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ATIVIDADES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DA

EDUCAÇÃO BÁSICA

REVISÃO TÉCNICA ANA PAULA GLADCHEFF MUNHOZ

HALANA GARCEZ BOROWSKY LAURA PIPPI FRAGA

MOISÉS ALVES FRAGA ROSÉLIA JOSÉ DA SILVA CARVALHO

CONSULTORAS FABIANA FIOREZI DE MARCO MARIA DO CARMO DE SOUSA

FORMATAÇÃO ANA PAULA GLADCHEFF MUNHOZ

CARINE DAIANA BINSFIELD

CAPA HALANA GARCEZ BOROWSKY

ATIVIDADES PARA O ENSINO DE

MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA

MANOEL ORIOSVALDO DE MOURA ANEMARI ROESLER LUERSEN VIEIRA LOPES

ELAINE SAMPAIO ARAUJO WELLINGTON LIMA CEDRO

(ORGANIZADORES)

APRESENTAÇÃO

O presente e-book é um dos muitos produtos resultantes do projeto de

pesquisa em rede “Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Princípios e Práticas da Organização do Ensino” (PPOE) viabilizado pelo Programa Observatório da Educação (Obeduc), financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). O desenvolvimento do nosso projeto, em particular, configurou-se como uma importante vivência de uma pesquisa que considera a escola como um lugar de formação e aprendizagem, tanto para os professores da educação básica como para os pesquisadores. Tal projeto é fruto de parcerias estabelecidas no âmbito de um coletivo, o GEPAPe - Grupo de Estudos e Pesquisas sobre a Atividade Pedagógica. Este grupo integra pesquisadores de várias partes do Brasil e tem produzido conhecimento tendo como referência a Teoria Histórico-Cultural e suas contribuições para a atividade pedagógica. Esta última por nós considerada, baseados no materialismo histórico-dialético, uma unidade dialética entre a atividade de ensino - do(a) professor(a) - e a atividade de estudo - do(a) estudante.

O projeto OBEDUC/PPOE constituiu-se a partir da organização em quatro núcleos de investigação: núcleo São Paulo, na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo (FEUSP), coordenado pelo prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura; núcleo Santa Maria, na Universidade Federal de Santa Maria, RS (UFSM), coordenado pela prof.a Dra. Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes; núcleo Ribeirão Preto, SP, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo (FFCLRP/USP), coordenado pela prof.a Dra. Elaine Sampaio Araujo; e núcleo Goiás, na Universidade Federal de Goiás (UFG), coordenado pelo prof. Dr. Wellington Lima Cedro. Teve como objetivo investigar as relações entre o desempenho escolar dos alunos, representados pelos dados do INEP e a organização curricular de matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Os núcleos foram constituídos por seus coordenadores gerais e por professores e coordenadores pedagógicos da Rede Pública de Educação Básica, estudantes de mestrado e doutorado de programas de pós-graduação e estudantes de graduação dos

cursos de licenciatura em Pedagogia e Matemática, com o intuito de proporcionar que professores(as) e futuros professores(as) vivenciassem um espaço formativo com compartilhamento de experiências sobre Educação Matemática a partir da Teoria Histórico-Cultural.

Uma das principais ações do projeto foi desenvolver uma proposta curricular de Educação Matemática para a Educação Infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental, fundamentada na Teoria Histórico-Cultural. A perspectiva formativa assumida configura-se como processo e não como um fim. Portanto, ressaltamos a importância de compreendermos este e-book como algo não prescritivo, pois o produto maior gerado com o projeto, é o processo de formação dos(as) professores(as) e o que apresentamos aqui refere-se ao que produzimos até o momento.

As atividades para o ensino, que compõem este e-book, foram realizadas por muitas mãos, o que é evidenciado nas diferentes nuances que se apresentam em cada um dos volumes aqui apresentados. Apesar de cada um deles resultar das experiências e vivências formativas de cada um dos sujeitos que integraram os núcleos do OBEDUC/PPOE, temos um fio condutor que é a Teoria Histórico-Cultural e nossa compreensão sobre organização do ensino pautada na Atividade Orientadora de Ensino.

De acordo com princípios da Atividade Orientadora de Ensino, as ações de estudo e elaboração das atividades, de forma colaborativa, são constitutivas de um modo de organização das ações de ensino em sala de aula. Estas, após serem desenvolvidas na escola, eram novamente apresentadas ao coletivo do projeto para análise e reformulações. Esse movimento de organização do ensino, praticado sistematicamente, constituiu-se como um modo geral de ação que criou possibilidades de garantir um ensino de matemática de melhor qualidade e de potencializar a aprendizagem docente mediada pela articulação entre o pensar e o fazer docente, entre o estudar, planejar e o praticar em sala de aula.

Com a apresentação desse movimento coletivo, queremos contribuir com o ensino de Matemática, no sentido de trazer atividades para o ensino que mobilizem o professor para novos movimentos que venham a culminar em novas sínteses, e não no sentido de apresentar um “modelo pronto” para ser proposto em sala de aula.

Considerando esse contexto de elaboração e escrita das atividades que constituem este e-book, optamos por compartilhar também a autoria. Desse modo,

creditamos a autoria de cada um dos volumes aos grupos de pesquisa que compunham cada um dos núcleos, apresentando a nominata de todos que dividiram essa escrita naquele momento.

Na introdução procuramos evidenciar uma síntese sobre alguns conceitos referenciados no decorrer deste e-book e que permitem uma compreensão mais clara do que será abordado, a partir da perspectiva teórica que nos fundamentamos, a Teoria Histórico-Cultural.

A divisão de trabalho foi constituída de forma que cada núcleo desenvolvesse um determinado conteúdo matemático para os anos iniciais da escolarização, que se complementam em uma perspectiva de compor os principais eixos curriculares. Nesse contexto, o núcleo de Ribeirão Preto foi o responsável por organizar atividades para o ensino que compõem o conteúdo sobre "estatística" e que é apresentado no volume I.

No volume II, encontra-se o trabalho elaborado pelo núcleo São Paulo, responsável pelo conteúdo sobre "medidas", dando ênfase às grandezas "tempo, comprimento, massa, área e volume/capacidade".

O terceiro volume é composto pelo trabalho elaborado pelo grupo de Santa Maria, que foi o responsável pelo conteúdo de "números e operações".

Por fim, no quarto volume, são apresentadas as atividades para o ensino de “geometria” e que foram elaboradas pelo núcleo de Goiás.

Com a abordagem teórica e a organização do ensino aqui expostos, desejamos que este e-book possa contribuir com o trabalho de professores(as) e futuros(as) professores(as) na direção de suscitar reflexões de que o ensino, adequadamente planejado e organizado, pode desencadear o desenvolvimento humano. Bons estudos e bom trabalho!

INTRODUÇÃO

Fundamentados na perspectiva da Teoria Histórico-Cultural, atribuímos à

Matemática, o papel de potente instrumento para conhecimento e domínio da natureza numa dimensão de ferramenta simbólica (ALEXANDROV, 2016; MOURA, 2013). O processo de abstração presente em sua produção (e produto) não é sua exclusividade, mas sim uma característica de toda ciência, inclusive de toda atividade mental em geral. Nessa perspectiva, entendemos tal ciência (matemática) por uma visão histórica e a concebemos como fruto de necessidades práticas da vida social, diferente do que expressa uma visão idealista, ao considera-la como fruto do pensamento puro.

Com essas afirmações queremos evidenciar a concepção da matemática como uma ciência viva, dinâmica e impregnada de condição humana, o que revela ser historicamente construída como produto de interesses e necessidades sociais (CARAÇA, 2010). Isso significa que “em todo o conhecimento matemático há uma atividade humana praticada para satisfazer necessidades da vida social (no coletivo). Assim, compreendida como um produto cultural, a matemática constitui-se como uma riqueza humana e, como tal, deve ser apropriada por todos” (MUNHOZ; MOURA, 2018b, no prelo).

Nessa mesma linha de pensamento, Vygotsky (2005) e seus colaboradores nos mostram que a apropriação desse produto cultural, que está objetivado no conhecimento matemático em sua forma teórica, se torna um instrumento do pensamento, ou como diz Moura (2013), e já afirmado anteriormente, uma ferramenta simbólica. Este conhecimento é dado pelo saber sistematizado, o conhecimento mais elaborado da humanidade, ou seja, o conhecimento teórico ou científico e a escola, nesse sentido, é compreendida como um espaço privilegiado no qual, de modo intencional, os conteúdos constituem-se, tal como afirma Moura (2013), como objetos de uma atividade humana

[...] capaz de possibilitar aos que dela participam ações rumo ao objetivo de apropriação dos instrumentos simbólicos e do modo de usá-los, com o objetivo profícuo de se fazer compreender e agir em um universo cultural

complexo, cujas relações são pautadas em processos comunicativos em que a leitura e a escrita são imprescindíveis (p.133).

Tal apropriação permite aos sujeitos sentirem-se participantes de uma comunidade. Participantes em uma compreensão de pertencimento, atribuindo sentido à vida que se dá pela coletividade.

No caso da criança, embora tenha contato com a matemática desde o seu nascimento, a partir do momento em que entra na escola, seja na Educação Infantil, seja nos anos iniciais do Ensino Fundamental, ela se depara com outra maneira de aprender, diferente daquela que conhecia no convívio familiar ao qual estava frequentemente acostumada (SERRÃO et al., 2012). Nesse sentido, sua vida se reorganiza a partir de sua entrada na escola, pois ocorre a mudança do lugar social que a criança ocupa no sistema das relações sociais (LEONTIEV, 1978). Portanto, já desde o início da escolarização, no qual ocorrem as primeiras relações da criança com o conhecimento teórico matemático, este deve ter significado para ela. Seu conhecimento começa a expandir, sem deixar de lado o que traz em sua história de vida.

Como já explicitamos, defendemos a visão da matemática como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e, para que a aprendizagem seja significativa, acreditamos na atividade de aprendizagem na qual “a criança se apropria de conhecimentos matemáticos no fazer matemática, em atividade e, dessa forma, estruturam-se as propostas de ensino relacionadas com as práticas sociais e culturais, humanas e históricas” (MORETTI; SOUZA, 2015, p.10). Reafirmamos, portanto, nossa compreensão de que não é qualquer modo de ensinar, tampouco qualquer conteúdo, que podem promover o desenvolvimento humano, mas aqueles que intencionalmente forem organizados para esse fim.

Para isso, é preciso estudarmos sobre o que compreendemos por processo lógico-histórico de cada um dos conceitos que deverão ser apropriados por nossos alunos. Isso significa buscarmos os nexos conceituais entendidos como os aspectos essenciais do conceito e seus determinantes e que, neste caso, “estão impregnados de história, por isso, são históricos” (SOUSA; MOURA, 2016, p.2); contêm a “lógica, a história, as abstrações, as formalizações do pensar humano no processo de constituir-se humano pelo conhecimento” (SOUSA et al., 2014, p.96). Isso se torna possível, na organização do ensino, ao sistematizarmos as necessidades surgidas na atividade humana que está encarnada no conceito e as respostas que a humanidade criou para

suprir tais necessidades. Essas respostas se traduzem pelas ferramentas intelectuais que deverão ser apropriadas pelos alunos. Vale ressaltar que, ao abordarmos a história da matemática no ensino, na perspectiva lógico-histórica, temos por “pressuposto a possibilidade do estudo no movimento do pensamento, no sentido de apreensão do objeto, isto é, do desenvolvimento do conceito” (DIAS; SAITO, 2009, p.9).

Esse modo de abordarmos o conhecimento vem ao encontro do que Moura (1996, 2004, 2017) propõe como Atividade Orientadora de Ensino (AOE), compreendida como uma base teórico-metodológica direcionada aos processos de ensino e aprendizagem. Os princípios teórico-metodológicos presentes nessa proposta explicitam-na como a unidade entre o ensino e a aprendizagem, no contexto da atividade pedagógica e, segundo o autor, estrutura-se de modo a permitir que sujeitos interajam, mediados por um conteúdo compartilhando significados, com o objetivo de solucionar coletivamente uma situação-problema. Uma particularidade extremamente relevante que constitui a AOE é a intencionalidade pedagógica que, na vivencia educativa, considera as particularidades do problema colocado em ação e os vários conhecimentos presentes de cada um dos sujeitos participantes, o que imprime uma responsabilidade ímpar aos que organizam o ensino .

Pelas orientações teórico-metodológicas da AOE, um problema desencadeador é elaborado e estruturado como parte de uma situação desencadeadora de aprendizagem (SDA). O problema, por sua vez, deve conter a gênese do conceito: explicitar as necessidades humanas que motivaram a sua criação, e como os homens mobilizaram-se para encontrar as soluções ou sínteses no movimento aqui já destacado, compreendido por lógico-histórico. Vale ressaltar que o problema desencadeador de aprendizagem é entendido como um problema de aprendizagem pelo qual o estudante, ao resolvê-lo coletivamente, apropria-se de uma forma de ação geral, que se torna base de orientação das ações em diferentes situações que o cercam, por isso sua dimensão teórica. Teórico pois, diferentemente de um problema concreto prático que busca modos de ação particular, na qual a resolução serve somente para uma situação específica (RUBTSOV, 1996).

A situação desencadeadora de aprendizagem pode ser materializada em: um jogo, com propósito pedagógico, que preserva o caráter de problema; uma problematização de situações emergentes do cotidiano, que oportuniza colocar a criança diante da necessidade de vivenciar a solução de problemas significativos para ela, ou; uma história virtual do conceito, que coloca a criança diante de uma

situação-problema semelhante à vivida pelo homem (MOURA, 1996). É importante ressaltar que o histórico que envolve as situações desencadeadoras “não é a história factual, mas sim aquela que está impregnada no conceito ao considerar que esse conceito objetiva uma necessidade humana colocada historicamente” (MORETTI;

MOURA, 2011, p. 443). Ao criar o problema desencadeador de aprendizagem, contido na SDA, os

professores planejam ações de ensino que deverão orientar os alunos à solução do problema, colocando o conceito em movimento para que seja apropriado por eles. Neste momento, ressaltamos a coletividade como essência no processo de desenvolvimento da situação desencadeadora de aprendizagem, tendo em vista os vários olhares de cada professor que dela irão compartilhar (GLADCHEFF; MOURA, 2016).

Podemos dizer que as SDA, desenvolvidas de acordo com os princípios colocados, podem ser potencializadoras da aprendizagem dos alunos. No entanto, não os colocam em atividade por si só. Enfatizamos que a SDA não é em si uma atividade de ensino, ela deve ser parte da AOE. É preciso que o professor, sendo o organizador, tenha muito claro o seu objetivo, e deve persegui-lo intensamente, levando os estudantes a manterem o foco na situação.

De um modo geral, assim foram desenvolvidas as atividades para o ensino aqui apresentadas. Nesse sentido, acreditamos na possibilidade de um processo educativo capaz de impulsionar o desenvolvimento humano, e que não se restringe à ação do professor ou à do estudante, mas ao processo como um todo, considerando o ensino e a aprendizagem uma unidade, como essência da atividade pedagógica (MOURA, 2017). Por isso, e mais uma vez, ressaltamos a importância de compreendermos este e-book como algo não prescritivo, mas como um início de uma produção coletiva que defende os objetivos da educação escolar para além de uma aprendizagem de conhecimentos relacionados à adaptação dos sujeitos ao ambiente, mas sim, para a formação do ser humano que ultrapasse os limites da vida cotidiana. O que significa compreender e utilizar os conhecimentos como instrumento do pensamento para transformar a realidade e não somente adaptar-se a ela (MUNHOZ; MOURA, 2018a).

Referências

ALEXANDROV, A. D. Visión general de la matemática. In: ALEXANDROV, A.D. et al. La matemática: su contenido, método y significados. Madrid: Alianza Editorial, 2016.

CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. Revisto por Paulo Almeida. Lisboa: Gradiva, 2010.

DIAS, M. S.; SAITO, F. Interface entre história da matemática e ensino: uma aproximação entre historiografia e perspectiva lógico-histórica. In: IV Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Brasília, SIPEM, 2009.

GLADCHEFF, A. P.; MOURA, M. O. Formação contínua em matemática na perspectiva da teoria histórico-cultural: o coletivo na formação do pensamento teórico. In: 3O Congresso Internacional Sobre a Teoria Histórico-Cultural e 15a Jornada do Núcleo de Ensino de Marília, Marília, São Paulo, 2016.

LEONTIEV, A. O desenvolvimento do psiquismo. Tradução de Manuel Dias Duarte. Lisboa: Livros Horizonte, 1978.

MOURA, M. O. A atividade de ensino como unidade formadora. In: Bolema, Rio Claro, n. 12, p. 29-43, 1996.

__________. Pesquisa colaborativa: um foco na ação formadora. In: BARBOSA, R.L.L. (org.) Trajetórias e perspectivas da formação de educadores. São Paulo: Editora UNESP, 2004.

__________. A dimensão da alfabetização na educação matemática infantil. In: KISHIMOTO, T. M.; OLIVEIRA-FORMOSINHO, J. (Orgs.). Em busca da pedagogia da infância: pertencer e participar. Porto Alegre: Penso, 2013.

MOURA, M. O. (Org) Educação escolar e pesquisa na teoria histórico-cultural. São Paulo: Edições Loyola, 2017.

MORETTI, V. D.; MOURA, M. O. Professores de matemática em atividade de ensino: contribuições da perspectiva histórico-cultural para a formação docente. Ciência e Educação, Bauru, v.17, n.2, p.435-450, 2011.

MORETTI, V. D.; SOUZA, N. M. M. Educação matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: princípios e práticas pedagógicas. São Paulo: Cortez, 2015.

MUNHOZ, A. P. G.; MOURA, M. O. Movimento lógico-histórico do conceito na formação de professores que ensinam matemática nos anos iniciais. In: XIX Encontro de Didática e Práticas de Ensino, Salvador, BA, ENDIPE, 2018a.

MUNHOZ, A. P. G.; MOURA, M. O. Ações formadoras em atividade de formação contínua com professores que ensinam matemática nos anos iniciais da escolarização: uma iniciativa na perspectiva da teoria histórico-cultural. Revista Paranaense de Educação Matemática. 2018b. No prelo.

RUBTSOV, V. A atividade de aprendizado e os problemas referentes à formação do pensamento teórico dos escolares. In: GARNIER, C.; BERDNARZ, N.; ULANOVSKAYA, I. (orgs) Após Vygotsky e Piaget: perspectivas social e construtivista. Escolas russa e ocidental. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

SERRÃO, M. I. B.; DAMAZIO, A.; ARAUJO, E. S.; ASBAHR, F. S. F.; ROSA, J. E.; MOURA, M. O. Relações entre educação infantil e conhecimento matemático. In: XVI Encontro de Didática e Práticas de Ensino, Campinas, São Paulo, ENDIPE, 2012.

SOUSA, M. C.; MOURA, M. O. O movimento lógico-histórico em atividades de ensino de matemática: unidade dialética entre ensino e aprendizagem. In: XII Encontro Nacional de Educação Matemática, São Paulo. Anais, ENEM, 2016.

SOUSA, M. C.; PANOSSIAN, M. L.; CEDRO, W. L. Do movimento lógico e histórico à organização do ensino: o percurso dos conceitos algébricos. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2014. (Série Educação Matemática)

VYGOTSKY, L. S. Aprendizagem e desenvolvimento intelectual na idade escolar. In: LEONTIEV, A. et al. Psicologia e pedagogia: bases psicológicas da aprendizagem e do desenvolvimento. Tradução de Rubens Eduardo Frias. São Paulo: Centauro, 2005.

SUMÁRIO

NÚMEROS E OPERAÇÕES 2

AGRUPAMENTOS 4 UNIDADE DIDÁTICA SOBRE CORRESPONDÊNCIA UM A UM 8

ADIÇÃO 16

UNIDADE DIDÁTICA 19

SUBTRAÇÃO 29


MULTIPLICAÇÃO 46


DIVISÃO 63


Projeto “Educação matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental: princípios e práticas da organização do ensino”. Programa Observatório da Educação.

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NÚMEROS E OPERAÇÕES

Núcleo de Santa Maria/RS

Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (GEPEMat)/ OBEDUC


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PARTICIPANTES

Andressa Wiedenhöft Marafiga Cácia da Silva Cortes

Diaine Susara Garcez da Silva Gabriela Fontana Gabbi

Gisele Tamara Bittencourt Halana Garcez Borowsky Jucilene Hundertmarck

Laura Pippi Fraga Luis Sebastião Barbosa Bemme Maria Eduarda Ripoll da Silva

Naíse Cardoso Pereira Patrícia Perlin Paula Lucion

Simone Pozebon Tamitsa Menezes Weber

Thais Rigão Diaz Vanessa Zuge

Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes (coordenadora) Programa de Pós-graduação em Educação, Centro de Educação da

Universidade Federal de Santa Maria – UFSM – RS


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NÚMEROS E OPERAÇÕES Agrupamentos

O estudo da gênese dos conceitos Matemáticos é uma tarefa árdua, pois a

origem da humanidade ainda é um grande mistério que instiga diversos pesquisadores e estudiosos da área. No entanto, alguns registros datados de épocas remotas, nos apontam indícios importantes do modo como o homem começou a vivenciar a Matemática, bem como este foi sistematizando e materializando essas vivências em uma linguagem matemática.

A Matemática que conhecemos hoje é fruto de um esforço coletivo através dos milênios e, portanto, um bem de direito universal. Apoiados na ideia de que o homem cria instrumentos para satisfazer suas necessidades tentaremos compreende como foi sendo concebida a ideia de número no decorrer dos anos.

Ifrah (1998) salienta que, para o homem primitivo, o conceito de número estava associado ao modo como este sentia.

É verdade que um e dois são os primeiros conceitos numéricos inteligíveis pelo ser humano. O Um é, com efeito, o homem ativo, associado à obra da criação. É ele próprio no seio de um grupo social e sua própria solidão face à vida e à morte. (...) Quanto ao Dois, ele corresponde à evidente dualidade do feminino e do masculino, à simetria aparente do corpo humano. É também o símbolo da oposição, da complementaridade, da divisão, da rivalidade, do conflito ou do antagonismo. E ele se manifesta, por exemplo, na ideia da vida e da morte, do bem e do mau, do verdadeiro e do falso, etc. (Ifrah, 1998, p.17)

Enquanto estes povos primitivos viviam como nômades preocupavam-se basicamente em extrair da natureza todo o necessário para sua sobrevivência. Caçavam, pescavam, coletavam frutos e sementes. O fato de deslocarem-se em busca de alimentos e água tornava o controle de quantidades praticamente desnecessário.

A partir do momento que deixam de ser nômades, os povos organizaram-se em grupos e formaram aldeias fixadas em locais específicos. Assim, o armazenamento de alimentos torna-se talvez a maior necessidade humana. Nesse sentido, começam a desenvolver a agricultura e a domesticação dos animais, além de fabricar instrumentos e utensílios que objetivavam facilitar a vida em sociedade do grupo. Surgem assim novas necessidades “como controlar a quantidade de alimentos ou o número de indivíduos da aldeia?”.


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A resposta de questionamentos como esse, aponta para a necessidade da contagem. Em seus estudos, Ifrah (1998) destaca a correspondência um a um como um dos primeiros modos de organizar a contagem, sendo “(...) que confere mesmo aos espíritos mais desprovidos, a possibilidade de comparar com facilidade duas coleções de seres ou de objetos, da mesma natureza ou não, sem ter de recorrer a contagem abstrata” (Ifrah, 1998, p. 25)

A figura a seguir pode ilustrar este conceito:

Figura 36: Ilustração do conceito de correspondência um a um

Fonte: acervo do projeto adaptado de Ifrah (1998).

Para saber qual a relação que existe entre árvores e cavalos não há necessidade de realizar uma contagem, pois basta olharmos e iremos verificar que a cada cavalo está associado a uma única árvore, desse modo se em um segundo momento verificarmos novamente esta relação e estiver sobrando uma árvore, significa que estará faltando um cavalo.


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Curiosidade

Ifrah (1998) ilustra como o conceito de correspondência um a um está presente na vida de muitas pessoas e em diferentes contextos, destacando o exemplo do rosário. Observe o texto a seguir:

Figura: Ilustração de um rosário

Fonte: Ifrah (1998)

Para os religiosos mulçumanos, o momento de oração é de grande importância, e

para isso eles criaram mecanismos que auxiliam no momento de enunciar os tributos de Alá.

Os mulçumanos costumam usar um rosário no qual cada conta corresponde a um atributo divino ou a uma eulógia. Este objeto de devoção na verdade consiste em um colar de cem pérolas (99 pequenas e uma grande) que escorrega entre os dedos à medida que se recitam as eulógias ou se enunciam os atributos de Alá. (IFRAH, 1998, p.27)

Essa prática também pode ser presenciada em outras religiões que utilizam desse artifício para o auxílio da organização de suas manifestações religiosas.

À medida que essas quantidades se tornavam maiores, surgiu à necessidade

de novas estratégias que possibilitassem agilizar a contagem. É criado o que Moura (1996, p. 77) chama de “unidade relativa: um que vale muitos e muitos que valem um”. Tem-se assim estabelecidos os agrupamentos.

Assim a correspondência um a um levou ao surgimento dos agrupamentos, estes levaram a necessidade de uma nova representação, o signo numérico.

O agrupamento foi certamente uma estratégia anterior à contagem. Embora o número de elementos agrupados tenha variado entre os muitos povos que se utilizaram dessa estratégia, é comum encontrarmos, em muitos dos


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sistemas de numeração antigos, pistas que nos levam a deduzir a origem de uma contagem baseada no uso das mãos. (DIAS; MORETTI, 2011, p. 21)

Os números como conhecemos hoje são a síntese de um grande processo histórico que acompanhou o próprio desenvolvimento do homem, foi um conceito que foi passando por diversas civilizações até chegar na organização que temos hoje, sempre refletindo a necessidade social de cada época e em cada contexto específico.

Assim ao se apropriar desse movimento, o professor poderá propor atividades de ensino de modo que desperte no aluno a necessidade de utilizar tal conhecimento.

A seguir, veremos algumas propostas de atividades que contemplam as ideias anteriormente apresentadas.


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Unidade D idática sobre Correspondência um a um

HISTÓRIA VIRTUAL:

A vovó Maria e o Lobo E sabem o que nós descobrimos que aconteceu depois? Pois então vamos

contar para vocês a continuação da história daquela menina que adorava levar frutas e doces para a sua Vovó Maria.

Depois de todo o acontecido, descobrimos que o Lobo ficou muito sozinho, triste e arrependido pelo que tinha feito. Foi então que, chorando, procurou a Vovó Maria para demonstrar seu arrependimento. Ela, que é uma senhora muito bondosa ouviu suas desculpas e rapidamente perdoou o Lobo convidando-o para morar com ela, uma vez que também estava morando sozinha e assim um poderia fazer companhia para o outro.

Chapeuzinho Vermelho ia com frequência visitar sua avó, e então, em uma de suas idas até a casa dela descobriu que o Lobo estava morando lá. A Vovó explicou a situação para a sua neta tentando convencê-la de que ele havia mudado. A menina ficou desconfiada, mas como o Lobo fazia companhia para a sua avó, que estava muito sozinha, ela resolveu dar uma chance para ele.

No seu sítio a Vovó Maria criava vários animais, entre eles, os mais numerosos e queridos eram as galinhas, e por isso todas as manhãs ela largava todas para o pátio para que pudessem tomar sol, comer, e caminhar livremente pelo espaço. Mas a noitinha, como fazia frio na região onde morava, a Vovó as recolhia de volta ao galinheiro. Porém todas as noites a vovó ficava em dúvida e nunca tinha certeza se todas as suas galinhas voltavam para o galinheiro.

A Vovó já havia percebido que a sua galinha preferida, Genoveva, havia sumido. Mas como achava que o Lobo havia mudado, não acreditava que seria ele o culpado pelo sumiço da sua galinha. Logo, pensou que tivessem sido as raposas, já que corria o boato de que a raposa Jusefilda estava pela região.

Para apresentação da história pode ser confeccionado um

cenário, com personagens em fantoche ou palitoche. E você como criaria a sua história?


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Problema desencadeador:

A seguir destacamos alguns pontos que podem surgir durante a realização da

atividade.

Para auxiliar no desenvolvimento do problema desencadeador pode ser utilizado um cenário com todos os elementos presentes na história virtual. Inicialmente os alunos demonstraram dificuldade para compreender a relação que poderia ser estabelecida entre as galinhas e as pedras presentes no cenário. A intervenção e mediação do professor foram fundamentais para a percepção do modo como estes poderiam organizar-se para resolver o problema proposto, chegando dessa forma a uma solução coletiva. Através do registro pode-se perceber o entendimento do modo como pode ser estabelecido uma correspondência um a um a partir de dois conjuntos dados.

No próximo subitem apresentaremos alguns jogos que contemplam a ideia de

agrupamento enfocado na história virtual.

Todos os dias a Vovó continuava colocando suas galinhas para o pátio, mas como eram seus animais preferidos, ela não queria perder mais nenhuma. Mas ela estava muito cansada, e o Lobo percebendo isso resolveu ajudá-la, porém, ele

nunca havia ido à escola e não tinha ideia de como poderia fazer para ter certeza de que ao anoitecer todas as galinhas que tinham ido ao pátio retornavam para o galinheiro. Então, será que podemos tentar ajudar ele a resolver esse problema?


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JOGOS

BUSCA DAS GALINHAS

Objetivo: Realizar a correspondência um-a-um, sem que seja necessário o uso da contagem.

Materiais necessários:

è Papel pardo para confeccionar as pedras; è Um recipiente para colocar as galinhas (importante que possa ser

fechado após o término da atividade) è Desenhos de galinhas (aconselhável colar os desenhos no papel cartão

para melhor manusear).

Encaminhamentos: O jogo é realizado da seguinte forma: a turma é dividida em dois ou mais

grupos. Para cada grupo é colocado um número de galinhas de um lado da sala e do outro ficam os alunos, em fila, com o recipiente que será utilizado para colocar as galinhas, além das pedras para fazer as trocas. O primeiro da fila deverá pegar uma pedra e correr até o outro lado da sala deixando a pedra e pegando uma galinha, quando voltar à fila deverá entregar o recipiente para o próximo colega, fazendo isso até acabar o tempo estipulado pela professora. O próximo passo é indagar os alunos de como descobrir qual é o número de galinhas que conseguiram pegar sem utilizar a contagem.

Para essa situação, o professor poderá

construir as pedras e as galinhas em conjunto

com os alunos.


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ADAPTAÇÃO DO JOGO DO MICO

Objetivos: Realizar a correspondência um-a-um através dos pares formados no decorrer do jogo.

Materiais utilizados:

è Trinta e uma cartas, sendo destas, quinze com imagens de galinhas e outras dezesseis com imagens aleatórias.

Encaminhamento: Primeiramente dividir a turma em grupos, fazendo isso, em cada grupo dividir as cartas do baralho igualmente entre os participantes. O jogo começa com o primeiro participante abaixando os pares que possuir, e pegando uma carta do leque do participante do seu lado direito. E assim sucessivamente com os demais participantes até que todos os pares sejam formados. Consideramos como sendo um par, uma carta com uma galinha e uma carta com um objeto aleatório. Ganha o jogo quem formar mais pares e perde quem ficar com o MICO, pois este não possuiu par.

Os alunos demonstram facilidade ao iniciar o jogo, no entanto, a medida que as quantidades vão crescendo pode ficar mais difícil para eles estabelecerem a correspondência um-a-um, sendo que alguns deles podem apelar para a contagem.

Para esse jogo

adaptamos as cartas do jogo mico.


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-JOGO DO BINGO-1

Objetivos: Compreender o modo como organizamos uma correspondência um-a-um. Materiais necessários:

è Cartelas divididas em seis partes; è Imagens de smurfs distribuída em quantidades diferentes em cada

espaço da cartela. è Papel cartão recortado em quadrados para marcar os espaços sorteados

durante o jogo. Encaminhamentos:

Para iniciar o jogo é necessário organizar os alunos de modo que todos recebam uma cartela do bingo e tenham acesso as quantidades sorteadas. As quantidades sorteadas devem ser marcadas na cartela de quem a tem. Ganha o jogo quem marcar todos os espaços da cartela primeiro.

Os alunos apresentaram facilidade ao iniciar o jogo, especialmente quando as cartelas sorteadas continham números pequenos que eram possíveis de serem contados com uma olhada apenas. Porém, à medida que as quantidades iam aumentando ficava mais difícil para eles estabelecer a correspondência um a um, sendo que alguns recorriam à contagem para se certificar que marcaram a quantidade correta que correspondia a cartela que havia sido sorteada.

No próximo subitem apresentamos uma proposta de atividade de ensino sobre

o conceito de agrupamento.

1 Esta atividade foi desenvolvida por bolsistas do “PIBID - Interdisciplinar - Educação Matemática do 1º ao 6º ano do Ensino Fundamental” no âmbito do projeto Clube de Matemática/UFSM.


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Atividade de Ensino ou Unidade D idática – Agrupamento2

Para: Turma do 2° ano Estamos à procura de um dos nossos filhotes que não voltou da festa de

aniversário de João e Maria. Precisamos ir a até o bosque encantado, não sabemos quando voltaremos! Enquanto estaremos ausentes nossos filhotes ficarão sozinhos, para que eles

não fiquem com fome enquanto procuramos pelo seu irmão, precisamos deixar quantidades de ossos iguais para cada um.

Cada filhote come a mesma quantidade de ossinhos, mas como temos muitos cachorrinhos, será uma grande quantidade de ossos.

Precisamos da ajuda de vocês, pois não sabemos contar e precisamos de uma forma rápida e eficiente, estamos preocupados e nervosos sem saber se nosso filhote que está longe de casa está bem.

Contamos com a colaboração de todos!

Um abraço, mamãe Lila e papai Pongo. Problema desencadeador: A seguir destacamos alguns pontos observados durante a realização dessa

atividade com os alunos.

2 2 Esta atividade foi desenvolvida pelo projeto “PIBID - Interdisciplinar - Educação Matemática do 1º ao 6º ano do Ensino Fundamental”

Para apresentação da história virtual pode ser realizado um teatro. E

você como apresentaria sua história?

Precisamos da ajuda de vocês, pois não sabemos contar e precisamos de uma forma rápida e eficiente, estamos preocupados e nervosos sem saber se nosso filhote que

está longe de casa está bem. Vocês podem nos ajudar?


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Como havíamos dividido os alunos em grupos para que encontrassem uma solução para o problema, foram levantadas diversas hipóteses; cada grupo encontrou uma forma diferente de agrupar os ossos. Diante disso, encaminhamos estas ideias para uma solução coletiva, discutindo e testando as possibilidades para ver qual o modo de agrupamento seria mais eficiente para realizar a contagem. Assim, a turma entrou coletivamente em um consenso, concordando que havia mais de uma resposta para o mesmo problema, mas que a resposta seria mais fácil de realizar o agrupamento seria de dez em dez.

No próximo subitem apresentamos um jogo que pode ser desenvolvido a partir

da história virtual.

AGRUPANDO OS OSSOS

OBJETIVOS:

Compreender o modo como o conceito de agrupamento está presente no jogo.

Material necessário: è E.V.A cortados em forma de ossos. è Papel pardo para confecção do cartaz. è Folhas com imagens de ossos.

Encaminhamentos: Como forma de iniciar a atividade, se faz necessário a leitura da carta para os

alunos. Depois disso, a turma pode ser organizada em grupos de quatro ou cinco alunos em cada, sendo que cada grupo deverá receber uma quantidade de ossos onde terão que encontrar uma forma rápida de agrupar os ossos para distribuir aos

O material

manipulável nesse jogo é essencial para

a resolução do problema.


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filhotes, também pode ser entregue para cada grupo uma quantidade de copos, onde eles poderão colocar os ossos visualizando assim o agrupamento por eles encontrado. Durante a realização da atividade, é possível que os alunos insistam na contagem dos ossos de um-a-um, neste momento é importante que o educador faça uma intervenção de uma forma que os alunos percebam que a contagem de um-a-um é demorada, estimulando que eles encontram outras possibilidades de agrupar sem contar os ossos de um-a-um. Este jogo promove várias possibilidades de agrupamento, então é importante ao final da atividade o professor de uma forma coletiva, expor as soluções encontradas e junto com eles questionar qual delas é a mais rápida para a distribuição dos ossos aos filhotes. Sugere-se que no final da atividade se escreva uma carta resposta para mamãe Lila dizendo qual foi à solução encontrada pelos alunos para ajudá-la a distribuir os ossos aos seus filhotes.

Os alunos participaram efetivamente dos jogos. No jogo “Quatro Ossos” os alunos gostaram dos recursos e não tiveram dificuldades para realizar as jogadas. No “Jogo dos Dados” como os alunos deveriam trocar oito ossos de EVA, pela figura de um cachorro, os alunos não queriam trocar, mas sim colorir o desenho dos Dálmatas. Então, combinamos que depois que jogassem poderiam levar para casa as figuras e colorir.


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Adição

O que significa adicionar? Por que adicionamos?

Motivados por essas questões procuramos evidências que nos permitam

compreender o movimento da construção do conceito da adição. As primeiras organizações sociais que temos registros nos dão uma ideia de

como os indivíduos dividiam as tarefas de modo que todos contribuíssem de algum modo para a manutenção desse grupo social. As atividades de coleta, caça, pesca e plantação, por exemplo, eram organizadas coletivamente, sendo que cada um era responsável por executar uma dessas tarefas, no entanto, os produtos gerados eram sempre um bem comum.

Baseado nessa organização dos primeiros grupos humanos pode-se inferir sobre a necessidade que estes tinham de em algum momento do dia juntar o que haviam coletado, caçado ou pescado, já que tudo era sempre coletivo. Claro que essa ideia ainda é muito distante da adição como hoje é sistematizada, mas nos permite entender a necessidade que o homem foi sentindo ao longo da história da sua própria existência de adicionar elementos a fim de verificar se esta quantidade total era suficiente.

Assim como os demais conhecimentos, o seu desenvolvimento foi um processo longo e que acompanhou a evolução do próprio homem, pois quanto maior o grupo social ficava maior era a necessidade do controle das quantidades, tanto dos indivíduos, quanto dos elementos que eram necessários para a manutenção desse grupo.

O desenvolvimento das sociedades com a expansão das rotas marítimas, a interação com outros grupos humanos, a criação do comércio e, consequentemente, o acúmulo de riquezas fez com que houvesse a necessidade de um controle mais aprimorado das quantidades. Isto levou o homem a desenvolver estratégias mentais que tornaram a adição um instrumento valioso para este controle.

Diferentes grupos criaram modos singulares e instrumentos diferentes para auxiliar no momento de efetuar a adição de duas quantidades ou mais. Um exemplo


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clássico que ainda utilizamos hoje é o ábaco, que por muito tempo foi considerado a principal ferramenta para efetuar não somente esta, mas também as outras operações.

Figura 1: Ilustração do ábaco romano de bolso

Fonte: Acervo do projeto 0 Ifrah (1998)

Curiosidade Inicialmente em operações de adição não havia símbolo para indicar soma, nem

traço separando as parcelas, como se faz atualmente, e para efetuação da operação, babilônios e egípcios usavam tabelas, já outros povos usavam ábacos ou mesmo nós em cordas. Na aritmética dos babilônicos, por exemplo, não existia símbolo especifico para adicionar números. De acordo com Silva (2003) apenas colocavam os algarismos um após o outro, isto é, por justaposição. Figura 1: Exemplo de algoritmo por justaposição: 30+2 é o mesmo que o símbolo para o

número 32.

Fonte: Charbet

A autora refere que talvez as primeiras abreviações para operações de adição foram usadas no século XIV: “p” como abreviação de “plus”. Leonardo de Pisa, também utilizava do termo “et” que significava “plus”, mais. O símbolo de positivo só foi popularizado de modo geral após o uso por Robert Recorde, na Inglaterra, no ano de 1557. No entanto, eram usados antes mesmo do aparecimento na escrita, pintados, por exemplo, em tambores para indicar se estavam completos.


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Quando pensamos em adição a primeira ideia que nos ocorre é o fato de juntarmos duas ou mais quantidades. O acréscimo de quantidades, sem necessariamente utilizar a contagem, caracteriza a essência da adição que está presente em duas ações mentais: associar duas ou mais quantidades e acrescentar certa quantidade a uma inicialmente estabelecida.

Para Caraça (1951) “a ideia de adicionar ou somar está já incluída na própria noção de número natural – o que é a operação elementar de passagem de um número ao seguinte, senão a operação de somar uma unidade a um número? ” (p. 17).

Devemos observar que a adição significa um nível de abstração mais elevado do que a contagem, tendo em vista que ela representa uma nova síntese. Retomando a ideia de que a adição envolve duas ações mentais distintas, vejamos dois exemplos. Exemplo 01 - Os moradores de um reino resolveram fazer duas hortas. Em uma delas plantaram 55 pés de alface e na outra 63. Como podemos descobrir a quantidade total de pés de alface que foram plantadas? Exemplo 02 – Na horta de seu João havia 35 pés de alfaces, na semana passada ele resolver construir mais um canteiro e plantou mais 20 pés. Como podemos fazer para saber a quantidade total de pés de alfaces que tem na horta de seu João agora?

Observarmos que no exemplo 01 a solução do problema requer a ação mental de associar duas quantidades de plantas. Já no exemplo 02 a solução requer a ação mental de aumentar uma quantidade inicialmente estabelecida pelo acréscimo de outra. A ideia de adição aparece durante as atividades cotidianas das crianças, inicialmente através da contagem em que fica evidente o acréscimo de uma unidade à quantidade anterior.

Assim, a ideia de juntar cinco objetos com outros quatro e obter nove, por exemplo, sem a contagem, se constitui como uma possibilidade vantajosa, pois assim não há a necessidade da quantificação unitária de cada peça, uma a uma individualmente.

Em geral, à criança deve-se colocar toda a situação que exija a síntese de quantidades pela adição.


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Unidade Didática

Considerando-se as reflexões contempladas no segmento anterior, é relevante pensarmos em como elaborar uma atividade de ensino que verse sobre a adição, e que coloque os alunos em um movimento de necessidade de juntar contemplando as duas ações mentais da adição. Nesta perspectiva, apresentamos como possibilidade uma história virtual, bem como jogos que possuem como finalidade materializar situações desencadeadoras de aprendizagem, as quais visam a apropriação do conceito, considerando que a síntese deve ser coletiva.

Dessa forma, primeiramente apresentamos a história virtual do conceito, intitulada “O reino encantado do CluMat”, a qual procura envolver o aluno na solução de um problema que está relacionado a satisfação da necessidade de controle de quantidade de modo mais rápido e eficiente que a contagem de uma maneira similar à ocorrida em determinado período histórico da humanidade.

O Reino Encantado do Clumat

Há muitos anos atrás, num vale lindo banhado por um belo rio de águas claras formou-se o Reino Encantado do Clumat. Nesse reino costumavam se reunir para cantar e dançar.

O Rei era muito justo e se preocupava com o bem estar da população, por isso todos tinham grande carinho e admiração por ele.

Com o verão se aproximando a preocupação do Rei ficava mais evidente, visto que no ano anterior o período foi de poucas chuvas e grande parte da plantação morreu.

A fim de que nenhuma pessoa do reino fique sem alimento durante essa época do ano o Rei teve uma brilhante ideia: as terras do castelo ficavam próximas ao rio, então ele resolveu criar alguns canteiros, pois caso houvesse novamente uma seca seria fácil molhar as plantas utilizando a água do rio.

Os moradores do reino adoraram a ideia e um grupo de camponeses se propuseram a organizar os canteiros. O Rei, juntamente com os moradores, escolheu os alimentos que seriam plantados nos canteiros: alface, beterraba, cenoura, repolho e espinafre.

Os camponeses, para registrar a quantidade que havia sido plantada, fizeram um quadro semelhante ao apresentado a seguir, e encaminharam para o Rei.


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1º canteiro

Alface – 10 pés

2º canteiro

Beterraba – 14

pés

3º canteiro

Cenoura – 18

pés 12

4º canteiro

Repolho – 12

pés 8

5º canteiro

Espinafre – 15

pés 16 O Rei ficou muito feliz ao receber o registro feito pelos camponeses, pois assim soube que o trabalho havia sido concluído, e poderia distribuir para as famílias que mais necessitavam. A Rainha, muito esperta, ficou com uma dúvida ao ver os registros e perguntou para o rei: - Meu querido Rei – disse a Rainha – nós precisamos pensar se a quantidade de alimentos que foi plantada será suficiente para nosso reino. Você sabe a quantidade total de plantas em nossa nova horta? O Rei ficou extremamente preocupado e confuso já que não sabia como poderia responder a pergunta que a Rainha havia feito. Para isso ele mandou um mensageiro andar por vários reinos em busca dessa resposta, no entanto ninguém pode ajudá-lo. Como o verão está próximo o Rei precisa que alguém o ajude a responder essa questão, ele precisa saber a quantidade de plantas pois se não for suficiente ele terá que pedir que os camponeses façam novos canteiros. De que maneira o rei pode descobrir quantas plantas há na horta?

Com base na história virtual do conceito, que pode ser relatada com a utilização de diferentes recursos, é entregue para os alunos o quadro com a representação da organização da horta e apresentado dois problemas desencadeadores.

O cenário ilustrado pode ser utilizado para

representação da história virtual, no entanto que

outros recursos você poderia construir?


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Quadro 02: Desenho da organização das plantas

Fonte: acervo do projeto.

Primeiro Problema Desencadeador

A partir do registro feito pelos camponeses da

organização da horta, de que forma o rei pode

descobrir a quantidade de plantas que há na horta do

Reino Encantado do Clumat?

Para a resolução do problema desencadeador é importante que o professor apresente

materiais manipuláveis, pois esse irá auxiliar o aluno no momento de responder a questão

proposta uma vez que o enfoque não deve estar no algoritmo, mas no conceito de

adição. O material pode ser palitos, tampinhas, botões ou ilustrações dos

alimentos plantados no reino, auxiliando assim na visualização do que foi

contemplado na história.


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Segundo problema desencadeador Em um segundo momento os alunos receberam uma carta do Rei, onde ele

agradecia a colaboração e pedia para que ajudassem a resolver uma nova situação. Salientamos que nesse segundo momento o objetivo está centrado nação mental de acrescentar.

A seguir apresentamos a carta enviada ao Rei.

Figura 2: Carta para o Rei


ACONTECEU: Inicialmente os alunos tentaram resolver a situação problema através da contagem um-a-um. A mediação do professor, com o auxílio do material, permitiu que eles utilizassem a ação mental de juntar atribuindo uma nova qualidade ao controle de quantidades. O registro dessa atividade deu-se por meio da escrita de uma carta que foi encaminhada para o Rei comunicando o modo com eles haviam resolvido o problema, juntamente com o total de plantas que havia na horta.


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Assim, de acordo com a carta enviada pelo rei aos alunos, destacamos o segundo problema desencadeador que está relacionado à ação mental de acrescentar:

Os problemas desencadeadores mencionados buscam constituir um espaço em que os alunos elaborem e expressem hipóteses, evolvendo-se com o contexto, sendo de essencial importância a participação do professor enquanto mediador nesse processo de ensino e aprendizagem.

ACONTECEU: Na segunda situação apresentada aos alunos eles já conseguiram resolver mais rapidamente demonstrado que a ação mental de acrescentar conduz a apropriação do conceito de juntar que constitui a essência da adição. Para isto, foi importante a utilização do material manipulável.

O quadro a seguir apresenta, de forma resumida, os momentos que compõe a

Unidade Didática intitulada “O reino encantado do Clumat”.

Quadro 3: Quadro síntese dos momentos da atividade de ensino Momentos Ações desenvolvidas

1º Momento Apresentação da história virtual do conceito: “O reino encantado do Clumat”

2º Momento Proposta e síntese do primeiro problema desencadeador – ação mental de juntar

3º Momento Envio de uma carta pelo personagem principal da história virtual do conceito

4º Momento Proposta e síntese do segundo problema desencadeador – ação mental de acrescentar

5º Momento Jogos Fonte: acervo do projeto.

O próximo item desse texto está destinado à apresentação dos jogos que podem ser desenvolvidos a partir da atividade de ensino proposta para a operação de adição.

No primeiro plantio, conforme vocês registraram havia 60 plantas, mas na mesma tarde em que recebi a carta de vocês foi plantada mais 25 plantas. De que forma posso

descobrir quantas plantas há na horta?


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JOGOS

BINGO DA ADIÇÃO

Objetivo do jogo:

- Somar a quantidade de produtos presentes nas faces dos dois dados; - Encontrar na cartela o algarismo correspondente à adição da quantidade de

produtos; - Preencher a cartela com marcadores.

Materiais necessários: è Dois dados; è Cartelas; è Fichas de registro; è Marcadores. Encaminhamentos:

Os alunos irão compor pequenos grupos (4 a 5 integrantes) sendo que cada grupo receberá dois dados com representações dos produtos presentes na história virtual (alface, beterraba, cenoura, espinafre e repolho), e cartelas compostas por números naturais, bem como fichas de registro individuais. Após jogar os dois dados, o aluno deve fazer o registro das quantidades e verificar se sua cartela possui o número correspondente efetivando a devida marcação com a utilização do material

Para essa situação, o professor poderá utilizar materiais

manipuláveis para auxiliar na resolução.


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disponibilizado. Assim, o jogo conclui no momento em que todos os alunos preenchem a cartela do bingo com os marcadores.

Figura 3: Tabela de registros


ACONTECEU: O principal desafio que este jogo apresentou ao ser realizado foi o fato deste ser desenvolvido em dois momentos diferentes. Em um primeiro momento os alunos deveriam jogar os dados e a partir dos valores obtidos realizar a operação de adição. O segundo momento eles deveriam verificar se o número obtido era encontrado em sua cartela. Nas primeiras rodadas os alunos ficaram um pouco confusos por isto a mediação do professor foi um elemento de extrema importância para o jogo pode ocorrer da forma como foi planejado.

É relevante, que no momento do jogo, o professor não se

detenha em enfatizar o algoritmo, mas sim que isso ocorra em intervenções que possuam outros objetivos.


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COLETORES DE FRUTAS

Objetivo do jogo: - Registrar corretamente as quantidades de frutas encontradas no percurso até o castelo; - Criar estratégias para descobrir a quantidade total de frutas coletas. Materiais necessários: è Cartolina; è Dados; è Fichas de registro; è Marcadores. Encaminhamentos:

Os alunos irão compor pequenos grupos (2 a 4 integrantes). Cada grupo receberá uma trilha que convida os alunos a conhecer o Castelo do reino do CluMat. No entanto para chegar até o castelo eles deverão passar pela floresta e irem coletando as frutas que encontrar para levar até o castelo, pois com essas frutas será feito deliciosas tortas para a festa que o Rei irá fazer. Os alunos devem percorrer o caminho de acordo com o número sorteado no dado, e os registros dos produtos coletados serão organizados em fichas individuais. Ganha o jogo quem coletar mais frutas no percurso até o castelo.

Para a realização desse jogo foi construída uma

trilha com elementos presentes na história

virtual.


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Figura 4: Ficha de registros


ACONTECEU: Este jogo por ser semelhante a um jogo de trilha, já conhecido

pelos alunos transcorreu de forma mais tranquila, o principal destaque foi a utilização do material manipulável para auxiliar no processo de soma das

quantidades das frutas coletadas.

CAMINHO DO REINO Objetivo: - Registrar corretamente os valores encontrados nos dados; - Criar estratégias para descobrir a quantidade total de frutas coletas.

Ao participarem do jogo os alunos podem sentir a necessidade de utilizar o material manipulável,

assim é importante disponibilizar, por exemplo, tampinhas,

canudinhos, dentre outros materiais que auxiliem na

efetivação do proposto.


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Materiais necessários: è Trilha; è Dois dados; è Fichas de registro; è Marcadores.

Encaminhamentos:

Cada grupo, composto por 2 a 4 integrantes, irá receber uma trilha que visa com que os alunos cheguem até o reino do Clumat. Os quatro caminhos são compostos por seis linhas verticais que possuem diferentes números naturais (de 2 a 12). O aluno deve lançar os dados, efetivar o registro das quantidades na respectiva ficha disponibilizada, realizar a soma e caso possua o número na linha seguinte deve movimentar seu marcador, buscando assim chegar até o reino.

Figura 5: Ficha de registros

1ª rodada

Dado 1 Dado 2 Total


Aoparticiparemdojogoosalunospodemsentiranecessidadedeutilizaromaterialmanipulável,assiméimportantedisponibilizar,porexemplo,tampinhas,canudinhos,dentreoutrosmateriais

queauxiliemnaefetivaçãodoproposto.

O jogo é constituído, também por dois dados com numeração de 1 a 6, e por um tabuleiro com numeração de

2 a 12, mas o professor pode fazer alterações, considerando o contexto

em que irá ao propor.


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Subtração

O que significa subtrair? Por que subtraímos?

A subtração, assim como as demais operações aritméticas básicas da

matemática, surgiu diante das necessidades sociais de povos que compravam e trocavam mercadorias, mas não sistematizavam as operações matemáticas realizadas.

Na África, por exemplo, usava-se a subtração para calcular o número de moças em idade de casar ou jovens em idades para portar armas, esse procedimento servia para recensear uma população a partir da correspondência um a um.

Não faz muito tempo, em certas aldeias africanas o método era ainda usado para recensear as moças em idade de se casar (ou enumerar os jovens aptos a portar armas). Quando atingiam a idade requerida, cada uma confiava um pequeno anel metálico à “casamenteira” da aldeia, que o enfiava numa correia com outros objetos semelhantes. Depois, pouco antes da cerimônia, cada esposa recuperava seu anel, e o que restava permitia avaliar facilmente o número de ‘moças para casar’ no momento. Eis, portanto, uma maneira bem prática de efetuar uma subtração quando não se sabe calcular por meios como os nossos (IFRAH, 1997b, p. 192).

Percebemos, deste modo, que a principal função pela qual se utilizava a subtração era o controle da quantidade, ou seja, se conhecendo a quantidade e retirada uma parte dela, podemos saber a quantidade que restou.

CURIOSIDADE: Esta ação de retirar uma parte de certa quantidade também era usada na guerra, pois quando o exército partia para a expedição, cada homem largava uma pedra em um monte e, quando retornava, retirava uma pedra. Com as que sobravam no monte era possível saber quantos homens não haviam voltado, o que certamente representava quantos haviam morrido na batalha (IFRAH, 1997a, p. 192).

Conforme aumentavam as quantidades que o homem precisava controlar,

aumentava também a dificuldade que ele encontrava de satisfazer esse problema. Dessa forma, conforme as suas necessidades foram modificando-se, os instrumentos utilizados para satisfazê-las também tiveram que se aprimorar. Assim, nos exemplos que Ifrah (1997a) nos apresenta, ao longo do tempo o homem percebeu que o procedimento de utilizar pedras para o controle de quantidades era limitado e não podia satisfazer os problemas cotidianos cada vez maiores, pois para contar até mil, por exemplo, seriam necessárias mil pedras (IFRAH, 1997a, p.192). Com isso,


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também a forma de operação de subtração foi sendo modificada até dar origem ao algoritmo matemático utilizado hoje.

CURIOSIDADE: A subtração aparece no Papiro de Rhind como operação inversa da adição, o que é comprovado pelos símbolos que representam essas operações: eles eram idênticos, porém voltados para direções opostas. Para representar a adição, utilizavam pernas voltadas para a direção da escrita e para subtração na direção oposta. (SILVA, 2003, p. 27)

Os símbolos operatórios eram usados desde a Babilônia, pelos matemáticos, para economizar tempo substituindo as palavras pelos símbolos. Os babilônios para adicionar números não utilizavam símbolos, apenas colocavam um após o outro, justaposição. Já para a subtração usavam um símbolo entre os dois algarismos, para distinguir da operação da adição.

Figura 00 – Símbolo subtração

Fonte: Silva, 2003

No século XIV, usavam a letra m como símbolo para a operação de subtração, abreviação de minus. (SILVA, 2003, p. 21).

Figura 00 – Evolução do símbolo

Fonte: Tropfke, 1980, apud, Silva, 2003 O sinal menos foi usado entre os gregos por Diofante, por volta de 250 a.C.

(PEREIRA, 1987, p. 62). Na aritmética de Treviso, a subtração era explicada da seguinte forma: “de dois

números pode-se achar a diferença, isto é, do menor para o maior, resta a diferença. Por exemplo, tome 3 de 9 e resta 6. É necessário que se tenha dois números na subtração, um que será extraído do outro” (SILVA, 2003, p. 31). Embora não seja usado um símbolo para subtração, aparece um traço horizontal separando o minuendo e o subtraendo.


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Já os escribas de Sumer usavam o símbolo subtrativo para simplificar as notações, por exemplo, escreviam o 9 como 10 - 1, 18 como 20 - 2 (IFRAH, 1997a, p. 178).

Entendemos que problemas ou perguntas do tipo: “No parque havia 29

crianças e saíram 17. Quantas crianças ficaram no parque? ”; “Eu tinha 50 reais e gastei 15 reais. Com quanto dinheiro fiquei? ”; “Bruno possuía R$ 550,00 na sua caderneta de poupança. Retirou R$ 200,00. Quanto restou na sua poupança?" Podem nos indicar caminhos para a sua resolução a partir de estratégias relativas a subtração, assim como ocorreu com a humanidade. Entretanto, ressaltamos que apenas uma pergunta solta, descontextualizada, não atende aos objetivos do ensino e da apropriação de conceitos matemáticos, faz-se necessária a organização do ensino por parte do professor voltada para essa intencionalidade.

A partir do que apresentamos sobre a subtração, percebemos que de modo semelhante à operação da adição, a subtração objetiva o controle de variação de quantidades. Embora, neste caso, este controle refere-se ao movimento de decréscimo de quantidades.

É possível que as primeiras situações de decréscimo com as quais o homem se deparou envolviam a ação mental de retirar, embora as ações mentais de completar e comparar também atendam a necessidade de subtrair.

Entendemos que na organização do ensino de matemática nos anos iniciais é importante realizar atividades que oportunizem ao aluno resolver situações que envolvam as três ações mentais. ● Retirar: Nas situações que envolvem a ação de retirar, observamos que existe um todo do qual é retirada uma parte, e a outra parte, que permance, fica menor. Desta forma, percebemos três tempos: um estado inicial, a ação que transformou a quantidade inicial e um estado final. A ação de retirar é o inverso da ação de acrescentar. ● Completar: Nas situações que envolvem ações de completar, percebemos que há um todo que pode ser completado, ou seja, uma quantidade que quando completada por outra quantidade resulta em uma terceira quantidade, maior que as outras duas. A ação de completar da subtração é o inverso da ação de juntar da adição


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Exemplo: No supermercado, as compras de Maria totalizaram R$7,00. Para pagar, Maria entregou uma nota de R$10,00 ao caixa do supermercado. Quanto Maria recebeu de troco?

Para calcularmos o troco o caixa vai entregar a Maria, podemos imaginar que o mesmo poderá completar, de um em um real, os R$7,00 que Maria gastou até completar R$10,00. Notamos que o caixa devolverá R$3,00 para Maria como troco.

● Comparar: Nas situações que envolvem as ações de comparação, precisamos encontrar a diferença entre duas quantidades. Para isso, por meio da comparação, percebemos o quanto uma quantidade é maior ou menor que a outra.

Exemplo: João pesa 36 kg e Leonardo 70 kg. Quantos quilogramas Leonardo tem a mais que João? Para encontrar a diferença entre as duas quantidades, podemos perceber que João precisaria pesar 34 quilos a mais para pesar o mesmo que Leonardo.

Outros exemplos, a seguir, podem fazer parte de situações que desenvolvam a ação de comparar:

a) João tem 16 figurinhas e Lucas tem 12. Quantas figurinhas Lucas tem a menos que João?

b) Cátia tem 7 filhos e Márcia tem 4 filhos. Quantos filhos Márcia tem a menos que Cátia? Ou quantos filhos Cátia tem a mais que Márcia?

As expressões “a menos” e “a mais” sugerem a ação de comparar as quantidades para obter a diferença entre elas.

Entendemos que ao realizar atividades que envolvam subtração, é

fundamental compreender o significado de cada número em uma situação, pois quando comparamos para achar diferença entre duas quantidades, estamos lidando com a relação todo/parte.

Podemos entender a subtração no seu processo conceitual como uma operação inversa da adição, a partir da seguinte questão: Conhecida a soma de dois números e uma das parcelas, como determinar a outra parcela? Assim, como a subtração e a adição são operações inversas, uma pode ser usada para verificar a outra – conhecida como prova real. (DIAS e MORETTI, 2011).

Ao realizar subtrações, é necessário compreender primeiramente operações simples, com números pequenos, sem que haja necessidade de realizar


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reagrupamentos, tanto ao utilizar materiais manipuláveis quanto o algoritmo, fazendo assim uma graduação das dificuldades.

Após perceber que o aluno compreendeu este movimento, o professor pode planejar situações onde exista a necessidade do recurso, isto é, desfazer os agrupamentos para conseguir realizar a operação. Esse movimento também é conhecido como “pedir emprestado”, e consiste em decompor uma dezena em dez unidades, e somá-las com as unidades já existentes no primeiro valor... e assim por diante.

Lembramos que tanto o recurso, como a reserva, é baseados no princípio de agrupamento do Sistema de Numeração Decimal, que já apresentamos anteriormente.

A partir de agora discutiremos uma proposta de atividade de ensino que não exige agrupamento e reagrupamento e que tem o objetivo de contemplar as três ações mentais relacionadas a subtração.

Unidade didática A atividade de ensino proposta tem como objetivo proporcionar aos alunos,

por meio de uma história virtual, experiências que despertem a necessidade de subtrair dois números naturais, de forma semelhante às situações vivenciadas pelo homem ao longo do tempo utilizando as ações mentais de retirar, completar e comparar.

Para isto vamos apresentar nesta proposta três problemas desencadeadores a partir de uma história virtual, entretanto, pode-se utilizar distintas possibilidades, como jogos ou situações emergentes do cotidiano.

Da mesma forma, esta proposta foi pensada para ser apresentada na forma de teatro, mas que pode ser realizada através de fantoches, palitoches, vídeos, etc.


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Figura 5: Fotos da história



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História Virtual: Baile encantado Vocês lembram da história da Cinderela? Aquela história em que um príncipe

conhece sua amada em um baile e, misteriosamente, à meia-noite ela vai embora correndo e perde seu sapatinho de cristal? E então ele sai a procura dela por todo o reino até encontrá-la e pedi-la em casamento? Bom, esse cara sou eu e agora vou contar para vocês o que aconteceu depois disso...

Descobri que minha amada se chamava Cinderela e, como é tradição vou oferecer um baile para apresentá-la aos moradores do meu reino. Antes do baile serviremos um jantar e, em seguida, eu e Cinderela conduziremos os casais presentes a dançar uma valsa. Os rapazes e moças que serão convidados para a ocasião são os meus amigos e os de Cinderela.

A nossa lista final de convidados foi de 50 pessoas. Fui ao reino para entregar os convites, mas como as casas dos convidados eram distantes umas das outras, não consegui entregar todos num único dia. Foram entregues 27 convites hoje e o restante será entregue amanhã.

Nos convites das moças havia uma fita cor-de-rosa e dos rapazes uma fita azul, que obrigatoriamente deveriam ser entregues na porta do castelo, para evitar a entrada de pessoas não convidadas como, por exemplo, as filhas da madrasta de Cinderela. Embora Cinderela as tenha perdoado, elas ainda continuavam más e vingativas e se fossem ao baile, poderiam sabotá-lo. Hoje entreguei 27 convites e amanhã entregarei o restante. Vocês sabem

me dizer como podemos fazer para descobrir quantos convites ainda faltam para serem entregues? – disse o príncipe.

Chegou o grande dia, e o castelo está muito movimentado com a chegada das carruagens que estão trazendo os convidados para o baile. Na entrada do castelo é preciso apresentar a fita que está no convite, assim temos o controle de quantas pessoas já chegaram para o jantar e também podemos saber se haverá pares suficientes para dançarmos a valsa.

Já está na hora de servirmos o banquete e chegaram 38 convidados. Temos que descobrir quantos ainda faltam chegar. Como podemos fazer

isto? – disse a Cinderela. Após o banquete, eu e Cinderela iremos dançar a valsa que começará o baile,

mas para que isso aconteça precisamos de um número mínimo de pessoas para que


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estas formem os pares para a dança. Isso só seria possível de saber devido à entrega das fitas na entrada do castelo. Para sabermos se podemos começar o baile, precisamos verificar quantas moças e quantos rapazes já chegaram.

Veja só Cinderela, temos aqui 24 fitas azuis e 18 fitas cor de rosa. Isso significa que existem mais rapazes que moças em nosso jantar, e alguns

deles ficarão sem dançar. Como podemos descobrir quantos rapazes tem a mais que moças? – disse o príncipe.

A seguir apresentaremos alguns encaminhamentos possíveis para o desenvolvimento de uma unidade didática sobre o conteúdo matemático da subtração.

Resolução dos problemas desencadeadores a partir de diferentes estratégias

Objetivo: Encontrar coletivamente a solução para cada um dos problemas desencadeadores apresentados durante a história virtual. Materiais necessários: - Material para manipulação e registro das soluções das crianças Encaminhamentos: - Cada um dos problemas apresentados visa atender uma ação mental diferente da subtração, assim cada um deles pode ser discutido separadamente durante a apresentação da história. - Da mesma forma, cada problema pode ter um material e um encaminhamento diferenciado para o registro da sua resolução.


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a) O primeiro problema refere-se à ação mental de retirar.

– Hoje entreguei 27 convites e amanhã entregarei o restante. Vocês sabem me dizer como podemos fazer para descobrir quantos convites ainda faltam para serem entregues? – Disse o príncipe.

Figura 6: Fotos da atividade


A mediação do professor nos momentos de dificuldades e impasses dos alunos

é fundamental para a apropriação do conceito e resolução do problema.


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Uma possibilidade para o registro da solução encontrada pelas crianças, pode ser através de desenhos e frases curtas, bem como a elaboração de uma breve carta.

b) O segundo problema refere-se a ideia de completar:

– Já está na hora de servirmos o banquete e chegaram 38

convidados. Temos que descobrir quantos ainda faltam chegar. Como podemos fazer isto? – disse a Cinderela.

A solução de problemas que partem desta ideia pode ser considerada a mais

difícil para as crianças resolverem sem a presença de materiais palpáveis, ou o auxílio de colegas ou do professor. Assim, um fator preponderante para a apropriação do conceito em questão é o papel da coletividade durante a atividade.

Figura 7: Fotos da atividade.



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c) O último problema refere-se a ideia de comparar: – Veja só Cinderela, temos aqui 24 fitas azuis e 18 fitas cor de rosa.

Isso significa que existem mais rapazes que moças em nosso jantar, e alguns deles ficarão sem dançar. Como podemos descobrir quantos

rapazes tem a mais que moças? – disse o príncipe.

Figura 8: Fotos da atividade


Um registro através de cartaz construído coletivamente e depois socializado

com toda a turma, é uma interessante estratégia para cada grupo apresentar sua solução.


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JOGOS

BOLICHE EM EQUIPES

Objetivo do Jogo: Derrubar os pinos, contabilizando a maior quantidades de pontos por meio de cálculos de subtração. Materiais necessários: - 14 garrafas pequenas para representarem os pinos - 1 bola - Material para registro Encaminhamentos: - Dividir a turma em grupos, de modo que cada grupo utilizará um jogo completo de boliche. - Identificar cada aluno com um número e uma ordem para jogar. - Em cada rodada são acrescentadas duas garrafas no jogo. Assim, na primeira rodada há 8 garrafas e o primeiro aluno joga a bola. Em seguida ele registra os seus resultados no seu material de registro:


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Quadro 4: Tabela de registro

Equipe: ______________________________________

Jogador

Tinha quantas garrafas?

Caíram: Ficaram:

1 2 3 4 5


- O segundo aluno irá jogar agora com 10 garrafas. E novamente registrar os seus resultados no quadro. O terceiro aluno jogará com 12 garrafas, o quarto com 14 garrafas, e se houver mais o professor acrescentará sempre duas garrafas até o suficiente.

Ao final a turma pode organizar um painel coletivo para a contagem dos pontos das equipes.


EQUIPE TOTAL DE PONTOS



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- Os pontos são obtidos quando as garrafas caem, cada garrafa derrubada vale um ponto. Assim ganhará o jogo a equipe que derrubar mais pinos. - A partir da construção do painel coletivo o professor poderá explorar as seguintes questões com a turma: ▪ Qual equipe foi a vencedora? ▪ Qual a diferença de pontos entre a primeira e a última colocada? ... Entre a 2ª e a

4ª?

▪ Na 1ª rodada, o jogador de qual equipe marcou mais pontos? Quantos a mais do que aquele que fez menos pontos? Na 2ª ... na 3ª ...?

- Após essa exploração, outras variações do boliche podem ser jogadas com as crianças, como, por exemplo, uma disputa entre as equipes com todas as garrafas.

Figura 7: Fotos do jogo



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FECHE A DIFERENÇA3

Figura 8: Tabela do jogo

Fonte: acervo do projeto – retirado de: http://pacto.mec.gov.br/images/pdf/cadernosmat/PNAIC_MAT_Caderno%2 0jogos_pg001-072.pdf Objetivo: Identificar quantidades e realizar contagens, percebendo a diferença entre duas quantidades por meio do cálculo de subtrações. Materiais necessários: - 1 tabuleiro conforme figura 00 - 2 dados comuns - 24 cartões coloridos (6 vermelhos, 6 azuis, 6 verdes e 6 amarelos) Número de jogadores: 4 participantes.

3(Proposta adaptada:

http://pacto.mec.gov.br/images/pdf/cadernosmat/PNAIC_MAT_Caderno%20jogos_pg001-072.pdf)


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Encaminhamentos: - Cada participante escolhe uma cor: amarela, verde, vermelha ou azul. Pega assim as fichas correspondentes e se posiciona de frente ao tabuleiro da cor escolhida. - O primeiro jogador lança os dois dados simultaneamente, identifica os números e calcula a diferença entre as quantidades obtidas entre os dados. - O número correspondente a diferença obtida deve então ser coberto no tabuleiro por um cartão do jogador. - Os demais jogadores realizam os mesmos procedimentos. - Se o número correspondente a diferença já estiver coberto, o jogador deverá passar a vez ao colega. - O vencedor será aquele que fechar todos os números da sua cor primeiro.

Neste jogo, as crianças fazem uso da ideia comparativa da subtração por meio

do cálculo da diferença entre duas pequenas quantidades, de modo a estimular, também, o cálculo mental. As crianças podem ser estimuladas a verbalizarem as quantidades obtidas nos dados, em cada jogada, assim como a diferença entre essas duas quantidades, marcando-a no tabuleiro.

QUANTOS OVOS FALTAM PARA COMPLETAR A CAIXA

Figura 9: Caixa de ovos.

Fonte: acervo do projeto – retirado de: http://pixabay.com/pt/caixa-alimentos-desenhos-animados-40292/ Objetivo: Fechar a caixa com ovos a partir de cálculos subtrativos. Materiais: - 1 dado azul;


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- 24 fichas vermelhas e 24 amarelas; - 2 cartelas representando caixas de ovos de uma dúzia, ou 4 cartelas representando caixas de ovos com meia dúzia. Números de jogadores: 2 ou 4 (dependendo das cartelas) Encaminhamentos: - Cada participante recebe uma cartela, 12 fichas vermelhas e 12 fichas amarelas. - O jogador lança o dado e o número obtido indica quantas fichas vermelhas devem ser colocadas na cartela a cada jogada. Já as fichas amarelas, devem ser utilizadas para preencher os espaços restantes na cartela. - Todos os jogadores seguem essas instruções. - O número de fichas amarelas corresponde a pontuação dos jogadores em cada rodada. - Caso o dado lançado tenha o número 6, toda a cartela deverá ser preenchida com as fichas vermelhas e o jogador não marcará ponto. - Será o ganhador quem completar a cartela com o maior número de fichas amarelas, ou seja, quem obtiver mais pontos com as fichas amarelas.


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Multiplicação

Introdução

O que significa multiplicar? Por que multiplicamos?

A multiplicação surgiu quando o ser humano sentiu a necessidade de controlar a variação de grandes quantidades, de forma rápida, agilizando a contagem. Acreditamos que este movimento se originou da necessidade humana de contar quantidades muito elevadas, pois quando não conseguia contar apenas por pequenos agrupamentos, passou a agrupar quantidades maiores e somar consecutivamente. Esta necessidade de somar cada vez mais e mais rápido, de modo eficiente, pode ter dado início a ideia da tabuada.

A partir de pesquisas sobre a origem histórica do conceito de multiplicação, observamos que diversos povos criaram mecanismos para resolver problemas com esta operação.

Os primeiros registros foram encontrados na Mesopotâmia e consistiam em tábuas de barro que datam de 2000 a.C e 300 d.C. Estas tábuas de multiplicação possuíam numeração de base 60 característica desta cultura.


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Curiosidade

No Egito, civilização posterior a Mesopotâmia, o documento que retrata o surgimento dos cálculos é o Rhind, obra de Ahmes do ano de 1650 a.C. O método para realizar multiplicações entre este povo era a duplicação. Em duas colunas colocavam, a direita o multiplicando que se duplicava sucessivamente o número de vezes indicado na coluna a esquerda (Gómes ??). Logo, para multiplicar, por exemplo, 56 X 25 obtemos as seguintes colunas.

1 2 4 8 16

56 112 224 448 896

Para obter o resultado da multiplicação 56 x 25 devemos escolher na coluna da esquerda os números que a soma resulta em 25, ou seja, 1 – 8 – 16. Finalizando, somamos os resultados correspondentes da coluna da direita:

56

+ 448 896

1400 A duplicação sucessiva nos aponta a característica essencial que falicita sua

utilização. Gómes (??) afirma que a origem deste método é incerta, mas a mais provável, é que inicialmente os problemas multiplicativos eram resolvidos pela soma reiterada. Mas com o passar do tempo, quando foi preciso realizar uma soma, como no exemplo de 25 vezes, tornou-se uma tarefa demorada e cansativa. Assim, o método de duplicações facilitou o trabalho dos egípcios.

Através desse relato é possível perceber que a multiplicação pode agilizar

extensas somas, as quais surgiam na medida em que as civilizações e a vida em sociedade se desenvolviam. Talvez isso justifique o fato de que os registros históricos atrelados à multiplicação possuem ênfase nos diferentes algoritmos desenvolvidos pelos povos, mas o professor deve lembrar que a essência não está no uso das diferentes técnicas, mas na compreensão do que significa multiplicar.

A possibilidade de controlar quantidades por meio da multiplicação implica em adicionar parcelas iguais, que pode ser organizada por meio de três ações mentais.

a) Organização em grupos com igual quantidade em cada grupo

Por exemplo: se tivermos quatro cestas e em cada uma delas tem três pães, como podemos saber quantos pães termos aos todo?


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Para a solução desta situação podemos pensar em 4 grupos, sendo que em cada um deles temos a mesma quantidade de elementos, neste caso, 3. Assim, para saber o total de pães somaremos 4 vezes a quantidade 3.

Figura 10: Pães


b) Organização em linhas e colunas

Por exemplo: numa caixa de bombons retangular, cabem 5 bombons na horizontal e 6 na vertical. Se todos os espaços estiverem ocupados, como fazer para saber quantos bombons tem na grade?

Quadro 06: Doces


Observemos que também podemos

inverter a posição da grade e considerar 5 linhas e 6 colunas.


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Para solucionar esta situação, poderia ser feita a contagem um a um, no

entanto, objetivando agilizar a contagem, podemos observar que temos uma organização retangular em 6 linhas e 5 colunas. Deste modo, como cada linha possui o mesmo número de bombons (5, sendo um em cada coluna), adicionamos 6 vezes a quantidade de 5 bombons.

c) Combinação de elementos

Por exemplo: suponhamos que temos dois bolinhos, um de cada sabor

(chocolate e laranja) e quatro coberturas (limão, chocolate, morango e abacaxi). Como poderíamos fazer para saber quantas combinações diferentes seriam possíveis utilizando um tipo de bolo com um tipo de cobertura?

Figura 11: Combinação de elementos



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Para solucionar este problema fazemos todas as combinações possíveis e

teremos iguais possibilidades para cada um dos bolinhos. Assim, como são 2 bolinhos, somamos duas vezes as quatro possibilidades de cobertura.

Ao se apropriar dos processos das diferentes ações mentais, o aluno poderá resolver diferentes situações que envolvam a multiplicação, pois a adição de parcelas iguais pode ser aplicada a qualquer situação que envolva esta operação.

CURIOSIDADE François Viéte (1540-1603), em 1951, usava a palavra latina “in” para indicar a operação da multiplicação. Somente no século XVII, encontra-se o primeiro registro da cruz para indicar essa operação. Deve-se a William Oughterd (1574-1660), em 1637, o uso da cruz para indicar a multiplicação. Já o uso do ponto é atribuído a Leibniz (1646-1716), que evitava a cruz “x” para não confundir com a incógnita, mas, em seus escritos de juventude ele utilizava o símbolo ∩, um arco. (Extraído do texto “Explorando as Operações Aritméticas com Recursos da História da Matemática”, 2003, p.)

Unidade didática

Esta unidade didática tem como principal objetivo levar o estudante a fazer uso das ações mentais relativas à multiplicação. Para isto propomos uma história virtual com um problema desencadeador que envolve a ação mental de organização em grupos com igual quantidade em cada grupo. Posteriormente são apresentadas outras duas situações envolvendo: organização em linhas e colunas e combinação de elementos

a) Situação 1

História Virtual O padeiro Rodolfo e o problema da contagem dos pães

O padeiro Rodolfo trabalha na “Padaria das delícias”, onde existem

muitos produtos como: sonhos decorados com confeitos, bolachas recheadas com queijo e goiabada, muitos doces com cobertura de brigadeiro e frutas, e é


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claro muitos pães distribuídos em formas que saem de um grande forno. Um certo dia, o seu chefe lhe chamou para pedir que a contagem dos

pães fosse realizada de um modo rápido, pois ao contarem de um em um, como eles faziam normalmente, estavam atrasando a venda para os clientes.

O padeiro Rodolfo ficou muito preocupado e sentiu-se perdido em meio a tantas formas de pães.

(Padeiro Rodolfo) - Estou muito preocupado, pois cada vez que uma fornada de pão sai do forno tenho que contar, e como preciso agilizar a contagem não posso contar de um em um. Mas de que outra maneira posso fazer?

O padeiro ficou com o olhar triste e de cabeça baixa pensando em uma forma de agilizar a contagem de seus pães. Até que, de tanto pensar, teve uma ótima ideia.

(Padeiro Rodolfo) – Posso pedir ajuda as crianças do 2º ano. Vocês me ajudam? Como posso fazer para contar os pães que saem em cada fornada, sem contar um a um?

Após a história virtual é interessante problematizar com as crianças novamente a questão feita pelo padeiro Rodolfo. Neste momento o professor apresenta o material que pode ser, por exemplo, 6 formas com 4 pães cada; e enfatizar que a contagem não pode ser feita um a um, para incentivar os alunos a pensarem em estratégias eficazes e mais rápidas.

O objetivo dessa situação desencadeadora é proporcionar aos alunos a experiência de encontrarem coletivamente um modo de chegar a solução

A história virtual pode ser contada em

forma de teatro, por meio de fantoches ou

através de uma carta endereçada aos

alunos.


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matematicamente correta, a qual consiste em compreender o processo lógico histórico que levou a humanidade a multiplicar.

Para iniciar este momento da atividade, a turma pode ser dividida em 3 ou 4 grupos, e cada grupo receber, por exemplo, 6 formas todas com 4 pães cada.

O padeiro pode pedir à turma que confeccionem cartazes com as formas de pães para explicar ao seu chefe qual a melhor estratégia para ajudá-lo com seu problema.

A solução estaria relacionada a ação metal de organizar grupos com igual quantidade de elementos, visto que em cada uma das 6 formas tem a mesma quantidade de pães. Assim, para saber o total somaremos 6 vezes a quantidade 4

ACONTECEU: Neste momento as crianças receberam as 6 formas com quatro pães cada e foram indagadas de que forma poderíamos contar de forma rápida e eficiente, com isso elas sugeriram agrupamentos de 2 em 2 ou de 3 em 3. Assim, chamamos a atenção para a organização das formas e se não poderíamos fazer uso delas. Logo, os alunos em grupo perceberam que a maneira como os pães estavam dispostos poderia auxiliar na contagem, ou seja, eles poderiam contar 6 vezes o número 4, chegando ao resultado de 24 pães.

Neste momento é interessante que o professor realize a mediação,

questionando os grupos visando que os cartazes contemplem as discussões coletivas sobre o porquê de as formas serem somadas consecutivamente. Após, eles podem explicar para a turma como o grupo pensou em ajudar o padeiro Rodolfo. Assim ao final, espera-se que compreendam que independentemente do número de formas que possuam, a estratégia de resolução é sempre a mesma, que ao somar consecutivamente as quantidades das formas de pães obterão ao total a mesma quantidade como se contassem um a um.

Além de um cartaz de papel pardo ou cartolina, outra possibilidade é de que professor escreva com as crianças uma carta resposta para o padeiro explicando como ele pode resolver o seu problema na contagem dos pães.

b) Situação 2

Como continuidade pode ser proposta uma situação desencadeadora de

aprendizagem que remeta a ação mental de combinação de elementos.


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Assim, objetivando proporcionar aos alunos a experiência de desenvolver uma situação multiplicativa que envolva a ação mental da combinação entre elementos de conjuntos distintos, pode-se fornecer material manipulativo que represente dois tipos distintos de pães e três tipos diferentes de recheios de sanduíches e um quadro para o registro.

Como encaminhamento a turma pode ser dividida em 3 ou 4 grupos, sendo disponibilizado a cada grupo o material manipulativo que represente os tipos de pães e tipos de recheio de sanduíche, de modo que busquem a solução de um problema que envolva a montagem de sanduíches.

(Padeiro Rodolfo) – Além de ser responsável pela contagem dos pães, também preciso montar os sanduíches. Para isso tenho dois tipos de pães e três tipos de recheio, que são: queijo, presunto e frango. Preciso fazer sanduíches diferentes, mas estou confuso... Como posso fazer para saber quantos sanduíches diferentes posso montar com estes ingredientes utilizando apenas um recheio em cada pão? Vocês podem me ajudar?

Para auxiliar as crianças na montagem dos sanduíches o professor pode

fornecer o quadro das possibilidades, para que não se percam no momento em que estiverem montando os sanduíches. Através da manipulação dos materiais espera-se que as crianças concluam que para solucionar este problema fazemos as combinações possíveis e teremos iguais possibilidades para cada um dos pães. Assim, como são 2 pães, somamos duas vezes as três possibilidades de recheio. Para o registro, pode-se fazer uso do quadro ou incentivar que registrem através de desenhos as possibilidades de sanduíches que poderão ser criados.

Quadro 07: Possibilidades de sanduíches


Sanduíches Tipo de pão Recheio

1º sanduíche

2º sanduíche

3º sanduíche

4º sanduíche

5º sanduíche

6º sanduíche


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Após a construção do quadro o professor também pode desenhar a árvore das

possibilidades (a seguir) para as crianças entenderem que com 2 pães e 3 recheios podem ser formados 6 sanduíches com apenas 1 recheio em cada pão. Ou seja, 2 pães vezes 3 recheios é igual a 6 sanduíches.

Resolução:

Nesse momento a mediação do professor é importante para que a criança compreenda que as diferentes possibilidades de sanduíches resultam da quantidade de diferentes tipos de pães vezes a quantidade de diferentes tipos de recheios, ou seja, 2 vezes 3

c) Situação 3 Pode-se ainda levar o aluno a desenvolver uma situação de multiplicação relacionada a ação mental de organização em linhas e colunas ou configuração retangular. (Padeiro Rodolfo) - “Na padaria das delícias, também existem formas maiores onde vendemos deliciosos bolinhos, mas tenho dificuldades para saber quantos bolinhos têm em cada forma. São formas que estão dispostas em 3 linhas e 5 colunas. Assim, como podemos fazer para saber quantos bolinhos há nesta forma sem contar de um em um? Vocês podem me ajudar?”


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Como material podem ser fornecidos quadros com linhas e colunas com bolinhos desenhados em folhas de ofício ou outro material que o professor tenha disponível.

Figura 12: Tabela de doces


Como encaminhamento o professor pode orientar a escrita de uma carta

coletiva explicando como chegaram ao resultado, sem utilizar a contagem de um em um.

Nesse momento espera-se que a criança perceba que temos uma organização retangular em 3 linhas e 5 colunas. Deste modo, como cada linha possui o mesmo número de bolinhos (5, neste caso), adicionamos 3 vezes a quantidade de 5 bolinhos. De forma análoga, se considerarmos que cada coluna possui 3 bolinhos, adicionamos 5 vezes a quantidade 3.


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JOGOS

PEGA VARETAS

Objetivo: Pegar varetas de diversas cores, sem mexer nas demais. Materiais necessários: Varetas pretas, vermelhas, verdes, azuis e amarelas (que podem ser compradas ou confeccionadas pelo professor usando palitos de churrasco, anilina colorida e álcool); e cartelas para registro dos pontos. Encaminhamento: O jogo de varetas ou “Pega Varetas” se apresenta de forma muito familiar entre as brincadeiras utilizadas pelas crianças. É jogado a muitas gerações, mas sem um intuito pedagógico, mas que pode ser pensado para se trabalhar os conceitos de multiplicação em sala de aula.

CURIOSIDADE O livro “Diálogos de Buda” foi descrito a mais de cinco mil anos, e retrata uma das possibilidades para a origem do jogo de varetas, conhecido como “jonchet” na cultura indiana. Outro país onde se joga varetas é a China, conhecido por outros termos como “Mikato”; “Spillikins” ou “Spelicans”.

Cada vareta tem um valor determinado por sua cor, e para iniciar o jogo as varetas são lançadas em uma superfície plana e o jogador deve tentar retirar a maior quantidade possível sem mover as demais, caso contrário passa a vez ao jogador seguinte. Para saber o resultado final, ou seja, aquele que fez a maior pontuação, o professor pode disponibilizar a cartela de registro dos pontos (a seguir) onde os alunos deverão verificar quanto vale cada vareta e descobrir quem ganhou..

O vencedor não será aquele com maior número de varetas, mas aquele que tiver o maior de número de pontos atribuído pela cor das mesmas.


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Já que cada vareta tem um valor determinado por sua cor, as crianças irão jogá-las com a finalidade de pegar o maior número possível. Assim é interessante que o professor ao desenvolver este jogo em sala de aula disponibilize a cartela dos pontos desde o início para que as crianças organizem estratégias, podendo fazer o registro dos pontos. O quadro a seguir se constitui como uma possibilidade, podendo ser alterado o valor da cor das varetas, conforme o material utilizado pelo professor.

Quadro 08: Tabela de registros


O quadro de registro tem a finalidade de auxiliar a criança a estabelecer relações entre o jogo e a ação mental desenvolvida, pois permite que visualize o número de varetas que obteve, o valor de cada uma e o resultado, que pode ter obtido. Também facilita a verificação de quem foi o vencedor sem gerar confusão nos valores.

Jogador Cor da vareta

Número de

varetas

Valor da

vareta

Operação Total de

pontos

PRETA 5

AZUL 4

VERDE 3

VERMELHO 2

AMARELO 1

Total:


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CHUTE AO GOL

Objetivo: Chutar as bolas coloridas ao gol, objetivando a maior pontuação conforme o valor de pontos correspondente a cada bola. Materiais necessários: 4 bolas coloridas (das cores que o professor tiver disponível); cadeiras para fazer as traves do gol; e cartelas para registrar os pontos. Encaminhamento:

CURIOSIDADE Mesmo que não exista certeza em relação aos primórdios do futebol, estudiosos da história do esporte descobriram vestígios dos jogos em diversas culturas, dentre elas na China Antiga, no Japão Antigo, na Grécia, na Roma e, mais tarde na Inglaterra e no Brasil. No entanto, podemos perceber que o esporte foi sendo organizado de fato com o passar do tempo, quando passaram a ser estabelecidas regras, conforme iam surgindo as necessidades dos jogadores.

O futebol hoje é um esporte que mobiliza vários países em disputas de grande

repercussão, como é o caso da copa do mundo. É um jogo de muitas culturas, pois é jogado de forma simples, bastando dispor de uma bola, traves e de uma equipe de jogadores. Nesse sentido, os participantes se reúnem em dois grupos com o objetivo de deslocar a bola através do campo, esperando atingir o gol da equipe adversária, vencendo a equipe que marca mais gols.

Assim, este esporte pode se configurar como um recurso interessante para o professor, ao proporcionar uma estratégia para ensinar e aprender mais sobre o conceito de multiplicação, sendo necessárias algumas modificações nas regras do jogo.

Neste caso, para jogar serão necessárias 4 bolas de cores diferentes, uma cartela para o registro dos pontos e um lugar para chutar a gol. O jogo Chute ao gol não é um jogo de futebol tradicional, pois cada jogador irá chutar as bolas diretamente ao gol e não em equipe (o professor pode conversar com a turma para que entre as traves tenha um goleiro para dificultar as chances de acertar). Cada jogador pode ter 2 ou 3 chances de chutar as bolas coloridas, e na sua cartela deverá


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anotar os pontos que fez. Cada uma das bolas irá representar uma quantidade distinta de pontos.

Figura 13: Fotos do jogo


Para descobrir o resultado das jogadas faz-se um registro. Assim, como no jogo

de varetas, é possível utilizar o quadro a seguir para realizar o registro dos pontos e descobrir o vencedor de cada rodada.

Quadro 10: Tabela de registro do jogo


Uma variação interessante para o “chute ao gol” é a utilização de uma cesta de

basquete, onde ao invés de chutar as bolas, o aluno deve arremessá-las.

Jogador Cor da bola

Número de gols

Valor da

bola

Operação Total de

pontos

AZUL 4

AMARELA 3

VERDE 2

VERMELHO 1

Total:


60

JOGO DO BOLICHE

Objetivo: A partir do arremesso de uma bola, buscar derrubar a maior quantidade de garrafas. Materiais necessários: Seis garrafas PET, cada uma contendo em seu interior 4 bolinhas de gude e uma bola de tênis. Encaminhamentos: Organizar as seis garrafas, todas contendo em seu interior o mesmo número de bolinhas de gude. Assim, o aluno irá jogar a bola de tênis contra as garrafas e, dependendo de quantas garrafas derrubou terá que descobrir quantos pontos marcou.

Os pontos são representados pela quantidade de bolinhas de gude presente em cada garrafa. O aluno poderá realizar o registro do jogo no quadro a seguir. Vence o aluno que obtiver o maior número de pontos após 3 rodadas.

Quadro 11: Tabela de pontos


O professor pode ampliar as possibilidades desse jogo utilizando

quantidades de garrafas e bolinhas de gude diferentes das propostas, no

Jogador Número de

Garrafas

Número de

bolinhas em cada garrafa

Número de pontos marcados

Total de

pontos


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entanto não pode esquecer que todas as garrafas devem conter em seu interior o mesmo número de bolinhas.

ROLETA DA MULTIPLICAÇÃO

Objetivo: Obter o maior número possível de copos e canudinhos, que resultarão na maior pontuação.

Encaminhamentos: O aluno deverá lançar o dado para obter o número de copos que utilizará no jogo. Após rodará a roleta para saber o número de canudinhos que deverá colocar nos copos. Após faz o registro utilizando o quadro a seguir. Vence o aluno que obtiver mais pontos após 4 rodadas. Para chegar a esta quantidade de pontos deverá realizar a adição das quantidades de palitos presentes em cada copo.

Figura 14: Jogo da roleta.


Materiais necessários: Um dado comum, uma roleta conforme o modelo ao lado, 6 copos pequenos (de café) para cada aluno, canudinhos e um quadro para o registro.


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Quadro 11: Tabela de Registro


CURIOSIDADE Este jogo encontra-se disponível no seguinte endereço eletrônico:

http://www.pead.faced.ufrgs.br/sites/publico/eixo4/matematica/videos/numeros/multiplicacao.html

Copos Palitos Operação Pontos

1ª Rodada

2ª Rodada

3ª Rodada

4ª Rodada

Total de Pontos:


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D ivisão

Introdução

O ato de dividir sempre esteve presente na história humana. A partir do

momento em que um grupo social se organiza, existe a necessidade social de dividir alguma coisa. Desse modo podemos considerar que desde os primórdios da civilização humana o homem já dividia e essa divisão se dava a partir das necessidades estabelecidas entre os indivíduos do grupo: dividiam os alimentos, os territórios e até as tarefas.

No entanto, o que podemos inferir sobre essa divisão é que ela ocorria a partir dos critérios estabelecidos pelo grupo, levando em conta as condições práticas, como a solução dos problemas e necessidades imediatas que surgiam para eles, de acordo com o que tinham disponível. Nesse momento a necessidade básica é repartir, independentemente de ser uma divisão em partes iguais ou não. Por exemplo, em alguns grupos, no momento da divisão de alimentos os homens recebiam mais que as mulheres, que por sua vez, recebiam mais que as crianças. Essas divisões eram baseadas em necessidades biológicas, relações de poder ou ainda senso de justiça.

Embora estes critérios prevaleçam em algumas relações atuais, houve um momento na história da humanidade em que, a partir do enriquecimento das civilizações e da necessidade de controlar as quantidades, surge também a necessidade de repartir em partes iguais. Quando “o todo deve ser igualmente de todos”, surge a divisão matemática – em partes iguais - como conhecemos atualmente.


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CURIOSIDADE Um dos registros de divisão mais antigo da humanidade pode ser encontrado em

uma tabuleta que provêm do sítio iraquiano de Fara e segundo Ifrah (1997) remonta de 2650 a. C. Segundo este autor, o documento nos fornece indicações preciosas com respeito à matemática suméria da época pré-sargônica (primeira metade do III milênio a.C.) e testemunha o alto grau intelectual atingido, provavelmente desde as épocas mais arcaicas, pelos aritméticos do país de Sumer.

A tabuleta é dividida em duas colunas, por sua vez subdivididas em várias casas. Partindo de cima para baixo, a primeira casa da coluna da esquerda compreende um entalhe fino, seguido de um grupo cuneiforme, que significa “silo de cevada”. Na casa de baixo, percebe-se a representação do número 7, precedida de um sinal, lendo-se “silo”. Na terceira casa, o algarismo 1 é seguido do sinal do homem e, abaixo, algo que pode se traduzir por “em mão recebe”.

Enfim, na parte mais baixa percebe-se novamente o sinal para homem e, embaixo dele o caracter bi, que nada mais é do que o demonstrativo “esses”. Tradução literal do conteúdo dessa coluna: “1 silo de sevada; 7 sila; cada homem, em mão recebe; esses homens”.

Na primeira casa da coluna da direita reconhece-se a representação algarítimica (mediante sinais arcaicos) do número 164.571 e na casa abaixo uma sucessão de sinais traduzindo a frase “sila de cevada, resta 3”

Correspondendo sem dúvida a uma operação de distribuição que acabava de ser

realizada quando o escriba redigiu o documento, a tabuleta nos fornece, portanto, todas as características de uma divisão: nela é feita menção a um dividendo, a um divisor, a um


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quociente e mesmo a um resto de uma grande precisão para a época. O sila, bem como o “silo de cevada” são unidades de medida de capacidade: na

época, a primeira unidade tinha um conteúdo equivalente a aproximadamente 0,842 de um de nossos litros, enquanto que a segunda valia mais ou menos 969.984 litros, ou seja, 1.152.000 sila.

A operação de distribuição dizia respeito, por conseguinte à repartição dos 1.152.000 sila de cevada entre certo número de pessoas, sendo que cada uma devia receber 7 sila de cevada.

Faça o cálculo: a divisão de 1.152.000 por 7 dá 164.571, ou seja, exatamente o número inscrito na primeira casa do registro direito da tabuleta; você obtém também um resto igual a 3, que nada mais é do que a informação dada na casa debaixo dessa mesma coluna.

Nessas condições não há dúvidas: temos diante dos olhos o testemunho escrito da mais antiga divisão conhecida na história. Uma divisão relativamente complexa e quase tão velha como o Dilúvio mesopotâmico.

Ifrah Como já vimos anteriormente, é possível perceber que a primeira ideia da

divisão que surge da necessidade humana é a de repartição, ainda que fosse desigual. Ao compartilhar o que tinham para sobrevivência, realizavam uma divisão apenas social. Ao sentirem a necessidade de controlar as quantidades, consequentemente surge a necessidade de repartir em partes iguais, desse modo a ideia matemática da divisão assume um importante papel nas relações de trocas e de convivências entre os pares.

Podemos, do mesmo modo, observar as divisões que as crianças realizam antes de se apropriar do conceito matemático de divisão. Inicialmente repartem do modo que acham que é justo, mesmo que muitas vezes a parte maior dessa divisão fique para si mesma. Somente quando percebem que existem certas regras sociais, em que nem sempre ela (ou outra pessoa) receberá uma parte maior, que entende a necessidade de repartir em partes iguais.

Por mais que as relações estabelecidas socialmente, muitas vezes já levem a criança a repartir dessa forma, é na escola que ela vai se apropriar desse conhecimento de um modo matematicamente correto. Assim o professor em sala de aula deve preocupar-se em proporcionar ao aluno um espaço onde este perceba que a essência do conceito da divisão está nessa repartição em partes iguais.

Muitas vezes, ao ensinar a divisão, o professor tem a preocupação voltada à realização desta operação por meio do algoritmo, no entanto o uso desse não implica, necessariamente, na compreensão do conceito e pode levar a criança compreender a divisão somente como operação inversa da multiplicação.


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Figura 14: Ilustração da divisão


Para que isso seja superado é importante compreender que a essência do

conceito matemático de divisão está na repartição em partes iguais, que envolve duas ações mentais: subtrair sucessivamente e medir.

A ação mental de subtrair sucessivamente está relacionada a retirar repetidamente do todo sempre o mesmo número até que não sobre nada ou até que a sobra seja menor que o número repetido. Isso quer dizer que a divisão é uma sucessão de tirar sempre a mesma quantidade (divisor) do todo (dividendo), até que não sobre nada, ou até que a sobra seja menor do que o número sucessivamente retirado (divisor).

Pensemos no exemplo de um agricultor que precisa transportar sua pequena produção de feijão para vender na feira. Para isto ele embala o feijão em pacotes de um quilo, a serem transportados em dois cestos, arrumados um em cada lado de seu jegue. O que ele precisa fazer para dispor os pacotes de feijões sem deixar seu animal andar com peso desigual, pendendo para um dos lados? Nessa situação o agricultor deverá repartir os pacotes de feijão igualmente entre os dois cestos, para isso poderá retirar sucessivamente do todo, dois pacotes, colocando um de cada lado, até distribuir igualmente a carga nos dois cestos. Nesse processo a divisão em partes iguais acontece com a ação mental de repartir por subtrações sucessivas.

A ação mental de medir está relacionada a verificar quantas vezes uma determinada parte cabe no todo.

Por exemplo, quando o agricultor chega à feira com os dois cestos cheios de pacotes de feijão, precisa distribuir para os feirantes seu produto. No entanto para que o maior número de feirantes tivesse acesso ao seu delicioso feijão, o agricultor

- Em vinte dividido por cinco, qual o número

que multiplicado por 5 dá 20?


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estipulou que venderia 10 pacotes por barraca. Assim, considerando que neste dia ele havia carregado 50 pacotes de feijão para a feira, como ele poderia descobrir quantos feirantes poderiam comprar seu carregamento de feijão? Para isso ele precisa descobrir quantas vezes o número 10 cabe dentro do 50. Para esse processo o agricultor faz a divisão em partes iguais usando a ação mental de medir.

UNIDADE DIDÁTICA

Como pensarmos em uma atividade de ensino que desencadeie nos alunos a necessidade de repartir?

Como citado anteriormente, esse ato sempre se fez presente, principalmente quando temos um grupo social; desta maneira a necessidade de repartir em partes iguais torna-se mais forte. Delineamos que o objetivo principal dessa atividade de ensino é que os educandos compreendam o conceito de divisão, a partir das ações mentais de subtrair sucessivamente e de medir.

A atividade parte de uma situação desencadeadora de aprendizagem que pode ser apresentada por meio de uma história virtual, protagonizada por dois índios da etnia Kaingang, que habita a região sul do país. Tendo como ponto de partida a história virtual são apresentadas outras situações de ensino que podem contribuir para que a criança se aproprie do conceito de divisão e que serão descritas posteriormente.

Para que as crianças se inteirem um pouco da cultura da referida tribo, é importante discutir sobre a cultura da tribo Kaingang.


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-ACONTECEU- Introduzindo a Temática: Como forma de inserir os alunos no contexto da cultura indígena do sul do país e proporcionar um ambiente lúdico , ao desenvolvermos esta atividade no CluMat, em uma turma do 2º ano, criamos uma personagem, que se apresentou e contou um pouco dos costumes do seu povo. A seguir, apresentamos o enredo elaborado: Sou a Kysã, apesar de ser uma índia, eu não gosto de ser chamada assim, pois sou uma kaigang. Quando os invasores chegaram aqui na minha terra, eles pensavam estar chegando na

Índia, por isso fomos chamados de índios, como se fossemos todos iguais, como uma única tribo. Por isso gosto de ser identificada como uma kaingang, ser lembrada pela minha origem, minha tribo, meu povo.

Há aproximadamente quinhentos anos, os portugueses chegaram na terra de muitas tribos, como a minha, e chamaram nossa terra de Brasil. A minha etnia, a kaingang atualmente vive nos estados do Rio Grande do Sul, Santa Catarina, Paraná e São Paulo. Devido ao grande crescimento das cidades, começamos a viver em situações precárias, à beira de rodovias e algumas pessoas do meu povo inclusive moram aqui perto da escola. Vocês já ouviram falar deles?

O fato de vivermos em pequenas terras dificulta a sobrevivência por meio da caça, pesca e coleta, como antigamente que vivíamos apenas disso. Como a pesca e a caça não pode ser realizada na cidade, nós também fazemos artesanatos para vender e nossa especialidade são os trançados, como cestas.

Vocês sabiam que me preparei para vir aqui? Estão vendo essas pinturas no meu rosto? São feitas para ocasiões especiais, como conhecer vocês. Esses traços retos representam o Sol e esse círculo representa a Lua.

As crianças da minha tribo estudam em escolas indígenas, onde os

professores são Kaingangs e aprendemos mais sobre nossa cultura. Mas eu vim aqui porque eu preciso da ajuda de vocês, existe um mistério, uma lenda que a muitos e muitos anos não conseguimos desvendar é o Mistério da Canoa, que vocês vão conhecer agora.


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HISTÓRIA VIRTUAL O MISTÉRIO DA CANOA

Em uma tribo Kaingang havia dois indiozinhos que eram muito amigos –

Kairú e Mi-nindó – e que sempre saiam para pescar. Quase todos os dias os resultados da pesca eram muito bons, voltavam para a aldeia carregados de peixes.

Para os indiozinhos essa era uma diversão, mas para os integrantes da tribo era uma forma de enriquecer suas refeições, pois a maioria dos homens estava comprometida com a agricultura, já que era um período adequado para a plantação, a semeadura de novas culturas, e não podiam sair para a caça e a pesca. Visto que essa diversão estava trazendo muitos benefícios e o transporte dos peixes da margem do rio até a aldeia estava ultrapassando os limites da força desses indiozinhos, o cacique da tribo chamou-os e ofereceu-lhes uma canoa, para que viessem com os peixes do ponto onde pescaram até a margem próxima a aldeia.

No dia seguinte foram até a margem do rio e escolheram a canoa que iriam usar, sentindo-se quase adultos pela responsabilidade que lhes fora confiada. Ao se prepararem para sair, com seus instrumentos de pesca, o pajé – homem sábio – deu-lhes um conselho:

- Na hora de voltar com sua pesca, cuidem como irão organizar os peixes nas suas cestas, para evitar uma surpresa indesejada.

Disse isso e se retirou. Os indiozinhos não entenderam bem a preocupação do pajé naquele momento e foram para sua habitual pescaria, agora com seu precioso meio de transporte.

No final da pescaria recolheram seus instrumentos e jogaram os peixes nas suas cestas, que mal conseguiam carregar de tão pesadas que estavam. Levaram até a canoa e ao colocarem a primeira cesta tiveram um susto! A canoa quase, quase virou! Tiraram rapidamente e resolveram colocar as duas ao mesmo tempo, achando que isso solucionaria o problema. E assim fizeram: - um... dois.. três... e já! Ufa! Parece que deu certo, mas por que a canoa está torta? Os indiozinhos nem puderam subir, pois um dos lados da canoa estava muito baixo, pendendo para um dos lados. Retiraram as cestas e ficaram se perguntando:

- O que aconteceu? Como resolver este problema? Será que era sobre isso que o pajé queria alertar?

Para apresentação da história foi criado um vídeo, com

personagens de palitoche. E você,como apresentaria sua

história? Que história criaria?


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Com a história da tribo Kaingang, e dos índios Kairú e Mi-nindó, apresentamos o nosso problema desencadeador:

A partir dessa questão, faz-se necessário que o professor, como mediador do

processo de aprendizagem, faça questionamentos que levem os estudantes a levantar hipóteses para resolver a situação com os peixes. Depois de discutir espera-se que cheguem a uma síntese coletiva matematicamente correta.

Um ponto importante a ser destacado com as crianças é que a história do Mistério da Canoa é hipotética e nessa história, todos os peixes são iguais, ou seja, tem a mesma massa.

Pense nisso... É importante atentarmos para o fato de que a divisão de peixes pode ser discreta (quando considerarmos a quantidade em que cada peixe representa uma unidade) ou contínua (quando considerarmos a massa do peixe em gramas, que pode levar a termos peixes divididos, por exemplo, ao meio). No Mistério da Canoa, o que está sendo utilizada é a quantidade de peixes, ou seja, é uma divisão de uma grandeza discreta.

A partir da síntese que deverá ser coletiva, o professor poderá propor outras

situações que irão levar o estudante a melhor compreensão do conceito da divisão. Dessa forma, apresentaremos a seguir alguns encaminhamentos possíveis para

o desenvolvimento de uma unidade didática sobre o conteúdo matemático da divisão, envolvendo as ações mentais de repartir por subtrações sucessivas e de medir.

Sabendo que o pajé já havia alertado sobre a importância da organização dos peixes nas cestas dentro do barco, como os indiozinhos poderiam dispor os peixes para que o

problema fosse solucionado e eles pudessem voltar para a aldeia no barco com todos os peixes que pescaram?


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JOGOS

PEIXES NO BARCO

Objetivo: chegar à solução para o problema desencadeador utilizando a ação mental de repartir por subtrações sucessivas. Materiais necessários: è 24 peixinhos è 01 barquinho de papel

Encaminhamentos: Organizados em dupla, os alunos irão receber os peixes e o barco para representar a organização sugerida aos indiozinhos.

Para essa situação, o professor poderá

propor a confecção de peixes em

dobradura ou origami.

- ACONTECEU –

Na turma do CluMat realizamos a busca pela solução do problema em duplas, os alunos sentaram-se no

chão e utilizaram o material manipulável disponibilizado.

Como nesse momento a intenção era que eles chegassem a conclusão de que seria necessário repartir os peixes em partes iguais, deixamos

eles buscarem a solução livremente, sem induzir a resposta.

Algumas duplas primeiramente contaram os peixes, outras já

resolveram que era só “colocar um pra cá, e outro pra lá” até os peixes

acabarem. Não foi difícil todos chegaram à mesma solução: de que

seria necessário dividir os peixes igualmente em cada lado da canoa.


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Posteriormente cada aluno fará um registro sobre a divisão dos peixes nas cestas e dos peixes para o número de famílias. A ideia é que além do desenho, eles também sintetizem seu pensamento de forma escrita e/ou pictórica.

Figura 15: Registro da atividade.


Nesse momento o professor poderá discutir as questões relativas às

quantidades discretas e contínuas, adequando à faixa etária das crianças. Ou seja, o problema aqui proposto explora uma situação hipotética de peixes de mesmo tamanho, mesma massa e sua solução implica em uma divisão em quantidades iguais. Mas se nem todos os peixes tivessem o mesmo tamanho, o encaminhamento da solução seria o mesmo?

DISTRIBUINDO OS PEIXES

Figura 16: Peixeis



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Objetivo: Utilizar a ação mental de medida para encontrar a solução para uma situação problema de divisão Materiais necessários: è Papel pardo; è Caneta hidrocor; è 24 peixinhos. Encaminhamentos: A criação do painel coletivo se dará a partir de outro problema desencadeador, que evidencia a ação mental de medir, na operação da divisão.

Distribui-se uma quantidade de peixes para cada grupo e um pedaço de papel

para que eles representem a solução encontrada. A quantidade de peixes para esta situação será um múltiplo de seis, para que não haja resto (o que não impede que posteriormente envolva divisões com resto). Contudo, neste processo o mais importante não é necessariamente que os alunos cheguem ao resultado numérico, mas sim que encontrem um modo geral que lhes permita resolver qualquer outro problema de divisão que envolva a ação mental de medir.

Ao chegar à aldeia, os indiozinhos pegaram as cestas que estavam cheias de peixes e que deveriam ser

repartidos entre as famílias da tribo. O cacique determinou que cada família deveria receber 6 peixes. Como fazer para descobrir quantas famílias receberão

peixes neste dia?


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RESPOSTA PARA OS INDIOZINHOS

Objetivo: Sistematizar, a partir dos dois problemas elencados aos alunos, as aprendizagens relativas à operação da divisão. Materiais necessários: è Papel pardo; è Caneta hidrocor. Encaminhamentos: Esta resposta poderá ser elaborada a partir de diversos encaminhamentos

- ACONTECEU –

Para essa situação a turma foi dividida em grupos para encontrar a solução do problema

proposto. Optamos que o problema fosse com a quantidade de 24 peixes. Assim, os alunos escolheram

por agrupar os peixes de seis em seis. Desse

modo, perceberam que foi possível fazer

quatro grupos, ou seja, o seis “cabe”

quatro vezes dentro do número vinte

quatro.

- ACONTECEU –

Para o registro escrevemos uma carta coletiva. A carta foi escrita no quadro

pela professora, a partir do que os alunos iam dizendo. Para chegar a redação final foi necessária a mediação da professora, para que se fizesse uma síntese coletiva. A seguir, apresentamos o resultado final:

Resolvemos o Mistério!

Kairú e Mi-nindó, nós conseguimos resolver o problema. Contamos de

seis em seis e deu para quatro famílias. E outra coisa:

descobrimos que para a canoa não virar, vocês têm que colocar a

mesma quantidade de peixes de cada lado.


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como, por exemplo, uma carta, vídeo ou história coletiva. O importante neste momento é sistematizar as soluções para os problemas propostos e desse modo, também as aprendizagens acerca do conteúdo trabalhado.

JOGO DA PESCARIA - Objetivo: Realizar situação de divisão por subtrações sucessivas. Materiais necessários: -1 vara de pescar com imã no lugar do anzol para cada grupo; - Peixes com clips na ponta (sugere-se em torno de 250). Encaminhamentos: Dividir a turma em grupos que irão pescar o maior número de peixes possível. Para isso, cada integrante do grupo terá um minuto para pescar, cronometrado pela professora. A oportunidade de pescar será repetida tantas vezes quanto for necessário para que cada integrante participe. Ao pescar, cada grupo terá uma cesta onde agrupará todos os peixes pescados pelos integrantes.

Figura 17: Jogo da pescaria


Após esse tempo inicial de pescaria, o grupo deverá repartir em partes iguais os peixes pescados entre seus integrantes, ou seja, nesse momento o ajuntamento aleatório, no qual cada sujeito foi colocando o que conseguiu coletar na cesta do grupo, deve ser desfeito em partes. Cada integrante irá receber uma quantidade igual, independentemente do número de peixes que havia pescado anteriormente.


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A situação que temos é de um ajuntamento aleatório, feito pela quantidade pescada por cada um, deve ser desfeito em partes iguais para que todos os integrantes tenham o mesmo número de peixes.

O grupo deverá fazer o registro do jogo no quadro a seguir, o que tiver o maior número de peixes individualmente é o vencedor.


GRUPO NÚMERO TOTAL DE

PEIXES

NÚMERO DE INTEGRANTES

DO GRUPO

QUANTIDADE DE PEIXE RECEBIDA POR CADA

INTEGRANTE

SOBRA


Figura 18: Registro do jogo.



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ORGANIZANDO A ALDEIA Objetivo: Realizar uma situação de divisão que envolve a ação mental de medida. Materiais necessários para cada grupo: è 01 folha de papel, dividida em 20 quadrados, representando um terreno; è Representações de ocas contendo: 1 oca, um conjunto de 2 ocas, 1 conjunto de 4 ocas e um conjunto de 6 ocas. Cada oca deverá estar desenhada em um quadrado de tamanho igual aos quadrados da folha de papel que representa o terreno.

Figura 19: Cartelas do jogo


Encaminhamento:

A tribo de Kairu e Mi-nindó precisa mudar o local de suas habitações para um terreno próximo e o cacique pediu ajuda para organizar a tribo no terreno.


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A partir da situação sobre a mudança da tribo, os alunos poderão utilizar as representações de ocas, sendo que em cada oca vai morar uma família, para descobrir:

- Quantas famílias cabem no novo terreno? - Quantos grupos de 02 famílias? - Quantos grupos de 04 famílias? - Quantos grupos de 06 famílias?

Registro

Após as discussões das possibilidades as crianças irão sistematizar as soluções encontradas em um quadro como o a seguir:

QUANTIDADE DE OCAS QUANTAS VEZES

CABE(M) DENTRO DO TERRENO

LUGARES VAZIOS QUE SOBRARAM


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JOGO DOS DADOS Objetivo: realizar situações que exijam a divisão em partes iguais. Materiais necessários: è 01 dado com números para serem divididos(dividendos), por exemplo: 6, 12, 15,24,36,40, que representarão o número de peixes; è 01 dado com números de 1 a 6 para serem os divisores, que representarão os cestos; è Material de apoio para as crianças realizarem a divisão (canudos, palitos ou até pequenos peixes); è 6 copos ou pequenas caixas representando os cestos.

- ACONTECEU –

Esta tarefa foi a que necessitou um maior envolvimento da professora para seu encaminhamento. Nesta atividade está expressa a ação mental de medir,

ou seja, as crianças estarão em um movimento de dividir a partir da ação mental de medir.

Após os alunos compreenderem o objetivo da tarefa, a mesma transcorreu facilmente e eles sentiram-se motivados para encontrar a solução para a

situação proposta.


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Encaminhamento: A turma será dividida em duplas, sendo que cada uma receberá um dado de cada tipo descrito anteriormente. O primeiro aluno da dupla jogará os dois dados e com os números que caíram para cima verificará quantos peixes irão em cada cesto, de modo a que todos os cestos tenham a mesma quantidade. A solução do problema pode ser feita com o uso do material manipulável disponível ou mentalmente e o resultado registrado no seu quadro.


Jogada DIVIDENDO DIVIDOR RESTO

01

02

03

04

05

Total


Depois ele passa a vez para o colega. O jogo continuará até uma determinada

quantidade de rodadas, combinada anteriormente. Ganha o jogador cuja soma dos restos seja a menor.


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atividades para o ensino de educaÇÃo bÁsicaºmeroso… · apresentaÇÃo o presente e-book é um...

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