ativ1-611 (potenciação, radiciação, fatoração)

11
PV2n-05-12 5 MATEMÁTICA SETOR 611 MÓDULO 01 1 POTENCIAÇÃO DEFINIÇÃO Seja a IR e n ∈ ΙΝ , chama-se potência de base a e expoente n ao número: que é igual a: a aa a n n vezes = ... Exemplo: 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 CASOS PARTICULARES Nota Função do parênteses: os parênteses, na potenciação, também servem para indicar o sinal da base Exemplo: (3) 4 = (3)(3)(3)(3) = 81 (base negativa) 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 (base positiva) Como decorrência da definição, podemos afirmar que: 1 Se o expoente é par, então a potência tem sinal posi- tivo Exemplo: 3 4 = 81 ou (3) 4 = 81 2 Se o expoente é ímpar, então a potência tem o sinal da base Exemplo: 3 5 = 243 ou (3) 5 = 243 2 PROPRIEDADES Sejam a, b IR e m, n Z, com as restrições de praxe, valem as seguintes propriedades: a) a m · a n = a m+n Justificativa a a aa aaa a aa a a m n m fatores n fatores m m n = = = + ... ... ... +n fatores Exemplo: 2 8 · 2 5 = 2 13 b) a a a m n m n = a 0 Justificativa a a aa a aa a aa a a m n m fatores n fatores m n fatores m n = = = ... ... ... Exemplo: 2 2 2 20 12 8 = c) a n · b n = (ab) n Justificativa a b aa abb b ab ab ab ab n n n fatores n fatores n fatores n = = = ... ... ( )( ) ... ( ) ( ) Exemplo: 2 3 · 5 3 = (2 · 5) 3 = 10 3 d) a b a b n n n = b 0 Justificativa a b aa a bb b a b a b a b a b n n n = = = ... ... ... n fatores n fatores n fatores Exemplo: 10 5 10 5 2 16 4 4 4 4 = = = e) (a m ) n = a mn Justificativa ( ) ... ... ... ... ... a a a a aa aaa a aa a a mn m m m n fatores m fatores m fatores m fatores n fatores mn = = = = Exemplos a) (2 3 ) 4 = 2 12 d) (2 4 ) 3 = 2 12 b) (2 3 ) 4 = 2 12 e) 2 2 3 81 4 = c) (2 4 ) 3 = 2 12

Upload: matematica-assessoria-e-consultoria-educacional

Post on 12-Jul-2016

12 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Apostila Cursinho_Módulo 01_Setor 611

TRANSCRIPT

Page 1: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

����������

����� �����

� �� ����������

���������

�������∈������� ∈ ΙΝ����� �������������������������������������������

��������������

a a a an

n vezes

= ⋅ ⋅ ⋅...� �� ��

��������� ��!� �"� �"� �"� �!�#$

�������� �����

�����%�&��'(�� ��� ������������ ��� ����������� ���������'(������������)������������������������������*

���������+% ,��!�+% ,+% ,+% ,+% ,�!�#$�+�����������)�,

% ��!�%� �"� �"� �"� �!�%#$�+�����������)�,

-�������������������.���'(�����������.����������

�� ���������������������� ������������������������������

��� ��� ��!�#$������+% ,��!�#$

�� ������������������������ ���������������������������

��� ��� ��!�/0 ������+% ,��!�%/0

�� ���������

����������∈� ���������∈�1�������������'2������������)�������������������������������

�, ���"����!�����

�������������

a a a a a a a a a a a am n

m fatores n fatores m

m n⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = +... ... ...� �� �� � �� �� � �� ��+n fatores

��� ���/��"�/��!�/��

�,a

aa

m

nm n= −

��≠�3

�������������

a

a

a a aa a a

a a a am

n

m fatores

n fatores

m n fatoresm n= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ =

−−...

......

� �� ��

� �� ��

� �� ��

��� ���2

22

20

128=

, ���"����!�+��,�

�������������

a b a a a b b b ab ab ab abn n

n fatores n fatores n fatores

n⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =... ... ( ) ( ) ... ( ) ( )� �� �� � �� �� � ���� ����

��� ���/��"�4��!�+/�"�4,��!�$3�

�,a

b

ab

n

n

n

= ������ �����������≠ 3

�������������

a

b

a a ab b b

ab

ab

ab

ab

n

n

n

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ������

...

......

n fatores

n fatores n fatores

� �� ��

� �� �� � �� ��

��� ���10

5

105

2 164

4

44= ���

��� = =

�, +��,��!����

�������������

( ) ...

... ... ... ...

a a a a

a a a a a a a a a a

m n m m m

n fatores

m fatores m fatores m fatores

n fatores

mn

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

� ��� ���

� �� �� � �� �� � �� ��� ������� �������

��� ���, +/�,��!�/� �, +%/�,��!�%�/�

�, +%/�,��!�/� �, 2 23 814

=

, +/�,��!�/�

Page 2: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

�������������� �����

3$* -������

�, /�

�,17

1������

,35

0������

�, $�

�, 3�

., +3/4,

��� ����

�,�/��!�/�"�/�"�/�!�#

�,�17

,�$

�,�$

�,�3

.,+3/4,�!�14

116

2������ =

3/* -������

�, /��

�, +%/,

, %�/

�, +%/,�

�, %�/�

��� ����

�, /���!�1

2

183 =

�, 0

, %�0

�, %�#

�, %�#

3 * +5&67 67,��������������������������������������)��*8���������.����'2�������������(��������������

�, � ���!�� �"�����∀ ���9�∈��

�, +��"��, �!�� �"�� �∀ ���∈��

, +� ,��!�axy�∀ ���9�∈��

�, � ���!�a

a

x

y �∀ ���9�∈��

�,�ab

a

b

x x

x���� = ∀ ���9�∈��

����������

��������������

30*������������������������.����������������

�,�/�"�/��!

�,�2

2

3

2 �!

,�4��"�/��!

�,�+/�,�!

�,�+/,��!

.,�232�!

�,�223�!

��� ����

�, /�

�, /

, +4�"�/,��!�$3�

�, /�

�, /�

., /�

�, /�

Page 3: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

��������� ����

34* -������

�, /� ., +%�/,�

�, � �, %�/�

, 3� �, +%�$,��

�, $����∈�: �, +%�;,�

�, /� �, / �

3;* -��������–

––– –2

55

2

3 2���

���

���

���

3<* -��������)��������=�!�0��>�+3/4,��%�+34,�

3#* ��������!�+/,��y = 223���z = 232

������������������"�9�"�?*

3@* +5.�� ��,����α���β��(�����������������������/α�!����/β�!������(��0α �β�����������

�, /�+��%��, �,m

n

2

2

�,m n–

2�, 2

mn

,mn

$3* +&�)��� �A,�B�����������������������������33;0C

�,�1

80

2������ �,�

1800

2���

���

�,�18

2������ �,�

810

3������

,�25

3������

$$* ������.��������������(��=�!�5 5

5

3 1

2

x x

x

+ +––

Page 4: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

����������

����� �����

������������

�� ��������

������������������ an ������?�� ���������������?� ���������������� ���������?���������!� ���� ��

D�.������������������������������������ an �������������������

��������"�#� �������!� ����$�� ���!� ���� �����$�%�����

������������������������(� ������)��( )a ≥ 0 ����

�������������������(� �����( )n ≠ 0 &���?��������� an

������������������( )b ≥ 0 &���������b an = �

a b b an n= ⇔ =

��� ��

�, 16 4 4 162 2= =, pois �+���?�������������$;,

�, 81 3 3 814 4= =, pois �+���?�����������#$,

, 8 2 83 3= =, pois 2 �+���?���������#,

�, 0 0 0 08 8= =, pois �+���?�����)�����3,

�, 5 5 5 51 1= =, pois +���?�������������4,

'(�!�����

A�����)��'(�����������E�����������?���/��������� ���������������'(�*

=����� = = �

��������"�#� �������!� �����!��!� ���� ���%�����

��������������������������)��+��F�3,����������

�������������E�������?��������� an ����������������

��+��F�3,����������b an = �

a b b an n= ⇔ =

��� ��

�,� − = − − = −64 4 4 643 3, pois � �+���?���������%�;0,

�,� − = − − = −32 2 2 325 5, pois � �+���?�����������%� /,

�� �����������������������������

)�������������������∈�����≠�3����(����������� ���'2������������'(��

x xmn mn=

���������

$, 2 235 35= /,�2 2

52 5=

, 3 314 4= 0,�3 3

12 =

� ���������

����������∈��G�����H�∈���������������'2�����������'(��)���������������������

�,��� a b abn n n⋅ =

�������������

a x x a

b y y b

n n

n n

= ⇔ =

= ⇔ =

�����

⇒ ⋅ =

⇒ =

⇒ =

⇒ ⋅ =

x y ab

xy ab

xy ab

a b ab

n n

n

n

n n n

( )

��� ��� 2 8 16 4⋅ = =

�, a

b

ab

n

nn= b ≠ 0

Page 5: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

�������������

a x x a

b y y b

n n

n n

= ⇔ =

= ⇔ =

�����

⇒ = ⇒������ = ⇒

⇒ = ⇒ =

x

y

ab

xy

ab

xy

ab

a

b

ab

n

n

n

nn

nn

��� ��� 27

3

273

9 3= = =

, a anm mn� � =

�������������

a a a ... a anm

n n n

m fatores

mn� � = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =� ��� ��� � ��� ���a a an

m fatores

...

��� ��

$, 2 2532

103�� �� = /, 3 3125 512

= � �

�, a amn n m= ⋅

�������������

a y y a y a

y a y a

mn n m n m

nm n m

= ⇔ = ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ = ⋅

( )

a amn n m= ⋅

��� ��

$, 2 253 15= /, 5 58=

�, a amn mknk=

�������������

a a a amn mknkmn

mknk= = =

��� ��

$, 7 723 2030= /,� 2 286 43= ,� 2 2510 =

� �� � �� ������

I������� ���������������������������)�?������� �������������������������E)���������.������E?��*�J�������������(��

�, 50 32 27 108 20+ − − + =

= ⋅ + − − ⋅ + ⋅ == + − − ⋅ + == + − − + == − +

5 2 2 3 2 3 2 5

5 2 2 2 3 3 2 3 3 2 5

5 2 4 2 3 3 6 3 2 5

9 2 9 3 2 5

2 5 3 2 3 2

2

�, 2 3 234 6 3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

=

2 3 2

2 3 2

2 3

2 2 3

2 18

912 212 412

9 2 412

13 212

1 212

12

$/�����66-�������0�;��� *

, 2 3 543 = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅

2 3 5

2 3 5

2 3 5

2 3 5

3 3 43

3 6 24

824 424 24

8 424

�������������� �����

3$* -�����.�������)����������+K,����.�����+&,�����������������������.����'2���

�, 325 �!�/�+��, �, –1253 �!�%�4�+��,

�, 814 �!� �+��, �, –164 !�%�/�+��,

, 9 3= ± �+��,

��� ����

�, K �, K

�, K �, &

, &

3/* -��������)��������

=�!�813�>�$;���

��� ����

�������E)���.�?����������*

$��A = + = + = + =8 16 8 16 2 2 43 3 414

/��A = + = + = + =⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 43 4 3 414 1 1

13

14

13� � � �

Page 6: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

�������������

3 * -��������)��������

�, �A = ⋅ + +2 454

2643 3

3

33

�, B = +24 54 5 6–

��� ����

A = + +8 27 643 3 6

=�!�/�>� �>/�!�<

B = + =2 6 3 6 5 6 0–

30* ����)�����.�����������������������

5 23⋅

��� ����

5 2 5 2 125 4 5003 36 26 6 6⋅ = ⋅ = ⋅ =

��������� ����

34* D����)��������

�, 81 �, 06

�, 164 ., 2 25,

, 1253 �, 0 04,

�, –1253 �, 0 0083 ,

3;* -������

�, 5 24 3 6 54 216⋅ ⋅ +– –

�, – – –12

44 3 9923

1114

1100⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

3<* -��������)�������������������(��

�, 3 12⋅ , 2 1 2 1– ⋅ +

�,81

3

3

3

3#* +5&�: �:,� 13 7 2 4+ + + �����������

�, 0 �, <

�, 4 �, #

, ;

3@* -��������)�������������������(��

�, 6 4 92 2

⋅ +���

���� � � �– –

�, 3 2 2 84 231

⋅ ⋅���

���–

$3* -������

�, 2 33 4⋅ �,16

32

3

4

$$* ���=�!� 2 G�I�!� 33 ���-�!� 66 ����(��

�, =�L�I�L�- �, -�L�=�L�I

�, I�L�=�L�- �, =�L�-�L�I

, I�L�-�L�=

$/* -�������

�, 0 02713,� � �, /<���������>�27

23

�, +$;,��� �, 16 16 2 1634

12 0– –

–+ ⋅

,23

813

813

23⋅ ⋅–

$ * ����)���������.�������������������������(��

23

16� ��

�����

Page 7: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

�������������

����������

����� �����

��

������ ��������-��������������������������������2������������

���������������������������������(��������������!�$ ��������*������������

�, +!� ���� ������������!����� ��!����+������ ����������������������������������,

+��>�9,�+��%�9,�!���%��9�>��9�%�9�!���%�9

+��>�9,�+��%�9,�!���%�9

��� ��

$,�+��>� ,�+��%� ,�!���%�@

/,� 3 2 3 2+ − =� �� � �( ) ( )3 2 3 2 12 2− = − =

�, ,�� !� �� ����������+�����.����'�,

+��>�9,�!�+��>�9,�+��>�9, !���>��9�>�9��>�9�!

!���>�/�9�>�9

+��%�9,�!�+��%�9,�+��%�9, !���%��9�%�9��>�9�!

!���%�/�9�>�9

+��>�9,�!���>�/�9�>�9

+��%�9,�!���%�/�9�>�9

��� ��

$,�+��>� ,�!���>�;��>�@

/,� 3 2 3 2 3 2 2 5 2 62

− = − + = −� �, ��(�� ����������+�����.����'�,

+��>�9,�!�+��>�9,�+��>�9,�!

!�+��>�9,�+��>�/�9�>�9,�!

!����>�/�9�>��9�>�9�>�/�9�>�9��!

!����>� �9�>� �9�>�9�

+��%�9,� !�+��%�9,�+��%�9,�!

!�+��%�9,�+��%�/�9�>�9,�!

!����%�/�9�>��9�%�9�>�/�9�%�9��!

!����%� �9�>� �9�%�9�

+��>�9,���!����>� �9�>� �9�>�9�

+��%�9,���!����%� �9�>� �9�%�9�

��� ��

$, +��>�/,�!����>� �/�>� �/�>�/��!

!����>�;��>�$/��>�#

/, 2 13 3−� � = − ⋅ + ⋅ − =

= − + − == − +

( ) ( ) ( )2 3 2 1 3 2 1 1

2 3 4 3 2 1

1 3 4 3 2

3 3 3 2 3 2 3

3 3

3 3

�� ���

+��>�9,�+��%�9,�!���%�9

+��>�9,�!���>�/�9�>�9

+��%�9,�!���%�/�9�>�9

+��>�9,���!����>� �9�>� �9�>�9�

+��%�9,���!����%� �9�>� �9�%�9�

Page 8: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

�������������� �����

3$* D����)��)��������������

�, ��+��>�/9,�+ ��%�9, �, + ��%�/,

�, +��>�/9,�+��%�/9, �, +��>�/,�

, +/��>� , ., +��%�/,�

��� ����

�, ��+ ��%��9�>�;�9�%�/9,�!� ���%��9�>�;�9�%�/9��!

!� ���>�4�9�%�/9�

�, ��%�09

, 0��>�$/��>�@

�, @��%�$/��>�0

�, ���>�;��>�$/��>�#

., ���%�;��>�$/��%�#

3/* ��������>�9�!�0�����"�9�!�4����(����>�9�����������

�, ; �, $3

�, 0 �, %�$

, %�;

��� ����

+��>�9,�!���>�9�>�/�9

��>�9�!�+��>�9,�%�/�9�!�;

���������=

3 * +&�)��� �A,�������������x1x

b+ = ���������)����

���xx

22

1+ *

��� ����

xx

x xx x

b

xx

b

+������ = + ⋅ ⋅ + =

+ = −

12

1

12

22

22

22

2

1

��������� ����

30* D����)��)��

�,�+��>� ,�+��%� , �,�+��%�0�,

�,�+��>� �, �,�+/�>��,�

,�+/��>�4�, .,��+$�%/9,�

34* D����)��)������������������M)������������*

�, +/��>��,

�, 2 3 2 2 3 2+� � � �–

,xy

yx

+���

���

2

�, xx

+���

���

12

�, xx

xx

+���������

���

1 1–

3;*� aa

+���

���

1 3

3<*�+�%�$,�%�+/�>�0,�+/�%�0,

3#*�-������0$�"� @����������������������M)��*

3@*��.��������������������M)����

�,�+�%���%��,

�,�+�%���%��,�

$3*���������>�1

3x

= ��������������>�12x*

Page 9: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

������������

����������

����� �����

��

���������

�����������

&������������������(���������.���������������+��.� ���'�,������������������������������������������������������.������*�A������������������������� �����!����*J�������������(��

�, -���!������

��>���!�+��>��,�

���������)������������������������������)�*

��� ��

$, ���>�/��!�+��>�/,�

/, ����>�����!���+��>��,

, /���>�;��>�/��!�/��+��>� ��>�$,

�, .%!�������

���>���>����>���!!�+��>�,��>�+��>�,��!�+��>�,�+��>��,

5����?�������������������)�?�����.���������*

��� ��

$, /��>����>�/9�>��9 !��+/�>��,�>�9+/�>��,�!

!�+/�>��,�+��>�9,

/, ���>���>���>�$�!��+��>�$,�>�+��>�$,�!�+��>�$,�+��>�$,

, ��>�4��>�; !���>�/��>� ��>�;�!

!��+��>�/,�>� +��>�/,�!

!�+��>�/,�+��>� ,

A������������������������?�����������������M)���*

, )��!������!� ����/�� !� ��

��%�9�!�+��>�9,�+��%�9,

��� ��

$, /4�%�09�!�+4�%�/9,�+4�>�/9,

/, ���%�$�!�+��>�$,�+��%�$,�!�+��>�$,�+��>�$,�+��%�$,

�,�,�� !� ���!����

��>�/�9�>�9�!�+��>�9,

��%�/�9�>�9�!�+��%�9,

��� ��

$, ��>�0��>�0�!�+��>�/,

/, ��%�/��>�$�!�+��%�$,

, 0@��>�<3��>�/4�!�+<��>�4,

0, ��%�0��>�$;��(�����.������������, 0�������� ��!�������!� ������(��

���>�9��!�+��>�9,+��%��9�>�9,

���%�9��!�+��%�9,+��>��9�>�9,

��� ��

$, ���>�/<�!�+��>� ,�+��%� ��>�@,

/, #�%�$/4���!�+/�%�4�,�+0�>�$3��>�/4�,

, ���%�9� !�+���>�9�,+���%�9�,�!

!�+��>�9,+��%��9�>�9,+��%�9,+�>��9�>�9,!

!�+��>�9,+��%�9,+��>��9�>�9,+��%��9�>�9,

.,���(���!����

���>� �9�>� �9�>�9��!�+��>�9,�

���%� �9�>� �9�%�9��!�+��%�9,�

��� ��

$, ���>�;��>�$/��>�#�!�+��>�/,�

/, /<9��%�409�>� ;9�%�#�!�+ 9�%�/,�

�� �������������������� ��

A�������������.����.��'2�����N��.������������ �������������������������������������������������*

��� ��

$, x xy y

x y

x y

x y

x yx y x y

x yx y

2 2

2 2

2

2 2

22

5 5 5 5 5+ +

−= +

−= +

+ −= +

−( )

( )

( )( )( ) ( )

/,12 12

4 4 4

12

4

12

4

3

3 3

3 2 2

3 3

2 2

2 2

2 2

x y

x x y xy

x y

x x xy y

x y x xy y

x x xy y

x yx

+− +

= +− +

=

= + − +− +

= +

( )

( )

( )( )

( )

( )

Page 10: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

�������������

�� ���

��>���!�+��>��,�

���>���>����>���!�+��>�,�+��>��,

��%�9�!�+��>�9,�+��%�9,

���>�9��!�+��>�9,+��%��9�>�9,

���%�9��!�+��%�9,+��>��9�>�9,

��>�/�9�>�9�!�+��>�9,

��%�/�9�>�9�!�+��%�9,

���>� �9�>� �9�>�9��!�+��>�9,�

���%� �9�>� �9�%�9��!��+��%�9,�

�������������� �����

3$* &������

�, /��>��� �, ���>�/��>�$�%��

�, ������>������ �, #�%���

, ��>�0��>�0

��� ����

�, ��+/�>��,

�, ������+��>��,

, +��>�/,

�, +��>�$,�%���!�+��>���>�$,�+��%���>�$,

�, +/�%��,�+0�>�/��>��,

3/* +��A6 �A,�&������������������(�����>���%�0��%�0������

�, ��+��>���>�0,�>�0

�, +��>�0,

, ���>���>�0�+��>�$,

�, +��>�$,�+��>�/,�+��%�/,

�, +��>�0,

��� ����

��+��>�$,�%�0�+��>�$,�!�+��>�$,�+��%�0,�!

!�+��>�$,�+��%�/,�+��>�/,

���������D

3 * +&7K �A,�������.����� �����.��'(��

�m m

m m

2

25 10 5

++ + ������� ���

�,111

�,m

m5 1+� �

,m

m5 1–� �

�,m

m+ 1

5

�,mm

– 15 1+� �

��� ����

���������I

Page 11: Ativ1-611 (Potenciação, Radiciação, Fatoração)

�������������

��������� ����

&�����������������2��*

30*�#���%�;�

34*����>����>���>���

3;*����%���>���%�$

3<*���%�/49

3#*�$33�%�+ ��%�9,

3@* &������

�,�/���>�0��

�,� ���>�;���% ���

,����>�/��%���%�/

�,�$33�%�0�

�,���>�#��>�$;

$3* ������.��������������(����x y x y xy

x y xy

3 2 2 3

4 4

2 4

8

+ +–

*

$$* &������

�, ���>�# , ���%�/<

�, ���>�$ �, #�%�9�