x

r

T1, A1

T2 < T1 A2 > A1

Aula 1 Prob. 1.1 - Considere uma placa plana infinita de espessura 2L com uma distribuição inicial de temperaturas como mostra a figura:

isto é, na parte central entre –nL e +nL a temperatura inicial é T0 e entre L e nL, tal como entre –L e –nL a temperatura inicial é TA, igual à temperatura ambiente. O coeficiente de transmissão de calor à superfície é h. Pretende-se saber a evolução da temperatura da placa ao longo do tempo no interior da placa.

a) Equacione completamente o problema de forma a ser possível a sua resolução. b) Esboce num gráfico (T,x) as distribuições de temperatura para a situação final (t ∞) e

para um instante intermédio (0<t<∞). c) Esboce num gráfico (T,t) a evolução da temperatura no plano médio da placa e na sua

superfície. Prob. 1.2 – Considere a transferência de calor através de uma secção de 1 m2 de uma parede de um forno com espessura L=0,2 m cuja superfície interior se encontra a 600ºC e a superfície exterior a 100ºC. A condutibilidade térmica do material da placa é igual a 1 W/mºC.

a) Calcule a taxa de transferência de calor através da parede. b) Calcule a espessura necessária da parede para que a perda de calor seja 1 kW/m2. c) Qual a temperatura exterior do ar, quando se tem convecção natural com um

coeficiente de convecção h=20 W/m2 ºC, para que se garanta um escoamento de calor igual a 1 kW/m2. Esquematize graficamente a distribuição de T.

Prob. 1.3 - Um tronco de cone, maciço, serve de suporte de um sistema que mantém a base superior do tronco à temperatura T1, enquanto a base inferior do cone está à temperatura T2 < T1. A condutibilidade térmica do sólido depende da temperatura de acordo com a relação k= k0-aT onde a é uma constante positiva e a face lateral do tronco de cone está bem isolada. Indique como variam ao longo da coordenada x (aumentam, diminuem ou mantêm-se) as grandezas seguintes:

a) Taxa de transferência de calor qx. b) Fluxo de calor q”x. c) Condutibilidade térmica. d) Gradiente de temperatura dT/dx.

Prob. 1.4 - Determine a distribuição de temperatura numa placa com espessura L considerando que a condutividade varia com a temperatura nas condições seguintes:

i) k=constante, ii) k proporcional a T, iii) k inversamente proporcional a T.

2L

2nL

x-x 0

T0

TA

T

Prob. 1.5 - Numa barra cilíndrica de combustível de um reactor nuclear, com diâmetro 50 mm, ocorre geração interna uniforme de calor à taxa q& = 5 x 107 W/m3. Em regime permanente, a distribuição de temperatura é da forma T(r)= a + b r2, onde T é a temperatura em graus Ce1sius e r é a coordenada radial em metro com a=800ºC e b=-4,167x105 ºC/m2. As propriedades do combustível da barra são k= 30 W/m K, ρ= 1100 kg/m3 e cp = 800 J/kg K.

a) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento da barra no centro da barra (r=0) e na sua superfície (r=25mm) ?

b) Se o nível de potência do reactor for subitamente elevado para q& = 108 W/m3, qual é a taxa inicial da variação de temperatura com o tempo para r = 0 e r= 25 mm?

Aula 2 Prob 2.1 – A parede de um edifício é construída em tijolo como ilustrado na figura, revestida do lado interior por um painel em pinho com 15 mm de espessura (k = 0,15 W/m °C) e do lado exterior por argamassa com 3 mm de espessura (k =l,5 W /mºC). Determine o fluxo de calor através da parede, sabendo que a temperatura do lado de dentro é de 21ºC (h= 7,5 W/m2 °C) e do lado de fora - 5 °C (h= 35 W/m2 °C). A condutibilidade térmica do tijolo é de 0,6 W/mºC e os seus orifícios estão cheios de ar, dando-se nessa zona, transmissão de calor por convecção com um coeficiente entre as paredes de h=2 W/m2 ºC. Prob. 2.2 – Um tubo de aço, com paredes finas e diâmetro de 0,2 m é usado para transportar vapor de água saturado a 20 bar, num ambiente cuja temperatura do ar é de 25 ºC e o coeficiente de transmissão de calor por convecção, na face externa do tubo, é de 20 W/m2 ºC.

a) Qual a perda térmica por unidade de comprimento, do tubo sem isolamento? Qual a perda térmica por unidade de comprimento com uma camada de isolante (magnésia a 85%) com 50 mm de espessura ? O aço e a magnésia têm, aproximadamente, uma emissividade de 0,8 e a resistência térmica convectiva do lado do vapor pode ser desprezada.

b) Os custos associados à geração de vapor de água e à instalação do isolamento são 0,02 €/109 J e 0,5 €/m de comprimento de tubo, respectivamente. Se a linha de vapor operar 7500 h/ano, quantos anos de operação são necessários para o retorno do investimento inicial no isolante?

Prob. 2.3 – Um fio de cobre de 1 mm de diâmetro está uniformemente isolado por um material plástico de tal modo que o diâmetro exterior é de 3 mm.

a) Estando o condutor mergulhado num ambiente a 20ºC onde h=8,5 W/m2K, qual é a corrente eléctrica máxima que, em regime estacionário, pode percorrer o fio sem que se ultrapassa no plástico 90ºC e no cobre 200ºC. (kCobre=380 W/mK, kPlástico=0,35 W/mK, Relec=5,1 x 105 Ωcm)

b) Se se manter a mesma distribuição de temperaturas no fio de cobre e no fluido ambiente, qual será o raio do isolante que permitirá trocar maior quantidade de calor ?

20

80

80

20

20

20 20 20 40 40

Aula 3 Prob 3.1- Um elemento de combustível de um reactor nuclear é constituído por uma esfera A (de raio RA) de um material capaz de reagir por fissão nuclear. Uma camada protectora de um material B (de raio exterior RB) envolve a esfera A. O fluido que rodeia o conjunto destina-se a arrefecê-lo e está a uma temperatura Tf, sendo h o coeficiente de transmissão de ca1or superficia1. A variação de energia nuclear gerada internamente na esfera A pode ser aproximada pela equação:

−=

2

A0 R

r1qq && para 0 < r < RA

onde 0q& é a energia gerada no centro da esfera [W/m3]. Os materiais que constituem o sistema são homogéneos.

a) Determine a distribuição de temperaturas quando em regime estacionário. b) Estará o material B a actuar como isolante térmico? Justifique.

Dados: Tf =40 °C, h= 40 W /m2K, kA = 35 W/mK, kB = 0,6 W/mK, RA = 0,03 m, RB = 0,05 m Prob 3.2 - Considere uma instalação para determinar o coeficiente de transmissão de ca1or por convecção de um fluido a escoar-se no interior de um tubo. O tubo encontra-se perfeitamente isolado no exterior onde se mede a sua temperatura. Faz-se passar uma corrente eléctrica através do tubo, que gera calor por efeito de Joule.

a) Determine o coeficiente de convecção a partir dos resultados obtidos com um tubo de aço (k = 20W/mK) de 30 mm de diâmetro interior, 3 mm de espessura e l m de comprimento, que são indicados de seguida:

Temperatura da superfície exterior do tubo = 500 °C Temperatura de entrada do fluido = 100 °C Velocidade do fluido = 1 rn/s ρ cP do fluido 4 kJ/K Diferença de potencial 100 V Intensidade de corrente 200 Amp.

b) Se o calor em vez de ser gerado uniformemente no tubo for libertado na periferia deste qual seria a potência a gerar para manter a mesma temperatura no exterior do tubo. Comente as duas soluções.

Prob 3.3 - O anel mostrado na figura é feito de um fio cilíndrico fino de comprimento L, diâmetro D e condutibilidade térmica k. O coeficiente de transmissão de calor entre o anel e o ar ambiente vale h, Um ponto (x =0) no anel é aquecido internamente de tal forma que a sua temperatura (Tb) é mantida acima da temperatura ambiente (T∞). Determine:

a) A distribuição de temperaturas ao longo do anel. b) A temperatura no ponto diametralmente oposto a x =0. c) O fluxo de calor qb que deverá ser aplicado em x =0.

0

x

Qb, Tb X=L/2

h, T00

Aula 4 Prob 4.1 - Considere as paredes laterais de um motor mono-cilíndrico de dois tempos com a geometria indicada na figura. A sua camisa é em aço (k = 40 W/m K, ρ=7500 Kg/m3; cp=450 J/kg K) e as alhetas são em alumínio (k=200 W/mK) , estando o ar envolvente a 25ºC e sendo o coeficiente de transmissão de calor de superfície de 100 W/m2K.

a) Calcule a máxima potência térmica que pode ser dissipada através das paredes do cilindro de modo a não ultrapassar 270ºC no aço.

b) Se em vez de se usar alhetas triangulares se usasse alhetas rectangulares a potência que poderia dissipar, mantendo o limite térmico, seria maior ou menor? Justifique.

Prob 4.2 - Uma fita plástica é colada numa chapa metálica aquecendo-a através de radiação laser incidente sobre a fita conforme ilustrado na figura. A placa metálica tem espessura d = 1,25 mm sendo a largura W2 grande. A fita plástica tem a largura Wl = 40 mm sendo a espessura pequena e desprezável do ponto de vista de transferencia de calor. Na zona exterior a zona de colagem existe convecção natural com o ar ambiente sendo TAr= 25 °C e h = 20W/m2K. Na zona de colagem despreze a transferencia de calor por convecção e a energia absorvida pelo plástico e considere o fluxo de radiação qj = 10 kW /m2. As propriedades da chapa metálica são ρ = 7850 kg/m3, cp = 435 J/kg K e k = 60 W /mK. a) Apresente as equações que lhe permitem determinar a distribuição de temperatura da placa nas duas zonas e as respectivas condições fronteira. b) Calcu1e a temperatura máxima e mínima na zona de colagem.

Prob 4.3 – Considere um forno cúbico de lado H = 1m. O forno encontra-se completamente isolado com uma camada de lã de vidro (k = 0,035 W/mK) de espessura L = 0,15 m. Sabendo que a temperatura na superfície interna do isolamento é Th = 50ºC e na sua superfície externa é Tc = 20°C, calcule a quantidade de calor total que se perde através do isolamento. Aula 5 Prob. 5.1 – Considere uma barra de grandes dimensões de secção rectangular cujas dimensões são a segundo a direcção x e b segundo a direcção y. A condutibilidade térmica do material que constitui a barra é função da direcção de forma a que kx = 4 ky. Encontre uma expressão para T(x, y) na barra em regime estacionário sabendo que: T(0, y) = T1; T( a, y) = T1 ; T(x, 0) = T1; T(x, b) = T2 onde T1 e T2 são constantes.

w2

w1Fita metálica Fita plástica

d h, Too

h, Too

5

40

96

7 8

70510

Prob. 5.2 – Considere a barra de grandes dimensões de secção triangular representada na figura. Assumindo que a condutibilidade téffi1ica do material é constante, derive uma expressão para T(x, y) na barra em regime estacionário. Aula 6 Prob. 6.1 – O controle de um forno é accionado por um termómetro de mercúrio (ρcp= 1850 kJ/m3K, k=10 W/mK) com bolbo cilíndrico com 3 mm de raio, que apresenta um coeficiente de convecção com os gases de 57 W/mK. A temperatura do forno inicial é de 20ºC e aumenta à taxa de 300ºC/h, sendo a temperatura máxima admissível igual a 600 ºC.

a) Calcule a temperatura indicada pelo termómetro quando o forno atingir os 600ºC. b) Sabendo que o controle do queimador do forno corta o fornecimento de combustível

apenas quando o termómetro marca os 600 ºC, determine a temperatura máxima atingida no forno nesse instante.

Prob. 6.2 – Uma grande chapa de alumínio (liga 2024), com espessura de 0,15 m, está inicialmente na temperatura uniforme de 300 K e é colocada num forno cuja temperatura ambiente é 800 K, e que tem um coeficiente de transferência de calor por convecção estimado em 500 W /m2 K.

a) Determinar o tempo necessário para o plano mediano da chapa atingir 700 K. b) Qual é a temperatura superficial da chapa, nestas condições? c) Repetir os cálculos para uma chapa de aço inoxidável (tipo 304).

Prob. 6.3 – Para o arrefecimento de bilhas de rolamentos, com diâmetro D = 0,2 m e temperatura inicial Ti = 400º C, propõe-se a adopção de uma câmara de ar frio. O ar da câmara é mantido a -15ºC por um sistema de refrigeração e as bilhas passam pela câmara, com um comprimento de 5m, sobre uma correia transportadora. As condições operacionais óptimas requerem que 70% da energia térmica inicial, acima da energia térmica a -15ºC, contida em cada bilha, sejam removidos. É possível desprezar os efeitos radiativos na câmara, e o coeficiente de transferência convectiva de calor é de 1000 W/m2 K. Estimar o tempo de residência das bilhas na câmara e recomendar a velocidade da correia transportadora. Considere as propriedades para o aço: k =50W/m K, α = 2x10-5m2/s e cp = 450 J/kgK.

Correia Transportadora V

Ar frio

x

y

Isolado

a

a

0 T2

T1

Aula 7 Prob. 7.1 – Considere um bolo com forma semi-esférica (raio=2 cm) a ser cozido num forno (T=400ºC h=50 W/m2) de 1 metro de comprimento operado em continuo. O bolo entra no forno a 30ºC e considera-se cozido quando a sua temperatura mínima atingir os 120ºC. A temperatura máxima não deverá exceder os 200ºC para o bolo não "queimar" . Propriedades do bolo (k=2 W/mK, ρ=500 kg/m3, cp= 1000 J/kgK).

a) Calcule o intervalo admissível para a velocidade da correia transportadora dos bolos no interior do forno, considerando a correia isolada.

b) Qualitativamente indique como varia o intervalo de velocidades admissíveis: b1 - Se o coeficiente de convecção fosse aumentado b2 - Se a temperatura do ar no forno fosse aumentada

c) Indique qualitativamente como varia a temperatura no centro do bolo após este sair do forno e entrar em contacto com o ar, mas continuando com a sua base isolada.

d) Considerando o bolo a uma temperatura média de l50ºC após sair do forno e com a base isolada calcule o tempo a esperar para atingir 40ºC (TAr =20ºC; h =5 W/m2K).

Prob. 7.2 – Usando transformadas de Laplace, deduza a solução para a evolução transiente da temperatura numa placa plana infinita de espessura 2L que inicialmente se encontrava à temperatura Ti e cuja temperatura da superfície foi bruscamente alterada para o valor de Tw no instante de tempo t = 0. Aula 8 Prob. 8.1 – Um lingote de aço de dimensões 40 x 30 x 50 cm é aquecido a 1000ºC e depois temperado num banho de óleo cuja temperatura é de 80 °C. O valor do coeficiente de transmissão de calor de superfície no óleo é de 750 W/m2 ºC. As propriedades do aço são: ρ = 7850 kg/m3, cp= 465 J/kgºC, k=58 W/m °C.

a) Estime o tempo que decorre entre o instante em que a temperatura de 250 ºC aparece nas faces até aquele em que essa temperatura deixa de existir nas faces.

b) Esboce as isotérmicas nas faces 50 x 40 no instante em que a temperatura de 250 ºC deixa de aparecer nas faces.

c) Calcule o tempo necessário para reduzir a temperatura no centro do lingote a 450 ºC. Prob. 8.2 – Uma cidade em que em média as temperaturas máxima e mínima são de 30ºC (em 25 de Julho) e -10ºC (em 25 de Janeiro) tem uma parte da rede de abastecimento de água a uma profundidade de 0,7m. Considerando as propriedades do solo (k= 0,7 W/mK, α= 5,4x10-

7 m/s) e desprezando a perturbação causada pelo congelamento da humidade do solo, calcule: a) Em que dia é de esperar que a água congele nas tubagens referidas ? b) Por quanto tempo se espera que a água permaneça congelada ? c) A que profundidade é que a temperatura não desce abaixo de 0ºC? d) Qual é a profundidade onde a amplitude da oscilação térmica é 1% da superfície?