aula 03 análise exploratória dos dados (medidas

Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

Aula 03

Análise Exploratória dos Dados

(Medidas Descritivas de Variáveis Quantitativas)

Parte 1 – Medidas de Tendência Central


Medidas de Tendência Central dos Dados

Para uma variável quantitativa, uma medida de centralidade

ou de posição é um “valor típico” ou representativo de um

conjunto de dados, em torno do qual se situam os valores

daquela variável.


Média

Mediana Quartil

Decil Percentil

Separatrizes Moda


Média Aritmética

Sejam x1, x2, ... , xn os n valores observados da variável X. A média

aritmética dos dados é definida por:

n

x

nxxxX

n

ii

n∑

==+++= 121 ...


Exemplo: Sejam os pesos ao nascer, em Kg, de 10 cordeiros da

raça Corriedale:

3,1 3,2 2,1 2,9 2,8 3,2 3,2 3,0 3,5 4,0

x = 2,12,82,93,03,13,23,23,23,54,010

= 3110

O peso médio é de 3,1 Kg


Propriedades da Média Aritmética

✔ É influenciada por valores extremos!

✔ Mais informativa no caso de distribuições aproximadamente simétricas.

✔ A soma de todos os desvios em relação à média é zero:

✔ A média corresponde ao ponto que minimiza a soma de quadrados dos desvios:

0)(1

=−∑=

n

ii xx

2

1)(∑

=

−n

ii xx


Sejam x(1), x(2), ... , x(n) os mesmos valores que compõem a amostra

dispostos em ordem crescente. A mediana dos dados é:

se n ímpar, valor da observação de posição central, ou seja

Md =

se n par, média dos valores de posição central, ou seja

+

21nx

+

+

2

122nn xx{

Mediana: Valor que determina a posição central de uma distribuição de dados,

tendo 50% deles a sua direita e 50% a sua esquerda.



raça Corriedale:

x

n2 x

n21

2=

x5x6

2=

O peso mediano é de 3,15 Kg

x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)

3,13,22

= 3,15 Kg

2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0


Propriedades da Mediana

✔ Não é influenciada por valores extremos, podendo ser utilizada

em distribuições assimétricas.

✔ Não admite tratamento algébrico, isto é, o conhecimento das

medianas de diversos conjuntos de dados não permite calcular a

mediana da reunião dos mesmos.


Moda

Valor da amostra que ocorre com maior freqüência. Em uma

distribuição de dados, a moda pode não existir e, quando existe, pode

não ser única. Logo, temos as seguintes classificações:

– Amodal – não existe valor dominante

– Unimodal – existe somente uma moda dominante

– Bimodal – existem dois valores dominantes

– Multimodal – existem mais de dois valores dominantes

✔ Não é influenciada por valores extremos.

✔ Não admite tratamento algébrico.



raça Corriedale:

O peso modal é de 3,2 Kg

2,1 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,2 3,2 3,5 4,0


Quartis, Decis e Percentis

O percentil de ordem k (onde k é qualquer valor entre 0 e 100),

denotado por Pk, é o valor tal que k% dos valores do conjunto de dados

são menores ou iguais a ele.

Assim, o percentil de ordem 10, o P10, é o valor da variável tal que

10% dos valores são menores ou iguais a ele.


Quartis, Decis e Percentis

De modo geral, para se obter o percentil de ordem k, denotado por

Pk, após ordenar os dados, calcula-se o valor .

Se L for inteiro, o valor do Pk é a média entre o L-ésimo e o (L+1)-ésimo

valores a contar do menor.

Se L não for inteiro, arredonde L para o maior inteiro mais próximo, e

o valor de Pk será o L-ésimo valor a contar do menor.

L= k100

n


Exemplo:Considere os pesos, em Kg, de 40 borregas e ovelhas de cria da raça

Hampshire Down, já colocados em ordem crescente:

40 41 42 42 44 47 48 48 49 49 51 52 53 58 59 62 63 64 65 66

67 68 69 70 75 76 83 83 85 86 86 87 87 88 92 93 94 95 97 98

Primeiro Quartil:

25% de 40 = 10.

Então o Q1 = média(10o e 11o valores)=(49+51)/2 = 50 Kg.

Terceiro Quartil:

75% de 40 = 30.

Então o Q3 = média(30o e 31o valores)=(86+86)/2 = 86 Kg.


Medidas que Descrevem o Formato

Descrevem como os dados estão distribuídos

Medidas de assimetria

Medidas de curtose


Assimetria

Assimetria significa desvio ou afastamento da simetria.

É o grau de deformação de uma curva de freqüências.

6,25%

25%

37,5%

25%

6,25%

0

6

12

18

24

30

36

42

40 70 100 130 160Valores da variável em estudo

%


Assimétrica à DireitaAssimétrica à DireitaAssimétrica à EsquerdaAssimétrica à Esquerda SimétricaSimétrica

MédiaMédia = = MedianaMediana = = ModaModaMédiaMédia MedianaMediana ModaModa ModaModa MedianaMediana MédiaMédia

Quanto ao grau de deformação ou assimetria, pode-se ter três tipos de curvas de freqüências:

Curva Simétrica

Curva Assimétrica Positiva (ou deformada à direita)

Curva Assimétrica Negativa (ou deformada à esquerda)

XMdMo X=Md=Mo MoMd X


Índice de Assimetria

Momento Central de terceira ordem

m3=1n∑ xi−x3

Se m30 , a distribuição é assimétrica positiva (à direita).

Se m30 , a distribuição é assimétrica negativa (à esquerda).

Se m3=0 , a distribuição é simétrica.

Curtose

A curtose indica até que ponto a curva de freqüência de uma

distribuição se apresenta mais afilada ou mais achatada do que uma

curva normal

Índices de Curtose

Coeficiente Percentílico de Curtose

)PP(2QQK

1090

13

−−=

• Se k = 0,263 ⇒ Curva Mesocúrtica• Se K > 0,263 ⇒ Curva Platicúrtica• Se K < 0,263 ⇒ Curva Leptocúrtica


“Resumo de 5-Números”

O resumo de 5-números associa os limites inferior e superior do conjunto de dados aos quartis, fornecendo uma idéia bastante razoável da dispersão, da tendência central e da forma da distribuição, isto é, do grau de deformação.

O resumo de 5-números pode ser encontrado na seguinte forma:

LlQ3Q1

MedTítulo


“Boxplot”É uma representação gráfica dos dados através de seu resumo de 5-

números.

O Boxplot fornece informações importantes sobre o comportamento dos dados, como a simetria e variabilidade, e auxilia na detecção de outliers.

Para sua construção é necessário ter:

O primeiro quartil (Q1)

A mediana (Med)

O terceiro quartil (Q3)

O desvio interquartílico (DQ = Q3 – Q1)


Detecção de outliers:

pontos externos (outliers): são os pontos que estão a mais de 1,5 DQ do

quartil correspondente até 3,0 DQ

pontos soltos (extremos): são pontos que estão a mais de 3,0 DQ


Exemplo:

Os dados a seguir fornecem a duração média do ciclo menstrual, em fase de pré-ovulação, de 21 mulheres sadias, as quais estavam usando métodos naturais de planejamento familiar.

28,431,828,031,227,630,327,630,027,529,926,929,426,928,826,828,826,628,526,328,422,9


Realizando os cálculos iniciais temos:Q1 = 26,9Med = 28,4Q3 = 29,4

31,822,929,426,9

28,4

Duração Média do Ciclo Menstrual

Q3 + 1,5 . DQ = 33,15Q1- 1,5 . DQ = 23,15Q3 + 3,0 . DQ = 36,9Q1 - 3,0 . DQ = 19,4

Limites para “outliers”

DQ = 29,4 – 26,9 = 2,5 (Desvio interquartílico)1,5 . DQ = 3,753,0 . DQ = 7,5

QuartisLimites

Med n = 21


Non-Outlier Max = 31Non-Outlier Min = 2675% = 29,425% = 26,9Median = 28,4Outliers

CICLO

22 24 26 28 30 32 34

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