Aula Teórica nº 3-7

Prof. Responsável: Mário J. Pinheiro

1. Operadores diferenciais (conclusão)

Exercício 1: Provar que 0Udgrarot

1. Usando coordenadas cartesianas.

022

...u

yz

U

zy

U

z

U

y

U

x

U

zyx

uuu

Ugradrot x

zyx

2. Usando o Teorema de Stokes

pd.dSn.rotS

logo

0

dU

pd.UdgradSn.UdgrarotS

que seja o vector Udgrarot

, logo

0Udgrarot

Vamos agora introduzir uma outra condição necessária e suficiente (para lém das 3 condições que já

introduzimos anteriormente) para que um campo seja conservativo:

3. Como 0Udgrarot

e Udgra

é conservativo, tem-se

0

tro Isto significa que um campo conservativo é um campo irrotacional.

Exemplo 1: Campo electrostático criado por uma carga pontual.

rdgrar

qPE P

o

e

24

1

Recordamos aqui que já se tinha visto que VdgraEe

. Logo, tem-se 0e

Etro

. O campo

electrostático não tem fontes de circulação, “não roda”.

Nas aulas práticas será provada a igualdade matemática

0

trodiv

um campo que verifique 0Bdiv

, chama-se solenoidal e neste caso existe um

, tal que

rotB .

Exemplo 2: O campo de indução magnética B

verifica a relação 0Bdiv

e, portanto, ArotB

; o

campo vectorial A

chama-se potencial vector.

4. Operador Laplaciano

O operador laplaciano é um operador auxiliar.

4.1 Laplaciano de um escalar

UUdgradivlapU2

Usando coordenadas cartesianas, tem-se

2

2

2

2

2

2

z

U

y

U

x

UlapU

A equação de propagação de uma onda t,r

toma a forma

01

2

2

2

tvlap

4.2 Laplaciano de um vector

Em coordenadas cartesianas tem-se:

2

2

2

2

2

2

zyxlap

Pode-se provar que se tem

rotrotdivgradlap

para qualquer tipo de coordenadas. Esta relação é de facto a expressão de definição de

lap .

4.3 Identidades vectoriais relevantes

Anotamos em seguida algumas identidades vectoriais que serão usadas com frequência, sem as

demonstrar.

UxdgraUrot)U(rot

).Udgra(Udiv)U(div

UdVgraVdUgra)UV(grad

q

5. Electrostática no vácuo

5.1 Lei de coulomb da interacção electrostática

Seja duas cargas pontuais no vácuo. A força electrostática que se exerce sobre cada uma delas

devido à presença da outra é dada pelas expressões obtidas experimentalmente por Coulomb:

ee

e

e

FF

rdgrardgra

rgradrdgra

rdgrar

qqF

rdgrar

qqF

12

12

21

12

21

0

1

22

21

0

2

1

4

1

4

1

εo é a constante dieléctrica ou permitividade do vácuo. O valor da permeabilidade magnética μo é

fixado em m/Fx.c

m/H129

0

20

7

0 1085481036

11104 .

6. Sistemas de dimensão e de unidades

i) Sistemas de dimensões

Grandezas fundamentais: M, L, T, Q

Grandezas derivadas: F, τ,…

Por exemplo:

22

2

TMLFd

MLTFamF

ii) Sistemas de unidades

____ S.I._____e.c.g.s______________

erg

dine

)q(ues

s

cm

g

J

N

C

s

m

kg

F

Q

T

L

M

Pode-se obter

q1 q2 grad1 r

grad2 r r

1N=105 dine (obtido a partir de F=ma)

1J=107 erg (obtido a partir de τ=Fd e F=ma)

6.1 Definição de ues (q)

É a carga que colocada em frente de outra igual à distância de 1 cm a repele com a força de 1 dine.

QN#7

22

0

14

1 )q(uescmdine

6.2 Definição de Coulomb

O Coulomb1 (C) é definido de forma diferente. 1 C em frente de 1 C à distância de 1 m exerce uma

força de repulsão de 9x109 N.

Assim, neste caso, tem-se

229

0

1094

1 CNmx

Passando as unidade do SI para o sistema e.c.g.s pode-se verificar que

)q(uesxC91031

Podemos facilmente mostrá-lo:

Sabemos que 22

0

14

1 )q(uescmdine , ou seja

22229 1199 )q(uescmdineCNmx

Convertendo N para dine, obtemos sucessivamente

)q(uesxC

)q(uesCx

)q(uescmdineCcmdinexx

9

2218

2222459

1031

1109

11010109

7. Campo electrostático

QN#8

1 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), físico francês.

Define-se eE

tal que rdgrar

q)P(E P

e

2

0

04

1

e, portanto, )P(Eq)P(F

ee

.

O campo electrostático define-se como sendo a força que actua uma carga eléctrica pontual, unitária

e positiva (q=+1) colocada no ponto P.

Neste caso ee

FE

em valor numérico. Contudo dimensionalmente 1 QFEe

. As unidades

são: NC-1

ou dine.ues(q)-1

.

Linhas de força do campo:

QN#9

O campo eE

é um campo vectorial finito e contínuo em todos os pontos excepto sobre a carga

(

e

rE;PP

00

) e anula-se no infinito ( rquando,Ee 0

).

8. Campo electrostático criado por distribuições de carga eléctrica

8.1 Distribuição discreta (ou de cargas pontuais)

QN#10

Exemplo 3: Determine a intensidade e direcção do campo eléctrico no ponto P(-0.2,0,-2.3) criado

por uma carga pontual de + 5 nC situada no ponto Q(0.2,0.1,-2.5) no ar. Use o sistema SI.

QN#11

8.2 Distribuição contínua de carga

i) Em volume

É conveniente definir-se a densidade volumétrica de carga eléctrica

Vq.constSe

dvq

dvdq

ogéneohomnãomeioz,y,x

SIsistemanoCm

dt

dq

V

3

A partir da expressão para um sistema de cargas pontuais e substituindo qi por dq=ρdv, tem-se

dvrdgrar

)P(EV

P

e

2

04

1

Note que o versor radial rdgra P

é variável ao longo da integração.

ii) Em superfície

S

P

e

S

dSrdgrar

)P(E

dSq

eléctricaaargcdeerficialsupdensidadedS

dq

2

04

1

Repare que o campo não é definido sobre a superfície pois quando 0r , 2

1

ré um infinitamente

grande de 2ª ordem.

Exemplo 4: Condutor em equilíbrio electrostático.

QN#14

iii) Linear

É conveniente introduzir o conceito de densidade linear de carga eléctrica, dl

dq , sendo pois

BA

dlq

A expressão do campo eléctrico fica então

O campo é infinito sobre o fio, visto que quando r Y0, 1/r2 Yh é um infinito de segunda ordem e

dl é um infinitésimo de primeira ordem.

Exemplo de aplicação [nº 35 da colecção]

Fio infinito de comprimento l, uniformemente electrizado com uma densidade Calcular o campo

electrostático num ponto P à distância d do fio equidistante dos extremos. No ponto P, o campo é

Ee

P1

40AB

r2grad

Prdl

dirigido segundo xx.

QN#15

9. Potencial eléctrico

Vimos que o campo electrostático é um campo conservativo. No caso de uma carga pontual, tem-se

QN#16

Usando as diferentes unidades físicas introduzidas precedentemente, podemos verificar que

Podemos igualmente usar as seguintes unidades para o campo electrostático:

SI V.m-1

e.c.g.s ues(V).cm-1

10. Potencial de distribuições de carga

i) Distribuição de cargas pontuais

QN#17

ii) Distribuições contínuas de carga

QN#18

NOTA: Recordamos de novo que sendo Ee=-grad V, E

e é conservativo e portanto,

1ues V 300V

rotEe

0;

Ee

p0

12. Diferença de potencial entre dois pontos (ou voltagem)

Considere o trabalho realizado pelo campo eE

para transportar uma carga q entre os pontos P e Q.

QN#19

A d.d.p. (ou voltagem) entre P e Q é o trabalho realizado pelo campo eE

para transportar uma carga

pontual unitária e positiva (q=+1) entre esses pontos.

Se q=+1

Da expressão anterior tem-se ainda

NOTA:

Note-se que [e]=Q[V],

logo

1J=1Cx1V

1 erg=1 ues(q)x1 ues(V)

1 eV=1.602 x 10-19

J

13. Potencial eléctrico num ponto

A diferença de potencial entre dois pontos é definida univocamente, mas o potencial num ponto tem

um carácter arbitrário.

Atendendo a que |Ee|=0 quando ré usual arbitrar também que V()=0. Neste caso,

AB

Ee

dp

A

B

Ee

dp

VP VQ e

VP VQ

P

Q

Ee

dp

Pode-se arbitrar V()=0, por exemplo, no caso de uma carga pontual:

QN#20

Arbitrar aqui V()=0 corresponde a anular-se a constante K obtida anteriormente.

Contudo, noutros problemas, como o do fio infinito, ou de um plano também infinito, isso não é

possível.

No caso do fio infinito, tem-se

QN#21

Só se pode assim conhecer o potencial num ponto P a uma distância d a menos do valor do

potencial num ponto Q a uma distância d' [Problema 36 da colectânea de problemas].

QN#22

VP

P

Ee

dpV