aula hidrologia estatística

Instituto Federal de Educação, Ciência e

Tecnologia do Triângulo Mineiro – IFTM

Pós-graduação em saneamento ambiental

Disciplina: Hidrologia Aplicada

Aula:Hidrologia Estatística

Docente responsável: Melina Chiba Galvão

• Estatística descritiva

• Distribuição Probabilística

• Curva de permanência

• Vazões máximas

• Vazões mínimas

Hidrologia Estatística Hidrologia Estatística

• (q) vazão média específica: a vazão média/ área de drenagem da bacia.

n

x

x

n

i

i 1

Média

• Vazões médias mensais - valor médio da vazão para cada mês do ano. Importância: análise da sazonalidade de um rio.

Vazões medias mensais do rio Cuiabá em Cuiabá (dados de 1967 a 1999).

Sazonalidade Marcada

Mediana

• Desvantagem da média: um valor excepcional pode afetar muito a média.

• Def.: é a medida de centro, o valor do meio quando os dados originais estão arranjados em ordem crescente (ou decrescente) de magnitude.

• Valor superado em 50% dos pontos da amostra ou da população.

• Para encontrar a mediana, ordene os valores e: - Caso o n for ímpar, a mediana será o número

localizado no meio exato da lista; - Caso o n for par; a mediana será dada pelo cálculo da

média dos 2 números do meio

desvio padrão

• Indica a variabilidade dos valores em torno da média.

• Para cálculo de σ (população), ao invés de dividir por n – 1, dividimos por N (tamanho da população);

• o quadrado do desvio padrão s2 é chamada variância da amostra; σ2 é a variância populacional.

1

1

2

n

xx

s

n

i

i

Coeficiente de Variação

Relação entre o desvio padrão e a média.

–É uma medida da variabilidade dos valores em torno da média.

Coeficiente de Assimetria

• Valor que caracteriza o quanto uma amostra de dados é assimétrica com relação à média.

– Uma amostra é simétrica com relação à média se o histograma dos dados revela o mesmo comportamento de ambos os lados da média.

Coeficiente de Assimetria

• Assimetria nula: –G = 0 • Assimetria Positiva: –G > 0 –Concentração de

frequências na zona de valores mais reduzidos.

• Assimetria Negativa –G < 0 –Concentração de

frequências na zona de valores mais elevados.

Quantis e Quartis

• Quantis separam a amostra de forma semelhante à mediana, porém em intervalos diferentes.

• Quartis: Separam a amostra em quatro partes:

–Primeiro Quartil: Valor que separa a amostra em dois grupos em que 25% dos pontos tem valor inferior ao quartil e 75% tem valor superior ao quartil.

–Terceiro Quartil: Valor que separa a amostra em dois grupos em que 75% dos pontos tem valor inferior ao quartil e 25% tem valor superior ao quartil.

–Segundo quartil: A própria mediana.

Quantis e Quartis

• Além dos três quartis, que separam a amostra em quatro, podem ser definidos quantis arbitrários, que dividem a amostra arbitrariamente em frações diferentes.

–Ex: o quantil 90% divide a amostra em dois grupos. O primeiro (90% dos dados) tem valores inferiores ao quantil 90% e o segundo (10% dos dados) tem valores superiores ao quantil 90%.

• Grande conjunto de dados útil organizar e resumir em uma tabela.

• Def.: lista os valores dos dados (individualmente ou por grupos de intervalos), juntamente com suas frequências correspondentes (ou contagens).

• Contribui na compreensão da natureza da distribuição do conjunto de dados.

Distribuição de Frequência Tempo Chuva

0 0 1 0 2 0 3 3 4 0 5 4 6 8 7 12 8 5 9 9

10 7 11 7 12 5 13 1 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0

• Frequência de ocorrência de chuvas diárias de diferentes alturas em um posto pluviométrico (PR), em um período de aprox. 23 anos.

Distribuição de Frequência

Distribuição de Frequência

• Histograma – representação gráfica da tabela de distribuição de frequências.

Tempo Chuva 0 0

1 0

2 0

3 3

4 0

5 4

6 8

7 12

8 5 9 9

10 7

11 7

12 5

13 1

14 0

15 0

16 0

17 0

18 0

19 0

20 0

21 0

22 0 23 0 24 0

Frequência de Dados Hidrológicos

• Fenômenos hidrológicos são aleatórios (ex.: vazão) pode-se associar um caráter probabilístico;

• Sempre haverá possibilidade de um dado evento hidrológico ser superior ou inferior a um valor histórico já registrado.

• Uma das principais funções da hidrologia: observar os eventos e modelar as frequências de ocorrência previsões assumindo determinado risco.

Frequência de Dados Hidrológicos • Estatística associada a variáveis hidrológicas: a

probabilidade deste evento ser maior ou menor que este valor, ou estar entre 2 valores específicos.

• Frequência de dados hidrológicos: • inicia-se pelo estudo de sua ocorrência,

estabelecendo um percentual com que uma variável hidrológica pode ser maior que um dado valor frequência de excedência e é obtida diretamente de uma série histórica de dados.

• Frequência de não excedência - percentual de uma variável ser menor ou igual a um dado valor.

A curva de permanência

- Uma das análises estatísticas mais simples e mais importantes na hidrologia.

- Auxilia na análise dos dados de vazão. Ex:

• O rio tem uma vazão aproximadamente cte ou extremamente variável entre os extremos máximo e mínimo?

• Qual é a porcentagem do tempo em que o rio apresenta vazões em determinada faixa?

• Qual é a porcentagem do tempo em que um rio tem vazão suficiente para atender determinada demanda?

• Variação do diagrama de freqüências relativas acumuladas • Expressa a relação entre a vazão e a frequência com que esta

vazão é superada ou igualada. • Pode ser elaborada a partir de dados diários ou dados

mensais de vazão.


Destaque para a faixa de vazões mais baixas eixo vertical logarítmico

Importância da curva de permanência

Alguns pontos da curva recebem atenção especial:

• Q50: a vazão que é superada em 50% do tempo (mediana das vazões).

• Q90: a vazão que é superada em 90% do tempo referência para legislação na área de Meio Ambiente e de Recursos Hídricos em muitos Estados do Brasil.

• Q95: a vazão que é superada em 95% do tempo utilizada para definir a Energia Assegurada de uma usina hidrelétrica.

Q90 = 40 m3/s

A vazão deste rio é superior a 40 m3/s em 90 % do tempo.

Curva permanência de vazões

• As ações e legislações existentes, nos Sistemas Estaduais

de Gestão de Recursos Hídricos, apresentam critérios de

estabelecimento de uma “vazão ecológica” evitar que o

rio seque pelo excesso de uso.

• Escolhe-se uma vazão de referência (baseada na curva de

permanência de vazões ou num ajuste de probabilidade de

ocorrência de vazões mínimas, ex.: Q90 ou Q7,10) e arbitra-se

um percentual máximo desta vazão que pode ser outorgado.

O restante da vazão de referência é considerado como sendo

a “vazão ecológica”.

ESTADO Vazão de referência Vazão Máxima Outorgável Vazão Remanescente

PR

Q7,10 50% Q7,10

50% Q7,10

MG 30% Q7,10 70% Q7,10

PE

Q90

80% Q90 20% Q90 BA

PB

90% Q90 10% Q90 RN

CE

Vazões de referência, máximas outorgáveis

e remanescentes Vazões de referência, máximas outorgáveis e remanescentes

definidas por órgãos ambientais de Estados Brasileiros:

Exercício 1 Os dados de vazão do rio Descoberto em Santo Antônio do

Descoberto (GO) foram organizados na forma de uma curva de permanência. Um empreendedor solicita outorga de 2,5 m3/s num ponto próximo no mesmo rio. Considerando que a legislação permite outorgar apenas 20% da Q90 a cada solicitante, responda: é possível atender a solicitação?

• Energia Assegurada é a energia que pode ser

suprida por uma usina com um risco de 5% de não

ser atendida, isto é, com uma garantia de 95% de

atendimento;

• Numa usina com reservatório pequeno, a energia

assegurada é definida pela Q95 ;

• A empresa de energia será remunerada pela

Energia Assegurada.

Energia Assegurada

eHQP

P = Potência (W)

= peso específico da água (9810 N/m3)

Q = vazão (m3/s)

H = queda líquida (m)

e = eficiência da conversão de energia hidráulica em

elétrica

e depende da turbina; do gerador e do sistema de adução

0,76 < e < 0,87

Importância para geração de energia

Exercício 2 Calcule a energia assegurada de uma usina hidrelétrica

para a qual a curva de permanência de vazões é dada pelo gráfico abaixo. Considere uma eficiência de conversão de energia de 79% e uma altura de queda de 98 metros.

Séries Temporais

• Hidrograma: Gráfico que relaciona as vazões com o tempo sequência contínua.

• Algumas análises estatísticas necessitam de dados discretos.

–A partir de uma sequência contínua de vazões, é possível identificar séries temporais de valores discretos. Ex.: vazões médias anuais, máximas anuais e mínimas anuais.

–As séries discretas são tratadas como amostras do comportamento de um rio ou de uma bacia.

Séries temporais

Risco, probabilidade e tempo de retorno

• Séries temporais discretas são convenientes para avaliar riscos em hidrologia.

• Risco - um sinônimo de probabilidade.

• Hidrologia: risco a probabilidade de ocorrência de um evento multiplicada pelos prejuízos que se espera da ocorrência deste evento.

• Projetos de estruturas hidráulicas sempre são elaborados admitindo probabilidades de falha.

• Ex.: pontes de estradas são projetadas com uma altura tal que a probabilidade de ocorrência de uma cheia que atinja a ponte seja de apenas 1% num ano qualquer.

• Alto custo para dimensionamento para a maior vazão possível, por isso admite-se uma probabilidade, ou risco, de que a estrutura falhe.

• Podem ocorrer vazões maiores do que a vazão adotada no dimensionamento.


• Probabilidade depende do tipo de estrutura: a probabilidade admitida para a falha < se a falha desta estrutura provocar grandes prejuízos econômicos ou mortes de pessoas.

Estrutura TR (anos)

Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10

Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100

Pontes 50 a 100

Diques de proteção de cidades 50 a 200

Drenagem pluvial 2 a 10

Grandes barragens (vertedor) 10.000

Pequenas barragens 100


Análise de vazões máximas:

• A probabilidade anual de excedência de uma determinada vazão é a probabilidade que esta vazão venha a ser igualada ou superada num ano qualquer.

• O tempo de retorno desta vazão é o intervalo médio de tempo, em anos, que decorre entre duas ocorrências subseqüentes de uma vazão maior ou igual.


• A probabilidade de ocorrência de uma cheia de 10 anos de tempo de retorno, ou mais, num ano qualquer é de 0,1 (ou 10%).

• A vazão máxima de 10 anos de tempo de retorno (TR = 10 anos) é excedida em média 1 vez a cada dez anos.

• Isto não significa que 2 cheias de TR = 10 anos não possam ocorrem em 2 anos seguidos. Também não significa que não possam ocorrer 20 anos seguidos sem vazões iguais ou maiores do que a cheia de TR=10 anos.


- O risco também pode estar relacionado a situações de vazões mínimas.

• Ex.: utilização de um rio para abastecimento de uma cidade.

• Dependendo do tamanho da população e das características do rio, existe um sério risco de que, num ano qualquer, ocorram alguns dias em que a vazão do rio seja inferior à vazão necessária para abastecer a população.

• Vazões mínimas: P refere-se à probabilidade de ocorrer um evento com vazão igual ou inferior.


• 2 formas de atribuir probabilidades e tempos de retorno às vazões máximas e mínimas: métodos empíricos e métodos analíticos.

• Probabilidades empíricas - estimadas a partir da observação das variáveis aleatórias.

• Ex.: a probabilidade de que uma moeda caia com a face “cara” virada para cima é de 50%. Esta probabilidade pode ser estimada empiricamente lançando a moeda 100 vezes e contando quantas vezes cada uma das faces fica voltada para cima.

• Problema: tamanho da amostra pequeno, a estimativa tende a ser muito incerta.

• Ex.: moeda com 6 lançamentos – há a possibilidade de que seja estimada uma probabilidade muito diferente de 50%.

• Resolução: é comum supor que os dados hidrológicos sejam aleatórios e que sigam uma determinada distribuição de probabilidade analítica: ex.: a distribuição normal.


Chuvas anuais e a distribuição normal

• Chuvas anuais: pode ser considerada uma variável aleatória com distribuição aprox. normal.

• Suposição: permite explorar melhor amostras relativamente pequenas (ex.: apenas 20 anos).

Distribuição normal padrão Função densidade de probabilidade (FDP) da

distribuição normal, depende de 2 parâmetros: a média e o desvio padrão da população.

•Onde: μx - média da população; σx - desvio padrão da população.

Distribuição normal padrão

2

zexp

2

1zf

2

z

No caso mais simples, z é uma variável aleatória com μ= 0 e σ = 1

• Uma variável aleatória x com média mx e desvio padrão sx

pode ser transformada em uma variável aleatória z, com

média zero e desvio padrão igual a 1 pela transformação

abaixo:

• Esta transformação pode ser utilizada para estimar a

probabilidade associada a um determinado evento

hidrológico em que a variável segue uma distribuição

normal.

x

xxz

Distribuição normal padrão

Tabela

• Programa Excel é possível obter os valores das probabilidades utilizando a função DIST.NORMP(z), que dá a probabilidade de ocorrer um valor inferior a z.

• Relação entre probabilidades e tempos de retorno

Exercício 3 As chuvas anuais em um posto pluviométrico

seguem aproximadamente, uma distribuição normal, com µ = 1433 mm e σ = 299 mm. a) Qual é a probabilidade de ocorrer um ano com chuva total > 2000 mm? b) E o seu tempo de retorno?

x

xxz

• Vazões máximas

• Vazões mínimas

Eventos Extremos

• Dimensionamento de canais.

• Dimensionamento de proteções contra cheias (diques).

• Dimensionamento de pontes.

• Dimensionamento de vertedores (neste caso o volume é

muito importante).

Algumas situações em que se deseja estimar

as vazões máximas

Vazões máximas

• Selecionando apenas as vazões máximas de cada ano em um determinado local (série de vazões máximas) análises estatísticas relacionando vazão com probabilidade.

• As séries de vazões disponíveis na maior parte dos locais (postos fluviométricos) são relativamente curtas, não superando algumas dezenas de anos.

Vazões máximas • Ex.: Vazões do rio Cuiabá (1984-1992) -> análise das

vazões máximas.

Vazões máximas • Distribuição Empírica: Equação para estimativa da

frequência observada - fórmula de Weibull • Reorganizando as vazões máximas em ordem

decrescente (freq. de excedência), podemos atribuir uma probabilidade de excedência empírica a cada uma das vazões máximas da série:

• Onde: m - ordem da vazão (para a maior vazão m=1 e para a menor vazão m=N); N - tamanho da amostra (número de anos).

Distribuição Empírica

Ano Vazão (m3/s) Ordem Probabilidade TR (anos)

1988 2218.0 1 0.11 9.0

1989 2190.0 2 0.22 4.5

1987 1812.0 3 0.33 3.0

1984 1796.8 4 0.44 2.3

1991 1747.0 5 0.56 1.8

1986 1565.0 6 0.67 1.5

1985 1492.0 7 0.78 1.3

1990 1445.0 8 0.89 1.1

Vazões máximas

• Problema da estimativa empírica de probabilidades: não é possível extrapolar a estimativa para tempos de retorno maiores.

• Ex.: necessidade de estimar a vazão máxima de 100 anos de TR, mas existem apenas 18 anos de dados observados. Probabilidades empíricas permitem estimar vazões máximas de TR próximo de 18 anos.

• Para extrapolar as estimativas de vazão máxima supor que as vazões máximas anuais seguem uma distribuição de probabilidades conhecida (chuvas anuais).

Vazões Máximas

• Distribuição Normal:

–Calcular a média 𝑄

–Calcular desvio padrão 𝑆𝑄

–Obter os valores de “Z” (ou “K” (fator de frequencia) da tabela.

–Calcular a vazão para cada TR:

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do

Rio Guaporé de 1940 a 1995

Subestima!

Vazões máximas

• Vazões máximas não seguem a distribuição normal.

• Histogramas de vazões máximas anuais - forte assimetria positiva (longa cauda na direção dos maiores valores) - invalida o uso da distribuição normal

• Log Normal: a mais simples, supõe que os logaritmos das vazões seguem uma distribuição normal.

Outras distribuições de probabilidades

• Calcular os logaritmos das

vazões máximas anuais

• Calcular a média

• Calcular desvio padrão S

• Obter os valores de Z da tabela

• Calcular o valor de x (logaritmo

da vazão) para cada TR por

• Calcular as vazões usando Q =

10x para cada TR

ZSxx

x

Log normal Passo a passo

As vazões máximas anuais do no Guaporé no posto

fluviométrico Linha Colombo são apresentadas na tabela abaixo.

Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima

com 100 anos de tempo de retomo.

Exercício 4

• Análises mais rigorosas: é necessário testar 3 ou mais distribuições de probabilidade teóricas, e avaliar qual é a distribuição que melhor se adequa aos dados.

Vazões máximas

Dados do Rio Guaporé

Distribuição Log Pearson III: • Utiliza, além da média e do desvio padrão, um

terceiro parâmetro estimado a partir dos dados: o coeficiente de assimetria.

• Também pode ser expressa na forma:

• Valores de K tabelados para diferentes valores do coeficiente de assimetria.

• Não é adequada para N pequeno.

Outras distribuições de probabilidades

Distribuição de Gumbel

• Também chamada de Distribuição de Valores Extremos do tipo 1, muito utilizada em análise estatística de eventos extremos.

• Vantagem: não é necessário utilizar tabelas de probabilidades.

• A função de probabilidades acumuladas (1) e função densidade da distribuição (2) são, respectivamente:

• α – parâmetro de escala e β – parâmetro de posição

1 2


• A funcão inversa da FAP de Gumbel, ou função de quantis, e expressa por:

• T - período de retorno em anos; F – probabilidade

anual de nao superacao.

O valor esperado , a variância e o coeficiente de assimetria:


• Exemplos de funções densidades da distribuição de Gumbel (máximos)

Vazões máximas em pequenas bacias

• Em pequenas bacias, onde normalmente não existem dados de vazão medidos, as vazões máximas são necessárias para dimensionar estruturas de drenagem, como bueiros, bocas de lobo e calhas.

• Nestas situações é mais comum a utilização de um método de estimativa baseado em dados de chuva, que são transformados em vazão.

• O método mais simples: Método racional (bacias de até 2 km2)

Vazões mínimas

• Semelhante à análise de vazões máximas

• Probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite.

• Probabilidades empíricas: valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente (e não decrescente).

Vazões mínimas

Usos:

- Disponibilidade hídrica em períodos críticos;

- Legislação de qualidade de água;

- Outorga;

• Normalmente, as vazões mínimas que interessam tem a duração de vários dias

• Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos.

Q7,10

1) Seleção da amostra: Série histórica de vazões diárias de i anos (i > 30 anos)

2) Formação da série das Q7 mínimas observadas:

• Cálculo das médias-móveis de 7 dias (Q7)

– 365 valores de Q7 para cada um dos i anos

• Formar uma série de i elementos, composta pela menor Q7 obtida em cada ano (Q7m)

3) A série de i valores de Q7m deve ser ajustada a uma distribuição de probabilidade

4) Para cada período de retorno T desejado tem-se:

Q7,10

• A expressão de KT varia conforme a distribuição probabilística utilizada:

– Normal; Log-Normal

– Gumbel; Log-Gumbel

– Pearson; Weibull...

Distribuição Gumbel Mínimos

• forma assintótica limite para um conjunto de N variáveis aleatórias originais {X1, X2, ... , XN}, independentes e igualmente distribuídas conforme um modelo FX(x) de cauda inferior exponencial.

• A função de probabilidades acumuladas (1) e função densidade da distribuição (2) são, respectivamente:

• α – parâmetro de escala e β – parâmetro de posição

1 2

Distribuição Gumbel Mínimos • O valor esperado, a variância e o coeficiente de

assimetria são respectivamente:

• A inversa da FAP de Gumbel (mínimos), ou função de quantis, e expressa por:

• T - periodo de retorno (anos); F – probabilidade anual de nao superacao.

Distribuição Gumbel Mínimos

• Exemplos de funções densidades da distribuição de Gumbel (mínimos)

Exercício 5

• Suponha que para um dado local, as Q7 anuais sejam denotadas pela variável aleatória Z e que, em um dado local, E[Z] = 28,475 m3/s e σ[Z]= 7,5956 m3/s. Calcule a vazão Q7,10 pelo modelo de Gumbel (mínimos).

Disponível em: http://www.cprm.gov.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=981&sid=36

http://www.cprm.gov.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=981&sid=36









aula hidrologia estatística

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