Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1

Física Estatística

Representação microscópica

Representação macroscópica

??? U (S, V, N)

S (U, V, N)

sistema

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Física Estatística

Representação microscópica

Representação macroscópica

Número de microestados acessíveis ()

U (S, V, N)

S (U, V, N)

sistema

S = ln (Equação de Boltzmann)

macroestado

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S = ln

S1 S2

1 2

= 1 . 2

S = S1 + S2

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Formalismo microcanônico

(“ensemble” microcanônico)

Quantos microestados existem para um dado macroestado ?

Problema estatístico

S = ln

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Exemplo 1: sistema de dois estados

E = 0

E =

Ω =𝑁𝑀

N = número de átomos

M = número de átomos no estado excitado

Ex: Se U = e N = 4, temos:

Ω =41=

4!

1! 4 − 1 != 4

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E = 0

E =

Ω =𝑁𝑀

N = número de átomos

M = número de átomos no estado excitado

Para N átomos, temos:

Ω =𝑁𝑀=

𝑁!

𝑀! 𝑁 −𝑀 !

𝑆 = 𝑘𝐵 . ln Ω

Exemplo 1: sistema de dois estados

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Exemplo 1: sistema de dois estados

N = número de átomos

M = número de átomos no estado excitado

Ω =𝑁𝑀=

𝑁!

𝑀! 𝑁 −𝑀 !

𝑆 = 𝑘𝐵 . lnΩ

1

𝑇=𝜕𝑆

𝜕𝑈=𝑘𝐵𝜀𝑙𝑛𝑁𝜀

𝑈− 1

𝑀 =𝑈

𝜀 ln𝑀! = 𝑀. 𝑙𝑛 𝑀 −𝑀 aproximação de Stirling

𝑆 =𝑈

𝜀− 𝑁 𝑘𝐵 ∙ 𝑙𝑛 1 −

𝑈

𝑁𝜀−𝑈

𝜀𝑘𝐵 ∙ 𝑙𝑛

𝑈

𝑁𝜀

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Exemplo 1: sistema de dois estados

𝑓 =𝑀

𝑁

fração de átomos no estado excitado

Definindo:

𝑓 =1

1 + 𝑒𝜀 𝑘𝐵.𝑇 =𝑈

𝑁. 𝜀

𝑈 =𝑁. 𝜀

1 + 𝑒𝜀 𝑘𝐵.𝑇

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Anomalia Schottky

𝐶 =𝜕𝑈

𝜕𝑇= 𝑁𝐴

𝜀2

𝑘𝐵𝑇 𝑒𝜀/𝑘𝐵𝑇

1 + 𝑒𝜀/𝑘𝐵𝑇 2

Capacidade térmica

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J. Chem. Thermodynamics 11, 835-850 (1979)

(sais paramagnéticos)

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Exemplo 2: sistema de osciladores harmônicos

modelo de Einstein (1907)

5/2 3/2

1/2

𝜖𝑛 = 𝑛 +1

2 ℏ 𝜔 n = 0, 1, 2, ...

Energia do oscilador i:

𝜖𝑛𝑖 = 𝑛𝑖 +1

2 ℏ 𝜔

𝑈 = 𝜖𝑛𝑖

𝑁

𝑖=1

= 𝑛𝑖

𝑁

𝑖=1

. 𝜖 +𝑁

2. 𝜖

𝑛𝑖

𝑁

𝑖=1

=𝑈

𝜖−𝑁

2= 𝑀 no de quanta de energia

7/2

N átomos:

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é igual ao no de soluções da equação:

n1 + n2 + n3 + ... + nN = M

Ex:

uma possível solução:

1 2 3 4 5

permutação de barras e bolas

Ω =𝑀 +𝑁 − 1 !

𝑀! 𝑁 − 1 !≅𝑀 + 𝑁 !

𝑀!𝑁!

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𝑆 = 𝑘𝐵 𝑀 +𝑁 𝑙𝑛𝑀 + 𝑁

𝑁−𝑀 𝑙𝑛

𝑀

𝑁

𝑆 = 𝑘𝐵 lnΩ

definindo: 𝑛 =𝑀

𝑁 (no médio de quanta por oscilador)

𝑆 = 𝑁. 𝑘𝐵 1 + 𝑛 ln 1 + 𝑛 − 𝑛 ln 𝑛

1

𝑇=𝜕𝑆

𝜕𝑈=𝜕𝑆

𝜕𝑛 ∙𝜕𝑛

𝜕𝑈

𝑛 =𝑈

𝑁 ∙ 𝜖−1

2

Equação de estado:

1

𝑇=𝑘𝐵𝜖 𝑙𝑛1

𝑛 + 1 𝑛 =

1

𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1

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𝑛 =1

𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1 𝑈 = 𝑁 ∙ 𝜖

1

𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1+1

2

Calor específico

𝐶 =𝜕𝑈

𝜕𝑇 𝐶 = 𝑁

𝜖

𝑘𝐵𝑇

2𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇

𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1 2

Calor específico dos sólidos de Einstein

3D 3N osciladores harmônicos

𝐶 = 3𝑁𝜖

𝑘𝐵𝑇

2𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇

𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1 2

𝜃𝐸 =𝜖

𝑘𝐵 Temperatura de Einstein

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modelo de Einstein (1907)

(todos os átomos vibram com mesma frequência)

modelo de Debye (1912)

(contribuição de fônons)

Quantização de Planck

Temperatura de Debye:

aluminio: 428 K cobre: 343 K níquel: 450 K ferro: 470 K

Temperatura de Einstein:

aluminio: 290K cobre: 240K