Capıtulo 5

Trigonometria esferica

A astronomia esferica, ou astronomia de posicao, diz respeito, fundamental-mente, as direcoes nas quais os astros sao vistos, sem se preocupar com suadistancia. E conveniente expressar essas direcoes em termos das posicoessobre a superfıcie de uma esfera – a esfera celeste. Essas posicoes sao medi-das unicamente em angulos. Dessa forma, o raio da esfera, que e totalmentearbitrario, nao entra nas equacoes.

5.1 Definicoes basicas

Se um plano passa pelo centro de uma esfera, ele a dividira em dois he-misferios identicos, ao longo de um grande cırculo, ou cırculo maximo. Qual-quer plano que corta a esfera sem passar pelo seu centro a intercepta em umcırculo menor ou pequeno.

Quando dois cırculos maximos se interceptam em um ponto, formamentre si um angulo esferico. A medida de um angulo esferico e igual amedida do angulo plano entre as tangentes dos dois arcos que o formam.

Um angulo esferico tambem e medido pelo arco esferico correspondente,que e o arco de um cırculo maximo contido entre os dois lados do anguloesferico e distantes 90◦ de seu vertice. A medida de um arco esferico, porsua vez, e igual ao angulo que ele subentende no centro da circunferencia.

5.2 Triangulos esfericos

Um triangulo esferico nao e qualquer figura de tres lados sobre a esfera; seuslados devem ser arcos de grandes cırculos, ou seja, arcos esfericos. Denota-

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mos os angulos de um triangulo esferico por letras maiusculas (A,B,C), e osseus lados por letras minusculas (a,b,c).

C A

Bac

b

5.2.1 Propriedades dos triangulos esfericos

1. A soma dos angulos de um triangulo esferico e sempre maior que 180graus e menor do que 540 graus e nao e constante, dependendo dotriangulo. De fato, o excesso a 180 graus e diretamente proporcionala area do triangulo.

2. A soma dos lados de um triangulos esferico e maior do que zero emenor do que 180 graus.

3. Os lados maiores estao opostos aos angulos maiores no triangulo.

4. A soma de dois lados do triangulo e sempre maior do que o terceirolado, e a diferenca e sempre menor.

5. Cada um dos lados do triangulo e menor do que 180 graus e isso seaplica tambem aos angulos.

5.2.2 Solucao de triangulos esfericos

Ao contrario da trigonometria plana, nao e suficiente conhecer dois angulospara resolver o triangulo. E sempre necessario conhecer no mınimo tres

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elementos: ou tres angulos, ou tres lados, ou dois lados e um angulo, ou umangulo e dois lados.

Seja ABC um triangulo esferico como na figura, chamando os lados BCde a, CA de b e AB de c. O lado a mede o angulo BOC subentendido nocentro da esfera O pelo arco de grande cırculo BC. Similarmente, b e medidopelo angulo AOC e c pelo angulo AOB. Seja AD a tangente em A do grandecırculo AB, e AE a tangente em A do grande cırculo AC. Neste caso, a retaOA e perpendicular a AD e AE. Por construcao, AD esta no plano do grandecırculo AB. Portanto, extendendo a reta OB, ela interceptara a tangente ADno ponto D. E OC interceptara a tangente AE em E. O angulo esferico BACe definido como o angulo entre as tangentes, em A, aos grandes cırculos ABe AC. Logo, BAC=DAE e chamamos de A.

No triangulo plano OAD, o angulo OAD e 90o e o angulo AOD e identicoao angulo AOB, que chamamos de c. Portanto

AD = OA tan c

OD = OA sec c

Do triangulo plano OAE podemos deduzir

AE = OA tan b

OE = OA sec b

E do triangulo plano DAE temos

DE2 = AD2 +AE2 − 2AD ·AE cosDAE

ouDE2 = OA2[tan2 c+ tan2 b− 2 tan b tan c cosA]

Do triangulo plano DOE

DE2 = OD2 +OE2 − 2OD ·OE cosDOE

Como DOE=BOC=a,

DE2 = OA2[sec2 c+ sec2 b− 2 sec b sec c cos a]

das quais obtemos

sec2 c+ sec2 b− 2 sec b sec c cos a = tan2 c+ tan2 b− 2 tan b tan c cosA

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Comosec2 c = 1 + tan2 c

sec2 b = 1 + tan2 b

obtemoscos a = cos b cos c+ senb senc cosA

As formulas principais para a solucao dos triangulos esfericos sao:Formula dos cossenos:

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA

Formula dos senos:

sen asenA

=sen bsenB

=sen csenC

5.3 O triangulo de posicao

Denomina-se triangulo de posicao o triangulo esferico situado na esfera ce-leste cujos vertices sao o polo elevado, o astro e o zenite.

Os lados e angulos do triangulo de posicao sao:

• arco entre o zenite e o polo = 90◦ - |φ|

• arco entre o zenite e astro = z

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• arco entre o polo e o astro = 90◦ - |δ|

• angulo com vertice no zenite = A (no Hemisferio Norte) ou A - 180◦

(no Hemisferio Sul)

• angulo com vertice no polo = H

• angulo com vertice na estrela

O triangulo de posicao e usado para derivar as coordenadas do astroquando conhecida a posicao geografica do lugar, ou determinar as coor-denadas geograficas do lugar quando conhecidas as coordenadas do astro.Tambem permite fazer as transformacoes de um sistema de coordenadaspara outro.

Relacoes entre distancia zenital (z), azimute (A), angulo horario(H), e declinacao (δ)

Pela formula dos cossenos, podemos tirar duas relacoes basicas entre ossistemas de coordenadas:

1.

cos z = cos(90◦ − φ)cos(90◦ − δ) + sen (90◦ − φ) sen (90◦ − δ) cosH

Donde:cos z = senφ sen δ + cosφ cos δ cosH

e:cosH = cos z secφ sec δ − tanφ tan δ

2.

cos(90◦ − δ) = cos(90◦ − φ) cos z + sen (90◦ − φ) sen z cosA

De modo que:sen δ = senφ cos z + cosφsenz cosA

ecosA = sen δ csc z secφ− tanφ cot z

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5.4 Algumas aplicacoes:

5.4.1 Angulo horario no ocaso

Determinar o angulo horario no ocaso (z = 90◦) para uma estrela de de-clinacao δ, em um local de latitude φ.

cos ZF = cos PZ cos PF + sen PZ sen PF cos ZPF

oucos 90◦ = senφ sen δ + cosφ cos δ cosH

ou seja:cosH = − tanφ tan δ

Com essa formula podemos calcular, por exemplo, quanto tempo o Sol per-manece acima do horizonte em um certo local e em certa data do ano, pois,para qualquer astro, o tempo de permanencia acima do horizonte sera duasvezes o angulo horario desse astro no momento do nascer ou ocaso.

Sol acima do horizonte

Quanto tempo o Sol permanece acima do horizonte, em Porto Alegre (φ =−30◦), no dia do solstıcio de verao no HS (δ¯ = −23◦27′).

Especificamente em Porto Alegre, o Sol estara acima do horizonte apro-ximadamente 14 h e 10 min em 21 de dezembro, e 10 h e 10 min em 21 dejunho. Note que a diferenca de 10 minutos e devido a definicao de que o diacomeca com a borda superior do Sol no horizonte e termina com a bordasuperior do Sol no horizonte, e nao o centro do disco solar, como assumidona formula anterior.

O azimute do astro no nascer (ou ocaso) tambem pode ser deduzido dafigura:

cosA = sen δ secφ

cosA = sen (−23◦27′) sec(30◦) = −0, 46

Logo, A = 117◦ (243◦), o que significa entre o leste (A = 90◦) e o sul(A = 180◦).

5.4.2 Determinar a separacao angular entre duas estrelas.

A separacao angular entre duas estrelas e a distancia medida ao longo docırculo maximo passando pelas duas estrelas. Sejam A e B as duas estrelas,e sejam αA, δA, αB e δB as suas coordenadas.

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Podemos construir um triangulo esferico em que um dos lados seja aseparacao angular entre elas e os outros dois lados sejam as suas distanciaspolares, ou seja, os arcos ao longo dos meridianos das estrelas desde o polo(P ) ate as estrelas. Pela formula dos cossenos temos:

δΑ

δΒ

αΑ−αΒ

Α

Β

cosAB = cosPA cosPB + sen PA sen PB cosAPB

Onde:AB = distancia polar entre A e B

PA = distancia polar de A = 90◦ − δA

PB = distancia polar de B = 90◦ − δB

APB = angulo entre o meridiano de A e o meridiano de B = αA − αB

E portanto:cos PA = sen δA

cos PB = sen δB

sen PA = cos δA

sen PB = cos δB

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cos APB = cos (αA − αB)

E finalmente:

cos AB = senδA senδB + cos δA cos δB cos(αA − αB)

Exemplo:

Qual o tamanho da constelacao do Cruzeiro do Sul, medido pelo eixo maiorda Cruz?

O eixo maior da Cruz e formado pelas estrelas Gacrux (α = 12h 31m 11s;δ = −57◦ 07′) e Acrux (α = 12h 26m 37s; δ = −63◦ 06′)

Chamando D o tamanho do eixo maior da Cruz, e aplicando a equacaoacima, temos:

cosD = senδGacrux senδAcrux + cos δGacrux cos δAcrux cos(αGacrux − αAcrux)

δGacrux = −57◦ 07′ = −57, 11◦

αGacrux = 12h 31m 11s = 187, 80◦

δAcrux = −63◦ 06′ = −63, 10◦

αAcrux = 12h 26m 37s = 186, 65◦

Substituindo esses valores na equacao temos:

cosD = sen (−57, 11◦) sen (−63, 10◦)++ cos (−57, 11◦) cos (−63, 10◦) cos(187, 80◦ − 186, 65◦)

Portanto:cosD = 0, 9945 ⇒ D = 6◦

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