UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 01 + 02 + 04 = 07

01. Correta.

02. Correta.

04. Correta.

08. Incorreta.

log (x + y) = 0

log 2 + log y = log x

x + y = 22

3 3 3

0

llog (2 . y) = log x

x + y = 1

2y = x

x + y =

3 3

1

x + 2y = 0

x x13

123

3 1

13

y

y

Logo, o sistema possui apenas uma solução 23

13

,

.

16. Incorreta. Se f(x) é injetora, então a ≠ b implica que f(a) ≠ f(b). Se g(x) é injetora, então f(a) ≠ f(b) implica que g[f(a)] ≠ g[f(b)]. Logo, se a ≠ b, então gof(a) ≠ gof(b), o que comprova que gof(x) é uma função injetora.

Resposta: 04 + 08 + 16 = 28

UFSCMatemática (Amarela)

01. Incorreta. x3 + x = 0 x (x2 + 1) = 0 x = 0 x2 + 1 = 0 x2 = –1 x = ±i 02. Incorreta. x – 1 = 0 Resto = P(1) x = 1 = 1n + 1 = 2

04. Correta. x2 + 5x + 6 = 0 x' = –2 x" = –3

Então, P(–2) = 0 e P(–3) = 0

–16 + 20 – 2a + b = 0 –81 + 45 – 3a + b = 0 –2a + b = –4 –3a + b = 36

2 4

3 36

a b

a b

a = 40

→ b = –4 – 80 b = –84

x x x x x x

x x x

4 3 2 2

4 3 2

0 5 40 84 5 6

5 6

x x

x x x

x x x

2

3 2

3 2

5 14

5 11 40 84

5 25 30

14 70 84

14 70 84

2

2

x x

x x

0

08. Correta. (a + b + c)2 = (–4)2

a2 + b2 + c2 + 2 . (ab + ac + bc) = 16 a2 + b2 + c2 + 2 . (–2) = 16 a2 + b2 + c2 = 20

16. Correta. Por Girard temos: x1 + x2 + x3 = –k x1 + x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = t x1 . x2 . x3 = 4

1 1 2 4

1 1 1 2 1 2

+ + +

. . .

i i k k

i i i i t

( ) ( ) ( ) ( )

11 2 2 2 2

6

( )i i i t

t

k + t = –4 + 6 = 2

UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 02 + 16 = 18

01. Incorreta.

Seja A

0 0

1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

e B =

A . B =

02. Correta.

Asen

senA

sen

senT

cos

cos

cos

cos

det A = cos + sen

de

2 2

Asen

sen1 cos

costt A = 1

04. Incorreta. f(x) = α (3 + α) + x(x – 1) ∆ = (–1)2 – 4 . 1 . (3α + α2) f(x) = 3α + α2 + x2 – x ∆ = 1 – 12α – 4α2 ∆ ≥ 0 f(x) = α2 – x + 3α + α2

1 – 12α – 4α2 ≥ 0 3 10

23 10

2x

4α2 + 12α –1 ≤ 0

08. Incorreta.

2 3 10

2 5

2 3 0

1

i

i i

i

i . i30 = i2 = –1

11i

ii

ii .

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 3 2 3 10 10

2 3 2 5 2 5

3 10

1 3

i i i

i i i i

i .

i =

ii i

5 2 = C

UFSCMatemática (Amarela)

16. Correta.

N I I

N I N

72 12

5 60

Lucro = 60 . 2000 + 12 . 2800 = R$153 600

32. Incorreta. (0, 0, –6) também é solução.

Resposta: 15

( ) ( ) ( )

( ) (

51 51 2 2 4

4 4 17

4 4 2

3 2

x y xy mx m nx n x

x x x my

. .

. 117 69 692 2

3 3

ny x xy y x y) ( ) ( ) . .

51xy . (x + y ) . (m . (x

22) + n . (x 2)) . (x + 2) . (x 2)

x . (x 4x + 4) . 17y (m2

+ n) . (x xy + y ) . 69 (x + y)

51 . x . y . (x + y) .

2 2

((x xy + y ) . (x 2) . (m + n) . (x + 2) . (x 2)

x . (x 2)

2 2 . (x 2) . 17y . (m + n) . (x xy + y ) . 69 . (x + y)2 2

Simplificando os fatores em comum obtemos:

= = =51 . (x + 2)17 . 69

51 . (343 + 2)17 . 69

51 . 34517 . 69

== 3 . 5 = 15

UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 02 + 08 + 16 = 26

01. Incorreta. f(x) = 2 . sen x . cos x = sen (2x)

Período: p 2 22

|c|

02. Correta.

04. Incorreta.

F R: ,

2 2 com y = f(x) = cos (2x)

y = f(x) = 0 + 1 . cos (2x + 0)

a b c d

Início: xdc

02

0

Período: p 2 22

|c|

É incorreta, pois no intervalo

2 2

, a função f(x) possui raízes (cruzamento do gráfico com o eixo x) em

x = – π4

e x = π4

.

08. Correta.

16. Correta.

32. Incorreta.

f : R A

Contradomínio

Domínio

y = f(x) = a + b . sen x

y = f(x) = a + b . sen (1 . x + 0 )

Valor médio

Amplitude

UFSCMatemática (Amarela)

Início: xdc

01

0

Período: p 2 21

2

|c|

a + b

y

x

a

a + b

0 2 �p = 2�

Pelo gráfico, o conjunto imagem é Im = [a – b, a + b]. A alternativa é falsa porque, para ser sobrejetora, a imagem deveria ser igual ao contradomínio, ou seja, A = [a – b, a + b], o que não condiz com o enunciado.

Resposta: 01 + 02 + 64 = 67

01. Correta.

y x

p

p

2 3

2 3

32

UFSCMatemática (Amarela)

02. Correta. y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares)

m = –1 (–8, –3) y + 3 = –1 . (x + 8) y + 3 = –x – 8 x + y + 11 = 0

04. Incorreta. C(–2, –2) r = 2 (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4 x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

08. Incorreta.

A =

1

2

2

2

8

1

10

5

3

5

2

2

A

A

A

12

2 40 50 6 16 10 15 10

12

98 51

472

.

.

u.a.

16. Incorreta.

16400

25400

400400

25 161

25

2 2

2 2

2

x y

x y

a b

22 16

5

35

b 4

C=

a

a2 + b2 + c2

52 = 42 + c2

c = 3

32. Incorreta. A distância entre os centros também pode ser igual ao módulo da subtração dos raios.

64. Correta.

d

d

d

A r

A r

A r

,

,

,

|

( )

|

4 . 7 3 . 2 + 3|

2 . 8 6 + 3|

4 3

5255

2 2

55

UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 02 + 04 + 08 + 16 = 30

01. Incorreta. São 10 emojis distintos, sendo eles: {A; B; C; D; E; F; G; H; I; J}. Um dos emojis (A) deve estar presente na senha composta de 4 emojis distintos. Fixando (A) na primeira

posição, temos:

1

A

. 9 . 8 . 7 = 504 possibilidades.

Porém, o emoji (A) pode estar em 4 posições distintas. Então: 4 . 504 = 2016.

UFSCMatemática (Amarela)

02. Correta. Pela propriedade da soma da linha no triângulo de Pascal, segue que:

7

0

7

1

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

72

17

1

7

2

7

3

7

4

7

5

7

7

6

7

7128

7

1

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

7127

Nota: de acordo com o gabarito divulgado pela UFSC, consta como verdadeira.

Porém, a maneira com está escrita na prova (colo-cando traço de fração entre numerador e denomina-dor no número binomial), faz com que cada parcela da soma seja apenas uma fração e não mais um número binomial. Daí segue que a propriedade da soma da linha não é aplicada ao item.

04. Correta. Seja o binômio (x2 + x–2)8. Calculando o termo independente, temos:

Tp

Tp

pp p

pp

18 2

116 2 2

8

8

. (x ) (x

. x x

2 . )

. pp

ppT

p

1

16 48 . x 16 – 4p = 0

–4p = –16p = 4

Se p = 4, então:

T5

0

2

8

470

. x

8 . 7 . 6 . 5

4 . 3 . 2

08. Correta. Calculando o total de grupos de 6 professores dentre 10 disponíveis, temos:

C10 6

3

; = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5

6 . 5 . 4 . 3 . 2 = 210.

Calculando a restrição (que não pode acontecer) de 2 professores juntos, temos:

C8 4

2

; = 8 . 7 . 6 . 5

4 . 3 . 2 = 70.

Portanto, segue que o total de grupos é 210 – 70 = 140.

16. Correta. Calculando como evento complementar:

A → números diferentes A → números iguais

P A

P A P A

P A

P A

P A

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

12144

112

1

112

1

11

121112

UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 01 + 04 = 05

01. Correta.

r

r

h = r

r

h = 2r

V V r r h r r r

V r h r

e co

ci

243

213

43

23

23 2 3 3 3

2 2

.

. 2r = 2 3r

UFSCMatemática (Amarela)

02. Incorreta.

N = 2A 6 . 3 + 4 . 6 = 2A 18 + 24 = 2A A = 21

V + F = A + 2 V + 10 = 21 + 2 V = 13

04. Correta.

x

x

x

sen 135 sen 30

21 km

o o=

=

=

15

215 2

2

km

x

14

21

60

min

x = 90 min

08. Incorreta.

A = 5 . a + 4 .

A = 5 . 3 + dm dm

T2

T2

a2

2 2 2

34

3 3 45 9 3 60 3 ,

Resposta: 08 + 32 = 40

01. Incorreta.

Z

Z

( , )2 2 3

2 2 33

Z = cos 4

+

ii sen 43

|Z| =

|Z| = 4

tg =

tg =

=

=

4 122 3

2

3

240

1804

o

o

33

UFSCMatemática (Amarela)

02. Incorreta. Z = (–m2 – m – 12) + (m2 – 16); –m2 – m – 12 ≠ 0 m2 – 16 = 0 m2 = 16 m = ±4

–(4)2 – 4 – 12 –(–4)2 – (–4) – 12 = –16 – 16 = –16 + 4 – 12 = –32 = –24

04. Incorreta.

A

A B�

B

–2 3

–2 2

0 3

C = {3} C ⊄ A ∩ B

08. Correta.

Entrada: 200 + 1600

Juros: 300 J = c . i . t 300 = 1300 . i . 1

i

i

30013000 2307,

16. Incorreta. Contraexemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2}; C = {4, 5}

A ∪ B = A ∪ C, mas B ≠ C.

32. Correta.

a

a

a

a

b

b

c

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

2

3 3

13

32

43

32

2

2

8

3

.

2 . 2

88

2

2 21

2

23

2

8

2

88

c

ba . c 2 . 22

UFSCMatemática (Amarela)

Resposta: 01 + 04 + 08 = 13

01. Correta.

7200 = n . p

7200 = (n 10) . (p + 60)

Resolvendo o sistema: n = 40 p = 180

02. Incorreta. Podem ser reversas.

04. Correta.

R

2 5

4

R

R

2 2 24 2 5

6

( )

V

V

43288 3

. 6

cm

3

08. Correta.

h

h

=

=

32

2

3

A

A

h

A hh

2

2

2

34

2

33

4

33

.

( )

16. Incorreta.