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© 2013 Vestcon Editora Ltda.

Todos os direitos autorais desta obra são reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de19/2/1998. Proibida a reprodução de qualquer parte deste material, sem autorizaçãoprévia expressa por escrito do autor e da editora, por quaisquer meios empregados,

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cos, micro lmicos,fotográficos, gráficos ou outros. Essas proibições aplicam-se também à editoração da obra,bem como às suas caracteríscas gráficas.

Título da obra: TJ-AM – Tribunal de Jusça do Estado do AmazonasCargo: Analista Judiciário I – Nível Superior

Adendo: Raciocínio Lógico

(Conforme Edital nº 002/2013 – TJ/AM, de 11 de Março de 2013 [reficado em 19 deMarço de 2013] – FGV)

Autor:Júlio Lociks

DIRETORIA EXECUTIVANorma Suely A. P. Pimentel

PRODUÇÃO EDITORIALRosângela Sandy Tiago

EDIÇÃO DE TEXTOCláudia FreiresPaulo Henrique Ferreira

CAPARalfe Braga

ILUSTRAÇÃOFabrício MatosMicah Abe

PROJETO GRÁFICORalfe Braga

ASSISTENTE EDITORIALGabriela Tayná Moura de Abreu

ASSISTENTE DE PRODUÇÃOLaiany Calixto

EDITORAÇÃO ELETRÔNICAAdenilton da Silva Cabral

Carlos Alessandro de Oliveira FariaDiogo AlvesMarcos Aurélio Pereira

REVISÃOAna Paula Oliveira PagyDinalva FernandesÉrida CassianoGiselle BerthoMicheline Cardoso FerreiraRaysten Balbino Noleto

SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DFSAC: 0800 600 4399 Tel.: (61) 3034 9576 Fax: (61) 3347 4399

www.vestcon.com.br

Publicado em abril/2013(A1-AT555)



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NOÇÕES DE LÓGICA

O Que é uma Proposição?

Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, queexprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um dedois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

Somente às sentenças declara vas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso,o que ocorre quando a sentença é, respecvamente, confirmada ou negada. De fato,

não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de sentençascomo as interrogavas, as exclamavas e outras, embora elas também expressem juízos.

São exemplos de proposições as seguintes sentenças declaravas:

O número 6 é par.O número 15 não é primo.Todos os homens são mortais.Nenhum porco espinho sabe ler.

Alguns canários não sabem cantar.

Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.Eu falo inglês e espanhol.Míriam quer um sapa nho novo ou uma boneca.

Não são proposições:

Qual é o seu nome? Preste atenção ao sinal.Caramba!

Proposição Simples

Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando nãocontém qualquer outra proposição como sua componente.

Isto significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simplesalguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menorestais que alguma delas seja uma nova proposição.

Exemplo:

A sentença “Cínthia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não épossível idenficar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmossepará-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova.

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVOJúlio Lociks



6

Proposição Composta

Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta ou proposição molecular . Isto quer dizer que uma proposição écomposta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição.

Exemplo: A sentença “Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio” é uma proposiçãocomposta, pois é possível rerar-se dela duas outras proposições: “Cínthia é irmã deMaurício” e “Cínthia é irmã de Júlio”.

Conecvos Lógicos (ou Estruturas Lógicas)

Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nasproposições compostas tais como “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se”aos quais denominamos conec vos lógicos ou estruturas lógicas.

Exemplo: A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menorque y ” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conecvos lógicos(“não” , “se ... então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “ x é maiorque y ”, “ x é igual a y ” e “ x é menor que y ”.

Os conecvos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modoque o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente:

– do valor lógico de cada uma de suas proposição componentes;

– e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conec

voslógicos ulizados.

Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respecvos valores lógicos:

Proposições Valores Lógicos

O número 10 é inteiro. V

O número 10 ímpar. F

O número 10 é inteiro e é ímpar. FO número 10 é inteiro ou é ímpar. V

V = verdadeiro ; F = falso

Algumas proposições compostas recebem denominações especiais de acordo coma estrutura usada para ligar as proposições componentes.

O reconhecimento de tais estruturas é muito importante para a análise e a reso-lução dos problemas de raciocínio lógico que estudaremos mais adiante.

A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas denominações.A parr deste ponto, passaremos a nos referir a estas estruturas como estruturas

fundamentais:



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Estruturas fundamentais Denominações

Não-A Negação

A ou B Disjunção

Ou A ou B Disjunção Exclusiva

A e B Conjunção

Se A, então B Condicional

A se e somente se B Bicondicional

Negação: Não-A

Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A a proposiçãocomposta que se obtém a parr da proposição A acrescida do conecvo lógico “não”ou de outro equivalente.

A negação “não-A” pode ser representada simbolicamente como:

~ Aou

Aou ainda A

Podem-se empregar também, como equivalentes de “não-A”, as seguintes ex-pressões:

Não é verdade que A ;É falso que A.

Uma proposição A e sua negação “não-A” terão sempre valores lógicos opostos.

Tabela-Verdade da Negação (~A)Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar

os resultados possíveis da negação “~ A” para cada um dos valores lógicos que A podeassumir.

A Não-A

V F

F V

Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua ne-gação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

Conjunção: A e B



8

Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conecvo “e”.

A conjunção “ A e B” pode ser representada simbolicamente como:

A B

Exemplo: Dadas as proposições simples:

A: Elisabeth é mãe de Cínthia.B: Elisabeth é mãe de Maurício.

A conjunção A e B pode ser escrita como:

A B: Elisabeth é mãe de Cínthia e de Maurício.

Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõemforem verdadeiras. Ou seja, a conjunção “A B” é verdadeira somente quando A éverdadeira e B é verdadeira também.

Tabela-Verdade da Conjunção (A B)Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os

resultados possíveis da conjunção “A e B” para cada um dos valores lógicos que A eB podem assumir.

A B A BV V V

V F F

F V F

F F F

Disjunção: A ou B

Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições

quaisquer que estejam ligadas pelo conecvo “ou”.A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como:

A B

Exemplo: Dadas as proposições simples:A: Alberto fala espanhol.B: Alberto é universitário.

A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:

A B: Alberto fala espanhol ou é universitário.



9

Para que a disjunção “A ou B” seja verdadeira basta que pelo menos uma de suasproposições componentes seja verdadeira.

Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas,A e B, forem verdadeiras, então a disjunção “ A ou B” será verdadeira.

Ou seja, a disjunção “ A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também.

Tabela-Verdade da Disjunção (A B)Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da

disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A B

V V V

V F V

F V VF F F

Disjunção Exclusiva: ou A ou B

Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duasproposições quaisquer onde cada uma delas esteja precedida pelo conecvo “ou”.

A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como:

A B

(observe o sublinhado no símbolo )


A: O número 19 é par.B: O número 19 é ímpar.

A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como:

A B: Ou o número 19 é par ou o número 19 é ímpar.

Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma e apenas uma dasproposições que a compõem for verdadeira.

Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e B têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa).

Se A e B verem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) entãoa disjunção exclusiva será falsa.

Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A

B)Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados dadisjunção exclusiva “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.



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A B A B

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional: Se A então B

Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conecvo “Se ... então” ou por uma de suas formasequivalentes.

A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamentecomo:

A BExemplo: Dadas as proposições simples:

A: José é alagoano.B: José é brasileiro.

A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:

A B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.

Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelouso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposiçãoB, apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente.

As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A,então B”:

Se A , B ;B , se A ;

Todo A é B ; A implica B ; A somente se B ; A é su fi ciente para B ;B é necessário para A.

Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando sua condição (A) éverdadeira e sua conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos.

Isto significa que numa proposição condicional, a única situação inaceitável étermos uma condição verdadeira e uma conclusão falsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da pro-posição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.



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A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos à primeira vista. A fi m de esclarecer o signi fi cado de cada um dos resultados possíveis numa sen-

tença condicional, considere a seguinte situação: numa tarde de domingo um casalestá sentado no sofá da sala de seu apartamento assis ndo a um fi lme quando acampainha toca. A mulher, que se diz sensi va, diz: “Se for uma mulher, então elaestará trazendo um pacote nas mãos”. O marido, que não costuma dar muita impor-tância às previsões da mulher, resmunga “Vamos ver se você está mesmo certa!” evai abrir a porta.

Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estavaerrada?

Há quatro situações a serem analisadas:1a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo

trazendo um pacote nas mãos. Neste caso teremos que reconhecer que a previsão damulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha databela-verdade apresentada para a condicional).

2a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, mas ela não estavatrazendo um pacote nas mãos. Neste caso podemos dizer que a previsão da mulhermostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da

tabela-verdade apresentada para a condicional).3a – Quem tocou a campainha não era uma mulher embora esvesse mesmo tra-

zendo um pacote nas mãos. Neste caso não podemos dizer que a previsão da mulherestava errada, pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendoum pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsae esta não é falsa. Então é verdadeira! (Este caso corresponde ao que está descrito naterceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional)

4a – Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendoum pacote nas mãos. Neste caso também não podemos dizer que a previsão da mu-lher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava

condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, nãoteria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição nãoé falsa. Logo, é verdadeira (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linhada tabela-verdade apresentada para a condicional).

Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do po “se A então B” esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardementre si alguma relação de causa e efeito.

Neste sendo, aceitaríamos com facilidade, por exemplo, a proposição “Se umnúmero inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par”.

No mesmo sendo, tenderíamos a recusar proposições como:

“se um triângulo tem três lados então o número sete é primo”



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Ou, ainda:

“se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”

Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo como:

“O que é que tem a ver um triângulo ter três lados com o fato de o número seteser primo?”

Quanto à segunda, é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como:

“Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas quatro. E mesmo que vesse,isto não tem nada a ver com falar-se ou não o português no Brasil”.

Essepo de recusa parece razoável, pois nestas afirmações falta algo que relacionea primeira parte da proposição (condição) com a segunda (conclusão).

No entanto, segundo as regras da Lógica, estas duas proposições são verdadeiras! Para verificarmos isto, basta analisarmos cada uma delas seguindo as regras

estudadas:Vejamos:

Proposição: Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo.

Esta é uma proposição do po “Se A então B”.

A condição da proposição é: A: Um triângulo tem três lados.(verdade)

A conclusão é:B: O número sete é primo.(verdade)

Como sabemos, uma proposição condicional onde a condição e a conclusão sejam,ambas, verdadeiras será ela mesma, também, verdadeira.

Confira na tabela-verdade:

A B A → B

V V V

V F F

F V VF F V



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Proposição: Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”

A proposição é do po “Se A então B”.

Condição da sentença: A: Um quadrado tem sete lados.(falso)

Conclusão da sentença é:B: Fala-se o português no Brasil.(verdade)

Como sabemos, TODA proposição condicional com condição FALSA é, sempre,VERDADEIRA (independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa).

Confira na tabela-verdade:

A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico de uma proposição compostaindepende da existência de qualquer relação entre as proposições dadas.

Bicondicional: A se e somente se B

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposiçõesquaisquer que estejam ligadas pelo conecvo “se e somente se”.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbo-licamente como:

A B


A: Adalberto é meu o.B: Adalberto é irmão de um de meus pais.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:

A B: Adalberto é meuo se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.

Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se esomente se B” equivale à proposição composta “se A então B e se B então A”.



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Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” asseguintes expressões:

A se e só se B ;Todo A é B e todo B é A ;Todo A é B e reciprocamente;Se A então B e reciprocamente;

A é necessário e su fi ciente para B ; A é su fi ciente para B e B é su fi ciente para A ; A é necessário para B e B é necessário para A.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quandoA e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendofalsa quando A e B têm valores lógicos contrários.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da

proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Sentenças Abertas

Dizemos que uma expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e so-mente se, P(x) se tornar uma proposição sempre que substuirmos a variável x porqualquer elemento pertencente a certo conjunto denominado universo de discurso.

Note que, ao substuirmos a variável da sentença aberta por um elemento dadodo seu universo de discurso, a proposição resultante não tem que ser Verdadeira.

Exemplo: A expressão 2x + 5 = 25 é uma sentença aberta na variável x . Quandosubstuímos a variável pelo número 5 obtemos uma proposição Falsa: 2(5) + 5 = 25.

Tautologia

Uma proposição composta é uma tautologia se e somente se ela for sempreverdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Deste modo, quando uma proposição composta for uma tautologia, a úlma co-luna de sua tabela-verdade será o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas.

Exemplo:A proposição “Se ( A e B ) então ( A ou B )” é uma tautologia, pois é sempre verda-

deira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar natabela-verdade abaixo:



15

A B A e B A ou B (A e B) (A ou B)

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Contradição

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contra-dição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicosdas proposições que a compõem.

Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição a úlma colunade sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas.

Exemplo:A proposição “ A se e somente se não A” é uma contradição pois é sempre falsa,

independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar natabela-verdade abaixo:

A ~A A ~A

V F F

F V F

O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, ~A, nuncaserão ambas verdadeiras nem ambas falsas.

Relação entre Tautologia e Contradição

Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira enquanto uma contradição,sempre falsa, daí pode-se concluir que:

A negação de uma tautologia é sempre uma contradição.

e

A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.

Conngência

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma con- ngência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que elatambém seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Assim, quando uma proposição composta for uma conngência, a úlma colunade sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos umavez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez.



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Exemplo:A proposição “Se A então B” é uma conngência, pois será Falsa quando A for

Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos.

As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico

Alguns autores citam três princípios como sendo fundamentais para o pensamentológico.

Princípio da Idendade

Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira.Em símbolos:

P

P

Princípio da Não Contradição

Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também ser falsa.Em símbolos:

~(P ~P)

Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.Em símbolos:ou P ou ~P

Implicação Lógica

Dizemos que a proposição A implica (ou acarreta) a proposição B se, e somentese, for impossível termos simultaneamente A verdadeira e B falsa na proposiçãocondicional “Se A então B” (em símbolos: AB).

Quando A implica B anotamos:

A B(lê-se: A implica B ou A acarreta B)

Propriedades da Implicação Lógica

São propriedades da relação de implicação lógica:

1ª – A A (reflexiva);

2ª – Se A B e se B C então A C (transiva);3ª – A implicação lógica NÃO é simétrica.



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Proposições Logicamente Equivalentes

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmenteequivalentes quando sasfazem às duas condições seguintes:

1

o

– são compostas pelas mesmas proposições simples;2o – têm tabelas-verdade idên cas.

Uma consequência práca da equivalência lógica é que ao trocar uma dadaproposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando amaneira de dizê-la.

A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada sim-bolicamente como:

A B(lê-se: A é equivalente a B)

As proposições A e B serão equivalentes se, e somente se, for impossível termossimultaneamente A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira na proposição

bicondicional “ A se, e somente se, B” (em símbolos: AB).

Regras de Equivalência

Da definição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes equiva-

lências:1. A A (reflexiva);

2. Se A B então B A (simétrica);

3. Se A B e se B C então A C (transiva);

4. Se A e B são duas tautologias então A B;

5. Se A e B são duas contradições então A B.

Leis de comutavidade

6. A B B A

7. A B B A8. A B B A

9. A B B A

Leis de associavidade

10. (A B) C A (B C)

11. (A B) C A (B C)

Leis de distribuvidade

12. A (B C) (A B) (A C)13. A (B C) (A B) (A C)



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Lei da dupla negação14. ~(~A) A

Equivalências da Condicional

15. A B ~A B16. A B ~B ~A

Equivalências da Bicondicional

17. A B (A B) (B A)

18. A B (A B) (~B ~A)

19. A B ~(A B)

Leis de Morgan

20. ~(A B) ~A ~B21. ~(A B) ~A ~B

Negação de Proposições Compostas

Um problema de grande importância para a lógica é o da idenficação de proposi-ções equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simplesé uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto podem surgir algumasdificuldades quando procuramos idenficar a negação de uma proposição composta.

Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valorlógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A forverdadeira, a sua negação não-A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não-A deveser verdadeira.

Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com aproposição dada.

A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algu-mas proposições compostas:

Proposição Negação diretaEquivalente da

Negação

A e B Não (A e B) Não A ou não B

A ou B Não (A ou B) Não A e não B

Se A então B Não (se A então B) A e não B

A se esomente se B

Não (A se esomente se B)

Ou A ou B

Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é BAlgum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B



19

Diagramas Lógicos

Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações existentesentre as diversas partes que compõem uma proposição.

O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-Euler .Neste capítulo aprofundaremos nossos estudos sobre os digramas lógicos estu-

dando uma variação do modelo de Venn-Euler que nos permirá uma representaçãomais precisa do que aquela vista anteriormente.

Universo de discurso (U)

Denomina-se universo de discurso o conjunto de tudo o que se admite comopossível em um dado contexto.

Deste modo, qualquer proposição possível será um subconjunto do universo dediscurso.O universo de discurso será sempre indicado pela região interna de um retângulo.Cada proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo de

discurso.

U = universo de discursoA = proposição

Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região sendo falsaem todos os demais pontos do universo de discurso.

Na região 1 a proposição A é verdadeira.Na região 2 a proposição A é falsa.



20

Na região 1 A e B são falsas.

Na região 2 A é verdadeira e B é falsa.

Na região 3 A e B são verdadeiras.Na região 4 A é falsa e B é verdadeira.

Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama lógico somente as regiões

para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro

serão sombreadas.

Diagrama Lógico da Negação

Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo conjunto A,então a negação “não-A” corresponderá ao conjunto complementar de A.

Diagrama Lógico da Conjunção

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um

diagrama, a conjunção “ A B” corresponderá à interseção do conjunto A com oconjunto B, A B.



22

Diagramas Lógicos da Condicional “A B”

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia-grama, a proposição condicional “Se A então B” poderá ser indicada de dois modos:

1º Como nos casos anteriores, sombreando somente as regiões dos conjuntosA e B correspondentes às linhas cujo resultado é V na tabela-verdade da proposiçãocondicional.

2º Como a inclusão do conjunto A no conjunto B (A está condo em B).

Diagramas Lógicos da Bicondicional

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia-

grama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdadedos conjuntos A e B.



23

Proposições Categóricas

Na lógica clássica (também chamada lógica aristotélica) o estudo da dedução era

desenvolvido usando-se apenas quatro pos especiais de proposições, denominadasproposições categóricas.

As proposições categóricas podem ser universais ou par culares, cada umadestas podendo ser a fi rma va ou nega va. Temos, portanto, quatro proposiçõescategóricas possíveis.

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas picas, são apre-sentadas no quadro seguinte:

Afirmavas Negavas

Universais Todo A é B. Nenhum A é B.

Parculares Algum A é B. Algum A não é B.

Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica

Dada uma proposição categórica em sua forma pica chamamos de: – sujeito o elemento da sentença relacionado ao quanficador da proposição;

– predicado o elemento que se segue ao verbo.

Exemplos:

ProposiçõesCategóricas

Sujeito Predicado

Todo atleta nato é um ven-cedor

atleta nato um vencedor

Nenhum ser vivo é imortal ser vivo imortal

Algum quadro é obra de arte quadro obra de arteAlgum polí co não é honesto polí co honesto



24

Representações Gráficas

Deve-se ao matemáco suíço Leonhard Euler (1707-1783) a ideia de representaras proposições categóricas por meio de diagramas que, por isto, são denominados

diagramas de Euler ou diagramas lógicos.Nas representações gráficas das proposições categóricas considere o significadodos seguintes sinais que aparecerão em certas regiões dos conjuntos citados:

Sinal Significado

x Esta região tem pelo menos um elemento.

? Esta região pode ter elementos ou não.

Todo A é B.

Algum A é B.

Nenhum A é B.



25

Algum A não é B.

Neste úlmo caso é importante lembrar que o conjunto B não poderá resultar total-

mente vazio. Isto se deve em obediência a um dos princípios da lógica das proposições

categóricas que estabelece que “toda classe tem que possuir pelo menos um elemento”.

Quanficação

A quanficação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicadode uma proposição.

Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador ”, estamos fazendo referência adois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que sãobatalhadores. Assim, o sendo da sentença é que “todo aquele que pertença ao con-

junto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.Na teoria dos conjuntos, os elementos de um conjunto é que são quanficados

para que se possa estabelecer sua relação de pernência com um outro conjunto.

Representação Simbólica

Os quanficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é feitade modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas.

Q S S

Universal

Todo,Para todo ouQualquer que seja

Parcular Existe algum

Parcular negavo Não existe

Parcular exclusivo I Existe um único



26

Exemplos:

Universal afirmava:Todo A é B.

x, xA xB(para todo x, se xA então xB)

Universal negava:Nenhum A é B.x, xA xB(para todo x, se xA então xB)

Parcular afirmava:

Algum A é B.x, xA xB(existe algum x tal que xA e xB)

Parcular negava:Nenhum A é B.

x, xA xB(não existe x tal que xA e xB)

Relações Quanficacionais

Duas proposições categóricas disntas, que tenham mesmo sujeito e mesmopredicado, ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas,ou as duas coisas.

Dizemos que estarão sempre em oposição.

São quatro os pos de oposição.

Observe o quadro a seguir que é conhecido como quadro de oposições.



27

1. Contraditórias – Uma proposição categórica qualquer e sua negação lógica são ditas contraditórias.

“Todo A é B” e “Algum A não é B” são contraditórias.

“Nenhum A é B” e “Algum A é B” são contraditórias.

Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas, tendo sempre valores lógicos opostos.

– Se soubermos que uma proposição qualquer é verdadeira, poderemos garanrque a sua contraditória será falsa.

– Se soubermos que uma proposição qualquer é falsa, poderemos garanr quea sua contraditória será verdadeira.

2. Contrárias – Uma a fi rma va universal e a correspondente nega va universal são ditas contrárias.

“Todo A é B” e “Nenhum A é B” são contrárias.

Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas.

– Se soubermos que uma universal qualquer é verdadeira poderemos garanr

que a sua contrária é falsa. – Por outro lado se soubermos que uma universal qualquer é falsa não poderemosgaranr que a sua contrária seja falsa também.

3. Subcontrárias – Uma a fi rma va par cular e a correspondente nega va parcular são ditas subcontrárias.

“Algum A é B” e “Algum A não é B” são subcontrárias.

Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas

verdadeiras.

– Se soubermos que uma proposição parcular é falsa, poderemos garanr quea sua subcontrária é verdadeira.

– Por outro lado, se soubermos que uma proposição parcular é verdadeira nãopoderemos garanr que sua subcontrária seja verdadeira também.

4. Subalternas – Duas afirmavas ou duas negavas (sendo uma universal e suaparcular correspondente) são ditas subalternas.

“Todo A é B” e “Algum A é B” são subalternas.

“Nenhum A é B” e “Algum A não é B” são subalternas.



28

– Se soubermos que uma proposição universal é verdadeira então poderemosgaranr que sua subalterna parcular também será verdadeira. A recíproca(da parcular para a universal) não pode ser garanda.

– Se soubermos que uma proposição parcular é falsa então poderemos garanrque sua subalterna universal será falsa também. A recíproca (da universal paraa parcular) não pode ser garanda.

Existe uma forma simples de resumirmos o comportamento de duas proposiçõessubalternas.

1º – Monte uma sentença condicional colocando as proposições subalternas naseguinte ordem:

Se (Universal) então (Par cular)

2º – Marque o valor lógico (V ou F) junto da parte que contém a proposição cujo

valor lógico é conhecido.

3º – Deduzimos quais valores lógicos poderão ter a subalterna restante de modoque a sentença condicional seja verdadeira.

Exemplos:1. Sabemos que a proposição universal é verdadeira.

Se (universal) então (parcular)

V V

Portanto, a proposição par cular também é verdadeira.

2. Sabemos que a proposição universal é falsa.


F V ou F

Portanto, a proposição par cular pode ser verdadeira ou falsa.

3. Sabemos que a proposição par cular é verdadeira.


V ou F V

Portanto, a proposição universal pode ser verdadeira ou falsa.

4. Sabemos que a proposição par cular é falsa.


F

F

Portanto, a proposição universal também é falsa.



29

Argumento

Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1,

P2, ... P

n, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos

de conclusão do argumento.{P

1, P

2, ... P

n}⇢ C

No lugar dos termos “ premissa” e “conclusão” podem ser empregados os termoscorrespondentes “hipótese” e “tese”, respecvamente.

premissa = hipóteseconclusão = tese

Silogismo

Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como

premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo.{ P

1, P

2 }⇢ C

Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:

I. P1: Todos os ar stas são apaixonados.

P2: Todos os apaixonados gostam de fl ores.

C : Todos os ar stas gostam de fl ores.

II. P1: Todos os apaixonados gostam de fl ores.

P2: Míriam gosta de fl ores.

C : Míriam é uma apaixonada.

Silogismos CategóricosUm silogismo é denominado categórico quando:1o É composto por três proposições categóricas;2o As três proposições categóricas devem conter, ao todo, três únicos termos;3o Cada um dos termos deve ocorrer em exatamente duas das três proposições

que compõem o silogismo.

Exemplo:

No silogismo:P1: Todo bom atleta é persistente.P2: Hudson é um bom atleta.C: Hudson é persistente.

Os três termos são:bom atleta – que ocorre nas duas premissas, P1 e P2;

persistente – que ocorre na primeira premissa e na conclusão;Hudson – que ocorre na segunda premissa e na conclusão.

Termos de um SilogismoCada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome especial: – Termo médio (M): é aquele que ocorre nas duas premissas.



30

– Termo maior (T): é o termo que ocorre como predicado da conclusão. – Termo menor (t): é o termo que ocorre como sujeito da conclusão.

Forma Típica de um Silogismo Categórico

Um silogismo categórico é dito de forma pica quando sasfaz às três seguintescondições:

1o As três proposições categóricas que o integram estão em suas formas picas;2o A primeira premissa ( premissa maior ) tem o predicado da conclusão (termo

maior ) como um de seus termos;3o A segunda premissa ( premissa menor ) tem o sujeito da conclusão (termo

menor ) como um de seus termos.

Exemplo:

Observe o silogismo categórico seguinte:

P1: Todo arsta é brincalhão.P2: Todo brincalhão é cortês.C: Todo arsta é cortês.

Este silogismo não está na forma pica, pois o seu termo maior (cortês) estápresente na segunda premissa e não na primeira.

Para colocá-lo na forma pica, no entanto, basta permutarmos a premissas entresi. Assim teremos:

P1: Todo brincalhão é cortês.P2: Todo arsta é brincalhão.C: Todo arsta é cortês.

FiguraNum silogismo categórico, na forma pica a posição do termo médio em cada

uma das duas premissas varia de um silogismo para outro havendo quatro situaçõespossíveis.

Cada uma dessas quatro situações corresponde a uma fi gura, conforme segue:Primeira Figura – O termo médio ocorre “nos extremos”, ou seja, o termo médioocorre como sujeito da primeira premissa e como predicado da segunda premissa.

Segunda Figura – O termo médio ocorre como predicado nas duas premissas.Terceira Figura – O termo médio ocorre como sujeito nas duas premissas.Quarta Figura – O termo médio ocorre “nos meios”, ou seja, o termo médio ocorre

como predicado da primeira premissa e como sujeito da segunda premissa. É, portantoo inverso da primeira figura.

ModoO modo de um silogismo de forma pica é determinado pelos pos de proposições

categóricas usados em sua construção.



31

Cada modo é representado por três vogais, cada uma delas indicando uma pro-posição categórica de modo que:

– A primeira vogal indica o po da proposição categórica da premissa maior ; – A segunda vogal indica o po da proposição categórica da premissa menor ;

– A terceira vogal indica o po da proposição categórica da conclusão.

As vogais representavas das proposições categóricas são:A: Universal Afirmava – Todo X é Y.E: Universal Negava – Nenhum X é Y.I : Parcular Afirmava – Algum X é Y.O: Parcular Negava – Algum X não é Y.

Exemplo:O silogismo

“Todos os cantores são pessoas vaidosas;Algumas pessoas vaidosas são chatas.Logo, alguns cantores são pessoas chatas.”

É um silogismo do modo AII pois a primeira premissa é do po A (universal afir-mava) enquanto a segunda premissa é do po I (parcular afirmava) e a conclusãoé do po I (parcular afirmava).

Além disso, podemos dizer também que este silogismo é da quarta figura, pois otermo médio ocorre nos “meios” das duas premissas.

Se enumerarmos todos os modos possíveis para um silogismo, verifi

caremos queeles são, ao todo, 64.

1234567:::

64

AAAAAEAAIAAOAEAAEEAEI

:::

OOO

FormaComo podemos observar dos conceitos que estudamos de fi gura e de modo, um

silogismo não é completamente caracterizado somente por sua figura nem somentepor seu modo.

Ou seja, podemos ter dois silogismos categóricos de modos diferentes mas demesma figura, assim como podemos ter dois silogismos categóricos de figuras dife-rentes mas de mesmo modo.



32

Para caracterizarmos completamente um silogismo categórico, devemos idenficar,conjuntamente, tanto seu modo quanto sua figura.

Ao definirmos tanto o modo quanto a figura de um silogismo, estamos idenfi-cando a sua forma.

( modo ) + ( fi gura ) = ( forma )

Exemplo:Considere o seguinte silogismo categórico:

“Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo à sociedade;Todo motorista desatento é um elemento perigoso;Logo, todo motorista desatento é potencialmente nocivo à sociedade”

é um silogismo da forma AAA-1 (modo AAA – primeira figura)

Número de Formas Possíveis de SilogismosCada um dos 64 modos possíveis de um silogismo pode ocorrer em qualquer uma

das 4 figuras.Portanto temos

644 = 256

Este é o total de formas diferentes possíveis para os silogismos.

De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, somente uma pequena parteconstui argumentos válidos, conceito este que passaremos a estudar a seguir.

Argumento Válido

Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legí mo ou bem construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Posto de outra forma:

Um argumento é válido quando, ao assumirmos as pre-missas do argumento como verdadeiras, a verdade daconclusão fica logicamente estabelecida.

Isto significa que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusãofalsa quando as premissas forem verdadeiras.

É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão somente davalidade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmenteverdadeiras ou não.

Deste modo, ao se discur a validade de um argumento é irrelevante saber se as

premissas são realmente verdadeiras ou não.Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras e verificar se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira.



33

Exemplo:Considere o silogismo:

“Todos os pardais adoram jogar xadrez.Nenhum enxadrista gosta de óperas.

Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”

Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo),sendo, portanto, um argumento válido muito embora a verdade das premissas sejaquesonável.

Op = Conjunto dos que gostam de ÓperasX = Conjunto dos que adoram jogar xadrezP = Conjunto dos pardaisPelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento o conjunto P (pardais) podepertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas).

Argumento Inválido

Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegí mo , mal cons-truído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é su fi ciente para garanr averdade da conclusão.

Exemplo:O silogismo:

“Todos os alunos do curso, passaram.

Maria não é aluna do curso.Portanto, Maria não passou.”

é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não ga-rantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo).



34

P = Conjunto das pessoas que passaram.C = Conjunto dos alunos do curso.m = Maria.Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso.(a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado).

Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um ar-gumento:

Se um argumentoé...

e as premissas... então a conclusãoserá:

Válido(bem construído)

são todas verda-deiras

necessariamenteVerdadeira.

não são todas ver-dadeiras

ou Verdadeira ouFalsa.

Se um argumentoé...

e as premissas... então a conclusãoserá:

Inválido(mal construído)

I n d e p e n d e n t e -mente de seremou não todas ver-dadeiras

ou Verdadeira ouFalsa.

Noções sobre Cálculo de Predicados de 1a Ordem

Não existe um meio efevo de testar a validade de todos os argumentos possíveis.Daí surge o interesse no desenvolvimento de um método que permita a dedução daconclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo axiomá co de predicados.

Este assunto é vasto e uma abordagem completa exigiria, primeiramente, que sefundamentasse axiomacamente o cálculo proposicional.

Faremos a seguir um breve resumo do assunto.

Sentenças Abertas

Considere uma expressão p(x) capaz de ser lida como uma proposição para cadavalor atribuído a x num dado conjunto U não vazio, ou seja, p(x) ou é verdadeira ou é

falsa para todo x pertencente a U.Nessas condições dizemos que p(x) é uma sentença aberta em U.Se p(x) é uma sentença aberta no conjunto U então esse conjunto é chamado

conjunto-universo de discussão da sentença enquanto x é chamado variável de dis-cussão da sentença.

Exemplos:

Sentença aberta p(x) Universo Valor de p(2)

x > 3 Z Falso

2x+1 = 5 Z Verdadeiro3x=10 Z Falso



35

Quando p(u) for verdadeira para algum u U dizemos que esse u con fi rma p(x)ou ainda que u é uma solução de p(x).

É preciso ficar bem claro que as sentenças abertas não são verdadeiras nem sãofalsas. Ao substuirmos as variáveis das sentenças abertas por valores especí ficos as

sentenças tornam-se proposições. Estas sim é que são ou verdadeiras ou falsas. Por essemovo é que as sentenças abertas também são chamadas de funções proposicionais.

Conjunto-Verdade

Chama-se conjunto-verdade de p(x) em U, ou conjunto-solução de p(x) em U,ao conjunto que reúne todos os elementos de U que sejam solução de p(x), ou seja,para os quais p(x) é verdadeira.

O conjunto-verdade é representado costumeiramente por V ou por S.

V = {u U| p(u) é verdadeira}.

Exemplos:

Sentença aberta Universo Conjunto-Verdade

x > 3 Z V={4, 5, 6, 7, 8, ...}

2x+1 = 5 Z V={2}

3x=10 Q V={10/3}

3x=10 Z V =

Sentenças com duas ou mais Variáveis

Uma sentença aberta pode ter duas ou mais variáveis.

p(x, y) sentença aberta nas variáveis, x e y.

p(x, y, z) sentença aberta nas variáveis, x, y e z.

p(x, y, z, w) sentença aberta nas variáveis, x, y, z e w.

No conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas ou mais variáveis os

elementos serão representados por pares ordenados ou por seus análogos para maisvariáveis.

Exemplos:

– O conjunto-verdade da sentença aberta xy = 5 em Z será:

V={(1;5), (5;1), (−1; −5), (−5; −1)}

– O conjunto-verdade da sentença aberta 0 < (x+y+z) < 4 em N será:

V={(1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)}



36

Operações lógicas sobre sentenças abertas

As operações lógicas proposicionais podem ser associadas às sentenças abertascriando outras sentenças abertas.

Assim, se p(x) e q(x) forem duas sentenças abertas quaisquer, serão tambémsentenças abertas:

~p(x)~q(x)

p(x) q(x)p(x) q(x)p(x) → q(x)p(x) ↔ q(x)

etc.Propriedades

Se p(x) e q(x) são sentenças abertas discudas no universo U e Vp representa o

conjunto-verdade de p(x), então valem as seguintes propriedades:

P1. O conjunto-verdade da negação ~p(x) é o complemento do conjunto verdadede p(x).

V~p = U−

Vp

P2. O conjunto-verdade da disjunção p(x) q(x) é a união dos seus conjuntos--verdade.

Vpq

= Vp V

q

P3. O conjunto-verdade da conjunção p(x) q(x) é a interseção dos seus conjuntos--verdade.

Vpq = Vp ∩ Vq

P4. O conjunto-verdade da condicional p(x)→ q(x) é a união dos conjuntos-verdadede ~p(x) e de q(x).

Vp→q

= V~p

Vq

P5. O conjunto-verdade da bicondicional p(x)↔ q(x) é a interseção dos conjuntos--verdade de ~p(x) e de ~q(x).

Vp↔q

= V~p

∩ V~q



37

Quanficação

Existem duas maneiras de se transformar uma sentença aberta em uma proposição.Uma delas é atribuindo valores a suas variáveis. A outra é fazer uso da quan fi cação.

As quanficações estabelecem relações de inclusão ou exclusão entre sujeito epredicado em certas sentenças que funcionarão como proposições.

O quadro seguinte resume as quatro proposições quanficacionais fundamentais:

Afirmava Negava

Universal Todo A é B. Nenhum A é B.

Parcular Algum A é B. Algum A não é B.

Símbolos Quanficacionais

Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador.” estamos fazendo referência a doisconjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são bata-lhadores. Assim, o sendo da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjuntodos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.

Na teoria dos conjuntos os elementos de um conjunto é que são quanficados paraque se possa estabelecer sua relação de pernência com outro conjunto.

Os quanficadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é usu-almente feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposiçõescategóricas.

Quanficador Símbolo Significado

Universal Todo,Para todo

ouQualquer que seja

Parcular Existe algumParcular negavo Não existe

Parcular exclusivo I Existe um único

Exemplos

Universal afirmava:

Todo A é B.

x, xA → xB(para todo x, se xA então xB)



38

Universal negava:

Nenhum A é B.x, xA → xB

(para todo x, se xA então xB)

Parcular afirmava:

Algum A é B. x , x A x B

(existe algum x tal que x A e x B)

Parcular negava:

Nenhum A é B.

x , x A x B(não existe x tal que x A e x B)

Parcular exclusiva:

Só existe um número real que sasfaz a igualdade x +2 = 6I x , x R, x +2 = 6

(existe um único x tal que x R e x +2 = 6)

Variáveis Livres

Dizemos que uma variável é livre em uma dada sentença se ela não está ligada aalgum quanficador.

Exemplos

x ≤ 3 ( x é variável livre)

x ( x ≠ w ) ( x não é variável livre mas w é)

x (y ( x ≥ y ) ) (nem x nem y é livre)

Regras de Inferência

Nas regras apresentadas abaixo: – uma vírgula separa duas premissas; – o sinal lê-se portanto e separa as premissas da conclusão; – as premissas estão sempre à esquerda do sinal; – a conclusão está sempre à direita do sinal; – Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.

1. modus ponensA , AB B



39

2. modus tollensAB , ~B ~A

3. dupla negação~(~B) B

4. introdução da conjunçãoA, B A B

5. eliminação da conjunçãoA B AA B B

6. adição

A, B

A

B

7. silogismo hipoté coAB , BC AC

8. silogismo disjun voA B , ~A B

A B , ~B A

9. dilema constru vo

(AB) (CD), A C B D

10. dilema destru vo

(AB) (CD), ~B ~D A C

Teoremas

T1- (A B) , BC (A C)

T2- AB B ARec- B A AB

T3- AB , (AB) B

T4- (A B) C A (BC)

Rec- A (BC) (A B) C

T5- (A B) (C C) AB ( princ. da não contradição)

T6- A (B C) , B AC



41

P 1

P 2

P 3

(P 1 e P

2 ) não-P

3(P

1 e P

2 ) ou não-P

3

1 V V V V F V

2 V V F V V V

3 V F V F F F

4 V F F F V V

5 F V V F F F

6 F V F F V V

7 F F V F F F

8 F F F F V V

Exercícios Resolvidos

1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.

Solução:Alternava: eDizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale a dizer que

dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bonsestudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazescontém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com umdiagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn).

2. Represente com diagramas de conjuntos:I) Algum A é B.II) Algum A não é B.III) Todo A é B.

IV) Se A, então B.V) Nenhum A é B.

Solução:I)



42

II)

III e IV)

V)

3. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo.a) O tempo será frio e chuvoso.b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.c) Maria não é morena ou Regina é baixa.d) Se o tempo está chuvoso então está frio.e) Todos os corvos são negros.

f) Nenhum triângulo é retângulo.

g) Alguns sapos são bonitos.h) Algumas vidas não são importantes.

Solução:a) O tempo não será frio ou não será chuvoso.b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.c) Maria é morena e Regina não é baixa.d) O tempo está chuvoso e não está frio.e) Algum corvo não é negro.f) Algum triângulo é retângulo.g) Nenhum sapo é bonito.h) Todas as vidas são importantes.



44

Solução:Alternava: bSejam A = o conjunto dos atletas, B o conjunto das pessoas bondosas e C o conjuntodos celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A esta totalmente dentro deB pois ‘todo atleta é bondoso’ . O conjunto C está completamente fora de B pois‘nenhum celta é bondoso’. Sendo assim os conjunto A e C não podem ter qualquerelemento em comum, pois o primeiro está dentro de B e o segundo, fora. Ou seja:nenhum atleta é celta.

7. Se chove então faz frio. Assim sendo:a) Chover é condição necessária para fazer frio.b) Fazer frio é condição su fi ciente para chover.c) Chover é condição necessária e su fi ciente para fazer frio.d) Chover é condição su fi ciente para fazer frio.e) Fazer frio é condição necessária e su fi ciente para chover.

Solução:Alternava: dEsta questão faz referência aos conceitos de necessidade e de suficiência e àsrelações destes conceitos com as proposições condicionais. Como já vimos, numaproposição condicional ‘Se A então B’ a ocorrência de A implica (garante) a ocor-rência de B. Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrênciade B, ou simplesmente que A é suficiente para B. Por outro lado, sabemos quea não ocorrência de B implica a não ocorrência de A, ou seja: sem a ocorrênciade B certamente A também não ocorreria. Por este movo dizemos que B é umacondição necessária para a ocorrência de A, ou simplesmente que B é necessáriapara A. No contexto da questão: Chuva é condição suficiente para frio. Frio écondição necessária para chuva.

8. Numa compe ção de enigmas, três espertas par cipantes de uma das equipes propõem um desa fi o dizendo o seguinte:Míriam: A Ana Flávia mente.

Ana Flávia: A Anna Laryssa é que mente. Anna Laryssa: A Míriam e a Ana Flávia é que mentem.O desa fi o consiste em descobrir, de acordo com as a fi rmações feitas, quem estámen ndo e quem está dizendo a verdade. Nestas condições, marque a alterna vacorreta:a) A única men rosa é Míriam.b) A única men rosa é Ana Flávia.c) Míriam e Anna Laryssa mentem.d) Ana Flávia e Míriam mentem.e) Anna Laryssa e Ana Flávia mentem.

Solução:Alternava: cMíriam diz: “ A Ana Flávia mente”. Suponha que o que Míriam diz seja verdade.Então Ana Flávia é mesmo menrosa. Sendo a Ana Flávia menrosa, o que ela diz



45

é menra e, portanto, a Anna Laryssa diz a verdade. Por sua vez, se Anna Laryssadiz a verdade, então Míriam deve ser menrosa. Ora, isto contradiz a suposiçãoinicial de que Míriam diz a verdade. Logo, não é possível que Míriam tenha ditoa verdade. Então Míriam mente e, se Míriam mente, Ana Flávia diz a verdade e,portanto, Anna Laryssa mente.

9. Um an quário acordou assustado quando o alarme instalado em sua casa acusou,às 2 horas da madrugada, que sua loja estava sendo invadida. Chamou a polícia

por telefone e saiu correndo para a loja que fi cava apenas a uma quadra de suaresidência. Tudo o que o pobre an quário conseguiu ver foi um carro saindo emdisparada, mas não conseguiu ver quem estava no carro e nem mesmo soubedizer quantos eram os seus ocupantes. Após inves gar o caso, o dete ve BerloqueGomes conseguiu apurar os seguintes fatos:– O carro visto pelo an quário foi realmente o carro usado para a fuga;

– Ninguém mais, exceto três conhecidos delinquentes, Ário, Bário e Cário, pode-riam estar envolvidos no assalto;– Cário nunca pra ca um assalto sem usar, pelo menos, Ário como cúmplice;– Bário não sabe dirigir.

Admi ndo que os fatos apurados por Berloque Gomes sejam verdadeiros, pode-seconcluir logicamente que:a) Bário é necessariamente inocente.b) Cário é necessariamente inocente.c) Ário é necessariamente inocente.

d) Cário é necessariamente culpado.e) Ário é necessariamente culpado.

Solução:Alternava: eExistem somente três hipóteses razoáveis:1. Ário cometeu o crime sozinho.2. Cário é culpado – Neste caso Ário também é culpado.3. Bário é culpado – Neste caso, alguém o ajudou a dirigir o carro da fuga (pois ele

não sabe dirigir). Se o motorista foi Cário, então Ário também é culpado (poisCário nunca praca um roubo sem Ário). Se o motorista foi Ário, não se podeprovar nada sobre Cário, mas Ário já está novamente implicado.

Como se pode notar, em qualquer das três hipóteses Ário está necessariamenteenvolvido.

10. Considere as a fi rma vas seguintes:I – A bolinha amarela está depois da branca.II – A bolinha azul está antes da verde.III – a bolinha que está imediatamente após a azul é maior que a que está antes

desta.IV – A bolinha verde é a menor de todas.



46

Com base nas quatro a fi rma vas anteriores, a ordem correta das quatro bolinhas é:a) Branca, amarela, azul, verde.b) Branca, azul, amarela, verde.c) Branca, azul, verde, amarela.

d) Azul, branca, amarela, verde.e) Azul, branca, verde, amarela.

Solução:Alternava: bAs afirmavas I e II estão sasfeitas em todas as alternavas de resposta dadas.Assim, concentremos nossa atenção nas afirmavas III e IV:

– A afirmava III indica a existência de ao menos uma bolinha ANTES e ao menosuma bolinha DEPOIS da bolinha azul. Portanto, a bolinha azul não pode ser aprimeira nem pode ser a úlma. Isto elimina as alternavas de resposta D e E.

– Ainda na afirmava III temos que a bolinha que está imediatamente após aazul é MAIOR do que a bolinha que está antes desta. Além disto, sabemos pelaafirmava IV que a bolinha verde é a MENOR DE TODAS. Portanto a bolinha queestá imediatamente após a azul não pode ser a verde. Isto elimina as alternavasde resposta A e C.

Por exclusão, resta-nos apenas a alternava de resposta B.

11. Alba, Bianca e Clara foram a uma festa com ves dos de cores diferentes, sendoum azul, um branco e um carmim, mas não necessariamente nesta ordem. Atraído

pela beleza das três jovens, um rapaz aproximou-se delas e lhes perguntou quemera cada uma delas. A de azul respondeu: “Alba está de branco.”. A que estavade branco retrucou: “Eu sou Bianca!”. Então aquela que estava ves ndo carmimdisse: “Clara é que está de branco.”. Perplexo, o rapaz pensou “Nossa, mas queconfusão!”.

Sabendo que Alba disse a verdade e que Clara men u, deduza as cores dos ves dosde Alba, de Bianca e de Clara, nesta ordem:a) Carmim, branco e azul.b) Carmim, azul e branco.

c) Azul, carmim, e branco.d) Azul, branco e carmim.e) Branco, azul e carmim.

Solução:Alternava: b

– Se aquela que usava o vesdo azul fosse Alba, ela teria mendo ao dizer “Albaestá de branco” mas sabemos que Alba diz a verdade. Logo Alba não pode estarde azul.

– Alba também não pode estar de branco pois aquela que estava de branco disse

“Eu sou Bianca” e sabe-se que Alba não poderia menr dizendo ser Bianca. – Ora, se Alba não está de azul e também não está de branco, então Alba só podeestar usando o vesdo carmim.



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Então concluímos que a afirmação de Alba (que estava de carmim) foi “Clara está debranco” e como sabemos que Alba diz a verdade o vesdo de Clara é mesmo o branco.Por exclusão, resta o vesdo azul para Bianca e, de quebra, ainda poderíamos concluirque Bianca também menu!Resumindo o que descobrimos, as cores dos vesdos de Alba, Bianca e Clara, nesta

ordem são Carmim, Azul, e Branco.

12. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema,então Carla fi ca em casa. Se Carla fi ca em casa, então Raul briga com Carla. Ora,Raul não briga com Carla. Logo,a) Carla não fi ca em casa e Beto não briga com Glória.b) Carla fi ca em casa e Glória vai ao cinema.c) Carla não fi ca em casa e Glória vai ao cinema.d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Solução:Alternava: aSe Beto brigasse com Glória, Glória iria ao cinema, Carla ficaria em casa e Raulbrigaria com Carla.Raul não brigou com Carla. Logo, Beto não briga com Glória, Glória não vai aocinema e Carla não fica emCasa. A única alternava concordante com estas conclusões é a letra A: “Carla não fi ca em casa e Beto não briga com Glória”.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Noções de Lógica

1. Sejam A e B duas proposições disntas quaisquer, então pode-se garanr que:a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira.b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verdadeira.c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A e B” será verdadeira.d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será falsa.e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A e B” será verda-

deira.

2. Sejam A e B duas proposições disntas quaisquer, então pode-se garanr que:a) Sendo A verdadeira e B falsa a proposição composta “A ou B” será falsa.b) Sendo A falsa e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.c) Sendo A falsa e B falsa a proposição composta “A ou B” será verdadeira.d) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será ver-

dadeira.e) Sendo A verdadeira e B verdadeira a proposição composta “A ou B” será falsa.

3. Considere a proposição composta X = “Se A então B”, onde A (condição) e B (con-clusão) são duas outras proposições quaisquer, A B. Nestas condições, assinale

a única correta:a) X será verdadeira somente se a condição for falsa, independentemente de aconclusão ser verdadeira ou falsa.



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b) X será falsa sempre que a conclusão for verdadeira, independentemente de acondição ser verdadeira ou falsa.

c) X será verdadeira somente se A e B verem valores lógicos iguais , ou seja, A eB ambas verdadeiras ou então ambas falsas.

d) X será falsa somente quando a condição e a conclusão verem valores lógicos

opostos, ou seja, A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira.e) X será falsa somente quando a conclusão for falsa.

4. Uma proposição X é dita logicamente equivalente a uma outra, Y, quando ocorrerque elas tenham sempre o mesmo valor lógico, ou seja, sempre que uma das duasé verdadeira a outra também é verdadeira e sempre que uma das duas é falsa aoutra também é falsa. Com base nesta definição assinale a única proposição abaixoque não é equivalente da proposição “Se A então B”:a) Todo A é B.b) A é condição suficiente para B.c) Se B então A.d) Se não-B então não-A.e) B é condição necessária para A.

5. Entre as proposições abaixo assinale a única que não corresponde corretamenteà negação da proposição “A e B”:a) Não é verdade que A ou B.b) Não ocorre A ou não ocorre B.c) Não ocorre A ou não ocorre B ou não ocorrem ambos.d) É falso que tem-se A e B.e) Não se tem A e B.

6. Sabe-se que a proposição “A ou B” é verdadeira. Assim sendo:a) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir

que proposição B é falsa.b) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que

proposição B é falsa.c) Se soubermos também que a proposição A é falsa poderemos concluir que

proposição B é verdadeira.d) Se soubermos também que a proposição A é verdadeira poderemos concluir

que proposição B é verdadeira.e) Se soubermos também que a proposição A tem um valor lógico (verdadeira ou

falsa) poderemos concluir que proposição B tem o valor lógico oposto (falsa ouverdadeira).

7. Se é verdade que “Nenhum A é B”, então é necessariamente verdadeiro que:a) Algum A não é B.b) Algum A é B.c) Todo A é B.d) Algum B é A.e) Todo B é A.

8. Todo arsta é um boêmio. Sendo assim:a) Todo boêmio é um arsta.b) Todo aquele que não é arsta não é boêmio.



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c) Todo aquele não é boêmio não é arsta.d) Algum arsta não é boêmio.e) Alguém que não é boêmio é arsta.

9. Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente entãoCláudia é conservadora. Sabe-se que Bruna não é benevolente. Nestas condiçõespode-se concluir que:a) Ana é altruísta.b) Ana não é altruísta mas Cláudia é conservadora.c) Ana não é altruísta e Cláudia não é conservadora.d) Cláudia não é conservadora.e) Ana não é altruísta.

10. (Esaf) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Anavai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a

Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo:a) Celso compra um carro e Ana não vai à Áfricab) Celso não compra um carro e Luís não compra o livroc) Ana não vai à África e Luís compra um livrod) Ana vai à África ou Luís compra um livroe) Ana vai à África e Rui não vai a Roma

11. (Esaf) Considere as afirmações: A – Se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B – Se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;

C – Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.

A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir queelas:a) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amigab) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amigac) Implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma

boa amigad) São consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não

seja uma boa amiga

e) São inconsistentes entre si

12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:a) Algum atleta é celta.b) Nenhum atleta é celta.c) Nenhum atleta é bondoso.d) Alguém que seja bondoso é celta.e) Ninguém que seja bondoso é atleta.

13. (Esaf) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo.

Sabe-se que o crime foi efevamente comedo por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A – se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;



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B – ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;C – o mordomo não é inocente.

Logo:a) a governanta e o mordomo são os culpados.

b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados.c) Somente a governanta é culpada.d) Somente o cozinheiro é inocente.e) Somente o mordomo é culpado.

14. (Esaf) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vesdos de coresdiferentes. Uma vesu azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa oanfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “ Ana é a queestá de branco.” A de branco falou: “Eu sou Maria.” E a de preto disse: “Cláudiaé quem está de branco.” Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade,

que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capazde idenficar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vesdos de Ana,Maria e Cláudia eram, respecvamente:a) preto, branco, azul.b) preto, azul, branco.c) azul, preto, branco.d) azul, branco, preto.e) branco, azul, preto.

15. (Esaf) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obveram os quatro primeiroslugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes.

Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendouma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quartocolocados foram, respecvamente,a) André, Caio, Beto, Dênis.b) Beto, André, Caio, Dênis.c) Beto, André, Dênis, Caio.d) André, Caio, Dênis, Beto.

e) Caio, Beto, Dênis, André.

16. (AFC/SFC/2000) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamentenesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso emBelo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizouseu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seucurso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respecvos locaisde estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulob) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo

c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulod) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolise) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis



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17. (AFC/SFC/2000) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. SeCarla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afun-dou. Ora, o navio não afundou. Logo,a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamentob) Camile e Carla não foram ao casamento

c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajoud) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajoue) Vera e Vanderléia não viajaram

18. (Analista/2002) Se M=2x+3y, então M=4p+3r. Se M=4p+3r, então M=2w3r. Poroutro lado, M=2x+3y ou M=0. Se M=0 então M+H = 1. Ora, M+H 1. Logo,a) 2w3r = 0b) 4p+3r 2w3rc) M 2x+3yd) 2x+3y 2w3r

e) M = 2w3r

19. (TFC/SFC/2000) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anaméliaserá pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora,então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:a) Anaís será professora e Anelise não será cantorab) Anaís não será professora e Ana não será atletac) Anelise não será cantora e Ana será atletad) Anelise será cantora ou Ana será atletae) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista

20. (TFC/SFC/2000) Se é verdade que “Nenhum arsta é atleta”, então também seráverdade que:a) todos não arstas são não atletasb) nenhum atleta é não arstac) nenhum arsta é não atletad) pelo menos um não atleta é arstae) nenhum não atleta é arsta

21. (Gestor/2000) Dizer que “André é arsta ou Bernardo não é engenheiro” é logi-

camente equivalente a dizer que:a) André é arsta se e somente se Bernardo não é engenheiro.b) Se André é arsta, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é arsta, então Bernardo é engenheirod) Se Bernardo é engenheiro, então André é arsta.e) André não é arsta e Bernardo é engenheiro

22. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.

c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.



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23. (Esaf) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é neces-sariamente verdadeiro quea) Algum A não é Gb) Algum A é Gc) Nenhum A é G

d) Algum G é Ae) Nenhum G é A

24. Todo baiano gosta de ‘axé music’. Sendo assim:a) Todo aquele que gosta de ‘axé music’ é baiano.b) Todo aquele que não é baiano não gosta de ‘axé music’.c) Todo aquele não gosta de ‘axé music’ não é baiano.d) Algum baiano não gosta de ‘axé music’.e) Alguém que não goste de ‘axé music’ é baiano.

25. Se chove então faz frio. Assim sendo:a) Chover é condição necessária para fazer frio.b) Fazer frio é condição suficiente para chover.c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.d) Chover é condição suficiente para fazer frio.e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.

26. (Esaf) Seis pessoas – A, B, C, D, E, F – devem sentar-se em torno de uma mesaredonda para discur um contrato. Há exatamente seis cadeiras em torno damesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da mesa e numa posiçãodiametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição

das pessoas à mesa deve sasfazer às seguintes restrições:F não pode sentar-se ao lado de CE não pode sentar-se ao lado de AD deve sentar-se ao lado de A

Então uma distribuição aceitável das pessoas em torno da mesa é:a) F, B, C, E, A, Db) A, E, D, F, C ,Bc) A, B, F, C, D, Ed) F, D, A, C, E, Be) F, E, D, A, B, C

27. (Esaf) Dizer que é verdade que “para todo x, se x é uma rã e se x é verde, então xestá saltando” é logicamente equivalente a dizer que não é verdade quea) “algumas rãs que não são verdes estão saltando”b) “algumas rãs verdes estão saltando”c) “nenhuma rã verde não está saltando”d) “existe uma rã verde que não está saltando”e) “algo que não seja uma rã verde está saltando”

28. (Gestor/2000) A parr das seguintes premissas:

Premissa 1: “X é A e B, ou X é C”Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C”Premissa 3: “Y não é C”



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Conclui-se corretamente que X é:a) A e B.b) não A ou não C.c) A ou B.d) A e não B.

e) não A e não B.

29. A proposição “Todo A é B” não é equivalente a:a) Se A, então B.b) Se não B, então não A.c) Se não A, então não B.d) B é necessário para A.e) A é suficiente para B.

30. Se é verdade que todo atávico é belicoso, então: também é verdade que:a) Todo belicoso é atávico.b) Algum atávico não é belicoso.c) Nenhum atávico é belicoso.d) Se não é atávico então não é belicoso.e) Se não é belicoso então não é atávico.

31. Se Ana é atenciosa, então Bruna é bagunceira.Se Bruna é bagunceira, então Carla é carinhosa.Sabe-se que Bruna não é bagunceira. Logo:a) Ana é atenciosa e Carla é carinhosa.b) Ana não é atenciosa e Carla não é carinhosa.

c) Ana não é atenciosa e Carla é carinhosa.d) Carla é carinhosa, mas nada se pode afirmar sobre Ana.e) Ana não é atenciosa, mas nada se pode afirmar sobre Carla.

32. Se Bruna brinca, Rita ri.Se Rita ri, Carla canta.Se Carla canta, Diana dança.Se Diana dança, Lulu late.

Com base nestas proposições, pode-se concluir que:a) Se Bruna não brinca, então Rita não ri, Carla não canta, Diana não dança e Lulu

não late.b) Se Rita não ri, então Carla não canta, Diana não dança, Lulu não late e Bruna

não brinca.c) Se Carla não canta, então Diana não dança, Lulu não late, Bruna não brinca e

Rita não ri.d) Se Diana não dança, então Lulu não late, Bruna não brinca, Rita não ri e Carla

não canta.e) Se Lulu não late, então Bruna não brinca, Rita não ri, Carla não canta e Diana

não dança.

33. Assinale a alternava que apresenta uma contradição lógica:a) Todo dramaturgo não é perspicaz e algum perspicaz é dramaturgo.b) Todo dramaturgo é perspicaz e algum perspicaz não é dramaturgo.



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c) Nenhum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz.d) Algum dramaturgo é perspicaz e algum dramaturgo não é perspicaz.e) Algum dramaturgo não é perspicaz e todo perspicaz é dramaturgo.

34. Todo criança gosta de brincar.

Logo:a) Se Miriam não gosta de brincar, então Miriam não é uma criança.b) Se Miriam é uma criança, então Miriam não gosta de brincar.c) Se Miriam gosta de brincar então Miriam é uma criança.d) Se Miriam não é uma criança então Miriam não gosta de Brincar.e) Se Miriam não é uma criança então Miriam gosta de Brincar.

35. Altair é alto ou Bruna é bela.Altair não é alto.Logo:

a) Bruna não é bela.b) Altair é alto.c) Bruna é bela.d) Altair é alto e Bruna é bela.e) Altair não é alto e Bruna não é bela.

36. Todo atleta é batalhador.Sophia é atleta.Logo:a) Sophia é atleta e batalhadora.b) Sophia é atleta, mas não é necessariamente batalhadora.

c) Sophia é batalhadora, mas não necessariamente é atleta.d) Sophia não é atleta e nem batalhadora.e) Ou Sophia é atleta ou Sophia é batalhadora.

37. Todo ator é bonachão.Luís não é bonachão.Logo:a) Luís é ator.b) Luís pode ser ator, bem como pode não sê-lo.c) Luís é bonachão e não é ator.d) Luís não é ator.e) Ou Luís não é ator ou Luís não é Bonachão.

38. Todo homem que gosta de andar tem muitas bermudas.Todo homem que come couve gosta de andar.Logo:a) Todo homem que tem muitas bermudas come couve.b) Todo homem que come couve tem muitas bermudas.c) Todo homem que tem muitas bermudas gosta de andar.d) Alguém que come couve pode não gostar de andar.e) Alguém que gosta de andar pode não ter muitas bermudas.

39. Todo animal que tenha pelagem arlequim é belicoso.Nenhum dos meus cães é belicoso.



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Logo:a) Todo animal belicoso tem pelagem arlequim.b) Algum animal belicoso não tem pelagem arlequim.c) Nenhum animal belicoso tem pelagem arlequim.d) Algum dos meus cães pode ter pelagem arlequim e não ser belicoso.e) Nenhum dos meus cães tem pelagem arlequim.

40. Todo objeto que é acessório é sempre barato.Tudo o que é barato é descartável.Logo:a) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é necessariamente barato e

é descartável.b) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é barato, mas não é necessa-

riamente descartável.c) Se eu tenho um objeto que é acessório então ele é descartável, mas não é

necessariamente barato.d) Existe algum objeto barato que não é um acessório.e) Existe algum objeto descartável que não é barato.

41. Todo anel é brilhante.Tudo o que é brilhante é caro.Meu presente não é caro.Logo:a) Existe alguma coisa que é brilhante, mas que não é cara.b) Meu presente é um anel e não é brilhante.

c) Meu presente é brilhante, mas não é um anel.d) Meu presente não é um anel e não é brilhante.e) Existe alguma coisa cara que não é brilhante.

42. Com base em um conjunto de hipóteses uma pessoa deduziu logicamente queum determinado evento ocorreria. Porém, ao contrário do previsto, o tal eventonão ocorreu. Assim, esta pessoa deve logicamente concluir que:a) Todas as hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são falsas.b) Várias das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são

falsas.

c) Pelo menos uma das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreriaé falsa.d) Várias das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria são

verdadeiras.e) Pelo menos uma das hipóteses que ela usou para deduzir que o evento ocorreria

é verdadeira.

43. “Sei que todos os cisnes são brancos. Sei também que o animal que você me trouxeé um cisne. Logo, posso concluir que o animal que você me trouxe é branco.”

Considere que a conclusão dada no texto acima tenha se mostrado errada. Nestas

condições pode-se afi

rmar corretamente que:a) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, duashipóteses verdadeiras levaram a uma conclusão falsa.



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b) O argumento é falacioso, ou seja, embora bem construído duas premissasverdadeiras levaram a uma conclusão falsa.

c) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, pelomenos uma das duas hipóteses é falsa.

d) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas

premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira.Como a conclusão mostrou-se falsa as duas premissas ulizadas têm que sernecessariamente falsas.

e) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas pre-missas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Como aconclusão mostrou-se falsa pelo menos uma das duas premissas ulizadas temque ser necessariamente falsa.

44. Com base em um conjunto de hipóteses uma pessoa deduziu que um determinadoevento ocorreria. Conforme o previsto, o tal evento ocorreu mesmo. Assim sendo:a) Todas as hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria são

necessariamente verdadeiras.b) Várias das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento ocorreria

são verdadeiras, mas não necessariamente todas elas.c) Pelo menos uma das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento

ocorreria tem que ser verdadeira.d) Pelo menos uma das hipóteses que a pessoa usou para deduzir que o evento

ocorreria é falsa.e) Nada se pode garanr sobre a verdade das hipóteses que a pessoa usou para

deduzir que o evento ocorreria.

45. Considere o seguinte argumento: “Sei que uma moeda normal não pode dar ‘cara’em vinte lances consecuvos. Sei também que você jogou uma moeda vinte vezese que esta moeda é normal. Com base nisto posso concluir que você não obteveuma sequência de vinte ‘caras’ consecuvas.”

Admita que a conclusão dada neste argumento tenha se mostrado verdadeira.Nestas condições pode-se garanr que:a) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, por isso, um

conjunto com hipóteses não todas verdadeiras puderam levar a uma conclusãoverdadeira.

b) O argumento é falacioso, ou seja, embora bem construído o conjunto das hi-póteses, ainda que todas verdadeiras, não seria capaz de garanr que aquela

conclusão fosse sempre verdadeira.c) O argumento não é válido, ou seja, não está bem construído e, portanto, pelo

menos uma das duas hipóteses é falsa.d) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas pre-

missas levaria necessariamente a uma conclusão verdadeira. Mas a recíprocanão está garanda, ou seja, uma conclusão verdadeira não implica em que aspremissas sejam todas verdadeiras. Este, alias, é o caso aqui, pois sabemos que,embora muito improvável, é possível que uma moeda normal possa dar ‘cara’vinte vezes consecuvamente.

e) O argumento é legí mo, ou seja, está bem construído e a verdade de suas

premissas levaria necessariamente a uma conclusão também verdadeira. Comoa conclusão mostrou-se verdadeira as duas premissas ulizadas têm que sernecessariamente verdadeiras.



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51. Seja X a proposição composta “se A então B”, onde A e B são duas proposiçõesquaisquer. Assinale a única incorreta:a) Caso A seja uma proposição verdadeira e B uma proposição falsa, X será falsa.b) Caso A e B sejam proposições falsas, X será uma proposição verdadeira.c) Caso A seja uma proposição falsa e B uma proposição verdadeira, X será falsa.

d) Caso A e B sejam proposições verdadeiras, X será uma proposição verdadeira.e) A proposição X é equivalente à proposição “se não B então não A” .

52. A proposição composta “A se e somente se B” , onde A e B são duas proposiçõesquaisquer, é verdadeira:a) Somente quando A e B são ambas falsas.b) Somente quando A é verdadeira e B é falsa.c) Somente quando A é falsa e B é verdadeira.d) Somente quando A e B são ambas verdadeiras.e) Somente quando A e B têm o mesmo valor lógico, ou seja, A e B são ambas

verdadeiras ou A e B são ambas falsas.

53. Entre as proposições abaixo assinale a única falsa considerando que A e B repre-sentam duas proposições quaisquer:a) A negação de “A e B” pode ser corretamente enunciada como “Não A ou não

B” .b) A negação de “A ou B” pode ser corretamente enunciada como “Não A e não

B” .c) A negação de “Todo A é B” pode ser corretamente enunciada como “Algum A

não é B” .d) A negação de “Se A então B” pode ser corretamente enunciada como “A e não

B” .e) A negação de “Nenhum A é B” pode ser corretamente enunciada como “Todo

A é B”.

54. (Vunesp) Todo A é B e todo C não é B. Portanto:a) Algum A é C.b) Nenhum A é C.c) Nenhum A é B.d) Algum B é C.e) Nenhum B é A.

55. (Vunesp) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:a) Seu esforço é condição suficiente para vencer.b) Seu esforço é condição necessária para vencer.c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.d) Você só vencerá caso se esforce.e) Mesmo que se esforce, você não vencerá.

56. (Vunesp) Se os os de músicos sempre são músicos, então:a) Os sobrinhos de não músicos nunca são músicos.b) Os sobrinhos de não músicos sempre são músicos.

c) Os sobrinhos de músicos sempre são músicos.d) Os sobrinhos de músicos nunca são músicos.e) Os sobrinhos de músicos quase sempre são músicos.



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57. (AFC/CGU/2004) Ana é prima de Bia, ou Carlos éfilho de Pedro. Se Jorge é irmãode Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Brenoé neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

58. (AFC/CGU/2006) Se X está condo em Y, então X está condo em Z. Se X estácondo em P, então X está condo em T. Se X não está condo em Y, então X estácondo em P. Ora, X não está condo em T. Logo:a) Z está condo em T e Y está condo em X.b) X está condo em Y e X não está condo em Z.c) X está condo em Z e X não está condo em Y.

d) Y está condo em T e X está condo em Z.e) X não está condo em P e X está condo em Y.

59. (AFC/CGU/2004) Uma professora de matemáca faz as três seguintes afirmações:“X > Q e Z < Y”;“X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”;“R ≠ Q, se e somente se Y = X”.

Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-secorretamente que:

a) X > Y > Q > Zb) X > R > Y > Zc) Z < Y < X < Rd) X > Q > Z > Re) Q < X < Z < Y

60. (AFC/CGU/2006) Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ouRenata não é ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz nãoé bailarina então Márcia é magra. Assim,a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina.

c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina.d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina.e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina.

61. (AFC/CGU/2006) Ana é arsta ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música,então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compo-sitor. Ana não é arsta e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamenteque:a) Ana não é arsta e Carlos não é compositor.b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa.

c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma.d) Ana não é arsta e Mauro gosta de música.e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.



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62. (AFC/CGU/2004) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ouJúlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto nãoé bondoso, ou Homero é honesto. Logo,a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

63. (AFC/CGU/2006) Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um de-les é azul, a do outro é preta, a do outro é branca. Eles vestem bermudas destasmesmas três cores, mas somente Artur está com bermuda de mesma cor que suabicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está combermuda azul. Desse modo,a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta.

b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta.c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca.d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca.e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul.

64. (AFC/CGU/2006) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentesprofissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista.Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se, ainda, queou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatrizé a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é apsicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois,respecvamente,a) psicóloga, economista, arquiteta.b) arquiteta, economista, psicóloga.c) arquiteta, psicóloga, economista.d) psicóloga, arquiteta, economista.e) economista, arquiteta, psicóloga.

65. (AFC/CGU/2006) Pedro encontra-se à frente de três caixas, numeradas de 1 a 3.Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. Uma delas contémum livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe

uma inscrição, a saber:Caixa 1: “O livro está na caixa 3.”Caixa 2: “A caneta está na caixa 1.”Caixa 3: “O livro está aqui.”Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira oufalsa. Sabe, ainda, que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa, e que ainscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. Com tais informações,Pedro conclui corretamente que nas caixas 1, 2 e 3 estão, respecvamente,a) a caneta, o diamante, o livro.b) o livro, o diamante, a caneta.c) o diamante, a caneta, o livro.d) o diamante, o livro, a caneta.e) o livro, a caneta, o diamante.



61

66. (AFC/CGU/2006) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um paísdistante, habitado pelos verdamanos e pelos menmanos. O que os disngue éque os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os menmanos semprementem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitanteslocais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe queum e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta,então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintesrespostas:Alfa: “Beta é menmano”Beta: “Gama é menmano”Gama: “Delta é verdamano”Delta: “Épsilon é verdamano”Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta.Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é:a) Delta.b) Alfa.c) Gama.d) Beta.e) Épsilon.

67. (AFC/CGU/2004) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-seque um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, tam-bém, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que temo estranho costume de sempre menr, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda,

que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problemaé que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses trêshomens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que:a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.

b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

68. (AFC/CGU/2006) Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz, Cláu-dia, Denise e Elenise), um professor de Matemáca respondeu com as seguintesafirmações:1. “A nota de Alice é maior do que a de Beatriz e menor do que a de Cláudia”;2. “A nota de Alice é maior do que a de Denise e a nota de Denise é maior do que

a de Beatriz, se e somente se a nota de Beatriz é menor do que a de Cláudia”;3. “Elenise e Denise não têm a mesma nota, se e somente se a nota de Beatriz éigual à de Alice”.



62

Sabendo-se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-secorretamente que a nota de:a) Alice é maior do que a de Elenise, menor do que a de Cláudia e igual à de Beatriz.b) Elenise é maior do que a de Beatriz, menor do que a de Cláudia e igual à de

Denise.

c) Beatriz é maior do que a de Cláudia, menor do que a de Denise e menor doque a de Alice.

d) Beatriz é menor do que a de Denise, menor do que a de Elenise e igual à deCláudia.

e) Denise é maior do que a de Cláudia, maior do que a de Alice e igual à de Elenise.

69. (AFC/CGU/2006) Cinco irmãs nasceram, cada uma, em um Estado diferente doBrasil. Lúcia é morena como a cearense, é mais moça do que a gaúcha e mais ve-lha do que Maria. A cearense, a paulista e Helena gostam de teatro tanto quantoNorma. A paulista, a mineira e Lúcia são, todas, psicólogas. A mineira costuma ir

ao cinema com Helena e Paula. A paulista é mais moça do que a goiana, mas émais velha do que a mineira; esta, por sua vez, é mais velha do que Paula.Logo:a) Norma é gaúcha, a goiana é mais velha do que a mineira, e Helena é mais moça

do que a paulista.b) Paula é gaúcha, Lúcia é mais velha do que Helena, e a mineira é mais velha do

que Maria.c) Norma é mineira, a goiana é mais velha do que a gaúcha, e Maria é mais moça

do que a cearense.d) Lúcia é goiana, a gaúcha é mais moça do que a cearense, e Norma é mais velha

do que a mineira.e) Paula é cearense, Lúcia é mais velha do que a paulista, e Norma é mais moça

do que a gaúcha.

GABARITO

1. e2. d3. e4. c

5. a6. c7. a8. c9. e10. a11. d12. b13. b14. b

15. d16. c

17. e18. e19. a20. d

21. d22. e23. a24. c25. d26. d27. d28. a29. c30. e

31. e32. e

33. a34. a35. c36. a

37. d38. b39. e40. a41. d42. c43. e44. e45. d46. a

47. d48. d

49. e50. e51. c52. e

53. e54. b55. a56. a57. e58. e59. b60. a61. b62. c

63. c64. d

65. c66. d67. b68. b

69. e



63

SEQUÊNCIAS

Denominaremos genericamente como sequência a toda fila ordenada de termos(números, letras, figuras, palavras, etc) que obedeçam a um padrão de formação.

Exemplos:1. Na sequência (13, 18, 23, 28, 33, 38) cada termo, a parr do segundo, é igual

ao anterior adicionado de 5 unidades.

2. Na sequência (A, D, G, J) as letras foram tomadas de três em três, em ordemalfabéca, a parr do “A”, ou seja: A, b, c, D, e, f, G, h, i, J.

3. Na sequência (triângulo – 0, quadrado – 2, pentágono – 5, hexágono – 9)tem-se os nomes de figuras planas a parr de três lados, acompanhados do número

de diagonais em cada um deles, isto é: triângulo – nenhuma diagonal; quadrado – duasdiagonais; pentágono – cinco diagonais e hexágono – nove diagonais.

Determinação de um Termo por Indução

São comuns as questões de concurso onde se deve encontrar o valor de um termode uma dada sequência sem que seja declarado o padrão de formação de seus termos.Em tais questões é necessário descobrir o padrão de formação e isto exige um po deraciocínio, conhecido como raciocínio indu vo ou indução, no qual nossas conclusões

jusficam-se apenas por sua coerência em relação aos casos anteriores. Algo como:

‘se todos os casos anteriores obedeceram a este padrão, então o próximo deveráobedecê-lo também’ .

É importante salientar que não há nenhum po de garana lógica ou matemá cade que as conclusões obdas por indução estejam certas. Existem, aliás, na matemá-ca alguns exemplos célebres de conclusões incorretas obdas a parr de raciocíniosinduvos. Entretanto, o que se pretende verificar com as questões que envolvem apercepção de padrões é a capacidade do candidato de formular e testar hipóteses.

Exemplos:

1. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x :(2, 8, 32, 128, x )

Solução:

Cada termo, a parr do segundo, é igual ao quádruplo do anterior.Deste modo, seguindo o mesmo padrão o valor do termo x será

1284 = 512

2. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x :(2, 3, 5, 8, 12, x )



64

Solução:Cada termo, a parr do segundo, foi obdo do termo anterior somando-se 1, 2,

3, e 4, respecvamente.Assim, seguindo o mesmo padrão o valor do termo x será

12 5 = 17

3. Determinar na sequência abaixo o valor do termo indicado por x :(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, x )

Solução:Cada termo, a parr do terceiro, foi obdo somando-se os dois anteriores.Veja: 11=2, 12=3, 23=5, 35=8, 58=13.

Então, seguindo o mesmo padrão teremos:

x = 813 = 21

4. Determinar na sequência abaixo a letra que deve ocupar o lugar do x :(B, F, J, O, x )Obs.: As letras K, W e Y não devem ser consideradas.

Solução:As letras foram tomadas de quatro em quatro, a parr de “B”.Connuando a sequência temos:

B, c, d, e, F, g, h, i, J, l, m, n, O, p, q, r, S.

Deste modo, a letra que deve ocupar o lugar de x deve ser o “S”.

Determinação de um Termo dada uma Fórmula Geral

Nas sequências numéricas, é bastante comum encontrarmos uma fórmula

ou expressão matemá ca que permita determinarmos o valor de um dado termoconhecendo-se somente a posição ocupada por ele.

Exemplos:

1. Considere a sequência numérica (a1 , a

2 , a

3 , .....) onde cada termo a

n é dado pela

expressão:

an = 3n + 4

Onde n indica a posição ocupada pelo termo na sequência. Nestas condições, qualserá o valor do vigésimo termo da sequência?



65

Solução:Usando a fórmula geral dada, o valor do vigésimo termo será:

a20

= 320 4

a20

= 60 4 = 64


2 , a


n é dado pela

expressão:

an = 2n2 – 3

Onde n indica a posição ocupada pelo termo na sequência. Nestas condições, qualserá o valor encontrado na décima posição desta sequência?

Solução:Usando a fórmula geral dada, o valor do décimo termo será:

a10

= 2102 – 3

a10

= 2100 – 3

a10

= 200 – 3 = 197

Determinação de um Termo dada uma Fórmula de Recorrência

Frequentemente pode-se estabelecer uma fórmula de recorrência capaz deproduzir o valor de um certo termo conhecendo-se os valores de alguns dos termosanteriores da sequência.

Exemplo:


2 , a


n , a par r

do segundo, é dado pela expressão an = 2a

n – 1 3 , onde n e n–1 indicam as posições

ocupadas por termos consecu vos na sequência. Sabendo que a1

= 0, qual será o valorencontrado na sexta posição desta sequência?

Solução:Analisando a fórmula dada, vemos que o valor de cada termo é calculado dobrando

o valor do termo anterior e adicionado 3 unidades ao resultado. Deste modo os valoresdos seis primeiros termos da sequência são:

a1 = 0

a2 = 20 3 = 3

a3 = 23 3 = 9

a4 = 2

9

3 = 21a5 = 221 3 = 45

a6 = 245 3 = 93



66

No nosso exemplo, para obtermos o valor do sexto termo vemos que usar afórmula de recorrência cinco vezes. Daí já é possível notar que a determinação de algocomo o trigésimo ou o quinquagésimo termo de uma sequência, usando somente umafórmula de recorrência, não seria nada ‘confortável’ caso não dispuséssemos do valor

de um termo próximo ao termo desejado. Em tais casos, seria melhor encontrar umaoutra saída para o problema.


2 , a


n , a par r

do terceiro, é dado pela seguinte fórmula de recorrência an = a

n – 1 a

n – 2 . Sabendo que

os valores dos dois primeiros termos da sequência são de fi nidos como a1 = 3 e a

2 = 4 ,

determinar o valor do oitavo termo.

Solução:De acordo com a fórmula apresentada, o valor de cada termo é conseguido

adicionando-se os valores dos dois termos imediatamente anteriores a ele na sequ-ência. Assim, teremos:

a1 = 3

a2 = 4

a3 = 3 4 = 7

a4 = 4 7 = 11

a5 = 7 11 = 18

a6 = 11 18 = 29

a7 = 18 29 = 47a

8 = 29 47 = 76

O valor do oitavo termo da sequência é 76.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nas questões de 1 a 13 cada uma das sequências apresentadas segue um determinadopadrão de formação. Procure descobrir qual é o padrão de cada sequência e encontre o

valor que deve ocupar o lugar de cada incógnita, x ou y . (Note que em algumas das se-quências é possível encontrarmos mais de um padrão que se ajuste a todos os termos.)

1. (30, 37, 44, 51, x )a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59

2. (9876, 7654, 5432, x )a) 1234b) 2345c) 3.210d) 3456e) 4321



67

3. (17, 20, 21, 24, 25, 28, x )a) 31 b) 29 c) 30 d) 27 e) 28

4. (2, 3, 4, 5, 8, 7, x , y )a) x = 16 e y = 9b) x = 9 e y = 16c) x = 6 e y = 5d) x = 5 e y = 6e) x = 16 e y = 9

5. (50, 360, 140, 180, 230, 90, x , y )a) x = 45 e y = 320b) x = 360 e y = 50c) x = 50 e y = 30

d) x = 180 e y = 50e) x = 320 e y = 45

6. (243, 424, 245, 426, 247, x )a) 248 b) 249 c) 428 d) 429 e) 250

7. 36 30 48 6312

4 9 6 8 x, , , ,

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8. (1.568, 1586, 1658, x , y )a) x = 1.856 e y = 1.685b) x = 1.685 e y = 1.856c) x = 1.658 e y = 1.865d) x = 1.865 e y = 1.658e) x = 1.568 e y = 1.568

9. (37, 26, 17, 10, 5, x )a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

10. (3, 6, 10, 15, 21, x )a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24

11. (2, 6, 12, 20, 30, x )a) 32 b) 38 c) 42 d) 48 e) 52

12. (3, 10, 13, 23, 36, x )a) 56 b) 57 c) 58 d) 59 e) 60

13. (77, 49, 36, 18, x )a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11



68

Nas questões de 14 a 17 encontre a letra que deve ocupar o lugar de x em cada umadas sequências alfabécas apresentadas (considere o alfabeto sem as letras K, W e Y):

14. (E, J, O, R, x )

a) T b) A c) L d) B e) D

15. (R, O, L, H, x )a) A b) B c) C d) D e) E

16. (B, D, G, L, x )a) P b) Q c) R d) S e) T

17. (S, Q, N, I, x )

a) A b) B c) C d) D e) E

Nas questões de 18 a 21 complete a úlma sequência seguindo o mesmo padrão daanterior (considere o alfabeto sem as letras K, W e Y):

18. (B, E, G, J) (C, F, H, ?)a) M b) J c) L d) P e) Q

19. (E, G, A, C) (L, N, G, ?)

a) E b) F c) G d) H e) I

20. (E, B, F, A) (M, I, N, ?)a) E b) F c) G d) H e) I

21. (J, L, N, H) (D, E, G, ?)a) Z b) A c) B d) C e) D

22. Considere a sequência numérica tal que o valor do termo na n-ésima posição édeterminado pela expressão a

n = n2 – 2n. Qual é o valor do vigésimo termo desta

sequência?a) 420 b) 360 c) 280 d) 220 e) 180

23. Dada a sequência numérica cujo termo geral é expresso por an = 2n – 1, qual o

valor da soma dos seis primeiros termos desta sequência?a) 36 b) 38 c) 46 d) 48 e) 56

24. Sabe-se que os valores da sequência cujo termo geral e dado por d n = n(n –3)2

correspondem, a parr do terceiro termo, ao número de diagonais de um polígo-

no com n lados. Assim, por exemplo, um quadrado (n = 4) tem d 4 = 4(4–3)2= 2 diagonais enquanto um hexágono (n =6) tem d

6 = 6(6–3)2 = 9 diagonais.



69

A questão é: Qual o polígono no qual o número de diagonais é igual ao númerode lados?a) Octógono.b) Hexágono.

c) Pentágono.d) Heptágono.e) Eneágono.

25. Numa sequência cujo valor do primeiro termo é 4, cada termo, a parr do segundo,pode ser descrito como

an = a

n–1 + 5.

Qual é o valor do quinto termo desta sequência?

a) 34 b) 54 c) 44 d) 64 e) 24

26. Numa sequência o valor do primeiro termo é 1 e cada termo, a parr do segun-do, pode ser descrito como a

n = 2a

n–1 + 5. Determine o valor do 11o termo desta

sequência.a) 6.193b) 3.619c) 6.139d) 3.916e) 9.631

27. (FCC/TRF 1ª Reg./2006) Assinale a alternava que completa a série seguinte:

C3, 6G, L10,...

a) C4 b) 13M c) 9I d) 15R e) 6Y

28. (FCC/ TRF 1ª Reg./2006) Assinale a alternava que completa a série seguinte:

9, 16, 25, 36,...

a) 45 b) 49 c) 61 d) 63 e) 72

29. (FCC/ TRF 1ª Reg./2006) Qual dos cinco desenhos representa a comparação ade-quada?

a)



70

b)

c)

d)

e)

30. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) No esquema abaixo, observe que há uma certa relaçãoentre as duas primeiras palavras.

GATO – GALO : : LEÃO – ?

A mesma relação deve exisr entre a terceira palavra e a quarta, que está faltando.Essa quarta palavra éa) cachorro.b) cobra.

c) cavalo.d) golfinho.e) sabiá.

31. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Chama-se persistência de um número inteiro eposivo o número de etapas necessárias para, através de operações sucessivas,obter-se um número de um único algarismo.

Como é mostrado no exemplo seguinte, a persistência do número 1 642 é 3:

Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistênciado número 27 991 éa) menor que 4.b) 4c) 5d) 6e) maior que 6.

32. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Na sentença seguinte há duas palavras grifadas, cadaqual seguida de uma lacuna. Essas lacunas devem ser preenchidas por palavras,



71

de modo que a primeira palavra tenha, para a segunda, a mesma relação que aterceira tem para com a quarta.

Primeiro está para ............ assim como janeiro está para .................. .

Assim, as palavras que preenchem a primeira e a segunda lacunas são, respec-vamente,a) fileira e mês.b) ganho e verão.c) vitória e reis.d) úlmo e dezembro.e) número e mês.

33. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Em quatro das alternavas que seguem, os pares de

números apresentam uma caracterísca comum. A alternava cujo par não temtal caracterísca éa) (6;36)b) (9;54)c) (11;63)d) (12;72)e) (15;90)

34. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Considere que os termos da sequência (5, 12, 10, 17,

15, 22, 20,...) obedecem a uma lei de formação. Assim, o termo que vem após onúmero 20 éa) menor que 25.b) maior que 30.c) a metade de 52.d) o triplo de 9.e) par.

35. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) Dos cinco grupos de 4 letras que aparecem nasalternavas abaixo, quatro têm uma caracterísca comum.

Se a ordem alfabéca adotada exclui as letras K, W e Y, então o único grupo queNÃO tem a caracterísca dos outros éa) GHJIb) CDGFc) STXVd) QRUTe) NORP

36. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) O triângulo seguinte é composto de uma sucessãode números ímpares posivos. Observe que, em cada linha, a soma dos elementossugere uma regra geral.



72

Nessas condições, a soma dos elementos da 30ª linha desse triângulo é um númerocompreendido entrea) 2 500 e 3 000b) 3 000 e 3 500c) 20 000 e 25 000

d) 25 000 e 30 000e) 30 000 e 35 000

37. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005) No início de certo mês, Frida e Sada elaboraram umrelatório no qual constava o número de pessoas que cada uma delas havia aten-dido no mês anterior. Observou-se, então, que Frida atendera a 361 pessoas, 15 amais que o dobro do que Sada havia atendido. Para calcular quantas pessoas Sadaatendeu, Frida efetuou 361 + 15 e, em seguida dividiu por 2 o resultado obdo,concluindo que 188 pessoas foram atendidas por Sada. Relavamente aos cálculosefetuados por Frida, é verdade quea) estão corretos.b) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 188 2 e obdo 376.c) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 15 2 e a resposta correta seria

361 – 30 331.d) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 361 – 15 e a resposta correta

seria 346 : 2 173.e) não estão corretos, pois ela deveria ter efetuado 188 2 e a resposta correta

seria 376 – 15 361.

Instruções: Para responder às questões de números 38 e 39, você deve observar que,em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi formadaa parr da palavra da esquerda segundo um determinado critério. Você deve descobriresse critério e usá-lo para associar a terceira palavra àquela que deve ser corretamentecolocada no lugar do ponto de interrogação.

38. (FCC/CEAL/Assist. Téc./2005)capitular – larloucura – curabatalho – ?

a) alhob) bolha



74

44. Observe o exemplo:

SOPA ( PALA ) GERAL

No exemplo dado, a palavra do meio, entre parênteses, segue uma lei de formaçãoque depende das outras duas palavras. Seguindo a mesma lei, qual a palavra quese deve colocar entre os parênteses no caso abaixo?

FOCA ( ..... ) ATLAS

a) FALA

b) CALA

c) FALTA

d) FACAe) CASA


326 ( 20 ) 423

No exemplo dado, o número do meio, entre parênteses, segue uma lei de formaçãoque depende dos outros dois números. Seguindo a mesma lei, qual o número que

se deve colocar entre os parênteses no caso abaixo?

427 ( ..... ) 113

a) 20 b) 21 c) 41 d) 45 e) 73

46. Qual a palavra que não pertence ao mesmo grupo das demais?a) Carrob) Canapéc) Camisad) Coloe) Carícia

47. Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupodas demais?a) CUÉb) UNORAc) SÉVUNd) TRAMEe) ARTRE



75

48. Que número completa a sequência:

livro (5) olho (4) castor (6) noite (?)

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

49. Observe a sequência abaixo e descubra quais os números que faltam.1 8 9 64 25 ? 491 4 27 16 125 ? 343a) 16 64b) 36 216c) 32 128d) 216 36e) 128 32

50. Colocando as letras em ordem, qual a palavra que não pertence ao mesmo grupodas demais?a) ORTEPb) LARAMEOc) ZALUd) FORREe) TIVOLEA


28 ( 82 ) 13

No exemplo dado, o número do meio, entre parênteses, segue uma lei de formaçãoque depende dos outros dois números. Seguindo a mesma lei, qual o número quese deve colocar entre os parênteses no caso abaixo?

16 ( ..... ) 17

a) 17b) 61c) 67d) 71e) 76



76

SENHA ALFABÉTICA

Nas questões 52 a 58 deve-se descobrir uma palavra-chave. Para deduzir qual éa palavra-chave são mostradas, como pistas, cinco outras palavras-teste, cada uma

delas seguida de dois números:• o primeiro número, em negrito, indica a quandade coincidências exatas entreas letras da palavra testada e da palavra-chave (letras certas nos lugares certos);

• o segundo número indica a quandade de coincidências parciais (letras certas mas em lugares errados).

Assim, para a palavra-chave CERTO teríamos:PERTO: 4-0 (4 coincidências exatas: E, R, T, O e nenhuma coincidência parcial)NERVO: 3-0 (3 coincidências exatas: E, R , O e nenhuma coincidência parcial)

TERNO: 3-1 (3 coincidências exatas: E, R, O e 1 coincidência parcial: T)uma palavra-chave é sempre formada por letras disntas.

52. Assinale a alternava que corresponde à palavra-chave.

M Ê S 0 – 0

S I M 0 – 1

R Ó I 1 – 0

R O L 0 – 1

M O A 0 – 1

a) ALIb) LIAc) ELAd) RIAe) DIA


R I J O 0 – 2

T R E M 0 – 2

P U M A 0 – 2

S O L A 0 – 2

a) AMORb) ROMAc) MORAd) ROAMe) ARMO



77

54. Assinale a alternava que corresponde à palavra.

P U N H O: 0 – 0

C O N T A: 3 – 0

S U R D O: 0 – 1

P R E S O: 0 – 2

P O L A R: 0 – 1

a) BESTA

b) CORTA

c) CESTA

d) CARTA

e) NESTA


M A D R E: 0 – 0

M Ó V E L: 3 – 0

N A V I O: 2 – 1

F R A C O: 0 – 2

C A S A L: 2 – 0

a) CANAL

b) COVIL

c) CANIL

d) BANAL

e) SENIL


F I L M E: 0 – 0F O R M A: 2 – 0

L I M A R: 0 – 1

S U M I A: 1 – 2

P L U M A: 3 – 0

a) POUSA

b) LOUSA

c) PAUSA

d) LOURA

e) CAUSA



78


V I S T O: 0 – 0

R O G U E: 3 – 1

R O S N E: 1 – 1

G O S T A: 1 – 1

R E V O A: 3 – 0

a) RENOVAb) VERONAc) RAVINA

d) RANGEe) RÉGUA


B E S T A: 0 – 0

T U M B A: 0 – 2

P O B R E: 1 – 2

A M B A R: 0 – 2

B R U T O: 3 – 0

a) PRIMO

b) ROMPEc) CURTO

d) PRUMO

e) SURTO

GABARITO

1. d2. c3. b4. a

5. e6. c7. e8. b9. d10. a11. c12. d13. b14. a

15. e16. b

17. d18. c19. e20. d

21. c22. b23. a24. c25. e26. c27. d28. b29. e30. e

31. a32. d

33. c34. d35. a36. d

37. d38. d39. b40. c41. a42. d43. d44. e45. d46. d

47. a48. c

49. d50. d51. b52. a

53. a54. c55. b56. a57. e58. d



ANOTAÇÕES: ______________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

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Formato15x21cm

Mancha11,5x17,5 cm

PapelOff set

Gramatura70 gr/m2

Número de páginas80

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