aula 3 - espaços amostrais; eventos e técnicas de contagem

Cássius Henrique

Aula 3

Espaços amostrais

Eventos e Técnicas de Contagem

CEA 012 – Probabilidade

Espaços amostrais; Eventos e Técnicas de Contagem

Cássius Henrique Xavier Oliveira

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas

2015

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RELEMBRANDO...

O que é um experimento aleatório? Onde podem ser encontrados na Engenharia?

Qual a diferença entre os experimentos aleatórios e o fenômenos determinísticos?

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Espaços Amostrais

Para cada experimento probabilístico E, definiremos como espaço amostrar S o conjunto de todos os possíveis resultados de E.

Considere os seguintes experimentos aleatórios Ei e seus respectivos espaços amostrais Si

E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior.

S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido.

S2 = {0, 1, 2, 3, 4}

E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas.

S3 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk}

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L1.2. Exercício 1

Apresente o espaço amostral dos experimentos aleatórios abaixo:

E5: Uma máquina nova é instalada em uma linha produtiva e observa-se o tempo gasto até ela falhar.

E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.

E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.

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L1.2. Exercício 1 – Respostas

Apresente o espaço amostral dos experimentos aleatórios abaixo:

E5: Uma máquina nova é instalada em uma linha produtiva e observa-se o tempo gasto até ela falhar.

S5 = {t / t 0}

E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.

S6 = {1, 2, 3, 4, 5,...}

E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.

S7 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

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Espaços Amostrais

O espaço amostral não precisa ser um número;

O espaço amostral pode ser

Finito

Infinito numerável

Infinito não-numerável

Ela ainda pode ser classificado em:

Discreto

Contínuo

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Eventos

Um evento A é um subconjunto do espaço amostral E:

Logo, um evento é simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Qualquer resultado individual também pode ser tomado como um evento.

Tipos de eventos:

Evento Elementar

Evento Complementar

Eventos Mutuamente Exclusivos

EA

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Evento Elementar

Seja o espaço amostral , um evento é dito elementar se é formado por apenas um elemento (subconjunto unitário de S).

Matematicamente: , com

A união de todos os eventos elementares resulta no espaço amostral:

Exemplo: no lançamento de um dado, há 6 eventos elementares:

A1 = {1}, A2 = {2}, ..., A6 = {6}

nS ,...,, 21

iA ni ,...,3,2,1

SAn

i

i

1

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Evento Complementar

Denotado por ou , em que , em que .

cA A AxeUxxA | SAA

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Eventos Mutuamente Exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos correspondem a conjuntos disjuntos de resultados possíveis.

Conjuntos disjuntos são aqueles com interseção vazia.

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Leis de De Morgan

O evento de que nenhum dos Ai’s ocorre é igual ao complementar do evento de que pelo menos um dos Ai’s ocorre.

O complementar de que todos os Ai’s ocorrem é exatamente o evento de que ao menos um deles não ocorre.

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Contextualização

Contextualize as leis de De Morgan? Elas fazem sentido?

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Operações com Eventos – Quadro resumo

União e interseção de eventos (A ou B, A e B); A e B disjuntos; Complementar de A

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Quantificando os eventos...

Dado um experimento aleatório E, cujo espaço amostral S possui n elementos, a quantidade de eventos A será dada por

n(E) = 2n

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Partição de um Espaço Amostral

Definição: Os eventos A1, A2,... , formam uma partição do espaço amostral se:

para i = 1, 2,... n:

para (ou seja são eventos mutuamente exclusivos)

Uma partição de um espaço amostral S é um coleção de subconjuntos não-vazios e mutuamente excludentes de S, cujas uniões são iguais a S.

ØiA

Ø ji AA ji

SAn

i

i

1

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Técnicas de Contagem: Combinatória

Técnicas de contagem → determinar o número de elementos de um conjunto ou o número de resultados possíveis de um experimento.

Princípio Multiplicativo

Princípio Aditivo para Partes Disjuntas

Permutações

Arranjos

Combinações

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Princípio Multiplicativo

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Princípio Aditivo para Partes Disjuntas

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Permutação Simples

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Arranjo Simples

!!

,kn

nA kn

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Combinação Simples

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Fazendo Amostras...

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Nivelamento

Quais são os critérios para identificar a técnica mais adequada de contagem para determinado experimento?

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L1.2. Exercício 2

(UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?

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L1.2. Exercício 3

(CESGRANRIO, 2013) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?

a) 13

b) 14

c) 16

d) 17

e) 18

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L1.2. Exercício 4

(CESGRANRIO – PETROBRAS, 2012) Certa empresa identifica as diferentes peças que produz, utilizando códigos numéricos compostos de 5 dígitos, mantendo, sempre, o seguinte padrão: os dois últimos dígitos de cada código são iguais entre si, mas diferentes dos demais. Por exemplo, o código “03344” é válido, já o código “34544”, não.

Quantos códigos diferentes podem ser criados?

a) 3312

b) 4608

c) 5040

d) 7000

e) 7290

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L1.2. Exercício 5

(FUVEST) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, ..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena) números sorteados.

Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os 38.700 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena:

a) Quantas apostas premiadas com a quina esse apostador conseguiu?

b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu?

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Gabarito

2. 168

3. (c)

4. (e)

5. a) 84; b) 1365

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Sugestão para a próxima aula...

Estudar as páginas 15 a 22 (itens 1.1 a 1.3) da referência abaixo:

DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo.

Estudar os itens 2.1.1 a 2.1.4 da referência abaixo:

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.

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