aritmética racional 2ed josé júlio soares -1942

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JOSÉ JÚLIO M. NOGUEIRA SOARES Engenheiro Civil e Antigo Professor Efectivo do Liceu

ARITMÉTICA RACIONAL , 1,

A.PBOV A.DA. OFICIALMENTE PA.BA. O '1.0 A.NO DOS LICEUS

a.• I!DIOAO

11 a Edições M A R Â N U S

174, R. dos Mártires da Liberdade, 178 Telefone 2798- Põrto

ARITMÉTICA RACIONAL

MARÂNUS

Composto e impresso na EMPRÊSA IND. GRÁFICA DO PÔRTO, L.0 A

174, R. Mártires da Liberdade, 178 .. : : : : : Telefone 2798 : : : : : : :

JOSÉ JÚLIO M. NOGUEIRA SOARES Engenheiro Civil e Antigo Prolas .. :or Eleclivo do Liceu

J..\RJ T J\JlÉT J CA

ftt\ CJ O 1'1 t\l PARA O 7.0 ANO DOS LICEUS

2.a EDIÇÃO

1942

Edições MARÃNUS 174, R. dos Mártires da Liberdade, 178

Telefone 2798 - Pôrto

PROGRAMA

Teoria dos números inteiros, considerados como representando colecções de objectos idênticos, e das suas operações. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Teoria dos números fraccionários e das suas operações.

A Matemática representa um dos mais elevados exercícios do espírito e o instrumento mais eiicaz para o progresso mental e moral do homem.

H. WIELEITNER.

PRIMEIRA PARTE

NÚMEROS INTEIROS E SUAS OPERAÇÕES

CAPÍTULO I

Definição de números inteiros. Numeração.

1. Tôdas as ciências têm por fundamento a observação e estudo do mundo que nos rodeia. É variável a extensão dêste fundamento; se ciências há que quási se limitam a verificar a existência dos fenómenos, tão complexos êles se nos afiguram, outras já conseguem formular leis ou princípios com maior ou menor generalidade. Entre tôdas, a que menor número de noções necessita do mundo exterior é a matemática.

2. O edifício da aritmética pode basear-se exclusivamente na noção de número inteiro. Para definir número inteiro consideramos intuitivas as noções de:

Colecção ou grupo de objectos (1).

Ausência completa de objectos (o que corresponde à não existência da colecção).

(L) A expressão colecção de objectos traduz já a verificação duma propriedade ou circunstância comuns a todos os objectos, quer sejam relativas à semelhança, à localização (no espaço ou no tempo), ao fim a que se destinam, etc.

10 ARITMÉTICA RACIONAL

Objecto isolado. Correspondência entre objectos de colecções

diferentes.

À inexistência da colecção, ou ausência de objectos, dizemos que corresponde o número zero; ao objecto isolado fazemos corresponder o número um.

Se a um objecto juntarmos outro, diremos que resulta uma colecçào de dois objectos, teremos o número dois; se à colecção de dois objectos juntarmos ainda outro, teremos uma colecção de três objectos, resultará o número três.

Pela adição sucessiva dum objecto criaremos os números quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, etc.; formaremos assim a chamada série natural dos números, sucessão ilimitada pois que a operação se pode repetir indefinidamente (1).

3. Fazemos assim corresponder a uma colecção de objectos um número. Como vimos, partindo dum objecto isolado e adicionando-lhe sucessivamente um objecto, podemos obter uma determinada colecção a que corresponde também um determinado número ; inversamente, dada uma colecção, podemos destacar um objecto e juntar-lhe sucessivamente todos os outros; diz-se que contamos os objectos. O resultado da contagem dos

(1) Se considerarmos o número inteiro afastado da sua significação concreta, tomando-o assim apto para representar não só uma determinada colecção, mas outras, teremos o número abstracto, elemento da sucessão natural, enfim o número natural.

PRIMEIRA PARTE 11

objectos duma colecção é pois o número que lhe corresponde.

4. Para contar teremos de seguir uma certa ordem; a noção de ordem, fundamental em matemática, está pois intimamente associada à definição de número inteiro (1).

5. A igualdade e desigualdade de números inteiros fundamenta-se na noção de correspondência de objectos. Se duas colecções são tais que a cada objecto duma corresponde um objecto da outra e reciprocamente, diremos que os números que lhe atribuímos são iguais; as colecções têm o mesmo número de objectos. Caso contrário, são desiguais; se na primeira colecção há objectos que não têm correspondentes na segunda, diremos que aquela tem mais objectos que esta; o número correspondente à primeira é maior que o correspondente à segunda, ou êste é menor que aquele.

Exprime-se que dois números, representados pelas

(l) Na série natural: um, dois, três, quatro, cinco, seis ..• o número quatro (cardinal) é o quarto (ordinal), figura em quarto lugar; o número cinco é o quinto, etc.

Os números naturais podem assim ser considerados no sentido colectivo (cardinal), e no sentido ordinal- tendo em vista o lugar que ocupam na série natural- (sentido local). Esta libertação da pluralidade representa mais uma abstracção, por assim dizer uma primeira extensão da ideia de número. Para determinar o número correspondente a um grupo, bastará então comparar êste com a sucessão natural, isto é, contá-lo; pode interessar-nos muitas vezes o número cardin.al, mas êste exprime-se segundo o modo ordinal.


{etras a e b (ou mais simplesmente os números a e b) são iguais, pela relação (igualdade}

a= b (1)

Se os números são desiguais- a maior que b, ou ó menor que a- escreveremos as desigualdades

a > b ou b < a (2)

Numeração

6. Consiste a numeração no estabelecimento de símbolos e convenções que facilitem à inteligência a conpreensão e percepção dos números, permitindo a sua fácil leitura e escrita (3).

Exporemos por agora o sistema de numeração chamado decimal.

A numeração diz-se escrita ou falada conforme as regras que a estabelecem se destinam a escrever ou pronunciar um número dado.

(I) O sinal =, exprimindo igualdade, foi proposto pelo inglês Robert Recorde em 1557 na sua Álgebra The Whetstone oj Wite. Anteriormente empregavam-se para êste fim palavras como aequales, nequantur, jaciunt e também a forma abreviada aeq.

(2) Os sinais de desigualdade (> e <) aparecem pela primeira vez no livro Artis Analyticae Praxis do inglês Thomas Harriot, publicado em 1631.

(3) É evidente a necessidade da numeração, dada a impossibilidade de se fixarem muitas palavras e símbolos para designar os diferentes números.

PRIMEIRA PARTE 13

Conhecemos já a significação dos números zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove. Se juntarmos um, unidade de ordem zero, ou simplesmente a unidade a nove, obtemos um número a que chamaremos dez, uma dezena, ou uma unidade de primeira ordem; â um grupo de dez dezenas chamaremos cem, uma centena ou uma unidade de segunda ordem; um grupo de dez centenas será um milhar ou uma unidade de terceira ordem, e assim sucessivamente.

Os números correspondentes a uma determinada colecção poderão pois exprimir-se simplesmente por números inferiores a dez (números dígitos), representando unidades de diferentes ordens. Ex.:

Quatro milhares, trez centenas, duas dezenas e sete unidades.

7. Resta estabelecer as normas da numeração escrita. Em primeiro lugar representaremos os números

zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove,,

respectivamente pelos símbolos (algarismos) (1):

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(1) O nome de algarismo deriva de AI karismi ou também Alhwarazmi, diferentes nomes por que foi conhecido Mohamed Ben Musa, matemático árabe, astrónomo e geógrafo do califa de Bagdad, AI mansur (813 a 833); foi autor da famosa obra Algebr W'al muqabalah (o que significa aproximadamente ampliações e igualdades) de cujo título nasceu o nome de Álgebra.

De AI lmrismi deriva também algoritmo, actualmente significando processo geral de cálculo ou raciocínio, actividade operatória.


Para escrever um número maior que nove, coloca. remos os algarismos representativos das unidades de .diferentes ordens a seguir uns aos outros, sendo a sua posição regulada pela seguinte convenção:

Um algarismo representará unidades de ordem ime~ diatamente superior às representadas pelo que se lhe segue imediatamente à direita. Ex. :

O número 845 representará: oito centenas, quatro dezenas e cinco unidades.

O número 304 representará: três centenas e quatro unidades.

Os algarismos 1 a 9 denominam-se significativos. Zero não é significativo; utiliza-se, no caso de ausência de algumas unidades, para marcar a posição relativa dos outros algarismos de modo a manter-se a convenção acima referida.

8. Chama-se decimal êste sistema de numeração (1),

ou de base dez, porque as unidades de diferentes ordens representam dez unidades de ordem imediatamente inferior; (uma dezena tem dez unidades, uma centena tem dez dezenas, etc.), utilizando portanto dez algarismos (O a 9).

(1) O sistema actual de numeração decimal tornou-se conhecido na Europa no século XII por intermédio dos Árabes. Estes trouxeram-no da Índia, não se podendo porém precisar a data em que neste país começou a ser usado ; contudo já o era em 662, pois a êle se refere, nesta data, o sábio árabe Severo Sabokht.

O valor relativo dos algarismos conforme a sua posição, valor de posição, constituía já uma noção aplicada pelos babilónicos e pelos mayas da América Central; porém, a sua aplicação ao sistema decimal, com o emprêgo de nove algarismos e zero, veio da Índia.

PRIMEIRA PARTE 15

9. A Aritmética (1) é a ctencia dos nlimeros, das suas operações e das suas propriedades.

EXERCÍCIOS

1 - (Qual é o número total de algarismos necessários para numerar as primeiras 100 páginas dum livro?

R. Números com 1 algarismo 9, donde 9 algarismos; 2 algarismos 90, 180

, 3 1, 3

Total . 192

2- Entre os algarismos considerados no exercício anterior, diga (quantos são iguais a 1 ?

R. Algarismos iguais a 1 representando unidades 10 dezenas 10 centenas

Total 21

Diga ainda, (quantos são os algarismos iguais a O, e os iguais a 2?

3- (Qual é o número total de algarismos necessários para numerar as primeiras 500 páginas dum livro?

R. 1932.

4- <'.Quantos números há de 3 algarismos? R. 900.

5- <'.Quantos números há de 7 algarismos? R. 9.ooo.ooo.

(1) De arithmos, em grego -número.

CAPÍTULO II

Adição

10. Dadas duas ou mais colecções de objectos, se as reünirmos numa só, diremos que o número que corresponde a esta última é a soma dos números que correspondem às primeiras; a soma tem pois tantas unidades quantas as dos números que se somam ou adicionam. Chama-se adição a operação pela qual se obtém a soma de dois ou mais números; estes são os termos da operação, a soma é o seu resultado. Os termos da adição chamam-se parcelas.

A noção da adição está estreitamente ligada à noção de número inteiro: como se viu, partindo do número um e adicionando sucessivamente uma unidade, podem formar-se todos os números inteiros.

11. Propriedades da adição. a) A adição é uma operação uniforme, isto é, conduz

a um único resultado bem determinado. Decorre imediatamente da definição. b) A adição é uma operação comutativa (1), o que

(L) Designação introduzida por F. Servois (181.5).

PRIMEIRA PARTE 17

quere dizer que o valor da soma não depende da ordem das parcelas. Também da definição se deduz imediatamente que se obtém sempre a mesma colecção, e por-:tanto o mesmo número, qualquer que seja a ordem seguida na junção das colecções que correspondem às* parcelas.

Adicionando 3 a 4 obtém-se o mesmo resultado que adicionando 4 a 3; adicionando 8 a 7 e o resultado a 5, obtém-se o mesmo númeró que adicionando 5 a 8 e o resultado a 7.

3+4=4+3; (8 + 7) + 5 = (5 + 8) + 7 (I)

ou simplesmente

c) A adição é uma operação associativa (2), isto é, numa soma de muitas parcelas podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma. Justifica-se esta propriedade pela definição e propriedade comutativa.

a+ b + c+ d +e= a + (b + c + d} +e,

(1) Os parêntesis indicam que se consideram efectuadas as operações no seu interior; empregam-se curvos ( ), rectos [ ] e chavetas { } conforme é necessário. Os parêntesis rectos aparecem pela primeira vez na edição manuscrita da Álgebra de R. Bom bel li (1550); os curvos foram empregados por N. Tartaglia (General tratatto di numero e misure-1556), Clavius (1608), Girard (1629), etc.

(2) Designação introduzida por W. R. Hamilton (1846).

2


pois que

a+b+c+d+e=b+c+d+e+a= = (b + c+ d) + e+ a= a+ (b + c+ d} + e

d} O módulo da adição é zero. Chama-se módulo de uma operação um número, que, considerado como têrmo da operação, não tem influência no seu resultado.

12. Regra da adição. Consideremos os números 484 e 753, que desejamos adicionar. Pelas propriedades comutativa e associativa poderemos adicionar primeiramente os algarismos que representam unidades da mesma ordem, e em seguida juntar os resultados. Na prática, colocam-se os números uns debaixo dos outros de modo que as unidades da mesma ordem fiquem na mesma coluna, e procede-se como ficou dito; para simplificar, quando a soma dos algarismos de certa ordem perfaz uma unidade de ordem superior ou um número maior, junta-se aquela unidade aos algarismos da mesma ordem

484 753

1237

13. Prova da adição. Chama-se prova de uma operação uma outra operação,- que não convirá ser menos simples que a primeira,- e pela qual se pretende verificar

PRIMEIRA PARTE 19 ------------------- ---------------~

a exactidão do seu resultado. Compreende-se que nunca poderá haver uma certeza absoluta em face dos resultados concordantes da prova, pois esta se pode errar também j é contudo provável que assim não suceda. As propriedades comutativa e associativa podem utilizar-se para prova da adição.

CAPITULO III

Subtracção

14. Chama-se diferença entre dois números a e b um número a- b = r (1) (também denominado resto, excesso ou complemento) tal que

(a-b) + b= a

A operação que tem por fim determinar a diferença a- b tem o nome de subtracção; a é o diminuendo ou aditivo; b é o diminuidor ou subtractivo.

Da definição resulta imediatamente que a subtracção resolve o seguinte problema: dada a soma de duas parcelas e uma delas, determinar a outra: diz-se que a subtracção é a operação inversa da adição.

15. Já vimos que por definição é

a-b +b=a;

(l) A mais antiga obra impressa onde se vêm os sinais + ou -(Behennde Vnnd hühsche Rechnug auf allen Kanffmanschafften) de Johann Widmann, data de 1489.

PRIMEIRA PARTE 21

pois que (11 d)

será o=b-b (14)

donde, adicionando a a ambos os membros:

ou

16. Propriedades da subtracção.

a) É uma operação uniforme: deduz-se imediatamente da definição, em vista da uniformidade da adição.

b) Para subtrair uma soma de um número, podem subtrair-se sucessivamente do número tôdas as parcelas da soma.

Terá de demonstrar-se a igualdade

(o:) a- (b +c)= a- b- c

Realmente, acrescentando a qualquer dos seus membros b + c ou c + b, virá

a- (b +c) + (b +c)= a a-b-c+c+b=a-b+b=a

Lendo a igualdade (x) da direita para a esquerda, dir-se-á:

Para subtrair de um número sucessivamente muitos números, pode subtrair-se a sua soma.


c) O resto não se altera quando se adiciona ou subtrai ao diminuendo e ao diminuidor o mesmo número.

Como a+ e--c= a

será subtraindo b a ambos os membros e atendendo à alínea b)

a- b =a+ c-c- b = (a+ c)- (b + c)

d} Para subtrair uma diferença, pode juntar-se o diminuidor e subtrair o diminuendo, ou, se fôr possfvel, subtrair o diminuendo e juntar o diminuidor.

Com efeito, pela alínea anterior, temos

a-{b-c) =a+ c- (b -c+ c)......:. a+ c-b;

se partirmos da igualdade

e juntarmos c a ambos os membros

vem, subtraindo b

a-b+c+b-b=a+c-b ou

PRIMEIRA PARTE 23 ------------------

e) Para adicionar uma diferença, pode adicionar-se o diminuendo e subtrair o diminuidor, ou, sendo possfvel, subtrair o diminuidor e adicionar o diminuendo:

Com efeito, de

(b-- c)+ c=b

vem, juntando a a ambos os membros

a+ (b-c} + c=a+b

e subtraindo c

a+ (b-c}= a +b-c

Partindo agora da igualdade

a-c+ c= a

e, "juntando b a ambos os membros

vem, subtraindo c

a-c+b=a+b-c

f) Para subtrair uma soma de outra soma pode subtrair-se, sendo possivel, cada parcela duma de cada parcela da outra, e somar as diferenças parciais.


Com efeito pelas alíneas b) e c)

(a+ b)- (c+ d) =a+ b- c- d =a- c+ b- d = =(a-cJ+(b-d).

17. Regra da subtracção. Considere-se a diferença de dois números quaisquer. Ex.: 847-395.

Podemos escrever:

847-395 = 800 + 40 + 7 -(300 + 90 + .5)= = 700 + 140 + 7- (300 + 90--+- 5) =

= (700- 300) + (140- 90) + (7- 5)

18. Prova da sublracção. Resulta imediatamente da definição:

(a-b)+b=a;

adicionando o resto ao diminuidor, deve obter-se o diminuendo.

19. Complemento aritmético. Chama -se complemento aritmético de um número a diferença entre êste número e a unidade decimal imediatamente superior.

O complemento aritmético de 4830 será

10.000-4830 = 5170

Práticamente calcula-se o complemento aritmético, subtraindo o primeiro algarismo significativo da direita de dez e todos os outros de nove.

Para efectuar a diferença a- b, pode juntar-se a a o complemento aritmético de b, e subtrair em seguida

PRIMEIRA PARTE 25

ao total a unidade decimal utilizada para a determinação do complemento. Representando por 1011 a unidade decimal imediatamente superior a b

a- b =a- 1011 + 1011- b =a- 10!1 + (10 11 - b) =

=[a+ (10 11- b)] -1011

Ex.:

84- 7 + 197 - 30 = (84 + 3 + 197 + 70)- 10 - 100 = 354 - 1 10 = 344

EXERCÍCIOS

6- Achar dois números inteiros consecutivos cuja soma é 8437

R. 4218, 4219.

8437 - 1 = 8436

1 -X 8436 = 42!8 2

7- Achar dois números consecutivos cuja soma é igual a 872.

S-Achar 3 números tais que a soma ·dos 2 primeiros é igual a 32, a soma dos 2 últimos é 54 e a soma do 1.0 e do 3.0 é 46.

R. a + b = 32 b + c= 54 a + c= 46

a+ b+ c- (a+ b)=c=66 -32 =34 a+b+c-(b+c)=a=66-54= 12 a+ b +c-(a+ c)= b = 66-46=20


9-Achar 3 números tais que a soma dos dois primeiros é igual a 55, a diferença dos mesmos é 25 e a diferença dos dois últimos é 5.

R. 40, 15, 10.

1 O-- Calcular a expressão :

8-!3.5 - 23 + 8.f9 - 1528 + 30- 250

usando os complementos aritméticos.

ll- Dados dois números a e b (a> b), i_ o que será necessário fazer para os tornar iguais, sem alterar a sua soma?

R. Bastará juntar a b e subtrair a a a sua semi-diferença:

a-b a-b b+----+a-- ---=a+b

2 2

12- Aplicar a propriedade do exercício anterior aos números. 74 e 14, 428 e 36.

13-Demonstrar que a soma de dois números, aumentada da sua diferença é o dôbro do maior.

R. a+b+(a-b)=a+b-b+a=2xa.

14- Demonstrar que a soma de dois números diminuída da sua diferença é o dôbro do menor.

15- Dadas duas diferenças, iguais respectivamente a 16 e 13, achar todos os seus termos, sabendo que a soma dos diminuidores é 11, e que os diminuendos são iguais.

R. a=a'=20

{/ -b =16 a'-b'=13

b=4 b1=7.

CAPÍTULO IV

Multiplicação

20. Considere-se uma soma de b parcelas iguais a a

ata+a+a+a+a+ ........ =P

A adição toma neste caso particular o nome de multiplicação.

Chama-se a P o produto, a a e b os factores; a é o multiplicando e b o multiplicador.

O produto é uma soma de tantas parcelas iguais ao multiplicando quantas são as unidades do multiplicador; fo_rma-se do multiplicando como o multiplicador da unidade.

P=aXb=a+a+a+ a+ a .... . b= 1+1+1+1+1 .... .

21. Produto de muitos factores. Produto de muitos factores é o resultado que se obtém multiplicando os

(1) O sinal X foi utilizado em primeiro lugar por William Oughtred no seu livro Clavis Matlzematicae em 1631.


dois primeiros factores, a seguir multiplicando o resultado pelo terceiro, êste pelo quarto e assim sucessivamente.

aXbXcXdXeX .... = [(aXb) X c)Xd]XeX ....

22. Propriedades de multiplicação. a) É uma operação uniforme: do mesmo modo

que a adição. b) É uma operação distributiva em relação à adição

e subtracção.

~+~X3=~+~+~+~+~+~= =(a+a+ a)+(b+b+bJ =aX3+ bX3

~-~X3=~-~+~-~+~-~= =(a+a+.aJ+(b+b +- b)= aX3-bX3

"Para multiplicar uma soma (ou uma diferença) por um mímero pode multiplicar-se cada uma das pareelas da soma (ou cada têrmo da diferença) pelo número, e depois somar (ou subtrair) os resultados".

"Inversamente, tendo uma soma ou diferença de produtos em que há am factor comum, pode pôr-se êsse

·factor em evidência, multiplicando-o pela soma ou diferença dos restantes,.

c) É uma operação comutativa; o valor do produto não depende da ordem dos factores.

1) Produto de dois factores.

aXb=(l + 1 + 1 + 1 + ... )Xb= =b +b+b +b+ ... =bXa

PRIMEIRA PARTE 29

2) Produto de muitos factores. Num produto de 3 factores pode alterar-se a ordem

dos dois últimos:

4X5X3=~+4+4+4+~X3= =4X3+4X3+4X3+4X3+4X3=

= (4 X 3) X 5 = 4 X 3 X 5

Num produto de muitos factores pode alterar-se a ordem dos dois últimos, pois que pela definição aquele se pode reduzir sempre a um produto de 3 factores~

aXbXcx ... XnXpXq= = (a X b X c X ... X m) X p X q = P X p X q

Da definição deduz-se imediatamente ser possível mudar a ordem dos dois primeiros factores ; finalmente de

aXbXcXdX ... Xq=(aXbXcXd)>< ... Xq= -(aXbXdXc)X ... Xq= aXbXdXc ... Xq

se reconhece a possibilidade de alterar a posição de dois quaisquer intermédios.

Conclui-se pois que, por mudanças sucessivas, se pode alterar a ordem dos factores de qualquer maneira.

NoTA- Segundo a definição de multiplificação, aos produtos

aXl e axo

não é possível atribuir qualquer significado:- o multiplicador deverá ter pelo menos duas unidades.


Convenciona-se, porém, que

aXO=OXa=O+O j.-0+ ..... =0 a X 1 = 1 X a= 1 + 1 + 1 + ..... = a,

o que implica a vantagem de se manter a propriedade comutativa nos casos referidos.

d} É uma operação associativa. Num produto de muitos factores pode substituir-se um número qualquer deles pelo seu produto efectuado.

Pela propriedade comutativa podem considerar-se como os primeiros quaisquer factores do produto; nesta conformidade deduz-se a propriedade associativa imediatamente da definição de produto:

aXbXcXdXe=bXcXdXaXe= = (b>(c)< d} X aXe=aX(bXcXd}Xe

e) O módulo da multiplicação é a unidade:

aXbX1=aXb

23. Definição. Chama-se múltiplo dum número o seu produto por qualquer número inteiro. Deduz-se desta definição que

1) Um produto é múltiplo de qualquer dos seus factores.

2) Um número é múltiplo de si mesmo: a X 1 =a. 3) Zero é múltiplo de qualquer número: a X O= O.

24. justificação da regra da multiplicação.

PRIMEIRA PARTE 31

/.0 caso. O multiplicando e o multiplicador são

algarismos. A operação faz-se mentalmente.

2.0 caso. O multiplicando tem mais de um algarismo, e o multiplicador tem somente um.

Aplica-se a propriedade distributiva. Exemplo:

7538 X 5 = (7000 + 400 + 30 + 8) X 5 = = 7000 X 5 + 400 X 5 + 30 X 5 + 8 X 5

Pràticamente associa-se a multiplicação à adição.

3.0 caso. O multiplicando e o multiplicador têm ambos mais de um algarismo.

Aplica-se igualmente a propriedade distributiva, ficando-se reduzido ao 2.0 caso.

8438 X 524 = 8437 X (500 + 20 + 4) = = 8437X 500 + 8437X20 + 8437X4

As parcelas desta soma são os produtos parciais.

CAPÍTULO V

Divisão

25. A divisão procura resolver o seguinte problema: Dados dois números a e b (a:::; b) determinar um

número q, que, multiplicado por b, conduza a um resultado igual a a.

Nem sempre se encontra um número q que satisfaça à questão. No caso de possibilidade dizemos que a divisão é exacta ou simples e escreveremos :

a: b= q; (1)

a é o dividendo, b o divisor e q o quociente.

26. Da definição resulta imediatamente:

a=bXq,

isto é, a divisão exacta tem por objectivo: dados um produto de dois factores e um deles, determinar o outro.

(1) O sinal : como símbolo de divisão, foi usado pela primeira vez por Leibnitz em Acta Eruditorum, 1684. É utilizado também o sinal -;. que foi introduzido por Johann Heinrich Rahn na sua Teutsche Algebra (1659).

PRIMEIRA PARTE :n

O dividendo, que será assim múltiplo do divisor e do quociente, diz-se também divisível por qualquer deles.

Resulta ainda da definição que a divisão exacta é a operação inversa da multiplicação e portanto uniforme.

27. No caso de impossibilidade da resolução do problema atrás referido diz-se que a divisão de a por b não é exacta. O seu fim é então determinar dois números q e r (quociente e resto) tais que:

a= b >~ q +r sendo r< b.

A divisão não é já simples; tem dois resultados, embora perfeitamente determinados. Procura-se agora o maior número que, multiplicado pelo divisor, conduz a um resultado inferior ao dividendo.

28. Casos particulares da divisão.

1) a : 1 =a 2) O: a=O 3) a : O sendo

aXI=a O X a= O

a+O.

Não tem êste último quociente qualquer significado, para números finitos, pois não é possível obter um número, que, multiplicado por zero, conduza a um produto diferente de zero; representa um símbolo de impossibilidade.

4) O:O=a ou b, ou c ... aXO=O, bXO=O ...

Representa qualquer número; constitui um símbolo de indeterminação.

3

34 ARITM.ÉTICA RACIONAL

29. Propriedades da divisão:

1) Para dividir uma soma (ou lll!W diferença) por um número pode dividir-se pelo mímero cada uma das parcelas da soma (ou cada têmlo da diferença) e a seguir somar (ou subtrair) os resultados. (Propriedade distrióativa).

De facto deduz-se imediatamente:

(a+ b):c= a:c+ b:c,

atendende> a que:

(a: c+ b:c)Xc= a: c X c+ b:cxc= a+ b

2) Multiplicando (ou dividindo) o dividendo e o divisor por um número, o quociente não se altera e o resto vem multiplicado (ou dividido) por êsse número.

Da definição resulta:

e multiplicando ambos os membros da igualdade por c

aXc=0Xq+~Xc=bXqXc+rXc= =(bXc)Xq+r X c.

3) Um produto é divisível por qualquer dos seus factores.

aXbXcXd=(aXb c)Xd.

PRIMEIRA PARTE 35

4) Se um factor de um produto é divisível por um número, o produto é divisível por êsse número.

Seja

P=aXbXc e C=dXq; virá

P= a X b X dX q= (a X bX d)X,q.

5) Não se altera o resto da divisão quando se adiciona (ou subtrat) ao dividendo um múltiplo do divisor.

Com efeito, adicionando a ambos os membros da igualdade

o múltiplo do divisor b :::<c, vem:

6) Para dividir um número por um produto de muitos factores, pode efectuar-se a divisão sucessivamente por cada um dos factores.

De

deduz-se N: (aXbXc)= q

N =a X b X c X q e sucessivamente N: a=bXcXq N: a: b=cXq N: a : b : c=q

NoTA- A divisão não é uma operação comutativa, Não é também associativa:

N: a: b é igual a N:(aXb) e portanto diferente de N: (a: b).


30. justificação da regra da divisão. O quociente poderá obter-se de dois modos: 1) Subtraindo sucessivamente o divisor do divi

dendo até se encontrar um resto menor que o divisor; êste resto será também o resto da divisão e o número de subtracções possíveis representará o quociente.

2) Multiplicando o divisor pelos números inteiros (2, 3, 4 ... ) até se obter um produto maior que o dividendo. O penúltimo multiplicador será o quociente; o resto obtém-se subtraindo do dividendo o produto do divisor pelo quociente.

Na prática aplica-se com facilidade o segundo modo quando o quociente tem um só algarismo ; se o quociente tem mais de um algarismo, qualquer dos processos indicados seria trabalhoso se fôsse aplicado isoladamente. Adopta-se então uma combinação dos dois, cuja justifi

,cação decorre imediatamente do exemplo que segue:

5782:21

5782 = 57 X 100 + 82 = (2 X 21 + 15) X 100 + 82 = = 2 X 21 X 100 + 15 X 100 + 82 = 200 X 21 + 1582

5782: 21 = (200 X 21 + 1582): 21 = = 200 X 21 : 21 + 1582: 21 = 200 + 1582: 21.

O quociente tem um certo número de centenas, sendo 2 o seu primeiro algarismo. Para se obter os outros algarismos do quociente vai efectuar-se a divisão:

1582: 21,

sendo

1582 = 5782-200 X 21 1.0 dividendo parcial.

PRIMEIRA PARTE ----

Do mesmo modo como anteriormente, temos :

1582 = 158 X 10 + 2 = (7 X 21 + 11) X 1 O + 2 = = 7 X 21 X 10 + 11 X 10 + 2 = 70X 21 + 112

1582:21 = (70X21 + 112):21 = 70+ 112:21

37

Será 7 o algarismo das dezenas do quociente; o algarismo das unidades obtém-se efectuando a divisão

sendo

112= 1582-70X21 2. 0 dividendo parcial;

teremos

112=5X21+7

e finalmente

5782 = 200 X 21 + 70 X 21 + 5 X 21 + 7 = = (200 + 70 + 5)X21 + 7 = 275><21 + 7.

31. Prova da divisão. Utiliza-se só a multiplicação, ou a multiplicação combinada com a adição, conforme a divisão é exacta ou não, o que decorre imediatamente da definição.

Inversamente a divisão pode ser utilizada na prova da multiplicação. Para a prova da multiplicação são também utilizadas as propriedades comutativa e associativa.


EXERCfCIOS

16- Achar um número, que, adicionado ao seu produto por 8, dá nm resultado igual a 54.

R. a+ax8=54 ax9=54

ax(l + 8) =54 a=54:9=6

17- Calcular dois números cuja soma é igual a 375, e o quociente da sua divisão 14.

R. a=350 b=25.

18- Calcular dois números cuja diferença é 508, sendo o maior igna! a 5 vezes o menor.

R. a=635 b=127.

19- Mllltiplicar 21 por 5, 25 e 125, efectuando divisões respectivamente por 2, 4 e 8.

R. 2Ix5=2lxl0:2=210:2=105 21 X 25 = 21 X 100: -l = 2100: 4 = 525 21 X 125 = 21 X 1000: 8 = 21000: 8 = 2625

20 -- Dividjr 9250 por 5, 25 e 125, efectuando multiplicações respectivamente por 2, 4 e 8.

21 - Calcular o produto 834 X 599, fazendo uma multiplicação de !lm só algarismo.

834 X 599 = 834 X (600- 1) = 834 X 600- 834

22 - Como no exercício anterior, calcular o produto 5432 X 9999.

23 - t Qual é o maior número que pode juntar-se ao dividendo sem que se altere o quociente?

R. d-r-·- 1.

24 --Em qualquer divisão o resto é sempre menor que metade do dividendo.

R. D=dxq+r

PRIMEIRA PARTE 39

No caso mais desfavorável de ser q = 1

virá

Como d é sempre maior que r, resulta

[) > 2 r Oll

25- (Quais são os números, que, divididos por 25, dão um quociente igual no resto?

R. São os números iguais a 26 X 11, sendo n qualquer nümero menor que 2.5.

Generalizar para qualquer divisor.

CAPÍTULO VI

Potenciação

32. Chama-se potência a um produto de factores iguais. A operação pela qual se determina o valor duma potência- potenciação- constitui pois um caso particular da multiplicação.

O factor que se repete toma o nome de base da potência, e o número de factores iguais chama-se expoente ou grau. Para indicar o produto de n factores iguais a a (a potência n de a, ou ainda a elevado à potência n), usa-se a notação :

an (1)

a11 = axaxa . .. (n vezes)

A segunda potência tem a denominação particular de quadrado; à terceira potência chama -se também cubo.

(1) Esta notação para designar potências, é devida a Descartes que a empregou no seu livro La Géométrie, 1637.

PRIMEIRA PARTE 41

Cálculo das potências

Teorema

33. O produto de potências da mesma base é U!ll(l

potência da mesma base cujo expoente é a soma dos expoel?tes.

p vezes q vezes aPXaq =(aXaXaX ..... )X(aXaxax ..... ) =

(p + q vezes) =aXaXaX .... =aP+Q

Teorema

34. A potência de outra potência tem a mesma base, e o expoente igual ao produto dos expoentes.

q vezes q vezes ( aP )q = aP X aP X aP X .... = aP + P + P + ... = aP x q

Teorema

35. O produto de potências do mesmo expoente é uma potência do mesmo expoente, cuja base é o produto das bases, ou inversamente,

a potência de um produto é igual ao produto das potências dos factores.

p vezes p vezes aP X bP =(a X a X a X ... ) X (b X b X b X ... ) =

p vezes =(a X b) (a X b) X (a X b) X .... =(a X b) P


Teorema

36. O quociente de potências da mesma base é uma potência da mesma base cujo expoente é a diferença dos expoentes.

Pois que

a P - q X aq = aP - cí + q = aP

deduz-se

Teorema

37. O quociente de potências do mesmo expoente é uma potência do mesmo expoente cuja base é o quociente das bases, ou inversamente,

a potência de um quociente é igual ao quociente das potências dos seus termos (dividendo e divisor).

Pois que

deduz-se:

38. Casos particulares. A definição de potência exige que o expoente tenha o mínimo de 2 unidades; dêste modo não têm significação :

e

PRIMEIRA PARTE 43

Por definição atribuímos-lhes os valores :

o que se justifica, pois :

aPXa=aP+I=aPXal aP:aP=l=aP-P=ao.

Considera-se portanto um número como a primeira potência de si mesmo, e a potência zero de qualquer número sempre igual à unidade.

CAPÍTULO VII

Radiciação

39. A radiciação ou extracção de raízes é a operação inversa da potenciação. Pretende resolver o seguinte problema:

Dados um número A e um iuímero n, determinar outro número, a, que, elevado à potência n, reproduza o número A.

a11 =A

Chama-se a a raiz de indice n de A, designando-a pela notação

ll

a={A

O sinal V- (1) denomina-se radical; A é o radicando.

40. O problema acima exposto não é sempre possível.

(1) O sinal 1;- foi introduzido no cálculo no século XVI; representa provàvelmente a transformação de r, a primeira letra de raiz (lat. radix).

PRIMEIRA PARTE 4.5

No caso afirmativo diremos que:

ll

a={A

é uma raiz exacta, ou que o número A admite uma rai;;:' exacta.

Em geral, porém, um dado número A nào tem raiz exacta. Neste caso o objectivo de radiciaçào será :

"Determinar o maior número a, que, elevado à potência n, conduza a um resultado inferior a A".

Chamar-se-á agora a a a raiz inteira de índice n, ou a raiz de índice n com a aproximação de uma unidade. Será

e (a+ 1) 11 >A A diferença A- a 11 =r chama-se o resto da operaçao. De definição decorre imediatamente que

ll ll

JT= 1 {0=0

Raiz quadrada. Regra para a extracção da raiz quadrada inteira

41. A raiz de índice 2 tem o nome particular de raiz quadrada. É o caso que iremos estudar em especial, justificando a regra prática da operação, conhecida da Aritmética elementar.

Os números com raiz quadrada exacta chamam-se quadrados perfeitos; estes números são, até 100;

o 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100;


as suas raízes são respectivamente

o 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10.

42. A raiz quadrada inteira de um número A, ou a raiz quadrada do maior quadrado contido A, será definida pela dupla desigualdade

43. Se um número dado é inferior a 100, o cálculo da sua raiz quadrada inteira é por assim dizer imediato, tão fácil é a fixação dos quadrados perfeitos atrás indicados.

Para o caso de um número superior a 100, o estabelecimento da regra para a determinação da sua raiz quadrada necessita do estabelecimento de algumas proposições.

Atenda-se em primeiro lugar a que, pela aplicação da propriedade distributiva da multiplicação, se deduz:

(a+ b)2 = (a+ b)X (a+ b)= a2 + 2X aXb + b2•

Teorema

44. A diferença dos quadrados de dois números inteiros consecutivos obtém-se adicionando uma unidade ao dôbro do menor.

Com efeito

donde

PRIMEIRA PARTE 47

Se a representa a raiz quadrada inteira de A, decorre imediatamente que o resto da operação

A - a2 < (a + 1)2 -- a2

não pode exceder 2 X a, isto é, o dôbro da raiz inteira.

Teorema

45. O número de dezenas do raiz quadrada inteira do nlÍmero A é igual à raiz quadrada inteira das centenas de A.

Designando por C, D e U respectivamente os números das centenas, dezenas e unidades de A, teremos

A= CX IOO+DXIO+ U

Representemos por d a raiz quadrada inteira de C. Será

donde

d2 X 1 02 ;: C X I 00 < (d + 1 )2 X 102

ou (dX10)2 ~CX100<f(d+ l)X10)2.

Atendendo a que a diferença entre os membros extremos desta dupla desigualdade nunca será inferior a uma centena, esta ainda se manterá se adicionarmos a CX 100 o número DX 10 + U. Logo

dX 10)2 ~CX 100+ DX 10 + U<[(d +I) X 10]~


ou (d X 10)~~ A< [(d +I) X 10)2,

o que indica ter a raiz inteira de A, d dezenas.

Teorema

46. Subtraindo a um dado número o quadrado das dezenas da sua raiz quadrada, o quociente da divisão do resto pelo dôbro das dezenas da raiz, representa o algarismo das unidades da raiz ou um número maior, isto é, representa o limite superior das unidades da raiz.

Designe-se por A o número dado, d o número das dezenas da sua raiz quadrada, u o algarismo das unidades da dita raiz e r o resto de radiciação. Teremos

A=(dX tü+u)2 +r .d2 X lü2+2XdX 10Xu+u2 +r;

donde

O quociente da divisão

nunca é, evidentemente, menor que u. Êste quociente não se altera, se, em lugar de dividir

mos o resto A- (d X 10)2 pelo dôbro das dezenas da raiz, dividirmos, o que sempre será mais simples, o número das dezenas do resto pelo dôbro do número das dezenas da raiz.

PRIMEIRA PARTE 49

Teorema

47. Determinado o limite superior do algarismo das unidades da raiz quadrada, o verdadeiro valor u dêste algarismo será o maior ntimero (inferior ou igual ao limite) que satisfaz à relação:

vem

(2Xd X 10 +a) X u~ A-(dX 10)2

Com efeito, de

A -(d/~ 10)~ = 2>< d X lO X a+ u2 +r= =(2><dX 10 + u) u +r,

[A- (dX 10)2] -(2 X dX 10 + u) X a= r,

subtracção, que só será possível se o diminuidor fôr menor ou igual ao diminuendo.

Resta provar que a deve ser o maior algarismo que satisf~z à relação indicada. De facto, se assim não fôr, vê-se imediatamente que r excederá o dôbro da raiz (44.).

Visto que se deseja determinar um algarismo, se o limite superior encontrado fôr maior que 9, considerar-se-á desde logo 9 como novo limite.

48. É fácil agora a justificação da regra da extracção da raiz quadrada de qualquer número dado A. Pois que o número das dezenas da raiz quadrada de A é a raiz do número A' das suas centenas, haverá que calcular a raiz quadrada de um número A' com menos dois alga-

<~

50 ARITMÉTICA RACIONAL -----

ris mos que A; para a determinação do número das dezenas da raiz de A' haverá igualmente que calcular a raiz do número A" das suas centenas ; A'' terá já menos dois algarismos que A', e menos quatro que A. Prosseguindo o raciocínio, compreende-se que se obteria um número só com um ou dois algarismos, número cuja raiz se pode calcular mentalmente. Assim se explica a divisão do número dado em classes de 2 algarismos a partir da direita.

A raiz inteira (um algarismo) da primeira classe (a da esquerda) representará as dezenas da raiz do número formado pelas primeira e segunda classes. Subtraia-se dêste número o quadrado das dezenas (ou o que é idêntico, subtraia-se da primeira classe o quadrado do algarismo das dezenas, e escreva-se à direita do resto a segunda classe), e divida-se o número das dezenas dêste resto pelo dôbro do número das dezenas da raiz; obter-se-á assim o lirnite superior do algarismo das unidades.

Verificado êste algarismo pela relação

(2 X d X 10 + u) X u < A- (d X 10)2,

subtraia-se o produto (2 X d X 10 + u) >< u do resto acima referido (cujas dezenas serviram de dividendo para a determinação do limite superior de u).

Se o número dado não tivesse mais de quatro algarismos, estaria a operação concluída ; eram conhecidos os algarismos das dezenas e das unidades da raiz, e o resto da operação:

r = A - (d >< 10 + u)2 = = A-(dX 10)2 -(2X dX 10 + u)Xu.

PRIMEIRA PARTE 51 --------

Suponhamos porém que o número dado tem mais de quatro algarismos. A raiz achada do número formado pelas duas primeiras classes, indicará agora as dezenas de raiz do número constituído pela primeira, segunda e terceira classes. A diferença entre êste número e o , quadrado das dezenas da raiz obter-se-á simplesmente escrevendo a terceira classe à direita do resto

r= A- (dX 10 + a)2

atrás referido (A o número formado pelas duas primeiras classes).

Dividem-se as dezenas do número assim obtido pelo dôbro da raiz achada (as dezenas da raiz do número dado), obtendo-se assim o limite superior do algarismo das unidades. Verifica-se êste algarismo, etc., etc.

Dar-se-á um exemplo para melhor ilustrar a aplicação da regra.

7 4. 39. 85 11...,..8_6_2-:---64 166 1722 103.9 6 2 99 6 996 3444 4 38.5 3 44 4

94 1

103~ 7 6

438 1 112 94 2

A raiz quadrada inteira de 7 43985 é 862; o resto é 941.


EXERCiCIOS

26-lndicar o algarismo das unidades de 3964H e o de 85"2. R. 6 e 5.

27- O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais três vezes o produto do segundo pelo quadrado do primeiro, mais o cubo do segundo.

28- Calcular dois números inteiros consecutivos sendo a. diferença dos seus quadrados: 647.

R. 647 = 2 x n+ 1 (45.) 323 e 324.

29-Calcular dois números sendo a sua diferença 31 e a diferença dos seus quadrados 5983.

R. a-b=31 a2-b2=(a-b) (a+ b)=5983

a+ b=5983.;-31 = 193 2 X a= 224 a= 112 2Xb=l62 b=81

30- Calcular dois números, sendo a sua soma 16 e a diferença dos seus quadrados 32.

R. a=9 b=1.

31- Calcular a raiz quadrada dos números:

8457, 319, 51472, 104976

32- Calcular dois números inteiros consecutivos cujo produto é 674862.

R. 821 e 822.

33-A diferença dos quadrados de dois números é igual ao quadrado da diferença dos números mais duas vezes o produto desta diferença pelo número menor.

PRIMEIRA PARTE 53 -------------

R. Seja a o número menor; o maior será a +c, e c a sua diferença.

34- Qualquer múltiplo de 4 é a diferença de dois quadrados. R. (n+ l)2-(n-1)2=n2+2xn+ 1-n2+2xn-l =4xn.'

35-A soma dum número n2 e da sua raiz quadrada 11 é 2970; qual é número?

R. n2 = 2816 n =54.

CAPÍTULO VIII

Sistemas de numeração

49. Na numeração decimal, como se disse (8.), cada unidade representa dez unidades de ordem imediatamente inferior. Assim temos que

1 dezena vale 10 unidades 1 centena 11

1 milhar 11

10 dezenas ou 100 unidades 10 centenas ou 1000 unidades

ou ainda

1 unidade

1 " 1 "

de 1.a ordem= 10 unidades simples ou de ordem zero

" = 102 unidades simples " = 103 unidades simples

isto é, as unidades decimais das diferentes ordens representam potências de 10, quer dizer, da base da mimeração.

PRIMEIRA PARTE 55

50. fácil será em qualquer número pôr em evi· dência a relação entre as suas unidades. Ex.: seja o nümero 4527

4527 = 4000 + 500 + 20 + 7 = = 4 >< 1000 + 5 X 100 + 2 >< 1 O + 7 = = 4 X 103 + 5 X 102 + 2 X 1 O + 7

Seja ainda o número 307

307 = 300 + 7 = 3 X 100 + O X 1 O + 7 = = 3 X 102 + O X 10 + 7.

Um dado número pode pois sempre decompor-se numa soma de produtos dos seus algarismos (números inferiores à base) por potências sucessivas da base 10.

51. As considerações que acabamos de expor e a generalização dos princípios que presidiram à numeração escrita- valor de posição e emprêgo do zero- (7.), permitem-nos estabelecer sistemas de numeração com base di-ferente de 1 O.

52. Num sistema de base oito, por exemplo, uma unidade da primeira ordem valerá oito unidades simples, uma unidade da segunda ordem valerá oito unidades de primeira ordem, etc.; as unidades das diferentes ordens serão agora as potências de oito.

Um número qualquer

347


suposto escrito num sistema de base oito, poderá pois decompor-se da forma seguinte:

Se desejássemos saber a sua significação no sistema decimal bastaria efectuar as operações indicadas

. 192 + 32 + 7 = 231

No sistema de base oito haveria st'>mente oito algarismos

o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

53. Podemos considerar também um sistema de base maior que 10, por exemplo 14. Seria agora necessário introduzir mais alguns algarismos a corresponder aos números 10, 11, 12 e 13; representemo-los respectivamente pelas letras a, b, c e d.

Assim o número

8 a 3 c (base 14)

decompor-se-ia da forma seguinte:

8 X 14 8 + a X 142 + 3 X 14 + c= = 8 X 143 + 10 X 14~ + 3 X 14-+ 12

(1) Mais rigorosamente

pois o algarismo 8 (que não poderá existir) se representará por lO

PRIMEIRA PARTE 57

Se efectuarmos as operações indicadas, obtemos

23966

que representa o número dado escrito no sistema decimaL

54. Vimos como fàciimente se obtém a representação no sistema decimal de um número escrito em qualquer sistema; estudemos agora o problema inverso.

Seja o número

863 (base dez)

que se pretende representar num sistema de base 5. Haverá que pôr em evidência as unidades de' dife

rentes ordens (potências da base 5), o que se consegue por divisões sucessivas por 5.

Teremos assim:

863 5 ::......,..,...--

36 172 -+ unidades de La ordem 13 3

112 1 5 22 ~3...,.4_-+_ unidades de 2.a ordem

2

34j_5_ 4 6 -+ unidades de 3.a ordem

6l2_ 1 1 -+ unidades de 4.a ordem

.58 ARITMÉTICA RACIONAL

donde

863 = 172 X 5 + 4 34=6X5+4

e finalmente

863 = (34 X 5 + 2) X 5 + 3 = = 34 ><52 + 2 X 5 + 3 =

172=34X5+2 6=1X5+1

= (6 X 5 + 4) X 52 + 2 X 5 + 3 = = 6 X 53 + 4 X 52 + 2 X 5 + 3 = =(1 X5 + 1)X53 + 4X52 + 2X5+ 3= =1X~+1X9+4X~+2X5+3

O número 863 corresponde pois no sistema de base 5 a

11423

55. Procuremos agora representar no sistema de base 12, o número

1592 (base dez)

Procedendo como no número anterior, e fazendo a= 10 e b = 11, teremos

1592112 39 ""'i3'2 32 8

132~ 12 11 o

1592 = 132 X 12 + 8 132 = 11 X 12 + O 1592= (11X12 +O)X12+8=11 Xl22 tOX12t8

PRIMEIRA PARTE 59

Obtém-se assim no sistema de base 12 o número

b08

Antigos sistemas de numeração

56. Todos os povos civilizados, desde a mais remota antiguidade, tinham a sua maneira de representar os números, mas o processo não apresentava a simplicidade da nossa actual numeração decimal, não se prestando ao cálculo.

Mencionaremos alguns dêstes sistemas primitivos. De um modo geral os números eram representados por determinados símbolos (muitas vezes as letras do alfabeto) que se repetiam ou combinavam de certa forma. Em quási todos se dava especial relêvo aos números 5, 10 e 20, talvez por corresponderem aos dedos das mãos e pés.

57. Caldeus.- Na Babilónia usava-se um sistema sexagessimal combinado por vezes com um sistema decimal. Era conhecido o valor de posição, mas não o zero. Indicam-se alguns sinais cuneiformes representativos de números :

y ~=lO y>- = 100

58. Egipcios.-Os egípcios empregavam um sistema de base 10; parece, porém, notar-se vestígios de sistemas de bases 5, 12, 20 e 60. A escrita dos números apresenta as três formas- hieroglífica, hierática e demótica -- sucessivamente mais simplificadas. Damos a seguir um


quadro organizado por Kurt Seth (l) com indicação de alguns dêstes símbolos nas três escritas :

U 11/JJ A .I),{ S .DlZli'/AS CDYTf!MS MllJitf!l[S

1 a I

J ono 1«

'l o::~ _..., '""t o;:1 '/(

,.. F- l!!L

) ~~· ~ is lr~ero;l.

Acrescentaremos ainda alguns sinais hieroglíficos:

D _ 1o.ooo ~ = 100.000 ~ - 1.000.000

Q = 10.000.000

(1) Kurt Seth- Von Zahlen und Zahlworten bei den alten Agyptern.

PRIMEIRA PARTE 61

59. Fenícios, hebreus, gregos e romanos.- Com excepção dos primeiros, todos estes povos usavam para designar os números, letras do alfabeto; utilizavam também um sistema decimal. Indicamos alguns dêstes símbolos.

Hebreus (respectivamente nas formas samaritana, hebraica e rabínica):

2 3 4 5 6 7 8 9 lO

Jr. "' 'J ':!' ~ ~ ":3 ~ 19 m

N :l .:1 i n ~ T n 't1 "' f,J ,. ~ .., r ' t p 11 '

Gregos:

a.. f3 y J E { r 77 e L

Romanos:

11 II! IV v VI VII vm IX X

L=50 C= 100 D=500 l = 1.000

Os fenícios, apesar de serem os inventores do alfabeto, tinham sinais especiais para designar os números:

i=l i1=2 111=3 ;:J, = 10 ...::fJI = 1.000

60. Mayas.~Os antigos Mayas possuíam, pelo menos no comêço da era cristã, um sistema de numeração muito interessante e completo, de base 20; a unidade de 2.a ordem valia, porém, 18 unidades de 1." ordem, o que se relacionava com o ano de 18x20=360 dias. Conheciam o valor de posição e empregavam o zero, que se representava por um ôlho semi-cerrado. Damos a seguir alguns dos símbo1os usados:

.. = 2 =4 5 -"-=6

-- ~ 13 18 ~=0


61. Índios e árabes. -Modernamente tem-se posto em dúvida, mas sem muito fundadas razões, que o nosso actual sistema decimal tivesse a sua origem na Índia. Mas o que pode de facto asseverar-se é que o sistema não nasceu perfeito, e sofreu uma evolução gradual até atingir nos fins do século XV a sua forma definitiva actual.

Foram variadas também as formas dos símbolos. É num manuscrito conhecido pelo nome de Codex Vigilmms (976) que apareceram na Europa (Espanha sob o domínio árabe) os primeiros algarismos:

I 1 8 Em alguns documentos posteriores já surgem modificados, e

sàmente na Aritmética Bamberg (1489) e no livro De Arte Supputandi de Tomstall (1522) êles se escrevem na forma definitiva:

5 7 8 lo

NOTA-- Tem-se imaginado hipóteses fantasistas sôbre a origem dos algarismos. A título de curiosidade mencionaremos algumas.

1) Derivados da figura (B

1'\,~4~171~'10 2) Derivados da figura tEJ

IZ:ILf..íÃ7XYD EXERCÍCIOS

36- Escrever na numeração decimal os seguintes números:

341 (base 5) 181 ( » 9) 233 ( , 4)

10011 ( » 2) 814 ( » 14)

R. 96, 1.54, 47, 9, 1586.

PRIMEIRA PARTE

37 ---Escrever respectivDmente num sistema de bases 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, os números (base 10):

8, 1--l, 21, 40, 85, 428, 7.57, 1--!81, 54.5

R. 1000, 112, 111, 1.30, 221, 11.58, 1365, 2025, 4.56.

38-Como se escreve num sistema de base doze o número doze? R. 10.

39- Como se escreve em qualquer sistema a sua base? R. 10.

40 -Indique respectivamente em sistemas de base oito e onze, os números:

64 e 121 (base dez)

R. 100, 100.

41 -~Em que sistema o número nove se escreve 100 = 102? R. No sistema de base três.

42 - Efectue no sistema de base cinco a adição 241 + 334.

R. 241 334

1130

1 +--!=cinco (que se escreve 10) e vai l 1 + 4 + 3 = oito (que se escreve 13) e vai 1 1 + 2 + 3 =seis (que se escreve 11)

Verifique a operação representando a soma e as parcelas no sistema decimal.

43- Efectue no sistema de base treze a adição

a b 4 + 86 (dez= a, onze= b, doze== c)

R. b 6 a.


44- Efectue no sistema de base oito, o produto

26xH

26 14

130 26

410

Verifique a operação representando o produto e os factores no sistema decimal.

45 --Efectue no sistema de base onze o produto

48x64 (dez= a)

R. 280 a.

SEGUNDA PARTE

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

CAPÍTULO I

Oivisibilidade

Teorema

62. A soma dos múltiplos de um mímero é um múltiplo dêsse mi.mero.

Demonstra-se imediatamente o teorema pela consideração da propriedade distributiva da multiplicação.

Se adoptarmos a notação a· para designar um múltiplo qualquer a X n de a, aquela igualdade poderá escrever-se:

a·+ a· +a·= a·

O teorema poderá enunciar-se também da forma seguinte:

Se as parcelas dama soma são divisíveis por um número, a soma será divisfpel por êsse mímero, ou ainda:

Se um número é dil'isor (divide, é submúltiplo, é factor) de vários mímeros, é também divisor da sua soma.


Teorema

63. A diferença de dois de um nlimero é também um múltiplo do número.

Decorre igualmente da propriedade distributiva da multiplicação

ou

Corolários

64. I - O divisor de um m1mero sê-lo-á também de qualquer dos seus nuíltiplos, ou, o que é o mesmo: um número que divide um factor dum produto divide também o produto.

II - Um número que divide o divisor e o resto divide igualmente o dividendo, porque

D=d· +r m - mímero que divide a soma de duas parcelas

e uma das parcelas, divide também a

IV- Um número que divide o .~.~.v·uu:u

divide também o resto.

Teorema

e o divisor

65. Dada uma soma de duas parcelas, se uma é divisível por um número, a soma e a outra parcela, didas por êsse mímero, dão restos iguais.

SEGUNDA PARTE 67

Seja

a soma dada e d um divisor da parcela a,

a=d·

Se designarmos por r o resto da divisão da outra parcela b por d, teremos :

donde

o que demonstra o teorema.

Teorema

66. Se dividirmos muitos números pelo mesmo divisor:

a) a soma dos números e a soma dos restos divididas por êsse divisor dão restos iguais;

~) o produto dos mímeros e o produto dos restos divididos por êsse divisor dão restos iguais.

Sejam os números a, a' e a", que, divididos pelo mesmo divisor d, dão respectivamente os restos r, r' e r 11• Teremos:

a=d·+r a'=d·+r' a"=d·+r" donde

a+ a'+ a11 = d ·+r+ d ·+r'+ d · + r11 _;__ d · +(r+ r'+ r 11),

o que demonstra a primeira parte do teorema.


Teremos também

axa'=(d' +r) (d'-l-r')= = d·X d ·+r X d' + d· X r'+ r X r'=

= d"+(rXr').

ax a'Xa''=(d·+rXr')X(d·+r")=d· +(r xr'Xr~,

o que demonstra a segunda parte.

Critérios da divisibilidade

67. Baseia-se em alguns dos teoremas que acabámos de demonstrar a dedução das regras para o cálculo do resto duma divisão sem efectuar a operação. Para alguns divisores que iremos considerar, essas regras são extremamente simples, e fornecem-nos para o caso do resto nulo os respectivos critirios da divisibilidade.

Divisor 10 e suas potências

Teorema

68. O resto da divisão dum número por uma potência de 1 O é o número formado por tantos dos seus algarismos, a partir da direita, quantas as unidades do expoente.

Com efeito, atendendo às convepções da numeração e à definição de divisão, será para qualquer número:

84573= 8457 X 10 + 3= 845X 100 + 73 = = 84X 1000 + 573 =etc ...

SEGUNDA PARTE 69

Corolário

69. Um número é divisível por uma potência de 10, se termina em tantos zeros quantas são as unidades do expoente.

Divisores 2 e 5

Teorema

70. O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mímero que se obtém dividindo por 2 ou 5 o algarismo das unidades.

De facto, dado um número qualquer, por exemplo, 7849, será:

7849= 784 X 1ü+9=784X2X5 +9=2·+9=5·+9

Visto que uma das parcelas da soma é múltipla de 2 e de 5, o número e a outra parcela, divididos por 2 ou por 5, dão restos iguais.

Corolário

71. Um número é divisível por 2 ou por 5 se o algarismo das unidades fôr também divisível por 2 ou por 5.

Os números divisíveis por 2 chamam-se pares; terminam em O, 2, 4, 6, 8. Os números que não são pares denominam-se ímpares.

Divisores 4, 25, 8 e 125

72. Por um raciocínio semelhante ao do caso anterior deduzir-se-á :


O resto da divisão de um mlmero por 4 ou 25 obtém-se dividindo por 4 ou 25 o número formado pelos seus dois últimos algarismos da direita.

O resto da divisão de um número por 8 ou 125 obtém-se dividindo por 8 ou 125 o número formado pelos três cUtimos algarismos da direita.

Decorrem imediatamente os critérios de divisibilidade.

Divisores 9 e 3

Teorema

73. Uma potência de 10 é um múltiplo de g ou de 3 aumentado de uma unidade.

Como qualquer potência de 1 O se pode formar juntando uma unidade a um número formado só de noves, teremos:

100 = 99 + 1 = 9 X 11 + 1 = 9 · + 1 = 3 · + 1 1000= ggg + 1 = 9X 111 + 1 =9·-j- 1=3·-j- 1

Teorema

74. Qualquer número é um múltiplo de 9 ou de 3 aumentado da soma dos seus algarismos.

Com efeito, qualquer número, por exemplo 3847 pode (65.) decompor-se da forma seguinte:

3847=3X lOOO+SX I00+4X 10 + 7= =3X(9·+ 1) + 8X(9·+ 1) +4X(9·+ 1}+7= =9·+3+9•+8+9•+4 +7= = g. + (3 + 8 + 4 + 7) = 3. + (3 + 8 + 4 + 7)

SEGUNDA PARTE 71

O número dado e a parcela (3 + 8 +- 4 + 7), divididos por 9 ou por 3, dão restos iguais.

O resto da divisão por 9 da soma dos algarismos poderá calcular-se ràpidamente (noves fora) subtraindo sucessivamente 9 ao mesmo tempo que se vão som::mdo , os algarismos. (29-V).

Corolário

75. Um mímero i divisfvel por 3 ou por 9, se a soma dos seus algarismos fôr divisível por 3 ou por

DIVISOR 11

Teorema

76. Uma potência de 10 é um nuUtiplo de 11 mais ou menos uma unidade, conforme o seu expoente é respectivamente par ou ímpar.

Com efeito:

10=11--1 102 = 100 = 99 + 1 = 9 X 11 + 1 = 11 · + 1 W:' = 1000 = 990 -i- 10 = 9 X 11 X 10 11 - 1 =

= 11' +- 11-1 = 11'-1 104 = 10000 = 9900 + 99 + 1 =

=11'+ 11•+ 1=11'-i-1 105 = 100000 = 99990 + 10 =

=99000-!-990+ 10= =11'+11•+11-1= = 11'-1

72 AHITMÉTICA HACIONAL

Teorema

77. O resto da divisão de um número por 11, obtém-se dividindo por 11 a diferença entre a soma dos algarismos de ordem fmpar a partir da direita e a soma dos restantes.

Seja um número qualquer, por exemplo, 84726. Temos:

84726 = 8 X 10000 + 4 X 1000 7 ::..< 100 -f-2Xl0-+6=

=8X(II·+l)-i-4X(ll·-1) l-f-7X(ll'-f-1)+2X{ll-1) i-6=-= = 11·+ s + u·-4 + u· +- 7 + 11'-- 2 + 6 = 11. + (8 + 7 + 6) -- (4 + 2)

Se a primeira soma fôr inferior à segunda, adiciona-se-lhe 11 ou um múltiplo de 11. (29-V).

Corolário

78. Um mímero é divisível por 11 se a diferença entre a soma dos seus algarismos de ordem ímpar a partir da direita e a soma dos restantes algarismos for divisível por 11.

Provas dos 9 e dos 11

79. Aproveitando o cálculo fácil e rápido dos restos da divisão por alguns números, pode deduzir-se um processo também muito expedito para efectuar as provas das operações.

SEGUNDA PARTE

80. O mecanismo das provas dos 9 e dos I 1 decorre imediatamente do teorema do n.0 66 se atendermos que a subtracção e a divisão são respectivamente as operações inversas da adição e da multiplicação.

Os divisores 9 e 11 são os utilizados nas provas porque no cálculo dos restos são interessados todos os' algarismos dos números.

Apesar desta vantagem, as provas dos 9 e 11, se bem que simples, são mais falíveis que as já estudadas; estando certas, podem indicar que os resultados da operação são exactos, quando de facto podem estar errados, com algarismos muito diferentes.

EXERCÍCIOS

46 ~-Verificar se os números 83-l, 225, -l78-!S2 e 1705 são divisíveis por 2, :3, -l, 5, 9, 11 e 2.5. Dizer quais são os restos.

47 -~ (Quais são os números, que, divididos por .5, dão de resto 2?

48 -O resto da divisão dum número por ·t pode obter-se dividindo por -! a soma do algarismo das unidades com o dôbro do a!garisplo das dezenas.

R

863 = 4" + 6:3 = 4c. + 6 X 10 + 3 ~=-!. + (i X (-l' + 2) + :3 = =-+' +6x-+' +6x2+3=-+· +Gx2+:3

49- O resto da divisão dum mimero por 6 pode obter-se dividindo por & a soma do algarismo das unidades com o quádruplo da soma de todos os outros.

R.

587 = 5 X 100 + 8 X 10 + 7 = .5 X (6. + 4) + 8 X (6' + -!) + 7 = = 5 X 6' + .5 X 4 + 8 X 6. + 8 X -! + 7 = 6. + 4 X (.5 -\- 8) + 7


50-- Se r é o resto da divisão de a por d, am e r"l, divididos por d, dão restos ignais.

51- O quadrado dum número que não é divisível por 3 é um múltiplo de 3 mais uma unidade

R. (3n + 1 )2 = 9n2 + 6n + l = 3 • + 1 (3n--1)2= 9n2-6n + 1 = 3 ·+I

52--- O quadrado dum número que não é divisível por 5 é um múltiplo de 5 mais ou menos uma unidade.

53-- Se um número a é múltiplo dum número b, mais 1, tôdas as potências de a serão múltiplos de ú, mais 1.

an=(b·+l)n=ú·+l

54- A diferença entre dois números compostos dos mesmos algarismos é um múltiplo de 9.

55-- Se um número a não é divisível por 5, a4-- 1 é um mtíltiplo de .5.

R. Do exercício 52, deduz-se

donde

ou a4--l=.5·

CAPÍTULO II

NÚMEROS PRIMOS

81. Um número diz~se primo se somente fôr divi~ sível por si e pela unidade.

2, 3, 5 I 7, 11

e muitos mais, são números primos. O número 1 está de certo modo incluído na definição; não se considera, porém, número primo, o que se justifica, entre outras razões, pela simplificação que resulta para o enunciado de alguns teoremas.

Teorema

· 82. Todo o número que não é primo admite um divisor primo.

Com efeito, o menor dos divisores de um número é necessàriamente um número primo p; se não fôsse primo, admitiria um divisor que dividiria também o número dado. Não seria pois p o menor.

Teorema

83. A sucessão dos números primos é ilimitada. Suponhamos que assim não era, e que havia um


número primo p maior que todos os outros. formemos nesta conformidade a soma:

A=2X3X5X ..... Xp+ 1

do produto de todos os números primos e da unidade. Êste número A admitirá um divisor primo p1

, igualmente divisor da parcela 2 X 3 X ..... X p por ser um dos seus factores; conclui-se (64 III) que p' deverá dividir a parcela J, o que é absurdo.

IIá pois um m'lmero primo maior que p, e a sucessão é ilimitada.

Teorema

84. Se um ntímero primo p não divide os factores de um produto, não divide também o produto.

Seja o produto

e sejam r e r' respectivamente os restos da divisão de a e de b por p. Como os produtos

aXb e rXr',

divididos por p, dão restos iguais, o teorema ficará demonstrado se se provar que o último produto

rXr1

não é divisível por p, isto é: que o produto de dois mímeros menores que um mítnero primo p não é divisível por êste número.

SEGUNDA PARTE 77

Suponhamos o contrário, e designemos por no menor dos números (inferiores a p), que, multiplicados por r ou r', por exemplo, r dão um resultado divisível por p.

Teremos: nXr=p-

Se dividirmos p por n, e designarmos por q e r1 o quociente e o resto da divisão, será

p=nXq +r1

ou multiplicando por r

r><p=rXnX.q+r ><r1

A soma r>< p e a parcela r X n ~< q são divisíveis por p, logo sê-lo-á também a pàrcela r X r1• Êste resultado é porém contr:írio à hipótese de ser n o menor dos números, que, multiplicados por r< p, formam produtos divisíveis por p, em vista de ser r 1 < n.

Conclui-se que não há números menores que p que satisfaçam à condição referida, pois seria absurdo supor que num grupo limitado não possa existir um número menor que todos os outros.

Teorema

85. Se um número primo divide um produto, dividt: necessàriamente um dos factores.

Com efeito, se um número primo p não dividisse nenhum dos factores do produto

P=axbXc,

não poderia (teorema anterior) dividir o produto.


Corolários

86. I- Um número primo que divide um produto de factores primos é igual a um dêle.s.

Decorre imediatamente do teorema, atendendo à definição de nttmero primo.

H- Um mímero primo que divide uma potência divide a base.

É evidente, pois, que uma potência é um produto de factores iguais à base.

Teorema

87. Todo o número não primo é decomponfvel, de uma só maneira, num produto de factores primos.

Seja A o número dado; como admite um divisor primo a, será

A=aXq.

Se q é primo, está o teorema demonstrado; não o sendo, tem um divisor primo b, e virá

A=aXbXq'

Continuando-se a raciocinar do mesmo modo, encontrar-se-á necessàriamente um quociente q<n> primo; a não ser assim, resultaria que A seria igual a um produto dum número infinito de factores, o que é manifestamente absurdo.

Esta decomposição é única. Suponhamos que não é, e sejam

aXbXc><dX ..... Xq=a'Xb'Xc'Xd'X ..... Xq'

SEGUNDA PARTE 79

dois produtos distintos de factores primos que representam o número A.

Como A tem o divisor a, êste número primo, dividindo o produto de factores primos a' X b'Xc' . ... X q', terá de ser igual a um deles; será, por exemplo, a= a', donde

aXbXcXdX .... . ><q=aXb' c'Xd'X ..... Xq'

ou, dividindo por a

b :<cXd><... q=b'><c'Xd' ... Xq'

Do mesmo modo, o divisor primo b do primeiro produto, dividindo o segundo, terá de ser igual a um dos seus factores, por exemplo a b', e será

bXcXdX ... Xq=b><c'Xd' ... Xq'

ou

cXdX ... Xq=c'Xd'>< ... Xq'

E assin1 sucessivamente se verificará que todos os factores do primeiro produto se contêm no segundo e vice-versa, isto é, que os produtos não são distintos.

Como se compreende, alguns dos factores primos podem ser iguais.

NoTA- Os números primos figuram pois como elementos1 mímeros primeiros, cujo produto pode represen-


tar qualquer número; resulta assim uma nova forma de determinação dos números, da sua geração. E mais se justifica não se considerar a unidade como número primo, pois nada significaria na decomposição factorial por ser o módulo da multiplicação.

88. Para decompor um número em factores primos convém seguir uma certa ordem no ensaio dos divisores, começando naturalmente pelos menores: 2, 3, 5 ...

É recomendável também a aplícação dos critérios de divisibilidade conhecidos a-fim-de não efectuar divisões escusadas.

Teorema

89. Para que um número A seja diJiisivel por um número B, é necessário e suficiente que todos os factores primos de B se encontrem em A cada um, pelo menos, em mímero igual.

A condição é necessária: porque sendo A divisível por B, ou

A=B>< Q,

sendo Q o quociente da divisão, é evidente que todos os factores primos de B existem em A.

A condição é suficiente: dado o produto dos factores primos que constituem o número A, pelas propriedades comutativa e associativa da multiplicação, podem êles agrupar-se de modo a formar o produto

B><.Q,

o que mostra ser A divisível por B.

SEGUNDA PARTE 81

Tábua de números primos

90. A formação dos números primos nào está sujeita a nenhuma lei, nem existe qualquer fórmula que os determine a todos. Podemos somente construir tábuas, mais ou menos extensas, em que os números primos aparecem por exclusão dos que o não são; é o processo já usado pelos antigos gregos, e conhecido pelo nome de Crivo de Eratostenes (1).

Escrevem-se os números da série natural até ao limite fixado para a Tábua. Pondo de parte os números O e 1, começa-se por eliminar, a partir de 2, que é primo, todos os números de 2 em 2, isto é, os múltiplos de 2. Depois desta operação, e a partir do primeiro número não eliminado 3, que é primo, excluem-se todos os números de 3 em 3, isto é, os múltiplos de 3; a seguir excluem-se os múltiplos de 5, 7, etc. São números primos todos os não eliminados até ao final da Tábua.

Verifica-se (o que facilita a construção das Tábuas) que, depois de eliminar os múltiplos do número primo n e de todos os anteriores, os números não eliminados e infr;:riores a n2 são primos. De facto não se poderia decompor qualquer número inferior a n2 num produto de factores primos, porque alguns dêstes teriam de ser inferiores a n, o que não é possível, em vista de todos os seus múltiplos já estarem excluídos.

(1) Eratostenes- matemático, astrónomo e filósofo grego, que morreu em 196 antes de Cristo. Eratostenes determinou uma medida do meridiano terrestre, muito aproximada das actuais.

6


A tábua que apresentamos contém os números primos até 997.

li 2

I 3

5

I I

! I I

7 I

11

1:3

17

19

23

29

31

37

41

43

47

5.3

59

61

79 191 311 4.39

8.3 193 313 4-!3

89 197 317 4-!9

97 199 331 4.57

101 211 .337 461

103 223 347 -!63

107 227 3-!9 467

109 229 3.53 -!79

113 233 3.59 487

127 239 367 491 I

131 241 I 373 -!99

1:37 2.51 379 503

139 2.57 383 509

149 263 389 521

151 269 397 523

1.57 271 401 541

163 277 409 547

577

.587

.59.3

.599

I 601

607

613

617

619

6.11

6-ll

6-!3

6-!7

653

659

661

673

7 09

71 9

27

33

39

-!3

51

57

7

7,

T

7

7

7

76

76

77

78

79

80

81

82

82

9

.3

7

7

9

.3

- -167 281 419 2151 677 827

8.57 li 859

11 863

877

I 81ll

88:3 I I 887 I

907

911

919

929

937

9-ll

9-!7

953

967

971

977

98.3

11

6771 17.3 283 421 .563 68.3 829

179 293 431 569 691 I 839 991

1173 ==18=1===3=07====43=3===5=71===7=0=1==1==853 99711

91. Para reconhecer se um número N é primo, procura-se ver em primeiro lugar se se encontra ou não

SEGUNDA PARTE 83

na Tábua que haja à mão. Se o número dado é superior ao maior da Tábua, deverá dividir-se sucessivamente pelos números primos, 2, 3, 5 ... ; se nenhuma das divisões é exacta, o número é pr.imo.

92. Do que atrás foi dito deduz-se claramente a possibilidade de concluir que um número N é primo, quando se fizerem com resto tôdas as divisões até ao divisor primo p e fôr

ou ainda, atendendo a que neste caso será também

N p<p,

quando se obtiver um quociente menor que o divisor.

Determinação de todos os divisores de um número

93. A totalidade dos divisores de um número obté1.11-se fàcilmente desde que o número esteja decomposto em factores primos. Temos imediatamente os divisores primos e suas potências, caso as haja; os restantes serão os produtos daqueles formando-se tôdas as combinações possíveis.

Para determinar pràticamente os divisores, sem faltar nenhum, procede-se como no seguinte exemplo. Seja o número 1200 = 24 X 3 X 52 e considere-se o quadro

1 2 4 8 16 1 3 1 5 25,


formado pelos divisores primos e as suas potências, acrescentando a unidade em cada linha.

Obtêm-se todos os divisores, multiplicando os números da primeira linha pelos números da segunda, depois o resultado pela terceira (e assim por diante, se houvesse mais linhas).

São êles:

1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 5 10 20 40 80 15 30 60 120 240

25 50 100 200 400 75 150 300 600 1200

Êste cálculo mostra imediatamente que o número dos divisores de

é igual a (p + l)X(q+ l)X(r+ l)X ...

Números primos entre si

94. Dois ou mais números dizem-se primos entre si se não admitem outro divisor comum senão a unidade. Para o caso de mais de dois números poderá distinguir-se se são ou não primos dois a dois. Exemplo : 4, 21 e 25 são primos entre si e primos dois a dois: 9, 15 e 35 são primos entre si, mas não primos dois a dois.

Teorema

95. Se dois números não são primos entre si, têm um divisor primo comum, porque, admitindo um divisor diferente da unidade, êle será primo ou decomponível em factores primos.

SEGUNDA PARTE 85

Teorema

96. Um número que é primo com os factores dum produto é primo com o produto. Se o número dado e o produto não forem primos entre si, admitiriam um divi· sor primo comum, que (85) teria de dividir um dos factores, contra o que se supôs.

Teorema (reciproco do anterior)

97. Se um mímero é primo com um produto, é primo com cada um dos factores, porque, caso contrário, haveria um divisor comum ao número dado e a um dos factores, evidentemente também divisor do produto.

Teorema

98. Se dois números são primos entre si; também o serão as suas potências. Se assim não fôsse, as potências teriam um divisor primo comum que (86) também diviria as bases, contra a hipótese.

Teorema

·99. Um ntímero que divide um produto de dois j actores e é primo com um deles, dividirá o outro.

Se um número a divide um produto

bXc,

os factores primos de a encontram-se todos em b X c cada um, pelo menos, em número igual (89) •

. Se a é primo, por exemplo, com b, a e b não poderão ter factores primos comuns; todos os factores primos de a se encontrarão pois em c, isto é, a dividirá c.


Teorema

100. Se um mímero é divisível por diversos números primos entre si dois a dois, é divisível pelo seu produto.

Seja o número n divisível por vários números a, b e c. Se a, b e c são primos entre si dois a dois, os seus

factores primos são distintos uns dos outros ; encontram-se porém, todos em n, cada um, pelo menos, em número iguaL Logo IZ é divisível por a X b X c.

Outra demonstração baseada imediatamente no teorema anterior:

Se n é divisível por a, será

n=axq

Como b divide o produto n e é primo com a, deve dividir q. Logo

n = a X b X q' =(a X b) X q'

Como c divide n e é primo com a e b e portanto com a X b, deve dividir q', e portanto

n=(aXbXc)Xq"

101. Êste teorema permite formular novos critérios de divisibilidade.

Exemplo : Um número será divisível por 45 = 9 X 5, se terminar em O ou 5, e a soma dos seus algarismos fôr divisível pqr 9.

EXERCÍCIOS

56- Verificar se os ntímeros 821, 2137, 1637 e 2181 silo primos.

57- Determinar todos os divisores de 7 -tO e -!08.

58- Determinar o número de divisores de 2-!00, 7840 e 1560. R. 36,36,32.

SEGUNDA PARTE 87

59~ Dois n-úmeros consecutivos são sempre primos entre si.

60 ~Se a soma de dois números é um número primo, os dois mímeros são primos entre si.

R. Porque, se não fôssem primos entre si, teriam um divisor comum diferente da unidade, que seria também divisor da soma.

61 ~~Se a diferença de dois números é um n-úmero primo, os dois números são primos entre si?

62 ~Verificar pela decomposição em factores primos se os números 2-:!20 e 1 ~~ silo quadrados perfeitos.

R. Os números silo qnadrados perfeitos se todos os expoentes dos factores primos forem pares.

14-± = 24 >< 32 = (22 x 3)3 (é quadrado perfeito). 2~20 = 23 X 5 x 112 (mio é quadrado perfeito).

63-- <'.Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar 1.50 para que se transforme num quadrado perfeito?

I~. 2 >< 3 = 6.

64 -·-Dizer quais os critérios de divisibilidade por 12, 1.5, 18 e 24.

65-- Determinar o menor número que admite 30 divisores. R. Decompõe-se 30 em factores de tõdas as formas possíveis.

30 X 1 IS>< 2 10 >< 3 6 >< .5 .5 >< 3 X 2

e formam-se os produtos dos menores números primos com expoentes iguais àqueles factores diminuídos de uma unidade.

220 214 X 3 29 X 32 25 >< 34 24 X 32 X .5

O menor dêstes produtos 24 X 32 X .5 = í20 será o número procurado. A solução corresponde muitas vezes ao maior número de factores em qne se pode decompor o número dado dos divisores, atribuindo-se em seguida os maiores expoentes aos menores mímeros primos.

Se o número dos divisores é um número primo p, o menor número que admite p divisores é 2P-l.

CAPÍTULO III

MÁXIMO DIVISOR COMUM E MENOR MÚLTIPLO COMUM

Sua determinação pela decomposição factorial

102. Se dois ou mais números não sào primos entre si, admitem divisores comuns diferentes da unidade. Entre estes, evidentemente em número limitado, havení um maior que todos os outros:- clurma-se o máximo divisor comum.

103. Se um número dado é divisor de dois ou mais números, será êle o m"áximo divisor de todos; claramente que um número nào poderá ter um divisor que o exceda.

O máximo divisor comum de númercs yrimos entre si é igual à unidade.

104. Se diversos números estão decompostos em factores primos, é fácil a determinação do seu máximo divisor comum. Êste será o produto de todos os factores comuns, isto é, o produto dos factores primos comuns com o menor expoente.

SEGUNDA PARTE -------------- -------

Exemplo:

Determinar o m. d. c. de 120, 60 e 84

120160! 84 ~

60 ! 30 42 2 --j·--- --~ ~--

30 i 15 21 I 3 --~i--~ ~--1--~

10 i s 7 I

O m. c. é igual a 22 X3.

Teorema

89

105. Todos os divisores comuns de dois ou mais números são divisores do seu máximo divisor comum, isto é, o m. d. c. de dois ou mais números contém todos os seus divisores comuns.

Porque qualquer divisor (ou factor) comum dos números dados entra necessàriamente como factor na formação do m. d. c.

Teorema

106. Multiplicando diversos mímeros por umfactor, o seu m. d. c. vem multiplicado por êsse factor. Sejam a, b e c os números dados e d o seu m. d. c.

Se d é o produto de todos os factores comuns a a, b e c, é evidente que d X n será o produto de todos os factores comuns a aXn, bXn e c n e, portanto, o seu m. d. c.


Teorema

107. Dividindo dois ou mais números por um divisor, o seu m. d. c. vem dividido pelo mesmo divisor.

É conseqüência imediata do teorema anterior.

Corolário

l 08. Dividindo dois ou mais números pelo seu m. d. c., os quocientes são primos entre si.

Teorema

109. O maxtnw divisor comum de muitos números fica o mesmo substituindo dois quaisquer pelo seu m. d. c.

Sejam a, b, c e d os números dados e D o m. d. c., por exemplo, de a e b.

O m. d. c. de a, b, c e d é igual ao m. d. c. de D, c e d, porque todos os divisores comuns de a e b estão contidos em D (105).

t 10. Como é evidente, o produto de dois ou mais números é um múltiplo comum dêsses números; podem obter-se mais múltiplos comuns, tantos quantos se quiser, multiplicando aquêle produto por um número qualquer.

Há pois múltiplos comuns de dois ou mais números maiores que o seu produto ; não poderá, porém, afirmar-se que existam alguns menores. Mas, caso afirmativo, como serão em número limitado, haverá um menor que todos os outros:- será o menor múltiplo comam.

SEGUNDA PARTE 91

111. O menor múltiplo comum de vários números, isto é, o menor número que é divisível simultâneamente por êsses números, determina-se com facilidade quando os números estão decompostos em factores primos.

Um múltiplo comum de diversos números deverá conter todos os factores primos de cada um dos números, cada factor pelo menos em número igual, ou por outra cada um pelo menos com expoente igual. O menor múltiplo comum deverá conkr também todos os factores primos; o seu número, porém, deverá ser somente o necessário para satisfazer a condição de divisibilidade. Podemos considerar dois casos :

1) Os números são primos entre si dois a dois. Não haverá neste caso factores primos comuns; o m. m. c. será então o produto de todos os factores primos com os seus respectivos expoentes, quer dizer o produto dos números dados.

2) Os números não são primos entre si dois a dois. I-Ia verá então factores primos comuns; estes não deverão repetir-se na formação dom. m. c., bastando tomar aquêles que tiverem maior expoente. Os factores primos não comuns entrarão todos no m. m. c.

Resumindo: O menor nuíltiplo comum de dois ou mais mímeros

será o produto dos factores primos não comuns com os respectivos expoentes e dos factores primos comuns (1) com os maiores expoentes.

(1) A lodos os números ou não.


Exemplo:

Determinar o m. m. c. de 48, 50 e 420

48 50 1420. 2 --------24 25,210 2 --------

12 105, 2 ______ I __

6 2

3 3

1 = 351 5 5 7 5

--1 -j-7

-~--~1-

O m. m. c. é igual a 21 X 3 X 52 X 7

Teorema

112. Todos os múltiplos comuns de dois ou mais números são múltiplos do seu menor múltiplo comum.

Considerando o produto dos factores primos que formam o m. m. c., é evidente que qualquer outro múltiplo comum somente poderá obter-se introduzindo um ou mais factores primos no produto, isto é, multiplicando o m. m. c. por um número qualquer.

Teorema

113. !vtultiplicando o máximo divisor comum de dois nâmeros pelo seu menor nuUtiplo comum, obtém-se o pro· duto dos números.

SEGUNDA PARTE

Com efeito, visto que o m. d. c. é o produto dos factores primos comuns com o menor expoente, e o m. m. c. o produto de todos os comuns com o maior expoente e todos os não comuns, deduz-se que os factores utilizados na formação do m. d. c. são os únicos que não se incluem no m. m. c.; o seu produto é pois o produto dos números.

Corolário

114. Dividindo o produto de dois mímeros pelo seu máximo divisor conuun, obtém-se o menor múltiplo comum, ou, dividindo o produto de dois números pelo seu m. m. c., obtém-se o m. d. c.

Teorema

115. O menor múltiplo comum de muitos nlimeros fica o mesmo substituindo dois quaisquer pelo seu m. m. c.

Sejam a, b, c e d os números dados e M. o m. m. c. de a e b.

O m. m. c. de a, b, c e d é igual ao m. m. c. de M, ·C e d porque todos os múltiplos comuns de a e b são também múltiplos comuns de M (112).

Método das divisões sucessivas ou Algoritmo de Euclides

116. Considerem-se dois números a e b. Se a é divisível por b, será b o m. d. c. Se a não fôr divisível por b, teremos, designando por r o resto da divisão,


Como todos os divisores comuns de b e r são divisores de a (62), e portanto divisores comuns de a e b, o máximo divisor comum de a e b será também o de b e r.

Se b não fôr divisível por r, teremos também

b =r+ r',

sendo r' o resto da divisão. Da mesma forma o m. d. c. de b e r será o m. d. c. de r e r'.

Continuando a proceder dêste modo, e visto que os restos vão sempre diminuindo, encontraremos certamente um igual a zero; o máximo divisor comum será o último divisor, ou, o que é o mesmo, o penúltimo resto. Se o m. d. c. é igual à unidade, os números são primos entre si.

Êste processo, que permite determinar o m. d. c. de dois números sem recorrer à decomposição em factores primos, já foi estudado por Euclides nos seus Elementos, circunstância que justifica o nome por que é conhecido: algoritmo de Euclides (1).

117. O menor múltiplo comum de dois números poderá também obter-se sem recorrer à decomposição factorial. Bastará dividir o produto dos números pelo seu m. d. c., calculado pelo método das divisões sucessivas (114).

(l) Euclides, geómetra grego, que morreu no ano de 286 antes de Cristo. A sua principal e mais conhecida obra é o livro denominado «Elementos», ainda hoje adoptado em muitas escolas como compêndio de geometria. Algumas das suas obras (Secções cónicas, etc.) perderam-se.

SEGUNDA PARTE 95

118. Conhecido o m. d. c. de dois números, determina-se o m. d. c. de muitos pela aplicação sucessiva do teorema do n.0 109. De forma semelhante para o cálculo do m. m. c. de muitos números (115).

119. Nota: o teorema do 11.0 99 poderia ser demonstrado com fundamento na teoria do máximo divisor comum.

Se a é primo com o factor b do produto b X c, será igual à unidade o seu m. d. c. E se assim é, o m. d. c. dos números

a c e bXc

será igual a c (106). Como a divide a X c e também por hipótese divide

b X c deverá dividir o seu m. d. c.: c (105).

EXERCÍCIOS

66- Sendo dados o produto de dois números 768, e o seu máximo divisor comum 8, determinar os números .

.R. Decompondo 768 e 8 em factores primos.

resultam imediatamente duas soluções

1." 2."

23=8 25=32

25x 3=96 23 X .3= 2-!.

67- Sendo dados o produto de dois números 8400, e o seu menor múltiplo comum 420, determinar os números.

R. Como o m. d. c. é igual a 8400: 420, fica-se reduzido ao caso anterior.


68- Sendo dados o m. d. c. c±O e o m. 111. c. 480, de dois números, determinar êsses números.

R. Como o produto dos números é igual a 40 X 480, fica-se reduzido aos casos anteriores.

69- Sendo dados a soma de dois números e o seu m. d. c., determinar os números.

R. SejaS a soma e Dom. d. c. Como todos os divisores de D são divisores dos números procurados e portanto da sua diferença, resulta imediatamento a soluç;io

D e S-D.

Pode haver mais soluções. Aplicar ao exemplo

S=20 D=4.

70- Se a, b e c são primos entre si, o m. d. c. de a e b X c é igual ao produto do m. d. c. de a e b pelo m. d. c. de a e c.

R. Se a, b e c são primos entre si dois a dois, o m. d. c. quer de a e b, quer de b e c, quer de a e b X c, é sempre igual à unidade.

Considere-se agora que a, b e c são primos entre si, não o sendo dois a dois. Designemos por: d o m. d. c. de a e b, d' o m. d. c. de a e c e por d" o m. d. c. de b e c.

Viria, sendo p, p' e p'' números primos entre si dois a dois.

a=d Xd' Xp (I) b=d Xd 11 Xp1

c~~ d 1 X d'' Xp 11

donde b X c=d X d1 X dl/2 X pi Xp 11

e, comparando com (l)

m. d. c. (a, bxc)=d ,1(d1•

71 -Se c é primo com b, o m. m. c. de c X a e b é igual ao produto de c pelo m. m. c. de a e b.

R. Se b e c são primos entre si, não tendo pois factores comuns; os factores cujo produto é igual a c terão de entrar todos na composição do m. m. c. de c x a e b.

SEGUNDA PARTE 97 ---

72 --·- Conhecend<J o m. m. c. de dois números e um deles, determinar o outro.

R. Decompondo os dados em factores primos, o mimem procurado e igual ao produto dos factores do desenvolvimento do m. m. c. que não são comuns ~o número dado. Exemplo: Seja 120 o 111. m. c. de dois números dos quais é conhecido um: 10. Será

l0=2x.5;

o outro número será 23x 3=2..Jc

73 Demonstrar que o m. d. c. de a e b é igual ao m. d. c. de b e b- r, sendo r o resto da divisão de a por b.

R Porque o m. d. c. de a e b é igual ao m. d. c. de b e r, e portanto també'm igual ao 111. d. c. de b e b- r. O conhecimento desta propriedade permite simplificar por vezes o cálculo do m. d. c. pelo algoritmo de Euclides.

74-Achar o menor número, que, dividido por qualquer dos números 8, 14, 6 e 10, dê sempre o resto 4.

R. Bastará adicionar 4 ao m. m. c. dos números dados.

75-Dividindo muitos números pelo seu m. d. c., os quocientes serão primos entre si.

~- Se os quocientes não fôssem primos entre si, teriam um divisor comum; o produto dêste pelo m. d. c. seria ainda divisor comum dos números dados, divisor maior que o m. d. c., o que é absurdo.

7

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 I

TERCEIRA PARTE

NÚMEROS FRACCIONÁRIOS

CAPÍTULO I

Primeira definição de números fraccionários (1)

120. Quando foi dada a noção do número inteiro, consideraram-se somente colecções de objectos, isto é, grandezas descontfnuas. Existe, porém, outra espécie de grandezas, as grandezas contínuas (segmentos de recta, áreas, volumes, etc.), e, se a estas grandezas quisessemos fazer corresponder números, seguindo um raciocínio semelhante, haveria que as imaginar descontínuas, constituídas por uma colecção de partes tôdas iguais a uma escolhida. Nem sempre é possível resolver êste problema, e,· portanto, nem sempre é possível fazer corresponder um número inteiro a uma grandeza contínua. Impõe-se assim a criação de um novo número que represente uma generalização da idea primitiva de número inteiro.

Os números que agora iremos introduzir no cálculo, denominados números fraccionários, fracções ou quebrados, resolvem sempre na prática o problema referido, pois que haverá a ter em conta a imperfeição dos nossos sentidos e a dos instrumentos de medida. Dêles se dará

(1) J. Tannery, Aritmétique.


primeiramente uma definição abstracta, sem nos referirmos a qualquer espécie de grandezas e partindo unicamente da noção já adquirida de número Uma vez definidos os novos números, as suas operações e estabelecidas as suas principais propriedades uum domínio formal, estudaremos o seu significado concreto em correspondência com as grandezas contínuas.

Definição

121. Chama-se fracção a um conjunto de dois números inteiros a e b que desempenham funções diferentes.

Designa-se o novo número pela notação

a é o numerador, b é o denominador; o numerador e o denominador são os termos da fracção.

Supõe-se o denominador sempre diferente de zero

(1) A actual notação de fracções, os dois termos separados por um traço horizontal, aparece pela primeira vez num livro de AI Hassar, árabe espanhol que viveu no século XII.

Os egípcios empregavam o sinal = sôbre o denominador. Alguns gregos, como Herão de Alexandria, escreviam os dois"

termos a seguir afectando o numerador de um acento; outros, como Diophanto, colocavam o denominador sôbre o numerador. Os Bizantinos escreviam o denominador como expoente. Os índios e alguns árabes colocavam o numerador sôbre o denominador, mas não usavam traço. Depois de AI Hassar o traço horizontal foi usado por Leonardo de Pisa e outros autores, mas o seu uso só se generalizou no século XVI.

TERCEIRA PARTE lül

Criado êste novo número que, como se vê, corresponde a um par de números inteiros e é por êles constituído e determinado, estabeleçamos as suas propriedades e fixemos as suas operações.

122. Por definição

a T=a,

isto é, um nümero inteiro considera-se um caso particular das fracções, o caso em que o denominador é igual à unidade.

Igualdade de fracções

1 ')3 D , a c d . . . _ • a as 1 r acções 7i e d tzem-se tgaazs quan-

do fôr aXd=bXc

124. Como não podia deixar de ser, (doutro modo haveria que estabelecer outra definição de igualdade) para o caso particular de b = d = 1, vem

aXl=bXl ou

a=b

125. Para apreciar a justeza da definição haverá também que verificar se, adoptando-a, ainda se mantém o axioma: duas fracções iguais a uma terceira são iguais entre si.


Sejam a c a' c b d e b' d

Pela definição, vem

a Xd=b Xc a'Xd=b'Xc

e multiplicando em cruz

a X dXb'Xc = b X c X a' X d, donde

aXb''=bXa' ou

a a' b b'

126. Da igualdade

OXl=OXb deduz-se que

o o b 1

o E, como T = O, concluímos que tôdas as fracções

cujo numerador é nulo têm o valor zero.

Teorema

127. Multiplicando ou dividindo ambos os termos duma fracção por um número, obtém-se uma fracção igual.

TERCEIRA PARTE 103

Seja : a fracção dada; multiplicando ambos os ter

mos pelo nümero c, virá :

axc bXc

, . l a que e tgua a b por ser:

a X (b X c)= b X (a X c)

Deduz-se pois que

e evidentemente

a aXc b bXc

(a X c): c a (b X c): c = 7i

Uma determinada fracção pode pois apresentar-se sob inúmeras formas.

128. Esta importante propriedade permite por vezes simpLificar uma fracção, dividindo os dois termos por um divisor comum.

Se a e b sào primos entre si, a fracção : não pode

ser simplificada; diz-se irredutível ou que está reduzida à sua expressão mais simples.

Dividindo ambos os termos duma fracção não irre-

104 ARITMÉTICA RACIONAL ---

dutível pelo seu m. d. c., ela ficará reduzida à sua expressão mais simples, pois os quocientes da divisào pelo m. d. c. sào números primos entre si.

129. Se os dois termos duma fracção são iguais, a fracção é igual à unidade. Pois que

e o valor desta fracção se conserva multiplicando ambos os termos por um número a, resulta

ou

1Xa=l 1Xa

E_= 1 a

130. Se o numerador é divisivel pelo denominador, a fracção representa o seu quociente exacto.

Com efeito, dada a fracção ~, se a é divisível por

b, isto é, se

a=bXq

sendo q o seu quociente, teremos:

TERCEIRA PARTE 105

e, dividindo ambos os termos por b,

bXq q ---=-=q

b 1

131. Como, dada a fracção

i =q,

nào é alterado o seu valor, multiplicando ambos os termos por um número qualquer n, temos:

o que quere dizer que um número inteiro pode ser representado por uma fracção de inúmeras fprmas, sendo sempre, é claro, o numerador divisível pelo denominador.

Redução ao mesmo denominador

· 132. Dadas duas ou mais fracções, multiplicando ambos os termos de cada fracção por factores convenientes, podemos obter fracções respectivamente iguais com o mesmo denominador.

Bastará tomar um múltiplo comum dos denominadores das fracções dadas e multiplicar os termos de cada uma pelo quociente da divisão dêsse múltiplo pelo respectivo denominador. Sejam as fracções

a b

a'

b' a'' b''


e m um múltiplo comum dos denominadores. Considerem-se os quocientes

será

ln -=q b

m=bXq

ln y=q'

m=b'Xq'

m_ "· fli-q'

m = b'' X q''

Multiplicando os termos da primeira fracção por q, os da segunda por q' e os da terceira por q'', as fracções dadas são respectivamente iguais a

aXq a'Xq' a" X q" b;:<_q b'Xq' b'Xq''

ou aXq a'Xq' a''Xq''

lll ln ln

133. Como um dos múltiplos comuns dos denominadores é o seu produto, as fracções reduzidas ao mesmo denominador são neste caso:

aXb'Xb'' bXb'Xb"

a'XbXb'' bXb'Xb''

a"XbXb' bXb'Xb''

134. Pode utilizar-se também o menor múltiplo comum. Não haverá então fracções mais simples com o mesmo denominador, caso se tenha partido de fracções irredutíveis, dir-se-á que estão reduzidas ao menor denominador comum.

TERCEIRA PARTE 107

135. Tudo o que se acaba de dizer com referência à redução ao mesmo denominador se aplicará imediatamente ao problema da redução ao mesmo numerador. Tomar-se-á um múltiplo comum dos numeradores, etc.

Desigualdade de fracções

136. Dadas duas fracções : e ~· diz-se que

se fôr

!!__>!__ b d

I

137. Aplicando a definição às fracções : e ;,, dire-

mos que

se fôr

ou

a a' ->b b

aXb>a'Xb

a> a'

Se duas fracções têm o mesmo denominador, a maior será a que tem maior numerador.

a b 138. Consideremos agora as fracções li e fi· Pois

que têm o mesmo denominador, será

se fôr


Como {- = 1, concluiremos:

Uma fracção numerador é maior o denomi-nador representa um mimero superior à unidade.

Do mesmo modo será

se fôr

ou _(l_ < 1 b

As fracções cujo numerador é menor que o denominador representam um mímero ln,cerior à unidade.

Chamam-se próprias ou impróprias as fracções respectivamente menores ou maiores que a unidade.

OPERAÇÕES SÔBRE FRACÇÕES

139. Passemos a definir as operações sôbre fracções. Como os números inteiros representam um caso particular dos números fraccionários, as definições das operações dêstes últimos, para serem justas, deverão conter também como casos particulares as das operações sôbre os números inteiros. É o que se reconhece fàcilmente na exposição que se segne, tomando os denominadores iguais à unidade.

Adição

140. A soma de fracções com o mesmo denominador (se o não tem, reduzem-se) é uma fracção com

TERCEIRA PARTE 109

o mesmo denominador cujo numerador é a soma dos numeradores:

141. Como se vê, a adição de fracções reduz-se à adição dos numeradores, e portanto à adição de números inteiros. Resulta imediatamente que são válidas as propriedades comutativa e assoCiativa, e que o módulo é zero.

Já não é evidente, porém, que a operação seja uniforme: será necessário demonstrar que, qualquer que seja a forma das parcelas, o resultado da adição é sempre o mesmo.

Consideremos as fracções

a' A' a'' A" -b B b B

e demonstremos que:

a --1--- a'+ a" A .L A' + A 11

-----b B

a a' a'' Suponhamos que as fracções 7i' 7i e 7i estão redu-

zidas ao menor denominador comum. Como os múlti plos comuns de diversos números são múltiplos do seu m. m. c., virá

B=nXb


e, visto que as fracções dadas são respectivamente iguais, cada uma a cada uma, virá também:

A=nXa A'=nXa' A''=nXa''

Teremos assim:

A+ A'+ A" nXa+nXa'+n><a" -

B nXb _ n X (a+ a'+ a'')_ a+ a'+ a'' - nXb - b

Subtracção

142. A diferença de fracções com o mesmo denominador é uma fracção com o mesmo denominador, cujo numerador é a diferença dos numeradores:

a a' a-a'

A subtracção de fracções reduz-se também à subtracção de números inteiros, representando igualmente a operação inversa da adição.

Todos os teoremas que se demonstraram relativamente à subtracção de números inteiros têm pois para a subtracção dos novos números aplicação imediata.

Multiplicação

143. O produto de duas ou mais fracções é uma fracção cujo numerador é o produto dos nume-

TERCEIRA PARTE 111

radares e cujo denominador é o produto dos denominadores:

a a' a'' axa'Xa'' 7iX7i'X7l'= bXb'Xb''

144. fácil será verificar que, com esta definição, se mantêm as propriedades características da multiplicação dos números inteiros.

Propriedade comutativa:

Propriedade associativa:

a (a' a'') a a'Xa" aXa1Xa" 7iX llX7l' =bXb'Xb"= bXb'Xb"=

a a' a'' =7;X7i'Xll'

.Propriedade distributiva:

(!!_+~)X~= a+ a' X~= (a +a) X c= b b d b d bXd

=aXc+a'Xc=aXc +a'Xc=__t!_X~+~X~ bXd bXd bXd b d b d

O módulo é a unidade:

112 ARITMÉTICA RACIONAL ---------------- ~-~--~------·

A operação é uniforme. O resultado da muHiplicaçào é sempre o mesmo qualquer que seja a forma que tenham os factores.

Consideremos as fracções:

a A -

b B e

e demonstremos que

aXa' AXA' ---

bXb' BXB'

Da igualdade das fracções resulta

aXB=bXA a' X B' = b'/;: A'

donde, multiplicando membro a membro,

a X B X a' X B' = b X A X b' X A' ou

(aXa')X (BXB') =(bXb')X{A X A'),

que é a condição de igualdade das fracções

aXa' AXA' -bXb' e BXB'

145. Casos particulares.

TERCEIRA PARTE 113

Para multiplicar uma fracção por um inteiro, ou um inteiro por uma fracção, multiplica-se o numerador da fracção pelo inteiro.

2) Seja b=cXd. Teremos

. a a axc axc a cX7i=7iXc=- b -= cXd- d

Para multiplicar uma fracção por um inteiro, ou um inteiro por uma fracção, divide-se, caso seja possível, o denominador pelo inteiro.

3) -~Xb = aXb =-~=a b b 1

A1ultiplicando uma fracção pelo seu denominador, obtém-se o numerador.

146. Da igualdade

a -Xb=a b

deduz-se imediatamente que : representa o quociente

exacto da divisão de a por b:

pois : é o número, que, multiplicado pelo divisor b,

conduz a um produto igual ao dividendo a.

8


Com a introdução dos números fraccionários a divisão torna-se pois sempre uma operação simples, ainda que o dividendo não seja divisível pelo divisor: o quociente da divisão de dois números é uma fracção cujo numerador é o dividendo e cujo denominador é o divisor. Êste resultado, da maior importância, só por si justificaria a definição dos novos números.

147. Se a fracção : é imprópria, poderá ainda o

quociente exacto que ela representa exprimir-se por uma outra forma.

Efectuando a divisão de a por b, e designando por q e r respectivamente o quociente e o resto, será:

donde

Uma fracção imprópria : pode pois decompor-se

numa soma de duas parcelas: uma o quociente inteiro ou parte inteira do quociente, outra uma fracção própria com o mesmo denominador, cujo numerador é o resto da divisão de a por b.

A esta decomposição dá-se o nome de extracção dos

inteiros. A soma q + ~ constitue o quociente completo da

divisão de a por b, estando posta em evidência a sua parte inteira. Por ser a soma de um número inteiro e duma fracção diz-se um número mixto.

TERCEIRA PARTE 115

Divisão

148. O quociente de duas fracções é um número, que, multiplicado pela fracção divisor, dá um resultado igual ao dividendo.

Para dividir fracções multiplica-se a fracção dividendo pela fracção divisor com os termos invertidos.

pois que a.Xb' a' a Xb'X a' a bXa'X b' = bX a'Xb'=b

A divisão de fracções é pois em todos os casos uma divisão exacta, e sempre a operação inversa da multiplicação. Assim os teoremas que enunciámos relativamente à divisão de números inteiros (os que interessam) aplicam-se imediatamente à divisão de fracções.

149. Casos particulares

Para dividir uma fracção por um inteiro, multiplica-se o denominador pelo inteiro.

2) Seja a=cXd.

Teremos a. a cXd d

- C'----=--=-b' bXc bXc b

llti ARITMÉTICA RACIONAL

Para dividir uma fracção por um inteiro, divide-se~ caso seja possível, o numerador pelo inteiro.

Significado da multiplicação de fracções

150. Dissemos, por definição, que

axa' É fácil verificar que o produto b X 7} se forma do

multiplicando como o multiplicador se forma da unidade, conforme também já foi dito na multiplicação de números inteiros.

1 · b' X a'= _!_X a'= a' (1) . b' b'

!!_ • b'X a'= ___ a __ X a'= a~_t!_' b. bXb' bXb'

Assim a regra dada para a multiplicação de fracções está de acôrdo com a definição já conhecida de produto de dois números, definição que agora se reconhece ser mais geral que a que considera o produto como uma soma de parcelas iguais. Esta só seria aplicável no caso de o multiplicador ser um número inteiro, como por exemplo~

(1) Dispensamos o parêntesis em (I : b') X at porque- se supõe executarem-se as operações dos monómios pela ordem em que estão indicadas, da esquerda para a direita.

TERCEIRA PARTE 117

Potenciação

151. A potência de expoente n duma fracção é um produto de n factores iguais, e pode calcular-se elevando ambos os termos da fracção ao mesmo expoente.

Teorema

152. A potência duma fracção irredutfvel é também uma fracção irredutivel.

Porque, se a fracção dada é irredutível, os seus termos são primos entre si, e do mesmo modo as suas potências (98).

Corolário

153. Se uma fracção não representa um número inteiro, tambim nâo será um inteiro qualquer das suas potências.

· Reduzindo a fracção dada à sua expressão mais simples, o denominador não poderá ser a unidade; assim qualquer das suas potências será uma fracção irredutível com o denominador diferente da unidade, isto é, não poderá representar um número inteiro.

Radiciação

154. A radiciação de fracções é também a operação inversa da potenciação.

A raiz de índice n duma fracção é um número, que,


elevado à potência n, é igual à fracção dada. Calcula-se extraindo as raízes do mesmo índice aos dois termos da fracção.

Por definição, é

será então

porque

n n

v~ =:a {b

a b

"CAPÍTULO I I

Segunda e terceira definições de números fraccioná rios

APLICAÇÃO DAS FRACÇÕES À MEUIÇÃO DAS GRANDEZAS CONTÍNUAS

155. Consideremos um segmento de recta A B, a mais simples das grandezas contínuas. Se o imaginarmos descontínuo, e constituído por uma colecção ou conjunto de segmentos iguais entre si e a um outro a b, poderemos fazer-lhe corresponder um número inteiro.

A ~---------L--------~~------~~

No caso da figura o segmento A B pode decompor-se em 3 outros iguais a a b; dir-se-á que o segmento A B contém 3 vezes o segmento a b, ou é igual a 3 vezes o segmento a b. Se chamarmos a a b a unidade de comprimento, diremos que A B tem 3 unidades, ou que a medida do segmento A B é igual a 3.


156. A medição duma grandeza resulta pois da sua comparação com outra tomada para unidade; exprime-se por um número que indica quantas vezes a unidade é contida na grandeza a medir.

157. Como se compreende, nem sempre será possível que um segmento dado se possa dividir em partes iguais a uma unidade previamente escolhida. Sejam, por exemplo, os segmentos C D e c d, êste tomado para unidade.

A unidade c d não é neste caso contida exactamente no segmento C D; o resultado da medição C D não pode pois ser um número inteiro.

158. Para a medição de determinadas grandezas haverá assim que recorrer a uma nova espécie de números, pois se revela insuficiente a noção de número inteiro.

Procedamos da seguinte forma: Se a unidade não é contida exactamente no segmento

C D, dividimo-la em partes iguais e consideramos uma dessas partes como uma nova unidade. Aumentando suficientemente o número de partes em que se divide a primitiva unidade, poderemos sempre na prática (I) encon-

(I) Pode conceber-se que, por maior que seja o número de partes em que se divide a unidade, isto é, por menor que seja a parte que se toma da unidade, não possa encontrar-se uma que meça exactamente a

TERCEIRA. PARTE 121

trar uma bastante pequena que se contenha exactamente em C D. Teremos assim o problema resolvido.

159. Para determinação do novo número, fracção ou mimero fraccionário, que mede o comprimento do segmento C D, serão assim necessários dois números inteiros que desempenham funções diferentes, os termos da fracção:

1) O denominador, que indica o número de partes em que se divide a unidade.

2) O numerador, que indica o número de partes que se toma da unidade.

No nosso exemplo, se dividirmos o segmento unidade em 4 partes iguais, verifica-se que a quarta parte da unidade mede exactamente o segmento dado

c I ' •• I • I I I I • l I ! I I I I I • I I I J)

. C I t ' s 'd

O comprimento do segmento C D é pois igual a 22 quartas partes da unidade

22 4'

grandeza dada. A geometria dá-nos exemplos destas grandezas que chamaremos incomensuráveis com a unidade; àquelas cuja medida pode ser expressa por um número inteiro ou fraccionário, chamaremos comensuráveis.


160. No caso (155) em que a unidade escolhida se contém exactamente no segmento A B a medir, não haverá que a dividir em partes iguais; equivale a dizer que o denominador é 1. Será :

3 T=3.

161 D d t C D . d"d ' 22 . a o o segmen o , cuJa me 1 a e 4 , se

dividirmos a unidade em 4 X 2 = 8 partes iguais, o número das novas partes da unidade (oitavos) que constitue o segmento C D será evidentemente 22 >< 2 = 44, quer dizer as fracções

22 4

e 22X2 44 4X2 8

são iguais porque medem o mesmo segmento.

16Z. De igual maneira, se dividirmos a unidade em 4 X n partes iguais, o número das novas partes que formam o segmento será 22Xn, concluindo-se que é

22 22 X n 4= 4xn·

O valor duma fracção não se altera quando se multiplicam os seus termos pelo mesmo número.

163. As fracções

a aXd -

b bXd e

c d

cXb dXb

TERCEIRA PARTE 123 ---------------"--------

são iguais, se fôr

aXd=cXb (condição de igualdade)

Decorreria a noção de desigualdade, a redução ao mesmo denominador, etc ...

Operações sôbre fracções

Adição e subtracção

164. Se as fracções que medem (com a mesma unidade) determinadas grandezas, estão reduzidas ao mesmo denominador, a sua soma reduz-se à soma dos numeradores e portanto à de números inteiros. Evidentemente que, por estarem reduzidas ao mesmo denominador, os seus numeradores representam colecções de unidades idênticas, partes aliquotas da primitiva unidade.

Do mesmo modo para a subtracção, operação inversa da adição.

Multiplicação e divisão

· 165. Se o multiplicador é um número inteiro, é clara a significação do produto: uma soma de parcelas iguais ao multiplicando. Multiplica-se pois o numerador pelo inteiro.

A divisão por um inteiro será a operação inversa. Para dividir uma fracção por um inteiro multiplica-se o denominador pelo inteiro, ou, se fôr possível, divide-se por êste o numerador:

a axn a bXnXn=bxn=b

a: n a:nXn a -b-Xn= b =li

124 ARITMÉTICA RACIONAL ---

No caso do multiplicador ser uma fracção, já dissemos que só é aplicável a definição: o produto forma-se do multiplicando como o multiplicador se forma da unidade.

Assim

4Xl 5

significará as três quintas partes de 4, pois que o multiplicador representa os três quintos da unidade. E, como

para obter ~ se divide a unidade em 5 partes iguais e

se tomam 3

para obter o produto

1 3 -X3=-• 5 5

4Xl . 5

se dividirá em 5 partes iguais ( 4: 5 = :) e se tomarão

3 partes

±x3 = 4X3. 5 5

166. Do mesmo modo o produto

±x~ 3 7

significará as duas sétimas partes de ~

4 2 _ 4. _ 4 v _4X2 3X7-3· 7 X 2 -3X7/'-, 2-37

TERCEIRA PARTE 125 ----------------------

Potenciação e Radiciação

167. Nada haverá a acrescentar quanto à potenciação, que é um caso particular da multiplicação, e à radiciaçào, sua operação inversa.

Terceira definição de fracções

168. Acabamos de ver que a medição de determinadas grandezas contínuas nos conduziu exactamente à criação dos números fraccionários, tais como tinham sido definidos duma forma abstracta, independente de qualquer outra noção que não fôsse a do número inteiro. Mas as fracções podem ainda introduzir-se no cálculo de um outro modo, partindo da sua fundamental aplicação --a representação em todos os casos do quociente exacto de dois números inteiros.

Definição

_169. Chama-se fracção ou mímero fraccionário um número que se designa pela notação

a li'

sendo a e b dois números inteiros (b=/= o), que satisfaz à relação

a '-/b-7i .r--, -a


170. Desta definição resulta imediatamente, atendendo à definição de divisão

171. Pois que

será

172. Se

será

a "b 7i=a.

~><l=a

a -=a 1

a: b =c,

a "b 7i=a. =c

Se a é divisível por b, a fracção representa um número inteiro.

173. De

vem, multiplicando por !l

donde a axn

-b bXn

TERCEIRA PARTE

Adição e Subtracção

174. Pois que

e

a:bXd=a+b,

resulta

175.

a+b_a+b ([-([--d-

Multiplicação e divisão

X !!__ X .b_cxa c b -c a. - b

a . . cxa b X c= a. b X c= c X a. b = -b-

: : d = a : b : d = a: (b X d} = b ;_ d

:X~=: Xc: d=a>;jc: d= :~~ a . c aXd aXdX c a b · d - b X c por ser b X c d = b

127

176. Os três aspectos que acabámos de estudar na definição de números fraccionários podem igualmente ser considerados na definição dos números irracionais,


negativos e imaginários, sucessivas generalizações da idea de número.

Pode partir-se: 1) de um ponto de vista puramente formal; 2) da necessidade de medir determinadas grandezas (grandezas incomensuráveis para os números irracionais, grandezas com dois sentidos opostos para os números negativos e grandezas vectoriais para os números imaginários); 3) da conveniência de fazer desaparecer casos de impossibilidade das operações (da subtracção para os números negativos e da extracção de raízes para os números irracionais e imaginários).

Como se viu para os números fraccionários, verificar-se-ia que em todos os novos números as operações gozariam das mesmas propriedades das operações dos números inteiros. É o princfpio da permanência das regras do cálculo ou de Hankel (1).

Os números inteiros podem considerar-se como casos particulares dos números fraccionários, estes como casos particulares dos números irracionais, etc. (2)

(1) Hermann Hankel (1839-1873), ·matemático alemão, autor de algumas obras sôbre história da matemática, números complexos, etc.

(~) Podemos tomar três atitudes (R. Poirier) tôdas concorrendo para a definição do número.

}.a Formalista- Pela criação axiomática de símbolos numéricos e imposição de princípios gerais. Essencialmente são os números abstractos.

2.• Intuicionista, ou melhor experimental ·-com fundamento na série natural deduzida dos conjuntos ou grupos e generalizada para outras espécies de grandezas. Teremos assim o número concreto, aplicação e ilustração do número abstracto.

3.a Operatória- Pela consideração dos números operatórios,. instrumentos do pensamento aritmético, combinados e confundidos com os números abstractos na técnica do cálculo.

TERCEIRA PARTE 129

EXERCÍCIOS

76-- ~Por que número se deverá multiplicar um número qualquer 3

A para o diminuir dos seus 5 ?

3 2 R. Bastará multiplicar A por 1 -5 = 5

77 -~Por que número se deverá dividir nm número A para o 3

dimimiir dos seus 7?

R. Bastará multiplicar A por *' o que equivale a dividir por I 2 3

78- Calcular um número wjos 5 dos 4 valem 12.

R. 40.

79- Dada uma sucessão de fracções iguais, obtém-se ainda um<F fracção igual tomando para numerador a soma dos numeradores e para denominador a soma dos denominadores.

R. Seja a sucessão

deduz-se

a'=b' Xq a 11 =b'1 Xq

.donde

a+ a1 + a"= (b + bJ + b") X q ou

a+ a'+ a 11

b+ b1 + b 11 =q

.80- t Que números se podem adicionar aos dois termos duma fracção sem lhe alterar o valor?

R. Deduz-se imediatamente do exercício anterior.

9

130 ARIT:'IlÉTlCA RACIONAL --~---- --------------------

81 -~Para que ;1 soma de duas fracções irredutíveis sej<l um número inteiro, é condição necessária que os seus denominadores sejam ii;u~is.

R. De

O li

deduz-se qne:

1) b divid<: d (porque é primo com a). 2) d diYide b (porque é primo com c).

Esta conclus<lo sômente é possível quando lôr b = d.

82 -- Se os denominadores de duas fracções irredutíveis são primos entre si, il soma das fracções é também uma fracção irredutível.

R. Considere-se a som<J

a+c ___ axd+bxc. 7i d--~bxd--.

se a x d + b >< c e b X d não fôssem primos entre si, admitiriam um divisor primo comum p; êste divisor, dividindo necessàriamente b ou d, por exemplo b, deverá dividir a parcela a X d do numerador. Não poderá, porém, p dividi.r a porque a e b são primos entre si (a fracção é irredutível); não poderá também dividir d porque b e d são por hipótese primos entre si; é pois absurdo supor que a x d + b x c e b X d n;1o são primos entre si.

83 --,:_A que condição devem satisfazer os termos de duas fracções irredutíveis para que o seu produto seja também uma fracção irredutível?

R.

Se a x c e b x d admitem um divisor primo comum p, êste divisor, dividindo, por exemplo, b, deverá dividir o numerador a X c; como

TERCf:IRA PARTE 131

il b são primos entre sl (a fracção 1,- é irredutível), p tení de dividir c.

a Portanto, para que

b minador duma das

~- seja irredutível, ser<i necessário que o deno

seja primo com o numerador da outr;~.

84-- (A que condições devem satisfazer os termos de duas irredutíveis pam que o seu quociente seja também uma fracção irredutível?

R. É necessário que os seus numeradores, e igualmente os seus -denominadores, sej;nn primos entre si.

85 --c_ A que condições devem satisfazer os termos de duas fracçôes irredutíveis para qLle o seu produto seja um número inteiro?

R. É necess;irio que o numerador da primeira fracção seja divi.sívd pelo denominador da segunda, e que o numerador da seja divisível pelo denominador da primeira.

CAPÍTULO I I I

fracções decimais

177. As fracções cujo denominador é uma potência de 10, chamam-se fracções decimais. Por exemplo, as fracções

45 100

384 10

47 1000

respectivamente quarenta e cinco centésimas, trezentos e oitenta e quatro décimas e quarenta e sete milésimas~ são decimais.

178. O interêsse especial que apresentam estas fracções reside na possibilidade de se apresentarem com a forma de números inteiros. Com efeito, pois que

1 = IOX-1-

10 - 1-= 10X -~1 -

10 100 1 1 -Too = 10 x 1oóo etc.

e qualquer fracção decimal, por exemplo

67485 wo'

TERCEIRA PARTE 133

se pode decompor da forma seguinte

-~'1'_4S5 = -ºZ_400 + __ 80 + __ 5 __ = 674 + __§__ + ___ 5 __ _ - 100 100 100 100 10 100

' 1 1 = 674 + sx10+ 5 x -

100-.

podemos generalizar as convenções da numeração (7) e escrever

67485 = 674 85 100 ' .

A vírgula servirá para separar o conjunto das unidades, dezenas, etc. (a parte inteira) do conjunto das décimas, centésimas, etc. (a parte decimal). A uma fracção representada por esta forma chama-se ntímero decimal. Chamam-se fracções ordinárias as que não são decimais.

179. A parte inteira ou algum dos algarismos da parte decimal podem ser zero. Exemplo:

91 o 091 =---1 1000

A junçào de zeros à direita do último algarismo da parte decimal não altera o valor do número decimal. Exemplo:

') - 275 __ 27500 -~, 75 - 100 - 10000 - 2, 7500


180. Às unidades das diferentes ordens que consideramos nos números inteiros, podemos fazer corresponder unidades decimais, menores que 1 :

.... 10!1 .... 103 102 10 1 1~ 1~~- 1~3

Assim como nos números inteiros:

1 milhar é superior a 999 unidades, ou com maioria de razão a um número menor que 999.

1 centena é superior a 99 unidades ou a um número~ menor, etc.

Também nos números decimais:

1 milésima será superior à soma ele túdas as unidades decimais representadas pelos alg-arismos que est'io à sua direita (décimas milésimas, centésimas milésimas, etc.) ainda que sejam todos iguais a 9.

1 centésima será superior à soma de tôdas as unidades representadas pelos algarismos decimais 2t sua direita.

De um modo geral, uma unidade decimal é sempre superior á soma das unidades representadas por todos os algarismos seguintes.

Nesta conformidade, dado um número decimal

3,14159,

se supmmrmos os algarismos decimais a partir de 5" e tomarmos somente o número

3,141,

cometemos um êrro menor que 0,001.

TERCEIRA PARTE

Diremos que 3,141

é um valor a,'Jroximado por defeito com um êrro inferior a uma milP,sima ou a menos duma milésima.

Diremos também que

3,142

é um valor aproximado por excesso com nm êrro inferior a uma milésima, ou a menos de uma milésima.

OPERAÇÕES DE NÚMEROS DECIMAIS

181. Justificam-se fàcilmente as regras conhecidas da Aritmética elementar para a-s operações de números decimais. Bastará ter em conta a sua forma originária de fracções.

Adição

182. Sejam os números

4,54 0,037 e 3,8

que se pretende somar. Como podem juntar-se zeros à direita dos últimos algarismos decimais, é imediata a redução das fracções decimais ao mesmo denominador; resulta

4,54 + 0,037 + 3,8 = 4,540 + 0,037 + 3,800 =

= 4~~º -1- _]}_ + ~~º-0 = 4540 + 37 + 3800 1000 I 1000 1000 1000

1:36 ARITMÉTICA RACIONAL

isto é

Os números decimais somam-se como se fôssem inteiros, colocando-se no cálculo uns debaixo dos outros os algarismos que representam a mesma ordem decimal. Na prática dispensa-se escrever os zeros; para o nosso exemplo será:

4,54 0,037 3,8 8,317

A regra de subtracção justifica-se de modo semelhante.

183. A noção de complemento aritmético generaliza-se também para os números decimais.

O complemento aritmético de 0,0452 será:

10- 0,0452 = 9, 9548

O complemento aritmético de 42,309 será:

100-42,309 = 57,691

Se a parte inteira é zero, o complemento é sempre tomado para 10.

Multiplicação

184. Da relação

24 35 X 7 439 = 2435 X _7439 = _ 2435 X7439 ' ' 100 1000 100 X 1000

TERCEIRA PARTE 137

deduz-se imediatamente que:

Os números decimais multiplicam-se como se fôssem inteiros, separando no produto tantas casas decimais quantas as do multiplicando e as do multiplicador.

185. Para multiplicar um número decimal por uma potência de 10, bastará mudar a vírgula tantas casas para a direita quantas forem as unidades do expoente da potência.

Exemplo:

4 S?5 , lOO = 4825,/ lOO = 4826X 100 = 4:~21) = 48? _ I ~ j< 1000 /X.., 1000 10 ~,')

186. Da igualdade precedente deduz-se

482,5: lCO = 4,825

Para dividir um número decimal por uma potência de 10, bastará mudar a vírgula tantas casas decimais para a esquerda quantas forem as unidades do expoente da potência.

Divisão

187. Uma regra geral para dividir números decimais consistirá em multiplicar o dividendo e o divisor por uma mesma potência de 10 tal que os números deci)nais se reduzam a inteiros.

Exemplo:

85,749:4,25 = 85749:4250

1:38 AR!T:VIÉTICA RACIONAL

A idêntico resultado se chegaria pela consideração das fracções decimais:

85 7J9. 4 'J5 = 857~. 425 =~57~ v 100 = ~2_?~~ ) .. ,~ 1000 . 100 1000 /'--._ 425 4250

188. Para alguns casos particulares poderão estabelecer-se regras especiais.

1) O divisor é inteiro. Seja a divisão

84,32: 25

Se se atender a que o dividendo representa centésimas, e que portanto um certo número de centésimas a dividir por 2S conduzirá forçosamente a centésimas, deduz-se que neste caso: a divisão se pode efectuar corno se ambos os números fôssem inteiros, separando no quociente tantos algarismos decimais a partir da direita quantos são os do dividendo, isto é, reduzindo o quociente à mesma unidade decimal do dividendo.

2) O divisor é decimal. Poderemos multiplicar ambos os termos da divisão por uma potência de 10 que torne o divisor inteiro. ficar-se-á reduzido ao caso precedente (dividendo decimal e divisor inteiro) ou ao da regra geral (dividendo e divisor inteiros).

189. Acabámos de ver que na divisão de números decimais se pode considerar sempre o divisor inteiro. E, sendo assim, compreende-se fàcilmente que o quociente de dois números quaisquer, inteiros ou decimais, pode ser expresso em qualquer unidade decimal, isto é, com qualquer aproximação.

Exemplo:

84,352: 3,9 = 843,52: 39 = 843,520:39

TERCEIRA PARTE 139

Efectuando a ültima divisão, o quociente será expresso en1

843,520 39 "-::::-::-::"=" 63 21,628

245 112 340

28

O resto será expresso nas unidades decimais do dividendo.

47: 29 = 47,0000: 29

Efectuando a indicada no segundo membro, o quociente será expresso em décimas milésimas.

47,0000 180

60 200

26

29 1,6206

190. A determinação dos valores aproximados da

fracção (ou quociente) !/,- constitue uma operação deno

minada: conversão ou redução da fracção em dizima (1).

(I) Reservamos para 3 dízima somente esta significação, ou seja a de números decimais que representem um quociente exacto ou nprox.imado,


Dois casos se podem considerar:

1) Para uma determinada aproximação encontra-se

um resto zero; o quociente a é exactamente um número

ou fracçào decimal 1~n. Diz-se que a dízima é limitada.

2} Por maior que seja a aproximação nunca se encontra um resto igual a zero. Neste caso apenas será possível determinar valores decimais aproximados do quociente; diz-se que a dízima é ilimitada.

Teorema

191. Para qae uma fracção irredutível -~ possa

converter-se em dizima limitada, é necessário e suficiente que o seu denominador não contenha factores primos diferentes de 2 e 5.

1} É condição necessária.

Com efeito, se

a m b 10n 1

b terá de ser submúltiplo de 1011 = (2 X 5)11 •

2) É condição suficiente. Porque, se b não contém factores primos diferentes

de 2 e 5, poderemos multiplicar os dois termos da fracção por uma potência conveniente dum dêstes factores

TERCEIRA PARTE 141

ele modo que os expoentes do denominador Sêjam iguais, isto é, de modo que êste se transforme numa potência de 10. Exemplo:

47 47 >( 5 135 ,.,~ 2~ x 5 = 22 x52 = 100 = 2

,.J:J

Corolário

192. O niimero de algarismos decimais dizima limitada é igual ao maior dos expoentes dos factores 2 ou 5 que formam o denominador da fracção ir redutível que lhe deu origem.

Teorema

193. Uma dizima ilimitada é sempre periódica, isto é, haverá no quociente um grupo de algarismos que se repete indefinidamente.

Seja : a fracção genetriz duma dízima ilimitada.

Como os restos são todos diferentes de zero e menoreg que o divisor, um deles terá de repetir-se pelo menos ao fim ele b- 1 divisões parciais. Ora os dividendos parciais formam-se todos elo mesmo modo, acrescentando um zero aos restos; assim se um dêstes se repete, os seguintes repetir-se-ão segundo a mesma ordem dos anteriores, e o mesmo sucederá aos algarismos do quociente.

194. O grupo dos algarismos que se reproduzem no quociente chama-se perlodo. O período pode começar


a seguir à vírgula- dízima periódica ou nàodizima periddica mixta. Neste último caso o grupo de algarismos colocados entre a vírgula e o ,período constitue o anle-periodo.

fracçõl!s genetrizes

195. Estudaremos agora o problema da determinação da fracção que gera uma dízima dada. Consideremos somente as dízimas ilimitadas, pois as fracções genetrizes das dízimas limitadas, assunto a que j,1 nos referimos (191) se determinam imediatamente escrevendo as dízimas sob a forma de fracção decimaL

Teorema

196. A fracção gene triz duma dizima periódica simples, sem parte inteira, tem por rwmerador o per iodo e por flenominador um número formado por tantos naves quantos os algarismos do período.

Seja a dízima

0,45 45 45 ...

que designaremos mais simplesmente pela notaçào

0,(45).

a Para que uma fracçào b gere esta dízima, é neces-

sário evidentemente que:

dividindo a X 100 por b, se encontre um quociente igual a 45 e um resto igual a a, isto é:

""

a lOO=b 45 +a

TERCEIRA PARTE

ou sucessivamente

a X 100- a= b X 45

a X (1 00 - 1) = b X 45

aX99=b 45

a 45 5 b 99 11

Corolário

197. A fracção genetriz duma dízima periódica simples com parte inteira tem por numerador a diferença entre o n!Ímero formado pela parte inteira seguida do periodo e a mesma parte inteira, e por denominador um número formado por tantos naves quantos os algarismos do periodo.

Considere-se a dízima

Será 8 ( "~'J) '.JJ ......

3~?

8,(352) = 8 + 0,(252) = 8 + g~g =

8>:::999 + 312 _ 8 X(lOOO- I)+ 352 999 - ~--9~~ ~~

8000-8+352 999

Corolário

8352-8 ---

999

198. O denominador duma fracção irredutível, genetriz dama dízima periódica simples, não cont-ém os factores 2 e 5.


Porque um número formado só por noves não é divisível por 2, nem por 5.

Teorema

199. A fracção genetriz duma dizima periódica mixta, sem parte inteira, tem por numerador a diferença entre o número formado pelo ante-perfodo seguido do perfodo e o mesmo ante-perfodo, e por denominador um número formado de tantos noves quantos os algarismos do perfodo seguido de tantos zeros quantos os algarismos do ante-periodo.

Seja a dízima

0,42 (375)= 0,42 375 375 ...

Se ~- é a fracção genetriz desta dízima, deverá suce

der que: 1) Efectuando a divisão

ax 100: b,

se encontre o quociente 42 e um certo resto r; 2) Efectuando a divisão

ax 100 000: b,

se encontre o quociente 42375 e o mesmo resto r da divisão anterior.

Resultará assim:

a X 100000= bX42375 +r

aX100=bX42+r

TERCEIRA PARTE

donde, subtraindo

a>< (100000- 100) = b >< (42375- 42)

a>< 99900 = b >< ( 42375 - 42)

a 42375-42 b 99900

Corolário

145

200. A fracção genetriz duma dizima periódica mlxta com parte inteira tem por numerador a diferença entre o nlimero formado pela parte inteira seguida da ante-período e período, e o número formado pela parte inteira seguida do ante-período, e por denominador um número formado por tantos naves quantos algarismos do período seguido de tantos zeros quantos os algarismos do ante-período.

Seja a dízima 5,42(8)

Teremos 428-42

5,42(8) = 5 + 0,42(8) = 5 + 90--a- =

5 >< 900 + 428-42 5 >< (1000 -100) + 428-42 =---900----=~ 900 =

5000 - 500 + 428 - 42 5428- 542 900 900

Corolário

201. Dada uma fracção irredutível, genetriz duma dizima periódica mixta, o seu denominador conterá sempre pelo menos um dos factores 2 ou 5, e o maior expoente

lO


dêstes factores indicará o número de algarismos do ante~ -per iodo.

Com efeito, na simplificação da fracção genetriz duma dízima periódica mixta, tal como acaba de ser determinada, não haverá possibilidade de dividir ambos os termos por uma potência de 10, pois a diferença que constitue o numerador nunca poderá terminar em um ou mais zeros. Assim, depois da simplificação, haverá no denominador pelo menos uin dos factores 2 ou 5, que permanecerá com o expoente igual ao número de zeros do primitivo denominador, e portanto igual ao número de algarismos do ante-período.

Corolário

202. Se o denominador duma fracção irredutível não contim os factores primos 2 nem 5, a fracção é genetriz duma dízima periódica simples.

A dízima não poderia ser limitada (191), nem periódica mixta (201).

Corolário

203. Se o denominador duma fracção irredutivel contém, além doutros, os factores 2 ou 5, a fracção é genetriz duma dizima periódica mi:da.

A dízima não poderia ser limitada (191) nem periódica simples (198).

Raiz quadrada dum número decimal. Raiz quadrada com uma dada aproximação

Teorema

204. A raiz quadrada intelra dum número decimal é a raiz quadrada inteira da sua parte inteira.

TERCEIRA PARTE 147 ------

Seja N o número dado, n a sua parte inteira, e r a raiz quadrada inteira de n. .

Temos:

e por ser

vem

205. A raiz quadrada do número N com a apro-

. • d 1 A • f 0 1 d fi xnnaçáo e IOn, ou com um erro 111 enor a

1011, e ne-se

de forma semelhante à raiz quadrada inteira; representará o maior número de unidades decimais de ordem n cujo quadrado seja inferior a N.

A definição aplica-se tanto a um número inteiro como a um número decimal.

Teorema

206. A raiz quadrada dum número N com a apro

ximaÇão de i6n é a raiz quadrada inteira de NX IQ2n

dividida por 1 on .

Se designarmos por 1 ~n a raiz procurada, será pela

definição

( r )2 (r+l\2 ,}Qn ~N< 1Qrl)

ou r2 (r+ 1)2

102n ~ N < 1Q2n


e finalmente

Exemplos:

1.0 A raiz quadrada de 28,453 com a aproximação

de 0,01 = 1 ~0 é igual à raiz quadrada inteira de 284530

dividida por 100.

2.0 A raiz quadrada de 0,0852 com a aproximação de 0,1 é igual à raiz quadrada de 8,52 (ou de 8) dividida por 10.

3.0 A raiz quadrada de 31 com a aproximação de 0,001 é a raiz quadrada de 31000000 dividida por 1000.

207. Se o número N se apresenta com a forma de fracção ordinária, pode converter-se esta dízima.

Exemplos: 3

1.0 A raiz quadrada de S = 0,375 com a aproxi-

mação de 0,01 é a raiz quadrada inteira de 3750 dividida por 100.

2.0 A raiz quadrada de ~3 = 2, 1(6) com a aproxi

mação de 0,001 é a raiz quadrada inteira de 2166666 dividida por 1000.

208. No mesmo caso de o número N se apresentar com a forma de fracção ordinária, pode extrair-se a raiz

TERCEIRA PARTE 149

quadrada a ambos os termos, depois de os multiplicar por um número que torne o denominador um quadrado perfeito.

Exemplos:

Divide-se por 4 a raiz quadrada de 6 com a aproximação pedida.

Divide-se por 6 a raiz quadrada de 78 com a aproximação pedida.

209. A aproximação da raiz quadrada de N pode de um modo geral ser expressa num número qualquer a. Raciocinando como no caso da aproximação ser dada por uma unidade decimal, teremos, designando por r X a a raíz procurada

(r X a)2 ~ N <[(r+ 1) X a)2

r2 X a2 ~ N <(r + 1 )2 X a2

r 2 ~ ~<(r+ 1)~

A raiz quadrada de N com a aproximação de a será

a raiz quadrada inteira de "':' multiplicada por a. a


Exemplos:

1.0 A raiz quadrada de 7 com a aproximação de 2 ' . . t . d 7 7

52 lt" 1' d 2

5 e a ratz m etra e ( 2 ) 2 = X 22 , mu 1p tca a por 5 5 /

(ou dividida por ~ ) .

2.0 A raiz quadrada de 22 com a aproximação de

-}é a raiz inteira de 22 X 32, multiplicada por ~ (ou divi

dindo por 3).

Números irracionais

210. Se um número inteiro N não é quadrado perfeito, nunca poderá obter-se uma raiz exacta expressa nyma unidade decimal, isto é, a raiz quadrada dum número inteiro nunca pode ser um número fraccionário; como já se viu (152), a potência duma fracção irredutível não pode ser um número inteiro.

De modo semelhante para um número decimal; se se esgotaram os algarismos decimais dum número dado sem se obter uma raiz exacta, não é possível encontrá-la aumentando a aproximação.

Estamos, pois, em face dum resultado que apenas pode tornar-se conhecido por valores aproximados, se bem que a aproximação se possa levar tão longe quanto se quiser. Considerem-se, por exemplo, os valores aproximados da raiz quadrada de 2 :

1,4 1,41 1,414 1,4142 •.•••

Estes números cujos quadrados são sempre menores que 2, são tam próximos quanto se quiser da raiz quadrada de 2. Dêstes valores, aproximados por defeito, podemos deduzir imediatamente os seguintes, aproximados por excesso:

2 1,5 1,42 1,415 1,4143 .•... ,

TERCEIRA PARTE 151 ----------------------------------------~·

que são também tam próximos quanto se quiser da raiz quadr<Jda de 2, mas cujos quadrados são sempre maiores que 2.

A raiz quadrada de 2 estaria assim compreendida entre os valores dos dois grupos ou cl<Jsses, podendo sempre encontrar-se dois números, um de cada classe, cuja diferença seja tam pequen<J quanto se queira.

As referidas classes poderiam ainda ser completadas por valores cuja aproximação fôsse dada por um número qualquer a: caberlam assim nelas todos os números inteiros ou fraccionários. Estas clas~e~. -uma constituída por todos os números cujos quadrados são menores que 2, outra por todos os números cujos quadrados são maiores que 2- representam o único processo do conhecimento da miz quadrada de 2, e gozam das seguintes propriedades:

1) Os números da primeira classe são todos menores que os números da segunda classe.

2) Na primeira classe não há um número maior que todos os outros: dado um número qualquer desta classe, haverá sempre outm maior cujo quadrado seja menor que 2.

3) Na segunda classe não há um número menor que todos os outros.

4) Haverá sempre dois números, um de cada classe, cuja diferença seja tam pequena quanto se queira :

Os. números, que, como {2, só podem ser conhecidos por intermédio de classes semelhantes às que acabam de ser definidas, com idênticas propriedades, chamam-se irracionais: os números inteiros e fraccionários denominar-se-ão agora racionais.

211. A definição por classes não é privativa dos números iml

cionais; qualquer número racional n divide ou separa a totalidade dos números racionais em duas categorias que gozam das propriedades já referidas: a primeira constituída por todos os números numores que n, a segunda por todos os números maiores que n. Tôdas as vezes, porém, que fôr possível repartir a totalidade dos números racionais em duas destas classes, e não haja nenhum número racion:1! que as separe, isto é, que seja maior que os números da primeira e menor que os números da segunda- diremos que essas classes definem um


número. irracional. Estes números correspondem pois a uma lei de repartição, e não têm outro qualquer significado.

212. A medição de certas grandezas pode conduzir à consideraçãp. ífos números irracionais. Vejamos o caso clássico da medição da diagonal dum quadrado, tomando o lado como unidade.

vem

De

e D~ = l~ + l~ = 2 lt

D2 fi=2

D -=v'2

A diagonal e o lado do quadrado são grandezas incomensuráveis.

EXERC(CIOS

.. ga --Sem efectuar a divisão, dizer qual o número de algarismos decimais que se obtêm convertendo em dízima as fracções

5 21 ll 7 4 28 40 16

R. .2, 2, 3, 4.

TERCEIRA PARTE 153

87 --- Calcular as fracções irredutíveis iguais aos números decimais

R.

2,9 0,2.5 0,02 8,.54

29 213 To· T' so· -25 ·

88-- Calcular as fracções genetrizes das seguintes dízimas

R-

0,(43) 0,.52(4) 3,2(83) 1,(.542)

43 472 118 32.51 1.541 99' 900 = 22.5' -990' 999.

89 --,;,Que espécie de dízimas geram as seguintes fracções?

-1 3 7 12 25 18 T' Tf' 15' 18' 30' 210

R. Limitada, periódica simples, p. mixta, p. simples, p, mixta, p. mixta.

90-- Calcular o quociente de dois números A e B com a aproxi

maciio de !!___ Designa-se por x X !!_ o quociente procurado; será . q q

dond;:

xx!!_s-i<(x+ 1)xf!_ q-B q

<AXq___. +I x_B------...x - Xp

91 -A soma (ou diferença) de duas fracções irredutíveis genetrizes de dízimas periódicas simples, é ainda uma fracção genetriz duma dízima periódica simples.

R. Porque o denominador a X d da fracção

pode conter nenhum dos factores 2 ou 5.


92- O produto de duas fracções genetrizes de dízimas periódicas simples é ainda uma fracção genetriz duma dízima periódica simples.

93- t Que dízima pode gerar uma fracção igual ao produto de du;;s fracções gene trizes de dízimas periódicas mixtas?

94- Calcular:

R.

• /115, v 252

5 7 6' 2' 5

·

95 - Calcular as raízes

• /392, v 32

. 1 4o5o v 162

;-

v+ com a aproximação duma unidade, duma décima e de -}.

R. ap. de 1 : 2 4 , deO,l: 2,8 4,9 1,6 » de 1 : 14 24 8

5 5 5 5

ÍNDICE

PRIMEIRA PARTE

NÚMEROS INTEIROS E SUAS OPERAÇÕES

CAPÍTULO l

Definição de números inteiros. Numeração.

CAPÍTULO ll

Adição •

<=APÍTl'LO lll

Subtracção

CAPÍTULO IV

Mult}plicaçiio

CAPÍTULO V

Divisão.

CAPÍTULO VI

Potenciação.

CAPÍTULO VII

Radiciação

CAPÍTULO VIII

Sistemas de numeração

Pág.

g

16

20

27

32

. --10

4-l

51


SEGUNDA PARTE

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

CAPÍTULO I

Divisibilidade

CAPÍTULO 11

Números primos

CAPÍTULO III

Máximo divisor comum e menor múltiplo comum.

TERCEIRA PARTE

Nl1MEROS PRACCIONÁR.IOS

CAPÍTULO I

Primeira definição de números fraccionários

CAPÍTULO II

75-

99

Segunda e terceira definições de números fraccionários 119

CAPÍTULO III

Fracções decimais. 132

ACABADO DE IMPIUM!R

NA EMP. INDUSTRIAL GRÁFICA DO PÔRTO, L.DA

!74, RUA DOS MÁRTIRES DA LU:JER.DADE, 178

NO ANO DE 1942

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Preçv ~ ~i$ !50 J

aritmética racional 2ed josé júlio soares -1942

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