Raquel Almeida

Raquel Almeida 2

Raquel Almeida

O que a Mecnica?Cincia que estuda as condies de repouso ou de movimento doscorpos sujeitos aco de foras.

Corpos deformveis Resistncia dos materiaisMecnica

Corpos rgidosEsttica Trata de corpos em repouso ou em

movimento com velocidade constante.Dinmica Trata de corpos em movimento.

FluidosCompressveis

Incompressveis ...

Hidrulica (gua)

3

Raquel Almeida

Na disciplina de Mecnica Aplicada I estuda-se a Esttica, que a parte daMecnica que se ocupa do estudo das partculas e dos corpos rgidos emrepouso ou em movimento com velocidade constante.

Partcula uma quantidade muito pequena de matria, que se supe ocupar um nico ponto no espao.

4

Modelos ou idealizaes so usados na mecnica para simplificar aaplicao da teoria:

Possui massa, mas em tamanho que pode serdesprezado.Ex: - o tamanho da Terra insignificante quando comparado

com o tamanho da sua rbita e, portanto ela pode sermodelada como uma partcula no estudo do seumovimento orbital

Quando um corpo modelado como uma partcula, a geometria do corpo no estar envolvida na anlise do problema.

Raquel Almeida

Na disciplina de Mecnica Aplicada I estuda-se a Esttica, que a parte daMecnica que se ocupa do estudo das partculas e dos corpos rgidos emrepouso.

Corpo rgido um corpo ideal, resultante da combinao de um grandenmero de partculas ocupando posies fixas no espaoumas em relao s outras, tanto antes como depois daaplicao de uma carga.

Partcula uma quantidade muito pequena de matria, que se supe ocupar um nico ponto no espao.

Isaac Newton (1642-1727) formulou os princpios fundamentais daMecnica Newtoniana, que permanecem ainda hoje na base das Cincias daEngenharia actuais.

5

Raquel Almeida

Fora Representa a aco de um corpo sobre outro, podendo exercer-se porcontacto directo ou distncia. Uma fora caracterizada pelo seuponto de aplicao, intensidade, direco e sentido; representa-se porum vector.

A Mecnica Newtoniana utiliza os seguintes quatro conceitos bsicos:

Espao Conceito associado noo de posio de um ponto P,relativamente origem de um determinado referencial decoordenadas.

Tempo A posio de um ponto P pode modificar-se com o tempo (Importante na dinmica).

Massa Conceito associado quantidade de matria.

6

Raquel Almeida

Fora

Espao Conceito associado noo de posio de um ponto P,relativamente origem de um determinado referencial decoordenadas.

Tempo A posio de um ponto P pode modificar-se com o tempo.

Massa Conceito associado quantidade de matria.

Na Mecnica Newtoniana estes conceitos so conceitosabsolutos, independentes entre si.

Isto no verdade na Mecnica Relativista (Einstein) em que o tempo deum acontecimento depende da sua posio, e em que a massa de umcorpo varia com a sua velocidade.

O conceito de fora no independente dos outros trs. Um dos princpios fundamentais da Mecnica Newtoniana estabeleceque a resultante das foras que actuam num corpo depende da massadeste e com o modo como a sua velocidade varia ao longo do tempo.

A Mecnica Newtoniana utiliza os seguintes conceitos bsicos:

7

Raquel Almeida

A Mecnica Newtoniana baseia-se em princpios fundamentais, baseados emevidncias experimentais:

Regra do paralelogramo para adio de foras Estabelece que duas forasactuando numa partcula podem ser substitudas por uma fora nica, chamadaresultante, obtida traando a diagonal do paralelogramo que tem por lados asduas foras dadas.

8

Raquel Almeida

A Mecnica Newtoniana baseia-se em princpios fundamentais, baseados emevidncias experimentais:

Princpio da transmissibilidade Estabelece que as condies de equilbrioou de movimento de um corpo rgido no se alteram se substituirmos umafora actuando num ponto do corpo por outra fora com a mesmaintensidade, direco e sentido, mas actuando noutro ponto do corpo, desdeque as duas foras tenham a mesma linha de aco.

9

Raquel Almeida

As trs leis fundamentais de Newton ( Sculo XVII):

Primeira lei de Newton Se a resultante das foras que actuam numapartcula nula, esta permanecer em repouso (se estava inicialmente emrepouso) ou mover-se- com velocidade constante segundo uma linha recta (seestava inicialmente em movimento).

Exemplo:Um elevador de um prdio de apartamentos encontra-se, durante um certo tempo, sob a aco exclusiva de duas foras opostas: o peso e a traco do cabo, ambas de intensidade igual a 2 000 N. O elevador est parado?

Como a resultante das foras actuantes nula, o elevador pode encontrar-se tanto em repouso (equilbrio esttico) quanto em movimento rectilneo uniforme (equilbrio dinmico).

10

Raquel Almeida

As trs leis fundamentais do movimento de Newton :

Segunda lei de Newton Se a resultante das foras que actuam numapartcula no nula, ento esta ter uma acelerao cuja intensidade proporcional intensidade da resultante, com a mesma direco e o mesmosentido.

fora resultante que actua na partculam massa da partcula

acelerao da partcula

F m a=

F

a

11

Raquel Almeida 12

Terceira lei de Newton As foras de aco e reaco entre corpos emcontacto tm a mesma intensidade, a mesma linha de aco e sentidosopostos.

Ao aplicarmos a terceira lei de Newton, no podemos esquecer que as foras de aco e reaco:

a) esto associadas a uma nica interaco, ou seja, correspondem s foras trocadas entre apenas dois corpos;

b) tm sempre a mesma natureza, logo, possuem o mesmo nome (o nome da interaco);

c) actuam sempre em corpos diferentes, logo, no se equilibram.

Par aco-reaco

Raquel Almeida 13

Terceira lei de Newton As foras de aco e reaco entre corpos emcontacto tm a mesma intensidade, a mesma linha de aco e sentidosopostos.

Raquel Almeida 14

2MmF Gr

=

r

Lei da atraco gravitacional de Newton Estabelece que duas partculasde massas M e m atraem-se mutuamente com foras iguais e opostas F e -F,cuja intensidade dada por:

distncia entre as duas partculas

G Constante de gravitao universal( )12 3 266 73 10G m kg s= ,

No caso de uma partcula localizada sobre ou prxima superfcie daTerra, a nica fora da gravidade com intensidade considervel aquela que a Terra exerce sobre a partcula.

Raquel Almeida 15

Contudo para clculos de engenharia suficientemente preciso considerar g = 9,81 m/s2.

P m g =2

GMP mR

=

Esta lei utilizada para calcular a fora de atraco da Terra sobre umapartcula de massa m situada sobre a sua superfcie. Essa fora designa-sepeso da partcula.

massa da partcula

massa da Terra

raio da Terra

O valor de R depende da altitude do ponto considerado e da latitude, visto aTerra no ser perfeitamente esfrica. Por isso, o valor de g varia de ponto paraponto.

Lei da atraco gravitacional de Newton

245 98 10M kg= ,

66 35 10R m , Acelerao da gravidade

Raquel Almeida 16

Comprimento Tempo Massa

Fora

Unidadesmecnicas

Unidades fundamentais

Unidades derivada

Unidade derivada chama-se newton (N) e define-se como a fora queproduz uma acelerao de 1 m/s2 numa massa de 1 kg.

( ) ( )2 21 1 1 kg mN kg m s s

= =

F m a=

- metro (m)- segundo (s)- kilograma (kg)

Raquel Almeida

Temos como objectivo estudar o efeito das foras que actuam sobas partculas, para tal temos de:

- Substituir um conjunto de foras actuantes numa partcula por uma sfora que tenha o mesmo efeito que as foras originais, esta fora chamada de resultante.

- Obter as relaes entre as vrias foras actuantes numa partculaque se encontra em estado de equilbrio.

17

Raquel Almeida

Ateno:O uso da palavra partcula no implica que o nosso estudo venha alimitar-se a corpsculos; significa sim, que o tamanho e a forma doscorpos em considerao no afectaro significativamente a resoluodo problema.

18

Raquel Almeida

Vectores: grandezas matemticas possuindo intensidade,direco e sentido, que se somam de acordo com a regrado paralelogramo. Exemplos: deslocamento, velocidade,acelerao.

Classificao dos vectores: Fixos - tm pontos de aplicao bem definidos e que

no podem ser mudados sem afectar a anlise. Livres - vectores que se podem mover livremente no

espao, ex: binrios e momentos. Deslizantes - vectores que se podem mover, ou

deslizar ao longo das suas linhas de aco.

Escalares: quantidades fsicas que tm intensidade mas no direco.Exemplos: massa, volume, temperatura.

19

Todas as quantidades fsicas na mecnica so medidas utilizando: escalares ouvectores.

Raquel Almeida

Vectores Iguais tm a mesma intensidade, direco esentido, independentemente de terem ou no o mesmoponto de aplicao.

Vector Oposto vector que tem a mesma intensidade, amesma direco e sentido oposto.

20

Multiplicao de um vector por um escalar

Raquel Almeida

Fora: representa a aco de um corpo sobreoutro; caracterizada pelo seu ponto deaplicao, sua intensidade, direco esentido.

A evidncia experiencial mostra que o efeitocombinado de duas foras sobre uma partculapode ser representado por uma fora simpleschamada de resultante.

A resultante equivalente diagonal doparalelogramo que contm as duas foras embraos adjacentes.

A fora uma quantidade vectorial.

21

Raquel Almeida

Regra do Paralelogramo

A adio de vectores comutativa, + = +A B B A

22

Regra do tringulo

Raquel Almeida 23

Subtraco de vectores

No caso de vectores colineares, ou seja, ambos possuem a mesma linha de aco, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adio algbrica ou escalar.

Regra do paralelogramo Regra do tringulo

( )= = + R ' A B A B

Raquel Almeida

2 2 2

2 2

2

2

R P QR P Q PQR P Q PQ

= +

= +

= +

cos

cos

Lei dos co-senos

Lei dos senos

sen sen sen

Q R P

= =

24

Raquel Almeida

Para a adio de trs ou mais vectores repetida a regra do tringulo.

Regra do polgono para a adio de trs oumais vectores.

A adio de vectores associativa ,

( ) ( )SQPSQPSQP ++=++=++

25

Raquel Almeida

As duas foras P e Q actuam noparafuso A. Determine a suaresultante.

26

Raquel Almeida

Soluo trigonomtrica Aplicando a regra do tringulo.

A partir da lei dos co-senos,

( ) ( ) ( )( ) +=+=

155cosN60N402N60N40cos222

222 BPQQPR

6015597 73

15 0420

sin A sin BQ R

Qsin A sin B sin

R .A .

A

=

= =

=

= +

N73.97=R

A partir da lei dos Senos,

= 04.35

27

Raquel Almeida

Posteriormente so definidos dois vectores de intensidade unitria, dirigidos segundo o sentido positivo dos eixos x e y, chamam-se versores.Intensidade = 1

Em muitos problemas desejvel decompor uma fora emduas componentes perpendiculares entre si, o paralelogramotraado para obter as duas componentes um rectngulo.

so chamadas componentes cartesianas, e

x yF F F= +

e x yF F

As componentes do vector podem ser expressas como o produto dos versores pelos escalares relativos magnitude das componentes do vector.

x yF F i F j= +

28

Componentes escalares

Raquel Almeida

SQPR ++=

A resultante de trs ou mais foras concorrentese coplanares dada por:

( ) ( )x y x y x y x y

x x x y y y

R i R j P i P j Q i Q j S i S jP Q S i P Q S j

+ = + + + + +

= + + + + +

Decompondo cada fora nas suas componentescartesianas, escreve-se

=++=

x

xxxx

FSQPR

=++=

y

yyyyF

SQPR

2 2 1tan yx yx

RR R R

R = + =

29

Raquel Almeida

Quatro foras actuam numparafuso. Determine a resultantedas foras no parafuso.

30

Raquel Almeida

SOLUO: Separar cada fora nas suas componentes

rectangulares.

1

2

3

4

150 129 9 75 080 27 4 75 2

110 0 110 0100 96 6 25 9

. .

. .

.

. .

fora mag x comp y compF

F

F

F

+ +

+

+

22 3.141.199 +=R 199 6NR = .

Calcular a intensidade e a direco.

N1.199N3.14

tan = 4 1 = .

1.199+=xR 3.14+=yR

31

Raquel Almeida

Uma partcula que esteja actuada por duas foras est em equilbrio se as duasforas actuantes tiverem: mesma intensidade; mesma linha de aco; sentidos opostos.

100 N

100 N

Quando a resultante de todas as foras actuantes numa partcula zero, a partcula est em equilbrio.

32

Raquel Almeida

- Soluo grfica origina um polgono fechado;

- Soluo algbrica0

00

x

y

FR F

F=

= = =

1 Lei de Newton: Se a fora resultante actuando sobre uma partcula nula, apartcula permanecer em repouso ou mover-se com velocidade constante e emlinha recta.

Diagrama de corpo-

livre

33

Partcula actuada por trs ou mais foras:

Raquel Almeida

1. Identificar perfeitamente a partcula ou o corpo que se pretende estudar.

2. Identificar todas as foras aplicadas sobre a partcula ou sobre o corpo (sdevem ser consideradas as foras externas).

3. Escrever as equaes de equilbrio.4. Resolver as equaes de equilbrio e obter o valor das foras

desconhecidas.

Esttica das PartculasA esttica de partculas estuda o efeito de foras actuando numa partcula. Esteestudo tambm vlido no caso de foras actuando num corpo, desde quetodas as foras actuando sobre o corpo sejam concorrentes num nico ponto.

O corpo pode ento ser representado por esse ponto e estudado como se deuma partcula se tratasse.

34

Raquel Almeida

Devido sua construo flexvel, um cabo s pode transmitir forasalinhadas com a direco em que se encontra esticado, e apenas nosentido indicado.

Um cabo suporta foras de traco e no de compresso.

Traco

Compresso

35

Raquel Almeida

Uma roldana permite modificar a direco do cabo e da fora que setransmite atravs dele, mas no a sua intensidade (ausncia de atrito).

As duas foras aplicadas sobre o cabo tm a mesma intensidade

Para realizar o equilbrio, necessrio aplicar sobre a roldana uma fora alinhada com a bissectriz do ngulo T

T

F

TT

F

R

/2/2

36

Raquel Almeida

Considere-se o vectorh contido no planoOBAC.F Decompondo nas

componentes vertical ehorizontal.

F

y yF F = cos

h yF F sen=

3725-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Decompondoccccccnas suascomponentes rectangulares

hF

x h

y

z h

y

F FF sen

F F senF sen sen

=

=

=

=

cos

cos

y yF F = cos

h yF F sen=

38

Raquel Almeida

x y

y y

z y

F F sen

F F

F F sen sen

=

=

=

cos

cos

( ) ( ) ( )22 2 x y zF F F F= + +A intensidade da fora resultante dada por

3925-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Conhecendo os ngulos entre e os eixos cartesianos vem:F

cos cos cosx x y y z zF F F F F F = = =

( )cos cos cosx y z x y zF F i F j F k F i j kF

= + + = + +

=

40

Raquel Almeida

Conhecendo os ngulos entre e os eixos vem:F

Co-senos directores

F

vector unitrio com a mesma linha de aco de

2 2 2 1cos cos cosx y z + + =

41

Conhecendo dois dos ngulos pode determinar-se o terceiro

( )cos cos cos

cos cos cos

x y z

x y z

x y z

F F i F j F kF i j kF

i j k

= + +

= + +

=

= + +

Raquel Almeida

A direco de uma fora, pode ser ainda definida pelas coordenadas de dois pontos pelos quais passa a sua linha de aco e ( )2 2 2, ,N x y z( )1 1 1 , ,M x y z

2 1

vector que liga a

em que x y z x

MN M N

d i d j d k d x x=

= + + =

2 1

2 1

y

z

d y yd z z

=

=

4225-09-2014 11:52

F F=

Raquel Almeida

logo:

yx zx y z

dd dF F F F F Fd d d

= = =

( )2 2 2

1x y z

x y z

F F

MN d i d j d kMN d

d d d d

=

= = + +

= + +

43

A direco de uma fora, pode ser ainda definida pelas coordenadas de dois pontos pelos quais passa a sua linha de aco e ( )2 2 2, ,N x y z( )1 1 1 , ,M x y z

Raquel Almeida

2 2 2x y z

yx zx y z

R R R R

RR RR R R

= + +

= = =cos cos cos

x x y y z zR F R F R F= = =

Se duas ou mais foras actuam numa partcula, as componentes daresultante podem ser obtidas somando as correspondentescomponentes das foras aplicadas .

A partcula est em equilbrio quando a resultante das foras que sobreela actuam for zero, isto , quando Rx = Ry = Rz = 0.

0

0

0

x

y

z

F

F

F

=

= = 44

Co-senos directores

Resultante

Raquel Almeida

Calcule a intensidade do peso W e da fora instalada no cabo AB.

No plano vertical, uma carga de peso 400 N suspensa por um cabo AB e doiscabos ACF e ADE que passando pelas roldanas C e D so presos a blocos depesos 3W e W, respectivamente. Considere que na posio ilustrada o sistemaest em equilbrio esttico.

EF

45

Raquel Almeida

ADT

( )( )( )( )

0;0;0 360;1050;0

480;360;01050;360;0

A

B

CD

EF

ABT

ADT

ACT

Pontos:

Escrever os vectores das foras

400

;AC AC AC AB AB AB

AD AD AD

P jT T T T

T T

=

= =

=

com:

3 e AC ADT W T W= =

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2

3480 360 0 0 480 360

0.8 0.6600480 360

logo:

3 0.8 0.6 2.4 1.8

AC AC AC AC

AC

AC AC AC

T T W

i j i j i jC A i jAC

T T W i j W i W j

= =

+ + +

= = = = + +

= = + = +

x

y

P

25-09-2014 11:52 46

Raquel Almeida

( )( )( )( )

0;0;0 360;1050;0 480;360;01050;360;0

A

B

CD

Pontos:

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2 2

360 1050 0 0

360 1050

360 10500.324 0.946

1110logo:

0.324 0.946

AB AB AB

AB

AB AB AB AB

T T

i j i jB AAB

i ji j

T T T i j

=

+ +

= = =

+

+= = +

= = +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

1050 360 0 00.946 0.324

1050 360logo:

0.946 0.324 0.946 0.324

AD AD AD AD

AD

AD AD AD

T T W

i j i jD A i jAD

T T W i j W i W j

= =

+ +

= = = ++

= = + = +

ADT

EF

ABT

ADT

ACT

x

y

47

Raquel Almeida

( ) ( )2.4 1.8AC AC ACT T W i W j

= = +

( )0.324 0.946AB AB AB ABT T T i j = = +

( ) ( )0.946 0.324AD AD ADT T W i W j

= = +

ABT

ADT

ACT

x

y

0 2.4 0.324 0.946 0 1.454 0.324 0 4.4830

0 1.8 0.946 0.342 400 0

4.483 281.741.8 4.2409 0.342 400

x AB AB AB

y AB

AB AB

F W T W W T T WF

F W T W

T W T NW W W W

= + + = + = = =

= + + =

= =

+ + = =

62.84N

400N

25-09-2014 11:52 48

Raquel Almeida 49

Raquel Almeida

Os corpos analisados na mecnica elementar podem ser considerados,na sua maioria, corpos rgidos, entendendo-se por corpo rgido todoaquele que no se deforma.

Tratar um corpo como se de uma partcula se trata-se pode no sersempre possvel. Quando as foras actuantes num corpo no soconcorrentes num ponto, as dimenses do corpo e os pontos deaplicao das foras tm de ser considerados.

5025-09-2014 11:52

Raquel Almeida

1. Foras exteriores representam a aco de outros corpos sobre o corporgido em anlise. Estas foras so responsveis pelo comportamentoexterno do corpo rgido, causaro o seu movimento ou asseguraro asua permanncia em repouso.

2. Foras interiores so aquelas que mantm unidas as diferentespartculas que constituem o corpo rgido. Se o corpo for estruturalmentecomposto por vrias partes, as foras de ligao entre elas so tambmdefinidas como foras interiores.

As foras que actuam num corpo rgido podem ser classificadas emdois grupos:1. Foras exteriores representam a aco de outros corpos sobre o corpo

rgido em anlise. Estas foras so responsveis pelo comportamentoexterno do corpo rgido, causaro o seu movimento ou asseguraro asua permanncia em repouso.

5125-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Vimos que as foras que actuam numa partcula podem ser representadas porvectores, em que estes tm um ponto de aplicao bem definido, que a prpriapartcula, e so, portanto vectores fixos.

No caso de partculas vimos que as foras F e F diziam-se equivalentesquando produziam o mesmo efeito sobre a partcula.

5225-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Princpio da Transmissibilidade -As condies de equilbrio ou de movimentode um corpo rgido permanecem inalteradaspela transferncia da fora ao longo da sualinha de aco.

No caso de foras exteriores que actuam em corpos rgidos, o ponto de aplicao dafora no relevante, desde que a linha de aco permanea inalterada, vectordeslizante.

53

Raquel Almeida

Princpio da Transmissibilidade -As condies de equilbrio ou de movimentode um corpo rgido permanecem inalteradaspela transferncia da fora ao longo da sualinha de aco.

Traco

Compresso

P1 = P2

54

O princpio da transmissibilidade embora possa ser utilizado na determinao das condies de equilbrio de corpos rgidos, deve ser evitado ou, pelo menos, utilizado com precauo, no clculo de foras interiores e deformaes.

25-09-2014 11:52

Raquel Almeida 55

Quando uma fora aplicada a um corpo, ela produzir umatendncia de rotao do corpo em torno de um ponto que noest na linha de aco da fora.Essa tendncia de rotao denominada de Momento da fora

Se uma fora aplicada no cabo da chave, elatender a girar o parafuso em torno do ponto O (ou oeixo z).

A intensidade do momento directamente proporcional intensidade da fora F e distnciaperpendicular ou brao do momento d.

Intensidade do momento oM F d=

uma grandeza vectorial, uma vez que tem intensidade e direco especificadas

Unidades do momento N m

Raquel Almeida 56

Quando maior a fora ou quanto mais longo o brao do momento, maior ser omomento ou o efeito de rotao.

Fora F aplicada com um ngulo

Brao do momento

90

d d sen=

d d

Raquel Almeida

O conceito de momento de uma fora emrelao a um ponto ser mais facilmenteentendido se introduzirmos o conceito deproduto externo de dois vectores.

O produto externo de dois vectores P e Q definido como sendo o vector que satisfaz asseguintes condies:1. A linha de aco de V perpendicular ao plano

que contm P e Q.2. A intensidade de V dada por3. A direco de V obtida pela regra da mo

direita.

sinQPV =

5725-09-2014 11:52

Raquel Almeida

sinQPV =

O produto externo de vectores:- No comutativo,- distributivo,- No associativo

( ) = Q P P Q

( ) ( ) P Q S P Q S( )1 2 1 2 + = + P Q Q P Q P Q

A intensidade V doproduto externo de P eQ igual rea doparalelogramo que tempor lados os doisvectores.

58

Raquel Almeida

Produtos externos de todas as possveiscombinaes de versores,

00

0

i i j i k k i ji j k j j k j ii k j j k i k k

= = =

= = =

= = =

Produto externo em termos das componentescartesianas

( ) ( )x y z x y zV P i P j P k Q i Q j Q k= + + + + ( ) ( )( )

y z z y z x x z

x y y x

P Q PQ i PQ P Q jP Q P Q k

= +

+

zyx

zyxQQQPPPkji

=Determinante

59

Raquel Almeida

Seja F uma fora e r o vector que define a posiodo ponto de aplicao de F em relao a O.

O momento de F em relao a O definido pelo produto externo de r por F :

( )sin .OM r F

F r Fd N m=

= =

Verifica-se que o momento de F no se altera se emvez de considerar o seu ponto de aplicao em A, forescolhido outro ponto qualquer, desde que este seencontre situado sobre a linha de aco de F.

A intensidade de MO mede a tendncia da fora Fpara produzir uma rotao do corpo rgido em tornodo eixo fixo dirigido segundo MO.

Vector posio

60

Raquel Almeida

Diz-se que duas foras F e F' so equivalentes se, e s se, elas soiguais (mesma intensidade, a mesma direco, o mesmo sentido e amesma linha de aco) e produzem momentos iguais em relao aum dado ponto O.

'

O' e M MO= =F F

6125-09-2014 11:52

Raquel Almeida

O momento em relao a um dadoponto O da resultante de vriasforas concorrentes igual somados momentos das diversas forasem relao ao mesmo ponto O.

( )1 2 1 2r F F r F r F + + = + + Propriedade distributiva

6225-09-2014 11:52

Raquel Almeida

O teorema de Varignon torna possvel substituir o clculo directo de ummomento de uma fora F pelo clculo dos momentos de duas ou maisforas suas componentes.

63

O y xM F x F y=

Raquel Almeida 64

O momento em relao a um dado ponto O da resultante devrias foras concorrentes igual soma dos momentos dasdiversas foras em relao ao mesmo ponto O.

(((( )))) 1 2r R r F r F = + + = + + = + + = + +

R

=

6425-09-2014 11:52

Raquel Almeida

( ) ( ) ( )kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkji

kMjMiMM

xyzxyz

zyx

zyxO

++=

=

++=

O momento de F em relao a O,

kFjFiFFkzjyixrFrM

zyx

O

++=

++== ,

6525-09-2014 11:52

Raquel Almeida

O momento de F em relao ao ponto B,

B BAM r F=

( ) ( ) ( )BA A B

A B A B A B

x y z

r r r

x x i y y j z z k

F F i F j F k

=

= + +

= + +

( ) ( ) ( )zyx

BABABAB

FFFzzyyxx

kjiM =

Vector de posio de A relativamente a B

66

BA

Raquel Almeida

O produto escalar (ou produto interno)entre dois vectores P e Q definido como

( )escalarcosP Q PQ =

Produto escalar em termos das componentes cartesianas,

000111 ====== ikkjjikkjjii

( ) ( )kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx ++++=x x y y z zPQ P Q PQ= + +

2 2 2 2x y zP P P P P P = + + =

Projeco do vectorP sobre o vector Q

67

Raquel Almeida

O produto misto de trs vectores dado pela seguinte relao, ( ) scalarS P Q e =

O produto misto de trsvectores igual, emvalor absoluto, ao volumedo paraleleppedo quetem por arestas osvectores P, Q e S.

6825-09-2014 11:52

Raquel Almeida

( ) ( ) ( )( )

zyx

zyx

zyx

xyzxyz

zxxzyyzzyx

QQQPPPSSS

QPQPSQPQPSQPQPSQPS

=

+

+=

Determinante

Em termos de componentes cartesianas,

Os seis produtos mistos que podem ser formados apartir de S, P, e Q tm o mesmo valor absoluto massinais diferentes,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )SPQQSPPQS

PSQSQPQPS

===

==

O produto misto de trs vectores dado pela seguinte relao, ( ) scalarS P Q e =

S

P

Q

69

Raquel Almeida

O momento MO da fora F aplicada no ponto Aem relao ao ponto O,

FrM O

=

7025-09-2014 11:52

Raquel Almeida

O momento MO da fora F aplicada no ponto A em relao ao ponto O,

FrM O

=

Seja OL um eixo que passa em pelo ponto O;define-se o momento MOL da fora F em relaoao eixo OL como sendo a projeco OC do vectormomento MO sobre o eixo OL,

( )FrMM OOL == O momento MOL de F em relaoao eixo OL mede a tendncia dafora F para produzir no corporgido um movimento de rotaoem torno do eixo fixo OL.(escalar)

x y z

x y z

x y zF F F

=

MOL

71

Raquel Almeida

O momento de uma fora F aplicada em A, emrelao a um eixo que no passa pela origem obtido escolhendo um ponto arbitrrio do eixo,ponto B, e determinada a projeco sobre o eixoBL do momento MB da fora F em relao aoponto B.

( )BL B

BA

BA A B

M M

r F

r r r

=

=

=

O resultado independente do pontoescolhido ao longo do eixo.

7225-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Determine o momento da fora F emrelao ao eixo y

( )eixo y OM M r F= =

( ) ( )i

r d sen i d cos k

F F j

==

=

( ) ( ) ( )( ) ( )

00 0

O

i j kM r F d sen dcos

F

F d cos i F d sen k

= =

= +

( )( ) ( )( ) =

=

eixo y OM M r F

i F d cos i F d sen k

Fd cos

= =

+

z

y

x

73

Raquel Almeida

O vector M designa-se momento do binrio. perpendicular ao plano que contm asduas foras

Duas foras F e -F com a mesma intensidade,linhas de aco paralelas e sentidos opostosformam um binrio.

Momento do binrio,

( )( )

B A

B A

M r F r F

r r F

r FM rF sin Fd

= +

=

=

= =

M F d=Distncia medidana perpendicularentre as linhas deaco das foras Fe -F

74

Raquel Almeida

Dado que r independente da escolha da origem O do sistema de eixoscoordenados, i.e., o momento de binrio um vector livre, o resultadoobtido seria o mesmo se tivesse sido considerado o momento das forasem relao a um outro ponto qualquer.

Binrio um vector livre( )

( )B A

B A

M r F r F

r r F

r F

= +

=

=

7525-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Dois binrios tero momentos iguais se:

2211 dFdF =

se os dois binrios se situarem em planos paralelos ou no mesmo plano, e

se tiverem o mesmo sentido.

Dois binrios que possam ser representados pelo mesmo vector binrio dizem-se equivalentes.

76

Raquel Almeida

Binrios que possam ser representados pelo mesmo vector binrio dizem-seequivalentes. Binrios com o mesmo momento tero o mesmo efeitosobre o corpo rgido.

( ) ( ) ( )1 2 30 0 4 0 340

F d F d N . F . F N

= =

=

Exemplo:

7725-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Dado que os binrios so vectores livres, estespodem ser aplicados em qualquer ponto P do corpoe ser adicionados vectorialmente.

Conclui-se que a soma de dois binrios de momentos e um binrio de momento .

1M

RM

2M

78

Raquel Almeida

Um binrio pode ser representado por um vector (seta) comintensidade, direco e sentido ao momento do binrio.

A adio de binrios obedece lei da adio de vectores.

Os vectores binrios so vectores livres, ou seja, o seu pontode aplicao no significante.

O vector binrio pode ser decomposto, segundo os eixoscoordenados nas componentes segundo x, y e z.

M

7925-09-2014 11:52

Raquel Almeida

O que fazer para aplicar a fora no ponto O sem alterar os efeitosexternos no corpo rgido?

Podemos mover a fora F ao longo da sua linha de aco(Princpio da Transmissibilidade).

80

Raquel Almeida

O que fazer para aplicar a fora no ponto O sem alterar os efeitos externos no corpo rgido?

Podemos mover a fora F ao longo da sua linha de aco(Princpio da Transmissibilidade).

Exemplo:

8125-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Embora possamos mover a fora F ao longo da sua linha de aco(princpio da transmissibilidade), no a podemos mover para umponto O que no pertena sua linha de aco original, semmodificar a aco de F sobre o corpo rgido .

Qualquer fora F actuando num corpo rgido pode ser movida paraum ponto arbitrrio O, desde que seja acrescentado um binrio demomento igual ao momento de F em relao ao ponto O. Acombinao obtida designa-se sistema fora-binrio.

82

Raquel Almeida

O binrio tende a produzir no corpo rgido a mesma rotao em torno doponto O que a fora F tenderia a provocar antes de ser deslocada para O.O binrio representado pelo vector MO, perpendicular ao plano quecontm os vectores r e F.

Sistema fora-binrio

8325-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Exemplo:

84

Raquel Almeida

Qualquer sistema de foras, F1, F2, , FN pode ser substitudo porum sistema fora-binrio equivalente aplicado num dado ponto O,constitudo pelos vectores R e MRO .

O sistema fora-binrio (fora e momento resultante) obtido pelas equaes :

( )RO OR F M M r F= = =

Os vectores fora e momento

resultante no so regra geral

mutuamente perpendiculares

entre si

8525-09-2014 11:52

Raquel Almeida

O sistema fora binrio num ponto O poder ser movido para um outroponto O. Embora a fora resultante permanea inalterada, o novomomento resultante ser dado por:

RsMM RORO

+='

86

Raquel Almeida

O sistema fora-binrio (fora e momento resultante) obtido pelasequaes :

( )RO OR F M M r F= = =

Exemplo:

8725-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Se a fora resultante das foras que actuam num corpo rgido for nula,kkkk, o sistema fora-binrio reduz-se ao binrio ROM

0R =

0R =

88

Raquel Almeida

Se a fora resultante e o binrio, relativamente a um ponto O foremmutuamente perpendiculares, estes podem ser reduzidos a umanica fora actuando ao longo de uma nova linha de aco.

Fora e binrio resultante mutuamente perpendiculares

8925-09-2014 11:52

Raquel Almeida

ou os sistemas para os quais a fora e o vector binrio so mutuamente perpendiculare, ou seja quando:1) as foras forem concorrentes, 2) se as foras forem coplanares, ou 3) as foras so todas paralelas.2) as foras so todas coplanares, ou 3) se as foras forem paralelas.

Os sistemas de foras que podem ser reduzidos a uma s fora, ouresultante, so portanto, os sistemas em que:

Foras Concorrentes

Foras Coplanares

Foras Paralelas

1) as foras so todas concorrentes num ponto, ROM

R

90

Raquel Almeida

Foras Coplanares

Rx y Oy R x R M + =

9125-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Foras Paralelas

R Ry y x x Z ZR F M M M M= = =

A reduo de um sistema a uma fora nica pode ser conseguida deslocando afora R para um novo ponto de aplicao A (x,0,z) escolhido de modo que omomento de R em relao ao ponto O seja igual a .ROM

( ) e RO

R R R Ry x z y x y z

r R M

xi z k R j M i M k z R M x R M =

+ = + = =

92

Raquel Almeida

Exemplo:

1 2 3RF F F F F= = + +

1 1 2 2 31 1 2 2 3 3

Rz z R

R

F d F d F dM M F d F d F d F d dF

+ += = + + = =

9325-09-2014 11:52

Raquel Almeida

No caso geral de um sistema de foras no espao, o sistema fora-binrioequivalente em O consiste numa fora e num vector binrio noperpendiculares entre si e de intensidade no nula. Neste caso o sistemano pode ser reduzido a uma fora nica ou a um binrio nico.

ROM

R

94

Raquel Almeida

No caso geral de um sistema de foras no espao, o sistema fora-binrioequivalente em O consiste numa fora e num vector binrio noperpendiculares entre si e de intensidade no nula. Neste caso o sistemano pode ser reduzido a uma fora nica ou a um binrio nico.

Contudo pode ser decomposto nas componentes e ,respectivamentecolinear com e normal a . .

ROM

IIM M

ROM

RF

R

RF

9525-09-2014 11:52

Raquel Almeida

Contudo pode ser decomposto nas componentes e , respectivamenteO vector binrio e a fora podem ento ser substitudos por umaunca fora que actua ao longo de uma nova linha de aco. Restandoapenas os dois vectores colineares.

No caso geral de um sistema de foras no espao, o sistema fora-binrioequivalente em O consiste numa fora e num vector binrio noperpendiculares entre si e de intensidade no nula. Neste caso o sistemano pode ser reduzido a uma fora nica ou a um binrio nico.

ROM

M

RF

RF

RF

96

Raquel Almeida

Exemplo:

9725-09-2014 11:52