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Lista de Exercícios #11 Assunto: Séries Temporais

1

1. ANPEC 1995 - Questão 5

Seja y xi i i uma equação de regressão e sejam a e b estimadores de mínimos quadrados

ordinários (MQO) de e , respectivamente. Pode-se afirmar que:

(0) A hipótese de média zero do termo aleatório é imprescindível para que b seja um estimador não-

viesado de .

(1) A hipótese de não-autocorrelação dos resíduos significa que x e são independentes.

(2) A hipótese de que x é não-estocástica é necessária para que a e b sejam estimadores não-viesados.

(3) Se a hipótese de homocedasticidade for válida, então a e b serão estimadores eficientes dentro da

classe dos estimadores lineares não-viesados.

(4) A hipótese de normalidade do termo aleatório é necessária para garantir a eficiência dos

estimadores de MQO dentro da classe dos estimadores lineares não viesados.


Considere o seguinte modelo de Regressão Linear Multiplo:

Y X X t nt t t t 1 1 2 2 1 2 3, , , ,....

onde E( t ) = 0 , Var( t ) =2 e X t1 , X t2 são séries de valores fixos.

(0) Se, X t1 = X t2 , ainda assim é possível obter os estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2 .

(1) Se s e t são independentes para todo t s , então dentro da classe dos estimadores lineares não

tendenciosos, os estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2 são os melhores.

(2) Caso X t2 =Yt-1 na equação acima, e os erros t sejam autocorrelacionados, o estimador de Mínimos

Quadrados de , 1 e 2 mantém a propriedade de não-tendenciosidade.

(3) Quando a variância dos resíduos, Var( t ) , varia para cada t , então os estimadores de Mínimos

Quadrados de , 1 e 2 ainda são não tendenciosos mas ineficientes.

(4) No caso da existência de autocorrelação e heterocedasticidade dos resíduos, as variâncias amostrais

dos estimadores de Mínimos Quadrados de , 1 e 2 são tendenciosas, fazendo com que os testes

de hipóteses destes parâmetros fiquem comprometidos.


2


Com relação aos modelos Auto - Regressivo, Média - Móvel e Misto, pode - se afirmar que :

(0) No modelo Z Z a at t t t 1 1 0 , onde o é uma constante e a t um ruído branco, a média

do processo será igual a zero se o =0 .

(1) No modelo Auto-Regressivo de ordem p,

Z Z Z Z at t t p t p t 1 1 2 2 .... ,

se 1 01 2 ...... p , o modelo não será estacionário.

(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) será estacionário e invertível, se todas as

raízes dos operadores Auto - Regressivo e de Média Móvel caírem dentro do círculo unitário.

(3) Se no modelo Auto-Regressivo de ordem 1, Z Z at t t 1 , onde at é um ruído branco, o

verdadeiro valor de é igual a um, então Z a a a at t t t 1 2 1..... , desde que Z0 0 .


Com relação aos modelos Auto - Regressivo, Média - Móvel e Misto, pode-se afirmar que :

(0) No modelo AR(1), Zt = Zt-1 + at , onde E(at)=0 , E(2

ta )=2

a e bCov( st aa , ) = 0 se st , a

variância de tZ é finita qualquer que seja o valor de .

(1) No modelo MA(1) , Zt = + at - at-1, onde E(at) = 0 para todo t e E(2

ta ) = 2

a , então

E( tZ ) = e Var( tZ ) = 22 )1( a .

(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) pode ser escrito na forma

tt aLZL )()( , onde p

pLLLL 2

211)( e q

qLLLL 2

211)(

são, respectivamente, os operadores auto-regressivo e de média-móvel de ordem p e q onde,

ntt

n ZZL .

(3) Se o processo gerador de dados pode ser escrito como tt aZL )1( , então a raiz de sua equação

característica será diferente de um.


Uma série temporal mensal de três anos, de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, para o preço do produto

agrícola Y, apresentou a seguinte tendência linear Y = 3 + 0,25.X. Estime o preço do produto Y para o

mês de janeiro de 1998, sabendo que as variações sazonais calculadas com base num modelo aditivo para

os três anos considerados foram:


3

Mês Jan Fev Mar Abr Maio Jun

Variação sazonal -1,25 -0,52 0,84 1,50 3,00 3,85


O seguinte modelo de regressão foi estimado utilizando-se dados trimestrais entre 1979 e 1998, inclusive:

^

iY = 2.20 + 0.104 X2i

A soma total explicada foi 100,5. Quando esta equação foi re-estimada, adicionando-se três “dummies”

sazonais, a soma total explicada aumentou para 114,5 e a soma do quadrado dos resíduos foi igual a

20,00. Suponha que deseja-se testar se a sazonalidade é significativa. Calcule a estatística de teste

adequada.


Considere um processo AR(1)

Yt = Yt -1 + t , t ~ NID(0, 2), t = 1,2,...T,

em que, por hipótese, || <1, a não ser que seja dito o contrário. Considere Yo fixo e que t seja muito

distante da origem.

(0) A condição | | < 1 é necessária para que o processo apresente média e variância incondicionais

independentes do tempo.

(1) A média incondicional do processo é zero.

(2) A função de autocorrelação deste processo é diferente de zero para o "lag" 1, e é igual a zero para

todos os outros "lags".

(3) A previsão dois-passos à frente é dada por: E(Yt+2| Yt) = ( +1) + 2Yt , em que Yt = { Y1 , Y2 ,...,

Yt}.

(4) Se =1, o processo será não estacionário.


Seja o processo auto-regressivo: t1t1t yy . Pode-se afirmar que:

(0) O processo é estacionário para 1 < 1.

(1) Se 1 = 1, o processo é dito um caminho aleatório (random walk).

(2) O estimador de mínimos quadrados ordinários do parâmetro 1 é não tendencioso.

(3) A estatística t-Student pode ser usada para testar a presença de raiz unitária.

(4) O processo pode ser escrito em uma forma alternativa como t1tt yy em que 11 e

ty = 1tt yy .


4


Um econometrista estimou uma função consumo usando 25 observações anuais da renda pessoal

disponível e consumo, a partir do modelo:

1 2t t tC Y u , em que:

tC = consumo em t; tY = renda pessoal disponível em t; tu = erro aleatório

Os resultados indicaram parâmetros significativos a 5%, coeficiente de determinação de 0,94 e d de

Durbin-Watson 0,5421. Com base nesses números, o econometrista fez o teste de Dickey-Fuller

aumentado (ADF) para as séries de renda e de consumo, obtendo estimativas de menores que os valores

críticos de tabelados, a 1%, 5% e 10%.

Conseqüentemente, o econometrista:

(0) Aceitou a hipótese nula do teste ADF, concluindo que as séries de renda e consumo são não-

estacionárias;

(1) Concluiu que os testes t e F não são válidos.

(2) Concluiu que o teste t não é válido.

(3) Concluiu que a regressão estimada é espúria.

(4) Necessita fazer mais outros testes para verificar se a regressão estimada é espúria.


No modelo clássico de regressão linear: 1 2i i iY X u

(0) A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos

quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos.

(1) Se a hipótese 0),|,cov( jiji XXuu , i j for violada, os estimadores de mínimos quadrados

ordinários serão viesados e não eficientes.

(2) As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que 0),|,cov( jiji XXuu , i j

asseguram que iu e ju se distribuem independentemente.

(3) A hipótese 2)|( ii XVar é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados

ordinários sejam não tendenciosos.

(4) Os estimadores de mínimos quadrados de 1 e 2 podem ser escritos como combinações lineares

das observações iY .


5


Pode-se afirmar sobre o modelo de regressão linear clássico yt= β1 + β 2 xt + ut

(0) A reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x, mesmo que o modelo não tenha intercepto.

(1) Na presença de heterocedasticidade, o estimador de MQO é viesado e não se pode confiar nos

procedimentos de testes usuais (F e t), já que o estimador além de viesado, é ineficiente.

(2) Na presença de autocorrelação dos resíduos, os estimadores de MQO são não viesados e consistentes.

(3) Quanto maior for a variação da variável explicativa, maior será a precisão com que o coeficiente

angular pode ser estimado.

(4) Se R2 (coeficiente de determinação) for zero, então a melhor previsão para um valor de y é sua média

amostral.


Em relação aos modelos de Séries de Tempo pode-se afirmar:

(0) No modelo Autoregressivo de ordem 1, 01 ttt uZZ , 1 , em que ut é um ruído branco,

o parâmetro 0 é a média do processo.

(1) O modelo misto Autoregressivo-Médias Móveis, ARMA(1,1), pode ser representado pela expressão

Zt = Zt + ut – ut-1 em que e são parâmetros e ut é um ruído branco.

(2) Se um processo estocástico possui uma tendência determinística, yt= 1 + 2 t + ut, então este é dito

não-estacionário e sua não-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz unitária.

(3) Em uma regressão com duas séries temporais, se estas são I(1), ou seja, não estacionárias, mas são

cointegradas, pode-se empregar a estatística t de Student para testar a significância dos coeficientes

da regressão.

(4) O teste de Engle-Granger para co-integração entre três variáveis consiste em utilizar a estatística e a

tabela de valores críticos Dickey-Fuller nos resíduos de uma regressão entre estas variáveis.


Considere o modelo de regressão linear

TtuYC ttt ,,1,10 ,

em que: Ct é o consumo pessoal em t, Yt é a renda pessoal em t e ut é o termo aleatório. É correto afirmar

que:

(0) se Ct e Yt são I(1), então ut será obrigatoriamente estacionário;

(1) se o Ct e Yt são integradas, mas com ordens de integração diferentes, então a regressão será inválida;

(2) se Ct e Yt são I(1), então o teste ADF aplicado aos resíduos da regressão poderá identificar a presença

de co-integração entre as variáveis;

(3) se Ct e Yt são I(1), mas os resíduos são I(0), então há co-integração entre as variáveis;


6

(4) se Ct e Yt são I(1) e os resíduos também são I(1), então a regressão de Ct em Yt é inválida.

14. ANPEC 2003- Questão 15

Considere o modelo ARMA(1,1) definido por:

,,,1,2,05,0 11 Ttyy tttt

em que a variância de 𝜀t é igual a 1. Encontre a variância de yt.

(Multiplique o resultado final por 10. Marque somente a parte inteira na folha de resposta).

15. ANPEC 2004 - Questão

Considere a seguinte regressão entre yt e zt:

ttt uzy ,

em que ut é o erro. São corretas as afirmativas:

(0) Se yt for I(1) e zt for I(0), então yt e zt são co-integradas.



(3) Se yt for I(1), zt for I(1) e ut for I(0), então yt e zt são co-integradas.

(4) Se ut for I(0) as séries yt e zt são necessariamente co-integradas.


Em relação aos modelos de séries temporais, são corretas as afirmativas:

(0) No processo AR(1), 0t1tt aZZ , 1 , e ta é um ruído branco, a média de tZ será

1

0 .

(1) O processo MA(1), 1 ttt aaZ , em que ta é um ruído branco, não é estacionário.

(2) O processo AR(1), ttt aZZ 18,0 , em que ta é um ruído branco, é estacionário.


7

(3) No processo AR(1), ttt aZZ 1 , em que ta é um ruído branco com Var( ta ) = 2a , a variância

de tZ é 2

2

1

a .

(4) No modelo ARMA(1,1), 11 tttt aaZZ , em que ta é um ruído branco, a média de tZ é

diferente de zero.


Com respeito à teoria das séries temporais, são corretas as afirmativas:

(0) Considere uma série temporal tY auto-regressiva de ordem 1 com parâmetro . No modelo:

tttt uYYY 11 , em que tu é um ruído branco e 1 , se for de fato igual a zero,

a série tY será não estacionária.

(1) Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de ordem 1, o teste usual

t de Student ainda é válido.

(2) Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, não se corre o

risco de os resultados serem espúrios.

(3) Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, os resíduos da

regressão são estacionários.

(4) Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, a série

original é integrada de ordem n -1.


São corretas as afirmativas:

(0) No processo AR(1): ttt eyy 110 , em que 1 e te é um ruído branco de média zero e

variância 2 , a variância de ty será

2

2

1

.

(1) Seja a função de autocovariância do processo AR(1) definido no quesito anterior

]))(E[( jtjtj yy , em que ]E[ ty é a média do processo ty . É correto afirmar que

2

1

10

1

j

j .

(2) O processo AR(2), tttt eyyy 22110 , em que te é um ruído branco de média nula e

variância 2 , será estacionário de segunda ordem se, e somente se, 11 e 12 .

(3) A média do processo MA(1), 1 ttt eey , em que te é um ruído branco, é igual a zero.

(4) No modelo ARMA(1,1), 1110 tttt eeyy , em que te é um ruído branco de média nula

e variância constante, a média de ty é dada por

1

0

1

.


8


Julgue as afirmativas. A respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um

modelo de regressão linear múltipla:

(0) Se a variância do erro não for constante, as estimativas dos parâmetros serão não-viesadas.

(1) Se E() 0, os estimadores de todos os parâmetros, com exceção do intercepto, serão viesados.

(2) Se o erro não seguir a distribuição Normal as estimativas por MQO são consistentes.

(3) Sob as hipóteses do modelo de regressão clássica, com erros na forma de ruído branco com

distribuição Normal, os estimadores de MQO serão os mais eficientes possíveis.

(4) A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados.


Em um modelo de regressão múltipla, com erros que seguem uma distribuição Normal, identifique se os

itens são corretos:

(0) Os testes de heterocedasticidade de Breush-Pagan e de White podem ser calculados mediante

regressões auxiliares com os quadrados dos resíduos.

(1) Caso a forma funcional da heterocedasticidade seja conhecida, mínimos quadrados ponderados,

estimados de modo interativo, serão menos eficientes que o estimador de Máxima Verossimilhança.

(2) Empiricamente não há como distinguir um modelo de expectativas adaptativas de primeira ordem

de um modelo de ajustamento parcial de primeira ordem.

(3) Se houver uma variável dependente defasada entre as variáveis explicativas, o teste apropriado para

a autocorrelação de primeira ordem dos resíduos é o h de Durbin, e não o teste de Breush-Godfrey.

(4) Os métodos de estimação do coeficiente de autocorrelação Cochrane-Orcutt e Durbin são diferentes

em pequenas amostras.


Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relação entre demanda de moeda (m) e renda

nacional (y). As variáveis estão todas em logaritmos e a periodicidade é mensal.

Economista A:

ttt uym ˆ099.1)0086.0(

(Equação 1)

Economista B:

ttt eym ˆ14.1)145.0(

(Equação 2)

Os valores entre parênteses são os erros-padrão.

Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com número apropriado de defasagens maior que zero em

todos os casos, para as variáveis e para os resíduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:

Variável mt yt ût mt yt êt

Estatística-ADF -2.191 -1,952 -2.993 -5.578 -6.312 -8.456

O valor crítico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886. São corretas as afirmativas:


9

(0) Tanto a série de demanda de moeda quanto a de renda nacional são integradas de primeira ordem.

(1) As séries de demanda de moeda e de renda nacional não são cointegradas ao nível de significância

de 5%.

(2) Se a série de demanda de moeda for estacionária na diferença (difference stationarity) ela não pode

ser estacionária na tendência (trend stationary).

(3) Se as séries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B deve

incluir o erro defasado ût-1 em seu modelo.

(4) A série de renda nacional é um passeio aleatório puro.


Uma série temporal Yt, t = 1,...T, foi gerada por um processo da classe ARIMA(p,d,q) e apresenta os

seguintes formatos para a Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP):

Supondo que a média da série seja 100 e que YT-3 = 35, YT-2 = 28, YT-1 = 38 e YT = 30, calcule a previsão

para YT+1 feita no instante T , isto é E(YT+1|YT,YT-1,YT-2,YT-3,...).


Considere o modelo autorregressivo de primeira orderm, AR(1), definido por

ttt ubYaY 1 ,

em que a e b são parâmetros e {ut} é uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e igualmente

distribuídas, com média nula e variância σ2

. Suponha que |b | < 1. A previsão n passos-à-frente para a

variável Y convergirá para

Ⓞ a.

① a média de ut.

② b

a

1.


10

③ E(Yt).

④ ∞.


Sejam Yt e X

t duas séries temporais. Considere os resultados dos seguintes modelos de regressão estimados

por mínimos quadrados ordinários (MQO):

),) (-,(

Y,,Y tt

971701

1512087884 1 e

),) (-,(

X,,X tt

212261

1807010940 1

Considere também os resultados da regressão de Yt em X

t

),) (-, (

eX,,Y ttt

971701

400614392423

em que te é o resíduo. Finalmente, considere a seguinte regressão: teˆ

),) (-,(

e,,e tt

433060

4157007300 1.

Os números entre parênteses são os valores do teste t de significância individual dos parâmetros. Dado

que o valor crítico a 5% da estatística de Dickey-Fuller é -2,938, é correto afirmar que:

Ⓞ Yt e X

t são séries temporais integradas de ordem 1.

① A regressão de Yt em X

t é espúria.

② A hipótese de cointegração entre Yt e X

t é rejeitada pois os resíduos da regressão de Y

t em X

t são não-

estacionários.

③ Para que duas variáveis sejam cointegradas é necessário que ambas tenham a mesma ordem de

integração.

④ A rejeição da hipótese nula do teste Dickey-Fuller implica que a variável em questão é não-

estacionária.


Julgue as proposições:

Ⓞ A soma de dois processos estocásticos independentes e estacionários de segunda ordem será

estacionária de segunda ordem.

① A soma de dois processos estocásticos não-estacionários será não-estacionária.

② Seja L o operador defasagem tal que LYt = Y

t -1. Se Y

t segue um processo AR(1) estacionário de segunda

ordem, então (1 - L)2

Yt é um processo ARMA(2,2).

③ O processo ARMA(2, 2) definido na forma (1 – L - 0,25L2

)Yt = (1 - 0,5L - 0,06L

2

)ut é não estacionário,

em que ut é o erro aleatório com média nula e variância constante.

④ Todo processo MA é estacionário de segunda ordem.


11


Julgue as afirmativas:

Ⓞ Na presença de heterocedasticidade nos erros de um modelo de regressão linear, os estimadores de

mínimos quadrados ordinários são ineficientes.

① Para testar a presença de autocorrelação de primeira ordem em um modelo yt=α +β yt-1+ εt usa-se o

teste de Breusch-Godfrey.

② Quando os erros da regressão são autocorrelacionados, os estimadores de mínimos quadrados são

eficientes.

③ A omissão de uma variável relevante em um modelo de regressão linear pode gerar autocorrelação

nos erros.

④ A regressão entre duas variáveis integradas de primeira ordem, isto é I(1), é sempre espúria.


Julgue as afirmativas:

Ⓞ Toda série temporal estacionária com variância finita pode ser escrita como um modelo de média

móvel com termo de erro serialmente não correlacionado.

① Um modelo de séries temporais não estacionário tem pelo menos uma raiz unitária.

② O teste de Dickey-Fuller é monocaudal.

③ Um modelo AR(2) dado por Yt = a + φ1Yt-1 + φ2Yt-2 + εt , t =1, 2, 3,... , em que εt é um ruído branco

com média zero e variância σ2 , será estacionário se φ1 < 1 e φ2 < 1.

④ Um passeio aleatório é um processo estacionário.


Suponha que yt = α + β yt-1 + ut , em que {ut} é independente e igualmente distribuído, com distribuição

normal de média zero e variância σ2. Sabe-se que α = 35, β = 3/5 e σ2 = 2. Você é informado de que y2 =

50. Determine a melhor previsão para y4 .


Com relação aos testes de hipóteses, é correto afirmar:

(0) Em uma regressão com varias variáveis explicativas, se individualmente os coeficientes não forem

significativos, o teste F de significância conjunta também não terá a hipótese nula rejeitada.

(1) A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries temporais possui

sempre distribuição normal.

(2) Considere o seguinte modelo de regressão linear: uXy 10 , em que u é o erro as regressão,

y é a variavel dependente e X é a variável explicativa. Caso o erro seja heterocedástico, a estatística t

usual para testarmos a hipótese H0: 02 contra a alternativa Ha: 02 não é mais válida.

(3) Considere o seguinte modelo de regressão linear: uXy 10 , em que u é o erro as regressão,

y é a variavel dependente e X é a variável explicativa. Para testarmos a hipótese H0: 01 contra a

alternativa Ha: 01 , devemos utilizar um teste t unilateral.


12

(4) O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionárias não será válido caso a regressão seja

expúria.


Considere o modelo abaixo:

2 Equação

1 Equação

21

1

ttt

ttt

uxx

uxy

Em que α e λ são parâmetros, y0 = x0 = 0 e tu é um vetor aleatório independente e distribuído da seguinte

forma:

2

212

12

2

1

2

1,

0

0~

Normal

u

u

t

t

tu , para todo t.

(0) Se λ = 1, tx será I(1), ou seja, será integrada de primeira ordem. Se α ≠ 0, então ty e tx serão co-

integradas.

(1) Se 0e1,012 ,então

T

tt

T

t

tt

x

xy

1

2

1 converge em probabilidade para α para T .

(2) Se 0e1,012 , então

T

tt

T

t

tt

x

xy

1

2

1 é um estimador consistente para α.

(3) Suponha que 012 e 1 . É correto afirmar ty segue um processo ARMA(1,1).

(4) Se λ = 1, ty será I(1), ou seja, ty será integrada de 1° ordem.


É correto afirmar que:

(0) No processo AR(1), ttt eyy 110 , em que 11 e te é um ruído branco de média nula e

variância 2 , a média de ty será igual a 0 .

(1) O processo MA(1), 1 ttt eey , em que te é um ruído branco de media nula e variância constante,

será estacionário mesmo que 1 .

(2) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1) definido no item (0) dado por j . É correto

afirmar que j

j 1 .


13

(3) O processo AR(2), tttt eyyy 22110 em que te é um ruído branco de média nula e

variância 2 , será estacionário de segunda ordem se, e somente se, 1e1 21 .

(4) No modelo ARMA(1,1), 1110 tttt eeyy , em que te é um ruído branco de média nula e

variância constante (2 ), a variância de ty é dada por

2

1

22

1

1

.


Considere as seguintes informações referentes ao modelo de regressão linear clássico com regressores

estocásticos:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝜖𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛.

Em que 𝐸[𝜖 ∣ 𝑥1, 𝑥2] = 0 e 𝑉𝑎𝑟[𝜖 ∣ 𝑥1, 𝑥2] = 𝜎2.

(0) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros são eficientes dentro do classe de

estimadores lineares de 𝛽0, 𝛽1e 𝛽2, mesmo se os erros da regressão não forem normalmente

distribuídos;

(1) Se a hipótese de homocedasticidade for violada, os estimadores de mínimos quadrados ordinários de

𝛽0, 𝛽1e 𝛽2 serão viesados;

(2) Suponha que 𝛽0, 𝛽1e 𝛽2 sejam estimados por mínimos quadrados ordinários. Denote 𝑦�� o valor

previsto da regressão para a i-ésima observação. Então ∑ 𝑦�� = ∑ 𝑦𝑖;𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

(3) Se omitirmos 𝑥2𝑖 da regressão, o estimador de mínimos quadrados ordinários de 𝛽1 será

necessariamente inconsistente;

(4) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros não são eficientes se a hipótese de

ausência de autocorrelação dos erros for violada.


Considere um modelo de demanda por um produto de consumo, estimado com dados de séries de tempo

mensais (𝑡), para várias regiões (𝑖):

𝑙𝑛𝑞𝑖𝑡 = −0,27 − 0,83𝑙𝑛𝑝𝑖𝑡 + 0,33(𝑙𝑛𝑝𝑖𝑡 ∗ 𝑣𝑒𝑡) − 0,38𝑣𝑒𝑡 + 1,15𝑏𝑟𝑖𝑡 + 0,57(𝑏𝑟𝑖𝑡 ∗ 𝑣𝑒𝑡)+ 2,11𝑙𝑛𝑦𝑖𝑡

(0,20) (0,15) (0,12) (0,20) (0,75) (0,10) (0,88)

𝑅² = 0,24 𝑛 = 870

em que 𝑙𝑛𝑞 representa o logaritmo natural da quantidade consumida (em mil litros), 𝑙𝑛𝑝 o logaritmo

natural do preço do produto por litro, 𝑣𝑒 uma variável que representa se o mês é de verão (0 em outros

casos), 𝑏𝑟 se no período havia uma promoção de compra com brinde gratuito (0 em outros casos) e 𝑙𝑛𝑦

o log da renda média dos consumidores. Os desvios padrões estão entre parênteses. O tamanho da amostra

valida o uso de resultados assintóticos com pequeno erro.

(0) Se os preços forem convertidos para preços em mil litros, os coeficientes de 𝑙𝑛𝑝 e 𝑙𝑛𝑝 ∗ 𝑣𝑒 irão

aumentar;


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(1) No verão a demanda tende a ser menos preço-elástica, a 5% de significância;

(2) Os coeficientes estimados indicam que os preços são maiores no verão;

(3) O baixo valor do 𝑅² sugere que as estimativas dos coeficientes são inconsistentes por omissão de

explicativas;

(4) Conforme o valor dos coeficientes, é possível concluir que, em média, as vendas são menores no

verão.


Suponha que

𝑥𝑡 = 𝜌𝑥𝑡−1 + 𝑣𝑡 , 𝑥0 = 0, 𝑣𝑡~𝑁(0,1), 𝑡 = 1, … , 𝑇 (1)

𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑢𝑡, 𝑦0 = 0, 𝑢𝑡~𝑁(0,1), 𝑡 = 1, … , 𝑇 (2)

𝐸[𝑢𝑠𝑣𝑡] = 𝐸[𝑣𝑠𝑣𝑡] = 𝐸[𝑢𝑠𝑢𝑡] = 0, ∀𝑡 e 𝑠, 𝑠 ≠ 𝑡

Adicionalmente, considere a regressão de 𝑦𝑡 em uma constante e 𝑥𝑡:

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝑋𝑡 + 𝜖𝑡 , 𝑡 = 1, … 𝑇. (3)

(0) Seja 𝐿 o operador defasagem. 𝑥𝑡 é estacionário de segunda ordem se, e somente se, a raiz do polinômio

(1 − 𝜌𝐿) está fora do círculo unitário;

(1) O estimador de mínimos quadrados ordinários �� de 𝜌, na equação (1), é consistente se 𝜌 = 1;

(2) Seja �� o estimador de mínimos quadrados ordinários de 𝜌 e 𝑠² = 𝑇−1 ∑ (𝑥𝑡 − 𝜌𝑥𝑡−1)2𝑇𝑡=1 . A

estatística

�� − 𝜌

√𝑠² ∑ 𝑥𝑡−12𝑇

𝑡=1

aproxima de uma distribuição 𝑡 de student, com 𝑇 − 1 graus de liberdade, se 𝜌 = 1.

(3) O estimador de mínimos quadrados ordinários de 𝛾, na equação (3), é consistente se 𝜌 = 1e 𝜙 = 1;

(4) O estimador de mínimos quadrados ordinários de 𝛼, na equação (3), é consistente se 𝜌 = 1e 𝜙 = 1;


Considere o modelo de regressão linear múltipla com regressores estocásticos

𝑦𝑡 = 𝛽1𝑥1𝑡 + 𝛽2𝑥2𝑡 + 𝜖𝑡 ,

no qual 𝜖𝑡, não é autocorrelacionado e tem média e variância condicionais a 𝑥1𝑡 e 𝑥2𝑡 iguais a zero e 𝜎2,

respectivamente. Por simplicidade, suponha que as variáveis são expressas como desvios com relação às

respectivas médias.


(0) Se 𝛽2 = 0 e incluirmos 𝑥2𝑡 na regressão, o estimador de mínimos quadrados ordinários de 𝛽1 será

viesado;


15

(1) Se não conseguirmos observar 𝑥1𝑡, mas apenas 𝑥1𝑡∗ = 𝑥1𝑡 + 𝑢𝑡, em que 𝑢𝑡 é um erro de medida, e

se substituirmos 𝑥1𝑡 por 𝑥1𝑡∗ na regressão, o estimador de mínimos quadrados ordinários de 𝛽1 ainda

assim será consistente;

(2) Se 𝑥2𝑡 = 𝑦𝑡−1 e relaxarmos a hipótese de que os erros 𝜖𝑡′𝑠 não são autocorrelacionados, o estimador

de mínimos quadrados ordinários de 𝛽2 será consistente, porém não será eficiente;

(3) A variância do estimador de mínimos quadrados ordinários 𝛽1 diverge para infinito à medida que a

correlação entre 𝑥1𝑡 e 𝑥2𝑡 aproxima-se de 1;

(4) Denote por 𝜖�� o resíduo da regressão de mínimos quadrados ordinários. A hipótese de que o erro é

correlacionado com 𝑥1𝑡 pode ser testada utilizando a estatística (1/𝑇) ∑ 𝑥1𝑡𝜖�� .𝑇𝑡=1


Suponha que

y1t = y2t + tu1 , tu1 ~ N(0, 11 ), t=1,...,T. (1)

y2t = y2t-1 + tu2 , tu2 ~ N(0, 22 ), t=1,...,T. (2)

E[ tu1 tu2 ] = 0, ∀t

Considere as seguintes afirmativas:

Ⓞ O estimador de mínimos quadrados ordinários de na equação (2) é não viesado se 1 .

① O estimador de mínimos quadrados ordinários

de na equação (1) é consistente se 1 e =

0.

② y2t é um processo estacionário de segunda ordem se = 1.

③ y1t é um processo integrado de ordem um, I(1), se = 1 e 0 .

④ O estimador de mínimos quadrados ordinários

de na equação (1) é consistente se =1 e 0

.


Julgue as seguintes afirmativas:

Ⓞ O processo AR(2), yt = ρ1 yt-1 + ρ2 yt-2 + t , em que

t é um ruído branco com média zero e variância

σ², é estacionário de segunda ordem se e somente se as raízes do polinômio x2- ρ1 x + ρ2 estão fora

do círculo unitário.

① No processo MA(2), yt = t + θ1 1t

+ θ2 2t , em que

t é um ruído branco com média zero e

variância σ², a covariância entre yt e yt-3 é igual a zero.

② No passeio aleatório com drift, yt = c + yt-1 + t , y0 = 0, em que

t é um ruído branco com média zero

e variância σ², a média de yt varia com t.


16

③ No processo MA(1), yt = t + θ1 1t

, em que t é um ruído branco com média zero e variância σ², a

correlação entre yt e yt-1 é menor ou igual a 0,5 em valor absoluto.

④ O processo ARMA(1,1), yt = ρ yt-1 + t + θ

1t , em que

t é um ruído branco com média zero e

variância σ², é estacionário de segunda ordem se e somente se |ρ| < 1 e |θ| < 1.


Considere o modelo de regressão linear múltipla

yt = β1 x1t + β2 x2t + t

no qual

TttNxxdii

ttt ,...,1,,,0~,| '2..

'2'1

Por simplicidade, assuma que as variáveis são expressas como desvios em relação às respectivas médias.


Ⓞ Se β2 0 e excluirmos x2t da regressão, o estimador de mínimos quadrados ordinários de β1 será,

em geral, inconsistente.

① Suponha que x2t seja medido com erro, isto é, que *

2tx = x2t + u2t, e que E[u2t |x1t, x2t ] = 0, E[u2t t

|x1t, x2t ] = 0 e E[ 2

2tu |x1t, x2t ] = 2

u . Se substituirmos x2t por *

2tx , o estimador de mínimos quadrados

ordinários de β1 será inconsistente.

② Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de β1 e β2 serão não viesados, porém não serão

eficientes, se yt for uma variável binária, assumindo apenas dois valores, 0 ou 1, e σ² = 1.

③ Seja c uma constante diferente de zero. Defina ty~ = cyt , tx1~ = cx1t e tx2

~ = cx2t. Os estimadores de

mínimos quadrados ordinários (MQO) em uma regressão de ty~ contra tx1~

e tx2~ coincidem com os

estimadores de MQO em uma regressão de yt contra x1t e x2t.

④ A hipótese de que o erro tem média 0 pode ser testada utilizando a estatística

T

i tT1

ˆ/1 , onde

t é o resíduo da regressão por mínimos quadrados ordinários.

t


17


Suponha que ΔYt pode ser representado pelo seguinte processo:

ΔYt = εt – 0,6εt-1 para t = 1,

ΔYt = ΔYt-1 + εt – 0,6εt-1 para t ≥2.

Em que εt, t =1,2,... é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas

com média igual a 0. Se Yt = 10, quando t = 0, calcule o valor da E[Y3].


Suponha que Yt seja descrito por um processo auto-regressivo de ordem 3, isto é,

Yt = Yt-1 – 0,50Yt-3 + μt

e que

μt | Yt-j ~ N(0, σ²), para todo j > 0.

Calcule a correlação entre Yt e Yt-2. Multiplique o resultado por 100.



Ⓞ O passeio aleatório com drift, 𝑦𝑡 = 𝑐 + 𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡 , 𝑦0 = 0, em que 𝜀𝑡 é um ruído branco, com

média zero e variância σ², é um processo estacionário de segunda ordem se c = 0.

① O processo MA(1), 𝑦𝑡 = 𝜀𝑡 + 𝜃1𝜀𝑡−1, em que 𝜀𝑡 é um ruído branco, com média zero e variância σ²,

é estacionário de segunda ordem se, e somente se, a raiz do polinômio 1 + 𝜃1𝑥 cair fora do círculo

unitário.

② O processo MA(1), 𝑦𝑡 = 𝜀𝑡 + 𝜃1𝜀𝑡−1, em que 𝜀𝑡 é um ruído branco, com média zero e variância σ²,

é inversível se, e somente se, ∣ 𝜃1 ∣< 1.

③ O processo AR(2), 𝑦𝑡 = 𝜑1𝑦𝑡−1 + 𝜑2𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡 , em que 𝜀𝑡 é um ruído branco, com média zero e

variância σ², é estacionário de segunda ordem se ∣ 𝜑2 ∣< 1, 𝜑2 − 𝜑1 < 1 e 𝜑2 + 𝜑1 < 1.

④ No passeio aleatório com 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡 , 𝑦0 = 0, em que 𝜀𝑡 é um ruído branco, com média zero e

variância σ², a variância de 𝑦𝑡 varia com 𝑡.


18


Considere o seguinte processo 𝑥𝑡 = 𝜇 + 𝑒𝑡 + 𝛼1𝑒𝑡−1, para 𝑡 = 1,2,... , no qual 𝑒𝑡 é uma sequência i.i.d

com média 0 e variância 𝜎𝑒2.


Ⓞ 𝑉𝑎𝑟[𝑥𝑡] = (1 + 𝛼12) 𝜎𝑒

2

① 𝐶𝑜𝑣(𝑥𝑡 , 𝑥𝑡+ℎ) = 0, ℎ > 1

②𝐸[𝑥𝑡] = 𝜇 + 𝑡

③ O processo descrito acima é estacionário em covariância.

④ A função de autocorrelação deste processo é: 𝜌1 =𝛼1

(1+𝛼12)

e 𝜌𝑗 = 0, para 𝑗 > 1.


Suponha que Yt seja representado pelo seguinte processo auto-regressivo de primeira ordem:

Yt = 10 + 0,6Yt-1 + et ,

em que et é um ruído branco que satisfaz as condições: E(et)=0, E( 2

te )=2 e E(etes)=0 para t≠s. Suponha

também que Y0=0. Obtenha E(Yt) para t=2.


Considere o seguinte processo:

Yt= 𝜌𝑌𝑡-1+et, t=1,2,........ ,

em que Y0=0 e et é um ruído branco que satisfaz as condições: E(et )=0, E( 2

te )=1 e E(etes)=0 para t≠s.

São corretas as afirmativas:

Ⓞ Se 𝜌 = 1, 𝐸(𝑌𝑡) = 0 para todo t;

① Se 𝜌 = 1, 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡 para todo t;

② Se 𝜌 = 1, 𝐸( 𝑌𝑡+ℎ ∣∣ 𝑌𝑡 ) > 𝑌𝑡 para todo ℎ >= 1;

③ Se ∣ 𝜌 ∣< 1, 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 1

④ Se ∣ 𝜌 ∣< 1, 𝐸( 𝑌𝑡+ℎ ∣∣ 𝑌𝑡 ) = 𝜌ℎ𝑌𝑡 para todo ℎ >= 1.


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