atividade aberta 6 gabarito

7/17/2019 Atividade Aberta 6 Gabarito

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PUC Minas Virtual • 1

Modelo de Poisson e aproximação Normal

EXERCÍCIO 01 - (Levine, 5ª edição ex 4.6 modificada) Em uma pequena cidade, o número dereclamações relativas a bagagem extraviada, em uma companhia aérea bastante conhecida, gira em tornode uma média de cinco por dia. Assumindo que a distribuição de Poisson seja adequada para os dados,qual é a probabilidade de haver menos de três reclamações realizadas em um determinado dia?

(A) 12,5%(B) 73,5%(C) 14,0%(D) 87,5%

P(x < 3) = f(0) +f(1) + f(2)

f(0) = 50 * (2,718282)

-5 / 0! = 0,006737945

f(1) = 51 * (2,718282)

-5 / 1! = 0,033689724

f(2) = 52 * (2,718282)

-5 / 2! = 0,0844224311

P(X < 3) = 0,12465 ou 12,5%

EXERCÍCIO 02 - O número de e-mails recebidos por um computador segue o modelo de Poisson comuma taxa média de três e-mails por hora. Determine a probabilidade de apenas um e-mail ser recebidodurante uma hora.

(A) 0,20(B) 0,15(C) 0,95(D) 1/3

P(X = 1) = f(1) = 31 * (2,718282)-3 / 1! = 0,1493 aproximadamente 0,15

EXERCÍCIO 03 - (pag 159 - Adriano L. Bruni - modificado) Uma rodovia registra uma média de cincoacidentes por ano. Qual a probabilidade de que, em um determinado ano, ocorra:

exatamente dois acidentes no máximo dois acidentes menos de dois acidentes

(A) 0,084; 0,040; 0,125(B) 0,067; 0,084; 0,034(C) 0,084; 0,125; 0,040(D) 0,067; 0,125; 0,034

SOLUÇÃO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

exatamente dois acidentes

P(x=2) = f(2)f(2) – 52 * (2,718282)-5 / 2! = 0,0844224311

Título: Gabarito da Atividade 06

Autor: Fernanda Santana Gomes




no máximo dois acidentes

P(x ≤ 2) = f(0) +f(1) + f(2) f(0) = 5

0 * (2,718282)

-5/ 0! = 0,006737945

f(1) = 5

1

* (2,718282)

-5

/ 1! = 0,033689724f(2) = 52 * (2,718282)

-5 / 2! = 0,0844224311

P(x ≤ 2) = 0,12465

menos de dois acidentes

P(x < 2) = f(0) +f(1)f(0) = 5

0 * (2,718282)

-5/ 0! = 0,006737945

f(1) = 51 * (2,718282)

-5 / 1! = 0,033689724

P(x < 2) = 0,404276

EXERCÍCIO 04 - (pag 159 - Adriano L. Bruni - modificado) Em um processo de pintura de paredesaparecem defeitos na proporção de um por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem mais deum defeito numa parede de 1,5 m x 2 m?

(A) 0,149(B) 0,950(C) 0,801(D) 0,199

SOLUÇÃO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O problema fala de defeitos que aparecem com uma taxa média de 1 defeito por m2, portanto estamostratando de uma distribuição de Poisson com = 1 defeito/m

2

!x

e)x(f

x

Mas, veja, que o problema se refere ao número de defeitos que ocorrem em uma parede de 1,5m x 2m com

área de 3 m2. Com este valor de área devemos recalcular o valor de usando uma regra de três simples

1 defeito -------- 1 m2

defeitos -------- 3 m2

Vamos trabalhar com a distribuição de Poisson com = 3 defeitos/parede

P(“mais de um”) = P(X > 1) = f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + .... teoricamente vai até infinito.

Portanto, a outra solução é:

P(“mais de um”) = P(X > 1) = 1 – [ f(0) + f(1) ] = 1 – [0,04979 + 0,14936] = 0,801

!0

e3)0(f

30 = 0,04979

!1

e5)1(f

51 = 0,14936

= 3 defeitos




EXERCÍCIO 05 - Em um processo de pintura de paredes aparecem defeitos na proporção de dois pormetro quadrado. Qual o valor esperado e o desvio-padrão do número de defeitos em uma parede de 4 m X2 m?

(A) = 32 defeitos e = 5,66 defeitos

(B) = 8 defeitos e = 2,83 defeitos

(C) = 16 defeitos e = 16 defeitos

(D) = 16 defeitos e = 4 defeitos

SOLUÇÃO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O problema fala de defeitos que aparecem com uma taxa média de 2 defeitos por m2, portanto estamos

tratando de uma distribuição de Poisson com = 2 defeitos/m2

!x

e)x(f

x

Em uma distribuição de Poisson o valor esperado e variância são

Média: = e Variância: 2 =

O problema pede o valor esperado e desvio-padrão para uma parede de 8 m2, vamos recalcular o valor de

usando a regra de três simples

2 defeitos -------- 1 m2

defeitos -------- 8 m2

Portanto,

Valor esperado: = = 16 defeitos

Variância: 2 = = 16 Desvio-padrão: = 16 = 4 defeitos

EXERCÍCIO 06 - O número de clientes que chegam a uma padaria segue o modelo de Poisson com uma

taxa média de seis clientes por hora. Determine a probabilidade de no mínimo 110 clientes serematendidos durante um dia de trabalho de quinze horas. Use a aproximação Normal sem a correção decontinuidade.

(A) 0,017(B) 0,983(C) 0,394(D) 0,137

Para resolver esta questão extrair os seguintes dados6 clientes ____ 1 hora

clientes ____ 15 horas 90 clientes em 15 horas

Media

Média: = 90 e desvio-padrão: = 9,4868329

P(X ≥ 110) = P(Z ≥ 2,11) = 0,5 – área[0 ; 2,11] = 0,5 – 0,4826 = 0,0174 ou 1,74%

11,290

90110xz

(TABELA: 0,4826)

EXERCÍCIO 07 - (pag 165 - Adriano L. Bruni - modificado) Com base em experiências anteriores, umapequena empresa de saneamento básico sabe que 12% das contas dos seus clientes de uma comunidadesão pagas com atraso. A probabilidade de que pelo menos nove contas sejam pagas com atraso em uma

= 16 defeitos




amostra de 60 contas enviadas pela empresa é (usando a aproximação normal sem correção decontinuidade)?

(A) 0,698(B) 0,236(C) 0,112(D) 0,236

Estaremos aceitando os gabaritos “B” e “D”

Veja que temos 60 contas independentes, sendo que a probabilidade de uma ser paga com atraso é de12%, independente de qual seja a conta. Portanto, temos um exemplo de distribuição de Binomial com n= 60 e p = 0,12. A aproximação normal para distribuição Binomial com parâmetros n e p é:

qpn

pnxz

( olhar tabela Z)

P(“pelo menos 9”) = P(X ≥ 9 ) = P(Z ≥ 0,52) = 0,5 – 0,264 = 0,236

72,0

5171,2

2,79

88,012,060

12,0609

qpn

pnxz (TABELA: 0,7642)

EXERCÍCIO 08 - Se lançar uma moeda honesta 120 vezes para cima, qual a probabilidade de sair caraem pelo menos 3/5 dos lançamentos? Use a aproximação Normal.

(A) 0,014(B) 0,986(C) 0,600(D) 2,190

Aproximação normal para distribuição Binomial com parâmetros n e p é:

qpn

pnxz

( olhar tabela Z)

ATENÇÃO: Quando se fala “ pelo menos 3/5 dos lançamentos” equivale a dizer no mínimo 72 lançamentos(= 3/5 de 120).

Uma moeda honesta tem 50% de chance de sair cara e 50% de sair coroa, então temos:n = 120 p = 0,50 e q = 0,50

Usando a aproximação normal

P(“pelo menos 72 lançamentos”) = P(X ≥ 72) sem a correção de continuidade

P(X ≥ 72) = P(Z ≥ 2,19) = 0,5 – 0,4857 = 0,0142 ou 1,42%

19,24772,5

6072

5,05,0120

5,012072

qpn

pnxz (TABELA: 0,4857)

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