Aula 9 – Conceitos de

Matemática Financeira

Material Elaborado por

Betânia Peixoto

Conceitos de Matemática Financeira

São conceitos essenciais para o cálculo do retorno econômico.

Plano de Aula

Apresentar os seguintes conceitos de matemática financeira:

Fluxo de Caixa

Taxa de juros

Valor Presente Líquido (VPL)

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Fluxo de Caixa É uma forma matemática para representar

graficamente as entradas e saídas de um investimento e/ou aplicação financeira, com o objetivo de facilitar o estudo de seus efeitos

Por convenção, é representado por um gráfico com linha horizontal que indica o tempo e com setas para cima (que indica entrada - positivo) e para baixo (que indica saída - negativo).

Exemplos de fluxos de caixa

Saídas (-)

Entradas (+)

Entradas (+)

Saídas (-) tempo

tempo

Taxa de Juros

Os Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade. O percentual desta remuneração em relação ao capital inicial é a taxa de juros.

É a remuneração pela privação ao consumo.

A maioria das pessoas prefere o consumo hoje estando disposta a pagar um preço por isto.

Quem é capaz de esperar para consumir no futuro (seja investindo em um negócio, seja poupando) deve ser recompensado por esta abstinência.

Representação da Taxa de Juros

É expressa da forma percentual em seguida do período de tempo a que se refere:

Ex: 5 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 2 % a.m. - (a.m. significa ao mês).

    Pode também ser de forma unitária =taxa

percentual dividida por 100, sem o símbolo %: Ex: 0,02 a.d. - (a.m. significa ao dia).

0,14 a.t. - (a.t. significa ao trimestre)

Juros simples

Os juros de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

M= montante finalP = capital iniciali = taxa de jurosn = número de períodos

Juros compostos

Os juros de cada intervalo de tempo são calculados a partir do capital inicial acrescido do juros do período anterior.

Ex: Aplicação de um capital P por 3 meses.     1º mês: M =P.(1 + i)

    2º mês: M = P . (1 + i).(1 + i)     3º mês:  M = P .(1 + i) .(1 + i).(1 + i)

Assim:   M = P . (1 +  i)n

Exemplo

Suponha que voce vai comprar um carro de 20.000,00 reais financiado em 12 meses . A taxa de juros proposta foi de 1% am. Ao final, qual o valor que voce terá pago pelo carro?

M t=1= 20.000+20.000*(0,01) = 20.000+200=20.200 Mt=2= 20.200+ 20.200*(0,01) = 20.200+202=20.402

… Mt=12= 22.313,31+ 22.313,31*(0,01) = 22.536,50

OuM=20.000*(1+0,01)12= 22.536,50

Cuidado

Os períodos da taxa e o do tempo do investimento devem ser iguais

Por exemplo, se a taxa é mensal, o período de tempo do investimento deve ser descrito em meses.

De taxa anual para taxa mensal

Se um investimento for feito num período inferior a 1 ano e a taxa de juros for anual, podemos transformar o período do investimento em ‘anos’. Como?

Ex: se o período fosse de 3 meses: 12 meses ----- 1 ano 3 meses ------- x ano x = 3 / 12 = ¼ de

ano

Esta lógica pode ser aplicada para transformação de qualquer período de tempo do investimento

Valor Presente e Valor Futuro ‘Valor Presente’ = valor investido hoje ou o

capital inicial [VP] ‘Valor Futuro’ = o montante a ser recebido após

o período do investimento [VF]

100*1100*)(

%

VP

VF

VP

VPVFi

VF=VP*(1+i)n

Valor Presente e Valor Futuro- Exemplo

√ Se investirmos R$ 250 por um ano a uma taxa de juros de 12% ao ano, quanto teremos no final do período?

√ VF = VP*(1+i)n

√ VF = 250*(1+0,12) = R$280

Em resumo:

Se realizamos um investimento hoje por n períodos, sendo a taxa de juros definida em i% por período, teremos ao final um total de:

Valor futuro

Valor Presente

Número de períodos

VF = VP x (1+i)n

Taxa de juros

Em um projeto social...

Os valores dos recebimentos e pagamentos relativos a um projeto estão distribuídos ao longo do tempo.

Esses valores, no entanto, não podem ser prontamente comparados visto que estão avaliados em momentos diferentes no tempo.

“Receber R$100 hoje é, provavelmente, diferente de

receber R$100 daqui a 3 meses”.

Como então comparar valores?

Valor Presente Líquido (VPL)

Idéia: “trazer” esses valores todos para uma mesma data, por exemplo, para a data relativa ao início do projeto.

Em outros termos, calcular o ‘valor presente’ do investimento.

Obs: ‘Líquido’ porque trazemos para valor presente recebimentos e pagamentos.

Como fazer

Da mesma maneira que acrescentamos juros quando queremos saber o VF de um investimento realizado hoje, quando calculamos o valor presente desse retorno futuro do investimento temos que descontar os juros.

Quando temos um fluxo de pagamentos e recebimentos, precisamos trazer para a mesma data cada uma das parcelas: se trouxermos todos para o 1º período, temos o VPL.

Valor Presente Líquido (VPL) - definição

É o valor descontado de todos os fluxos de caixa esperados (receitas menos despesas).

Quanto vale hoje todos os pagamentos e recebimentos que serão realizados ao longo do tempo?

Exemplo:

50.000

t = 0 t =

1

20.000

20.000

20.000

20.000

t = 2

t = 3

t = 4

4321 )1(

000.20

)1(

000.20

)1(

000.20

)1(

000.20000.50

iiiiVPL

Considere o seguinte fluxo de caixa de um projeto social:

Outro exemplo:

Ano 2006 2007 2008 2009 2010

Valor ($) -50.000 -10.000 30.000 30.000 30.000

Os custos de um projeto estão distribuídos ao longo dos dois primeiros anos do projeto. Por outro lado, há recebimentos por 3 anos consecutivos, conforme tabela abaixo:

Qual é o valor presente líquido do projeto (i=15% ao ano)?

74,866)15,1(

30000

)15,1(

30000

)15,1(

30000

15,1

1000050000

432VPL

Taxa Interna de Retorno (TIR)

É a taxa de juros (ou desconto) que faz com que o VPL de um projeto seja zero.

VPL igual a zero significa que os custos avaliados no tempo zero são iguais aos benefícios, também avaliados no tempo zero.

Idéia: você quer descobrir qual a taxa de juros que está embutida no seu investimento, isto é, qual a taxa de juros que a partir do seu investimento inicial gerou as entradas futuras do seu fluxo de caixa.

Retomando o exemplo anterior (i= ? %) :

Ano 2005 2006 2007 2008 2009

Valor ($) -50.000 -10.000 30.000 30.000 30.000

2 3 4

10.000 30.000 30.000 30.00050.000 0

1 1 1 1VPL

TIR TIR TIR TIR

Como o fluxo está em anos, a TIR calculada será uma taxa anual.

Para fazer o cálculo, vamos utilizar o Excel – o cálculo “algébrico” só pode ser feito por aproximação.

Comentários Finais

Aula de hoje: trabalhamos os conceitos da matemática financeira, em especial os conceitos de valor presente líquido e taxa interna de retorno.

Próxima aula: a partir destes dois conceitos realizaremos a avaliação de retorno econômico.