aula 9 sl direto

8/18/2019 Aula 9 SL Direto

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69

3.3.4 Fatoração LU

Ax = b A = LU

L – triangular inferior

U – triangular superiorVamos observar o exemplo introdutório

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Α

234

211

4230

343

1.

3

31

21

=Μ

=Μ

=

mult

Pivo

( ) 1.31

322

310

32

310

423

321 =Μ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

Α mult pivo

( )

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

Α

800

32

310

4232

Observe que a matriz ( )1Α pode ser obtida de ( )0Α pré-multiplicado-a por uma matrizconveniente, no caso:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Μ−

Μ−=Μ

10

01

001

31

211 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

1034

0131

001

Da mesma forma a matriz ( )2Α é obtida pré-multiplicando-a por:


2/13

70

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) U L

erior triângular matrizumaé

Assim

=Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΜΜ

Μ=Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Μ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Μ

Μ=Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Μ−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Μ−

Μ−=Α

ΑΜΜ=Α

Α

ΑΜΜ=Α

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Μ−

=Μ

−

−−

0

2

3231

210

2

323

210

2

32

1

31

210

012

11

0

2

012

2

32

2

0

01

001

10

010

001

10

01

001

10

010

001

10

01

001

.sup

,

010

010

001

10

010

001


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71

A matriz L é uma matriz triangular inferior, pois é resultante do produto de matrizestriangulares inferiores elementares.

A decomposição LU não é única..

Seja D uma matriz diagonal não singular qualquer, então:

L = LD é triangular inferior

U = U D 1− é triangular superior

A = LU = L DD 1− = U L

De modo que U L também é uma decomposição LU . Isto sugere a possibilidade dese normalizar as decomposições LU .

Seja a transformação A= LDU

Onde: L é triangular inferior unitário (diagonal) D é diagonalU triangular superior unitária (diagonal)

Pode-se mostrar que a decomposição LDU de uma matriz A é única, se suas submatrizes principais guias [ ] [ ] [ ]121 ,.......,, −ΑΑΑ n são todos não-singulares.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Α

−

−−−−−

−

−

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

121

1111211

2122221

1111211

............

...................................................

....................

.............

isto garante pivôs não nulos.Α = 222111 U D LU D L =Α

222111 U D LU D L =


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unitárioerior triang D L L DU U

U U D L DU U D L L D

unitárioSuperior TriangU

unitárioerior Triang L

existe D

existeU

existe L

sup.

.

inf .

221

11

11

21

1222

11

11

12111

11

11

2

1

11

12

11

→=

=−−−

−−−−−−

−

−

−

Produto de 2 matrizes triang. sup. unitário resulta matriz triang sup. unitário. Isto força oser diagonal ⇒ Identidade.

211

21 U U I U U ==− da mesma forma pode-se chegar .2121 D De L L ==

Diferentes decomposições LU:

( ) LU LD ==Α U →onde: U é triângular superior unitário – Decomposição de Crout

( ) U L DU L ==Α → onde: L é triângular superior unitário – Decomposição de Doolittle

Se A for simétrica:

Choleskydeão Decomposiç L LU D LD A

D D Dse

LDL

t →=⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

=>

=Α +

2121

21

21

0

Algoritmo para Decomposição de Crout

→= U L A U é triângular superior com diagonal unitária

{ }n jiula jk

jimim

k k i ji,.....1,

,

1 ==∑ =


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73

Como :111 =u

nilula iii ,.....,1,11111 ===

ou seja a primeira coluna de é igual a primeira coluna de L.

Além disso:

jij ula 111=

n jl

au

j

j ,.......111

1

1 ==

Assim determinamos 1° linha de U .

Suponha que as primeiras (p –1) colunas de L e as primeiras (p – 1) linhas de U tenhamsido calculadas e como 1=kk u .

).....,.........1,(1

1

n p piulla p

k

kpik ipip +=+= ∑−

=

portanto a esima p coluna de L é dada por:

( )∑ −

= +=−=

1

1,.....1,

p

k kpik ipip n p piU lal

Da mesma forma

( )∑ −

= +=+=

1

1,....1

p

k kj pk pj pp pj n p julula

onde

( ) ( )n p julalu kj p

k pj pj

pp

pj ,..111

1 +=−= ∑ −

=

Observe que não há necessidade de calcular-se para j = p, pois, 1= ppu .

OBS: Pode-se verificar que, após ija Ter sido utilizado para calcular ji ji uoul , ele não é

mais utilizado, assim, os elementos não nulos de L e U podem ser escritos sobre oselementos correspondentes de A.

Algoritmo para Redução de Crout: para p = 1, 2,.....,n:

1.

n piulala pk k i p

k pi pi pi ,.....,,1

1 =−=← ∑ −

− 2. n p jU lalua

p

k jk k p j p pp j p j p,......1,

1

1

1 +=−=← ∑ −

=

−

- Os elementos ppl são pivôs na redução de Grauss e são ≠ 0, se as submatrizes

principais guias de A são não – singulares.- Produtos internos devem ser acumulados em precisão dupla.


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A utilização de pivôs pequenos podem provocar erros de arredondamento quecontaminam significativamente a solução. Uma solução é utilizar o pivoteamento parcial,isto é, fazer uma pesquisa na coluna do pivô de forma a encontrar o elemento de maiorvalor absoluto. O elemento com maior valor absoluto é utilizado como pivô, para tanto, permuta-se a linha do elemento com a linha do pivô.

É importante observar que, quando forem executadas as etapas de substituição diretae inversa, as permutações realizada no pivotemameto devem ser realizados no vetorindependente do sistema de equação linear.

Def. Matriz de PermutaçãoMatriz quadrada de ordem n obtida da matriz identidade de ordem n pela permutação

de suas linhas.A pré-multiplicação de uma matriz A por uma matriz de permutação P resulta em

uma matriz A’, obtida de A com a mesma seqüência de permutações de linhas , realizadosna matriz P.

Seja o sistema linear b x A = e sejam os fatores LU obtidos por redução de Croutcom pivoteamento parcial. Portanto, LU são fatores de A’.

Onde: A’= PA

As mesmas permutações devem ser efetuados sobre b .

bPb ='

Algoritmo redução de Crout com permutação de linhas.

Para p=1, 2,.........n

1. ( )∑ −

= =−=←

1

1.......,,

p

k kpik ipipip n piU lala

2. ( )n pillquetal Achar ip p p p ,......, =≥ ρ ρ

3. ( )n jaa j pj p ,......2,1=← ρ

4. ( )nk julalua p

k kj pk p pp pj pj,.....1

1

111 +=−=← ∑

−

=

−

OBS: O algoritmo de Crout com pivoteamneto parcial pode ser considerado um algoritmoestável.


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3.3.5 Decomposição de Cholesky

Considerando: A Simétrica e definida positiva

Tem-set LL A =

Teorema: Se A é simétrica positiva definida então existe uma única matriz L comelementos diagonais positivos tal que t LL A = .

OBS 1: A matriz A é positiva definida se 0> x A xT para qualquer vetor x diferente dezero.OBS 2: Os elementos diagonais de uma matriz definida positiva são sempre positivos.

0>= iiiT i ae Ae

ie – vetor com elemento igual a 1 na posição i e o restante igual a zero.

A prova do teorema é feita por indução.

11: −×−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= nnordemdesubmatriz H e positivaescalar d onde

H v

vd A

T

A matriz particionada pode ser escrito como o produto:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

in

T

n I d

vd

H I d

vd

00

010

1

d

vv H H

T

−= a matriz H é simétrica e também positiva definida, pois para qualquer vetor

x de comprimento n-1.

x H x xd

vv H x

xd

v x

H v

vd x

d

v x T T

T

T T

T T

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− ,

0> x H xT , pois a matriz original é positiva definida por.


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Por indução H, pode ser fatorado como T H H L L com elementos diagonais positivos.

Portanto, A pode ser dada por:

T

T

H

T

H n

T

T

H H n

LL

Ld

vd

Ld

vd

I d

vd

L Lo

o

I d

vd

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−− 0

0

00

0110

11

Para provar a unidade, tem-se:

( )1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

H v

vd A

T

( )20⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

Ll

Lλ

( )30

0 2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== T

T

T

T

T

L Ll

l

L

l

Ll LL A

λ

λ λ λ λ

De (1) e (3) tem-se:

λ λ

λ λ

λ λ

vlvl

vlvl

d oud

T T T T

==

==

==2

Como podemos ver, os fatores l são únicos para λ positivo. Este procedimento pode serestendido por indução aos fatores seguintes.

Computação dos fatores

Suponha a matriz particionado como ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5T u

u M A onde os fatores T M M L L da

submatriz principal M já foram obtidos. Os fatores da matriz A podem se dado por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Αsu

u M

t

w L

t w

LT

T M

T

M

00

uw L M =

212 )( wwst st ww T T −=⇒=+


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Para i = 1, 2, ......n

Solucione

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−− 1,11,1

11

...

....

..

0

iii ll

l

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−1,

1

ii

i

l

l

=

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−1,

1

ii

i

a

a

Compute ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

−

=

21

1k i

i

K

iiii lal

Exemplo 2x2.

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

=+

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

31

14

411

212

411

21

2

4113

3

2112

31

14

0

202

512

131214

21

2

wwt

t ww

ww

t

w

t w

t

T

T

( ) 21

2

1

5

12

411

212

W W t

ww

uw L

T

M

−=

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡

=


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Computado e acessado

iil T

iK l

Elemento nãoCalculado

Pela simetria de A, apenas é necessário se trabalhar com sua metade inferior. Além disso, oselementos de L podem ser escritos sobre os de A.

AlgoritmoPara K = 1, 2, ....n

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=←

−=

∑−

=

1

1

1

1.........,2,1.1i

j

jK jiiK

ii

iK iK lla

lla

K iPara

∑−

=

−=←1

1

2.2K

j

jk KK KK KK lala

OBS: A decomposição de Cholesky requer 63n multiplicações, isto é, a metade das

exigidas pela redução de Crout. Os produtos internos devem ser acumulados em precisão

dupla, para se obter exatidão adicional.O algoritmo de Cholesky é incondicionalmente estável. Como A é positiva definida, não hánecessidade de pivoteamento, pois neste caso ela sempre é diagonal dominante.

3.4 Solução de Sistemas LinearesA partir das decomposições de Crout e Cholesky vistas anteriormente, pode-se resolver

os sistemas lineares através de substituições.

Seja o sistema Linear:b x A =

3.4.1 Decomposição LU

LU PA =

bP x LU =


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Substituição Direta'bbP y L ==

Substituição Inversa

y xU =

Substituição Direta 'bbP y L ==

Atualização por linhas

nil ylb y ii j

i

j

ijii .........,2,1/1

1

,=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∑

−

=

Substituição Inversa y xU =

1,.......,11

−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∑

+=

ni xu y xn

i j

jijii

Substituição Direta

Atualização por colunas.


12/13

80

22

23233

22

2'2

,11

,,'

,131

'3

,'3

,121

,2

,2

11

1'1

2

11

2

1

1

2221

11

''

'

'2

.

1

blbb

blbb

l

bb

Coluna

blbb

blbb

blbb

l

bb

Coluna

b

b

b

y

y

y

ll

ll

l

nnn

nnn

nnnnn

−=

−=

=

−=

−=

−=

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

M

M

Coluna n

nn

n

n

l

bb

'' =

No final 'b y = , observe que as atualizações foram feitas por colunas.

Algoritmo para atualização por colunas

'

''

'''

,1

/''

1.......1

b y

lb

b

ContinueContinue

lbbb

n jk Para

lbb

n jPara

nn

nn

kj jK K

jj j j

=

=

−=

+=

=

−=

As substituições direta e inversa requerem 2η multiplicações.


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3.4.2 Decomposição de Cholesky

Neste caso não há necessidade de utilizar permutações.

b x LL

LL

T

T

=

=Α

Substituições direta bY L =

Substituições Inversa y x LT =

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