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Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Origami Matemático
Augusto Ícaro F. da Cunha
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. SimõesTabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Professora: Anayara Gomes dos [email protected]
Novembro 2014
Origami Matemático VII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática
Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático VII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática
Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Motivação
Dar uma breve explanação sobre OrigamiMatemático para os interessados da VII
Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática
Mostrar uma das áreas de atuação na grandeárea da Matemática Aplicada
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se dividindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
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Construções Matemáticas
Mas qual a relação do origami com a matemática?
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadrado*ConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
p1
p2lf
p1
p2
lf
lf
l1
l2
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
lf
p1
l1
p1
l1
lfp2
p1p2
lf
l1
l2
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo num pedaço de papelqualquerConstrução de quadradoConstrução de Triângulo EquiláteroTrissecção de Ângulo
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Construções Matemáticas - Triângulo Equililátero
Mas como construir um triângulo equilátero a partir deum quadrado?
A B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triângulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triângulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Trissecção de Ângulos
Mas como fazer a trissecção de um ângulo agudousando origami?
Q
C
P
A'
BA
P'
Q'
R
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Trissecção de Ângulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
D
A
B
D
C
A
B
D
C
E F
A
B
D
C
E F
G H
A
B
D
C
E F
G H
P
P
P
P
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Trissecção de Ângulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe que oângulo ]PCB foi trissectado
A
B
D
C
EF
G
H
A
B
D
C
EF
G
H
A
B
D
C
E F
G H
JP
P
P
A
B
D
C
E F
G H
J
D/3
D/3
D
P
/3
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Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
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Contatos
Como me contactar?Augusto Ícaro - [email protected]://facebook.com/augusto.icaroMaceiOrigami -http://facebook.com/maceiorigami
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