Árvores abrangentes elisabete longo isabel branco
TRANSCRIPT
Árvores abrangentes
Elisabete Longo
Isabel Branco
Árvores abrangentes
Árvores abrangentes
Uma árvore abrangente é um grafo conexo e sem circuitos, que contém
todos os seus vértices.
A utilização de uma árvore abrangente na resolução de problemas identifica-se
com os problemas do tipo do caixeiro viajante: está implícita a procura de um circuito
de Hamilton uma vez que temos de «visitar» todos os vértices.
No entanto, não temos de regressar ao ponto de partida.
O que procuramos é uma árvore abrangente mínima.
Uma árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima
Algoritmo de Kruskal
As arestas do grafo vão-se unindo por ordem crescente dos pesos, desde que não
se formem circuitos, sendo que, no final, todos os vértices estão na árvore.
Este algoritmo garante que a solução encontrada é uma solução ótima, ao
contrário dos algoritmos utilizados para os problemas do tipo do Caixeiro Viajante.
Árvores abrangentes
Um camião deve recolher resíduos tóxicos de 7 instalações e, ao fazê-lo, deve percorrer a
menor distância possível. A empresa responsável distribuiu ao condutor um esquema, com as
instalações a visitar e as distâncias entre elas (em km), que está representado a seguir sob a
forma de grafo:
Determine o percurso mínimo e desenhe a árvore abrangente correspondente.
A
C
D
35
45
70
10
60
93
37
55
52
43
B
F
E
G
23
Árvores abrangentes
Vamos ordenar as arestas do grafo representativo da situação problemática apresentada por
ordem crescente dos pesos das arestas:
A
C
D
35
45
70
10
60
93
37
55
52
43
B
F
E
G
23C A ;
10C D ;
23C E ;
35
B F ;60
A D ;37
E G ;43
B D ; 45
F G ;52
A B ;55
D E ;70
D F93
Árvores abrangentes
A
C
10
60
93
37
55 45
B 52
F
35
E
43
G
70D
23
C A10
C D23
C E.35
B F ,60
A D37
E G ,43
B D , 45
F G52
A B ,55
D E 70
D F,93
Escolhemos a aresta para começar
e juntamos a seguir e
A aresta não pode ser acrescentada
pois fecharia o circuito.
Acrescentam-se as arestas
e já não se acrescentam
pois já temos todos os vértices ligados.
e
Árvores abrangentes
Resultado final:
10
45
52
35
43A
C
B
F
E
G
D
23
A árvore abrangente mínima para a situação apresentada é:
O percurso tem um comprimento de 10+ 23+ 35 + 43 + 45 = 208 km.+ 52
Árvores abrangentes