmola

fatrito

Fkxdt

dx

dt

xdM

2

2

=+λ+

Fdt.vkvdt

dvM =+λ+ ∫

i

v

L

i v

q+

-qC

R

v

i

dt

dC

v

i =

dt

dφ−=v

dt

dL

iv =

4

O CIRCUITO RLC

i = iR + iL + iC

relação entre a tensão de saída e a corrente de entrada

NOTE A ANALOGIA MECÂNICO-ELÉTRICA

EXERCÍCIO 7: Considere o circuito RLC série ao lado como um sistema onde a entrada é a voltagem externa v(t) e a saída é a corrente i(t).

(a) Escreva a equação diferencial para i(t). (b) Estabeleça a analogia eletro-mecânica

nesse caso comparando com a equação diferencial para o sistema massa-mola.

dt

dvCi

R

vi

L++=

Ri (t) L C

v(t)

idt.vL

1v

R

1

dt

dvC =++ ∫

dt

div

L

1

dt

dv

R

1

dt

vdC

2

2

=++

Força e corrente F ↔ i

Velocidade e voltagem v ↔ v

Massa e capacitância M ↔ C

Atrito e resistência λ ↔ 1/R

Força elástica e indutância K ↔ 1/L

Ri(t)

L

C

v(t)+

_

5

USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

→ No domínio do tempo, analisamos o comportamento dos sistemas usando

gráficos de funções versus tempo.

→ No domínio da freqüência, analisamos o comportamento dos sistemas

verificando a posição dos pólos e zeros das transformadas de Laplace no plano

complexo.

DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

FUNÇÃO

equação representação

gráfica

transformada

de Laplace

diagrama de

pólos e zeros

Fenômeno

que descreve

Degrau unitário

<

>=

0 tpara 0

0 tpara t)t(f

s

1)s(F =

Sinal constante

aplicado

em t = 0

Varredura

linear

<

>=

0 tpara 0

0 tpara t)t(f

2s

1)s(F =

Aumento linear

Decaimento exponencial

<

>=

α−

0 tpara 0

0 tpara e)t(f

t

α+

=

s

1)s(F

Relaxação

constante de

tempo = 1/α

Oscilação harmônica

<

>ω=

0 tpara 0

0 tpara t)sen()t(f

22s)s(F

ω+

ω=

Oscilação

harmônica

freqüência f

(f = ω/2π)

RESUMO DAS TRANSFORMADAS BÁSICAS E DAS PROPRIEDADES

Transformadas Propriedades

f(t) F(s) f(t) F(s)

1 s

1

f(t) + g(t) F(S) + G(S)

t 2s

1

A.f(t) A.F(S)

t

eα−

α+s

1

)t(fe tα− F(s + α)

sen(ωt) 22

s ω+

ω

t.f(t)

ds

dF−

cos(ωt) 22s

s

ω+

tn.f(t) n

n

n

ds

Fd)1(−

δ(t) 1

dt

df sF(s) – f(0)

2

2

dt

fd s2F(s) – sf(0) – f´(0)

0

f (t)

1

t

Im

Re

0

0

f (t)

t

Im

Re

0

(2)

0

f(t)

1

t

Im

Re

0α

_

f (t)

t

Im

Re

ω_

ω+

TEOREMA DO VALOR INICIAL

)s(sFlim)0(fs ∞→

=

TEOREMA

DO VALOR FINAL

)s(sFiml)(f0s→

=∞

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No domínio do tempo: Usando a transformada de Laplace: s2R − sr(0) − r’(0) + A[sR − r(0)] + BR = E

(s

2 + As + B)R − (s+A)r(0) − r’(0) = E

BAss

)0('r)0(r)As(

BAss

ER

22++

++

+

++

=

No domínio da freqüência: s2 + As + B é chamada de equação característica do sistema.

)t(eBrdt

drA

dt

rd2

2

=++e(t)

ENTRADA

SAIDA

r(t)

CONDIÇÕES INICIAIS

r(0)

r’(0)

BAss

1

2++

+

E R

(s+A) r(0)

r’(0)

+

+

7

A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Se as condições iniciais são nulas, a relação saída-entrada é simplesmente

R(s) = G(s).E(s) G(s) é a função de transferência do sistema. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL f´´ + af´ + bf = g

forma geral : )t(gbffaf =+′+′′ , onde a e b são constantes g(t) é uma função conhecida (chamada de “função forçante”,

porque, na prática, corresponde a uma excitação imposta externamente ao sistema em estudo).

(I) DEFINIÇÕES

− Uma função h(t) que satisfaz à equação diferencial é chamada de

solução particular da e.d. − O conjunto de todas as soluções da e.d. é chamado de solução

geral da mesma. − A e.d. 0bffaf =+′+′′ é chamada de “homogênea associada” à e.d.

)t(gbffaf =+′+′′ .

G(s) E(s) R(s)

8

(II) TEOREMA: A solução geral da e.d. )t(gbffaf =+′+′′ é a soma de uma solução particular com a solução geral da sua

homogênea associada: f(t) = fP(t) + fH(t)

Exemplo: A função fp(t) = 2t2 − 2t + 1 é uma solução particular

da e.d. t8t12f6f5f2+=+′+′′ .

A solução geral da homogênea associada 0f6f5f =+′+′′ é t3t2

hBeAe)t(f −−

+=

A solução geral da e.d. t8t12f6f5f2+=+′+′′ é

1t2t2BeAe)t(f 2t3t2+−++=

−−

, onde A e B são constantes

quaisquer.

A solução particular também é conhecida como “resposta forçada”,

porque é a parte da solução causada pela função forçante g(t).

A solução da homogênea associada é conhecida como “resposta

natural”, porque é a parte da solução que corresponde ao comportamento intrínseco do sistema descrito pela e.d..

Quando a solução da homogênea decai com o tempo, ela é chamada

de “solução transiente”, e a solução particular de “solução de

regime”.

(III) Solução geral da e.d. homogênea 0bffaf =+′+′′ :

1. Encontre as raízes da equação característica x2 + ax + b = 0; 2. Se as raízes forem α e β, distintas e reais, a solução geral pode

ser escrita como tt

BeAeβα

+

3. Se a raiz for dupla = α , a solução geral é te)BtA( α

+ 4. Se as raízes forem complexas conjugadas = α ± jβ, a solução

geral pode ser escrita como )tcos(Me t φ+βα

ou como

)]t(Bsen)tcos(A[e t

β+βα

. A, B, M e φ são constantes arbitrárias.

9

(IV) Solução particular

Não há uma técnica que funcione sempre para encontrar uma

solução particular. Em alguns casos, a solução particular é

óbvia. Na maioria dos casos de interesse prático, tenta-se

uma combinação linear entre g(t) e suas derivadas.

Exemplo: Considere a e.d. t8t12f6f5f2+=+′+′′ .

A função forçante g(t) e suas derivadas tem a forma

geral Pt2 + Qt + R. Substituindo essa função na e.d.,

encontramos P = 2, Q = −2 e R = 1. Logo, uma solução

particular é 2t2 − 2t + 1.

EXERCÍCIO 8: Para cada circuito elétrico abaixo, obtenha a equação diferencial que

relaciona a saída V0(t) (em aberto) com a entrada Vi(t). Estabeleça também

as condições iniciais necessárias. Suponha que, no instante inicial t = 0, não

haja qualquer energia armazenada nos circuitos, e que os amplificadores

operacionais são ideais.

Resp.: (a) (b) (c) (d) (e)

−=

−=

)0(RCv)0(v

dt

dvRCv

'

i0

i

0

R

L

vi(t) v0

(t)

R

L

vi(t) v0

(t)

C

RL

vi(t) v0

(t)

C

A 46

_

+

C

R

vi(t)

v0(t)

A 46

_

+

C

R

vi(t)

v0(t)

(a) (b)

(c)

(d)

(e)

=

=+

)0(v)0(v

dt

dvv

L

R

dt

dv

i0

i

0

0

=

=

=++

RC/)0(v)0(v

0)0(v

dt

dv

RC

1

LC

v

dt

dv

RC

1

dt

vd

i

'

0

0

i00

2

0

2

−=

=

=++

RC/)0(v)0(v)0(v

)0(v)0(v

vLC

v

RC

vv

i

'

i

'

0

i0

''

i

0

'

0''

0

=

−=

0)0(v

RC/vdt

dv

0

i

0

10

EXERCÍCIO 9: Suponha, no exercício anterior, que R = 4Ω, L = 2H e C = 0,5F.

Encontre o sinal v0(t) quando a entrada for um degrau de amplitude 10. Se o

sistema for amortecido, encontre a constante de tempo τ e, se a resposta for

oscilatória, encontre freqüência de oscilação ω.

Resp.: (a) ; τ = 0,5 (b) ; τ =4; ω = 0,97

(c) ; τ =4; ω = 0,97 (d) v0(t) = −5t (e) v0(t) = 0

EXERCÍCIO 10: Encontre a função de transferência de cada um dos circuitos do

exercício 8 (suponha que as condições iniciais são nulas).

Resp.: (a) (b) (c) (d) (e) G(s) = −RCs

EXERCÍCIO 11: Encontre a função de transferência de cada um dos circuitos do

exercício 8, usando as transformadas de cada elemento e resolvendo os

circuitos diretamente.

EXERCÍCIOS DO DORF & BISHOP:

t2

0e10)t(v−

= )t97,0(sene16,5)t(vt25,0

0

−

=

)14t97,0cos(e3,10)t(vot25,0

0+=

−

L/Rs

s)s(G

+

=

LC/1RC/ss

RC/s)s(G

2++

=

LC/1RC/ss

s)s(G

2++

=

RCs

1)s(G

−

=

RI(s)

V(s) s

1

C

I(s)V(s)

sL

I(s)

V(s)