1

Apresentação

A disciplina Álgebra Linear, que faz parte da grade curricular dos cursos de

Exatas, dá continuidade aos estudos de cálculo dos referidos cursos. Esta disciplina

objetiva dar ao estudante uma continuidade no aprendizado de matemática iniciada

com a disciplina Cálculo Diferencial e Integral.

Sabemos a importância da Matemática para o estudante de outras ciências,

como por exemplo: Computação, Arquitetura, Física etc. Em função disso, espera-se

que este trabalho seja um instrumento a mais para os estudos que você está

realizando na área de Exatas.

O conteúdo da disciplina Álgebra Linear é composto de Matriz, Determinante,

Sistema de Equações Lineares e suas devidas aplicações além de apresentar os

primeiros passos nos estudos de Espaços Vetoriais e Transformações Lineares.

Finalmente pretendemos que este trabalho venha contribuir para seu

crescimento intelectual, melhorando o desenvolvimento de seu raciocínio lógico, com

isso contribuindo para sua formação.

Um bom aprendizado!

Prof, Anicio Bechara Arero.

2

MATRIZES

Objetivo de Aprendizagem

- Conceituar matriz.

- Aplicar as operações com matrizes.

- Resolver problemas práticos.

1.0- INTRODUÇÃO

Imagine um empresário que tem uma rede de cinco lojas de materiais de

construção que ele denominou de A, B, C, D, e E, distribuídas nos bairros da grande

Belém.

Em função da quantidade de loja, para facilitar o controle, ele anota o faturamento

mensal, em reais, de cada loja, arrumando-os em tabelas.

Com a obtenção dos dados de julho a dezembro de 2015, o empresário, utilizando o

Excel, construiu uma planilha com a seguinte disposição:

Julho agosto Setembro outubro novembro dezembro

A 380.550 338.000 349.036 326.000 349.800 390.500

B 386.000 239.000 259.400 247.000 267.500 156.550

C 578.000 548.400 530.000 526.600 564.900 584.700

D 128.000 124.080 123.098 124.000 124.000 128.680

E 281.300 274.076 275.800 274.900 278.550 282.908

Observe que esta disposição dos dados facilita o controle quanto ao faturamento de

cada loja, pois, com uma simples observação, o empresário sabe quanto uma loja

arrecadou.

Por exemplo: A loja B, em dezembro, arrecadou 156.550 (encontro da 2ª linha com a

6ª coluna). Tal valor chama a atenção do empresário, pois, ele observa que houve uma

queda acentuada no faturamento em relação à média (258.430). Em decorrência desse

valor, o empresário vai à atrás dos motivos que levaram a essa diminuição.

2.0- Definição de Matriz: denomina-se matriz do tipo “m x n” (lê-se “m por n”) a toda

tabela de números, dispostos em “m” linhas e “n” colunas. Essa tabela pode ficar entre

parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas . As duas primeiras

representações são as mais utilizadas. Por exemplo:

3

33

210

023

451

33

tipodoAMatrizA

23

21

35

32

23

tipodoAMatrizB

3163231

tipodoAMatrizB

3.0- Representação Genérica de uma Matriz.

nmtipodoAMatriz

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

mnmmm

n

n

n

nm

...

....................................

...

...

...

321

3333231

2232221

1311211

É relevante observar que os índices da letra “A” representam a quantidade de

linhas (m) e a quantidade de colunas (n) existentes na matriz, por exemplo: A3x2 é a

matriz constituída por 3 linhas e 2 colunas. Os índices da letra “a” representam a linha

(i) e a coluna (j) em que se encontra o elemento, por exemplo: a32 é o elemento (aij )

que se encontra na 3ª linha (i = 3) e na 2ª coluna (j = 2). Podemos abreviar a

representação genérica por A = (aij)mxn.

Exemplos:

1) Em relação a matriz abaixo, determine:

a) a13 b) a32 c) 2.a22 + 4.a31 d) 5.a11 – 3.a12

4

210

023

451

33A

a) a13 = 4 (elemento que se encontra no cruzamento da 1a linha com a 3a coluna)

b) a32 = 1

c) 2.a22 + 4.a31 = 2.(-2) + 4.0 = -4

d) 5.a11 – 3.a12 = 5.(-1) – 3.5 = -5 – 15 = -20

2) Representar explicitamente a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = 3i – 2j.

licitaçãorepresentaA

a

a

a

a

a

a

jia

genéricaçãorepresenta

aa

aa

aa

x

ij

exp

57

24

11

52.23.3

71.23.3

22.22.3

41.22.3

12.21.3

11.21.3

)23(

23

32

31

22

21

12

11

3231

2221

1211

4.0- Tipos de Matrizes

10) Matriz quadrada: apresenta o número de linhas igual ao número de colunas. Exemplo:

0,2,4:sec

2,2,1:

210

023

451

33

undáriadiagonaldaelementos

prencipaldiagonaldaelementosA

20) Matriz identidade: Apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e

os demais elementos nulos.

5

100

010

001

33I

3o) Matriz Nula: apresenta todos os elementos nulos.

000

000

000

33O

4o) Matrizes Transpostas: as linhas da matriz A é, ordenadamente, igual as colunas

da matriz transposta At.

57

24

11

23 xA At

2x3=

521

741

Propriedades da Matriz Transposta

1a) (A + B)T = AT + BT

2a) (kA)T = k.AT

3a) (AT)T = A

4a) (A.B)T = AT.BT

5o) Matriz Diagonal: é a matriz que apresenta todos elementos não pertencente a

diagonal principal nulos. Por exemplo:

20

00

200

020

001

2

0

5

100

010

001

6o) Matriz Triangular

6

6.1) Matriz Triangular Superior: apresenta os elementos abaixo da diagonal principal

nulos. Por exemplo:

700

320

424

ou

7

32

424

6.2) Matriz Triangular Inferior: apresenta os elementos acima da diagonal principal

nulos. Por exemplo:

741

083

004

ou

741

83

4

70) Matriz Ortogonal: Uma matriz real A é ortogonal se, e somente se, o produto dela

pela sua transposta (vice-versa) resultar na matriz identidade: AxAt = At x A = I

80) Matriz Normal Uma matriz real A é normal se, e somente se, o produto dela pela

sua transposta apresenta comutatividade, ou seja, AxAt = At x A.

90) Matriz Simétrica: uma matriz A é simétrica se, e somente se, for igual a sua

transposta At (A = At).

100) Matriz Anti-simétrica: Uma matriz é anti-simétrica, se somente se, sua transposta

for igual a sua oposta (At = -A).

5.0- Igualdade de Matrizes: duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, todo

elemento de A é igual ao seu correspondente em B. Observe as matrizes abaixo.

2221

1211

22

2221

1211

22

bb

bb

Be

aa

aa

A

Dizemos que A = B 11

a = 11

b , 12

a = 12

b , 21

a = 21

b e 22

a = 22

b .

7

Exemplo:

- Determine P = 3x – 2y, sendo .

3

23

3168

2112

2

4

yy

x

Solução:

3081112

3112

3112

44

4

4

xx

x

x

4"'

0168

168

2

2

yy

yy

yy

82

42303

23

P

P

yxP

Exercícios

01) Calcule x e y tais que:

214

110

243

162

)

y

x

a

7

52

743

52

)2

3

yy

x

b

02) A matriz abaixo representa o desempenho de uma equipe de basquetebol nas seis

primeiras rodadas do campeonato nacional onde, cada elemento aij dessa matriz é o

número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j.

111215231817

231721191720

122415182422

181914172112

152117181716

a) Quantos pontos marcou o jogador de número 2 no jogo 4?

b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 5?

c) Quantos pontos marcou o jogador de número 4 em todos os jogos?

d) Quantos pontos aconteceram no jogo 6?

8

03) Represente explicitamente cada uma das matrizes:

a) A2x3 tal que aij = 2i – 4j

b) A2x2 tal que aij = (-2)i – 2j

c) A3x3 tal que aij =

ji

jiseji ,2

d) A3x3 tal que aij =

jseji

jiseji

jiseji

,

,

,

04) Determine P = 3x +2y sendo a matriz abaixo (A) simétrica.

.

52

224

232

33

yxx

yx

xx

A

05) Calcule x e y , de modo que:

.2

1253

015120050

)4

2

ordemdeidentidadematrizaigualSeja

x

xx

b

6.0- Adição de Matrizes

Ao somar as matrizes A(aij)mxn e B(bij)mxn , encontramos uma matriz C(cij)mxn tal que:

cij = aij + bij. Observe a operação abaixo.

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

baba

baba

bb

bb

aa

aabb

2

0243

062

)3

2

ordemdenulamatrizaigualSeja

y

xx

a

9

Exemplo: - Dadas as matrizes abaixo, determine:

7256

1253

5642

3454

BeA

a) A + B b) A – B. Solução:

a) A + B =

12898

46107

7256

1253

5642

3454

a) A - B = A + (-B) =

2414

2201

7256

1253

5642

3454

Aplicação:

01- Uma empresa, revendedora de computadores, é composta por duas lojas A e

B. realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de computadores nos

quatro primeiros dias de janeiro, encontrou-se os resultados representados pelas

matrizes A e B acima.

A matriz A representa o desempenho da loja A, sendo aij o número de unidades

vendidas do modelo i no dia j e a matriz B descreve o desempenho da loja B, sendo bij

o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. De posse dessas informações,

pergunta-se: Qual a representação matricial da quantidade vendida desses dois

modelos, nas duas lojas, nos 4 dias de janeiro?

Solução:

A + B =

12898

46107

7256

1253

5642

3454

02- Determine o desempenho da loja A em relação à loja B do exemplo anterior.

Solução:

10

Neste fato, devemos subtrair de cada elemento da matriz A o seu correspondente da

matriz B, obtendo o seguinte resultado:

A - B = A + (-B) =

2414

2201

7256

1253

5642

3454

O elemento a11 = 1 indica que a loja A vendeu uma unidade a mais do modelo 1, no dia

primeiro, do que a loja B; o elemento a21 = -4 nos indica que a loja A vendeu menos

4unidades do modelo 2, no dia primeiro, do que a loja B.

07- Propriedades da Soma de Matrizes

1a) Associativa: (A+B)+C = A+(B+C)

2a) Comutativa: A + B = B + A

3a) Elemento Neutro: A + O = O + A = A (O matriz nula mesma ordem de A)

4a) Elemento Oposto: A+A`=A`+A=O (O matriz nula mesma ordem de A e A`=-A)

8.0- Multiplicação de um Número por uma Matriz

Ao multiplicar um número por uma matriz, deve-se multiplicar esse número por todos

os elementos da matriz.

Exemplo:

Dadas a matriz

5642

3454

A , determine:

a) 3x A b) -5xA Solução:

a) 3x A =

1518126

9121512

5642

3454

3

b) -5xA =

25302010

15202520

5642

3454

5

11

9.0- Multiplicação de Matrizes

O produto de duas matrizes só pode ser realizado se, e somente se, o número de

colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz.

Para realizar a operação, devemos multiplicar cada linha da primeira matriz por

todas as colunas da segunda matriz.

O produto de linha por coluna é realizado da seguinte maneira:

1312

;

11aaa

311321121111

31

21

11

... bababa

b

b

b

Exemplo:

- Dada as matrizes

352

;

31 xA e

4

3

0

13 xB , determine A.B.

352

;

1331 xxBA 3121504.3.3.50.2

4

3

0

A partir desse momento, podemos resolver produto entre duas matrizes, onde, o

número de colunas da primeira tem que ser igual ao número de linhas da segunda

matriz.

- Dadas as matrizes ..mindet,

142

256

253

542

354

33

;

32BAeerBeA

Solução:

142

256

253

542

354;

175016

21579

=1331 xx

BA

12

171.52.42.2

504.55.45.2

162.53.43.2

211.32.52.4

574.35.55.4

92.33.53.4

10.0- Propriedades da Multiplicação de Matrizes

1a) Associativa: (A x B) x C = A x (B x C)

2a) Distributiva à direita: (A + B) x C = AxC + BxC.

3a) Distributiva à esquerda: Ax(B + C) = A x B + A x C.

4a) Sendo Amxn , tem-se que: AmxnxIn e Imx Amxn

5a) Sendo A e B duas matrizes e k uma constante, tem-se: (kA)B=A(kB)=k(AB).

6a) Sendo A e B duas matrizes, tem-se: (AxB)t = AtxBt.

EXERCÍCIOS

01- Represente explicitamente cada matriz abaixo:

a) A= (aij) 3x3 tal que aij = 3i – 2j

b) B= (bij)2x3 tal que bij = (-2)i + 2j

c) C = (cij)3x3 tal que cij =

jiseji

jiseji

,.2

,43

d) D = (dij)3x3 tal que dij =

jisei

jiseji

jiseji

j,

,.3

,

02- Determine 4x – 2y sendo

24

27

24

353 yx

03- Dadas as matrizes A3x3 =

645

256

245

e B3x3 =

352

213

150

, determine;

a) A + B b) A – B c) AT + B d) -2A+ 3BT

e) A.B f) A.I(iderntidade) g) A.BT h) (A – 2B).BT

13

04- Resolva

645

256

245

x

y

y

x

.

SINTESE DA UNIDADE

A finalidade dessa unidade é permitir que o aluno tenha o conhecimento das

propriedades das matrizes e suas operações.

DETERMINANTES Objetivo de Aprendizagem

- Conceituar determinante.

- Calcular o valor de um determinante através de regras práticas.

- Aplicar determinantes em problemas práticos.

1- Conceito

Determinante de 2a ordem.

- Observe a resolução do sistema abaixo, nas incógnitas x e y.

adac

cpaqy

cpaqycbadaqadyacx

cpbcyacx

aqdycx

cpbyax

Se, o coeficiente de y for diferente de zero (ad – cb 0), haverá apenas uma solução

para o sistema. Então, a expressão ad – cb é cognominada de determinante dos

coeficientes do sistema sendo representada por:

dc

ba

escoeficientdosMatriz

14

bcda

dc

ba

escoeficientdosanteDeter min

Observando a expressão ad – cb, verifica-se que ela surge da diferença do produto dos

elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária,

sendo um determinante de segunda ordem.

Nota:

Matriz é uma arrumação de números (tabela) e o determinante um número associado a

essa tabela.

Exemplo: 1) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes de cada sistema abaixo:

a)

125

42

yx

yx

b)

424

323

yx

yx

396

132)

yx

yxc

Solução:

a)

125

42

yx

yx

1545122

25

12

xx

b)

424

323

yx

yx

2862423

24

23

xx

396

132)

yx

yxc

018183692

96

32

xx

2- Determinante de terceira ordem: para resolver determinante de 3ª ordem,

utilizaremos uma regra prática conhecida como REGRA DE SARRUS.

15

Procedimento: Repetimos as duas primeiras colunas (ou as duas primeiras linhas) e, em seguida

subtraímos a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais pela soma

dos produtos dos elementos das diagonais secundárias. Da seguinte maneira:

idbhfagechdcgfbiea

hgihg

edfed

bacba

D ............

Exemplo:

- Calcule o valor do determinante dos coeficientes do sistema

3523

21232

23

zyx

zyx

zyx

Solução:

4251221333

223321531

23523

32232

11311

)

xa

5- Teorema de Laplace.

- Esse Teorema orienta a resolução de determinantes de matrizes quadradas de 2a, 3a,

..., enésima ordem. O método consiste em calcular a soma dos produtos dos elementos

de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.

Cofator.

Denominamos cofator do elemento aij o número Aij (lê-se: cofator do elemento aij),

definido por Aij = (-1)i+j.det.B, em que B é a matriz que se obtém eliminando-se a linha i

e a coluna j da matriz em estudo.

16

BA

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

Aji

ij

nnnjnnn

nj

nj

nj

nm.det.)1(

......

....................................

......

......

......

321

33333231

22232221

11311211

Exemplo:

1- Em relação a matriz abaixo, determine o cofator do elemento a12.

210

023

451

33A

Solução:

Observe que além de eliminarmos a 1a linha e a 2a coluna da matriz A3x3, verificamos

que o valor de i é1 e o de j é 2. Logo, apliquemos a fórmula BAji

ij.det.)1(

cofatorxxA 60023.1

20

03

.1321

12

. Agora que aprendemos calcular cofator, vamos resolver através do Teorema de

Laplace o determinante da matriz abaixo:

6435

3210

0023

2451

6435

3210

0023

2451

44

AAx

Sempre que for possível escolhe-se uma fila (linha ou coluna) que tenha o maior

número de zeros. Neste caso, escolhemos a 2a linha.

Para resolver esse determinante devemos somar o produto de cada elemento da linha

escolhida, no nosso caso, a segunda, pelo respectivo cofator.

17

40080.280.3

645

320

241

.2

643

321

245

.3.0.0.2.3

6435

3210

0023

2451

23232221

AAAAA

6- Propriedades dos Determinantes

6.1- O determinante de uma matriz triangular (os elementos abaixo ou acima da

diagonal principal são nulos) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

12621

634

025

001

12621

600

320

451

ou

6.2- Multiplicando uma fila de uma matriz quadrada B por uma constante real K, obtém-

se uma nova matriz k.B tal que detB = det k.B. Por exemplo:

.mindetmindet

26

46

51

)2(232

51

13

23

51

23

51

BdeanteerovezesduasaigualéAdeanteeroqueObserve

AB

6.3- Teorema de Binet

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então, o determinante do

produto das matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes.

det(A.B) = detA . detB

Ex.: Verifique se a igualdade abaixo é verdadeira.

18

156121312

36

04

36

04

det13

23

51

23

51

det

156

624

1534

det

624

1534

36

04

23

51

:

36

04

det

23

51

det

36

04

23

51

det

Solução

6.4- Teorema de Jacobi

Em uma matriz quadrada A, adicionando-se a uma fila qualquer uma múltipla de

uma fila paralela, obtém-se uma matriz B tal que det A = det B.

BAOnde

gkihg

dkfed

akcba

B

BmatrizaseobtémcolunaaoadicionandekporcolunaandoMultiplica

ihg

fed

cba

A

aa

detdet,

.

.

.

.31

7- Matrizes Inversas

Definição: uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se, e somente se, existir

uma matriz B, de mesma ordem, tal que AxB = BxA = In (In é uma matriz identidade

de ordem n)

Notas:

19

1a) Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se, e somente se, det A 0.

2a) Uma matriz quadrada é dita Singular se o seu determinante é nulo. Caso

contrário, dizemos que é uma matriz Não-Singular.

2a) O determinante do inverso de uma matriz é igual a inverso do determinante

dessa matriz.

AA

det

1det

1

Exemplo:

- Dada a matriz

24

11

22 xA :

a) Verifique se é invisível.

b) Caso afirmativo, determine sua inversa.

Solução:

a) 642

24

11

A

- Como o determinante é diferente de zero, verificamos que a matriz apresenta

inversa.

b)

:

dc

ba

24

11

dbca

dbca

2424

10

01

3/13/2024

1

aec

ca

ca

6/16/1124

0

deb

db

db

20

6

1

3

1

6

1

3

1

1A

SINTESE DA UNIDADE

A finalidade dessa unidade é permitir que o aluno tenha o conhecimento sobre

resoluções de determinantes utilizando algumas regras práticas, bem como das

propriedades dos mesmos.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEAES

Objetivo de Aprendizagem

- Aplicar os conceitos de determinantes na resolução de sistemas.

- Discutir a resolução de um sistema linear.

- Aplicar sistemas lineares em problemas práticos.

1- Equação Linear: é a equação do 1º grau que pode ser apresentada sob a forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b onde:

te)independen(termoreal constanteb

escoeficient dedenomnadasreais constantesa,...,a,a,a

ingógnitasx..., , x, x,x

n321

n321

Exemplos:

Na equação 3x – 4y + 2z = 6, temos:

teindependentermo6

escoeficient2,4,3

ingógnitaszy,x,

Observe que as equações ax2 – 3y + 7z = 6, x – 3yz + z = 9 e x-1 + y = 3 não são

lineares.

21

2- Solução de uma Equação Linear.

Denomina-se solução de uma equação linear toda ênupla de números tal que

substituindo esses números na equação transformam a mesma numa identidade.

Exemplos

1) Verifique se a terna (ou tripla) (2, 3, 1) é solução da equação x + 3y – 2z = 9.

x + 3y – 2z = 9

2 + 3.3 -2.1=9

9 = 9 (V)

2- Verifique se a (-1, 2, 4, 0) é solução da equação 2x + 4y – z + 2w = 12.

2x + 4y – z + 2w = 12

2(-1) + 4.2 -4 + 2.0 = 12

-2 + 8 – 4 = 12

2 = 12 (F)

3- Quantas soluções tem a equação -2x + 3y – z = 5.

Para saber quantas soluções têm uma equação linear, devemos dá valores arbitrários,

nesse caso, a duas variáveis e encontrar o valor da terceira.

(2, 0, z) -2.2 + 3.0 – z = 5 z = -9, logo, (2, 0, -9) é solução.

(1, 3, z) -2.1 + 3.3 – z = 5 z = 2 , logo, (1, 3, 2) é solução. Assim por diante.

Em função disso, concluímos que essa equação apresenta várias soluções.

4- A equação 0x + 0y = 3, é possível ou impossível?

A equação é impossível, pois, para qualquer valor adicionado a x ou a y, não torna a

mesma numa identidade.

5- A equação 0x + 0y = 0 é possível ou impossível?

A equação é possível e determinada, pois, para qualquer valor adicionado a x ou a y,

torna a mesma numa identidade.

22

3- Equação Linear Homogênea.

É toda equação linear que apresenta o termo independente nulo.

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = 0

Exemplos:

a) 3x – 2y = 0 b) x – 4y + 2z = 0

Nota: toda equação linear homogênea apresenta solução trivial (nula).

4- Sistema de Equações Lineares.

É um conjunto de equações lineares simultâneas, nas mesmas incógnitas. Por

exemplo:

12523

2232

43

zyx

zyx

zyx

5- Solução de um sistema Linear.

É toda solução comum a todas as equações do sistema. Contudo, essa solução pode

não existir.

Exemplo:

- verifique se as ternas (2, -4, 0) e (-1, 5, 2) são soluções do sistema.

3523

21232

23

zyx

zyx

zyx

- Inicialmente, substituímos a terna (2, -4, 0) no sistema.

F

F

V

32

2116

22

30.54.22.3

210.24.32.2

20.342

23

Observa-se que não existe identidade nas 3 equações, logo, a terna (2, -4, 0) não é

solução do sistema.

- Agora, substituímos a terna (-1, 5, 2) no sistema.

V

V

V

33

2121

22

32.55.21.3

212.25.31.2

22.351

Observa-se que existe identidade nas 3 equações, logo, a terna (-1, 5, 2) é solução do

sistema.

Nota: Sistema linear homogêneo é todo sistema que apresenta os termos

independentes das equações nulos.

0523

023

043

zyx

zyx

zyx

Todo sistema linear homogêneo admite solução nula (trivial). No exemplo acima, a

solução é a tripla (0, 0, 0).

6- Classificação de um sistema Linear.

6.1- Sistema possível e determinado (SPD): apresenta uma única solução.

Exemplo:

)3,2(532

5soluçãoúnicaumaapresenta

yx

yx

6.2- Sistema impossível (SI): não apresenta solução. Exemplo:

.

5

633soluçãoapresentanão

yx

yx

24

Note que para mesmos valores de x e y, a expressão yx 33 não pode assumir, ao

mesmo tempo, valor 6 e 5.

3x+3y=6 (retas paralelas)

x+y=5

6.3- Sistema possível e indeterminado (SPI): apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

.inf3

622soluçõesinitasapresenta

yx

yx

2x+2y=6 (retas paralelas coincidentes)

x+y=3

7- Sistema Linear Escalonado.

33

142

23

3300

1420

23

)

z

zy

zyx

ou

zyx

zyx

zyx

a

30

42)

yx

yxb

Observe os sistemas abaixo:

2000

030

12

)

zyx

zyx

zyx

a

20

1543

0000

20

1543

)zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

b

25

No item a, não foi possível o escalonamento, pois os coeficientes da última equação

são nulos, contudo, ao tentar escalonar verificamos que o sistema é impossível.

No item b, como os coeficientes das incógnitas da 3a equação e o termo independente

são nulos, abandonamos essa equação, resolvendo o sistema que é equivalente ao

original.

8- Resolução de um Sistema Linear Escalonado.

8.1- Número de equações igual ao número de incógnitas.

8400

340

113

zyx

zyx

zyx

Solução:

4z = 8 -y – 4z = -3 x + y – 3z = -11 S = {(0, -5, 2)} SPD z = 2 -y – 4.2 = -3 x – 5 – 3.2 = -11 y = -5 x = 0 8.2- Número de equações menor que o número de incógnitas.

14

43

zy

zyx

* Todo sistema linear do tipo 8.2 apresenta pelo menos uma variável livre (variável que

não aparece no início de nenhuma equação do sistema escalonado). No exemplo

acima, por convenção temos z como variável livre, ou seja, pode assumir qualquer

valor real.

14

43

zy

zyx

Resolução:

y – 4z = 1 x + y – 3z = 4 S = {(3-z, 1+4z, z), z }

y = 1+ 4z x +1 + 4z – 3z = 4

x +1 + z = 4

x = 3 – z

Esse tipo de sistema apresenta várias soluções, ou seja, é SPI.

26

Nota: denomina-se grau de indeterminação de um sistema linear do tipo 8.2 o número

de variáveis livres. Nesse caso o grau de indeterminação é 1.

9) Sistemas Lineares Equivalentes (A B).

Dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, apresentarem o mesmo

conjunto solução.

Exemplo:

Dados os sistemas:

822

42

1624

4

yx

yxBe

yx

yxA

Observe que a solução do A é (4, 0) e do B (4,0), logo, são equivalente (A B).

10- Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento. Exemplo: Resolva os sistemas lineares por escalonamento e classifique.

3523

21232

23

)

zyx

zyx

zyx

a

6554

12

232

)

zyx

zyx

zyx

b

1875

1543

0332

)

zyx

zyx

zyx

c

Solução:

3121)3(,)2(

340

17450

23

3523

21232

)3()2(23

)

LLLL

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

ezyx

a

32)5(

321600

340

23

17450

5340

23

LL

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

27

Então:

2,5,1,,

123

534

23216

zyx

xzyx

yzy

zz

O escalonamento foi feito da seguinte maneira:

1- Multiplicou-se a 1a equação por (-2), adicionando o resultado a segunda. Em

seguida, multiplicou-se a 1a equação por (-3), adicionando o resultado a terceira.

2- Para facilita, permutou-se a 2a com a 3a equação.

3- multiplicou-se a 2a equação por (-5), adicionando o resultado a terceira.

SI

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

ezyx

zyx

zyx

zyx

b

2000

00

12

230

1030

12

6554

232

4212

6554

12

232

)

20

0332

0000

20

0332

20

120

0332

21875

21543

530332

)

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

ezyx

c

zzzzyxzxzyx

zyzy,2,33,,

330332

22

, com zR

O escalonamento foi feito da seguinte maneira:

1-Multiplicou-se a 1a equação por (-3), adicionando o resultado a segunda multiplicada

por (2). Em seguida, multiplicou-se a 1a equação por (-5), adicionando o resultado a

terceira multiplicada por (2).

28

2- multiplicou-se a 2a equação por (-1), adicionando o resultado a terceira.

3- Abandonou-se a 3a equação.

11- Resolução de um Sistema Linear pela Regra de Cramer.

A Regra de Cramer é uma lei que associa a resolução de sistemas de equações

lineares através dos determinantes. O observemos o exemplo abaixo:

- Resolva o sistema abaixo utilizando a Regra de Cramer.:

3523

21232

23

zyx

zyx

zyx

Solução:

Determinamos as matrizes dos coeficientes e das varáveis da seguinte maneira: Mc

(matriz dos coeficientes das incógnitas), Mx (substitui a coluna dos coeficientes da

incógnita x pela coluna dos termos independentes), My (substitui a coluna dos

coeficientes da incógnita y pela coluna dos termos independentes) e Mz (substitui a

coluna dos coeficientes da incógnita z pela coluna dos termos independentes). Calcula-

se o determinante de cada matriz. Em seguida, aplicam-se as seguintes fórmulas:

Mc

Mzze

Mc

Myy

Mc

Mxx ,

523

232

311

523

232

311

. McMc -16

523

2321

312

523

2321

312

. MxMx 16

29

533

2212

321

533

2212

321

. McMy -80

323

2132

211

323

2132

211

. McMz -16

1,5,1

116

16,5

16

80,1

16

16

V

Mc

Mzz

Mc

Myy

Mc

Mxx

Exercício: 01- Resolva os sistemas utilizando escalonamento e a regra de Cramer:

8523

4242

432

)

zyx

zyx

zyx

a

38423

332

6642

)

zyx

zyx

zyx

b

7423

0324

33

)

zyx

zyx

zyx

c

1323

12

722

)

zyx

zyx

zyx

b

SINTESE DA UNIDADE

A finalidade dessa unidade é permitir que o aluno tenha o conhecimento dos

sistemas de equações lineares, saiba identificá-los, discuti-los e identificar as

possíveis soluções.

30

UNIDADE IV

ESPAÇOS VETORIAIS

Objetivo de Aprendizagem

- Definir espaços vetoriais.

- Identificar um espaço vetorial aplicando os axiomas.

- Definir subespaço vetorial.

- Conceituar Combinação Linear.

1- Introdução

- Sabe-se que o conjunto R2 = {(x, y) / x,y R} representa geometricamente o plano

cartesiano, onde o par (x, y) pode ser a representação de um ponto e, nesse caso, x

e y são coordenadas, ou pode ser a representação de um vetor e, nesse caso, x e y

são componentes (ou coordenadas). O conjunto R3 = {(x, y, z) / x,y,z R}

representa geometricamente o espaço tridimensional. Acima de 3 perde-se a visão

geométrica de espaços, contudo, podemos trabalhar com a idéia de espaços como

R4 (quarta dimensão), R5 (quinta dimensão), ..., Rn (enésima dimensão).

Rn = {(x1, x2, x3, ..., xn) / xi R}

Para trabalhar no espaço Rn utiliza-se, como espelho, os espaços R2 e R3. Observe: u = (x1, x2, x3, ..., xn) e v = (y1, y2, y3, ..., yn) vetores em Rn e k um escalar.

a) u = v se, e somente se, x1 = y1, x2 = y2, x3 = y3, ..., xn = yn.

31

b) u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3..., xn + yn)

c) k.u = (kx1, kx2, kx3, ..., kxn)

d) u x v = (x1 x y1, x2 x y2, x3 x y3, ..., xn x yn)

e) 22

3

2

2

2

1...

nxxxxuuu

Nota: o vetor u = (x1, x2, x3, ..., xn) pode surgir com a notação matricial.

n

n

x

x

x

u...

2

1

1 ( matriz coluna)

2- Definição:

Todo conjunto V, cujos elementos são vetores, não-vazio, sobre o qual estão

definidas as operações adição e multiplicação por um escalar (u. v V, u + v V e t

R, u V, tu V) é denominado espaço vetorial real quando verificados os

seguintes axiomas:

A) Em relação à adição:

A1) (u+v)+w = u+(v+w), u,v,w V

A2) u+v = v+u, u,v V

A3) 0 V, u V, u + 0 = u

A4) u V, (-u) V, u + (-u) = 0

B) Em relação à multiplicação por escalar:

B1) (tp)u=(tp)(x1, y1)=((tp)x1, (tp)y1)=(t(px1),t(pky1))

(tp)u= t(px1, py1)=t(p(x1, y1))

(tp)u=t(pu)

B2) (t+p)u=(t+p)( x1, y1)=((t+p)x1, (t+p)y1)=(tx1+px2,ty1+py1)

(t+p)u=(tx1+ty1, px1+py1)=t(x1+y1) + p(x1+y1)

(t+p)u = tu + pu

B3) t(u+v) = t((x1, y1)+ (x2, y2)) = t(x1+ x2, y1+ y2) =(t(x1+ x2), t(y1+ y2))

t(u+v) = t(x1, y1) + t(x2, y2)

t(u+v) = tu + tv

B4) 1u = 1(x1, y1) = (1x1,1y1) = (x1, y1)

1u = u

32

Exemplos:

1- Verifique se V = {(x, y) R2 / y = /x/} é um espaço vetorial.

Escolhemos dois vetores arbitrários u = (x1, /x1/) e v = (x2, /x2/) e verificamos as

operações de adição e multiplicação por um escalar.

a) u + v = (x1, /x1/) + (x2, /x2/) = (x1 + x2, /x1/ + /x2/)

*Observe que x1, x2, y1 e y2 são reais, logo (x1 + x2) ϵ R e (/x1/ + /x2/) ϵ R.

Então, por enquanto, V é um espaço vetorial.

b) t.(x1, /x1/) = (tx1, t/x2/),

* Sendo t um número real, então, tx e t/x2/ também são reais. Portanto, o

conjunto V = {(x, y) R2 / y = /x/} é um espaço vetorial.

Utilizando o exemplo acima, verificaremos os oito axiomas de espaço vetorial.

A1) Associativa da adição

(u+v)+w = [(x1, y1) +(x2, y2)] + (x3, y3) = [(x1+ x2, y1+ y2)] + (x3, y3) = [(x1+ x2) + x3,

(y1+ y2) + y3] = [x1 + (x2 + x3), y1 + (y2+ y3)] = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] =

u + (v+w)

A2) Comutativa da Adição

u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

v + u = (x2, y2) +(x1, y1) (x2 + x1, y2 + y1)

Como, x1 + x2 e y1 + y2 são reais, então, x2 + x1 e y2 + y1 também são reais, logo,

u + v = v + u.

A3) Elemento Neutro

0 = (0, 0) R2, u = (x1, y1) R2 tal que:

u + 0 = (x1, y1) + (0, 0) = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1, y1) = u

A4) Elemento Simétrico

u = (x1, y1) R2, (-u) = (-x1, -y1) R2 tal que, u + (-u) = 0.

u + (-u) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1 - x1, y1 - y1) = (0, 0)

B1) ()u=()(x1, y1)=[()x1, ()y1] = [(x1), (y1)] = (x1, ky1)= [ (x1, y1)]

= (u)

33

B2)(+)u=(+)(x1,y1)=((+)x1,(+)y1)=(x1+x2,y1+y1)=(x1+y1,x1+y1) =

= (x1+y1) + (x1+y1) = u + u

B3) (u+v) = ((x1, y1)+ (x2, y2)) =(x1+ x2, y1+ y2) =((x1+ x2), (y1+ y2)) = (x1, y1)

+ (x2, y2) = u + v

B4) 1u = 1(x1, y1) = (1x1,1y1) = (x1, y1)

1u = u

Logo, V = R2 é um espaço vetorial.

2- Verifique se o conjunto V ={(x, y) R2 / x2 0} é um espaço vetorial.

Sejam v1(x1, y1) e v2(x2, y2) dois elementos pertencentes ao conjunto V.

a) v1 + v2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

Observe que x1 e x2 são reais positivos e não nulo, logo: (x1 + x2) ϵ R+* e (y1 + y2) ϵ

R. Por enquanto, V é um espaço vetorial.

b) t.u = t(x1, y1) = tx1 + ty1

t R, logo, tx1 R, portanto, tx1 pode assumir valor negativo. Então, concluímos

que V ={(x, y) R2 / x2 0} não é um espaço vetorial.

3- Verifique se o conjunto dos números inteiros constitui um espaço vetorial.

V = {(x, y) R2 / x, y Z}

a) u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

Note que a soma de dois inteiros gera um inteiro, portanto, por enquanto temos

um espaço vetorial.

b) t.v = t.(x, y) = (tx, ty).

* Sendo t um número real, então, tx e ty também são reais. Portanto, o conjunto V

= Z não é um espaço vetorial, pois t pode assumir valor decimal, como por

exemplo, t = 0,7.

3- Subespaços vetoriais

Definição:

- Entende-se por subespaço vetorial S, ao subconjunto S não-vazio do espaço

vetorial V, onde S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por

escalar definidas em V.

34

- É relevante citar que todo espaço V admite pelo menos dois subespaços vetoriais:

o subespaço nulo {0} e o próprio espaço vetorial V. Esses dois subespaços são

chamados subespaços triviais.

Exemplos:

1- Dados os conjuntos V = R2 e S = {(x, y) R2/ y = 3x}. Verifique se S é um subespaço

de V.

a) V(0, 0) → x = 0, y = 3.0 = 0

* Observe que S é não-vazio, logo, (0, 0) pertence a S. Por enquanto é subespaço

vetorial.

b) u = (x1, 3x1) e v = (x2, 3x2) vetores arbitrários pertencentes a S.

b.1) u + v = (x1, 3x1) + (x2, 3x2) = (x1 + x2, 3x1+ 3x2) = (x1 + x2, 3(x1 + x2)).

* Observe que a segunda componente da soma é igual ao triplo da primeira, logo, (x1 +

x2, 3(x1 + x2)) pertence a S. Por enquanto é um subespaço vetorial.

b.2) t.u = t.( x1, 3x1) = (tx1, t3x1) = (tx1, 3(tx1)).

* Observe que a segunda componente de t.u é igual ao triplo da primeira, logo, (tx1,

3(tx1)) pertence a S.

Portanto, S = {(x, y) R2/ y = 3x} é um subespaço de R2.

y = 3x

Os pontos (x, y) que pertencem à reta formam o subconjunto de V.

35

2- Verifique se S = {(x, y) R2 / y = 3./x/} é um subespaço de V = R2.

a) Inicialmente verificamos que (0, 0) S, pois se x = 0, y = 3./0/ =0

b) u = (x1, 3/x1/) e v = (x2, 3/x2/)

u + v = (x1, 3/x1/) + (x2, 3/x2/) = [(x1 + x2) , (3/x1/ + 3/x2/)] = [(x1 + x2) + 3(/x1/ + /x2/)]

Observe que (x1 + x2) e 3(/x1/ + /x2/) R. Por enquanto, S é um subespaço vetorial de

V.

c) tu = t(x1, 3/x1/) = u = (tx1, t.3/x1/)

Observe que, tanto tx1, como t.3/x1/ pertencem aos reais, logo, S não é um subconjunto

de V, em virtude de t.3/x1/ assumir valor negativo, caso t < 0.

3- O conjunto S = {(x, y, 0) / x,y R} é um subespaço vetorial de R3?

a) O(0,0,0) vetor nulo

(x, y, 0) = (0, 0, 0) S. Por enquanto, S é um subespaço vetorial de R3.

b) u(x1, y1, 0) e v(x2, y2, 0)

u + v = (x1 + x2, y1 + y2,0 + 0).

Observe que as 3 componentes x1 + x2, y1 + y2 e 0 + 0 são reais, logo, S continua

sendo subespaço de R3.

c) t.u = t.(x1, y1, 0) = (tx1, ty1, 0).

Note que tx1, ty1, 0 são números reais, logo, afirmamos que S = {(x, y, 0) / x,y R}

é um subespaço vetorial de R3.

4- Verifique se 00,y

xV

yex é um subespaço vetorial de R2.

a) O (0, 0) 2

0

0V R

b)

21

21

2

2

1

1

1

1

2

1

1

1

y

x

y

x

y

x

y

xv

y

xv

y

xe .

Observe que 21

x x e 21

y y são números reais, logo, por enquanto temos um

subespaço vetorial de R2.

36

c)

1

1

1

1

1

1

1

1

t.y

t.x

y

x.v.

y

xv tt

Sendo t.x1 e t.y1 números reais, onde t pode assumir valor negativo, afirmamos que

00,y

xV

yex não é um subespaço de R2.

5- O conjunto S = {(x,y) R2 / y = 6 – 5x} é um subespaço vetorial de R2?

a) O (0, 0) x = 0 e y = 6 – 5.0 = 6.

Observe que S não apresenta o conjunto vazio, portanto, S = {(x,y) R2 / y = 6 – 5x}

não é um subespaço vetorial de R2.

4- Combinação Linear

Dados os vetores v1, v2, v3, ..., vn pertencentes ao espaço vetorial V e os escalares

p1, p2, p3, ..., pn pertencentes aos reais. Dizemos que v é uma combinação linear dos

vetores v1, v2, v3, ..., vn se, e somente se, v = p1.v1 + p2.v2 + p3.v3 + ... + pn.vn.

Exemplo:

1- Considere os vetores v1 = (1, 2 -3) e v2 = (3, -1, 4) pertencentes a R3. Escrever o

vetor v = (0, 5, -2) como combinação linear dos vetores v1 e v2.

Solução:

v = k1v1 + k2v2

(0, 5, -2) = k1(1, 2 -3) + k2(3, -1, 4)

(0, 5, -2) = (k1 + 3 k2, 2 k1 – k2, -3 k1 + 4 k2)

7

5ke

7

15k

5k 4 + k -

5k -k 2

0k 3 + k

2 1

21

2 1

21

Logo, 7

5

7

1521

vvv

37

2- Dados os vetores v = (4, 2) e w = (-2, 3) pertencentes a R2. Escreva o vetor u = (0, 5)

como combinação linear dos vetores v e w.

u = av + bw

(0, 5) = a.(4, 2) + b.(-2, 3)

(0, 5) = (4a, 2a) + (-2b, 3b)

wvuLogo

aa

ba

bb

ba

ba

ba

ba

4

5

16

5,

16/504

524

024

4/5108

1064

024

)2(532

024

3- Considere os vetores v1 = (3, 2 -1), v2 = (4, -1, 5) e v3 = (2, -3, 6) pertencentes a R3.

Escrever o vetor v = (1, , 3, -2) como combinação linear dos vetores v1, v2.e v3.

v = a.v1 + b.v2 + c. v3

(1, , 3, -2) = a. (3, 2 -1) + b. (4, -1, 5) + c. (2, -3, 6)

(1, , 3, -2) = (3a, 2a, -1a) + (4b, -1b, 5b) + (2c, -3c, 6c)

(1, , 3, -2) = (3a + 4b + 2c, 2a –b -3c, -a + 5b + 6c)

-26c + 5b + a-

33c- b- 2a

12c + 4b + 3a

Aplicando Regra de Cramer

331914)45242()201218(

651

312

243

M

38

136148)72154()30246(

652

313

241

Ma

252449)12186()8354(

621

332

213

Mb

26304)16451()10126(

251

312

143

Mc

33

26,

33

25,

33

13

M

Mcc

M

Mbb

M

Maa

Então, v = 33

13 .v1 + .

33

25v2 +

33

26.v3

SINTESE DA UNIDADE

A finalidade dessa unidade é permitir que o aluno identifique um espaço

vetorial utilizando os axiomas, bem como definir subespaço vetorial. Identificar

quando um vetor forma uma combinação linear com outros vetores.

39

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Objetivo de Aprendizagem

- Definir Transformação Linear.

- Identificar se uma aplicação resulta em uma transformação linear.

Introdução

Durante nossos estudos de matemática, verificamos vários tipos de funções

reais. Agora estudaremos um tipo especial de função, onde o domínio e o

contradomínio são espaços vetoriais, razão pela qual essas funções são chamadas

vetorias. O nosso estudo será dirigido, particularmente para as funções lineares, que

serão denominadas de transformações lineares.

Representa-se uma transformação linear T do espaço vetorial V no espaço

vetorial W por T:V W, sendo T uma função e cada vetor v V apresenta apenas

uma imagem w W indicada por w = T(v).

Definição:

- Sejam V e W espaços vetoriais Denominamos de transformação linear de V em W

a função (aplicação) T: V W se:

a) T(u + v) = T(u) + T(v)

b) T(n.u) = nT(u)

u, v V e n R.

Nota: denominamos operador linear sobre V, a transformação linear de V em V.

Nesse caso V = W.

Exemplos:

1- Sejam V = R2 e W = R3 espaços vetoriais. Verifique se a transformação linear T:

R2 R3, T(x, y) = (3x, -2y, x-y) associa vetores v = (x, y) R2 com vetores w = (x,

y, z) R3. Construa o diagrama para 3 vetores pertencentes a v e suas

correspondentes imagens w.

40

Solução:

Para verificar se a aplicação T(x, y) = (3x, -2y, x-y) representa uma transformação

linear, devemos utilizar dois vetores genéricos u = (x1, y1) e v = (x2, y2) R2 e uma

constante n R, para mostrar a veracidade das igualdades T(u + v) = T(u) + T(v) e

T(nu) = nT(u).

a) T(u+v) = T(u) + T(v) ?

T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2) (substituindo em T(x, y) = (3x, -2y, x-y))

T(u+v) = [3(x1 + x2), -2(y1 + y2), (x1 + x2 )- (y1 + y2)]

T(u+v) = (3x1 +3 x2, -2y1 -2 y2, x1 + x2 - y1 - y2)

T(u+v) = (3x1, -2y1, x1 – y1) + (3x2, -2y2, x2 – y2)

T(u+v) = T(u) + T(v)

b) T(nu) = nT(u) =? (x1, y1) R2 e n R

T(nu) = T(nx1, ny1) (substituindo em T(x, y) = (3x, -2y, x-y))

T(nu) = (3nx1, -2ny1, nx1 – ny1) (colocando em evidência n)

T(nu) = n(3x1, -2y1, x1 – y1)

T(nu) = n.T(u)

Como, T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nT(u), concluímos que a aplicação T(x, y) = (3x, -2y, x-y) representa uma transformação linear. Selecionamos os vetores (1, 2); (2,,-1) e (0, 0) pertencentes a V, determinamos suas respectivas imagem. T(x, y) = (3x, -2y, x-y) T(1, 2) = (3x1,-2x2,1-2) = (3, -4, -1) T(2,-1) = (3x2,-2x(-1),2-(-1)) = (6, 2, 3) T(0, 0) = (0x0,0x0,01-0) = (0, 0, 0) V = R2 W = R3 T (1,2) (3,-4,-10) (2,-1) (6, 2, 3) (0,0) (0, 0, 0)

41

2- Verifique se a função T: R R, T(x) = 5x representa uma transformação linear. Vamos utilizar dois vetores u = x1 e v = x2 (nesse caso, são números reais)

quaisquer pertencentes a R para provar as igualdades. a) T(u+v) = T(u) + T(v) ?

T(u+v) = T(x1 + x2) (substituindo em T: R R, T(x) = 5x) T(u+v) = 5(x1 + x2) T(u+v) = 5x1 + 5x2 T(u+v) = T(u) + T(v)

b) T(nu) = nT(u) ? u = x1 R e n R T(nu) = T(n.x1) T(nu) = 5.nx1 T(nu) = n(5x1) T(nu) = n.T(u)

Pela veracidade de T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nT(u), concluímos que a

aplicação T: R R, T(x) = 5x representa uma transformação linear.

Nota: o gráfico da transformação linear T: R R, T(x) = 5x representa uma reta que passa na origem, logo, se uma transformação representar uma reta que não passa na origem, dizemos que ela é não linear.

3- Verifique se a função T: R R, T(x) = 2x + 3 representa uma transformação linear.

Vamos utilizar dois vetores u = x1 e v = x2 quaisquer pertencentes a R para provar as igualdades. a) T(u+v) = T(u) + T(v) = ?

T(u+v) = T(x1 + x2) (substituindo em T: R R, T(x) = 2x + 3) T(u+v) = 2(x1 + x2) + 3 T(u+v) = 2x1 + 2x2 + 3 T(u+v) = (2x1 + 3) + 2x2 Obseve que T(u) = (2x1 + 3) e T(v) = (2x2 + 3), logo:

T(u+v) T(u) + T(v)

2x1 + 2x2 + 3 2x1 + 2x2 + 6

42

Pelo resultado, concluímos que a aplicação T: R R, T(x) = 2x + 3 não representa uma transformação linear.

4- A aplicação T: R2 R3; T(x,y) = (x, y, (x + y)) representa uma transformação

linear?

Vamos utilizar dois vetores genéricos u = (x1, y1) e v = (x2, y2) R2 e uma

constante n R, para mostrar que as igualdades T(u + v) = T(u) + T(v) e T(nu) =

nT(u) são verdadeiras.

T(u+v) = T(u) + T(v) = ?

T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2) (substituindo em T(x,y) = (x, y, (x + y))

T(u+v) = (x1 + x2, y1 + y2, x1 + x2 + y1 + y2)

T(u+v) = (x1 + x2, y1 + y2, (x1 + y1)+ (x2 + y2))

T(u+v) = [x1, y1, (x1 + y1)] + [x2, y2, (x2 + y2)]

T(u+v) = T(u) + t(v)

T(nu) = nT(u) ? (x1, y1) R2 e n R

T(nu) = T(nx1, ny1) (substituindo em T(x, y) = (3x, -2y, x+y))

T(nu) = (3nx1, -2ny1, nx1 – ny1) (colocando em evidência n)

T(ku) = n(3x1, -2y1, x1 – y1)

T(ku) = n.T(u)

Pela veracidade de T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nT(u), concluímos que a

aplicação T: R2 R3; T(x,y) = (x, y, (x + y)) representa uma transformação linear.

5- A aplicação T: R3 R2; T(x, y, z) = (x + y, y + 1), representa uma transformação

linear?

Solução:

Vamos utilizar dois vetores genéricos u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) R3 e uma

constante n R, para mostrar que as igualdades T(u + v) = T(u) + T(v) e T(nu) =

nT(u) são verdadeiras.

T(u+v) = T(u) + T(v) = ?

T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) (substituindo em T(x,y) = (x + y, y + 1))

T(u+v) = (x1 + x2, y1 + y2, y1 + y2 + 1)

T(u+v) = (x1, y1, y1) + (x2, y2, y2 + 1)

43

T(u+v) ≠ T(u) + t(v), logo:

A aplicação T: R3 R2; T(x, y, z) = (x + y, y + 1), neste caso, não transforma R3

em R2.

Obs.: Numa transformação linear, quando o vetor nulo gera outro vetor nulo, acontece

a transformação, caso as igualdades T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nT(u), forem

confirmadas. Contudo, se o vetor nulo não gerar outro vetor nulo, podemos afirmar que

não existe transformação linear, sem precisar mostrar as igualdades.

SINTESE DA UNIDADE

A finalidade dessa unidade é permitir que o aluno identifique a existência de uma

transformação linear utilizando as igualdades T(u+v) = T(u) + T(v) e T(nu) = nT(u).

Saudações Educacionais,

Anicio Bechara arero.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA:

CALLIOLI, Carlos A. – Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo: Atual, 1978

IEZZI, Gelson; DOLCI, Olvaldo; MURAKAMI, Carlos – Fundamentos de Matemática

Elementar – 7. ed. - São Paulo: Atual, 1981

NOBLE, Ben e James, W. Daniel – Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentia-Hall do

Brasil Ltda., 1986

STEINBRUCH, Alfredo. - Álgebra Linear. 2.ed. – As~Paulo: McGraw-Hill, 1987.