Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

amanda.perticarrari@unesp.br

MATEMÁTICA II

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Generalidades

Aplicação: integrais cujos integrandos são compostos de:

produtos;

funções trigonométricas;

funções exponenciais;

funções logarítmicas.

Exemplos:

𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥;

𝑥2 ∙ sen 𝑥 𝑑𝑥;

arctg 𝑥 𝑑𝑥;

𝑙𝑛 𝑥2 + 1 𝑑𝑥.

Fórmula

Considere a função

𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣

Diferenciando a função acima obtemos:

𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑑𝑣

Integrando membro a membro, resulta:

𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣,

𝑦 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣,

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣

Assim,

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.

Análise: Note que no integrando temos um

produto de funções e uma delas é uma

função exponencial. Vamos utilizar a

integração por Partes.

1. 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.

2. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.

Escolhemos 𝒅𝒗 em primeiro lugar (pois

deve ser uma diferencial de integração

imediata.)

𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 e 𝒖 = 𝒆𝒙.

Assim

𝒖 = 𝒆𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 =𝟏

𝟐𝒙𝟐

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.

3. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝒆𝒙 ∙ 𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐𝒆𝒙 ∙ 𝒙𝟐 −

𝟏

𝟐 𝒙𝟐 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Note que a integral resultante é mais

complicada que a integral proposta.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exemplo: Integre 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥.

2. Nova escolha de 𝒖 e de 𝒗.

𝒖 = 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒆𝒙𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = 𝒆𝒙

3. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝒙 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒙 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪

𝒙 ∙ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exercício 1: Integre 𝑥 ∙ sen 𝑥 𝑑𝑥.

1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.

𝒖 = 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙

2. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ −𝐜𝐨𝐬 𝒙 − −𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙

𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙

𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝑪

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exercício 2: Integre 𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥.

1. Vamos reescrever a integral como: 𝑥2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑒𝑥2 𝑑𝑥

2. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.

𝒖 = 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙𝟐𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙

𝟐 𝒅𝒙

𝒗 = 𝟐

𝟐 𝒙 ∙ 𝒆𝒙

𝟐 𝒅 𝒙 =

𝟏

𝟐 𝒆𝒙

𝟐𝟐𝒙 𝒅 𝒙 =

𝟏

𝟐 𝒆𝒙

𝟐 𝒅 𝒙𝟐 =

𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐

∴ 𝒗 =𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐

INTEGRAÇÃO POR PARTES

𝒘 = 𝒙𝟐 𝒅𝒘 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐𝒙𝒅𝒙

Exercício 2: Integre 𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥.

Assim,

𝒖 = 𝒙𝟐 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙𝟐𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 =

𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐

3. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝒙𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝒆𝒙𝟐𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 ∙

𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐−

𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙

𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥 =

𝟏

𝟐𝒙𝟐𝒆𝒙

𝟐−𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐+ 𝑪

𝑥3𝑒𝑥2 𝑑𝑥 =

𝟏

𝟐𝒆𝒙

𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝑪

𝒅 𝒙𝟐

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exercício 3: Integre I = 𝑙𝑛 𝑥2 + 1 𝑑𝑥.

1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.

𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟏

𝒙𝟐+𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = 𝒙

2. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 ∙ 𝒙 − 𝒙 ∙𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

INTEGRAÇÃO POR PARTES

𝒍𝒏(𝒘) ′ =𝟏

𝒘∙ 𝒘′

Exercício 3: Integre I = 𝑙𝑛 𝑥2 + 1 𝑑𝑥.

3. Considere 𝒙𝟐

𝒙𝟐+𝟏 𝒅𝒙, note que o grau do numerador é igual ao grau do

denominador (𝑚 = 𝑝), assim:

𝒙𝟐 + 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟏

−𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏 então 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟏 ∙ 𝟏 − 𝟏

−𝟏

4. Voltando ao cálculo da Integral I

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏−

𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟐 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒙 + 𝑪

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Exercício 4: Integre arcsen 𝑥 𝑑𝑥.

1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.

𝒖 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟏

𝟏−𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 = 𝒙

2. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

INTEGRAÇÃO POR PARTES

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝒘) ′ =𝟏

𝟏 − 𝒘𝟐

Exercício 4: Integre arcsen 𝑥 𝑑𝑥.

2. Substituição da fórmula

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 ∙ 𝒙 − 𝒙 ∙ 𝟏

𝟏−𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟐−𝟏

𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟐−𝟏

𝟐 ∙−𝟐

−𝟐∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 − 𝟏

−𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐

−𝟏

𝟐 ∙ −𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 +𝟏

𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐

−𝟏

𝟐 𝒅 𝟏 − 𝒙𝟐

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 +𝟏

𝟐

𝟏−𝒙𝟐−𝟏𝟐+𝟏

−𝟏

𝟐+𝟏

+ 𝑪

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝑪

𝒅 𝟏 − 𝒙𝟐

INTEGRAÇÃO POR PARTES

𝒛 = 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒛 = −𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒏 = −𝟏/𝟐

Exercício 5: Integre 𝑥𝑛 ln 𝑥 𝑑𝑥, com 𝑛 ≠ 1

1. Escolha de 𝒖 e de 𝒗.

𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 ⟹ 𝒅𝒖 = 𝟏

𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒙𝒏 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒗 = 𝒙𝒏 𝒅𝒙 ⟹ 𝒗 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏

2. Substituição na fórmula:

𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝐥𝐧 𝒙 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 ∙𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏−

𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏∙ 𝒙−𝟏𝒅𝒙

𝒙𝒏 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏∙ 𝐥𝐧 𝒙 −

𝟏

𝒏+𝟏 𝒙𝒏 𝒅𝒙

𝒙𝒏 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏∙ 𝐥𝐧 𝒙 −

𝟏

𝒏+𝟏∙𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏

𝒙𝒏 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏𝐥𝐧 𝒙 −

𝟏

𝒏+𝟏+ 𝑪

INTEGRAÇÃO POR PARTES