MATEMÁTICA – GEOMETRIA I

Natália Rodrigues

Circunferências

CIRCUNFERÊNCIAS

Definição: conjunto de todos os pontos no plano que estão a uma

mesma distância de um dado ponto no plano.

ELEMENTOS

Raio - segmento que une um ponto da circunferência ao centro.

Diâmetro - segmento que une dois pontos da circunferência passando pelo centro.

Arco - porção da circunferência limitada por dois pontos

Corda - segmento de reta que une dois pontos da circunferência.

Flecha - segmento que une o ponto médio da corda ao ponto médio do arco

correspondente.

O raio será sempre a

metade do diâmetro,

ou seja, d = 2.r

A divisão do comprimento de uma circunferência pelo seu

diâmetro sempre resulta em 𝜋.

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA (C)

𝐶

𝑑= 𝜋 → 𝐶 = 𝟐𝝅r

𝜋 = 3,14159265359...

COMPRIMENTO DE UM ARCO

L representa o arco obtido através do ângulo 𝜃, portanto L é uma

fração do comprimento da circunferência.

Para ângulos em GRAUS:

Regra de três

360◦ 2𝜋r (Comprimento circunferência)

𝜃 L (Fração do comprimento)

Para RADIANOS:

360◦ 2𝜋r 𝜃 L 360.L = 2𝝅r. 𝜃 2𝝅.L = 2𝝅r. 𝜃

L = r. 𝜽

Maior o ângulo de

abertura, maior o arco!

RADIANOS

Quando um ângulo 𝜃 é tal que o arco por ele determinado tem o

mesmo valor do raio r de uma circunferência, dizemos que este

ângulo representa 1 rad.

http://i.imgur.com/AQUrYb1.gif

CONVERSÃO GRAUS E RADIANOS

360◦ = 2𝝅

180◦ = 𝝅

GRAUS RAD

180◦

𝐺 = 𝜋

𝑅

R =𝐺. 𝜋

180

RAD GRAU

180◦

𝐺 = 𝜋

𝑅

G =180. 𝑅

𝜋

G = ângulo em graus

R = ângulo em radianos

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Central – ângulo cujo vértice coincide com o

centro da circunferência.

𝛼 = 𝐴𝐵

Inscrito – é o ângulo cujo vértice é um ponto da

circunferência.

.

𝛼 = 𝐴𝐵

2

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Excêntrico Interior – é o ângulo formado por

duas cordas que se cruzam dentro da

circunferência.

𝛼 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

2

Excêntrico Exterior – é o ângulo cujo vértice é

um ponto externo à circunferência.

𝛼 = 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷

2

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Semi-inscrito – é o ângulo formado por uma

corda e a tangente à circunferência em uma de

suas extremidades

𝛼 = 𝐴𝐵

2

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

1◦ caso: Retas tangentes à circunferência que se cruzam em um

ponto P.

PA = PB

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

2◦ caso (Teorema das Cordas): Os segmentos formados por

cordas que se cruzam são proporcionais.

(AE).(EB) = (CE).(ED)

E não é necessariamente o centro da circunferência.

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

3◦ caso (Teorema das Secantes): Retas secantes à circunferência

que se cruzam em um ponto P.

(PA).(PB) = (PC).(PD)

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

4◦ caso (Teorema tangente e secante): Reta secantes e reta

tangente à circunferência que se cruzam em um ponto P.

PA2 = (PC).(PD)

EXERCÍCIOS:

Dada a figura abaixo, determine o valor do arco AB⌢AB⌢:

Dada a figura abaixo, determine o valor do arco 𝐴𝐵

R. 70◦

EXERCÍCIOS:

Dada a figura abaixo, determine o valor do arco AB⌢AB⌢:

R. 125◦

(Fuvest) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:

Não fique com dúvidas!

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