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APRENDENDO ESTATÍSTICA
O ensino de Estatística vem se tornando um desafio, tanto para quem está
ensinando, tanto quanto para quem está aprendendo.
Foi pensando nesta ramificação da Matemática, tão particular, com
notação própria e hoje aplicada também às áreas ligadas à Administração de
Empresas, Economia, entre outras, que este curso foi elaborado.
Este trabalho foi construído com as notas de aulas efetuadas nos diversos
cursos de Gestão e tem como objetivo uma visão básica e clara da Estatística como
vem sendo estudado nos diversos cursos em nível de graduação.
Bom estudo!
Carlos Alberto Stechhahn
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Sumário
1. Introdução à Estatística. .................................................................................................................................4
2. Conceitos fundamentais. ................................................................................................................................7
2.1 População e amostra. .....................................................................................................................................7
2.2 Processos Estatísticos de Abordagem ...........................................................................................................8
2.2.1 Censo. ..........................................................................................................................................................8
2.2.2 Estimação. ...................................................................................................................................................8
2.3 Dados Estatísticos ...........................................................................................................................................8
2.4 Estatística Descritiva .......................................................................................................................................8
2.5 Dados Brutos ..................................................................................................................................................9
2.6 Rol ...................................................................................................................................................................9
3. Séries Estatísticas ............................................................................................................................................9
3.1 Apresentação de dados estatísticos ...............................................................................................................9
3.2 Distribuição de freqüência – variável discreta ............................................................................................ 10
3.3 Distribuição de freqüência – variável contínua ........................................................................................... 10
3.3.1 Frequência Simples Absoluta da Classe .................................................................................................... 11
3.3.2 Amplitude Total ........................................................................................................................................ 11
3.3.3 Intervalo de Classe .................................................................................................................................... 11
3.4 Frequência Relativa Percentual (fR%) de um elemento de série ................................................................. 23
3.5 Frequência Acumulada (Fi) de um elemento de série ................................................................................. 28
3.6 Frequência Acumulada Relativa, FRi% .......................................................................................................... 28
3.7 Representação Gráfica ................................................................................................................................ 28
Alfabeto Grego e o correspondente Alfabeto Latino 40
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1. Introdução à Estatística.
Estatística é a ciência que, por meio de um conjunto de técnicas de coleta orientada de
dados, realiza o processamento e estudo das informações. O termo estatística foi
empregado, de início, para designar o conjunto de dados referentes a assuntos de
interesse do estado, geralmente com finalidade de controle fiscal ou de segurança
nacional. Esses dados referiam-se, particularmente, à população, às transações
comerciais internas ou com outros países, ao controle da mortalidade e aos problemas
de taxação e de proporcionalidade de tarifas e impostos. Técnica auxiliar do estudo
dos fenômenos, coletivos, econômicos, sociais ou científicos, a estatística é um
método de observação, descrição, mensuração e interpretação dos fenômenos
coletivamente típicos e da indagação de suas uniformidades e relações. O campo de
aplicação da estatística é o dos fenômenos que apresentam regularidade na observação
de massas de casos, embora uma parte de seus processos também encontre aplicação
no domínio dos fenômenos atípicos. A teoria estatística permite que sejam tomadas
decisões com base em informações geralmente limitadas e incompletas sobre os mais
variados fenômenos que ocorrem no mundo.
Atualmente a Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), criada em
1973, tem a função de coordenar, na qualidade de órgão central, as atividades do sistema
estatístico nacional, bem como as de natureza geográfica e cartográfica.
É a ciência da indução lógica, isto é, das generalizações de características de um
conjunto, ou de parte de um todo. Os métodos estatísticos conduzem a conclusões
sobre causa e efeito e permitem testar teorias relativas ao consumidor. O economista
os usa para escolher, dentre as possíveis formas de uma função teórica de consumo, a
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que melhor explica os dados observados. O médico os emprega nos resultados de
testes de avaliação de um novo medicamento, entre outras aplicações.
O resultado de uma eleição ou o julgamento da qualidade de um produto industrial
pode ser determinado estatisticamente.
Na teoria estatística, há uma série de conceitos e processos que, por possuírem ampla
generalidade, merecem estudo especial.
Tabelas.
A maneira mais simples de organizar uma coleção de dados numéricos consiste em
dispô-los em forma de tabela. As tabelas estatísticas possuem, geralmente, três
elementos essenciais: o tempo, ou seja, a época a que se refere; o espaço, isto é, o local
ou região onde os dados foram anotados; e a natureza dos fatos colhidos. A variação
desses elementos primordiais determina o tipo da tabela, podendo distinguir-se,
principalmente, as tabelas de tipo cronológico, geográfico, de categorias, de
freqüências e outras.
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Provinha 3
0
2
4
6
8
10
12
14
0 a 3 3,5 a 4,5 5 a 7 7,5 a 10
notas
Nú
me
ro d
e a
lun
os
FIPE significa Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas.
É uma entidade sem fins lucrativos que estuda os fenômenos econômicos e sociais, avaliação de
políticas econômicas e fornece tabelas com valores para que o consumidor tenha uma idéia do valor
dos automóveis, carros, caminhões e motos.
Gráficos
Em geral é vantajoso representar em forma de diagrama o conjunto de
informações que constituem as tabelas. A representação gráfica oferece um meio
rápido de comparação de duas ou mais séries de números e tem ampla aplicação.
Existem inúmeros tipos de gráficos. Cada tipo de gráfico é adequado a um tipo
de aplicação e situação a ser analisada. Alguns exemplos são mostrados a seguir.
Histogramas
Uma vez obtida a distribuição de freqüências,
constrói-se o histograma, que consta de uma
sucessão de retângulos colocados lado a lado, cuja
base é proporcional ao intervalo de classe e cuja
altura é proporcional à freqüência.
Histograma - Distribuição de Notas
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Variedades desses gráficos substituem as barras retangulares por figuras mais
sugestivas, como moedas empilhadas, silhuetas humanas etc. O gráfico de curvas,
particularmente indicado quando uma das grandezas é o tempo, consta de uma série de
pontos horizontalmente separados pela mesma distância, mas que se situam a
diferentes alturas, proporcionais aos valores numéricos da grandeza. O gráfico em
setores, especialmente empregado quando se deseja salientar a importância de um
dado em relação ao todo, consta de um círculo ou retângulo dividido em setores, cujas
áreas são proporcionais aos valores numéricos. Por exemplo, seja M o tipo de
medicamento, N o número de pessoas e D o número de dias sem fumar, os dados
coletados numa tabela e seu respectivo gráfico por setores são:
M N D
A 2 40
B 3 85
C 5 75
D 6 50
E 7 30
F 8 20
2. Conceitos fundamentais.
2.1 População e amostra.
População: É o conjunto de indivíduos, pessoas ou objetos, que apresentam
características em comum, cuja dimensão ou comportamento se deseja estudar.
Exemplo 1: Estudo sobre pesquisa de opinião em eleições.
População alvo – todas as pessoas em condições de votar.
Exemplo 2: Estudo sobre pesquisa de opinião no mercado de sanduíches do tipo
“fast-food”.
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População alvo – todas as pessoas do bairro.
Amostra: É um subconjunto da população. O estudo dos dados coletados é feito com
certos critérios técnicos de modo que, após a análise estatística, se possam obter
propriedades sobre o todo, ou seja, o universo estatístico.
2.2 Processos Estatísticos de Abordagem No estudo dos fenômenos coletivos temos os seguintes processos estatísticos, o censo e a
estimação
2.2.1 Censo: avaliam-se características de uma população se utilizando na tomada de
dados de todos os componentes da mesma.
2.2.2 Estimação: avaliam-se características de uma população indiretamente com base
em um estimador por meio de cálculos probabilístico.
2.3 Dados Estatísticos
Os dados estatísticos coletados serão organizados, resumidos e interpretados tendo
como objetivo a informação e um amplo conhecimento do tema sob estudo.
2.4 Estatística Descritiva
A Estatística Descritiva após a obtenção, organização e redução dos dados obterá
informações importantes que auxiliarão a descrição do fenômeno ou tema sob
pesquisa. Nela temos duas formas de reduzir os dados, ou seja, usando variável
discreta ou contínua.
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2.5 Dados Brutos
São os dados obtidos da coleta de campo quando ainda não estão organizados.
Usualmente representamos por X a característica observada da população. A
representação com índice subscrito, Xi , representa o conjunto de características obtidas
nas diversas observações do fenômeno coletivo. Podemos representar os dados brutos de
uma propriedade X do sistema observado do seguinte modo:
X: x1, x2, x3, x4, ... , xn.
2.6 Rol
Apresentado os dados brutos de forma ordenada teremos uma sequência em rol
(ordem crescente ou decrescente, por exemplo).
Exemplo 3: Representando por X as vendas diárias de veículos de uma empresa. Seja
a seguinte sequência para as vendas nos primeiros sete dias do mês: X: 4, 2, 4, 1, 6,
3, 5
Colocando estes dados em rol teremos:
X(rol): 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6
3. Séries Estatísticas
3.1 Apresentação de dados estatísticos
Normalmente em Estatística se trabalha com uma grande quantidade de dados. A
Estatística Descritiva possui métodos para redução destes dados. Organizando os
dados em classes e introduzindo a noção freqüência (número de vezes que certo dado
aparece na distribuição) teremos, desse modo, um mecanismo de reduzir a quantidade
de dados.
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3.2 Distribuição de freqüência – variável discreta
Devemos optar por uma variável discreta, na representação de uma série de
valores, quando o número de elementos distintos (diferentes) da série for pequeno. Vide
exercício 3 como exemplo de variável discreta.
3.3 Distribuição de freqüência – variável contínua
No entanto, quando o número de elementos distintos (diferentes) da série não for
pequeno devemos optar por uma variável contínua, na representação de uma série de
valores. Neste tipo de situação sempre teremos intervalo de classe. Vide Exerc. 4 (pág.
13)
Exemplo 4: Vamos estudar estes conceitos analisando duas tabelas. A tabela 1
relaciona a freqüência (número de alunos) e suas notas em uma determinada prova. A
tabela 2 relaciona a freqüência (número de pessoas de certa amostra) com faixa de
altura (em cm) em que ela se encontra.
TABELA 1 – Notas dos alunos TABELA 2 – Altura (cm)
Notas, xi Frequência, fi
3,0 5
4,0 4
4,5 6
5,0 8
6,5 7
8,0 7
Altura (cm), xi Frequência, fi
1,50|- 1,55 2
1,55|- 1,60 4
1,60|- 1,65 10
1,65|- 1,70 8
1,70|- 1,75 3
1,75|- 1,80 1
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Podemos notar que na TABELA 1 as notas dos alunos estão dispostas em rol. A classe
neste caso se refere às notas (linhas). Temos ainda que a classe é unitária, pois, para
uma dada freqüência temos apenas uma nota. Na TABELA 2, no entanto, temos
várias pessoas numa dada faixa de alturas, ou seja, a classe não é unitária.
3.3.1 Frequência Simples Absoluta da Classe: É o número de elementos de cada
classe, fi.
3.3.2 Amplitude Total: Vamos considerar a tabela 1 do Exemplo 4, acima. Vamos
chamar de amplitude total, At , a diferença entre o maior e o menor elemento da
sequência, ou seja,
At = xmax - xmin
No caso do exemplo anterior a amplitude total é At = 7 – 5 = 2. Ou seja, na tabela 1
relaciona a freqüência (número de alunos) e suas notas em uma determinada prova, a
amplitude total representa o comprimento total da sequencia e é dada na mesma
unidade de medida dos dados da sequência.
3.3.3 Intervalo de Classe
É qualquer subdivisão (faixa de intervalo) da amplitude total de uma série estatística.
Foi solicitado o intervalo de classe de 2. Dessa forma, a partir da nota mais baixa
(inclusive) poderemos, de dois em dois, escrever todos os elementos (notas) até a nota
final, xmax .
Temos, portanto, neste exemplo, os seguintes intervalos de classe:
2 4,
4 6,
6 8,
8 10
Anotações
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Vamos estudar estes casos por meio dos exemplos abaixo.
Exemplo 7: Notas de 15 alunos nos cursos de PEDAGOGIA e LETRAS.
Para cada curso marque um (X) conforme você julge que deva ser feita a opção por
uma variável discreta ou contínua.
Curso de PEDAGOGIA:
X: 4; 4 ; 6,5 ; 4 ; 6,5 ; 5,5 ; 5,5; 6,5 ; 7,5 ; 7,5 ; 4 ; 4 ; 6,5 ; 7,5 ; 6,5.
( ) discreta ( ) contínua
Curso de LETRAS:
X: 3,5 ; 4 ; 2,5 ; 2 ; 3 ; 4,5 ; 3,5 ; 5 ; 5,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 7,5 ; 8 ; 8,5.
( ) discreta ( ) contínua
***************************************************
Exemplo 8: Para as sequências acima construa a tabela correspondente a cada curso.
Obs.: Usar a amplitude do intervalo de classe igual a 2.
Tabela 1 - Curso: Tabela 2 - Curso:
Classe xi fi Classe Interv Classe fi
13
EXERCÍCIO PROPOSTO:
1. Calcule a amplitude total para a tabela 1.
2. Calcule a SOMA DAS FREQUÊNCIAS para a tabela 2.
Anotações
Anotações
14
EXERCÍCIOS: TEMA: Agrupar por frequência – Variável Discreta e Contínua.
3. Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma
faculdade, revelou os seguintes valores:
18 17 18 20 21 19 20 18 17 19
20 18 19 18 19 21 18 19 18 18
19 19 21 20 17 19 19 18 18 19
18 21 18 19 19 20 19 18 19 20
18 19 19 18 20 20 18 19 18 18
Agrupe, por freqüência estes dados. ( ) discreta ( ) contínua
Classe Xi fi
Responda:
a) X1 =
b) f2 =
c) Qual o número de classes? ..................................... classes
d) Qual a amplitude total?
e) Qual a classe com maior frequência? ..................................... classe
f) Quanto é o valor do Xmáx ? Xmáx = ...................................
g) Qual o valor da frequência mínima ? fmín = .........................
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4. Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número
de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20
Classe Interv Classe fi
Anotações
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
5. Uma empresa embala peças em caixas com 50 unidades. O controle de qualidade
selecionou 25 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de
peças defeituosas. Obteve os seguintes dados:
2 0 0 4 3
1 1 2 1 1
0 0 3 0 0
1 2 0 2 0
0 0 0 0 0
a) Agrupe por freqüência discreta estas informações completando a tabela
abaixo.
b) Qual o número de classes encontrado?
Classe Xi fi
Resolução:
a) Devemos iniciar inserindo na tabela, na coluna dos Xi , o menor número da tabela de
dados (número de peças defeituosas numa dada caixa). O menor número é o 0
(zero), ou seja X1 = 0. Na linha debaixo, X2 = 1, e assim, sucessivamente. A seguir
devemos somar o valor total da coluna Xi. Cada fi corresponderá a quantidade de
vezes que aparece cada Xi.
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Dessa forma teremos:
b) O número de classes encontrado é 5.
6. Um banco selecionou ao acaso 20 contas de pessoas físicas em uma agência, em
determinado dia, obtendo os seguintes saldos em dólares:
2.500 1.000 1.500 3.000 2.000
2.000 2.250 4.000 2.500 3.750
2.750 3.750 3.750 3.000 1.500
1.750 2.750 3.500 2.500 3.250
a) Agrupe por freqüência estas informações completando a tabela Xi por fi. Obs.:
Usar o intervalo de classe igual a 500 dólares.
b) Qual o número de classes encontrado?
c) Este tipo de distribuição é discreta ou contínua?
Resolução:
a) Já sabemos que este tipo de distribuição (usando intervalo de classes) é
contínua, ou seja, os dados quase não se repetem. Vamos completar a seguinte
tabela:
Classe Xi fi 1 0 13
2 1 5
3 2 4
4 3 2
5 4 1
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Notemos que, na primeira classe devemos contar os saldos incluindo o 1000 mas não
incluindo o 1500. Ele só será contando na classe 2.
O total das freqüência, fi, deve resultar no total de dados da tabela, ou seja, 20.
Veremos a seguir que o intervalo de classe (neste exercício ele é 500) nem sempre é
dado. Ele será calculado por um método chamado critério da raiz.
b) O número de classes é 7.
c) Distribuição contínua.
Classe Interv Classe fi 1 1000 | 1500 1
2 1500 | 2000 3
3 2000 | 2500 3
4 2500 | 3000 5
5 3000 | 3500 3
6 3500 | 4000 4
7 4000 | 4500 1
Anotações
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
7. O número de acidentes de trânsito, envolvendo motocicletas em São Paulo,
num dado mês se encontra distribuído na tabela abaixo.
a) Agrupe por freqüência discreta estas informações completando a tabela
abaixo.
b) Qual o número de classes encontrado?
Classe Xi fi
2 1 3 4 2 3
3 1 2 3 1 1
5 2 1 4 4 3
3 2 1 2 1 1
2 5 1 4 3 1
Anotações
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8. As alturas (em centímetros) de um pelotão de soldados se encontram distribuídas
na tabela abaixo:
165 170 168 172 175
168 178 180 185 188
190 182 185 180 168
170 175 175 182 165
a) Agrupe por freqüência contínua estas informações completando a tabela Xi por
fi. Obs.: Usar o intervalo de classe igual a 10 centímetros.
b) Qual o número de classes encontrado?
9. Supondo que os alunos de um curso de Engenharia tenham suas notas distribuídas
conforme a tabela abaixo:
5 4 7 6,5 8
10 5 5 6,5 10
4 5 10 10 8
8 8 8 6 6
a) Agrupe por freqüência discreta estas informações completando a tabela a seguir.
Anotações
21
Classe Xi fi
b) Qual o valor de X3 ?
c) Qual o valor de f3 ?
Anotações
22
10. Supondo que os alunos de um curso de Economia tenham suas notas
distribuídas conforme a tabela abaixo:
5 4 7 6,5 5,5
10 4,5 9 9,5 10
8,5 9,5 10 10 7,5
4 8 8 6 9,5
a) Agrupe as notas por freqüência contínua completando a tabela Xi por fi. Obs.: Usar o
intervalo de classe igual a 2.
b) Qual o número de classes encontrado?
c) Qual o valor de f2 ?
d) Qual nota obteve a maior freqüência?
Anotações
23
11. Complete a tabela abaixo colocando a disponibilidade de água, em m3, em rol.
Estado Disponibilidade
m3/hab/ano Disponibilidade em Rol
São Paulo 91,9
Paraná 113,4
Sta. Catarina 62
R. G. Sul 190
M. Grosso 522,3
3.4 Frequência Relativa Percentual (fR%) de um elemento de série
em que é a freqüência da classe considerada e é a freqüência total, ou seja, a soma
de todas as freqüências das classes.
Exemplo 9: Vamos considerar a distribuição de notas de uma prova
de Inglês e calcular a frequência relativa percentual (fR%) de um elemento da série
(de uma dada classe)
24
Notas número de alunos fR%
3,5 2 6,25
4 3 9,38
4,5 2 6,25
5 4
6 7
7 5
9 4
10 5
=32
Resolução:
Na 1ª. Classe (1ª. Linha da tabela acima) o número de alunos (coluna do meio) é 2.
Este número representa o menor número de uma distribuição dada. Sempre iniciamos
por esta célula. A freqüência relativa percentual 6,25 é obtida dividindo-se o 2
(número de alunos) pelo 32 (total de alunos) e o resultado multiplicamos por 100.
Dessa forma, 6,25% dos alunos tiraram nota 2. Os outros resultados para a freqüência
relativa percentual 9,38 e 6,25 são obtidos de forma análoga. Ou seja, para o caso do
9,38, por exemplo, dividimos o 3 (número de alunos) pelo 32 (total de alunos) e o
resultado multiplicamos por 100. Vale lembrar que os resultados podem ser
arredondados.
Observação importante:
A estatística ajuda na definição da população a ser estudada, na definição as variáveis, na coleta de dados e na análise.
A qualidade de um modelo teórico reside na sua capacidade de dar conta dos fenômenos observados no mundo empírico.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
12. O número de acidentes de trânsito, envolvendo motocicletas em São Paulo,
num dado mês se encontra distribuído na tabela abaixo.
a) Usando os resultados do exercício 5. Calcule a freqüência relativa
percentual completando a tabela abaixo.
b) Qual o valor encontrado para a soma de todos os fR %?
Classe Xi fi fR%
2 1 3 4 2 3
3 1 2 3 1 1
5 2 1 4 4 3
3 2 1 2 1 1
2 5 1 4 3 1
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13. Supondo que as notas dos alunos estão distribuídas conforme a tabela à
esquerda. Complete a coluna da frequência relativa percentual com os resultados do
exercício 7.
Classe Xi fi fR%
5 4 7 6,5 8
10 5 5 6,5 10
4 5 10 10 8
8 8 8 6 6
Anotações
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14. Notas de 15 alunos nos cursos de Gestão de RH e de Comércio Exterior.
Para cada curso marque um (X) conforme você julge que deva ser feita a opção por
uma variável discreta ou contínua.
Curso de Gestão de RH:
X: 5; 5 ; 7,5 ; 5 ; 7,5 ; 6,5 ; 6,5; 7,5 ; 8,5 ; 8,5 ; 9 ; 9 ; 7,5 ; 7,5 ; 9.
( ) discreta ( ) contínua
Curso de Gestão de Comércio Exterior:
X: 5 ; 4,5 ; 6,5 ; 8,5 ; 7 ; 7,5 ; 6,5 ; 6 ; 6 ; 9,5 ; 10 ; 8 ; 5,5 ; 9 ; 8,5.
( ) discreta ( ) contínua
***************************************************
15. Para as sequências (exercício acima) construa a tabela correspondente a cada
curso. Obs.: Usar a amplitude do intervalo de classe igual a 2.
Tabela 1 - Curso: Tabela 2 - Curso:
Classe xi fi fR% Classe Interv Classe fi fR%
28
3.5 Frequência Acumulada (Fi) de um elemento de série
A freqüência acumulada de uma classe ou de um valor individual é a soma da
freqüência simples absoluta dessa classe ou desse valor com as freqüências simples
absolutas das classes ou dos valores anteriores.
Uma empresa fabricante de lâmpadas, por exemplo, precisa ter uma idéia de
quantas lâmpadas foram descartadas (quebradas, ou foram fabricadas fora da
especificação, etc.). Há um interesse em se saber quantas lâmpadas foram perdidas,
devido a falha de fabricação ou manuseio, num dado mês. O valor da freqüência
acumulada representaria, por exemplo, a perda diária de tais lâmpadas e o prejuízo
mensal seria exposto num valor acumulado no mês.
3.6 Frequência Acumulada Relativa, FRi%:
A freqüência acumulada relativa representa a freqüência acumulada expressa em
porcentagem de acordo com a expressão:
3.7 Representação Gráfica
Podemos fazer diversas representações gráficas para a relação classe versus
freqüência. Tais representações gráficas, construídas a partir de uma tabela, podem ser
histogramas (horizontais ou verticais), gráficos por setores, entre outros.
Exemplo 10: Histograma da distribuição de notas dos alunos.
29
Exemplo 11: Gráfico por setores a partir de uma tabela de vendas.
Construção de Tabelas Variável Contínua.
Para podermos construir uma tabela de distribuição de frequência contínua devemos
entender os seguintes temas:
a) Amplitude Total de uma Sequência;
b) Intervalo de Classe;
c) Limite de Classe;
d) Amplitude do Intervalo de Classe;
e) Número de Classes;
f) Critério da Raiz;
g) Critério de Sturges;
h) Bom senso do operador;
Nota número de
alunos
2 40
3 85
5 75
6 50
7 30
8 20
Vendas Total F%
Novembro 60 17
Dezembro 300 83
=360
30
Após entender cada detalhe dos itens acima o estudante estará em condições de
construir a tabela de distribuição de frequência contínua.
a) Amplitude Total de uma Sequência
Vamos considerar os dados do Exemplo 3 da página 9. Na sequência para as vendas
nos primeiros sete dias do mês temos: X: 4, 2, 4, 1, 6, 3, 5
Vamos chamar de amplitude total, At , a diferença entre o maior e o menor elemento
da sequência, ou seja,
At = xmax - xmin
No caso do exemplo anterior a amplitude total é At = 6 – 1 = 5. Ou seja, nos dados
brutos (vendas nos primeiros setes dias do mês) a venda mais alta foi 6 quantidades e a
mais baixa foi 1. A amplitude total representa o comprimento total da sequência e é
dada na mesma unidade de medida dos dados da sequência.
b) Intervalo de Classe
É qualquer subdivisão (faixa de intervalo) da amplitude total de uma série estatística.
Vamos exemplificar as vendas acima com intervalo de classe de 2. Dessa forma, a
partir da quantidade de venda mais baixa - xmin - (inclusive) poderemos, de dois em
dois, escrever todos os elementos, Xi , (vendas) até a venda final, xmax .
Temos, portanto, neste exemplo, os seguintes intervalos de classe:
1 3,
3 5,
5 7,
Os dados acima representam o que seria uma coluna da tabela chamada intervalo de
classe (distribuição contínua).
c) Limite de Classe
Tanto o limite inferior quanto o superior são representados por dois números reais.
Vamos representar por L (maiúsculo) o limite superior e por l (minúsculo) o inferior.
Ou seja, na primeira classe do exemplo anterior temos: L = 3 e l = 1.
31
d) Amplitude do Intervalo de Classe, h
A Amplitude do Intervalo de Classe, h, é muito importante neste contexto. Uma de
suas representações é dada por
h = L – l
Para o exemplo acima a amplitude do intervalo da primeira classe é: h = 3 – 1 = 2.
Alguns detalhes devem ser observados, tais como:
1) Em geral cada classe tem o mesmo h, mas não é obrigatório.
2) O intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita. Outros critérios poderão
ser adotados, porém, neste curso usaremos este modelo.
e) Número de classes
O número de classes vai depender do critério adotado conforme veremos a seguir.
f) Critério da Raiz – Amplitude do intervalo, h.
Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por K o número de
classes a ser utilizado, então o critério da raiz nos diz que:
nK
Como o número de classes, K, deve ser um número inteiro ficaremos com a parte
inteira da raiz, e ainda, uma unidade a mais e uma unidade a menos.
Exemplo 12: Cálculo do número de classe, K via critério da raiz.
Se, por exemplo, temos n = 15 devemos escrever 15 3,87. Vamos permitir para o
número de classes, K, os seguintes valores: 2, 3 e 4. Ou seja, tomamos a própria parte
inteira, 3, e ainda, esta subtraída de um e aumentada de uma unidade formando três
possibilidades. Temos ainda que a escolha de um destes três números dependerá da
experiência do pesquisador.
Usando este método a amplitude do intervalo, h , será dada por:
32
g) Critério de Sturges
Existem diversos critérios para a determinação no número de classes. O critério da raiz
é um deles, conforme vimos acima. Um outro é o Critério de Sturges
Esta fórmula é usada quando n é muito grande, embora ela apresente o mesmo
problema de aproximação do valor de K.
h) Bom senso do operador
Nos cálculos envolvendo a amplitude total, At , e o número de classes, K, a
experiência do pesquisador é importante. Às vezes, por exemplo, será necessário
somar uma ou duas unidades no valor do xmax para seja divisível por um dos três
valores possíveis para K.
Nos exercícios que sequem este detalhe ficará bem claro.
Responda: Sendo n = 40 quais os valores possíveis para o número de classes K ?
Responda: Sendo n = 100 qual o valor do número de classes K usando o Critério
de Sturges ?
33
EXERCÍCIOS:
TEMA: Intervalo de Classe – Critério da Raiz
16. Uma empresa cafeteria lançando um novo tipo de capuccino anotou em uma
planilha a venda deste novo produto. Em determinado mês o número de unidades
vendidas foi colocado em uma planilha conforme abaixo.
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21
Usando o critério da raiz determine a frequência
relativa percentual de cada classe. Complete a tabela
ao lado e construa o histograma (fi versus xi).
fi
Xi
Classe Interv Classe fi
34
EXERCÍCIOS:
17. O número de horas de chuva no mês de fevereiro em uma cidade litorânea se
encontra distribuído na tabela abaixo.
Com base nessas informações complete a tabela de frequências simples de cada classe
construindo a variável contínua representativa desta série. Construa o histograma.
18. Usando o critério da raiz escreva a tabela de frequências simples de cada classe
construindo a variável contínua representativa do saldo diário de uma empresa de
médio porte no banco.
1 2 1 1 1 1 1
0 3 0 0 0 2 0
2 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0
Classe Interv Classe fi
35
3.500 1.000 1.500 3.000 2.000
2.000 2.250 4.000 2.500 3.750
2.750 3.750 3.750 3.000 1.500
1.750 2.750 3.500 2.500 3.250
2.500 1.000 1.500 3.000 4.000
Obs.: Verifique se há realmente a necessidade de 7 classes.
EXERCÍCIOS:
TEMA: Tabela Completa – Frequência, Frequência Relativa Percentual,
Frequência Acumulada, Frequência Acumulada Relativa Percentual.
Classe Interv Classe fi
1 2 |------ 4 6
2 4 |------ 6 18
3 6 |------ 8 10
4 8 |------ 10 6
Classe Interv Classe fi 1 1000 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
36
19. Escrever em cada coluna da tabela acima, respectivamente, a Frequência Relativa
Percentual, Frequência Acumulada, Frequência Acumulada Relativa Percentual.
20. Construa a distribuição de frequências para a série representativa da idade de 50
alunos do primeiro ano de uma Faculdade.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
21. Interprete os valores colocados na 3ª. Linha da distribuição de frequências do
problema anterior.
Resolução:
19: Há alunos nesta classe com 19 anos.
17: Há 17 alunos nesta classe com 19 anos.
___:
___:
___:
Classe
Idade
(anos), xi Núm. de
alunos, fi FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 17 3
2 18 18
3 19 17
4 20 8
5 21 4
37
EXERCÍCIOS:
22. Complete o quadro abaixo.
= 200
23. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa uma
amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.
EXERCÍCIOS:
24. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa o no. de
acidentes em determinado cruzamento observados por dia, durante 40 dias.
Classe
Idade
(anos), xi Núm. de
alunos, fi FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 2 16
5 24
8 57
4 10 76
13
Classe Salários, US$ Núm. Func., fi FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 0 |------ 10.000 5
2 10.000 |------ 20.000 10
3 20.000 |------ 30.000 8
4 30.000 |------ 40.000 2
38
25. Complete o quadro de distribuição de frequências abaixo.
Classe Interv Classe fi FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 6 |------ 10 1
2 10 |------ 14 25
3 14 |------ 18 14
4 18 |------ 22 90
5 22 |------ 26 2
Classe
Número de acidentes por
dia, xi Núm. de
dias, fi FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 0 30
2 1 5
3 2 3
4 3 1
5 4 1
Anotações
39
26. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa o no. de
vendas de motos 125cc em uma revendedora autorizada durante sete dias.
27. Complete o quadro de distribuição de frequências abaixo. O intervalo de classe
representa a faixa de idade dos alunos de uma escola.
Classe Interv Classe fi FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 10 |------ 20 2
2 20 |------ 30 20
3 30 |------ 40 11
4 40 |------ 50 95
5 50 |------ 60 1
= 20
a) Há quantos alunos com idade entre 20 e 30 anos nesta escola?
b) Qual a porcentagem de alunos entre 50 e 60 anos?
Classe dia, xi
Total de
vendas, fi
FREQ. RELAT. %
FREQ. ACUMUL.
FREQ. ACUM. REL. %
1 10 5
2 11 12
3 12 10
4 13 13
5 14 10
40
Alfabeto Grego e o correspondente Alfabeto Latino
Minúsculas:
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v x y w z
Maiúsculas:
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v x y w z
Neste curso usamos a letra grega sigma, para representar o somatório.
Um somatório é um operador matemático que nos permite representar
facilmente somas muito grandes ou até infinitas É representado com a letra
grega sigma ( Σ ), e é definido por:
O alfabeto latino ou romano, é o sistema de escrita alfabética mais
utilizado no mundo.
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