Capıtulo 11

Newton

Estudando o movimento dos corpos, Galileo Galilei (1564–1642) descobriu,atraves de experimentos, que “um corpo que se move, continuara em movi-mento a menos que uma forca seja aplicada e que o force a parar.” Galileoargumentou que o movimento e tao natural quanto o repouso, isto e, umcorpo que esta em repouso permanece em repouso, a menos que seja subme-tido a uma forca que o faca mover-se. Se um objeto ja esta se movimentando,ele continuara em movimento, a menos que seja submetido a uma forca queo faca parar.

Galileo, que descobriu os satelites de Jupiter, comunicou seus dados aKepler, que verificou que eles obedeciam as Tres Leis de Kepler, porem comum valor da constante K diferente na 3a. Lei.

Sessenta anos depois, o ingles Isaac Newton (1643-1727) foi quem deuuma explicacao completa ao movimento e a forma como as forcas atuam. Adescricao esta contida nas suas 3 leis.

Primeira Lei: Inercia, elaborada a partir de Galileo: em ausencia deforcas externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objetoem movimento permanece em movimento, ficando em movimento retilıneoe com velocidade constante. Essa propriedade do corpo que resiste a mu-danca, chama-se inercia. A medida da inercia de um corpo e seu momentum.Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional a suavelocidade. A constante de proporcionalidade, que e a sua propriedade queresiste a mudanca, e a sua massa:

~p = m~v = constante se ~F = 0

Segunda Lei: Lei da Forca, relaciona a mudanca de velocidade doobjeto com a forca aplicada sobre ele. A forca lıquida aplicada a um objeto

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e igual a massa do objeto vezes a aceleracao causada ao corpo por essa forca.A aceleracao e na mesma direcao da forca.

~F = m× ~a = m× d~v

dt=d~p

dt

Terceira Lei: Acao e Reacao, estabelece que, se o objeto exerce umaforca sobre outro objeto, esse outro exerce uma forca igual e contraria.

Newton pode explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assu-mindo a hipotese de uma forca dirigida ao Sol, que produz uma aceleracaoque forca a velocidade do planeta a mudar de direcao continuamente. Comofoi que Newton descobriu a Lei da Gravitacao Universal? Considerando omovimento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler.

O

r

v

v

v

v.dt

dv

D

E

G

1

1

2

Aceleracao em orbitas circulares: o holandes Christiaan Huygens(1629–1695), em 1673, e independentemente Newton, em 1665, (mas publi-cado apenas em 1687, no Principia), descreveram a aceleracao centrıpeta.

Consideremos uma partıcula que se move em um cırculo. No instantet a partıcula esta em D, com velocidade ~v1 na direcao DE. Pela 1a. lei deNewton, se nao existe uma forca agindo sobre o corpo, ele continuara emmovimento na direcao DE. Apos ∆t, a partıcula esta em G, e percorreu adistancia v × ∆t, e esta com velocidade ~v2, de mesmo modulo v, mas emoutra direcao.

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Seja θ o angulo entre o ponto D e o ponto G. θ tambem e o angulo entre~v1 e ~v2:

θ =v∆tr

=∆vv

e, portanto, a aceleracao:

a =∆v∆t

=v2

r

Se a partıcula tem massa m, a forca central necessaria para produzir aaceleracao e:

F = mv2

r

Claramente, a deducao e valida se ∆v e ∆t sao extremamente pequenos, ee um exemplo da aplicacao do calculo diferencial, que foi desenvolvido pelaprimeira vez por Newton.

Um pouco de historiaEm sua proprias palavras, Newton, como citado no prefacio do catalogo dos

Portsmouth Papers, descreve como utilizou as Leis de Kepler para derivar a gra-vitacao universal. “In the year 1665, I began to think of gravity extending to the orbof the Moon, and having found out how to estimate the force with which [a] globerevolving within a sphere presses the surface of the sphere, from Kepler’s Rule ofthe periodical times being in a sesquialterate proportion of their distances from thecenters of their orbs I deduced that the forces which keep the Planets in their orbsmust [be] reciprocally as the squares of their distances from the centers about whichthey revolve: and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orbwith the force of gravity as the surface of the earth, and found them answer prettynearly.”

Em 1668, Newton construiu um telescopio refletor, usado atualmente em todosos observatorios profissionais, com um espelho curvo ao inves de uma lente, comonos telescopios refratores de Galileo e Kepler. O telescopio de Galileo, construıdoem 1609, era composto de uma lente convexa e uma lenta concava. Kepler, no livroDioptrice, publicado em 1611, explicou que seria melhor construir um telescopiocom duas lentes convexas, como se usa atualmente. A descoberta de Newton doefeito de um prisma separando um feixe de luz branca e a base da espectroscopia.

Christiaan Huygens (1629–1695), que tambem construıa seus telescopios, des-cobriu, em 1655, o satelite Titan de Saturno, e que as “orelhas” de Saturno desco-bertas em 1610 eram, na verdade, aneis (De Saturni Luna Observatio Nova, 1656e Sistema Saturnia, 1659). Em 1656, inventou o relogio de pendulo e o patenteouno ano seguinte. Em 1673, publicou o Oscillatorium Horologium, no qual explicouo movimento do pendulo e descreveu a forca centrıpeta.

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11.1 Gravitacao universal

Obviamente, a Terra exerce uma atracao sobre os objetos que estao sobresua superfıcie. Newton se deu conta de que essa forca se estendia ate a Lua eproduzia a aceleracao centrıpeta necessaria para manter a Lua em orbita. Omesmo acontece com o Sol e os planetas. Entao, Newton levantou a hipoteseda existencia de uma forca de atracao universal entre os corpos em qualquerparte do Universo.

A forca centrıpeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m, quese move com velocidade v a uma distancia r do Sol, e dada por:

F = mv2

r.

Assumindo, nesse instante, uma orbita circular, que mais tarde sera ge-neralizada para qualquer tipo de orbita, o perıodo P do planeta e dado por:

P =2πrv

=⇒ v =2πrP

Pela 3a. Lei de Kepler,P 2 = Kr3,

onde a constante K depende das unidades de P e r. Temos, entao, que

v2 =4π2r2

Kr3=

4π2

Kr=⇒ v2 ∝ 1

r.

Seja m a massa do planeta e M a massa do Sol. A expressao da forcacentrıpeta exercida pelo Sol no planeta pode, entao, ser escrita como:

F ∝ m

r2,

e, de acordo com a 3a. lei de Newton, o planeta exerce uma forca igual econtraria sobre o Sol. A forca centrıpeta exercida pelo planeta sobre o Sol,de massa M e dada por:

F ∝ M

r2,

Newton deduziu, entao, que:

F =GMm

r2

onde G e uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol quanto o pla-neta que se move em torno dele experimentam a mesma forca, mas o Sol

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permanece aproximadamente no centro do sistema solar porque a massa doSol e aproximadamente mil vezes maior que a massa de todos os planetassomados.

Newton, entao, concluiu que, para que a atracao universal seja correta,deve existir uma forca atrativa entre pares de objetos em qualquer regiaodo universo, e essa forca deve ser proporcional a suas massas e inversamenteproporcional ao quadrado de suas distancias. A constante de proporcionali-dade G depende das unidades das massas e da distancia.

11.2 Derivacao da “constante” K

Suponha dois corpos de massas m1 e m2, com velocidades v1 e v2, em orbitacircular em torno do centro de massa comum, cuja distancia a cada um e r1e r2, respectivamente.

A atracao gravitacional e dada por:

FG =Gm1m2

(r1 + r2)2

e as forcas centrıpetas por:

F1 =m1v

21

r1e

F2 =m2v

22

r2

Como:

v1 =2πr1P

=⇒ v21 =

4π2r21P 2

e o mesmo para m2,

F1 = F2 = FG =Gm1m2

(r1 + r2)2=m1v

21

r1=

4π2m1r1P 2

eGm1m2

(r1 + r2)2=m2v

22

r2=

4π2m2r2P 2

Eliminando-se m1 na primeira e m2 na segunda e somando-se, obtemos:

G(m1 +m2)(r1 + r2)2

=4π2(r1 + r2)

P 2,

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ou:

P 2 =4π2

G(m1 +m2)(r1 + r2)3

Comparando essa expressao com a forma original da 3a lei de Kepler:

P 2 = Ka3

vemos que

K =4π2

G(m1 +m2)(11.1)

Isso nos diz que a “constante” K, definida como a razao P 2

a3 , so e constanterealmente se (m1 +m2) permanece constante. Isso e o que acontece no casodos planetas do sistema solar: como todos tem massa muito menor do quea massa do Sol, a soma da massa do Sol com a massa do planeta e sempreaproximadamente a mesma, independente do planeta. Por essa razao Kepler,ao formular sua 3a lei, nao percebeu a dependencia com a massa.

Mas, se considerarmos sistemas onde os corpos principais sao diferentes,entao as razoes P 2

a3 serao diferentes. Por exemplo, todos os satelites deJupiter tem praticamente a mesma razao P 2

a3 = KJ , que portanto podemosconsiderar constante entre elas, mas essa constante e diferente da razaoP 2

a3 = K¯ comum aos planetas do sistema solar. Para estabelecermos aigualdade temos que introduzir a massa:

(M¯ +mp)(P 2

a3

)

¯= (MJ +ms)

(P 2

a3

)

J

= constante

ou, considerando as massas dos planetas desprezaveis frente a massa do Sol,e as massas dos satelites desprezaveis frente a massa de Jupiter, e represen-tando a razao P 2

a3 pela letra K, temos:

M¯K¯ = MJ KJ = constante

Generalizando para quaisquer sistemas, podemos escrever:

M1K1 = M2K2 = .... = MnKn = constante

onde Kn e a razao entre o quadrado do perıodo e o cubo do semi-eixo maiorda orbita para os corpos do sistema de massa Mn.

Pela equacao 11.1 sabemos que o valor dessa constante e 4 π2

G , e temosentao:

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M1K1 = M2K2 = .... = MnKn =4π2

G

Existem casos de sistemas gravitacionais em que nao podemos desprezara massa de nenhum corpo frente a do outro, como, por exemplo, muitossistemas binarios de estrelas.

Nesses casos, e mais correto escrever:

(M +m)1K1 = (M +m)2K2 = .... = (M +m)nKn =4π2

G(11.2)

11.3 Determinacao de massas

A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton pode se escrita como:

(M +m) =4π2

G

a3

P 2(11.3)

que nada mais e do que a ultima parte da equacao 11.2, onde foi substituıdoK por P 2

a3 .No sistema internacional de unidades, G = 6, 673 × 10−11 N m2/kg2, ou

G = 6, 67 × 10−11 m3/(kg s2) e foi medida em laboratorio pelo fısico inglesHenry Cavendish (1731-1810) em 1798.

Mas, em astronomia, muitas vezes e mais conveniente adotar outras uni-dades que nao as do sistema internacional. Por exemplo, em se tratandode sistemas nos quais o corpo maior e uma estrela, costuma-se determinarsuas massas em unidades de massa do Sol, ou massas solares (massa doSol = M¯), seus perıodos em anos e suas distancias entre si em unidadesastronomicas. Em sistemas em que o corpo maior e um planeta, e maisconveniente expressar sua massa em unidades de massas da Terra (massa daTerra = M⊕), seu perıodo em meses siderais e suas distancias relativas emtermos da distancia entre Terra e Lua. Em ambos os sistemas o valor de Ge 4π2, e a terceira lei de Kepler fica:

M +m =a3

P 2

a qual e especialmente util para a determinacao de massas de corpos as-tronomicos.

Por exemplo, se se observa o perıodo orbital e a distancia de um satelitea seu planeta, pode-se calcular a massa combinada do planeta e do satelite,

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em massas solares ou massas terrestres. Como a massa do satelite e muitopequena comparada com a massa do planeta, a massa calculada (m+M) eessencialmente a massa do planeta (M).

Da mesma forma, observando-se o tamanho da orbita de uma estreladupla, e o seu perıodo orbital, pode-se deduzir as massas das estrelas nosistema binario. De fato, pode-se usar a terceira lei de Kepler na formarevisada por Newton para estimar a massa de nossa Galaxia e de outrasgalaxias.

Exemplo 1:Deimos, o menor dos 2 satelites de Marte, tem perıodo sideral de 1,262

dias e uma distancia media ao centro de Marte de 23500 km. Qual a massade Marte?

Podemos resolver este problema de diversas maneiras. Aqui vamos mos-trar algumas delas.

1. Calculando a massa de Marte diretamente em massas terrestres. (Va-mos usar a notacao: Marte = Ma; Deimos = D; Terra = ⊕ e Lua =L).

(a) Uma maneira de resolver o problema e compararando os parame-tros da orbita de Deimos em torno de Marte com os parametrosda orbita da Lua em torno da Terra, sem introduzir o valor daconstante.Desprezando a massa de Deimos e da Lua frente as massas deseus respectivos planetas, podemos escrever:

MMaKMa = M⊕K⊕

sendo KMa = (PD)2/(aD)3 e K⊕ = (PL)2/(aL)3. Entao:

MMa

M⊕=

(PL)2/(aL)3

(PD)2/(aD)3=

(PL

PD

)2(aD

aL

)3

Sabendo que:PL = 27, 32 dias

PD = 1, 262 dias

aL = 384 000 km

90

aD = 23 500 km

Temos:

MMa

M⊕=

(27, 32 dias1, 262 dias

)2( 23500 km384000 km

)3

= 0, 1

MMa = 0, 1M⊕

(b) Podemos chegar ao mesmo resultado usando a expressao formalda 3a lei de Kepler (equacao 11.3), escrevendo as distancias emtermos da distancia Terra-Lua, as massas em massas terrestres,e os perıodos em termos do perıodo da Lua, ou seja, usando osistema de unidades [distancia T-L (dTL), massa terrestre (M⊕),mes sideral (mes)]:

MMa +mD 'MMa =4π2

G

(aD)3

(PD)2

Fazendo as transformacoes de unidades:

PD = (1, 262/27, 32) meses = 4, 62× 10−2 meses

aD = (23500/384000) dTL = 6, 1× 10−2 dTL

G = 4π2 (dTL)3/(M⊕ meses2) =⇒ 4π2

G= 1 (M⊕ meses2)/(dTL)3

Temos:

MMa =

(6, 1× 10−2

)3

(4, 62× 10−2)2M⊕ =⇒ MMa = 0, 1M⊕

2. Calculando diretamente a massa de Marte em massas solares (M¯).

(a) Compararando o movimento de Deimos em torno de Marte como movimento da Terra em torno do Sol:

MMaKMa = M¯K¯

onde K¯ = (P⊕)2/(a⊕)3 e KMa = (PD)2/(aD)3 Entao:

MMa

M¯=

(P⊕)2/(a⊕)3

(PD)2/(aD)3=

(P⊕PD

)2(aD

a⊕

)3

91

Sabendo que:P⊕ = 365, 25 dias

PD = 1, 262 dias

a⊕ = 1, 5× 108 km

aD = 2, 35× 104 km

Temos:

MMa

M¯=

(365, 25 dias1, 262 dias

)2(2, 35× 104 km1, 5× 108 km

)3

= 3, 2× 10−7

MMa = 3, 2× 10−7M¯

(b) Usando a equacao 11.3 e adotando o sistema de unidades [UA,M¯, ano]

MMa +mD 'MMa =4π2

G

aD3

PD2

Fazendo a transformacao de unidades:

PD = (1, 262/365, 25) anos = 3, 46× 10−3 anos

aD = (2, 35× 104/1, 5× 108) UA = 1, 57× 10−4 UA

G = 4π2 UA3/(M¯ ano2) =⇒ 4π2/G = 1 (M¯ ano2)/UA3

Temos:

MMa =(1, 57× 10−4)3

(3, 46× 10−3)2M¯ =⇒ MMa = 3, 2× 10−7M¯

3. Calculando diretamente a massa de Marte em quilogramas, ou seja,usando os sistema internacional [m, kg, s]

MMa +mD 'MMa =4π2

G

(aD)3

(PD)2

Escrevendo todos os dados em unidades do sistema internacional:

PD = 1, 262 dias = 1, 09× 105 s

aD = 23 500 km = 2, 35× 105 m

G = 6, 67× 10−11 m3/(kg s2)

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Temos:

MMa =4π2

6, 67× 10−11

kg s2

m3

(2, 35× 105m)3

(1, 09× 105s)2

MMa = 6, 4× 1023 kg

Exemplo 2:Duas estrelas identicas ao Sol giram uma em torno da outra a uma

distancia de 0,1 UA. Qual o perıodo de revolucao das estrelas?

2M¯ =(0, 1UA)3

P 2=⇒ P =

√0, 001

2= 0, 022 anos

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