FÍSICA

MÓDULO 11INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

Professor Sérgio Gouveia

1. INTRODUÇÃOFaraday e Lenz desenvolveram, a partir de 1831, o estudo do fenômeno daindução eletromagnética. Vamos descrever o fenômeno a partir de algunsexperimentos.

Quando aproximamos um imã de uma espira(contendo um galvanômetro) uma corrente surge naespira (deflexão do galvanômetro o indica).

Quando afastamos o ímã a corrente induzida na espira inverte o seusentido (a deflexão do galvanômetro se dá para o lado oposto).

Se mantivermos o ímã em repouso e deleaproximarmos a espira, a corrente induzidasurge como na figura 1; se afastarmos a espira, acorrente surge como na figura 2.

A corrente induzida na espira surge quando hámovimento relativo entre o imã e a espira. Nãohavendo movimento relativo não haverácorrente induzida.

Quando se fecha a chave k, uma correnteinduzida surge na espira que contém ogalvanômetro. Logo depois essa correntedesaparece. A corrente i denominamoscorrente indutora. A corrente i variarapidamente desde zero até seu valorfinal i. Só quando i está variando surgecorrente induzida.

Quando se abre k surge uma corrente induzida emsentido oposto ao da figura 3. Esta correnteinduzida logo desaparece. Só perdura enquanto acorrente indutora i varia, desde i até zero.Enquanto i permanece constante não surgecorrente induzida.

O fenômeno foi interpretado por Faradayadmitindo que uma "força eletromotriz induzida"surgia na espira com o galvanômetro, nos casosdos dois experimentos. Faraday descobriu comodeterminar o valor desta fem induzida e Lenzdescobriu como determinar sua polaridade (osentido). A consequência mais imediata dotrabalho desses dois cientistas foi o geradoreletro-mecânico.

2. LEI DE FARADAY – LENZ2.1. FLUXO MAGNÉTICO

Considere uma superfície S imersa num campo B. Suponha esta superfíciedividida em pequenos pedacinhos de área ΔS que possam serconsiderados planos. Tome uma normal ao pedacinho e oriente da partecôncava para a convexa. Sobre a normal tome um vetor unitário n (|n| = 1).Seja B o campo magnético sobre o pedacinho. O fluxo magnético elementarsobre o pedacinho é definido por

O fluxo através de S é definido como a soma de todos os fluxoselementares sobre S:

B BB . n S ou B S cos

B B B . n S

B B S cos

Se ΔS→ 0 estas expressões se tornam

Unidade de ϕ : 1 werber = 1 tesla · m2

1 Wb = 1 T · m2

B B . n dS BdS cos

2.2. A LEI DE FARADAY"A fem induzida é igual à taxa de variação do fluxo magnético com otempo através da área do circuito induzido."

Bdind

dt

OBSERVAÇÃOVamos voltar aos experimentos da introdução e examiná-los de posse daLei de Faraday.

O imã está se aproximando da espira. O campo do imã sobre a espira estávariando (aumentando). A área da espira é constante mas o aumento docampo sobre ela acarreta um aumento de fluxo. A fem induzida é igual àrapidez com que o fluxo aumenta.

Se afastamos o imã o fluxo diminui e surge uma fem induzida (em sentidooposto). Se pararmos o imã o fluxo não aumenta nem diminui, não há feminduzida.

Vamos agora ao segundo experimento. Quando se liga a chave k, acorrente i, no circuito indutor, varia de zero até seu valor final i, o queconsome um certo intervalo de tempo de zero a t.

Durante este intervalo o campo magnético criado pelo circuito indutorestá variando de zero até seu valor final B. A espira induzida estámergulhada neste campo variável. O fluxo magnético sobre ela estavariando. A fem induzida é igual à rapidez com que o fluxo varia.

Quando a corrente se estabiliza o fluxo se estabiliza e a fem induzidadesaparece. Quando se desliga a chave a corrente indutora i diminui, ofluxo na espira induzida diminui e a fem induzida reaparece em sentidocontrário. Quando i se anula a fem induzida desaparece.

2.3. A LEI DE LENS"A fem induzida surge sempre de modo a contrariar a variação dofenômeno que a produziu."

Isto quer dizer que a fem induzida vai gerar uma corrente induzida capazde produzir um fluxo magnético que se opõe à variação (crescimento oudecréscimo) do fluxo que a gerou. Voltemos ao caso do experimento 1.

O fluxo cresce quando imã se aproxima. A corrente induzida surge criandoum campo oposto ao campo indutor B; o campo induzido Bi que tende ase opor ao crescimento do fluxo de B. Para tanto o sentido da correnteinduzida é o indicado.

Quando se afasta o imã a situação na espira induzida é mostrada abaixo.

O fluxo decresce e o campo induzido surge de modo a reforçá-lo, opondo-se ao decréscimo. Para tanto o sentido da corrente induzida é o indicado.

2.4. A LEI DE FARADAY-LENZ

O sinal negativo traduz a lei de Lenz.

Bdind

dt

EXEMPLO 1Uma espira quadrada de área A está imersa num campo perpendicular àsua superfície e variável com o tempo de acordo com a expressão B = c tonde c é uma constante e t é tempo. Sendo R a resistência da espiradetermine:

a) A fem induzida.

b) A corrente induzida.

x

B

SOLUÇÃO

a)

b)

Bdind –

dt

B B BBA cos0 BA cA t

BIND

d–cA –cA

dt

Ri

i i i

c ARi c A Ri i

R

EXEMPLO 2A espira da figura gira com velocidade angular constante em torno do eixoe imersa num campo uniforme B. A velocidade angular é ω e o campo éperpendicular ao eixo. Sendo a e b os lados da espira, determine a feminduzida.

SOLUÇÃO

No instante mostrado ϕB está aumentando, ii tem o sentido indicado.

B B a b cos

t

B B a b cos w t

BdB a b sen w t

dt

–B a b w sen w t

EXEMPLO 3Considere a haste MN, metálica, de comprimento apoiada na peçametálica de comprimento ABCD contida no plano horizontal. O conjuntoestá imerso num campo B, uniforme e vertical. A haste é movida para adireita com velocidade constante v. Qual a fem induzida no circuitoMBCN?

SOLUÇÃOOlhando o conjunto de cima se tem:

O fluxo através de MBCN é ϕB = BX.

A taxa de variação deste fluxo com o tempo é dada por:

B Bd dX dB B v

dt dt dt

BdLogo – –B v

dt

SOLUÇÃOO sentido de ϵ está indicado abaixo:

OBSERVAÇÃOVamos olhar o problema sob outro ângulo. A haste metálica MN contém umgrande número de elétrons livres movendo-se no campo B. Cada elétron está sobação de uma força de campo dada por

F –eV B F e v B

Devido à ação desta força haverá umacúmulo de elétrons no extremo M,deixando o extremo N com carga positiva.Um campo elétrico se estabelece de N paraM. Considerando a haste sem estar apoiadana peça ABCD, chegará um momento emque a força magnética será equilibrada pelaforça do campo elétrico.

VAMOS CALCULÁ-LA

Lembremo-nos da expressão da ddp entre os pólos de um gerador:

Ou, se i = 0 vem V = ϵ e potanto

–eV B F –eE

e v B e E E v B

N MV – V E

N MV – V B v

V –ri

N MV – V

B v,

EXEMPLO 5

Dois trilhos estão no plano horizontal, imersos num campo B, uniforme evertical. Os trilhos fecham circuito com uma haste MN que é puxada porum fio ligado a uma massa M. A haste move-se com uma velocidadeconstante V. Sendo desprezível a massa da haste, sendo R a resistência docircuito MBCN e não havendo atritos pede-se:

a) O valor de M;

b) A potência desenvolvida pelopeso de M;

c) A potência térmica consumidano circuito.

SOLUÇÃO

T

Mg – T O M 1g

ev c

a 0

T – fm 0 T fm

ifm i B

iT i B 2

Da equação do circuito:

Logo:

i iRi iR

i

B v B vi T . B

R R

2 2B v

T 3R

2 2B vM

gR

b)

c)

E a potência empregada pelo peso gira para mover a haste comvelocidade constante é integralmente consumida sob a forma de calor naresistência elétrica do circuito!

2 2 2 2 2B v B vP Fv P Mgv P . g . v P

gR R

2 2 2 2 2 22i

B v B vP Ri P R . P

R R