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TEOREMA DE COMPARACAO DE VOLUME

Michael Eddy Gomez Vidal

Dissertacao de Mestradoapresentada ao Programade Pos-graduacao em Ma-tematica do Instituto deMatematica e Estatısticada Universidade FederalFluminense, IME-UFF,como parte dos requisitosnecessarios a obtencaodo tıtulo de Mestre emMatematica.

Orientador: Detang Zhou

NiteroiAgosto de 2018

Ficha catalográfica automática - SDC/BIMEGerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

V649t Vidal, Michael Eddy Gomez TEOREMA DE COMPARAÇÃO DE VOLUME / Michael Eddy Gomez Vidal ;Detang Zhou, orientador. Niterói, 2018. 47 f.

Dissertação (mestrado)-Universidade Federal Fluminense,Niterói, 2018.

DOI: http://dx.doi.org/10.22409/PPGMAT.2018.m.06370735760

1. Variedade Riemanniana. 2. Curvatura de Ricci. 3. Volume.4. Produção intelectual. I. Zhou, Detang, orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática eEstatística. III. Título.

CDD -

Para meu irmao Eddy Hernan.

Agradecimentos

Ao professor Detang Zhou pela orientacao deste trabalho, pela paciencia, dedicacao,e por acreditar em meu potencial. Minha imensa admiracao por seu trabalho e gra-tidao pelas conversas que me motivaram a seguir em frente nos momentos difıceis.

Ao CAPES pelo apoio financeiro.

Ao meus Pais Rufino e Alicia.

Ao meus amigos.

Resumo

Neste trabalho, estudamos variedades Riemannianas completas com a curvatura deRicci limitada por baixo, mais especificamente apresentaremos o Teorema de Bishop(comparacao de volume), como aplicacao deste Teorema obteremos resultados bemconhecidos como o Teorema de Bonnet-Myers e o Teorema de Cheng. O objetivo destetrabalho e apresentar a prova destes e de outros resultados analogos, provados porOvidiu Monteanu e Jiaping Wang, Guofang Wei e Will Wylie.

Palavras-chave: Variedade Riemanniana, curvatura de Ricci, volume.

Abstract

In this work, we study complete Riemannian manifolds with the Ricci curvaturebounded below, more specifically we present Bishop’s Theorem (volume comparison),as an application of this Theorem we will obtain well-known results such as Bonnet-Myers Theorem and Cheng’s Theorem. The objective of this work is to present theproof of these and other similar results, proven by Ovidiu Monteanu and JiapingWang, Guofang Wei and Will Wylie.

Key words: Riemannian Manifold, Ricci curvature, volume.

Sumario

Introducao i

1 Preliminares 11.1 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conexoes afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Conexao Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Curvatura de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Imersoes Isometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.1 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Gradiente, Divergencia,Hessiano, Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.1 Gradiente de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.2 Divergencia de um campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.3 Hessiano de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.4 Laplaciano de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Aplicacao exponencial ealgumas implicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Volume em Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 1 e 2 Variacaoda Formula de Area 152.1 Primeira Variacao

da Formula de Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Segunda Variacao

da Formula de Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Teorema deComparacao de Volume 273.1 Teorema de

Comparacao de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Implicacoes do Teorema

de Comparacao de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Comparacao decurvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Comparacao de volume com peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Introducao

Em 1964, Richard L. Bishop em [7] mostrou um dos resultados mais relevantes daGeometria Riemanniana, chamado atualmente Teorema de Comparacao do Volume(ou Teorema de Bishop), que estabelece uma estimativa do volume de uma variedadeRiemanniana, assumindo apenas condicoes na curvatura.

Um dos objetivos deste trabalho e enunciar e apresentar em detalhe a demonstracaodo Teorema do Bishop:Teorema 3.1(Bishop): Seja Mm uma variedade Riemanniana completa, e p umponto fixo.O tensor curvatura de Ricci de M em qualquer ponto x e limitada inferi-ormente por (m − 1)K(x) onde a funcao K dependendo apenas da distancia ao pontop. Se J(θ, r)dθ e o elemento de area de ∂Bp(r) e J(r) e a solucao da equacao diferencialordinaria

J′′

=m− 2

m− 1(J′)2J−1 − (m− 1)KJ

com condicoes iniciaisJ(r) ∼ rm−1

eJ′(r) ∼ (m− 1)rm−2.

quando r −→ 0, entao dentro do cut-locus de p temos:

i)J(θ, r)

J(r)e uma funcao nao crescente de r.

ii) Se H(r) = J′/J , entao H(θ, r) ≤ H(r).

Em particular, se K e constante, entao Jdθ corresponde ao elemento de area da esferade raio r na forma espacial simplesmente conexa de curvatura constante K.

Tambem apresentaremos um resultado analogo ao Teorema 3.1, provado por Ovi-dio Munteanu e Jiaping Wang em [10], que estabelece um controle do volume, assu-mindo condicoes sobre o Tensor Ricf := Ric + Hess f .Teorema 3.4(Munteanu - Wang (2014)): Seja M uma variedade Riemanniana com-

i

pleta, f ∈ C∞(M) e

Ric + Hess f >1

2g

|∇f |2 6 f

entao existe C tais queVp(R) 6 Cef(p)Rn

finalmente apresentaremos um resultado provado por Guofang Wei e Will Wylie[11] para o volume com peso

Teorema 3.6(Guofang Wei e Will Wylie (2009)) Seja Ricf ≥ λ entao para qualquerr0 existem constantes A,B, e C tais que

Volf (B(p,R)) ≤ A+B

∫ R

r0

e−λ2

(t−r0)2+C(t−r0)dt.

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo serao apresentada algumas definicoes e resultados basicos da Geome-tria Riemanniana com o intuito de fixar algumas notacoes e introduzir os conceitosnecessarios para o desenvolvimento deste trabalho. Neste trabalho iremos assumiro conhecimento de variedades diferenciaveis, para esses conceitos, nossas principaisreferencias serao os livros [5], [1] e [2].

1.1 Variedades RiemannianasDenotamos por M uma variedade diferencial de dimensao n, onde diferencial signi-fica de classe C∞. Indicaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores de classeC∞ definidos na variedade M e por C∞(M) o conjunto das funcoes de classe C∞ de Mem R.

Introduzimos o conceito de metrica na variedade diferenciavel o que fornece umaforma de medir comprimentos.

Definicao 1.1. Uma metrica Riemanniana sobre Mn e uma aplicacao g : X(M) ×X(M) −→ C∞(M) tal que para todo X, Y e Z ∈ X(M) e para todo f ∈ C∞(M), tem-se:

i) g(X, Y ) = g(Y,X).

ii) g(X + Y, Z) = g(X,Z) + g(Y, Z) e g(fX, Y ) = fg(X, Y ).

iii) g(X,X) ≥ 0 em M . se g(X,X)(p) = 0, p ∈M , entao Xp = 0.

O par (M, g) e chamado Variedade Riemanniana.

Em diante, denotaremos as vezes g(X, Y ) apenas por 〈X, Y 〉.

Definicao 1.2. Se M e N sao variedades diferenciaveis, uma aplicacao diferenciavelf : M −→ N e dita uma imersao se dfp : TpM −→ Tf(p)N e injetiva para todo p ∈ M .Se alem disso f e um homeomorfismo sobre f(M) ⊂ N , onde f(M) tem a topologia

1

Capıtulo 1. Preliminares 1.2. Conexoes afins

induzida por N , diz-se que f e um mergulho. Se M ⊂ N e a aplicacao inclusaoi : M −→ N e um mergulho, diz-se que M e uma subvariedade de N .

A seguinte conceito fornece uma forma de ver se duas funcoes comportam-se damesma forma perto de um ponto.

Definicao 1.3. Sejam f : M −→ R, h : M −→ R, p0 ∈ M e V uma vizinhanca de

p0, se h nao e nulo em V \ p0, e alem disso limp→p0f(p)

h(p)= 1, dizemos que f e h sao

assintoticamente iguais e escrevemos:

f ∼ h, quando p→ p0.

Exemplo 1.1. Tome M = R e p0 = 0 com: f(x) = 1x

+ x, h(x) = 1x, assim temos

limp→p0f(p)

h(p)= 1 estas tem o mesmo comportamento assintotico em 0.

1.2 Conexoes afinsNesta secao, veremos uma forma natural de se definir a derivacao em campos devetores. Para isso, temos a seguinte definicao:

Definicao 1.4. Uma conexao afim∇ em uma variedade diferenciavelM e uma aplicacao

∇ : X(M)× X(M) −→ X(M)

que denotamos por, (X, Y )∇−→ ∇XY que satisfaz as seguintes propriedades:

i) ∇fX+gYZ = f∇XZ + g∇YZ,

ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

iii) ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y , Z ∈ X(M) e f, g ∈ C∞(M).

Na Proposicao seguinte, ficara clara a relacao entre a conexao que definimos e aideia usual de derivacao. Para isto, utilizaremos a variacao de campos de vetoressobre uma curva.

Proposicao 1.1. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇.Entao existe uma unica correspondencia que associa a um campo vetorial V ao longoda curva diferenciavel c : I −→M um outro campo vetorial DV

dtao longo de c, denomi-

nado derivada covariante de V ao longo de c, tal que:

i)D

dt(V +W ) =

DV

dt+DW

dt,

2

Capıtulo 1. Preliminares 1.3. Conexao Riemanniana

ii)D

dt(fV ) =

df

dtV + f

DV

dt,

onde V e W sao campos ao longo de c e f e uma funcao diferenciavel em I.

iii) Se V e induzido por um campo de vetores Y ∈ X(M), e dizer, V (t) = Y (c(t)), entaoDV

dt= ∇dc/dtY .

Demonstracao. Uma demonstracao pode ser vista em [1], capitulo 2.

A Proposicao anterior permite definir o conceito de aceleracao em uma curva deM .

Definicao 1.5. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇. Umcampo vetorial V ao longo de uma curva c : I −→ M e chamado paralelo quandoDV

dt= 0, para todo t ∈ I.

Uma curiosidade normal e saber se, dado um vetor tangente em um ponto deuma curva, este vetor pertence a um unico campo paralelo. Isto sera respondido pelaProposicao seguinte.

Proposicao 1.2. Seja M uma variedade diferenciavel con uma conexao afim ∇. Sejac : I −→M uma curva diferenciavel em M e V0 um vetor tangente a M em c(t0), t0 ∈ I(i.e. V0 ∈ Tc(t0)M ). Entao existe um unico campo de vetores paralelo a V ao longo de c,tal que V (t0) = V0, (V (t) e chamado de transporte paralelo de V (t0) ao longo de c.)


1.3 Conexao RiemannianaNesta secao, teremos uma relacao da metrica com a conexao.

Definicao 1.6. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇ e umametrica Riemanniana 〈, 〉. A conexao e dita compatıvel com a metrica 〈, 〉, quandopara toda curva diferenciavel c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P eQ ao longo de c, tivermos 〈P,Q〉 = constante.

A definicao anterior so diz que campos paralelos ao longo de curvas preservamangulos. A seguinte Proposicao nos dara algo mais util: a derivada do produto internose comporta como a derivada usual de um produto de funcoes.

Proposicao 1.3. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexao ∇ em M ecompatıvel com a metrica se e so se para todo par V e W de campos de vetores aolongo da curva diferenciavel c : I −→M tem-se

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩t ∈ I

3

Capıtulo 1. Preliminares 1.3. Conexao Riemanniana


O produto interno entre dois campos pode ser visto como uma funcao sobre avariedade, mas se derivamos por um campo temos:

Corolario 1.1. Uma conexao∇ em uma variedade Riemanniana M e compatıvel coma metrica se e so se

X〈Y, Z〉 = 〈∇XY 〉+ 〈Y,∇XZ〉 X, Y, Z ∈ X(M).


Definicao 1.7. Uma conexao afim∇ em uma variedade diferenciavelM e dita simetricaquando

∇XY −∇YX = [X, Y ] para todo X, Y ∈ X(M).

Agora teremos um resultado muito importante que nos diz que, se a conexao esimetrica e compatıvel com a metrica, entao e unica.

Teorema 1.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma unicaconexao afim ∇ em M satisfazendo as condicoes:

i) ∇ e simetrica.

ii) ∇ e compatıvel com a metrica Riemanniana.

A conexao dada pelo teorema acima e denominada conexao de Levi-Civita (ou Rie-manniana) de M .


Observacao 1.1. Como a conexao Levi-Civita ∇ e unica para (M, g) em coordena-

das locais (x1, ..., xm) temos que ∇∂i∂j =∑m

k=1 Γkij∂k, onde ∂i =∂

∂xie gij = 〈∂i, ∂j〉, os

sımbolos de Christoffel Γkij sao funcoes suaves, dadas por

Γkij =1

2

m∑l=1

gkl(∂iglj + ∂jgil − ∂lgij) (1.1)

isto pode ser visto em capitulo 2 de [1].

Utilizando os sımbolos de Chirstoffel (1.1), temos:

Proposicao 1.4. Dada uma variedade Riemanniana (M, g), entao a variedade Rie-manniana (M, εg) com ε > 0 tem os mesmos sımbolos de Christoffel.

Demonstracao. Se denotarmos Γkij os sımbolos de Christoffel de g e Γk

ij os sımbolos deChristoffel de εg, da equacao (1.1) temos:

Γk

ij =1

2

m∑l=1

(1

εg

)kl(∂iεglj + ∂jεgil − ∂lεgij) = Γkij

Assim temos os mesmos sımbolos de Christoffel.

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Capıtulo 1. Preliminares 1.4. Curvatura

1.4 CurvaturaNesta secao, veremos a nocao de Curvatura, que foi introduzida por Riemann, bemcomo a curvatura seccional e a curvatura de Ricci.Primeiro definiremos o Tensor curvatura:

Definicao 1.8. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M e uma corres-pondencia que associa a cada par X, Y ∈ X(M) uma aplicacao R(X, Y ) : X(M) −→X(M) dada por:

R(X, Y )Z = ∇X∇YZ −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z, Z ∈ X(M)

onde ∇ e a conexao Riemanniana de M .

Podemos ver que esta definicao implica que a curvatura do Rn e zero pois o colchetee nulo e os outros dois termos ficam iguais, isto nos ajuda a ficar mais de acordo coma definicao. Agora veremos que este tensor tem as seguintes propriedades:

Proposicao 1.5. A curvatura R de uma variedade Riemanniana tem as seguintespropriedades:

i) R e bilinear em X(M)× X(M), isto e:

R(f1X1 + f2X2, Y1) =f1R(X1, Y1) + f2R(X2, Y1)

R(X1, f1Y1 + f2Y2) =f1R(X1, Y1) + f2R(X1, Y2),

onde f1, f2 ∈ C∞(M) y X1, X2, Y1, Y2 ∈ X(M).

ii) Para todo par X, Y ∈ X(M), o operador curvatura R(X, Y ) : X(M) −→ X(M) elinear, isto e:

R(X, Y )(Z +W ) =R(X, Y )Z +R(X, Y )W,

R(X, Y )fZ =fR(X, Y )Z,

onde f ∈ C∞(M) y Z,W ∈ X(M).


Observacao 1.2. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana, em coordenadas locaistemos que

R(∂i, ∂j)∂k = (∇∂i∇∂j −∇∂j∇∂i)∂k =n∑l=1

Rlijk∂l.

alem disso, as componentes do tensor curvatura sao:

Rlijk =

n∑m=1

(ΓmjkΓlim − ΓmikΓ

ljm) + ∂iΓ

ljk − ∂jΓlik

isto pode ser vista em [1], capitulo 4.

5

Capıtulo 1. Preliminares 1.4. Curvatura

Observacao 1.3. Dada uma variedade Riemanniana (M, g) se mudarmos a metrica,e dizer (M, εg) com ε > 0 constante, entao a curvatura nao muda, pois pela Proposicao1.4 temos que

Γk

ij = Γkij

entao

Rl

ijk =n∑

m=1

(Γm

jkΓl

im−Γm

ikΓl

jm) + ∂iΓl

jk− ∂jΓl

ik =n∑

m=1

(ΓmjkΓlim−ΓmikΓ

ljm) + ∂iΓ

ljk− ∂jΓlik = Rl

ijk

Assim temos que Rg = Rεg = R.

1.4.1 Curvatura SeccionalPara um ponto p em M , em seu plano tangente pegaremos dois vetores linearmenteindependentes. Estes geram um plano sigma no qual se calculamos a seguinte cur-vatura.

Definicao 1.9. Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana, σ ⊂ TpM um plano (dim(σ) =2), x, y ∈ σ vetores linearmente independentes. Definimos a curvatura seccional de σpor

K(σ) = K(x, y) =〈R(x, y)y, x〉

〈x, x〉〈y, y〉 − 〈x, y〉2

Pode-se mostrar que o valor de K(σ) esta bem definido, isto e, nao depende dosvetores escolhidos.

1.4.2 Curvatura de RicciAgora vamos definir a curvatura de Ricci. Seja Q uma forma bilinear simetrica emTpM , definido por

Q(x, y) = tr(TpM → TpMv 7→ R(v, x)y

)Q e obviamente bilinear. Escolhendo uma base ortonormal e1, ..., en−1, en para TpM ,temos:

Q(x, y) =n∑i=1

〈R(x, ei)ei, y〉 =n∑i=1

〈R(ei, y)x, ei〉 = Q(y, x)

isto e, Q e simetrica.A seguinte definicao foi tirada do [2] Capitulo 3.

Definicao 1.10. A curvatura de Ricci e definida como um 2-tensor simetrico dado por

Ric (x, y) = Q(x, y) =n∑i=1

〈R(x, ei)ei, y〉

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Capıtulo 1. Preliminares 1.5. Imersoes Isometricas

Observacao 1.4. Observe que os elementos da diagonal da curvatura de Ricci sao

Ric(ei, ei) =∑k 6=i

K(ei, ek) = Ric(ei)

Alem disso pela Proposicao 1.4 temos que a curvatura de Ricci nao muda, se a metricamuda a εg com ε > 0 constante, pois ela tem a seguinte forma em sımbolos de Chris-toffel (em coordenadas normais).

Ric(ei, ej) =n∑

m=1

(ΓmjkΓkim − ΓmikΓ

kjm) + ∂iΓ

kjk − ∂jΓkik (1.2)

entao temos Ricg = Ricεg = Ric, isto foi feito em [2], Capitulo 3.

1.5 Imersoes IsometricasNesta secao, veremos como uma variedade pode ser pensada como se estivesse den-tro de outra mediante uma aplicacao, como na definicao 1.2. Se pudemos tomar umaaplicacao F : N −→ M que seja um mergulho ou apenas uma imersao injetiva, nosdizemos que M e a variedade ambiente de N . Para imersoes, cada ponto de M possuiuma vizinhanca V cuja imagem V = F (V ) e uma subvariedade riemanniana de M (jaque toda imersao e localmente um mergulho). Para simplificar a notacao, identifi-caremos V com V , pontos p ∈ V com p = F (p) e os vetores v ∈ TpN com os vetoresdFp(v) ∈ TpM . A conexao, derivadas covariantes e curvaturas de N serao denota-das da forma usual, enquanto que os correspondentes conceitos referentes a M seraodenotados com uma barra.

Definicao 1.11. Sejam (N, gN) uma variedade Riemanniana e (M, g) sua variedadeambiente. Para cada p ∈ M o produto interno em TpM decompoe este espaco na somadireta

TpM = TpN ⊕ TpNn

onde TpNn e o complemento ortogonal de TpN em TpM . Logo, se v ∈ TpM , podemosescrever

v = vt + vn

onde vt ∈ TpN e chamada a componente tangencial de v e vn ∈ TpNn e chamada a

componente normal de v.

Proposicao 1.6. Seja ∇ a conexao Riemanniana de M . Se X, Y ∈ X(N), entao

∇XY = (∇XY )t (1.3)

onde X,Y sao quaisquer extensoes locais de X, Y a M , define a conexao Riemannianaassociada a metrica induzida de N .


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Capıtulo 1. Preliminares1.6. Gradiente, Divergencia,

Hessiano, Laplaciano

1.5.1 A Segunda Forma FundamentalCompararemos a conexao Riemanniana de N com a conexao de sua variedade Rie-manniana ambiente M , atraves da segunda forma fundamental. Se X, Y ∈ X(N),entao

∇XY = (∇XY )t + (∇XY )n = ∇XY + (∇XY )n,

de modo que(∇XY )n = ∇XY −∇XY ∈ Xn(N)

Definicao 1.12. Sejam (N, gN) uma variedade Riemanniana e (M, g) sua variedadeambiente. A segunda forma fundamental de M e a aplicacao

−→II : X(N)× X(N)→ Xn(N)

definida por −→II(X, Y ) = −(∇XY )n

onde X,Y sao quaisquer extensoes locais de X, Y a M .

Segue da definicao as seguentes propriedades:

Proposicao 1.7. A segunda forma fundamental esta bem definida e e uma aplicacaobilinear simetrica sobre C∞(M).


Definicao 1.13. O vetor curvatura meia−→H e definido como o traco da forma bilinear−→

II sobre o espaco tangente de N , e dizer

tr(−→II) =

−→H (1.4)

O vetor normal a N da definicao, nao depende do referencial escolhido.

1.6 Gradiente, Divergencia,Hessiano, Laplaciano

Nesta secao, apresentaremos os seguintes operadores que serao usados para sinteti-zar as contas, como foi estudado em [2].

1.6.1 Gradiente de uma funcaoPara cada funcao definida em uma variedade Riemanniana, existe um unico campovetorial associado, definido como na definicao a seguir.

Definicao 1.14. Seja f ∈ C∞(M). O gradiente de f e o campo vetorial ∇f em Mdefinido por

〈∇f(p), v〉 = dfp(v), p ∈M, v ∈ TpM.

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Capıtulo 1. Preliminares1.6. Gradiente, Divergencia,

Hessiano, Laplaciano

Se ei, i = 1, ..., n = dimM , e uma base local ortonormal. Temos:

∇f(p) =n∑i=1

(ei(f))ei(p)

1.6.2 Divergencia de um campoDefinicao 1.15. Seja X ∈ X(M). A divergencia de X e uma funcao div X : M → Rdada por:

div X(p) = tr(TpM → TpMv 7→ ∇vX

).

Se ei, i = 1, ..., n = dim M , Um referencial geodesico centrado em p ∈M . Temos:

div X(p) =n∑i=1

ei(fi)(p) =n∑i=1

〈∇eiX, ei〉, onde X =n∑i=1

fiei

1.6.3 Hessiano de uma funcaoPara cada funcao existe uma unico tensor bilinear simetrico.

Definicao 1.16. Dada f ∈ C∞(M), o Hessiano de f e definido como:

Hess f : X(M)× X(M) −→ C∞(M)(X, Y ) 7−→ X(Y (f))− (∇XY )(f)

Utilizando o fato que a conexao e Levi-Civita temos:

Hess f(X, Y ) = 〈∇X∇f, Y 〉, ∀X, Y ∈ X(M)

Observacao 1.5. Note que o Hessiano em coordenadas locais tem a forma

Hess fij = ∂i∂jf −m∑k=1

(∂kf)Γkij

assim se mudamos a metrica por εg o Hessiano nao muda (isto pela Proposicao 1.4),logo

Hess gf = Hess εgf = Hess f ε > 0

1.6.4 Laplaciano de uma funcaoComo vimos, o Hessiano de uma funcao avaliada em um ponto e uma forma bilinearsimetrica entao sua diagonal e invariante, isso nos da a seguinte definicao:

Definicao 1.17. O laplaciano de f e definido como:

∆f = div(∇f) = tr(Hess f) ∈ C∞(M)

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Capıtulo 1. Preliminares1.7. Aplicacao exponencial e

algumas implicacoes

Observacao 1.6. Como Hess f e uma forma bilinear simetrica, seu traco e indepen-dente da base. Se e1, ..., en e uma base ortonormal de X(U)(sendo U ⊂ M aberto),entao

∆f |U = tr(Hess f)|U =n∑i=1

Hess f(ei, ei) =n∑i=1

〈∇ei∇f, ei〉 = div(∇f)|U .

Observacao 1.7. Dada M uma variedade Riemanniana, a curvatura meia H de umaesfera geodesica tem a seguinte relacao com a funcao distancia d. Seja ei, i = 1, ..., n,uma famılia ortonormal de campos de vetores definidos em um aberto de M . Vamosassumir que e1 = ∂/∂r. Temos

〈∇e1e1, e1〉 = 0,

pela equacao (1.4) temos

H =n∑i=2

〈∇eie1, ei〉 =n∑i=1

〈∇eie1, ei〉 = div(e1) = div(∇r) = ∆r

1.7 Aplicacao exponencial ealgumas implicacoes

Nesta secao, veremos como pode ser definida uma carta local, induzida por curvasminimizantes.

Definicao 1.18. Uma curva parametrizada γ : I −→M e uma geodesica se ∇γ′γ′ = 0.

E natural nos perguntarmos se, dado um ponto em M e um vetor tangente nesteponto, existe uma geodesica partindo deste ponto e com esta direcao. E, caso exista,e natural nos perguntarmos se ela e unica. A proposicao a seguir responde a estaquestao.

Proposicao 1.8. Dados p ∈M e v ∈ TpM , existe uma unica geodesica α : I −→M talque α(0) = p e α′(0) = v.


Se v ∈ TpM , vamos denotar por γv a unica geodesica de M que passa por p ∈ Mcom velocidade v.Seja

∑p = v ∈ TpM ; γv esta definida num intervalo contendo [0, 1]

Definicao 1.19. A aplicacao expp :∑

p ⊂ TpM −→ M definido por expp(v) = γv(1) edenominada aplicacao exponencial.

Proposicao 1.9. As seguintes propriedades sao satisfeitas:

1. Cada conjunto∑

p ⊂ TpM e estrelado em relacao a p.

10

Capıtulo 1. Preliminares1.7. Aplicacao exponencial e

algumas implicacoes

2. A aplicacao expp e diferenciavel.


Lema 1.1 (Lema de Gauss). Se ρ(t) = tv e uma curva definida para tempo positivoem TpM e w ∈ Tρ′(t)(TpM) e perpendicular a ρ′(t), entao dexpp(w) e perpendicular aovetor dexpp(ρ′(t)).


Vemos que a exponencial e bem definida localmente, mas quando ela for bemdefinida em todo o espaco tangente temos:

Definicao 1.20. Uma variedade Riemanniana M e completa se para todo p ∈ M , aaplicacao exponencial, expp, esta definida para todo v ∈ TpM .

Um dos resultados mais importantes da geometria Riemanniana e o seguente.

Teorema 1.2 ( Hopf-Rinow ). Os seguintes enunciados sao equivalentes:

(a) M e um espaco metrico completo onde a distancia de p a q em M e definida comoa longitude mınima de todas as curvas de p a q.

(b) Existe p ∈M , tal que expp esta definida sobre todo TpM .

(c) Para todo p ∈M , expp esta definida sobre todo TpM .

Alem disso, qualquer uma destas condicoes implica

(d) Qualquer par de pontos p, q ∈ M podem ser ligados por um geodesica cuja longi-tude e a distancia de p a q.


Agora definimos o conceito de cut-locus, para facilitar a compreensao do Teoremaprincipal 3.1.

Desde que M e completa, a funcao exponencial de M e bem definido em todoTM , fixando um ponto p ∈ M temos uma esfera unitaria no seu espaco tangenteSm−1p (1) ∈ TpM .

Para v ∈ Sm−1p (1), temos

tc(v) = supt > 0|d(γv(t), p) = t ∈ (0,∞]

Se tc(v) <∞, entao γv(tc(v)) = expp(v) e chamado o cut-point de p ao longo de γvO conjunto fechado

CT (p) = tc(v)v|v ∈ Sm−1p (1) e tc(v) <∞

de p e chamada o cut-locus tangencial de p e a imagem de este pela aplicacao ex-ponencial C(p) e chamado cut-locus de p.

11

Capıtulo 1. Preliminares 1.8. Volume em Variedades Riemannianas

Alem disso nos temos que:

expp : tv|v ∈ Sm−1p (1) e 0 ≤ t < tc(v) −→ N \ C(N)

e um difeomorfismo

1.8 Volume em Variedades RiemannianasA metrica riemanniana tambem permite definir uma nocao de volume em variedadesorientadas, alem disso permite integrar funcoes, nao apenas formas diferenciais(Ver[1] Capitulo I para mas detalhes).Seja M uma variedade riemanniana orientada. Dado p ∈ M , fixamos uma baseBp = e1, ..., en como ortonormal positiva de TpM e ϕ : U ⊂ M −→ ϕ(U) ⊂ Rn umacarta definida positiva (isto e que preserva a orientacao) de U uma vizinhanca de pem M se escrevemos os vetores da base coordenada de TpM associada a carta ϕ emrelacao a base ortonormal positiva Bp.

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=n∑k=1

Aki ek

para i = 1, ..., n. Entao

gij(p) =

⟨∂

∂xi

∣∣∣∣p

,∂

∂xj

∣∣∣∣p

⟩p

=

⟨n∑k=1

Aki ek,n∑l=1

Aljel

⟩p

=n∑

k,l=1

AkiAlj〈ek, el〉p =

n∑k,l=1

δklAkiA

lj

=n∑

k,l=1

AkiAlj

Por tanto, definindo as matrizes G = (gij) e A = (Aij), temos

G(p) = ATA

logodet G = (det A)2.

Denotamos por vol [v1, ..., v2] o volume do paralelepıpedo formado pelos vetores v1, .., vn,sabemos que

vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, ...,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]= det(A)vol [e1, ..., en] = det A =

√det G(p)

12


ja que vol [e1, ..., en] = 1. Seja ψ : V ⊂ M −→ ψ(V ) ⊂ Rn outra carta positiva de umavizinhanca V de p em M e escreva os vetores da base coordenada associada a carta ϕem termos dos vetores da base coordenada de TpM associada a carta ψ

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=n∑j=1

Sji∂

∂yj

∣∣∣∣p

com Sji =∂yj

∂xi. Denote

hij(p) =

⟨∂

∂yi

∣∣∣∣p

,∂

∂yj

∣∣∣∣p

⟩p

H = (hij)

Seque que

√det G(p) = vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, ...,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]= det(S)vol

[∂

∂y1

∣∣∣∣p

, ...,∂

∂yn

∣∣∣∣p

]= det(S)

√det H(p) (1.5)

Onde det (S) > 0 e o determinante da diferencial da mudanca de coordenadas; assimtemos que a forma de volume independe da coordenada escolhida, isto permite definiro volume.

Definicao 1.21. Seja Mn uma variedade riemanniana e Ω ⊂ M um conjunto aberto,conexo e com fecho compacto, tal que Ω esta contida em uma vizinhanca coordenadaU de uma carta ϕ : U −→ ϕ(U). O volume de Ω e definido por

vol Ω =

∫ϕ(Ω)

√det Gdx1...dxn.

Se Ω ⊂ M e um compacto, tome qualquer cobertura finita Vii=1,...,n de Ω por vizi-nhancas parametrizadas de M e considere uma particao da unidade ρii=1,...,n subor-dinada a esta cobertura; se ϕ : Vi −→ Ui, i = 1, ..., n, sao cartas destas vizinhancas,definimos

vol Ω =n∑i=1

∫ϕi(Vi∩Ω)

ρi√

det Gdx1...dxn.

Se f : M −→ R e uma funcao continua com suporte compacto Ω, definimos∫M

fdVg =n∑i=1

∫ϕi(Vi∩supp(f))

ρif(ϕi(x))√

det Gdx1...dxn.

13


Observacao 1.8. Segue da formula de mudanca de variaveis para integrais multiplase da equacao (1.5) que o volume esta bem definido, isto e, nao depende da carta. Nalinguagem de formas, o elemento de volume riemanniano

dVg =√

det Gdx1...dxn =√

det Gdx1 ∧ ... ∧ dxn

De agora em diante nos denotaremos g(x) := det G

Observacao 1.9. [Comportamento assintotico da forma de volume](Ver [2] CapituloIV ) Seja (Mm, g) uma variedade Riemanniana, fixemos p ∈ M , considere um referen-cial ortonormal

gij =

⟨∂

∂xi,∂

∂xj

⟩= δij ⇐⇒ g =

m∑i=1

(dxi)2

Em coordenadas esfericas a metrica escreve-se:

g = dr2 + r2gSm−1

Assimdet (g) = det

(1 00 r2F (θ, r)

)= r2(n−1)det

(1 00 F (θ, r)

)Assim temos que o elemento de volume e dado por

J(r, θ) =√

det(g) = rn−1√

det (F (θ, r)) onde θ = (θ1, θ2, ..., θn−1) (1.6)

onde |√

det (F (θ))| ≤ 1 alem disso quando r → 0 temos que F (θ, r) coincide com oelemento de volume da esfera no Rn e dizer F (θ, r) → 1. Entao temos que J(r, θ) vaipra cero quando r −→ 0 mais tem um ordem assintotıstico igual a rm−1.

Observacao 1.10. Quando M e uma variedade Riemanniana completa e tem cur-vatura Seccional constante, M e dita forma espacial, no Teorema de Bishop 3.1compararemos o volume de uma bola em uma variedade Riemanniana com o volumede uma bola de mesmo raio em um certa forma espacial.

Para finalizar o capitulo definimos o volume com peso.

Definicao 1.22. Se Ω ⊂M , onde (M, g) e uma variedade Riemanniana e f ∈ C∞(M),entao o volume com peso f de Ω e dado por

Volf (Ω) =

∫Ω

e−fdVg. (1.7)

14

Capıtulo 2

1 e 2 Variacaoda Formula de Area

Neste capıtulo, vamos a deduzir as formulas de primeira e segunda variacao de areade uma subvariedade(isto foi visto em [9] Capıtulo 1).

2.1 Primeira Variacaoda Formula de Area

Definicao 2.1. Seja Nn ⊂ Mm uma subvariedade de una variedade RiemannianaM com n < m. Uma famılia a um-parametro de deformacoes de N e uma aplicacaoφ : N × (−ε, ε) −→M tal que:

(a) Se denotarmos Nt = φ(N × t), temos N0 = N

(b) φ(·, t) e uma imersao.

Observacao 2.1. Dado p ∈ N e ϕ = (x1, ..., xn) uma carta de p, podemos considerarϕ = (x1, ..., xn, t) carta de N × (−ε, ε), ∂

∂xi

∣∣∣p ⊂ TpN lembre que φ : N × (−ε, ε) −→ M

e uma famılia a um-parametro de deformacoes de N, fixe t suficientemente proximo a0, assim φt : N −→ M , por (b) φ(., t) e uma imersao, daı podemos definir em N umafamılia de metricas que depende de t, gt = φ∗tg, onde g e a metrica em N . DefinamosdAt como o elemento de area de N com respeito a la metrica gt.

dAt =√g(x, t)dx1 ∧ ... ∧ dxn

Onde g(x, t) = det(gij(x, t)), em particular

dA0 =√g(x, 0)dx1 ∧ ... ∧ dxn

entao existe uma funcao J(x, t) tal que

dAt = J(x, t)dA0

15

Capıtulo 2. 1 e 2 Variacaoda Formula de Area

2.1. Primeira Variacaoda Formula de Area

note que

J(x, t) =

√g(x, t)√g(x, 0)

(2.1)

Lema 2.1. Seja B(t) uma matriz quadrada com valores em R e B(0) = I, entao

d

dt(det B(t))|t=0 =

n∑i=1

B′ii(0) (2.2)

Demonstracao. Observe que

det B(t) =n∑i=1

B1i(t)c1i(t)

note que Bij(0) = δij e cij(0) = δij

d

dt(det B(t))|t=0 =

n∑i=1

B′1i(0)c1i(0) +n∑i=1

B1i(0)c′1i(0)

=n∑i=1

B′1i(0)δ1i +n∑i=1

δ1ic′1i(0)

= B′11(0) + c′11(0)

repetindo o mesmo argumento no menor 11 de B(t), pois este tambem cumpre que em0 e a identidade, temos que

d

dt(det B(t))|t=0 =

n∑i=1

B′ii(0)

Teorema 2.1 (Primeira variacao de forma de volume). Seja N uma subvariedadeRiemanniana e φ : N × (−ε, ε) −→ M uma famılia de um-parametro de N . Se dAt =J(x, t)dA0 entao

d

dtA(Nt)

∣∣∣∣t=0

=

∫N

(div(T t) + 〈T n,

−→H 〉)dA0 (2.3)

Demonstracao. Comod

dtA(Nt)

∣∣∣∣t=0

=

∫N

d

dtJ

∣∣∣∣t=0

dA0 (2.4)

so precisamos calcular ddtJ |t=0.

Fixando p ∈ N , consideremos x1, ..., xn um sistema de coordenadas de N numavizinhanca de p e consideremos tambem x1, ..., xn, t sistema de coordenadas de N ×(−ε, ε) numa vizinhanca de (p, 0). Denotamos ei = dφ( ∂

∂xi) para i = 1, ..., n e T = dφ( ∂

∂t).

16



Sem perda de generalidade suponhamos que x1, ..., xn e um sistema de coordenadasnormais em p ∈ N com respeito da metrica ds2

0, assim

gij(p, 0) = ds20

(∂

∂xi,∂

∂xj

)= 〈ei, ej〉 = δij

∇eiej(φ(p, 0)) = 0.

Pela equacao (2.1) temos que em coordenadas normais x1, ..., xn, J e dado por

J(x, t) =

√g(x, t)√g(x, 0)

com g(x, t) = det(gij(x, t)). Assim

d

dtJ(p, t)

∣∣∣∣t=0

=1

2

d

dtg(p, t)√

g(p, t)√g(p, 0)

∣∣∣∣∣∣∣t=0

=1

2

d

dtg(p, t)

∣∣∣∣t=0

1√g(p, t)

√g(p, 0)

∣∣∣∣∣t=0

=1

2

d

dtg(p, t)

∣∣∣∣t=0

1

g(p, 0)

=1

2

d

dtg(p, t)

∣∣∣∣t=0

1

det(δij)

=1

2

d

dtg(p, t)

∣∣∣∣t=0

=1

2

n∑n−1

g′ii(p, 0)

=1

2

n∑i=1

T 〈ei, ei〉

=1

2

n∑i=1

2〈∇T ei, ei〉

=n∑i=1

〈∇T ei, ei〉

=n∑i=1

〈∇eiT + [T, ei] , ei〉

=n∑i=1

〈∇eiT, ei〉 (2.5)

A segunda igualdade vale pela equacao (2.2) e a ultima igualdade segue do fato quex1, ..., xn, t forma um sistema de coordenadas de N × (−ε, ε).

17



Se escrevermos T = T t + T n, onde T t e a componente tangencial de T sobre N e T n ea componente normal, entao

d

dtJ(p, t)

∣∣∣∣t=0

=n∑i=1

〈∇eiTt, ei〉+

n∑i=1

〈∇eiTn, ei〉

= div(T t) +n∑i=1

ei〈T n, ei〉 −n∑i=1

〈T n,∇eiei〉

= div(T t)−n∑i=1

〈T n,∇teiei〉 −

n∑i=1

〈T n,∇neiei〉

= div(T t) +n∑i=1

〈T n,−∇neiei〉

= div(T t) +n∑i=1

〈T n,−→II(ei, ei)〉

= div(T t) + 〈T n,−→H 〉

onde−→H e o vetor curvatura media de N . Observe que a ultima expressao nao depende

do sistema de coordenadas, assim vale para qualquer ponto.Portanto substituindo na equacao (2.4), temos

d

dtA(Nt)

∣∣∣∣t=0

=

∫N

(div(T t) + 〈T n,

−→H 〉)dA0.

Corolario 2.1. Seja N uma subvariedade Riemanniana e φ : N × (−ε, ε) −→ M umafamılia de um-parametro de N . Se dAt = J(x, t)dA0 e T tem suporte compacto, entao

d

dtA(Nt)|t=0 =

∫N

〈T n,−→H 〉.

Demonstracao. Usando o teorema da divergencia na equacao (2.3) sobre o suporte deT .

Observacao 2.2. Uma consequencia do Corolario anterior e que a curvatura meia deuma variedade Riemanniana N e identicamente 0 se e so se N e um ponto crıtico dofuncional de area.

Definicao 2.2. Uma subvariedade imersa N → M e dita mınima se seu vetor decurvatura meia e identicamente nula, isto e,

−→H ≡ 0.

Corolario 2.2. Seja N uma curva em M que esta parametrizada pelo comprimentode arco com vetor tangente unitario e, entao a primeira formula variacional para ocomprimento e dado por

d

dtL|t=0 = 〈T, e〉|l0 −

∫ l

0

〈T,∇ee〉.

18



Demonstracao. Substituindo na equacao (2.5) temos

d

dtL|t=0 =

∫ l

0

〈∇eT, e〉

=

∫ l

0

(e〈T t, e〉 − 〈T n,∇ee〉

)= 〈T t, e〉|l0 −

∫ l

0

〈T n,∇ee〉

= 〈T, e〉|l0 −∫ l

0

〈T,∇ee〉

.

Observacao 2.3. Se no Teorema 2.1 escolhemos x1, ..., xn sistema de coordenadasarbitrarias em p ∈ N com a metrica ds2

t0e T um campo normal a N ,obtemos o seguinte

d

dtJ(p, t)

∣∣∣∣t=t0

=1

2

g′(p, t0)√g(p, t0)

√g(p, t0)

=1

2

g′(p, t0)

g(p, t0)J(p, t0)

=1

2

∑nj=1 det

[g·1(t0), ..., g·j−1(t0), g′·j(t0), g·j+1(t0), ..., g·n(t0)

]g(p, t0)

J(p, t0)

Onde g·i e a i-esima coluna. Assim, em termos de cofatores e se escrevermos Gij ocofator da matriz (gij) temos

d

dtJ(p, t)

∣∣∣∣t=t0

=1

2

∑nj=1

∑ni=1 g

′ijGij

g(p, t0)J(p, t0)

=1

2

n∑i,j=1

Gij

g(p, t0)g′ijJ(p, t0)

=1

2

n∑i,j=1

gijT 〈ei, ej〉J(p, t0)

=1

2

n∑i,j=1

gij (〈∇T ei, ej〉+ 〈ei,∇T ej〉) J(p, t0)

=1

2

n∑i,j=1

gij(〈∇eiT + [T, ei] , ej〉+ 〈ei,∇ejT + [T, ej]〉

)J(p, t0)

19


2.2. Segunda Variacaoda Formula de Area

=1

2

n∑i,j=1

gij(〈∇eiT, ej〉+ 〈ei,∇ejT 〉

)J(p, t0)

=1

2

n∑i,j=1

gij (〈∇eiT, ej〉+ ej〈T, ei〉+ 〈∇eiT, ej〉 − ei〈T, ej〉) J(p, t0)

=1

2

n∑i,j=1

gij (〈∇eiT, ej〉+ 〈∇eiT, ej〉) J(p, t0)

=n∑

i,j=1

gij〈∇eiT, ej〉J(p, t0)

Assim temos qued

dtJ(p, t0) =

n∑i,j=1

gij〈∇eiT, ej〉J(p, t0) (2.6)

Para qualquer x1, ..., xn sistemas de coordenadas.

2.2 Segunda Variacaoda Formula de Area

Vamos agora deduzir a segunda formula variacional de area. Mas primeiro faremosuma definicao

Definicao 2.3. Seja Nn ⊂ Mm uma subvariedade de uma variedade RiemannianaM com n < m. uma famılia a dois-parametros de N e uma aplicacao φ : N × (−ε, ε)×(−ε, ε) −→M tais que:

(a) Denotando N(t,s) = φ(N, t, s), temos N(0,0) = N

(b) Para cada t, s. φ(·, t, s) e uma imersao em M .

Teorema 2.2. Seja Nn ⊂ Mm uma subvariedade de uma variedade Riemanniana Mcom n < m. com uma famılia a dois-parametros de N , entao a variacao de J respeitoa os dois parametros e

∂2J

∂s∂t=−

n∑i,j=1

〈∇eiS, ej〉〈∇eiT, ej〉 −n∑

i,j=1

〈∇ejS, ei〉〈∇eiT, ej〉+n∑i=1

〈R(S, ei)T, ei〉

+n∑i=1

〈∇ei∇ST, ei〉+n∑i=1

〈∇eiT,∇eiS〉+

(n∑i=1

〈∇eiT, ei〉

)(n∑j=1

〈∇ejS, ej〉

)

20



Demonstracao. Derivando a expressao (2.6) respeito ao campo S temos

∂2J

∂s∂t=

n∑i,j=1

S(gij〈∇eiT, ej〉J

)=

n∑i,j=1

(Sgij)〈∇eiT, ej〉J +n∑

i,j=1

gij (S〈∇eiT, ej〉) J +n∑

i,j=1

gij〈∇eiT, ej〉S(J)

avaliando em (p, 0, 0), e usando coordenadas normais no ponto p ∈ N temos

∂2J

∂s∂t=

n∑i,j=1

(Sgij)〈∇eiT, ej〉+n∑i=1

S〈∇eiT, ei〉+

(n∑i=1

〈∇eiT, ei〉

)(n∑j=1

〈∇ejS, ej〉

)(2.7)

Porem, derivando a formula∑n

k=1 gikgkj = δij

n∑k=1

(Sgik)gkj = −n∑k=1

gik(Sgkj)

por tanto, no ponto p ∈M

Sgij = −n∑

k,l=1

gik(Sgkl)glj

= −S(gij)

= −S〈ei, ej〉= −〈∇Sei, ej〉 − 〈∇Sej, ei〉= −〈∇eiS + [ei, S] , ej〉 − 〈∇ejS + [ej, S] , ei〉= −〈∇eiS, ej〉 − 〈∇ejS, ei〉

Assim, o primeiro termo do lado direito da equacao (2.7) e dado porn∑

i,j=1

(Sgij)〈∇eiT, ej〉 = −n∑

i,j=1


i,j=1

〈∇ejS, ei〉〈∇eiT, ej〉

O segundo termo em o lado direito da equacao (2.7) pode-se escrever como

n∑i=1

S〈∇eiT, ei〉 =n∑i=1

〈∇S∇eiT, ei〉+n∑i=1

〈∇eiT,∇Sei〉

=n∑i=1

〈∇S∇eiT −∇ei∇ST −∇[S,ei]T +∇ei∇ST +∇[S,ei]T, ei〉

+n∑i=1

〈∇eiT,∇eiS + [ei, S]〉

=n∑i=1

〈R(S, ei)T, ei〉+n∑i=1


〈∇eiT,∇eiS〉,

21



onde o termo 〈R(S, ei)T, ei〉 no lado direito denota o tensor de curvatura de M . Por-tanto

∂2J

∂s∂t=−

n∑i,j=1


i,j=1

〈∇ejS, ei〉〈∇eiT, ej〉+n∑i=1

〈R(S, ei)T, ei〉

+n∑i=1


〈∇eiT,∇eiS〉+

(n∑i=1

〈∇eiT, ei〉

)(n∑j=1

〈∇ejS, ej〉

)

.

Corolario 2.3. Seja N uma curva parametrizada pelo comprimento de arco em Mcom vetor tangente unitario e ∈ TN , entao a segunda formula variacional para com-primento vem dada por

∂2L

∂s∂t

∣∣∣∣(s,t)=(0,0)

=

∫ l

0

〈∇eT,∇eS〉+ 〈R(S, e)T, e〉 − (e〈S, e〉)(e〈T, e〉)

+ 〈∇ST, e〉|l0

Demonstracao. Aplicando o Teorema anterior neste caso particular temos

∂2L

∂s∂t

∣∣∣∣(s,t)=(0,0)

=

∫ l

0

−〈∇eS, e〉〈∇eT, e〉+ 〈R(S, e)T, e〉

+

∫ l

0

〈∇e∇ST, e〉+ 〈∇eT,∇eS〉

Como N e uma geodesica que satisfaz a equacao ∇ee ≡ 0, temos

∂2L

∂s∂t

∣∣∣∣(s,t)=(0,0)

=

∫ l

0

−(e〈S, e〉)(e〈T, e〉) + 〈R(S, e)T, e〉

+

∫ l

0

e〈∇ST, e〉+ 〈∇eT,∇eS〉

=

∫ l

0

〈∇eT,∇eS〉+ 〈R(S, e)T, e〉 − (e〈S, e〉)(e〈T, e〉)

+ 〈∇ST, e〉|l0

Para o seguente Teorema, denota-se−→II ij :=

−→II(ei, ej).

Teorema 2.3 (Segundo formula variacional de area). Seja Nn ⊂ Mm uma subva-riedade de uma variedade Riemanniana M com n < m. com uma famılia a dois

22



parametros onde os dois campos vetoriais variacionais sao iguais e normais a N , comsuporte compacta. Entao, a segunda formula variacional para o area e

d2

dt2A(Nt)|t=0 =

∫N

−∑i,j

〈T,−→II ij〉2 −

n∑i=1

〈R(ei, T )T, ei〉+ 〈(∇TT )n,−→H 〉

+

∫N

n∑i=1

m∑ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2 + 〈T,−→H 〉2

.

Demonstracao. Fazendo T = S no Teorema 2.2 temos

∂2J

∂2t|t=0 =−

n∑i,j=1

〈∇eiT, ej〉2 −n∑

i,j=1

〈∇ejT, ei〉〈∇eiT, ej〉+n∑i=1

〈R(T, ei)T, ei〉

+n∑i=1

〈∇ei∇TT, ei〉+n∑i=1

|∇eiT |2 +

(n∑i=1

〈∇eiT, ei〉

)2

=−n∑

i,j=1


i,j=1

〈∇ejT, ei〉〈∇eiT, ej〉 −n∑i=1

〈R(ei, T )T, ei〉

+n∑i=1

〈∇ei(∇TT )t, ei〉+n∑i=1

〈∇ei(∇TT )n, ei〉+n∑i=1

|∇eiT |2

+

(n∑i=1

〈∇eiT, ei〉

)2

Note que 〈(∇TT )n, ei〉 = 0 implica 〈∇ei(∇TT )n, ei〉 = −〈(∇TT )n,∇eiei〉 e 〈T, ei〉 = 0 logo〈∇eiT, ei〉 = −〈T,∇eiei〉 assim

∂2J

∂2t|t=0 =−

n∑i,j=1


i,j=1



+ div(∇TT )t −n∑i=1

〈(∇TT )n,∇eiei〉+n∑i=1

|∇eiT |2

+

(−

n∑i=1

〈T,∇eiei〉

)2

=−n∑

i,j=1


i,j=1



+ div(∇TT )t +n∑i=1

〈(∇TT )n,−(∇eiei)t − (∇eiei)

n〉+n∑i=1

|∇eiT |2

+

(n∑i=1

〈T n,−(∇eiei)t − (∇eiei)

n〉

)2

23



=−n∑

i,j=1


i,j=1



+ div(∇TT )t + 〈(∇TT )n,−→H 〉+

n∑i=1

|∇eiT |2 + 〈T,−→H 〉2 (2.8)

Do outro lado, se en+1, ..., em denota um conjunto de vetores ortonormais e normaisa N em M , entao

∇eiT =n∑j=1

〈∇eiT, ej〉ej +m∑

ν=n+1

〈∇eiT, eν〉eν

assim temos

|∇eiT |2 =n∑j=1

〈∇eiT, ej〉2 +m∑

ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2

e portanton∑i=1

|∇eiT |2 =n∑

i,j=1

〈∇eiT, ej〉2 +n∑i=1

m∑ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2.

Alem disso

〈∇eiT, ej〉 = 〈T,−∇eiej〉= 〈T,−(∇eiej)

t − (∇eiej)n〉

= 〈T,−→II(ei, ej)〉

= 〈T,−→II(ej, ei)〉

= 〈∇ejT, ei〉

Onde−→II ij =

−→II(ei, ej) denota a segunda forma fundamental.

Portanto, a equacao (2.8) pode-se escrever como

∂2J

∂t2

∣∣∣∣t=0

= −n∑

i,j=1

〈T,−→II ij〉2 −

n∑i=1

〈R(ei, T )T, ei〉+ div(∇TT )t

+ 〈(∇TT )n,−→H 〉+

n∑i=1

m∑ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2 + 〈T,−→H 〉2.

Assim, a expressao anterior nao depende do sistema de coordenadas e a segundaformula variacional da area em termos de variacoes normais com suporte compacto,

24



e dada por

d2

dt2A(Nt)|t=0 =

∫N

−∑i,j

〈T,−→II ij〉2 −

n∑i=1

〈R(ei, T )T, ei〉+ 〈(∇TT )n,−→H 〉

+

∫N

n∑i=1

m∑ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2 + 〈T,−→H 〉2

=

∫N

−∑i,j

〈T,−→II ij〉2 − Ric(T, T ) + 〈(∇TT )n,

−→H 〉

+

∫N

n∑i=1

m∑ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2 + 〈T,−→H 〉2

.

Definicao 2.4. Uma subvariedade imersa mınima N → M e dita estavel, se a se-gunda variacao da area, com respeito a todas as variacoes normais com suporte com-pacto e nao negativo. Isto significa que a desigualdade de estabilidade

0 ≤ −∫N

∑i,j

〈T,−→II ij〉2 −

∫N

n∑i=1

〈R(ei, T )T, ei〉+

∫N

n∑i=1

m∑ν=n+1

〈∇eiT, eν〉2

vale para qualquer campo de vetores normal T com suporte compacto.

Observacao 2.4. Se consideramos N uma subvariedade mınima orientavel de co-dimensao um de uma variedade orientavel M , podemos escrever qualquer variacaonormal da forma T = ψem, onde ψ e uma funcao diferenciavel em N e em e um campovetorial unitario normal a N . Entao a segunda formula variacional pode-se escrevercomo

d2

dt2A(Nt)|t=0 =

∫N

−∑i,j

〈T,−→II ij〉2 −Ric(T, T ) +

n∑i=1

〈∇eiT, em〉2

=

∫N

−∑i,j

〈ψem,−→II ij〉2 −Ric(ψem, ψem) +

n∑i=1

〈∇eiψem, em〉2

=

∫N

−ψ2

∑i,j

h2ij − ψ2Ric(em, em) + |∇ψ|2

.

Onde−→II ij = hijem com hij sendo o componente da segunda forma fundamental. Aqui

25



tambem usamos o fato de que

〈∇eiT, em〉 = 〈∇ei(ψem), em〉= 〈ei(ψ)em + ψ∇eiem, em〉= ei(ψ)〈em, em〉+ ψ〈∇eiem, em〉

= ei(ψ) + ψ1

2ei〈em, em〉

= ei(ψ).

Em particular, neste caso a desigualdade de estabilidade e dada por∫N

|∇ψ|2 ≥∫N

ψ2h2ij +

∫N

ψ2Ric(em, em).

Observacao 2.5. O ultimo caso especial e assumir novamente que N e uma hiper-superfıcie orientada em uma variedade orientada M e restringimos a variacao quesera dada por hipersuperfıcies que tem distancia constante de N .Entao o campo veto-rial variacional e dado por em com ∇emem ≡ 0. Esta situacao e particularmente utilpara controlar o crescimento de volume das bolas geodesicas de raio r. Neste caso, seescrevemos

−→H = Hem, a formula da primeira variacao de area e dada por

∂J

∂t(x, 0) =

n∑i,j=1

gij〈∇eiem, ej〉J(x, 0)

=n∑

i,j=1

〈em,−→II(ei, ei)〉J(x, 0)

=n∑

i,j=1

〈em,−→H 〉J(x, 0)

=n∑

i,j=1

〈em, Hem〉J(x, 0)

= H(x)J(x, 0), (2.9)

E a segunda formula de variacao vem dada por

∂2J

∂t2(x, 0) = −

∑i,j=1

h2ijJ(x, 0)−Ric(em, em)(x)J(x, 0) +H2(x)J(x, 0). (2.10)

26

Capıtulo 3

Teorema deComparacao de Volume

O objetivo deste Capitulo e estudar o que acontece com o volume e o volume com pesoem variedades Riemannianas , se este pode ser limitado por uma cota; o materialutilizado foi [9], [10] e [11].

3.1 Teorema deComparacao de Volume

Em neste secao, estudaremos o Teorema de Comparacao de Volume originalmenteprovado por Bishop.

Observacao 3.1. Seja p ∈ M um ponto em uma variedade Riemanniana completade dimensao m(Mm), com a metrica g = dr2 + dθ2 em termos de coordenadas polaresnormais de p, podemos escrever o elemento de volume como

J(θ, r)dr ∧ dθ

e dizerdvol = J(θ, r)drdθ

Onde dθ e o elemento de area da (m−1)-esfera unidade. O lema de Gauss afirma que oelemento de area da subvariedade ∂Bp(r) que e da fronteira da bola geodesica de raior, e dado por J(θ, r)dθ. ja que

Vol(Bp(R)) =

∫ R

0

∫Sm−1(1)

J(θ, r)dθdr

Afirmacao:

A(∂Bp(R)) =

∫Sm−1(1)

J(θ, R)dθ

27

Capıtulo 3. Teorema deComparacao de Volume

3.1. Teorema deComparacao de Volume

note que Sm−1(r) = ∂B(r) ⊂ TpM , entao temos

A(∂B(r)) =

∫∂Bp(r)

dA

=

∫exp(∂Bp(r))

dA

=

∫∂Bp(r)

det(gθi,θj)12dθ

=

∫1rSm−1(r)

det(gθi,θj)12dθ

=

∫Sm−1(1)

J(θ, r)dθ

Pela a primeira y segunda formula de variacao (2.9) y (2.10), se x = (θ, r) nao esta nocut-locus de p, temos

J ′(θ, r) =∂J

∂r= H(θ, r)J(θ, r) (3.1)

e

J ′′(θ, r) =∂2J

∂r2(θ, r)

= −m−1∑i,j=1

h2ij(θ, r)J(θ, r)−Ricrr(θ, r)J(θ, r) +H2(θ, r)J(θ, r) (3.2)

Onde Ricrr = Ric( ∂∂r, ∂∂r

), H(θ, r) y (hij(θ, r)) indicam a curvatura de Ricci na direcaoradial, a curvatura meia e a segunda forma fundamental de ∂Bp(r) no ponto x = (θ, r)com respeito ao vetor normal unitario ∂

∂r, respetivamente.

Usando a desigualdadem−1∑i,j=1

h2ij >

m−1∑i=1

h2ii

>

(∑m−1i=1 hii

)2

m− 1

=H2

m− 1

e 3.1, podemos estimar 3.2 por

J ′′ 6m− 2

m− 1H2J −RicrrJ (3.3)

lembre que H =J ′

J

m− 2

m− 1H2J −RicrrJ =

m− 2

m− 1(J ′)2J−1 −RicrrJ (3.4)

28



assimJ ′′ 6

m− 2

m− 1(J ′)2J−1 −RicrrJ (3.5)

Dado que qualquer metrica suave e localmente euclidiana, temos as condicoes iniciais

J(θ, r) ∼ rm−1

eJ ′(θ, r) ∼ (m− 1)rm−2

Quando r −→ 0 como na Observacao (1.9). Notemos que, seM e uma forma espacial decurvatura seccional constante K, simplesmente conexa, entao todas as desigualdadesanteriores tornam-se igualdades. Em particular a equacao (3.5) torna-se

J′′

=m− 2

m− 1(J′)2J−1 − (m− 1)KJ. (3.6)

Para facilitar as contas faremos uma mudanca de variavel, seja J (θ, r) = J1

m−1 (θ, r),note que J > 0 ⇒ J > 0 alem disso J(θ, r) ∼ rm−1 ⇒ J (θ, r) ∼ r e J ′(θ, r) ∼(m− 1)r(m−2) ⇒ J ′(θ, r) ∼ 1 quando r → 0, assim pelas equacoes (3.1) e (3.5) temos

J ′ = 1

m− 1J ′J ( 1

m−1−1) (3.7)

=1

m− 1

J ′

JJ ( 1

m−1−1)J

=1

m− 1HJ

1m−1

=1

m− 1HJ (3.8)

derivando a equacao (3.7)

J ′′ = 1

m− 1J ′′J ( 1

m−1−1) − (m− 2)

(m− 1)2(J ′)2J ( 1

m−1−2)

61

m− 1

(m− 2

m− 1(J ′)2J−1 − (m− 1)RicrrJ

)J ( 1

m−1−1) − (m− 2)

(m− 1)2(J ′)2J ( 1

m−1−2)

=(m− 2)

(m− 1)2(J ′)2J ( 1

m−1−2) − 1

m− 1RicrrJ

1m−1 − (m− 2)

(m− 1)2(J ′)2J ( 1

m−1−2)

= − 1

m− 1RicrrJ

1m−1

= − 1

m− 1RicrrJ

assim temosJ ′′ 6 − 1

m− 1RicrrJ (3.9)

29



Se fazemos o mesmo para J = J1

m−1 para espacos forma, temos suas respetivasequacoes

J ′ = 1

m− 1HJ (3.10)

J ′′ = −KJ (3.11)

O seguinte lema garante a existencia das elementos de area

Observacao 3.2. O area do bordo da bola de raio r e dado por

A(∂B(r)) =

∫Sn−1(1)

J n−1(θ, r)dθ (3.12)

Lema 3.1. Para toda funcao K ∈ C(R), existe uma unica solucao tal queJ ′′(r) +K(r)J (r) = 0J (0) = 0

J ′(0) = 1

O Teorema de Bishop, segue imediatamente do seguente lema.

Lema 3.2. Dada J (θ, r),J (r) como for definidas anteriormente e alem disso temRicrr ≥ (m− 1)K(r) (K so depende de r) entao

(i)J (θ, r)

J (r)e nao crescente.

(ii)J ′

J(θ, r) 6

J ′

J(r)

Demonstracao. Defina

ω :=∂

∂rlogJ =

J ′

J(3.13)

e

ω :=∂

∂rlogJ =

J ′

J(3.14)

Assim temos a seguente relacao

ωJ = J ′ (3.15)ω′J + ωJ ′ = J ′′

(3.16)

por (3.9) e (3.15) temos

ω′J + ω2J = J ′′ 6 − 1

m− 1RicrrJ (3.17)

ω′J + ω2J 6 −KJ

30



ja que J > 0 temosω′ + ω2 +K 6 0. (3.18)

Para r temos um espaco forma de curvatura seccional K(r), alem disso Jm−1dθ e o

elemento de area associado a ∂Bp(r) em dito espaco forma.De maneira analoga tem-se

ω′ + ω2 +K = 0 (3.19)

Restando as equacoes (3.18) e (3.19)

ω′ − ω′ + ω2 − ω2 6 0

(ω − ω)′ + (ω − ω)(ω + ω) 6 0

(ω − ω)′ 6 −(ω − ω)(ω + ω) (3.20)

por (3.13) e (3.14) temos o seguente

limr→0

(ω(θ, r)− ω(r)) = 0 (3.21)

pois eles tem o mesmo ordem assintoticos ,entao para ε > 0 suficientemente pequeno,seja

F (r) = e∫ rε ω(θ,s)−ω(s)ds

quando ε→ 0 temos

F (r) = e∫ rε ω(θ,s)−ω(s)ds

= e∫ rε

∂∂r

logJ (θ,s)− ∂∂r

logJ (s)ds

= e logJ (θ,s)−logJ (s)|rε

= elogJ (θ,s)

J (s)

∣∣∣rε

=J (θ, s)

J (s)

∣∣∣∣rε

=J (θ, r)

J (r)− J (θ, ε)

J (ε)=J (θ, r)

J (r)− 1 (3.22)

Assim F (r) esta bem definida, vamos mostrar que F (r) e nao crescente

F ′(r) = (ω(θ, s)− ω(s))|rε e∫ rε ω(θ,s)−ω(s)ds

Fazendo a segunda derivada e substituindo (3.20)

F ′′(r) = (ω′(θ, s)− ω′(s)) + [(ω(θ, s)− ω(s))|rε]2e

∫ rε ω(θ,s)−ω(s)ds

≤ −(ω2(θ, s)− ω2(s)

)+ [(ω(θ, s)− ω(s))|rε]

2e∫ rε ω(θ,s)−ω(s)ds

(3.23)

31



Fazendo ε→ 0

F ′′(r) ≤ −2ω(r)(ω(r)− ω(r))e∫ rε ω(θ,s)−ω(s)ds

= −2ω(r)F ′(r) (3.24)

Aplicando a equacao (3.24) na seguinte conta(J 2

(r)F ′(r))′

= 2JJ ′F ′ + J 2F ′′

= J 2(

2J ′J −1F ′ + F ′′

)= J 2

(2ωF ′ + F ′′)

≤ 0

integrando de ε1 a r, com r > ε1 > ε e fazendo ε1 → 0∫ r

ε1

(J 2

(s)F ′(s))′ds ≤ 0

J 2(r)F ′(r)− J 2

(ε1)F ′(ε1) ≤ 0

F ′(r) ≤ J −2(r)J 2

(ε1)F ′(ε1)

F ′(r) ≤ J −2(r)J 2

(ε1) (ω(θ, s)− ω(s))|ε1ε e∫ ε1ε ω(θ,s)−ω(s)ds

F ′(r) ≤ 0

pois o ordem assintotico de J (ε1) ∼ ε1 e (ω(θ, ε1)− ω(ε1)) ∼ 0, assim temos que F (r) enao crescente e derivando a equacao (3.22)

F ′(r) =

(J (θ, r)

J (r)− 1

)′≤ 0

J ′J − JJ ′

J 2 ≤ 0

J ′

J≤ J

′

J

Observacao 3.3. Dado um ponto p ∈ M , nos dizemos que um ponto q ∈ M estadentro do cut-locus de p se q ∈M \ C(p)

Teorema 3.1 (Bishop). SejaMm uma variedade Riemanniana completa, e p um pontofixo.O tensor curvatura de Ricci de M em qualquer ponto x e limitada inferiormentepor (m − 1)K(x) onde a funcao K dependendo apenas da distancia ao ponto p. SeJ(θ, r)dθ e o elemento de area de ∂Bp(r) e J(r) e a solucao da equacao diferencialordinaria

J′′

=m− 2

m− 1(J′)2J−1 − (m− 1)KJ

32


3.2. Implicacoes do Teoremade Comparacao de Volume

com condicoes iniciaisJ(r) ∼ rm−1

eJ′(r) ∼ (m− 1)rm−2.

quando r −→ 0, entao dentro do cut-locus de p temos:

i)J(θ, r)

J(r)e uma funcao nao crescente de r.

ii) Se H(r) = J′/J , entao H(θ, r) ≤ H(r).

Em particular, se K e constante, entao Jdθ corresponde ao elemento de area da esferade raio r na forma espacial simplesmente conexa de curvatura constante K.

Demonstracao. Seja

ω =1

m− 1

∂

∂rlog J y ω =

1

m− 1

∂

∂rlog J

Pelo lema anterior temos

ω 6 ω =⇒ H(r, θ) 6 H(r) (3.25)

=⇒ ∂

∂rlog

J

J6 0 (3.26)

=⇒ ∂

∂r

(J

J

)6 0 (3.27)

entao JJ

e nao-crescente

3.2 Implicacoes do Teoremade Comparacao de Volume

Corolario 3.1. Nas hipoteses do Teorema 3.1, se K e uma constante, entao

H ≤

(m− 1)

√K cot(

√Kr) para K > 0

(m− 1)r−1 para K = 0

(m− 1)√−K coth(

√−Kr) para K < 0

eJ(θ, r)

J(r)

33



e uma funcao nao crescente de r, onde

J(r) =

(1√K

)(m−1)

sinm−1(√Kr) para K > 0

rm−1 para K = 0(1√−K

)(m−1)

sinhm−1(√−Kr) para K < 0

(3.28)

Demonstracao. E facil verificar que as solucoes da equacao 3.6

J′′

=m− 2

m− 1(J′)2J−1 − (m− 1)KJ

sao dadas por

J(r) =

(1√K

)(m−1)

sinm−1(√Kr) para K > 0

rm−1 para K = 0(1√−K

)(m−1)

sinhm−1(√−Kr) para K < 0

lembre que J′

J= H, entao pela equacao (3.6)

H′= − 1

m− 1H

2 − (m− 1)K

daı temos as seguintes solucoes

H =

(m− 1)

√K cot(

√Kr) para K > 0

(m− 1)r−1 para K = 0



pelo Teorema 3.1 H 6 H, por tanto

H 6

(m− 1)

√K cot(

√Kr) para K > 0

(m− 1)r−1 para K = 0



.

34



Observacao 3.4. A estimativa (3.28) implica que se K > 0, deve haver um cut-pointao longo de qualquer geodesica que tenha comprimento π√

K. Em particular, isto mos-

tra o Teorema de Myers.

Corolario 3.2 (Myers). Seja Mm uma variedade de Riemanniana completa com acurvatura de Ricci limitada inferiormente por

Ricij ≥ (m− 1)K

Para alguma constante K > 0. Entao M deve ser compacto com diametro d limitadosuperiormente por

d ≤ π√K

Demonstracao. Como K e constante e K > 0 segue da desigualdade (3.28) que afuncao distancia e limitada por π√

K, e pelo Teorema 1.2, M e compacta.

Observacao 3.5. Em diante denotaremos Vp(r) = Vol(Bp(r)) onde Bp(r) ⊂M nao temintersecao com o cut-locus de p.

Corolario 3.3. Seja Mm uma variedade Riemanniana completa com a curvatura deRicci limitada inferiormente por uma constante (m − 1)K. Suponha que Mm e umaforma espacial simplesmente conexo com curvatura seccional constante K. Seja Ap(r)a area do bordo da bola geodesica ∂Bp(r) centrada em p ∈ M de raio r e A(r) a areado bordo da bola geodesica ∂B(r) de raio r em M . Entao para 0 ≤ r1 ≤ r2 <∞, temos

Ap(r1)A(r2) ≥ Ap(r2)A(r1). (3.29)

Se Vp(r) e V (r) e o volume de Bp(r) e B(r), respetivamente, e 0 ≤ r1 ≤ r2, r3 ≤ r4 < ∞tem-se

(Vp(r2)− Vp(r1))(V (r4)− V (r3)) ≥ (Vp(r4)− Vp(r3))(V (r2)− V (r1)). (3.30)

Demonstracao. Definimos D(r) = θ ∈ TpM ; |θ| = 1 e rθ < tv(θ)θ.Se r1 ≤ r2 temos D(r2) ⊂ D(r1). Pelo Teorema 3.1, temos

J(θ, r1)J(r2) ≥ J(θ, r2)J(r1)

para θ ∈ D(r2). Integrando sobre D(r2)∫D(r2)

J(θ, r1)dθJ(r2) ≥∫D(r2)

J(θ, r2)dθJ(r1)

= Ap(r2)J(r1)

Alem disso temos

Ap(r1) =

∫D(r1)

J(θ, r1)dθ ≥∫D(r2)

J(θ, r1)dθ

35



eA(r) = αm−1J(r)

onde αm−1 e a area de Sm−1 ⊂ Rm.Do anterior podemos concluir (3.29)

Ap(r1)A(r2) =

∫D(r1)

J(θ, r1)dθA(r2) ≥∫D(r2)

J(θ, r1)dθA(r2) ≥ Ap(r2)A(r1)

Agora vamos provar 3.30:Caso r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ r4. Integramos a desigualdade:

A(t1)A(t2) ≥ A(t2)A(t1)

sobre r1 ≤ t1 ≤ r2 e r3 ≤ t2 ≤ r4.

Caso r1 ≤ r3 ≤ r2 ≤ r4

(Vp(r2)− Vp(r1))(V (r4)− V (r3)) = (Vp(r3)− Vp(r1))(V (r2)− V (r3))

+ (Vp(r3)− Vp(r1))(V (r4)− V (r2))

+ (Vp(r2)− Vp(r3))(V (r2)− V (r3))

+ (Vp(r2)− Vp(r3))(V (r4)− V (r2))

≥ (Vp(r2)− Vp(r3))(V (r3)− V (r1))

+ (Vp(r4)− Vp(r2))(V (r3)− V (r1))

+ (Vp(r2)− Vp(r3))(V (r2)− V (r3))

+ (Vp(r4)− Vp(r2))(V (r2)− V (r3))

= (Vp(r4)− Vp(r3))(V (r2)− V (r1))

Observacao 3.6. Note que a desigualdade (3.30) torna-se igualdade se e somente seC(r1) = C(r4) e J(r, θ) = J(r) para todo 0 6 r 6 r4 e θ ∈ C(r1). Em particular, r1 = 0implica J(r, θ) = J(r) para todo r 6 r4 e θ ∈ TpM . Isto implica que Bp(r4) e isometricaa B(r4).

Teorema 3.2. Seja Mm uma variedade Riemanniana completa com curvatura Riccinao negativa. Entao o crescimento de volume de M deve satisfazer as seguentes esti-mativas:

1. (Bishop) Se αm−1 e a area da (m− 1)−esfera unidade, entao

Vp(ρ) ≤ αm−1

mρm

para todo p ∈M e ρ ≥ 0.

36



2. (Yau) Para todo p ∈M , existe uma constante C(m) > 0 dependendo apenas de m,tal que

Vp(ρ) ≥ CVp(1)ρ

para todo ρ > 2.

Demonstracao. Como Ric > 0, tome K = 0 no Teorema 3.1, entao temos a formaespacial M = Rm.Agora aplicando (3.30) com r1 = 0 = r3 y r4 = r, temos

Vp(r2)V (r) > Vp(r)V (r2)

Vp(r2)

V (r2)>Vp(r)

V (r)

observamos que

limr2−→0

Vp(r2)

V (r2)= 1

Daı, temos Vp(r) 6 V (r), lembre que V (r) ⊂ Rn assim

Vp(r) 6 V (r) =αm−1

mrm onde αm−1 = V (Bm−1(1))

Para demonstrar 2, seja x ∈ ∂Bp(1 + ρ). Pela desigualdade (3.30) com r4 = 2 + ρ,r3 = ρ = r2, r1 = 0 e que M = Rm temos

Vx(ρ)(V (2 + ρ)− V (ρ)

)> (Vx(2 + ρ)− Vx(ρ))V (ρ)

Vx(ρ)

V (ρ)

(V (2 + ρ)− V (ρ)

)> Vx(2 + ρ)− Vx(ρ)

Vx(ρ)αm−1

m(2 + ρ)m − αm−1

mρm

αm−1

mρm

> Vx(2 + ρ)− Vx(ρ)

Vx(ρ)(2 + ρ)m − ρm

ρm> Vx(2 + ρ)− Vx(ρ) (3.31)

Vx(2 + ρ)− Vx(ρ) 6 Vx(ρ)(2 + ρ)m − ρm

ρm

No entanto, como a distancia entre p e x e d(p, x) = 1 + ρ, temos Bp(1) ⊂ (Bx(2 + ρ) \Bx(ρ)), logo

37



x

P

ρ

ρ+2

1

Vp(1) 6 Vx(2 + ρ)− Vx(ρ) (3.32)

Ja que Bx(ρ) ⊂ Bp(1 + 2ρ), temos

Vx(ρ) 6 Vp(1 + 2ρ)

Combinando isto com as equacoes (3.31) e (3.32), concluımos que

Vp(1) 6 Vp(1 + 2ρ)(2 + ρ)m − ρm

ρm

38



logo

Vp(1) 6 Vp(1 + 2ρ)(2 + ρ)m − ρm

ρm

(1 + 2ρ)Vp(1)ρm

[(2 + ρ)m − ρm] (1 + 2ρ)6 Vp(1 + 2ρ)

(1 + 2ρ)Vp(1)ρm[∑m

k=1

(mk

)ρm−k2k

](1 + 2ρ)

6 Vp(1 + 2ρ)

(1 + 2ρ)Vp(1)1[∑m

k=1

(mk

)ρ−k2k

](1 + 2ρ)

6 Vp(1 + 2ρ)

(1 + 2ρ)Vp(1)1∑m

k=1

(mk

) (2k

ρk+ 2k+1

ρk−1

) 6 Vp(1 + 2ρ)

(1 + 2ρ)Vp(1)C(n) 6 Vp(1 + 2ρ)

Teorema 3.3 (Cheng). Seja Mm uma variedade Riemanniana completa com curva-tura de Ricci limitada inferiormente por

Ricij ≥ (m− 1)K

para alguma constante K > 0. Se o diametro d de M satisfaz

d =π√K,

entao M e isometrica a esfera padrao de raio 1√K

.

Demonstracao. Por escalamento, podemos supor que K = 1. Seja p e q um par depontos em M que realizam o diametro. aplicando a desigualdade (3.30) com r2 = d/2,r4 = d e r1 = r3 = 0 temos

Vp(d) 6 Vp

(d

2

)V (d)

V (d/2)(3.33)

ja que d = π√K

= π

V (d)

V (d/2)= 2

pelo tanto

Vp(d) 6 2Vp

(d

2

)de maneira similar, temos

Vq(d) 6 2Vq

(d

2

)

39



Do outro lado, a desigualdade triangular e o fato de ser d = r(p, q), temos Bp(d/2) ∩Bq(d/2) = ∅. Por tanto,

2V (M) = Vp(d) + Vq(d)

6 2

(Vp

(d

2

)+ Vq

(d

2

))6 2V (M)

Onde V (M) denota o volume de M . Isto implica que las desigualdades (3.33) noTeorema de comparacao do volume torna-se igualdades, e pela Observacao 3.6, Mdeve ser a esfera padrao unitaria pois consideramos K = 1.

Seja f ∈ C∞(M), definimos o tensor simetrico

Ricf := Ric + Hessf.

O seguente resultado provado por Munteanu- Wang [10] mostra que o Teorema decomparacao de volume 3.1, pode ser melhorado assumindo condicoes analogas para otensor Ricf .

Teorema 3.4 (Munteanu - Wang). Seja M uma variedade Riemanniana completa,f ∈ C∞(M) verificando

Ric + Hess f >1

2g (3.34)

|∇f |2 6 f (3.35)

entao existe C tal queVp(R) 6 Cef(p)Rn.

Demonstracao. Definimos o volume dentro do cut-locus e temos

Vp(R) =

∫BR⊂TpM

J(θ, r)drdθ (3.36)

Seja γ uma geodesica normalizada minimizante partindo de p, entao

f(r) := f(γ(r))⇒ (γ′f)(γ(r)) = f ′(r)

e

g(γ′, γ′) = g

(∂

∂r,∂

∂r

)= 1

Hess f(∂

∂r,∂

∂r

)= γ′(γ′(f(r)))− (∇γ′γ

′)f = f ′′(r)

lembremos que

ω(θ, r) =1

m− 1

J ′

J=

(1

m− 1log(J)

)′(3.37)

40



Pelo Lema 3.2 e a equacao (3.17)

ω′ + ω2 +1

m− 1Ric

(∂

∂r,∂

∂r

)6 0

usando a desigualdade (3.34) e multiplicando por r2 temos

ω′r2 + ω2r2 +r2

m− 1

(1

2− f ′′(r)

)6 0

ω′r2 + ω2r2 +r2

2(m− 1)− r2

m− 1f ′′(r) 6 0

ω′(r)r2 + ω2(r)r2 +r2

2(m− 1)6

r2

m− 1f ′′(r)

integrando de r = 0 a r = t∫ t

0

ω′(r)r2dr +

∫ t

0

ω2(r)r2dr +

∫ t

0

r2

2(m− 1)dr 6

∫ t

0

r2

m− 1f ′′(r)dr

ω(t)t2 −∫ t

0

2ω(r)rdr +

∫ t

0

ω2(r)r2dr +t3

6(m− 1)6

1

m− 1f ′(t)t2 − 2

m− 1

∫ t

0

rf ′(r)dr

ω(t)t2 +

∫ t

0

(ω2(r)r2 − 2ω(r)r + 1)dr −∫ t

0

dr +t3

6(m− 1)6

1

m− 1f ′(t)t2 − 2

m− 1

∫ t

0

rf ′(r)dr

ω(t)t2 +

∫ t

0

(ω(r)r − 1)2dr − t+t3

6(m− 1)6

1

m− 1f ′(t)t2 − 2

m− 1

∫ t

0

rf ′(r)dr

ω(t)t2 − t+t3

6(m− 1)6

1

m− 1f ′(t)t2 − 2

m− 1

∫ t

0

rf ′(r)dr

multiplicando por 1t2

e reordenando os termos temos

ω(t) 61

t− t

6(m− 1)+

1

m− 1f ′(t)− 2

t2(m− 1)

∫ t

0

sf ′(s)ds (3.38)

pela equacao (3.37) e integrando de t = ε a t = r temos∫ r

ε

ω(t)dt 6∫ r

ε

(1

t− t

6(m− 1)+

1

m− 1f ′(t)− 2

t2(m− 1)

∫ t

0

sf ′(s)ds

)dt∫ r

ε

(1

m− 1log(J(t))

)′dt 6

∫ r

ε

(1

t− t

6(m− 1)+

1

m− 1f ′(t)

)dt−

∫ r

ε

2

t2(m− 1)

∫ t

0

sf ′(s)dsdt∫ r

ε

(log(J(t)))′ dt 6∫ r

ε

(m− 1

t− t

6+ f ′(t)

)dt−

∫ r

ε

2

t2

∫ t

0

sf ′(s)dsdt

41



log(J(r))− log(J(ε)) 6(m− 1)(log r − log ε)− 1

12(r2 − ε2) + (f(r)− f(ε))

+2

t

(∫ t

0

sf ′(s)ds

)∣∣∣∣t=rt=ε

−∫ r

ε

2f ′(t)dt


12(r2 − ε2) + (f(r)− f(ε))

+2

t

(∫ t

0

sf ′(s)ds

)∣∣∣∣t=rt=ε

− 2(f(r)− f(ε))


12(r2 − ε2)− (f(r)− f(ε))

+2

t

(∫ t

0

sf ′(s)ds

)∣∣∣∣t=rt=ε

reordenando os termos e lembrando que J(r) ∼ rm−1 e fazendo ε→ 0 temos

log(J(r)) + log εm−1 − log(J(ε)) 6 log rm−1 − 1

12(r2 − ε2)− (f(r)− f(ε)) +

2

t

(∫ t

0

sf ′(s)ds

)∣∣∣∣t=rt=ε

log(J(r)) 6 log rm−1 − r2

12− (f(r)− f(0)) +

2

r

(∫ r

0

sf ′(s)ds

)log(J(r))− log rm−1 6− r2

12− (f(r)− f(0)) +

2

r

(∫ r

0

sf ′(s)ds

)log

(J(r)

rm−1

)6− r2

12− (f(r)− f(0)) +

2

r

(∫ r

0

sf ′(s)ds

)−2

r

(∫ r

0

sf ′(s)ds

)6− log

(J(r)

rm−1

)− r2

12− (f(r)− f(0))

− 2

r2(m− 1)

(∫ r

0

sf ′(s)ds

)6− 1

r(m− 1)log

(J(r)

rm−1

)− r

12(m− 1)− 1

r(m− 1)(f(r)− f(0))

(3.39)

substituindo (3.39) em (3.38) temos

ω(r) 61

r− r

6(m− 1)+

1

m− 1f ′(r)− 1

r(m− 1)log

(J(r)

rm−1

)− r

12(m− 1)− 1

r(m− 1)(f(r)− f(0))

=1

r− r

4(m− 1)+

1

m− 1f ′(r)− 1

r(m− 1)log

(J(r)

rm−1

)− 1

r(m− 1)(f(r)− f(0))

(3.40)

ja que |∇f |2 6 f

f ′(r) 61

4r +

1

r|∇f |2 6 1

4r +

1

rf(r)

42



substituindo na equacao (3.40)

ω(r) 61

r− r

4(m− 1)+

1

m− 1

(1

4r +

1

rf(r)

)− 1

r(m− 1)log

(J(r)

rm−1

)− 1

r(m− 1)(f(r)− f(0))

ω(r) 61

r− 1

r(m− 1)log

(J(r)

rm−1

)+

1

r(m− 1)f(0)

alem disso lembre que f(0) = f(γ(0)) = f(p) e reordenando os termos de acima temos

ω(r)− 1

r+

1

r(m− 1)log

(J(r)

rm−1

)6

1

r(m− 1)f(p)

r(m− 1)ω(r)− (m− 1) + log

(J(r)

rm−1

)6 f(p)

r(m− 1)1

m− 1

J ′

J− (m− 1) + log

(J(r)

rm−1

)6 f(p)

rJ ′

J− (m− 1) + log

(J(r)

rm−1

)6 f(p)(

r log

(J(r)

rm−1

))′6 f(p)

integrando de r = 0 a r = R implica

R log

(J(R)

Rm−1

)6 Rf(p)

log

(J(R)

Rm−1

)6 f(p)

J(R)

Rm−16 ef(p)

J(R) 6 ef(p)Rm−1 ∀R > 0

aplicando isto em (3.36) temos

Vp(R) 6 Cef(p)Rn

Observacao 3.7. Note que se mudarmos a metrica da variedade Riemanniana (M, g),multiplicando por uma constante ε > 0, g = εg segue da equacao (3.34) que

Ricg + Hess gf >1

2εg

pois por (1.2) e Observacao (1.5) temos que

Ricg = Ricg e Hess gf = Hess gf

assim tem-seRic + Hess f >

1

2εg

com a nova metrica, porem o Teorema 3.4 segue sendo verdade.

43


3.3. Comparacao decurvatura Media

3.3 Comparacao decurvatura Media

Seja f ∈ C∞(M), definimos Hf := ∆r − 〈∇f,∇r〉.Teorema 3.5 (Comparacao de Curvatura Media). Se Ricf (∂r, ∂r) ≥ λ, entao dadoqualquer segmento de geodesica minimizante e r0 > 0,

Hf (r) ≤ Hf (r0)− λ(r − r0) r ≥ r0.

Demonstracao. Por (3.3)

J ′′ 6m− 2

m− 1H2J − Ric(∂r, ∂r)J

J ′′

J6m− 2

m− 1H2 − Ric(∂r, ∂r)

lembre que H ′ =(J ′

J

)′=J ′′

J−H2, dai tem-se

H ′ 6 − 1

m− 1H2 − Ric(∂r, ∂r). (3.41)

A igualdade vale se e so se as curvaturas seccionais radiais sao constantes iguais aK. Pois a curvatura Media de um espaco forma H satisfaz

H′= − H

2

m− 1− (n− 1)K. (3.42)

Observe que Hf = ∆r− 〈∇f,∇r〉 e H = ∆r, derivando ambos temos na direcao radial

H ′f = (∆r)′ − 〈∇r∇f,∇r〉 − 〈∇f,∇r∇r〉H ′ = (∆r)′

note que ∇r∇r = 0, combinando ambas igualdades temos

H ′f = (∆r)′ − 〈∇r∇f,∇r〉 = H ′ −Hess f(∂r, ∂r) (3.43)

Somando (3.43) com (3.41) tem-se

H ′f 6 −1

m− 1H2 − [Ric(∂r, ∂r) + Hess f(∂r, ∂r)]

= − 1

m− 1H2 − Ricf (∂r, ∂r)

Se Ricf ≥ λH ′f ≤ −λ

integrando de r0 a r com r0 ≤ r

Hf (r) ≤ Hf (r0)− λ(r − r0) r ≥ r0

Como aplicacao do Teorema 3.5, apresentaremos um resultado mostrado por Guo-fang Wei e Will Wylie [11].

44

Capıtulo 3. Teorema deComparacao de Volume 3.4. Comparacao de volume com peso

3.4 Comparacao de volume com pesoPela definicao de volume com peso (1.7) temos que

Af (∂B(r)) =

∫Sn−1(1)

Jn−1f dθ

ondeJn−1f (r, θ) := e−f(r,θ)Jn−1(r, θ) (3.44)

Lembre que para comparacao de volume tınhamos

(log Jn−1)′ =(Jn−1)′

Jn−1= (n− 1)

J ′

J= (n− 1)ω = H (3.45)

mas com volume com peso algo semelhante acontece

(log Jn−1f )′ =

(Jn−1f )′

Jn−1f

=(e−fJn−1)′

e−fJn−1

=−e−f〈∇f,∇r〉Jn−1 + e−f (n− 1)Jn−2J ′

e−fJn−1

= −〈∇f,∇r〉+ (n− 1)J ′

J= −〈∇f,∇r〉+ (n− 1)ω

= −〈∇f,∇r〉+H

= −〈∇f,∇r〉+ ∆r

= Hf

e para r ≥ r0 > 0 temos log(Jn−1f (r, θ))′ = Hf (r, θ), integrando desde r0 a r∫ r

r0

(log Jn−1f (s, θ))′ds =

∫ r

r0

Hf (s, θ)ds

logJn−1f (r, θ)

Jn−1f (r0, θ)

=

∫ r

r0

Hf (s, θ)ds

daiJn−1f (r, θ)

Jn−1f (r0, θ)

= e∫ rr0Hf (s,θ)ds (3.46)

Teorema 3.6 (Comparacao de Volume com Peso). Seja Ricf ≥ λ, entao para qualquerr0 existem constantes A,B, e C tais que

Volf (B(p,R)) ≤ A+B

∫ R

r0

e−λ2

(t−r0)2+C(t−r0)dt.

45

Capıtulo 3. Teorema deComparacao de Volume 3.4. Comparacao de volume com peso

Demonstracao. Aplicando o Teorema 3.5 para r0 fixo e R > r0

Hf (R) ≤ Hf (r0)− λ(R− r0)

integrando de r0 a R ∫ R

r0

Hf (s, θ)ds ≤∫ R

r0

[Hf (r0, θ)− λ(s− r0)] ds

daı ∫ R

r0

Hf (s, θ)ds ≤ Hf (r0, θ)(R− r)−λ

2(R− r0)2 (3.47)

combinando (3.46) e (3.47)

Jn−1f (R, θ) ≤ Jn−1

f (r0, θ)eHf (r0,θ)(R−r0)−

λ

2(R−r0)2

(3.48)

seja A(p, r0, R) o anel A(p, r0, R) = B(p,R) \B(p, r0) entao

Volf (A(p, r0, R)) =

∫ R

r0

∫Sn−1

Jn−1f (s, θ)dθds

≤∫ R

r0

∫Sn−1

Jn−1f (r0, θ)e

Hf (r0,θ)(s−r0)−λ

2(s−r0)2

dθds

≤ Jn−1f (r0)

∫ R

r0

eC(s−r0)−

λ

2(s−r0)2

ds

Onde Jn−1f (r0) = B e a area da esfera geodesica induzida pela n-forma e−fdVg e C e

uma constante tal que C ≥ Hf (r0, θ) para todo θ ∈ Sn−1, entao temos

Volf (B(p,R)) = Volf (B(p, r0)) + Volf (A(p, r0, R))

= A+B

∫ R

r0

eC(s−r0)−

λ

2(s−r0)2

ds

Entao nos temos uma estimativa para controlar o crescimento do volume de peso.

46

Referencias Bibliograficas

[1] Manfredo Do Carmo.Geometria Riemanniana. Quinta Edicao . Rio de Janeiro:IMPA , 2011.

[2] Peter Petersen.Riemannian Geometry. Third Edition . Graduate Texts inMAthematics , Springer-Verlag, New York, 2016.

[3] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Second Edition. New York:Springer-Verlag, 2010.

[4] Lee, J.M. Riemannian Manifolds-An introduction to Curvature: Springer, 1997.

[5] Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Brandeis Univerity: 1995.

[6] John M. Lee. Riemannian Manifolds. New York: Springer-Verlag, 1950.

[7] R. Bishop e R. Crittende. Geometry of manifold. Academic Press, New York,1964.

[8] John M. Lee. Introduction to Topological Manifolds. New York: Springer-Verlag,2000.

[9] Peter Li. Geometric Analysis.New York: Cambridge University Press, 2012.

[10] Ovidiu Munteanu, Jiaping Wang Geometry of manifolds with densities. Depart-ment of Mathematics, University of Connecticut, Storrs, CT 06269, USA

[11] Guofang Wei and Will Wylie. COMPARISON GEOMETRY FOR THE BAKRY-EMERY RICCI TENSOR.Department of Mathematics, University of California.

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