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Aula 14 - Ondas de Matéria

Física 4Ref. Halliday – Volume4

Profa. Keli F. Seidel

SumárioO Efeito Túnel

Capítulo 39 – Mais sobre ondas de matéria

IntroduçãoOndas em Cordas e Ondas de MatériaEnergia de um Elétron ConfinadoFunções de Onda de um Elétron Confinado


O Efeito Túnel


Já sabemos que ... Energia Potencial Clássica: Sendo UB a energia potencial no alto da

montanha (da barreira) e E a energia inicial de um carro (desprezar atrito), temos: Se E > UB o carro chega do outro lado;Se E < UB o carro para de subir antes de atingir um determinado

ponto (antes do ponto mais alto) e volta para a esquerda;

UBv

Dizemos que a montanha comporta-se como uma barreira de potencial (ou barreira de energia potencial)

O Efeito Túnel


Efeito Túnel ou Efeito de TunelamentoAnálise do ponto de vista da Física Quântica

Situação - Supomos um elétron que se move num fio ideal de espessura insignificante (elétron não é relativístico)

V=0 V=0Vb < 0

x=0 x=L

x

Na região entre x=0 e x=L há um potencial elétrico Vb negativo, onde Ub= qVb. Ub é a energia potencial de barreira!

e-

O Efeito Túnel


Análise do ponto de vista da Física Quântica Situação - Supomos um elétron que se move num fio ideal de

espessura insignificante (elétron não é relativístico)

V=0 V=0Vb < 0

x=0 x=L

x

Na região entre x=0 e x=L há um potencial elétrico Vb negativo, onde Ub= + qVb.Lembre-se, esse fio é contínuo e ideal. As divisões na figura são apenas para ilustrar a região onde há uma energia potencial de barreira diferente de zero!

e-

O Efeito Túnel


Assim (do ponto de vista da Física Quântica):Se E > UB o elétron passa através da barreira e atinge o ponto da

direita em x=L. Mesmo resultado da Física Clássica; Se E < UB , o que acontece???

V=0 V=0Vb < 0

x=0 x=L

x

Na região entre x=0 e x=L há um potencial elétrico Vb negativo, onde Ub= + qVb.

e-

O Efeito Túnel


Assim:Se E > UB o elétron passa pela barreira e atinge o ponto da direita em

x=L; Se E < UB , existe uma probabilidade finita de atravessar a barreira e

aparecer do outro lado (elétron – onda de matéria). Assim o elétron move-se como se não existisse essa barreira na região entre 0 x L.

V=0 V=0Vb < 0

x=0 x=L

x

Esse fenômeno é chamado de EFEITO TÚNEL (Tunelamento).

e-

O Efeito Túnel


Como descrever matematicamente esta situação???

Podemos obter a função de onda (x) que descreve o movimento do elétron resolvendo separadamente a equação de Schrödinger nas três regiões: x=0, 0< x <L e x=L;

As constantes arbitrárias que aparecem na solução devem ser escolhidas de tal forma que a função de onda (x) e sua derivada primeira em relação a x sejam contínuas em x=0 e x=L.

O Efeito Túnel


Análise gráfica deste resultado (||2 versus x)

Se x < 0, a curva periódica à esquerda da barreira, é a combinação da onda de matéria incidente e onda refletida (que tem uma amplitude menor que a incidente);

Se 0 < x < L, a densidade de probabilidade decai exponencialmente; Se x > L, ||2 tem um valor pequeno e constante;

O Efeito Túnel


Podemos representar matematicamente esses resultados através do coeficiente de transmissão (T), de uma barreira como a da figura abaixo;

**A exponencial depende (ou seja, o fenômeno de tunelamento depende) de L, m e (Ub -E);

e-

Ub

E

xL0

O Efeito Túnel


Aplicações

Diodo túnel, no qual se faz variar uma corrente de elétrons controlando a altura de barreira (veremos isso no capítulo sobre “condução elétrica nos sólidos);

Microscópio de Tunelamento; A imagem de uma determinada superfície é formada pela reconstrução feita por um

computador que ajusta em tempo real a altura da ponta (no microscópio) para manter uma corrente de tunelamento constante entre esta ponta e a amostra. Assim, um software grava esta altura, o que permite reconstruir a superfície.

(veja ilustração: https://www.youtube.com/watch?v=wNEqRq6NyUw) Na ilustração deste vídeo a construção da imagem é feita pela variação da corrente de tunelamento e a ponta do microscópio nãose movimenta.

https://www.youtube.com/watch?v=wNEqRq6NyUw

O Efeito Túnel


Microscópio de Tunelamento; (veja ilustração: https://www.youtube.com/watch?v=wNEqRq6NyUw)

Diminuindo a Escala para analisar

O Efeito Túnel


Microscópio de Tunelamento; (veja ilustração: https://www.youtube.com/watch?v=wNEqRq6NyUw)

Ilustração da formação da imagem

O Efeito Túnel


Microscópio de Tunelamento;

http://www.nature.com/ncomms/2013/131205/ncomms3904/fig_tab/ncomms3904_F3.html

(a) STM image (12 × 12 nm2) of TMA−Fe network on Au(111). (b) High-resolution (3.75 × 3.75 nm2) STM image of TMA−Fe with the model superposed. (c) STM image (8 × 8 nm2) of PBP−Fe network on Au(111). (d) High-resolution (3.5 × 3.5 nm2) STM image of PBP−Fe with the model superposed. (e) Large-scale (74 × 74 nm2) STM image of PBP−Fe after EC experiments. (f) Zoom of e: 8 × 8 nm2 STM image of PBP−Fe after EC experiments. Colour legend: N (green), C (black), O (red), H (white). H is omitted in PBP scheme.

O Efeito Túnel


Exemplo 38-7 (Halliday)Um elétron com uma energia E de 5,1 eV, incide em uma barreira de altura Ub = 6,8 eV e largura L=750 pm.a)Qual é a probabilidade aproximada de que o elétron atravesse a

barreira?b)Qual é a probabilidade aproximada de que um próton com a mesma

energia de 5,1 eV consiga atravessar a barreira?

Capítulo 39 – Mais sobre Ondas de Matéria


Introdução


Ainda no início do século XX ninguém sabia qual era a disposição dos elétrons nos átomos, como os átomos emitiam e absorviam luz ou mesmo porque os átomos eram estáveis;

Essas informações eram essenciais para compreender porque átomos poderiam se combinar para formar moléculas;

A partir de 1926 essas dúvidas começaram a ser respondidas pela Mecânica Quântica;

Mecânica Quântica x Mecânica Newtoniana

Vamos compreender porque os elétrons de um átomo se movimentam em órbitas muito bem definidas quanto à distância e energia em relação ao núcleo!

Ondas em cordas e Ondas de Matéria


Vamos fazer uma analogia entre “ondas em uma corda” e “ondas de matéria”;

Neste caso, essa analogia é completamente válida, como será visto com mais detalhes a frente!

Em “Física 2”, aprendemos que:Se temos uma corda infinita – podemos gerar uma onda progressiva;Se temos uma corda finita (presa nas duas extremidades) – podemos

apenas gerar ondas estacionárias com apenas certas frequências. Assim, confinar uma onda a uma região finita leva à quantização do movimento (estados discretos para a onda e com frequências bem definidas);

Essa descrição se aplica a todos os tipos de ondas!!!



Em “Física 2”, aprendemos que:Se temos uma corda finita (presa nas duas extremidades) – podemos

apenas gerar ondas estacionárias com apenas certas frequências. Assim, confinar uma onda a uma região finita leva à quantização do movimento (estados discretos para a onda e com frequências bem definidas);

Ondas numa corda!



Vamos focar a análise para ondas de matéria associadas ao elétron;

Nesta comparações, temos que:Partícula livre – equivalente a corda infinitaOnda de Matéria associada a um elétron atômico (por ex.: elétron de

valência) – equivalente a corda finita;

O confinamento de uma onda leva a quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas!

Como confinar uma onda de matéria?

A Energia de um Elétron Confinado


Armadilhas unidimensionaisSituação: análise de uma onda de matéria associada a um elétron não

relativístico confinado numa certa região do espaço. Em analogia à corda finita – as extremidades da corda presa são nós

(pontos imóveis) e podem haver outros nós em outros pontos da corda;

Os estados (modos) permitidos de oscilação da corda são aqueles para os quais o comprimento L da corda é igual a um número inteiro multiplicado por semi-inteiros do comprimento de onda:

onde n identifica cada estado diferente de oscilação da corda.

Relembrando de Física 2



Armadilhas unidimensionaisSituação: análise de uma onda de matéria associada a um elétron não

relativístico confinado numa certa região do espaço.

Para à Física Clássica, n identifica cada estado diferente de oscilação da corda.

Na linguagem da Física Quântica, o número inteiro n é um número quântico (principal)!

Para cada estado permitido (n), o deslocamento transversal em um ponto x da corda é dado por:



Adaptando esta analogia à onda de matéria...

A figura abaixo é uma possível armadilha unidimensional para elétrons (idealizada)

Assim, é possível confinar uma onda de matéria!

V - V =0

x=0 x=L

x

V -

L



Representação da energia potencial do elétron devido a armadilha representada no slide anterior

Dentro do poço Ub = -eV = 0 (pois, V=0 nesta região)Em x=0 e x=L, Ub = -eV +(pois, V→- nesta região)

x=0 x=Lx

Ub

Poço de Energia Potencial Infinitamente profundo, ou simplesmente, POÇO DE POTENCIAL INFINITO

(unidimensional)



Relacionando a equação

para a onda de matéria, ou seja, interpretando como o comprimento de onda de “de Broglie” do elétron.

Como encontrar a energia quantizada relacionada à este sistema???

= h/p = h/(mv), onde K=1/2 mv2;K=E=energia do sistema



Relacionando a equação

a onda de matéria, ou seja, interpretando como o comprimento de onda de “de Broglie” do elétron... Assim, os níveis de energia permitidos são dados por:



SituaçãoVamos demonstrar os cinco primeiros valores

de energia permitidos para um elétron num poço de potencial infinito com L=100 pm (dimensões típicas de um átomo);

Esses valores são chamados de níveis de energia e são representados por linhas horizontais em um diagrama de níveis de energia

Para n=1, E1= Estado Fundamental de e - =

estado quântico de menor energia Para n 2, estados excitados do e

- .



MUDANÇA S DE NÍVEIS DE ENERGIA

Um elétron confinado tende a ocupar o estado de menor energia possível (estado fundamental);

Só pode passar para um estado excitado se receber energia de uma fonte externa igual ou maior a diferença de energia entre os dois estados:

Quando o elétron recebe energia e muda de estado energético, dizemos que ele executou um salto quântico, ou sofreu uma transição, ou ainda que o elétron foi excitado de um estado de menor energia para um de maior energia.



Figura: transições de níveis de energia possíveis



Uma maneira de um elétron receber energia suficiente para executar a transição é absorvendo um fóton;

Para que o elétron confinado absorva um fóton é preciso que a energia hf do fóton seja igual (ou maior) a diferença de energia E entre a energia do estado inicial do elétron e a energia do outro estado permitido.

Assim, o elétron confinado também pode emitir um fóton!

Eq. aplicada tanto para a absorção quanto para

a emissão do fóton!



Figura: um exemplo deste tipo de análise. Diferença entre fluorescência e fosforescência.

Figura retirada de: http://www.umich.edu/~protein/AP/rtp.html



Exemplo 39-1Um elétron é confinado a um poço de potencial unidimensional infinitamente profundo de largura L=100 pm.a)Qual é a menor energia possível do elétron?b)Qual é a energia de deve ser fornecida ao elétron para que executem um

salto quântico do estado fundamental para o segundo estado excitado?c)Se o elétron executa o salto quântico do item (b) após absorver a luz,

qual é o comprimento de onda dessa luz?d)Depois que o elétron salta para o segundo estado excitado, que

comprimentos de onda pode emitir ao voltar ao estado fundamental?



Exemplo 39-1 (...continuação)d) Depois que o elétron salta para o segundo estado excitado, que comprimentos de onda pode emitir ao voltar ao estado fundamental?

Funções de Onda de um Elétron Confinado


Se resolvermos a equação de Schrödinger para um elétron confinado em um poço potencial unidimensional infinito de largura L, descobrimos que as funções de onda do elétron são dadas por:

Válido para 0 x L.

...para outros valores de x (ou seja, para fora da armadilha) a função de onda é nula!

Lembrando que para uma onda numa corda (visto em Física2), temos:



Como já vimos ...Lembre-se que não podemos observar uma onda de matéria da mesma

forma que observamos uma onda numa corda;

No caso do elétron (onda de matéria), podemos constatar a presença ou ausência do elétron com o auxílio de um detector de elétrons;

Se repetirmos várias vezes essa medida de detecção em vários pontos, descobrimos a probabilidade de detecção depende da posição x do detector;

Tal probabilidade é dada pela função de densidade de probabilidade!



A função de densidade de probabilidade, é dada por:

Assim, a funções de Onda de um Elétron Confinado é dada por:

FIGURA: Gráfico

Probabilidade

densidade de probabilidade (num poço de potencial infinito)




A função de densidade de probabilidade, é dada por:

Quando n se torna um valor muito grande, esse resultado se aproxima do resultado da Física Clássica.

Como visto nos gráficos do slide anterior, quando n é muito grande, as possíveis posições onde o elétron (partícula) pode ser encontrado é muito

maior;

Um Elétron em um Poço Finito


No caso anterior do poço de potencial infinito, Ub +

Agora, para o Poço de Potencial Finito, vamos supor uma altura de barreira com um valor U0, conhecido como profundidade do poço;

Vamos nos limitar a monstrar os resultados numéricos particulares de U0 e L (resultados de uma função de onda que descreve os estados quânticos de um elétron no Poço de Potencial Finito, partindo da equação de Schrödinger)

Neste caso não podemos mais garantir que a onda de matéria se anula em x=0 e x=L.



Situação:U0 =450 eV;L = 100 pm;

Como temos um poço de potencial FINITO, não podemos mais garantir que o elétron fique preso à armadilha;

FIGURA →

Mas de que forma este elétron pode escapar desta armadilha?




Como temos um poço de potencial FINITO, não podemos mais garantir que o elétron fique preso à armadilha;




A solução nos diz que:- Neste caso, o e

- pode possuir apenas energias correspondentes aos estados n=1, 2, 3 e 4;

Quando a energia do elétron é 450 eV ou mais, ele deixa de estar confinado e pode ter qualquer energia (não quantizado)!

FIGURA




A solução nos diz que:- Neste caso, o e- pode possuir apenas energias correspondentes aos estados n=1, 2, 3 e 4;

Quando a energia do elétron é 450 eV ou mais, ele deixa de estar confinado e pode ter qualquer energia (não quantizado)!



Exemplo 39-4 (Halliday)Um elétron está confinado no estado fundamental de um poço finito com U0= 450 eV e L=100 pm. a)Qual é o maior comprimento de onda de luz capaz de liberar o elétron do

poço de potencial por absorção de um único fóton?b)O elétron, que se encontra inicialmente no estado fundamental, pode

absorver luz com um comprimento de onda =2,00 nm? Se a resposta for afirmativa, qual é a energia do elétron após a absorção?


sequência: O Modelo de Bohr do Átomo de Hidrogênio

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