AULA 03: Momento de

forças

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

Faculdade de Engenharia Civil

Curso de Engenharia Civil

O momento de uma força é a medida da tendência que

tem a força de produzir giro em um corpo rígido. Este

giro pode se dar em torno de um ponto ou em torno de

um eixo.

𝑀 = Ԧ𝑟 x Ԧ𝐹 𝑀𝐴 = 𝐹. 𝑑

O vetor-momento é uma grandeza vetorial:

Momento resultante

Teorema de Varignon:

O momento de uma força em relação a qualquer ponto é igual a

soma dos momentos dos componentes desta força em relação

ao mesmo ponto

EXEMPLOS

EXEMPLOS

𝑢𝐵𝐴 =𝑑𝐵𝐴𝑑𝐵𝐴

=𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 Ԧ𝑖 + 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 Ԧ𝑗 + 𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 𝑘

𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 2 + 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 2 + 𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 2

Ԧ𝐹 = 𝐹. 𝑢𝐴𝐵

𝑀𝑜 = −348,9Ԧ𝑖 − 471Ԧ𝑗 + 418,65𝑘

Um binário são duas forças paralelas não colineares, que têm

mesma intensidade mas sentidos opostos.

Binário ou Conjugado

Sistema equivalente

Quando várias forças e momentos agem em conjunto sobre

um corpo, é mais fácil compreender o efeito resultante se o

sistema for representado por uma única força e um único

momento aplicados em um determinado ponto, gerando o

mesmo efeito externo.

EXEMPLO

Equilíbrio de um ponto

material

Equilíbrio de um ponto material no plano

Condição de equilíbrio de um ponto relacionada com a primeira

lei de Newton

equilibrio0F

0F0F

y

x

=

= =

Um ponto material se encontra em equilíbrio (estático) se a

resultante de forças que agem sobre ele for nula.

Diagrama de corpo livre (DCL)

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

escolher um ponto material conveniente

desenhar todas as forças que sobre ele atuam

Esquema simplificado onde se mostra apenas os vetores das

forças atuantes no corpo, com seus símbolos e valores, bem

como, as dimensões e ângulos necessários para a solução do

problema.

1) Definir um ponto (partícula) da estrutura sobre o qual atuam as forças a

serem determinadas. Neste ponto deverá ser colocada a origem do sistema

de eixos de coordenadas.

2) Desenhar o diagrama de corpo livre, substituindo as barras ou elementos

da estrutura e cargas pelos vetores dos esforços que estes elementos

exercem sobre a partícula. Alguns destes esforços são completamente

conhecidos, mas, outros são as incógnitas a serem determinadas. Seus

vetores são desenhados sempre saindo do nó de análise.

3) Escrever as equações de equilíbrio da Estática, respeitando a convenção

de sinal para cada equação e encontrar as incógnitas.

Roteiro para o DCL:

a) Calcule os valores dos cabos AP e PB para que o sistema

esteja em equilíbrio.

EXEMPLOS

PBPA

1000N

45º 30º

PBx

PAx

1000N

PBy

PAy

PBx

PAx

1000N

PBy

PAyPB

PA

1000N

45º 30º

0,707𝑃𝐵 − 0,867𝑃𝐴 = 0

𝑃𝐵 =0,867𝑃𝐴

0,707= 1,23𝑃𝐴

0,707𝑃𝐵 + 0,5𝑃𝐴 = 1000

0,707(1,23𝑃𝐴) + 0,5𝑃𝐴 = 1000

0,87𝑃𝐴 + 0,5𝑃𝐴 = 1000

1,37𝑃𝐴 = 1000

𝑃𝐴 = 729,93𝑁

𝑃𝐵 = 1,23𝑃𝐴 = 1,23.729,93 → 𝑃𝐵 = 897,81𝑁

Equilíbrio de um ponto material no espaço

𝐹 = 0 ⇒

𝐹𝑥 = 0

𝐹𝑦 = 0

𝐹𝑧 = 0

Um ponto material se encontra em equilíbrio (estático) se a

resultante de forças que agem sobre ele for nula.

Um caixote de 7500N é sustentado por três cabos. Determine a tração

em cada cabo

A (0; -1,2; 0)

B (-0,72; 0; -0,54)

C (0; 0; 0,64)

D (0,8; 0; -0,54)

EXEMPLOS

Diagrama de Corpo Livre

𝑊 = −7500. Ԧ𝑗

𝑢𝐴𝐵 =𝑑𝐴𝐵𝑑𝐴𝐵

= −0,48Ԧ𝑖 + 0,8Ԧ𝑗 − 0,36𝑘𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵. 𝑢𝐴𝐵

𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵 . 𝑢𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵 . −0,48Ԧ𝑖 + 0,8Ԧ𝑗 − 0,36𝑘 = −0,48𝑇𝐴𝐵 . Ԧ𝑖 + 0,8𝑇𝐴𝐵 . Ԧ𝑗 − 0,36𝑇𝐴𝐵 . 𝑘

𝑢𝐴𝐶 =𝑑𝐴𝐶𝑑𝐴𝐶

= 0,88Ԧ𝑗 + 0,47𝑘𝑇𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶 . 𝑢𝐴𝐶

𝑇𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶 . 𝑢𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶 . 0,88Ԧ𝑗 + 0,47𝑘 = 0,88𝑇𝐴𝐶 . Ԧ𝑗 + 0,47𝑇𝐴𝐶 . 𝑘

𝑢𝐴𝐷 =𝑑𝐴𝐷𝑑𝐴𝐷

= 0,52Ԧ𝑖 + 0,78Ԧ𝑗 − 0,35𝑘𝑇𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷. 𝑢𝐴𝐷

𝑇𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷. 𝑢𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷. 0,52Ԧ𝑖 + 0,78Ԧ𝑗 − 0,35𝑘 = 0,52𝑇𝐴𝐷. Ԧ𝑖 + 0,78𝑇𝐴𝐷. Ԧ𝑗 − 0,35𝑇𝐴𝐷. 𝑘

A (0;-1,2;0)

B (-0,72;0;-0,54)

C (0;0;0,64)

D (0,8;0;-0,54)

𝑊 = −7500. Ԧ𝑗

Equilíbrio de um sistema

de forças

Sistemas de forças

coplanares

Sistemas de forças

concorrentes

Sistemas de forças

paralelos

Equilíbrio de sistemas planos

Um corpo se encontra em equilíbrio quando não tem movimento

de translação nem movimento de rotação

𝑅 = 0

𝑀 = 0

Equilíbrio de sistemas espaciais

RAy

RAxRAz

FBDFBE

EXEMPLO

A (0;0;0)

B (0;3;0)

C (0;6;0)

D (1,5;0;-3)

E (1,5;0;3)

F (-3;0;2)

A (0;0;0)

B (0;3;0)

C (0;6;0)

D (1,5;0;-3)

E (1,5;0;3)

F (-3;0;2)

𝑢𝐶𝐹 =𝑑𝐶𝐹

𝑑𝐶𝐹=

−3 Ԧ𝑖− 6 Ԧ𝑖+ 2 𝑘

7= −0,429 Ԧ𝑖 − 0,857 Ԧ𝑗 + 0,286𝑘

Ԧ𝐹𝐶𝐹 = 455. −0,429 Ԧ𝑖 − 0,857 Ԧ𝑗 + 0,286𝑘 = −195 Ԧ𝑖 − 390 Ԧ𝑗 + 130𝑘

𝑢𝐵𝐸 =𝑑𝐵𝐸

𝑑𝐵𝐸=

1,5 Ԧ𝑖− 3 Ԧ𝑖+ 3 𝑘

4,5=0,333 Ԧ𝑖 − 0,667 Ԧ𝑗 + 0,667𝑘

Ԧ𝐹𝐵𝐸 = 𝐹𝐵𝐸 . (0,333 Ԧ𝑖 − 0,667 Ԧ𝑗 + 0,667𝑘)

𝑢𝐵𝐷 =𝑑𝐵𝐷

𝑑𝐵𝐷=

1,5 Ԧ𝑖− 3 Ԧ𝑖− 3 𝑘

4,5=0,333 Ԧ𝑖 − 0,667 Ԧ𝑗 − 0,667𝑘

Ԧ𝐹𝐵𝐷 = 𝐹𝐵𝐷. (0,333 Ԧ𝑖 − 0,667 Ԧ𝑗 − 0,667𝑘)

𝑅𝐴 = 𝑅𝐴𝑥 Ԧ𝑖 + 𝑅𝐴𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑅𝐴𝑧 𝑘

𝑟𝐴𝐵 = 3 Ԧ𝑗𝑟𝐴𝐶 = 6 Ԧ𝑗

σ𝑀𝐴 = 0 → σ 𝑟 × 𝐹 = 0

✓ Fazendo o momento em torno de A:

𝑟𝐴𝐵 × 𝐹𝐵𝐸 =𝑖 𝑗 𝑘0 3 0

0,333𝐹𝐵𝐸 −0,666𝐹𝐵𝐸 0,666𝐹𝐵𝐸

= 2𝐹𝐵𝐸Ԧ𝑖 + 2𝐹𝐵𝐸𝑘

𝑟𝐴𝐵 × 𝐹𝐵𝐷 =𝑖 𝑗 𝑘0 3 0

0,333𝐹𝐵𝐷 −0,666𝐹𝐵𝐷 −0,666𝐹𝐵𝐷

= −2𝐹𝐵𝐷Ԧ𝑖 + 2𝐹𝐵𝐷𝑘

𝑟𝐴𝐶 × 𝐹𝐶𝐹 =𝑖 𝑗 𝑘0 6 0195 −390 130

= 780Ԧ𝑖 + 1170𝑘

Equações de equilíbrio

A (0;0;0)

B (0;3;0)

C (0;6;0)

2𝐹𝐵𝐸 − 2𝐹𝐵𝐷 + 780 = 0

𝐹𝐵𝐸 + 𝐹𝐵𝐷 − 1170 = 0

Ԧ𝐹 = 0

Ԧ𝐹 = (𝑅𝐴𝑥 − 195 + 0,333𝐹𝐵𝐸+0,333𝐹𝐵𝐷)Ԧ𝑖 + 𝑅𝐴𝑦 − 390 − 0,667𝐹𝐵𝐸 − 0,667𝐹𝐵𝐷 Ԧ𝑗 +

+ 𝑅𝐴𝑧 + 130 + 0,667𝐹𝐵𝐸 − 0,667𝐹𝐵𝐷 𝑘 = 0

2𝐹𝐵𝐸 − 2𝐹𝐵𝐷 + 780 = 0

𝐹𝐵𝐸 + 𝐹𝐵𝐷 − 1170 = 0

𝐹𝐵𝐸 = 390𝑁

𝐹𝐵𝐷 = 780𝑁

✓ Calculando as reações de apoio igualando i, j e k iguais a zero:

𝑅𝐴𝑥 − 195 + 0,333𝐹𝐵𝐸 + 0,333𝐹𝐵𝐷 = 0 → 𝑅𝐴𝑥 = −195𝑁

𝑅𝐴𝑦 − 390 − 0,667𝐹𝐵𝐸 − 0,667𝐹𝐵𝐷 = 0 → 𝑅𝐴𝑦 = 1170𝑁

𝑅𝐴𝑧 + 130 + 0,667𝐹𝐵𝐸 − 0,667𝐹𝐵𝐷 = 0 → 𝑅𝐴𝑧 = 130𝑁

𝑅𝐴 = −195 Ԧ𝑖 + 1170 Ԧ𝑗 + 130 𝑘

1) Definir as coordenadas de cada ponto no espaço em função do eixo

cartesiano apresentado.

2) Desenhar o diagrama de corpo livre, substituindo as barras ou elementos

da estrutura e cargas pelos vetores dos esforços que estes elementos

exercem sobre a partícula. Alguns são completamente conhecidos, mas,

outros são as incógnitas a serem determinadas. Seus vetores são desenhados

sempre saindo do nó de análise.

3) Calcular o vetor cartesiano usando o vetor unitário direcional que vai ficar

em função das forças nos cabos que são desconhecidas.

Roteiro para o equilíbrio de sistemas espaciais:

𝑢𝐴𝐵 =𝑑𝐴𝐵𝑑𝐴𝐵

𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐵. 𝑢𝐴𝐵

4) Escolher o ponto para desenvolver a equação de momento. Normalmente se

define o ponto onde possui o apoio, a fim de eliminar as incógnitas das

reações.

5) Faça a multiplicação vetorial de r e F e faça o somatório dos momentos

para encontrar as forças nos cabos igualando a zero.

6) Para encontrar as reações de apoio faça o somatório de forças em cada

eixo e iguale a zero para respeitar o equilíbrio.

Roteiro para o equilíbrio de sistemas espaciais:

σ𝑀 = 0 → σ 𝑟 × 𝐹 = 0