aula 9 análise das equações de conservação. sistema físico modelo de camadas múltiplas...

Aula 9

análise das equações de conservação

sistema físico

• modelo de camadas múltiplas

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

transporte em suspensão

transporte por arrastamento

camada de mistura

substrato

h = hs + hb: profundidade do escoamentohs : espessura da camada de transporte em suspensãohb : espessura da camada de transporte por arrastamentoLa : espessura da camada de mistura

Yb : cota do fundo

La

modelo conceptual

2dx hu ( )212

d d w

x x b bg h gh Y

d 0x hu q uh cte massa total

conservação da massa de sedimentos

quantidade de movimento da mistura

• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente

2 2(1 ) 1 (1 ) 1

u S u St b x b

u q u qY Y J

p h Fr p h Fr

hu

bY

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: cota do fundo

: velocidade média do escoamentoSq

J

equações de fecho:

: concentração de sedimentos

: declive da linha de energia

análise das equações

• motivação

t xC C G

considere-se a equação de advecção pura de uma grandeza C:

seja, para simplificar o cálculo, e G constantes. em particular, seja:

1

0G

considere-se o problema de valores iniciais e de fronteira representado por (A) e pelas condições de fronteira e iniciais:

( 0, ) 2C x t

( , 0) 1C x t

(A)

comportamento esperado: C

x


• motivaçãodiscretize-se a derivada espacial por diferenças “upwind” e a derivada temporal por diferenças de 1ª ordem:

1

1112

0n n n n

n ni i i ii i

C C C C

t x

i i+1i1

n

n+1

discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico considerando

1 11 12

n n n n n ni i i i i i

tC C C C

x

1t

x

• motivação

i i+1i1

n

n+1

discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico

11 2C

1 0 0 0 02 2 2 2 1 1 1 1 1 1

tC C C C

x

1 0 0 0 03 3 3 3 2 1 1 1 1 1

tC C C C

x

21 2C

2 1 1 1 12 2 2 2 1 1 1 1 2 0

tC C C C

x

2 1 1 1 13 3 2 3 2 1 1 1 1 1

tC C C C

x

31 2C

3 2 2 2 22 2 2 2 1 0 1 0 2 2

tC C C C

x

3 2 2 2 23 3 2 3 2 1 1 1 0 2

tC C C C

x


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

11

n n n n ni i i i i

tC C C C

x

• motivação

i i+1i1

n

n+1

análise:

note-se que a derivada material de uma grandeza C se escreve, num referencial Eulereano:

d

d

x

t


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

d d0

d dt xC x

C Ct t

comparando com a equação (A) conclui-se que

i.e., tem o significado físico de uma velocidade de propagação

conclusão: existe uma velocidade física para a propagação de informação relativa a um fenómeno essencialmente advectivo e, também, uma velocidade numérica de propagação; num modelo numérico, terão que ser compatíveis!

• motivação

i i+1i1

n

n+1

direcção de propagação física: jusante para montante

1


direcção de propagação numérica: montante para jusante

1 1i ix x

t

se se colocar a condição de fronteira na secção correcta (jusante) e se discretizar o termo equação convectivo da equação (A) por diferenças finitas de 1ª ordem “downwind” obtém-se

1 11 12

n n n n n ni i i i i i

tC C C C

x

( , ) 2C x L t

( , 0) 1C x t -8

-3

2

7

0 2 4 6 8 10

x (m)

C (-

)

• objectivos da análise matemática dos modelos de transporte de sedimentos

- determinar as velocidades (magnitude e sentido) de propagação de informação inerentes ao modelo conceptual


- determinar a natureza da informação propagada

- determinação do número e natureza das condições de fronteira e iniciais

• aplicações

- escolha dos esquemas numéricos em face da correcta propagação da informação no domínio de cálculo


2 2(1 ) 1 (1 ) 1

u S u St b x b

u q u qY Y J

p h Fr p h Fr

velocidade de propagação:

• exemplo, modelo #5

2(1 ) 1

u Ss

u q

p h Fr

s

t

x

P

1 0SFr 1 0SFr

t

x

P

s

grandeza transportada: bY


t b s x b sY Y J derivada temporal gradiente

velocidade de propagação termos de fonte

(perturbações na cota do fundo)

forma canónica não-conservativa de uma pde (equação diferencial parcial)

• exemplo, modelo #5

t

x

CF

Mt

x

1 condição de fronteira a montante

1 condição inicial

condições no contorno:

1Fr

I

CI

1Fr

CI

JCF

1 condição de fronteira a jusante

1 condição inicial


• problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem

quanto à determinação das velocidades de propagação, os conceitos fundamentais são:


t x V V GA B

linearidade/não linearidade

hiperbolicidade

forma canónica não-conservativa de um sistema de n pdes

A e B : por analogia com a equação diferencial única do exemplo anterior, as matrizes A e B dão conta das direcções e velocidades de propagação de informação física

V: vector das variáveis dependentes primitivas

G: vector dos termos de fonte (irrelevante para as velocidades de propagação)

• problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem


t x V V GA B

os sistemas de equações de conservação associados a processos fluviais são sistemas de pdes de 1ª ordem quasi-lineares, i.e., as matrizes A e B são função das variáveis dependentes primitivas mas não das suas derivadas.

linearidade/não linearidade

exemplo:

2t xhu hu ( )21

2w

x x b bg h gh Y

0t xY hu

(1 ) 0t b xp Y Cuh

b

h

u

Y

V

( )

0

0

w

b

G V

1 0 1

0

0 0 1

u h

p

A

( )TPCB

• hiperbolicidade do sistema


. o sistema é hiperbólico se tiver n direcções de propagação independentes

(ver acetato para a noção de fase, velocidades de fase = características do sistema)

definição:

. o sistema é hiperbólico se o polinómio característico

(ex: ) tiver n raízes reais distintas

. o sistema é hiperbólico se a matriz A-1B admitir n vectores próprios independentes

3 21 2 3 0a a a

0 B A

nota: as características do sistema permitem conhecer a velocidade e a direcção de propagação da informação no domínio; falta conhecer as grandezas efectivamente propagadas!

t x V V 0A B

• hiperbolicidade do sistema t x V V 0A B

exemplo: equações de Saint-Venantforma conservativa

2 212t xq q h gh gh i J

0t xh q

( ) ( )t x U V F V G

h

q

U q uh


t x xu g h u u g i J

0t x xh u h h u forma não-conservativa (TPC)

1 0

0 1

A u h

g u

B

polinómio característico 0 B A

det 0u h

g u

2 0u gh u gh

• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant

características do sistema:


(1) u gh propagação da informação para jusante (cheias)

(2) u gh propagação da informação para montante ou jusante (efeitos de regolfo)

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Fr ( )

/(gh

)0.5

(-)

(1)

(2)

(1)

t

x

P

(2)1 0Fr

escoamento lento

(2)

(2)1 0Fr

t

x

P

escoamento rápido

(1)(2)

t x V V 0A B


que informação é propagada ao longo das linhas características? ou...


t x V V 0A B

pode um sistema ser escrito na forma

?

t x V V 0M

t x W W 0Λ (1)

(2)

0

0

Λ

sim, pode, desde que, sendo S uma matriz de mudança de base, seja possível proceder à transformação

d dW VS

1 1t x

W W 0SS SMS

t t x x W V W VS S

1 1

t x

t x

V V

W W 0 S MS

t x W W 0Λ 1Λ SMS

nesse caso

com

variáveis características: informação propagada ao longo das linhas características


a matriz de mudança de base é, por definição composta pelos vectores próprios de M. em rigor, as linhas de S são os vectores próprios esquerdos de M.


t x V V 0A B

(1) (1)(1)

(2) (2)(2)

1 2

1 2

l l

l l

l

l

S

para as equações de Saint-Venant, B = M e os vectores próprios são:

(1) (1) (1)

(1)

1 2l l u h

g u

0 (2) (2) (2)

(2)

1 2l l u h

g u

0

(1) (1)

1 2u u gh hl l

g u u gh

0

(2) (2)

1 2u u gh hl l

g u u gh

0



t x V V 0A B

(1) (1)

1 2 gh hl l

g gh

0

(1) (1)

1 2 0l h l gh

(1)

2 1l

(1) (1)

1 2g

l lh

(1) 1g

h

l

(2) (2)

1 2

2

gh hl l

g gh

0

(2) (2)

1 2 0l h l gh

(2) (2)

1 2g

l lh

(2)

2 1l

(2) 1g

h

l

1

1

g

h

g

h

S



t x V V 0A B

1

1

g

h

g

h

Sd dW VS VW S

1 11hg

Wh

S 1 12 1u W S

2 21hg

Wh

S 2 22 1u W S

1 2W u gh

2 2W u gh

informação propagada ao longo de

informação propagada ao longo de

(1)

(2) t x W W 0Λ



t x V V 0A B

ao longo de

ao longo de

(1)

(2)

t x W W 0Λ 1d d0 2 0

d d

Wu gh

t t

2d d0 2 0

d d

Wu gh

t t

(2)1 0Fr exemplo: escoamento lento

t

x

P

(1)(2)

2u

ghcte

2u

ghcte

• hiperbolicidade do sistemaexemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média


t x V V 0A B

2t xhu hu ( )21

2w

x x b bg h gh Y

0t t b xh Y hu

(1 ) 0t b t xp Y hC Cuh

massa total



o polinómio característico, , é .

tem três raízes reais distintas (três vectores próprios independentes).

é portanto um sistema hiperbólico!

3 21 2 3 0a a a 0 B A


• hiperbolicidade do sistema t x V V GA B

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Fr ( )

/(gh

)0.5

(-)

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Fr ( )

/(gh

)0.5

(-)

exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média

linhas características, comparação com as equações de Saint-Venant para água limpa

concentrações calculadas por: linha vermelha ( ) fórmula de Meyer-Peter & Muller; linha azul ( ) fórmula de Bagnold.

notas:

- (1) é, fundamentalmente, idêntica à água limpa;- (2) e (3) são afectadas pelo transporte de sedimentos;- se Fr < 0.7 o sistema exibe duas escalas distintas.

(1)

(3)

(2)


• hiperbolicidade do sistema t x V V GA B

exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média

t

x

(2)

P(1) (3)

Fr < 0.7 t

x

(2)

P(1)

(3)

Fr > 1.0

aspecto das linhas características (notar que as características não mudam de sinal com Fr... como se define o regime crítico?)


• estudo da hiperbolicidade; conclusõesseparação de escalas: se Fr < 0.7, (2) é aproximadamente igual a

e (3) é aproximadamente igual a s (justifica o modelo #5)u gh

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Fr ( )

/(gh

)0.5

(-)

2dx hu ( )212

d d w

x x b bg h gh Y

d 0x hu q uh cte massa total

massa de sedimentos


2 2(1 ) 1 (1 ) 1

u S u St b x b

u q u qY Y J

p h Fr p h Fr

{


separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação.

resolução desacoplada (I) do sistema de equações porque

t

x

(2) P

1Fr t

x

(2)P

1Fr

- propagação na fase líquida resolvida como uma sucessão de regimes permanentes; velocidades de propagação (1) e (2) infinitas ((2) determina o sinal, consoante o número de Froude);

- num dado t, a equação da fase líquida é resolvida antes da equação relativa à evolução morfológica (problemas: ver acetatos).

• estudo da hiperbolicidade; conclusões

(1) (2)s

s s


separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação.

resolução desacoplada (II) do sistema de equações porque

t

x

0s

- num dado t, as equações (dinâmicas completas, ie. com termos de inércia local) da fase líquida são resolvidas antes das equações relativas à conservação da massa de sedimentos e do leito (problemas: ver acetatos).


(1) (2)s

(3)M(1)

- localmente:


condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio:

(2)

M

t

x

(1)J

(3)

I

montante: hidrograma de caudais sólidos e líquidos

ou hidrograma de caudais sólidos e alturas do escoamento

jusante: curva de vazão (Fr < 1)

ou evolução temporal da cota do fundo

(Fr > 1)

iniciais: h, u e Yb

CFM 1

CFM 2CFJ

CIs


0 0 ( 0, )n ts sQ Q x t

0 ( 0, )n tQ Q x t

0 ( 0, )n tY Y x t

( )n t n tN NQ Q h

( , )n tbN bY Y x L t


condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio:

(3)

M

t

x

(1)J

(2)

I

montante: notar que a variável dependente é a cota do fundo, Yb, mas a condição de fronteira relativa a s = (2) é expressa em termos de Qs.

há que converter, na vizinhança da fronteira, o caudal sólido em equilíbrio em cotas do fundo;

CFM 1

CFM 2CFJ

CIs


0 ( ), ( )b s sY F Q t Q t t

em modelos desacoplados este procedimento pode levar ao mau-condicionamento do problema (oscilações que crescem a partir da fronteira).


condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em desequilíbrio (Cb é variável dependente):

t

x

CIs


I

CFM 1

CFM 2

M(3)

(4) 0 CFJ

(2)

J(1)

(4) 0

(2)

P(1) (3)

(4) 0

notas: i) Qs é facilmente introduzido na equação de conservação da massa de sedimentos na camada de transporte; ii) não se pode prescrever a cota do fundo nas fronteiras sob pena de provocar o mau condicionamento do problema.


condições iniciais e de fronteira:

- em geral, o número de condições independentes a especificar numa dada superfície de contorno é igual ao número de linhas características que “entram” por essa superfíce;

- simbolicamente:


( ) 0k C nem que C(k) é a expressão vectorial da linha caracterísitca cuja velocidade de fase é (k).


problemas descontínuos, soluções fracas.


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3x ( L )

t (

T )

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

x (L)

u1 (

-)

t = 0.10 t = 0.40

(1)

w

( ) 0t xu f u

0t xu u

forma conservativa:

forma não-conservativa:

com:

2

2

d ( ) d ( )0 0

dd

f u u

uu

( ) é monotona crescenteu

o aparecimento de soluções descontínuas é inevitável!


problemas descontínuos, soluções fracas.


( ) ( )t x U V F V 0

S U U F F

dx

dt

t1

t1+dt

x1 x1+dx

U+

U

caminho do choque

1 1

1 1

d d

d d

x x t t

t x

x t

t x

U F 0

1

1

1

1

d

1 1

d

1 1

( d ) ( )d

( d ) ( )d

x x

x

t t

t

t t t x

x x x t

U U

F F 0

1 1 1 1( d ) ( ) d ( d ) ( ) dt t t x x x x t U U F F 0

d)

d

x

t U U F F 0


soluções fracas – solução descontínua num número contável de pontos.exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.


L U U

R U U

teorema de Lax (1957): se i) o sistema de equações é estritamente hiperbólico, se os fluxos são funções contínuas e diferenciáveis e iii) se a amplitude da descontinuidade inicial é finita, então a solução do problema de Riemann consiste em n ondas (choques ou ondas de expansão), em que n é a dimensão da matriz jacobiana do sistema, mediados por n+1 estados constantes.


soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.


x

t

S

onda de expansão associada a

choque associado

a

* R

* R

uh uhS

h h

2 2 2 21 12 2* R

* R

u h gh u h ghS

uh uh

LU RU

*U

através do choque - condições de Rankine-Hugoniot:

através da onda de expansão – quasi-invariantes de Riemann:

1 2

d du d du du2

1 d/

h h gu gh cte

h hg hr r


soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.


solução para a onda de expansão:

L L2 2u gh u gh

d

d

x xu gh

t t { {

L2 3x

gh ght {

L2 1

3 2

xgh gh

t

L2

3

xu gh

t

* R * Rh h S uh uh

2 2 2 21 12 2* R * R

uh uh S u h gh u h gh

* * L L2 2u gh u gh

solução para o estado constante e para o choque:

incógnitas:

h*, u* e S


soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.

exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.


stoker's solution, = 0.20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x /t /(9.8h L)0.5

h/h

L

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

u/(

9.8h

L)0.

5


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x /t /(9.8h L)0.5

h/h

L

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

u/(

9.8h

L)0.

5


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x /t /(9.8h L)0.5

h/h

L

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

u/(

9.8h

L)0.

5

R R

* R

0 0 * R

lim limh h

uh uhS

h h

*max L2u gh

*

R

*0

L * L0

lim

lim 2 2

h

h

u

gh gh gh

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