Áreas Entre Curvas

Considere a região S entre duas curvas

y = f(x) e y = g(x) e entre as retas verticais

x = a e x = b.

Aqui f e g são funções

contínuas e f(x) ≥ g(x)

para todo x em [a, b].

Assim como fizemos para áreas sob as curvas, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base ∆x altura

Definição 1

Portanto, definimos a área A da região S como o valor-limite da soma das áreas desses retângulos aproximantes.

Reconhecemos o limite em (1) como a integral definida de f - g.

Definição 2

A área A da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x), e pelas retas x = a, x = b, onde f e g são contínuas epara todo x em [a, b], é:

Exemplo 1

Encontre a área da região entre as parábolas y = x2 e

y = 2x - x2.

Primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas, resolvendo suas equações simultaneamente.

Isto resulta em x2 = 2x - x2, ou 2x2 - 2x = 0.

Portanto, 2x(x - 1) = 0, assim x = 0 ou 1.

Os pontos de intersecção são (0, 0) e (1, 1).

Vemos na Figura que as fronteiras superior e inferior são:yT = 2x – x2 e yB = x2

Exemplo 2

A área de um retângulo típico é (yT – yB) ∆x = (2x – x2 – x2) ∆x

a região está entre x = 0 e x = 1.

Então, a área total é:

Para encontrar a área entre as curvas y = f(x) e y = g(x), onde f(x) ≥ g(x) para alguns valores de x, mas g(x) ≥ f(x) para outros valores de x, dividimos a região S dada em várias regiõesS1, S2, … com áreas A1, A2,...

Então, definimos a área da região S como a soma das áreas das regiões menores S1, S2,… , ou seja, A = A1 + A2 +…

Como

quando

quando

temos a seguinte expressão para A.

Definição 3

A área entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre x = a e x = b é:

Quando calculamos a integral em (3), contudo, ainda devemos dividi-la em integrais correspondentes a A1, A2, ….

Exemplo 2

Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x, x = 0, e x = π/2.

Os pontos de intersecção ocorrem quando sen x = cos x, isto é, quando x = π / 4 (porque 0 ≤ x ≤ π / 2).

Observe cos x ≥ sen x quando

0 ≤ x ≤ π / 4 mas sen x ≥ cos x quando

π / 4 ≤ x ≤ π / 2.

Portanto, a área pedida é:

Exemplo 5

Neste exemplo particular, poderíamos ter economizado trabalho observando que a região é simétrica em relação x = π / 4.

Então,

Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y.

Se uma região é limitada por curvas com equações

x = f(y), x = g(y), y = c, e y = d, onde f e g são contínuas ef(y) ≥ g(y) para c ≤ y ≤ d, então sua área é:

Se escrevermos xD para a fronteira direita e xE para a fronteira esquerda, então, como a Figura ilustra, teremos:

Aqui um retângulo aproximante típico tem

dimensões xD - xE e ∆y.

Exemplo 3

Encontre a área limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

Resolvendo as duas equações, descobrimos que os pontos de intersecção são

(-1, -2) e (5,4).

Isolamos x na equação a parábola e observamos pela Figura que as curvas de fronteira esquerda e direita são:

Devemos integrar entre os valores apropriados de, y = -2 e y = 4.

Assim