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Somando os termosde uma progressoaritmtica

Introduo Na aula passada, mostramos como calcularqualquer termo de uma progresso aritmtica se conhecemos um de seustermos e a razo. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquerquantidade de termos de uma PA. Deduziremos a frmula da soma dos termosde uma progresso aritmtica usando a mesma idia que um menino de 10 anosteve no ano de 1787. Esse menino, que se tornou um dos maiores matemticosde todos os tempos, chamava-se Carl Friedrich Gauss, e uma pequena parte desua histria a que relatamos a seguir:

O menino Gauss era alemo e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos10 anos, freqentava a escola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, oprofessor mandou que os alunos somassem todos os nmeros de 1 a 100.Mas, para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quaseimediatamente: D 5.050.

Vamos mostrar como ele calculou de cabea a soma:

1 + 2 + 3 + .....+ 100

Primeiro vamos representar pos S essa soma.Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida,

somamos as duas, termo a termo.

S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100S =100 + 99 + 98 + .... + 3 + 2 + 1

2S=101 + 101 + 101 + .... + 101 + 101 + 101

Assim, duas vezes S igual soma de 100 parcelas, todas iguais a 101.Logo:

2S = 100 . 1012S = 10.100S = 5.050

No h dvida de que esse episdio da vida do menino Gauss nos mostrauma idia brilhante. Vamos aproveit-la para deduzir a frmula da soma dostermos de qualquer progresso aritmtica.

Um poucode Histria

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

34A U L AComo vimos na aula passada, podemos imaginar os termos de uma

progresso aritmtica como os degraus de uma escada. Veja uma de setedegraus, por exemplo:

Agora, como faremos para calcular a soma das alturas de todos os degraus?Podemos usar a idia do menino Gauss. Vamos considerar duas escadas

iguais e encaixar uma na outra, como mostra o desenho a seguir:

Observando o desenho, vemos que a1+ a7 igual a a2 + a6 que iguala a3 + a5 e assim por diante. Temos ento:

S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7

S = a 7 + a 6 + a 5 + a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Somando as duas igualdades, obtemos, do lado esquerdo, 2S e, do ladodireito, 7 vezes a1+ a7. Logo:

2S = (a1 + a7 ) 7

Nossa aula

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

a1a2a3a4a5a6a7

S = (a + a ) . 72

1 7



34A U L A O raciocnio utilizado para obter a soma dos 7 termos da progresso que nos

serviu de exemplo pode ser aplicado a qualquer outra. Portanto, se umaprogresso tiver n termos, a soma de todos eles ser:

Nessa frmula, bom lembrar que:

a1 o primeiro termo,

an o ltimo termo,

n o nmero de termos.

EXEMPLO 1

Calcule a soma dos 30 primeiros nmeros mpares.Soluo: Os nmeros mpares so:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Eles formam uma progresso aritmtica de razo 2.Para calcular o trigsimo (30) termo dessa progresso, precisamos usar afrmula an = a1+ (n - 1)R que aprendemos na aula passada. Substituindoento n por 30, obtemos:

a30 = a1 + (30 - 1)R

a30 = 1 + 29 . 2

a30 = 59

Vamos usar a frmula da soma dos termos de uma progresso aritmtica,fazendo tambm n = 30:

Substituindo os valores do primeiro e do ltimo termo, temos:

Conclumos ento que a soma dos 30 primeiros nmeros mpares :

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .. . . . + 59 = 900

S = (a + a ) . n2

1 n

S = (a + a ) . 302

1 30

S = (1 + 59) . 30 60 . 302 2

= = 900



34A U L AEXEMPLO 2

No Exemplo 3 da aula passada, vimos que Joo ganhava R$ 70,00 em janeirode certo ano e passou a receber um aumento de R$ 4,00 todos os meses.Desejamos saber agora qual foi o total que ele recebeu em dois anos detrabalho, ou seja, at dezembro do ano seguinte.

Soluo: Ns vimos que o salrio de Joo forma uma progressoaritmtica de razo 4. O primeiro termo 70 e o vigsimo quarto(24) termo foi calculado.

a1 a2 a3 ................ a24

70 74 78 ................ 162

Vamos agora somar todos esses valores usando a frmula da soma dostermos de uma progresso aritmtica. Com 24 parcelas, a frmula ficaassim:

Substituindo os valores do primeiro termo e do ltimo, temos:

Conclumos que Joo ganhou, ao longo dos dois anos, um total de R$ 2.784,00.

A progresso aritmtica na mquina de calcular

Hoje em dia, todos ns usamos uma mquina simples para facilitar nossosclculos: a mquina de calcular. Alm de realizar as quatro operaes(soma, subtrao, multiplicao e diviso), a mquina calcula raiz quadrada etem memria.

OFF ONC%MMR

-M+ /+

-

7 8 9

5 64

1 2 3

x

-

0

OFF

S = (a + a ) . 242

1 24

S = (70 + 162) . 242

= 2.784



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A maioria dessas calculadoras capaz de mostrar, com muita facilidade, ostermos de uma progresso aritmtica qualquer. Como exemplo, consideremosa progresso aritmtica de razo R = 7, comeando em a1 = 9. Para visualizarquantos termos voc quiser, digite:

A primeira vez que voc apertar a tecla = o visor mostrar 16, que osegundo termo da progresso. Continuando a apertar a tecla = diversasvezes, o visor mostrar os termos seguintes da progresso: 23, 30, 37, 44 etc.

A mquina de calcular tambm soma os termos de uma progressoaritmtica. Se no forem muitos os termos que precisamos somar, o uso dacalculadora bastante eficiente. Vamos mostrar ento como obter a soma dos 5primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo 15,86 e cuja razo 0,17.

Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemosapenas, aps cada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz comque os termos da progresso sejam acumulados na memria da calculadora.Depois que voc apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a somados 5 termos da progresso aparecer no visor.

O esquema da operao que vamos fazer o seguinte:

Iniciando com a1 = 15,86 e com R = 0,17, e procedendo como indicamosacima, encontraremos, para a soma dos 5 termos da progresso, o valor 81.

Exerccio 1Dada a progresso: 5, 16, 27, 38, .........., calcule:

a) o vigsimo (20) termo;

b) a soma dos 20 primeiros termos.

Exerccio 2Calcule a soma de todos os nmeros mpares de dois algarismos.

Sugesto: Os nmeros mpares de dois algarismos formam a progresso 11,13, 15, 17, ....., 99. preciso saber quantos termos ela possui. Para isso,ultilize a frmula do termo geral: an = a1 + (n ----- 1) R, com a1 = 11 e an = 99.O valor de n que voc encontrar o nmero de termos da progresso.Ultilize ento a frmula da soma.

Exerccio 3Calcule a soma dos 25 primeiros termos da PA:100, 94, 88, 82, .....

a1 M+ + R = M+ = M+ = M+ = M+ MR

9 + 7 = = = = =

Exerccios

...



34A U L AExerccio 4

Um corredor planejou seu treinamento da seguinte forma: pretendecorrer 5 km no primeiro dia e depois ir aumentando a distncia em500 m todos os dias.

a) Quanto ele estar correndo no trigsimo (30) dia do treinamento?

b) Nesses 30 dias, qual foi a distncia total que ele percorreu?

Sugesto: Construa uma PA da seguinte forma a1 = 5 km, a2 = 5,5 km etc.Calcule a30 pela frmula do termo geral e depois some todos os termos.

Exerccio 5Qual a soma de todos os mltiplos de 5 que possuem trs algarismos?

Exerccio 6Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras.A torneira est a 15 m da primeira roseira e o espao entre as roseiras de 1m.

O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega aprimeira roseira, volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assimpor diante. Aps regar a dcima oitava (18) roseira ele retorna para deixaro balde junto torneira. Qual foi a distncia total percorida pelo jardineiro?

15 m

1 m1 m

1 m1 m

1 m



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