UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas:

Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

E

Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 4: Deflexões de vigas e eixos

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 4.1 A Linha Elástica

• 4.2 Inclinação e Deslocamento pelo Método da Integração Direta

• 4.3 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados

• 4.4 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados — Método da Integração Direta

OBJETIVOS:

• Calcular valor da deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos através do método analítico da integração direta.

• Usar o método da integração direta para determinar as reações dos apoios em vigas ou eixos estaticamente indeterminados.

“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

4.1 A linha elástica(LE) É um diagrama para visualizar deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide das seções. EX: Um diagrama de momento fletor ajuda na construção da LE; EX: 1ºConstruir diagr. de momentos ao longo das seções; 2ºConstruir LE com: concavidade p/ cima onde M>0, concavidade p/ baixo onde M<0, pt de inflexão onde M=0; Observe que em E, a inclinação ‘θ’ da LE é nula (θ=0 -> pt deflexão ΔE mx ou min) e A tb é pt de deslocamento ΔA max, podendo ou não ser maior que ΔE.

4.2 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta.

Usaremos um sistema de coordenadas v-x; EX; Onde a deflexão da LE é uma função v(x). Logo é a inclinação da LE em x. A bibliografia mostra que a curvatura da LE é dada por : , como sabemos , então diferenciamos novamente em x e teremos: como sabemos , então diferenciamos novamente em x e teremos: RESUMINDO:

EI=cte (tabela vigas), ρ= raio de curvatura),

RESUMINDO: Para obter a deflexão v(x) da LE, devemos fazer: • 4 integrações se conhecer w(x), 3 se V(x) ou 2 se M(x)(que é + fácil). Em carregamentos descontínuos escolher origem arbritariamente entre as descontinuidades: Ex: ou

Cada integração gera 1 cte, que serão obtidas pelas C.C nos apoios -> Convenção de sinais: a)De w, V e M nas seções: Atenção: entra assim na seção feita, depois calculamos M pelas eq. de equl., com convenção de sinais própria

b)Da deflexão v: v (+ para cima). c) Da inclinação θ : θ(+) anti-horário se eixo x(+) à direita θ(+) horário se eixo x(+) à esquerda.

Exemplo1:Uma viga W12 X 26 de aço A36 e comprimento de 15 pés está submetida à carga vertical P=6kip.Determine a inclinação e deflexão em A. Sol: LE: Como não há descontinuidades de carga, podemos usar uma única coordenada x em toda viga: Usamos a convenção para M+ e V+ na seção; Obtemos M(x) pela eq.de equl. =0 Px+M=0 Teremos M<0, (pois M=0 no extremo sem engaste e depois cai linearmente). Logo L.E tem concavidade negativa.

De posse de M(x) buscamos v(x) (deflexão) através das 2 integrações:

Aplicando em e integrando uma vez teremos: Integrando novamente; resolvendo o novo sistema: Então substituindo nas 2 equações integradas; Alternativamente poderíamos ter solucionado usando a função : Aqui não temos carregamento distribuido: w(x)=0, logo; integrando a primeira vez obtemos vemos que V é cte em toda viga, logo pela eq. de eql no segmento secionado: ΣFy=0 -P-V=0 V=-P então podemos escrever antecipadamente Integrando mais uma vez: aqui a C.C em A é logo Assim voltamos ao mesmo resolvido anteriormente!

Vemos que sinais estão de acordo com a L.E. Então calculamos θ(A) e v(A) com os dados do enunciado e da tabela:

Exemplo2: A viga simplesmente apoiada suporta um carregamento triangular distribuído. Determinar sua deflexão máxima. Considerar El constante. Sol: Devido a simetria, usaremos apenas uma cordenada x Obtemos as reações nos apoios e usamos a convenção para M+ , V+ e w+ na seção do segmento secionado; Vamos buscar a função M(x) pelo equl. de momentos Agora podemos escrever: Integrando 2 vezes M(x) obtemos a função da deflexão v(x); Primeira: Segunda: Finalmente podemos escrever as equações finais de v(x) e θ(x) (ou dv/dx): A deflexão máxima é obtida fazendo x=L/2 na segunda equação;

As C. C. são; v=0 em x=0 e x= L dv/dx=0 em x=L/2, Substituindo teremos:

Fazer: O eixo apóia-se em A por um mancal, que exerce apenas reações verticais sobre ele, e em B por um mancal de encosto que exerce reações horizontal e vertical sobre tal eixo. Desenhar o diagrama do momento fletor no eixo e, por meio dele, traçar a deflexão ou a linha elástica. Determinar as equações da linha elástica usando as coordenadas x1 e x2. Considerar El constante.

Fazer: A viga cônica tem seção transversal retangular. Determinar a deflexão em sua extremidade em termos da carga P, do comprimento L, do módulo de elasticidade E e do momento de inércia de área I0

da extremidade fixa. Dica: I0=1/12bt3 , mas I(x)=(1/12)wt3 pois w varia ao longo de x. Por semelhança de triângulos temos: então I(x) com I0 será?

Apenas precisamos, escrever M(x) em termos da reação redundante, antes de integrar em Posteriormente obtemos as reações redundantes, pois temos mais C.C nestes problemas. Exemplo: Determinar as reações nos apoios A e B e depois desenhar os diagramas de cisalhamento e momento fletor. Considerar El constante. Sol: Construímos o DCL da viga: Usando as eq. de equilíbrio: (1) (2) Conhecemos apenas w, logo Ay, By e MA são 3 cargas à serem obtidas em 2 equações (indeterminada) Observe que Ay, By ou MA podem ser considerados redundantes. Para integrar devemos antes escrever M(x) em termos de uma delas (By por exemplo);

4.3 Vigas e eixos estaticamente indeterminados Ocorre quando o número de reações de apoio excede o de equações de equilíbrio. O número de reações não necessárias ao equilíbrio (redundantes) determina o grau de indeterminação. EX: Fazendo o DCL: Temos 4 reações de apoio (Ax, Ay, By e MA) para 3 eq. de Equilibrio. Devido à componente Px (não mostrada) vemos que Ax não pode ser redundante pois sua retirada impossibilitaria o equilíbrio em x. Ay pode ser redundante, pois Py e By podem se anular. By pode ser redundante, pois Py e Ay podem se anular. MA pode ser redundante, pois MAy, MPy e MBy podem se anular. Escolhemos apenas 1 reação para redundante (grau 1)

4.4 Vigas e eixos estaticamente indeterminados-Método da integração direta.

Para escrever M(x) em termos de By, considerar o segmento secionado com origem à direita: ΣM=0 (+ anti-horário) Com M(x) agora integramos: uma vez: (3) duas vezes: (4), e partimos para as C.C: (deflexão à direita) da eq (4) teremos (inclinação à esquerda) da eq. (3) teremos (5) (deflexão à esquerda) da eq. 4 teremos (6) (5) e (6) formam um sistema cuja solução é: Finalmente então obtemos as demais reações de apoio nas equações (1) e (2): ->tendo as reações nos apoios, esboçamos o diagr. de V: ->tendo MA e M(x) (função parabólica acima) esboçamos o diagr. de M;

Obs: • M(+) na seção

pela convenção.

• By=3wL/8 obtido nos cáculos positivo, significa manter direção do vetor indicado no DCL, o qual pela convenção está negativo (V anti-horário).

• Idem para Ay (porém horário) • dv/dx=-w (v varia linear

negativa pois w é cte positiva)

• Lembrar que x=0 à direita.

• Lembre-se: M<0, L.E concavidade -. M=0, inflexão M>0, L.E concavidade +.

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.