MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES1 MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES2 Aosmeuspaisporteremme proporcionado os estudos, a minha esposa e aos meusfilhospormedaremseguranaecoragem para superar os desafios. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES3 PREFCIO O ensino de Matemtica indispensvel em qualquer curso de graduao, por mais humana que seja a cincia por certo em algum momento ela recorrer Matemtica oudependerdesuasferramentasparaprovarounosuashipteses.Existembons livros de Matemtica voltados para o Ensino Superior, dentre alguns destacamos aqueles quemencionamosemnossaBibliografiaquesovoltadosexclusivamenteparareas maistcnicas,masquenopreencherasdificuldadesapresentadaspelosalunosao iniciar um curso de graduao. A maioria dos cursos superiores das reas tcnicas oferece em sua parte inicial a disciplina de Matemtica, visando nivelar o conhecimento do aluno, possibilitando que o mesmo obtenha os conhecimentos necessrios ao entendimento e desenvolvimento. EstelivrofrutodeaulasdeMatemticaBsicaeMatemticaAplicada ministradas por vrios semestres no curso de Administrao. destinado, sobretudo aos estudantes de curso de graduao das vrias reas profissionais cujo principal objetivo foi dar ao estudante uma viso geral da Matemtica, com problemas relacionados com a sua readeatuao,atravsdeexemplos,massemdescuidardoaspectoformalda disciplina,dando nfase,ainterpretaointuitivadoscontedos. Ostpicosintrodutrios que apresentamos nesse livro originaram-se, inicialmente, dos problemas que surgiram no dia-a-diaequecontinuaramimpulsionadospelacuriosidadedeentendereexplicaros fenmenos que regem a natureza. O livro apresenta a maioria da teoria bsica, assim como exemplos aplicados e problemas, procurando sempre no desassociar um contedo de outro. Quando um aluno aprende equao, seja ela de qualquer tipo, ao estudar funo, d-se a impresso que contedos completamente diferente, o que na verdade apenas uma continuao. Neste livroprocuramostrazeroscontedosemseqncia,poisquandoumalunoestudo equaodosegundograu,imediatamenteeleirestudarafunodosegundograue todasasuaspossveisaplicaesatravsdeexemplosprticosevoltadosparaasua formao. A fixao dos contedos obtida atravs de um grande nmero de exerccios, sendoque,apscadacontedo,existemexemplosresolvidospara,emseguida, apresentarosproblemaspropostos,acompanhadosdasrespectivasrespostas,demodo queoprprioalunopossaacompanharcomseguranaavalidadedoraciocnio desenvolvidoeacorreodosclculosefetuados.Osexercciospropostosforam dispostos em ordem crescente de dificuldade (segundo a viso do autor). MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES4 Quantoredaodoscaptulos,noprimeirodestacamosaimportnciada Teoria dos Conjuntos. Sabemos que a matemtica exige uma linguagem adequada para o seudesenvolvimento.Daomotivodaimportnciadetermoscertanoodateoriados conjuntos. Elanosforneceosprincipaiselementosparaalinguagemqueaplicadaem diversosramosdamatemticaetambmsertilemmodelosmatemticos desenvolvidos em outras cincias. Nosegundoeterceirocaptulodamosincioaumdosmaisimportantes contedosdeMatemtica:AsFunes.Oestudodefunonorestritaapenasaos interessesdaMatemtica,asfunesfazempartedonossocotidianoeestopresentes narealizaodascoisasmaiselementaresquefazemos.Paradarincioaoestudode funo necessrio que tenha o conhecimento de equaes, pois todo o desenvolvimento algbrico de uma funo resolvido atravs de equaes. Nestecapituloapresentadaamaiorpartedoscontedos,queiropermear todos os demais captulos seguintes, destacamos as funes do primeiro grau aplicadas economiacomo:funocusto,funoreceita,funolucro,funodemanda,funo oferta, entre outras. Nos captulos 4 e 5 e 6 so apresentadas as equaes e funes do segundo grau, exponencial e logartmicas. As funes logartmicas juntamente com suas inversas, asfunesexponenciais,constituemmodelosideaisparadescrevermatematicamente certos fenmenos de variao nos quais uma grandeza tem taxa de variao proporcional a quantidade daquela grandeza existente em cada instante. Oscaptulos7,8e9destacamosautilizaodematrizes,determinantese sistemas lineares essenciais em cursos de programao. Na administrao, as matrizes e os determinantes so constantemente utilizados. Pois se trata de tabelas de nmeros que soferramentasimportantssimasnaanlisedodesempenhodaempresaounaanlise das vendas, finanas ou qualquer outra observao que se deseja fazer. Nocapitulo10,destacamosimportnciadosconceitosrelacionados Probabilidade.Naformaodosalunosesseconceitofundamental,oalunoprecisa entender o significado de cada conceito sem o conceito, ele no tem a base fundamental. Finalmente,noscaptulos11e12temosapartedeLimiteseDerivadas. Destacamosasoperaescomlimiteseasregrasdederivaobemcomosuas aplicaes nas funes de custo marginal, receita marginal e lucro marginal. O propsito de escrever esse livro foi o de oferecer um material que facilitasse aomximoaaprendizagemdeMatemtica.Aidianotravaroentusiasmodo estudanteaoingressarnumcursosuperior,colocando-lhebarreirasinstransponveis. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES5 Acreditamos,entretanto,queosdesenvolvimentosdosexercciosapresentados suficiente para um bom entendimento e sua aplicabilidade. Opresentelivronoexigepr-requisitos,possuindoumalinguagemdefcil acesso a qualquer estudante de nvel superior (ou at mesmo de nvel mdio).Outrossim,queremosagradeceratodososalunosque,assistindoasaulas, fazendo os exerccios, corrigindo as falhas, contriburam para este livro atravs de criticas e comentrios. Antonio Roberto Gonalves AutorMATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES6 CAPTULO I - TEORIA DOS CONJUNTOS Oprodutomaisextraordinriodopensamento matemtico,umadasmaisbelasrealizaesda atividadehumananodomniodopuramente inteligvel. (David Hilbert, ao se referir a George Cantor). GeorgeCantor,matemtico,nascidoemSo Petersburg,Rssia,viveugrandepartedesuavidana Alemanha.Aosonzeanos,seuspais,deorigemdinamarquesa, transferiram-separaFrankfurt.Cantorfoiumhomem interessante pelas dedues perspicazes dos telogos medievais sobre a continuidade e o infinito. Seu pai deseja que seguisse a Engenharia,entretantoemseusestudosemZurick,Gttingee Berlinconcentrou-seemFilosofia,FsicaeMatemtica. Destacou-seemBerlim,em1867,comumatesesobreateoria dosnmeros.Suascontribuiesmaissignificativascentraram-se na provocativa palavra infinito. Desde Zeno ( 450 A.C.0 que se falava em infinito, tanto na teologia quanto na Matemtica,porm,ningumantesde1872foracapazdedizerexatamenteoquese estava falando. Tal fato contribuiu pra que sua adoo fosse tardia em Matemtica. Dedicando-se pesquisa na rea de anlise matemtica, Cantor acabou tendo sua ateno atrada para o assunto com o qual tinha afinidade: a natureza dos conjuntos infinitos.EdesuaopoporesseassuntonasceriaaTeoriadosConjuntoscomoum captuloindependentedaMatemtica,ramoque,emmeadosdosculoXX,teriaefeitos profundos sobre o ensino da Matemtica. Cantor e Dedeking estavam entre os matemticos mais notveis de sua poca, noentantonenhumdosdoisconseguiuumaposioprofissionaldedestaque.Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle. Em 1884, Cantor sofreu o primeiro esgotamento nervoso e, durante o restante desuavida,apresentavaacessosdedepressoqueolevavamsvezes,aduvidarde sua prpria obra. Quase no final, ele obteve o reconhecimento de suas realizaes, mas sua morte em 1918, numa instituio de Halle, faz lembrar que a genialidade e a loucura esto relacionadas.MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES7 CONJUNTOS ATeoriadosConjuntos,criadapelomatemticoGeorgCantor,tornou-seo elementocentraldaestruturaodoconhecimentomatemtico.Comoaidiaeramuito abstrataedifcildeserrepresentada,olgicoinglsJohnVennidealizouumaforma simplificadaparademonstrar,quesoosdiagramas.Atodoomomentolidamoscoma formaodeconjuntos,sejaporaspectoscotidianos,culturaisoucientficos.Ao organizarmos nossas roupas, a lista de amigos ou o timinho de futebol, estamos formando conjuntos.Conjuntoareuniodepessoasseresouobjetosquepossuemasmesmas caractersticas. a reunio de elementos que formam o todo, e nos d idia de coleo. Pomar um conjunto de rvores frutferas, onde pomar o todo e rvore frutfera o elemento. Exemplo: Conjunto dos Estados do Brasil; Conjunto das notas musicais; Conjunto dos animais mamferos. Conjunto dos meses do ano Umconjuntoformadoporelementos.Seumobjetoqualquerpodeser elemento de um determinado conjuntos, dizemos que esse objeto elemento do conjunto. Nos exemplos acima, temos: ParanumEstadodoBrasil,portantoParanumelementodoconjuntodos Estados do Brasil; Fumanotamusical,portantoFumelementodoconjuntodasnotas musicais; Baleiaummamfero,portantoabaleiaumelementodoconjuntodosanimais mamferos. Outubro um ms do ano, portanto outubro um elemento do conjunto meses do ano. REPRESENTAO DE UM CONJUNTO Os conjuntos so representados por letras maisculas do alfabeto A, B, C, X, Y, etc.,entrechaveseoselementosporletrasminsculasa,b,c,x,y,etc.separadospor vrgulas. Por exemplo: MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES8 Conjunto das vogais do alfabeto: V = {a, e, i, o, u} Conjuntodosdias da semana:A={domingo,segunda,tera,quarta,quinta,sexta, sbado}.Conjunto dos nmeros pares: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} COMO REPRESENTAR CONJUNTOS Vamos considerar o conjunto dos divisores naturais do 10.Este conjunto pode ser representado por trs formas: 1. Pelos elementos Escrevemosseuselementosentrechaves,separadosporvrgulasesem repetio, de preferncia obedecendo a ordem crescente dos nmeros. D = {1, 2, 5, 10} 2. Pela Caracterstica Escrevemosoconjuntoenunciandoumapropriedadeoucaractersticacomum de seus elementos. D = {x/ x so os divisores naturais do dez} 3. Pelo diagrama de Venn Oselementosdoconjuntosocolocadosdentrodeumafiguraemformade elipse, chamada diagrama de Venn. IGUALDADE DE CONJUNTOS Definio:DoisconjuntosAeBdizem-seiguais(ouidnticos)seconstam exatamentedosmesmoselementose,nessecaso,escrevemosA=B.Seumdos conjuntoscontmalgumelementoquenopertenceaooutro,dizemosqueosdois conjuntos so distintos e escrevemos A B. Exemplo: Seja{ } 0 2 3 /2= + = x x IN x E , F = {1, 2} e G = {2, 1}. Ento E = F = G Note que a igualdade do conjunto no depende da disposio dos elementos no MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES9 conjunto. TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO UNIVERSO O Conjunto Universo a reunio de todos os conjuntos a serem estudados no contexto em que estamos trabalhando. Exemplos: Quando falamos sobre biologia, o Conjunto Universo ser todos os seres vivos; Quandofalamossobreosnmerosnaturais,oConjuntoUniversosertodosos nmeros inteiros positivos.Naresoluodeequaesumdosconjuntosmaisimportantesoconjuntodos nmeros Reais que rene vrios outros conjuntos numricos. CONJUNTO VAZIO OConjuntovaziooconjuntoquenopossuielementos.Representa-seo Conjunto Vazio por: { } ou . Exemplo: Seja A = {x / x natural e menor que 0} Este conjunto vazio, pois no existe nmero natural negativo. Conjunto dos pases da frica que iniciam pela letra M. Este conjunto vazio, pois no existe pas da frica cujo nome se inicia pela M. CONJUNTO UNITRIO Esse conjunto caracterizado por possuir apenas um nico elemento. Exemplo: O conjunto dos nmeros naturais compreendidos entre 0 e 2. Nesse caso existe somente um elemento, o 1. Representamos por {1}. O conjunto dos nmeros inteiros compreendidos entre 3 e 1. Entreosnmeros3e1existeapenasonmerointeiro2.Representamos {2}. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Finito: quando podemos enumerar todos os seus elementos. Exemplo: conjunto dos Estados da Regio Sul do Brasil. S = {Paran, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} Infinito: quando no podemos enumerar todos os seus elementos MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES10 Exemplo: conjunto dos nmeros naturais. IN = {0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} RELAO DE PERTINNCIA OconceitobsicodaTeoriadosConjuntosarelaodepertinncia representada pelo smbolo (pertence) ou (no pertence).ParaindicarmosqueumelementoapertenceaoconjuntoP,escrevemos:aP (l-se: elemento a pertence ao conjunto P). Para indicarmos que um elemento a no pertence ao conjunto P, escrevemos: a P (l-se: elemento a no pertence ao conjunto P) Exemplo: Seja o conjunto A = {2, 6, 8, 9, 10} 2 A, 8 A, 9 A 1 A, 5 A, 7 A SUBCONJUNTOS QuandotodososelementosdeumconjuntoAsotambmelementosdeum outro conjunto B, diz-se que A subconjunto de B. Exemplo: Dados os conjuntos B = {0, 1, 2, 3 ,4 ,5} e A = {1, 3, 5}, vemos que todos os elementos do conjunto A pertencem aoconjuntoB,entopodemosafirmarqueAsubconjunto de B. Podemossimplificaradefiniodizendoquesubconjuntoquandodeum conjuntomaiorpodemosformarvriosconjuntosmenores,mascomasmesmas caractersticas. Seja o conjunto C = {a, b, c}, podemos formar os seguintes subconjuntos: {a}, {b} {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 8 subconjuntos Tome Nota: Todo o conjunto A subconjunto dele prprio O conjunto vazio, por conveno, subconjunto de qualquer conjunto. O conjunto das partes o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. No exemplo acima o conjunto das partes : B = {{a}, {b} {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES11 b, c}, { },} RELAO DE INCLUSO ArelaodeInclusodeveserusadaexclusivamentedeconjuntopara conjunto e verifica se um conjunto subconjunto ou no de outro conjunto. Para representar a relao de incluso utilizam-se os smbolos: Leia-se: est contido Leia-se: no est contido Leia-se: contm Leia-se: no contm EXERCCIOS DE APLICAES 1.Dados os conjuntos X = {x / x as letras do alfabeto}, B= {b / b as vogais do alfabeto} e C= {c / c as consoantes do alfabeto}, coloque V ou F para as sentenas abaixo: a)c Bb)B X c){a, b, c, d, e } subconjunto de C d)B Ce)X B f)b C g)k, w, y C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.RepresentepeloselementosepelodiagramadeVennoconjuntoP={x/xsoas razes da equao0 72 172= + x x } Resposta: {8, 9} 3.Senonmerodesubconjuntosno-vaziosdoconjuntoformadopelosmltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, ento o valor de n : Resposta: 127 4.EscrevatodosossubconjuntosdoconjuntoM={x/xsoosnmerosnaturais divisores de 15}. 5.Quais das proposies so verdadeiras? a){1,2} {1,2} b){1,2} {1,2} c)a {b,a} d) {a, b, c, d, e} e){a} {b,a} f)2 {1,2,3} g){1,2,3} {1,2,2,3,3} MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES12 6.Escreva os elementos dos conjuntos A, B e C no diagrama abaixo. 7.RepresentepelodiagramadeVennoconjuntoD={x/xsoosnmerosnaturais primos menores que 20}. 8.Escreva o conjunto dado pelas seguintes condies: a)P = {x / x a soluo da equao 5x + 20 = 45} b)A = {x Z / - 4 < x < 4} c) = {x /x so os mltiplos de 5 menores que 30} d)O = {x / x so os planetas do sistema solar} e)C = {x / x a soluo da equao x2 -1024 = 0} f)A = {x Z /x < -2} 9.Seja A = {3, 5, 7, 9, 11, 15}, qual das representaes abaixo correta. a){x A / x impar} b){x A / x mltiplo de 5} c){x A / x divisor de 60} d){x A / x divisvel por 2} 10.Dado o conjunto {a, b, c, d, e} o nmero mximo de subconjuntos distintos : Resposta: 32 11.Dado os conjuntos: A = {x / x so as razes da equao0 12 72= + + x x }, B = { 2, 5, 7, 8} e C = {x Z / - 4 x < 2}. Complete com e ,a)2........................C b)5 e 6..................B c){-4, -3}...............A d){0, 1, 2, 3}.........C e)7...................B f){}...............C g)C.................A h)0...................B MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES13 OPERAES COM CONJUNTOS OPERAO UNIO ( ) DadosdoisconjuntosAeB,novazios,aUniodosconjuntosAeBum novoconjuntoformadoportodososelementosquepertencemaoconjuntoAeao conjunto B. Exemplo: Seja os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 6, 7}, determine A B. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } OPERAO INTERSECO ( ) Dadosdoisconjuntos AeB,novazios,aIntersecodosconjuntosAeB umnovoconjuntoformadoportodososelementosquepertencemaoconjuntoAeao conjunto B ao mesmo tempo. Exemplo: Seja os conjuntos A = {5, 6, 8, 9} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, determine A B. A B = {5} MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES14 OPERAO DIFERENA ( - ) Dados dois conjuntos A e B, no vazios, a Diferena dos conjuntos A e B um novoconjuntoformadopeloselementosquepertencemaoconjuntoA,masno pertencem ao conjunto B. Exemplo: Seja osconjuntos A={x/xsoasletras dapalavraMATEMTICA}eB={x/xso as letras da palavra ISABELLE}, determine A B. A = { m, a, t, e, i, c} e B = { i, s, a, b, e, l} A - B = {m, c, t}B - A = {b, i, s} Tome Nota: Para determinar a diferena entre conjuntos, devemos observar o que o conjunto A tem de diferente de B. EXERCCIOS DE APLICAES 12.DadososconjuntosA={1,2,4,6,8,10},B={3,6,9,10,15}eC={0,5,10,15}, determine:a)A Bb)A (B U C) c)A Cd)A B C e)C Af)A U B U C g)B U Ch)(A B) U (B A) i)(A B) (C A)j)(A B) (B U C) k)(A B) (B U C)l)(B C) U (A C) U (B A) 13.Dados M = {x Z / -2 < x < 3}e S = {x Z /-5 x 0}, calcule: a)Determine os nmeros inteiros que pertencem ao conjunto M S b)Determine os nmeros inteiros que pertencem ao conjunto M U S c)Determine os nmeros inteiros que pertencem ao conjunto M S 14.Sendo os conjuntos M = {x / x par positivo menor que 10}, I = {x / x nmero mpar MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES15 compreendido entre 4 e 10}, V = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e R = {0, 2, 3, 5}, determine: a)M Rb)I (M U R) c)V R M d)V U M U I e)Mf)V M g)R (V I) 15. SeA,BeABsoconjuntoscom90,50e30elementosrespectivamente,determine ento o nmero de elementos A U B. Resposta: 110 16.Copie o diagrama no caderno e pinte os conjuntos de acordo com as sentenas. a)Z Xb)X (Y U Z) c)Z X Zd)Z (Y X) e)X - (Y Z)f)(Y Z) U (Z X) 17.Dados os conjuntos: X= {x / x so os nmeros impares menores que 10}, B= {b / b so os nmeros pares maiores que 5 e menores que 10}; C= {c / c so os nmeros naturais maiores que dois e menores que 8 }; Coloque V ou F para as sentenas abaixo: a)X U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b)B C um conjunto unitrio c)C X = {4, 6} d)X C = {1, 7, 9} e)X = {1, 3, 5, 7, 9, 10} f)X B um conjunto vazio g)B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} h)B C = {2, 4, 6, 8, 10} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18.Dado o diagrama, classifique as sentenas em Verdadeiro ou Falso. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES16 a)A B = 14b)A (B U C) = 9 c)B A C = 8d)A U B U C = 75e)B = 48f)A C = 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19.Dado o diagrama, determine os seguintes conjuntos, escrevendo seus elementos. a)A B b)B A c)B A d)A U B 20.Sodadososconjuntos A = {x IN /x impar}, B = {x Z / 3 x < 4}eC = {x / -1 < x < 6}.Calcule. a)A = b)B = c)C = d)(A B) U (B C) = e)(A B) = f)A (B U C) g)B (A C) h)(B A) (A C) 21.Osmuulmanossequerselimitaaospaisesdeetniarabe,comomuitoimaginam. Porexemplo,amaiorconcentraodemuulmanosdomundoencontra-sena Indonsia, que no um pas de etnia rabe. (Adaptado da Superinteressante, Ed. 169 out, 2001). Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que so muulmanas e A o conjunto de todas aquelas que so rabes. Sabendoquenemtodapessoaquemuulmanarabe,pode-serepresentaro conjunto de pessoas do mundo que no so muulmanas e nem rabe por: Resposta: A a) T (A U M) b) T A c) T (A ) d) (A M) U (M A) e) M Af)N.D.A MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES17 RESOLUO DE PROBLEMAS UTILIZANDO CONJUNTOS Muito dos problemas constituem-se, essencialmente, de perguntas ou tarefas a seremexecutadas.Pararesolv-los,utilizaremosalmdasinformaescontidasnos enunciados,nossosconhecimentosrelativossoperaesdeconjuntosqueso:Unio, Interseco e Diferena. EXEMPLO RESOLVIDO Ex 1: Analise a seguinte situao: Considere o conjunto V = {1, 2 ,5 ,6, 8 ,9} e M = {0, 1, 3, 4, 6, 7 ,9, 10, 11}, determine: a)Quantos elementos tm o conjunto V? b)Quantos elementos tm o conjunto M? c)Quantos elementos tm o conjunto V M? d)Quantos elementos tm o conjunto V U M? Resoluo: a)V = {1, 2 ,5 ,6, 8 ,9} n(V) = 6 b)M = {0, 1, 3, 4, 6, 7 ,9, 10, 11} n(M) = 9 c)V M = {1, 6, 9} n(V M) = 3 d)V U M = {0, 1, 2 , 3, 4, 5 ,6, 7, 8 ,9, 10, 11} n (V U M) = 12 Ento, n(V U M) = 6 + 9 3 n(V U M) = 12. De modo geral, quando os conjuntos A e B so finitos, possvel provar que: n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B) EXEMPLO RESOLVIDO Ex 2: Numa pesquisa sobre a preferncia por dois partidos polticos, A e B, obteve-se os seguintesresultados.NoventaeduasdisseramquegostamdopartidoA,oitenta pessoas disseram que gostam do partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam a pesquisa? Resoluo pela Frmula n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B) n(A U B) = 92 + 80 35 n(A U B) = 137 Resoluo pelo diagrama: MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES18 Se92pessoasresponderamgostardo partidoAe35delasresponderamque gostamdeambos,entoonmerode pessoasquegostamsomentedo partido A : 92 35 = 57. Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, ento o nmero de operrios que gostam somente do partido B : 92 35 = 57. Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido Be35responderamquegostamdosdoispartidospolticos,entoonmerode pessoas que responderam a pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. No caso de trs conjuntos A, B e C, d mesma maneira, pode-se provar que a frmula que indica o nmero de elementos da de n(A U B U C) : n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) + n(A B C) - n(A B) - n(A C) - n(B C) EXEMPLO RESOLVIDO Ex 3: Objetivandoconheceraprefernciamusicaldosseusouvintes,certaemissorade rdio realizou uma pesquisa, dando como opo trs compositores: Amado Batista (A), Benito de Paula (B) e Caetano Veloso (C). Os resultados so: VotosOpes 201Gostam de A 253Gostam de B 244Gostam de C 36Gostam de A e B 44Gostam de B e C 52Gostam de A e C 7Gostam de A, B e C 85NenhumCalcule quantas pessoas responderam a pesquisa. Resoluo pela Frmula n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) + N + n(A B C) - n(A B) - n(A C) - n(B C) MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES19 n(A U B U C) = 201 + 253 + 254 + 7 + 85 (36 + 44 + 52) n(A U B U C) = 800 132 n(A U B U C) = 668 Resoluo pelo diagrama: Comeamos sempre colocando o nmero de elementos da interseco.Aocolocaronmerodeelementosdeumconjunto,nopodemosesquecerde descontar os da interseco. n(A B) n(A B C) = 36 7 = 29 n(B C) n(A B C) = 44 7 = 37 n(A C) n(A B C) = 52 7 = 45 201 29 7 45 = 120 253 29 7 37 = 180 254 45 7 37 = 165 Assimonmerototaldepessoasasomade todos os valores obtidos: 120 + 29 + 7 + 45 + 180 + 37 + 165 + 85 = 668 Tome Nota: A resoluo por diagrama importante, pois ela d uma viso de todos os valores envolvidosnoproblema,principalmentequandoestoenvolvidostrsoumais conjuntos. Umprocessoprticoparaaresoluopordiagramacomearpelainterseco dos conjuntos e ir resolvendo de dentro para fora. EXERCCIOS DE APLICAES 22.Numa pesquisa em que foram ouvidas crianas, constatou-se que: 15 crianas gostavam de refrigerante. 25 crianas gostavam de sorvete 5 crianas gostavam de refrigerante e de sorvete Quantas crianas foram pesquisadas? Resposta: 35 crianas 23.Foram instaladas 66 lmpadas para iluminar as ruas A e B, que se cruzam. Na rua A foramcolocadas40lmpadasenaruaB30lmpadas.Quantaslmpadasforam instaladas no cruzamento? Resposta: 4 lmpadas MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES20 24.Numa concentrao de atletas h 42 que jogam basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol ebasquetebol,simultaneamente.Qualonmerodeatletasnaconcentrao? Resposta: 52 25.Umaatividadecomduasquestesfoiaplicadaemumaclassede40alunos.Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questes, 35 acertaram a primeira questo e 25, a segunda. Faa o diagrama e calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questo? Resposta: 20 alunos ou 50% 26.Em uma pesquisa com 1.260 consumidores, realizada na cidade de Siqueira Campos, sobreasmarcasderefrigerantesPaokita(P),KitaCola(K)eGole(G)queda preferncia dos habitantes, obteve o seguinte resultado: MarcasPKGP e KP e GK e GP, K e G Consumidores540290360705012030 Calcule:Quantaspessoasnogostamdenenhumdosrefrigerantes?Resposta:280 pessoas 27.Numa pesquisa de mercado sobre a preferncia de leitura de uma cidade contatou-se que48%lemogibidoTex;45%lemogibidoZagor;50%lemogibidoKen Parker;18%lemosgibisdoTexedoZagor;25%lemosgibidoTexedoKen Parker; 15 % lem os gibis do Zagor e do Ken Parker e 4% dos entrevistados lem as trsrevistas.Qualaporcentagemdosentrevistadosquenolemnenhunsdesses gibis? Resposta: 11% 28.Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemtica, 9 ensinam Fsica, 7Qumicae4ensinamMatemticaeFsica.NenhumdelesensinaMatemticae Qumica. Quantos professores ensinam Qumica e Fsica e quantos ensinam somente Fsica? Resposta: 3 e 2 29.Umaprovaeraconstitudadedoisproblemas.Trezentosalunosacertaramsomente umdosproblemas,260acertaramosegundo,cemalunosacertaramosdoise duzentosedezerraramoprimeiro.Quantosalunosfizeramaprova?Resposta:450 alunos 30.Emumdeterminadobairrodeumacidade,existemapenaspessoasdecabelos pretos,castanhoseloiros.Sabe-sequeototaldehabitantesdestebairrode300 pessoas, dentre estas, 180 tem cabelos pretos e 70 tem cabelos castanhos, determine o nmero de pessoas de cabelo loiro. Resposta: 50 pessoas MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES21 31.NumaFbricacom73funcionrios,foramdistribudostrsacessriosdeproteo: Botas, culos e Luvas. Da seguinte forma: 41 receberam Botas; 30 receberam Luvas; 25 receberam culos; 9 receberam Botas e culos; 10 receberam Botas e Luvas; 11 receberam culos e Luvas; Qualonmerodefuncionriosquereceberamostrsequipamentos?Resposta:7 funcionrios 32.TemosaquiosmembrosdafamliaGonalves.Mostraremosaquigruposdessa famlia que gostam de determinado tipo de comida: Roberto, Flvio, Osmar, Mariane, Joo, Antonio e Marli gostam de arroz; Guerino, Geni, Rosinei, Osmar e Roberto gostam de bife; Isabelle, Vinicius, Marli, Rosinei, Gustavo e Roberto gostam de camaro; Ento, quantas pessoas gostam de arroz, bife e camaro? Resposta: Uma pessoa 33.Uma populao consome trs marcas de sabo em p: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: MarcaABCA e BB e CC e AA, B CNenhuma N de Consumidores60040030020010015035115 Pede-se: a)O nmero de pessoas consultadas. Resposta: 1.000 pessoas b)O nmero de pessoas que s consomem a marca A. Resposta: 285 pessoas c)O nmero de pessoas que no consomem as marcas A ou C. Resposta: 250 pessoas d)O nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas. Resposta: 280 pessoas 34.TrintaecincoestudantesestrangeirosvieramaoBrasil.16visitaramManaus;16 visitaramRiodeJaneiroe11visitaramSalvador.Dessesestudantes,5visitaram Manaus e Salvador e , desses cinco, 3 visitaram tambm o Rio de Janeiro. O nmero de estudantes que visitaram Manaus ou Rio de Janeiro foi: Resposta: 29 estudantes 35.Apsumjantar,foramservidasassobremesasXeY.Sabe-sequedas10pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X,7 comeram a sobremesa Ye3 comeram as duas. Quantas no comeram nenhuma sobremesa? Resposta: Uma pessoa MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES22 36.Numa academia de ginstica que oferece vrias opes de atividades fsicas, foi feita umapesquisaparasaberonmerodepessoasmatriculadasemalongamento(A), hidroginstica (H) e musculao (M), chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir: AtividadeHMAA e HA e MH e MOs trsOutras N de Alunos2031621092528415115 Com base nessas informaes, determine a soma das afirmativas verdadeiras: (01) - 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.(02) - 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculao.(04) - 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades (08) - A pesquisa envolveu 500 pessoas. (16) - O nmero de pessoas matriculadas apenas em hidroginstica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa. Resposta: 25 37.Depois de n dias de frias, um estudante observa que: choveu 7 vezes, de manh ou tarde; quando chove de manh no chove tarde; houve 5 tardes sem chuva; houve 6 manhs sem chuva. Podemos afirmar ento que n igual a: Resposta: 9 dias 38.NoltimoclssicoPalmeirasxFlamengo,realizadoemSoPaulo,verificou-se que s foram ao estdio paulistas e cariocas e que todos eles eram s palmeirenses ou s flamenguistas.Verificou-setambmque,dos 100.000torcedores,85.000eram palmeirenses,84.000erampaulistasequeapenas4.000paulistastorciampara o Flamengo. Pergunta-se: a)Quantos paulistas palmeirenses foram ao estdio? Resposta: 80.000 b)Quantos cariocas foram ao estdio? Resposta: 16.000 c)Quantos no-flamenguistas foram ao estdio? Resposta: 85.000 d)Quantos flamenguistas foram ao estdio? Resposta: 15.000 e)Dospaulistasqueforamaoestdio,quantosnoeramflamenguistas?Resposta: 80.000 f)Dos cariocas que foram ao estdio, quantos eram palmeirenses? Resposta: 5.000 39.Segundo o Censo do IBGE no ano 2006, 81% dos brasileiros possuam televiso, 79% possuamgeladeira,8%possuamgeladeiraetelevisoe4%notinhamTVnem geladeira. Qual o total de brasileiros que possuam apenas televiso? Resposta: 73% MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES23 40.Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentrao nazistaedelresgataram 979 prisioneiros.Desses527estavamcomsarampo, 251 com tuberculose e 321 no tinham nenhuma dessas duas doenas. Qual o nmero de prisioneiros com as duas doenas? Resposta: 120 prisioneiros 41.Umtotaldesessentaclientespotenciaisfoiaumalojadeequipamentoinformtico. Delescinqentaedoisfizeramcompras:vintecomprarampapel;trintaeseis comprarampendrive;quinzecompraramcartuchosdetintaparaimpressora;seis compraramsimultaneamentepapelependrive;novecompraramsimultaneamente pendrive e cartuchos; cinco compraram simultaneamente papel e cartuchos. Quantos compraram os trs artigos? Resposta: um cliente 42.Foi feita uma pesquisa sobre a preferncia de um grupo de pessoas por determinado tipodemsica,econcluiu-seque:43pessoasgostavamdeSAMBA;6pessoas gostavamapenasdeROCK;15pessoasgostavamdeSAMBAeROCK;8pessoas gostavamdeROCKeJAZZ;13pessoasgostavamdeSAMBAeJAZZ;3pessoas gostavam apenas de ROCK e JAZZ; 40 pessoas no gostavam de ROCK e ningum gostava apenas de JAZZ. Nessas condies determine: a)Quantas pessoas gostavam dos trs tipos de msica? Resposta: 5 pessoas b)Quantas pessoas no gostavam de nenhum dos trs tipos de msica? Resposta:12 pessoas. c)Qual o total de pessoas pesquisadas? Resposta: 69 pessoas 43.Em um ciclo de trs conferncias que ocorreram em horrios distintos, havia sempre o mesmo nmero de pessoas assistindo a cada uma delas. Sabe-se que a metade dos que compareceram primeira conferncia no foi a mais nenhuma outra; um tero dos que compareceram segunda conferncia assistiu a apenas ela e um quarto dos que compareceramterceiraconferncianoassistiunemaprimeiranemasegunda. Sabendoaindaquehaviaumtotalde300pessoasparticipandodociclode conferncias,equecadaumaassistiuapelomenosumaconferncia,onmerode pessoas em cada conferncia foi: Resposta: 156 pessoas. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES24 CAPTULO II EQUAO, O IDIOMA DA LGEBRA. Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho,umhomeminteligenteeclipsaaglriade outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe prope. Estetextodandiaantigafaladeumpassatempo muitopopulardosmatemticoshindusdapoca:asoluode quebra-cabeasemcompetiespblicas,emqueum competidor propunha problemas para outro resolver. EramuitodifcilaMatemticanesseperodo.Sem nenhumsinal,semnenhumavarivel,somentealgunspoucos sbioseramcapazesderesolverosproblemas,usandomuitos artifcios e trabalhosas construes geomtricas. Hoje,temosalinguagemexatapararepresentar qualquer quebra-cabea ou problema. Basta traduzi-los para o idioma da lgebra: a equao. Equaoumamaneiraderesolversituaesnasquaissurgemvalores desconhecidosquandosetemumaigualdade.Apalavraequaovemdolatim equatione,equacionar,quequerdizerigualar,pesar,igualarempeso.Eaorigem primeira da palavra equao vem do rabe adala, que significa ser igual a, de novo a idiadeigualdade.Porseremdesconhecidos,essesvaloressorepresentadospor letras. Por isso na lngua portuguesa existe uma expresso muito usada: o x da questo. Elautilizadaquandotemosumproblemadentrodeumadeterminadasituao. Matematicamente, dizemos que esse x o valor que no se conhece. Aprimeirareferenciaaequaesdequesetmnotciasconstadopapirode Rhind,umdosdocumentosegpciosmaisantigosquetratamdematemtica,escritoh mais ou menos 4.000 anos. Comoosegpciosnoutilizavamanotaoalgbrica,osmtodosdesoluo de uma equao eram complexos e cansativos. Os gregos resolviam equaes atravs de Geometria.Masforamosrabesque,cultivandoaMatemticadosgregos,promoveram MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES25 umacentuadoprogressonaresoluodeequaes.Pararepresentarovalor desconhecidoemumasituaomatemtica,ouseja,emumaequao,osrabes chamavamovalordesconhecidoemumasituaomatemticadecoisa.Emrabe,a palavracoisaerapronunciadacomoxay.Dasurgeoxcomotraduosimplificadade palavra coisa em rabe. Notrabalhodosrabes,destaca-seodeAl-Khowarizmi(sculoIX),que resolveu e discutiu equaes de vrios tipos. Al-Khowarizmiconsideradoomatemticorabedemaiorexpressodo sculoIX.Eleescreveudoislivrosquedesempenharamimportantepapelnahistriada Matemtica. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma exposio completadosnumeraishindus. O outro,consideradooseulivromaisimportante,Al-jabr wal mugbalah, contm uma exposio clara e sistemtica sobre resoluo de equaes.Asequaesganharamimportnciaapartirdomomentoemquepassarama serescritascomsmbolosmatemticoseletras.Oprimeiroafazerissofoiofrancs Franois Vite, no final do sculo XVI. Por esse motivo chamado pai da lgebra. Vite tambm foi o primeiro a estudar as propriedades das equaes atravs de expresses gerais como ax + b = 0. Graas a Vite os objetos de estudo da Matemtica deixaramdesersomenteproblemasnumricossobrepreosdascoisas,idadedas pessoasoumedidasdosladosdasfiguras,epassaramaenglobartambmasprprias expresses algbricas. A partir desse momento, as equaes comearam a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equao, o idioma da lgebra. Atualmenteasequaessousadas,entreoutrascoisas,paradeterminaro lucrodeumafirma,paracalcularataxadeumaaplicaofinanceira,parafazera previso do tempo, etc. Hoje,chamamosotermodesconhecidodeincgnita,queumapalavra originria do latim incognitu, que tambm quer dizer coisa desconhecida. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES26 EQUAES O objetivo deste tpico procurar revisar a resoluo de equaes de 1 grau na incgnita x, dando subsdios para o captulo de funes do primeiro grau. A resoluo destasequaesquandoseuscoeficientessonumricosnoapresentamgrandes problemas. Equao toda sentena matemtica aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam nmeros desconhecidos.Ex: 2x 5 = 3 o nmero desconhecido x recebe o nome de incgnita. EQUAO DO 1 GRAU As equaes do primeiro grau so aquelas que podem ser representadas sob a formaa.x+b=0,emqueaebsoconstantesreais,comadiferentede0,exa varivel.Na equao 5.x + 20 = 0 temos: 5 o coeficiente 20 o termo independente x a incgnita. RESOLUO DE EQUAES DO 1 GRAU: Resolverumaequaosignificaencontrarvaloresdaincgnitaquesatisfazem a sentena tornando-a verdadeira.Uma equao do 1 grau pode ser resolvida usando a propriedade: a.x + b = 0 a.x = - b x = abNa equao x + 12 = 40, de princpio, sem conhecer o valor da incgnita x, no podemos afirmar se a sentena verdadeira ou falsa.Pormpodemosverificarfacilmentequeaequaoacimasetornaverdadeira para x = 28 x + 12 = 40 x = 40 - 12 x = 28 Ao resolvermos uma equao do 1 grau obtemos um resultado (esse resultado umvalornumricoque,substituindoaincgnitaporele,chegamosaumaigualdade numrica), esse pode ser chamado de raiz da equao ou conjunto verdade ou conjunto soluo da equao. Logo o conjunto verdade (V), soluo (S) ou raiz da equao 28. Cadaumdos valoresque,colocadosnolugardaincgnita,transformama equao em uma sentena verdadeira chamado de raiz da equao. Para verificarmos MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES27 seumdadonmeroounoraizdeumaequao,bastasubstituirmosaincgnitapor esse nmero e observarmos se a sentena obtida ou no verdadeira. Convmlembrarquenaresoluodeequaesdoprimeirograupodemos transformar uma equao em outra equao equivalente mais simples. Adicionandoummesmonmeroaambososmembrosdeumaequao,ou subtraindo um mesmo nmero de ambos os membros, a igualdade se mantm.Seja a equao: 12 3 9 3 3 9 3 = + = + = x x xSeja a equao: 10 4 4 10 4 5 4 10 5 = + = + = x x x x x x xDividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equao por um mesmo nmero no-nulo, a igualdade se mantm. Seja a equao: 53153315 3 = = = xxxNaprticapararesolverequaesdo1grau,bastacolocarasincgnitasde um lado do sinal de (=) e os "nmeros" do outro. EXEMPLOS RESOLVIDOS Ex 4: Encontre o valor de x na equao: 10 8 2 = x921818 2 8 10 2 10 8 2 = = = + = = x x x x x Ex 5: Encontre o valor de x na equao: x x 3 10 28 6 + = ( ) 921818 9 1 18 9 28 10 3 6 3 10 28 6 = = = = = + = + x x x x x x x xEx 6: Encontre o valor de x na equao abaixo: 29353 4 = ++ x x 2738181 336 45 5 8 45 5 30 6 81045 51030 6 8 = = = = = + + =+ +x x xx x x xx x O Mtodo de resoluo de equaes do 1 grau, no qual colocam-se os valores de umlado dosinal de(=)e asincgnitas do outrolado apenasummaceteutilizado MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES28 para agilizarmos a resoluo. EXERCCIOS DE APLICAES 44.Resolva as seguintes equaes: a)17 3 2 = xb)( ) ( ) ( ) 1 5 4 3 5 3 3 7 2 2 + = + + x x xc)8 7 4 = + x xd)( ) ( ) 9 5 2 1 7 3 = x xe) 1513130151151 = + x x x f) 328 6 = + xg)y y3141261 = + h) 42232 x xx =i)x x x x 2 9 2 3 5 4 = + j)( ) ( ) [ ] ( ) 2 3 1 4 2 3 3 6 + = x x xk)( ) ( ) ( ) 7 1 2 4 2 3 4 3 2 11 + + = x x xl)( ) ( ) ( ) 1 3 4 5 2 2 3 3 2 6 + = x x xm) 6131 24+=x x x n) 53800 3 700 8 = + x xo) 587 29 3=+xx p) 125 38163 2 = x x x PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAES DO PRIMEIRO GRAU. Utilizamos equaes do 1 grau com uma incgnita na resoluo de problemas tal qual o seguinte: "Se eu tivesse o dobro da quantia que eu possuo, com mais dez reais eu poderia comprar um certo livro que custa cem reais. Quantos reais eu possuo?" Inicialmenteiremosexpressarestemesmoproblemaemlinguagem matemtica. Para isto vamos chamar a quantia que eu possuo atualmente de x. Este valor procurado. Aoreferir-meaodobrodaquantia,matematicamente estoumereferindoa2x, ou seja, ao dobro de x. Odobrodaquantiamaisdezreaisserexpressomatematicamentecomo 2x + 10. Finalmente devemos expressar que o dobro da quantia mais dez igual a cem, logo a expresso inteira ser: 2x + 10 = 100. Basicamentesubstitumosotextoemportuguspelosseusrespectivos operadores matemticos. EXERCCIOS DE APLICAES 45.Uma empresa tem a matriz em So Paulo e filias em todo o Brasil e possui um total de 1.264 funcionrios. O nmero de pessoas que trabalham nas filiais o triplo do nmero MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES29 de pessoas que trabalham na matriz. Quantos funcionrios trabalham na matriz dessa empresa? Resposta: 316 46.Distribuir R$ 140,00 entre Paulo, Jos e Otvio de modo que Paulo receba R$ 15,00 a menosqueJos,eesterecebaR$25,00amaisqueOtvio.Quantorecebercada um? Resposta: Otvio R$ 35,00, Jos R$ 60,00 e Paulo R$ 45,00. 47.Umavtem60anos eseuneto15.Ao finaldequantosanosaidadedoavsero dobro da idade do neto? Resposta: 30. 48.Numa frao o denominador excede o numerador em 5. Se aumentarmos o numerador em 2 unidades, a frao ficar aumentada em 41 . Determine esta frao. Resposta: 83. 49.Existemtrs nmeros inteirosconsecutivoscomsomaiguala393.Quenmerosso esses? Resposta: 130, 131, 132. 50.Um mgico matemtico props a seguinte adivinhao: Vocs esto vendo estas duas caixas. Numa delas tm 95 joaninhas; na outra tem aranhas. Se contarmos as patas de todososinsetosedetodososaracndeosqueestonascaixas,chegaremosao nmero 1.002. Quantas aranhas tem na caixa. (Lembrete: uma joaninha tem 6 patas, e uma aranha 8 patas). Resposta: 54 51.Uma caixa contm porcas e parafusos. Cada parafuso pesa o dobro de uma porca. O peso da caixa de 2.400 gramas. Qual a quantidade de parafusos e porcas da caixa, sabendo-se que o total de peas 100 e que cada porca pesa 20 gramas. Resposta: 20 parafusos e 80 porcas 52.Trs filhos recebem mesadas; o mais velho recebe o dobro do que o segundo recebe, eesteodobrodoqueomaismoorecebe.SendoototaldamesadadeR$70,00, quanto recebe cada um? Resposta: R$ 40,00 R$ 20,00 e R$ 10,00 53.Um fazendeiro repartiu 240 bois entre seus trs herdeiros da seguinte forma: o primeiro recebeu 32 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quanto recebeu o primeiro herdeiro? Resposta: 48 bois 54.Doisnamoradostantosseabraaramqueseparteocolardeprolasdamoa.Um terodasprolascaiunocho,umquintoficounosof,umsextofoiachadopela moaeumdcimofoiencontradopelomooeseisprolasficaramnofio.Quantas prolas tinham o colar? Resposta: 30 prolas MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES30 55.Umpaitemtrintaeseteanoseseu filhosete.Daquiaquantos anos, aidadedo pai ser o triplo da idade do filho? Resposta: 8 anos 56.A idade atual de um pai de 60 anos. Seus trs filhos tm, respectivamente, 7 anos, 11 anos e 16 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai ser igual soma das idades dos filhos? Resposta: 13 anos 57.Umfeirantedistribuiularanjasentretrsclientes,demodoqueoprimeirorecebea metadedaslaranjas,maismeialaranja;osegundoametadedaslaranjasrestantes, maismeialaranjaeoterceiroametadedesteltimoresto,maismeialaranja. Sabendo-sequenosobrounemumalaranja,calculeonmerototaldelaranjase quantas foram dadas a cada cliente. Resposta: 7 laranjas e cada um recebeu 4, 2, e 1 laranja. 58.Umaempresa,emViosa,deufriascoletivasaosseusempregados.Sabe-seque 48% dos empregados viajaram para o Rio de Janeiro, 28% viajaram para Belm e os 12restantesficaramemViosa.Nessascondies,quantosempregadostmessa empresa? Resposta: 50 empregados 59.Umtijolopesa1kgmaismeiotijolo.Quantoquilogramapesaessetijolo?Resposta:2 quilos. 60.Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-seoburrodeseurevoltantefardoquandoocavalolhedisse.Dequeti queixas? Se eu tomasse um saco dos teus, minha carga passaria a ser o dobro da tua. Poroutrolado,seeutedesseumdemeussacos,tuacargaigualariaaminha. Quantos sacos levavam cada um dos animais? Resposta: 7 levava o cavalo e 5 levava o burro SISTEMAS DE EQUAES DO PRIMEIRO GRAU Ossistemasdeequaesconsistememferramentasimportantesna Matemtica,elessoutilizadosparadeterminarosvaloresdexeynasequaescom duasvariveis.SuaperfeitaresoluoedesumaimportncianaMatemtica,Fsica, Qumica,Engenharia,etc.eprincipalmenteemAdministraonoclculodepontode equilbrio ou ponto de nivelamento. Exemplos de sistemas de equaes: a) = = +410y xy x b) = += +2 3 26 2y xy x MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES31 MTODOS PARA RESOLUO DE SISTEMAS DE EQUAES DO PRIMEIRO GRAU. Aresoluodossistemasconsisteemestabelecerumarelaoentreas equaes e aplicar tcnicas de resoluo. Os mtodos mais usados na resoluo de um sistema so: Mtodo da Substituio, Mtodo da Adio e Mtodo da Igualdade. Pode-se resolver sistemas de equaes pela Regra de Cramer, transformando asequaesemmatrizesecalculandoodeterminante,pormessemtodomais utilizado para sistemas que apresentam trs equaes com trs incgnitas. MTODO DA SUBSTITUIO Omtododasubstituioconsisteemtrabalharqualquerequaodosistema de forma a isolar uma das incgnitas, substituindo o valor isolado na outra equao. EXEMPLOS RESOLVIDOS Ex 7: Observe passo a passo a resoluo do sistema: = = +319 3 2y xy x 1 Passo: Nesse caso, vamos escolher a 2 equao e isolar a incgnita x. y x y x + = = 3 32Passo:Agora,substitumosovalordexpor3+yna1equao.( )552525 5 6 19 3 219 3 2 6 19 3 3 2 19 3 2= = + = + = + + = + + = +y y y y yy y y y y x 3 Passo: Para finalizar, calculamos o valor de x utilizando uma das equaes do sistema, de preferncia a que aparentemente apresentar ser de mais fcil resoluo.2 5 3 3 5 3 = + = = = x x x y xPortanto, a soluo do sistema x = 2 e y = 5, isto , o par ordenado (2, 5)OMtododaSubstituiodedifcilexecuoquandoasequaesno apresentamcoeficientesdevalorum,principalmentequandohumadificuldadeemse trabalhar com fraes. Ex 8: Vejamos o exemplo abaixo: = + = + +1 9 413 3 5y xy x Neste caso, da primeira equao podemos isolar o x e obtemos: MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES32 53 133 13 5 13 3 5yx y x y x= = = +Substituindo esse valor na segunda equao, obtemos: 1 9512 521 953 134 1 9 4 = ++ = + ||

\| = + yyyyy x1575752 5 57 5 57 5255545 12 52= = + = = + =+ + y y y yy y Na expresso 53 13 yx= , substituindo o y por 1, obtemos251051 . 3 13= = = x x xA soluo do sistema o par ordenado (2, 1). Parasistemasquenohcoeficientesdevalorum,omelhormtodoparaa resoluo o Mtodo da Adio. MTODO DA ADIO Omtododaadiodeveserutilizadonossistemasemqueexistea oportunidade de zerar uma das incgnitas. Ex 9: Observe a resoluo do sistema a seguir: = = +1210y xy x 1 passo: Somamos as equaes, eliminando uma das incgnitas e determinando o valor da outra incgnita. 22 0 21210= += = ++y xy xy x 1122222 2===xxx 2 Passo: Calculado o valor de x, basta escolher uma das equaes e substituir o valor de x por 11. 1 11 10 10 11 10 = = = + = + y y y y x

A soluo do sistema o par ordenado (11, 1). Paracasosquenopossvelzerarumadasincgnitasnaprimeirasoma, devemosutilizarumartifciousadonaresoluodesistemaslinearesqueconsisteem multiplicarosdoismembrosdeumaoudasduasequaesporumnmeroreale somarmos os membros correspondentes das equaes. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES33 EXEMPLOS RESOLVIDOS. Ex 10: Encontre o valor de x e y no sistema. = += 1 5 210 3y xy x Para eliminarmos a incgnita x devemos multiplicar a primeira equao por -2 e a segunda por 3, em seguida somar membro a membro as duas equaes. = + = ) 3 ( 1 5 2) 2 ( 10 3y xy x 1171717 173 15 620 2 6 = = = = + + = + +y y yy xy x Calculado o valor de y, basta escolher uma das equaes e substituir o valor de y por 1. ( ) 2399 3 1 10 3 10 1 3 10 1 3 10 3 = = = = = + = = x x x x x x y xA soluo do sistema o par ordenado (2, - 1) MTODO DA IGUALDADE OU COMPARAO Este mtodo consiste em isolar uma incgnita numa equao e a mesma incgnita na outra, depois basta igualar as duas,recaindo-se numa equao do 1 grau com uma nicaincgnita. Ex 11: Observe a resoluo do sistema a seguir: = += 34 2 31 3 2q pq p 1 passo: Vamos isolar o p na primeira e na segunda equao para podermosigualar as equaes. 23 13 1 21 3 2qpq pq p+=+ ==

32 342 34 334 2 3qpq pq p= == + 2 passo: Igualar as duas equaes para encontrar o valor de q. 5136565 13 3 68 4 9 4 68 9 332 3423 1= = = = + = + =+q q q q q q qq q 3 passo: Substituirq = 5 em 23 1 qp+= , para encontrar o valor de p. 821625 . 3 123 1= = += += p p pqpA soluo do sistema o par ordenado (8, 5) Todososmtodossoimportantesecadaumapresentaumavantagem,o importante saber armar o sistema e optar pelo mtodo mais rpido de resoluo. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES34 EXERCCIOS DE APLICAES 61.Resolva as seguintes equaes: a) = = +1 2 310 2y xy x b) = = +1 410 3 2n mn m c) == +73527y xy x d) ( ) ( )( ) ( )= + += + +9 2 5 1 84 2 3 1 5b ab a e) = += 5 , 3 3 , 08 , 5 4 , 0q pq p f) = += +2 3 26 2s rs r 62.Num depsito existem 24 extintores de incndio, sendo de espuma qumica e dixido de carbono. Sabendo-se que o de dixido de carbono o triplo do de espuma qumica, conclui-se que o nmero de extintores de espuma qumica existentes nesse depsito : Resposta: 6 extintores 63.A soma da minha idade com a da minha filha 72. Daqui a 3 anos a minha idade ser o dobro da idade da minha filha.A minha idade atual, em anos : Resposta: 47 anos 64.Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferena de nossas idades 23 anos, minha idade : Resposta: 46 anos 65.Umcopo cheio tem massa de 385g; com 32 de gua tem massa de 310 g.A massa do copo com 53 da gua : Resposta: 295 gramas 66.Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outrasdeR$5,00.CalculequantasnotasdeR$5,00a pessoa recebeu.Resposta: Recebeu 6 notas de cinco reais 67.Em um restaurante h 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas2pessoasnumtotalde38fregueses.Onmerodemesasocupadaspor apenas duas pessoas ? Resposta: 5 mesas 68.Um aluno ganha 5 pontos por exerccios que acerta e perde 3 por exerccio que erra. Aofimde50exerccios,tinha130pontos.Quantosexercciosacertou?Resposta:35 exerccios 69.LuseMariaresolveramcompararsuascoleesdeCDs.Descobriramquetmao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplodo nmero de CDs doLus. possvel afirmar que a quantidade de CDs que Lus possui : Resposta: 23 cds MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES35 70.Emumrestauranteexistemmesasde3,4e6cadeirasnumtotalde16mesas. Ocupandotodososlugaresnasmesasde3e4cadeiras,36pessoasficam perfeitamenteacomodadas.Sabendo-sequeorestauranteacomodanomximo72 pessoas,quantasmesasde3,4e6cadeiras,respectivamente,existem?Resposta:4 mesas com trs lugares, 6 mesas com quatro lugares e 6 mesas com seis lugares. 71.Umjogadordebasquetefez oseguinteacordocomseuclube:cadavezqueele convertesse um arremesso, receberiaR$ 10,00 do clube e cada vezque ele errasse pagariaR$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeuR$50,00.Pode-seafirmarqueonmerodearremessosconvertidospelo jogador foi: Resposta: 10 arremessos 72.Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veculos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia? Resposta: 23 motos e 77 carros. 73.Numa lanchonete,2copos de refrigerantes e 3 coxinhas custam R$ 5,70. Opreo de 3coposderefrigerantese5coxinhasR$9,30.Nessascondies,verdadeque cada copo de refrigerante custa Resposta: R$ 0,90 as menos que cada coxinha 74.Em um terreiro h galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 ps. Quantas so as galinhas e os coelhos? Resposta: So 5 galinhas e 18 coelhos 75.Numescritriodeadvocaciatrabalhavamapenasdoisadvogadoseumasecretria. ComoDr.AndreDr.Carlossempreadvogamemcausasdiferentes,asecretria, Cludia, coloca um grampo em cada processo do Dr. Andr e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenci-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que ao todo so 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o nmero de processos do Dr. Carlos igual a: Resposta: 40 processos. 76.Considereumarvorecomggalhoseumbandodeppssaros.Casopousem2 pssaros em cada galho, sobrar um galho vazio; caso pouse apenas um pssaro em cada galho, sobrar um pssaro sem ter galho para pousar. Quantos so os galhos (g) e pssaros (p)? Resposta: 3 galhos e 4 pssaros 77.Umafbricaderefrigerantesproduzrefrescosdeguarannasversestradicionale diet. Os bares vendem os tradicionais por R$ 1,00 e os diet por R$ 1,25. Ao final do dia haviamsidovendidos2.000refrigerantes,comumfaturamentodeR$2.100,00. Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas. Resposta: Foram 1.600 tradicionais e 400 diet. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES36 78.A Transportadora Ruas precisa mover 140 toneladas de mercadorias. Fazem parte de seu quadro de funcionrios 10 motoristas qualificados e dois tipos de caminhes. Um tipopodetransportar25toneladaseooutrotipopodetransportarsomente15 toneladas.Devidoaumaexignciadosegurocaminhesde25toneladasde capacidade devem ter dois motoristas na cabine durante o transporte. Caminhes com capacidadede15toneladasprecisamdeapenasummotoristanacabine.Determine quanto caminho de cada tipo devem ser usados para mover a terra em uma viagem utilizandotodososmotoristasdisponveis.Resposta:doiscaminhesde25toneladaseseis caminhes de 15 toneladas. INEQUAES DO PRIMEIRO GRAU Em sua definio mais simples e compreensvel, pode ser definida como toda e qualquersentenadamatemticaqueabertaporumsinaldedesigualdade.As inequaes do primeiro grau apresentam as seguintes formas: 0 . > +b x a 0 . < +b x a 0 . +b x a 0 . +b x a

0 . +b x a Sendoque:aeb,sonmerosreaisediferentesdezero(aeb0), respectivamente. Exemplos: 0 3 . 4 > + x 0 10< x 0 12 3 + x 0 8 6 + x

0 25 5 + x SOLUO DE INEQUAES DO 1 GRAU Nas inequaes do primeiro grau que estejam na forma a.x + b > 0, tem-se o objetivodeseapurarumconjuntodetodosequaisquerpossveisvaloresquepossam assumirumaoumais varivelqueestejamenvolvidasnasequaespropostano problema. Umamaneirasimplesderesolverumainequaodo1gr auisolarmosa incgnitaemumdosmembrosdadesigualdadeerealizarmosasoperaesque aparecerem. EXEMPLOS RESOLVIDOS. Ex 12: Determinetodosospossveisnmerosinteirosparaosquaissatisfaaa inequao: MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES37 2488 0 4 0 8 . 4 > > > > + x x x xApsfazerosdevidosclculosdainequaoacima,pode-seconcluirqueasoluo apresentada formada por todos os nmeros inteiros maiores que - 2. Ex 13: Encontre os valores de x que satisfazem a inequao20 3 8 < + x x621212 2 8 20 3 20 3 8 < < < + < < + x x x x x x x Ex 14: Vamos resolver a inequao( ) 45 5 6 3 + x x( ) ( )531515 31 15 3 5 1 6 3 45 30 6 3 45 5 6 3 + + + + + +x x xx x x x x x x Eminequaes,quandomultiplicamospor-1,devemosinverterosinalda desigualdade. EXERCCIOS DE APLICAES 79.Resolva as seguintes inequaes: a)17 3 2 xb)( ) ( ) ( ) 1 5 4 2 5 3 4 7 2 3 + + + + x x xc)( ) ( ) 9 5 2 1 7 9 < x xd) 1513 3015 15 +x x x e)8 7 4 > + x xf)800 3 700 8 < + x xg)x x 5 8 6 > + h) 587 29 3++xx 80.Duaspequenas fbricasdecalados,A eB,tm fabricado,respectivamente,3.000e 1.100paresdesapatosporms.Se,apartirdejaneiro,afbricaAaumentar sucessivamenteaproduoem70parespormseafbricaBaumentar sucessivamente a produo em 290 pares por ms, a produo da fbrica B superar a produo de A a partir de: Resposta: Setembro 81.Quantos nmeros inteiros e positivos satisfazem a inequao037 22+x x? Resposta: 2 82.Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a Empresa de Correios eTelgrafos(ECT)cobraR$1,37pelaprimeirapginaeR$0,67porpginaquese segue,completaouno.Qualonmeromnimodepginasdeumadessas mensagens para que seu preo ultrapasse o valor de R$ 10,00? Resposta: 14 83.Umhoteltemacomodaespara50hspedes.CadahspedegastaR$40,00em acomodaes por dia. Sabe-se que 40% dos hspedes utilizam o restaurante do hotel MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES38 e gastam em mdia R$ 10,00 por pessoa. a)QuantoshspedesohoteldeverabrigarparaterreceitadiriadenomnimoR$ 1.000,00. Resposta: no mnimo 23 hspedes. b)Quantos hspedes o hotel dever abrigar para que a receita diria esteja entre R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00? Resposta: 35 < x < 45 84.Trs nmeros so inteiros tais que o primeiro o dobro do segundo e o terceiro dez a mais que o segundo. Sabe-se que a soma dos dois primeiros maior que o terceiro. Se o segundo nmero menor que sete, ento a soma dos trs nmeros : Resposta: 34 85.Considere o problema: Em um cofre existem apenas moedas de 50 centavos e de 10 centavos, num total de 60 unidades. Se a quantia Q (em reais) existente no cofre tal queR$24,00 0; - Coeficiente angular a = 2; - Coeficiente linear b = 1; - Raiz da funo 0,5, - A funo decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular a = -1; - Coeficiente linear b = 2; - Raiz da funo 2, Estudo do SinalEstudo do Sinal MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES54 f(x) < 0{x R | x > 0,5} f(x) = 0{x R | x = 0,5} f(x) > 0{x R | x < 0,5} f(x) < 0{x R | x > 2} f(x) = 0{x R | x = 2} f(x) > 0{x R | x < 2} FUNO LINEAR Uma funo do primeiro grau chamada de funo linear se sua sentena for dada por f(x) = a.x, sendo a 0 e b= 0: Exemplos de Funo Linear f(x) = 5x f(x) = -x f(x) = - 4x f(x) = - 8x Grfico da Funo Linear a > 0f(x) =3.x a < 0f(x) =- 3.x xy -1-3 00 13 26 y = 3x-4-20246810-2 -1 0 1 2 3 4xy xy -13 00 1-3 2-6 y = -3x-10-9-8-7-6-5-4-3-2-101234-2 -1 0 1 2 3 4xy Caractersticas da Funo Linear - A funo crescente, pois a > 0;- Coeficiente angular a = 3; - Coeficiente linear b = 0; - Raiz da funo 0, - A funo decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular a = -3; - Coeficiente linear b = 0; - Raiz da funo 0, Estudo do SinalEstudo do Sinal - - - - - - - +++++++ 2 x - - - - - - - 21 x +++++++ MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES55 f(x) < 0{x R | x > 0} f(x) = 0{x R | x = 0} f(x) > 0{x R | x < 0} f(x) < 0{x R | x > 0} f(x) = 0{x R | x = 0} f(x) > 0{x R | x < 0} FUNO CONSTANTE Uma funo do primeiro grau chamada de funo constante se sua sentena for dada por f(x) = b , sendo a = 0 e b 0: Exemplos de Funo Constante. f(x) = 5f(x) = - 8f(x) = - 4f(x) = 10 Grfico da Funo Constante a > 0f(x) = 2 a < 0f(x) =- 3 Xy -12 02 12 22 xy -1-3 0-3 1-3 2-3 Caractersticas da Funo Constante - A funo constante, pois a = 0;- Coeficiente angular a = 0; - Coeficiente linear b = 2; - No existe raiz da funo, - No h estudo do sinal da funo. - A funo constante, pois a = 0; - Coeficiente angular a = 0; - Coeficiente linear b = -3; - No existe raiz da funo, - No h estudo do sinal da funo. - - - - - - - +++++++ 0 x - - - - - - - 0x +++++++ MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES56 Tome Nota: Uma funo crescente quando aumentando os valores de x, aumenta os valores de y. Apresenta coeficiente angular positivo. a > 0 Uma funo decrescente quando aumentando os valores de x, diminui os valores de y. Apresenta coeficiente angular negativo. a < 0 EXERCCIOS DE APLICAES 130. NafunodeRR,definidapor( ) 15 5 = x x f ,determineovalordeA= 6) 29 ( ) 23 ( f f . 131. Considere a funo f: IR IR definida por( ) 3 4 = x x f , determine: a)Verifique se a funo crescente ou decrescente. b)A Raiz da funo; c)O ponto onde a funo intersecta o eixo y; d)O grfico da funo; e)Faa o estudo do sinal; 132. Construa o grfico da funo dada por( ) 3 2 + = x x fxy 0 1 2 3 133. O grfico seguinte representa uma funo. Indique suas caractersticas. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES57 -3-2-101234567-3 -2 -1 0 1 2 3 134. Construir a representao grfica das funes abaixo. a)( ) x x f + = 1b)( ) x x f 5 =c)( ) 2 4 = x x fd)( ) x x f 3 =e)( ) 15 = x ff)( ) 7 = x fPROBLEMAS ENVOLVENDO FUNES DO PRIMEIRO GRAU Do que foi exposto no conceito de funo at agora, deve ter ficado claro que: Toda funo um conjunto de pares ordenados (x, y), Osvaloresdexapareceumanicavez,eemconseqncia,temapenasuma imagem. svezesoconjuntododomniotemumainfinidadedeelementos, inviabilizandoaapresentaodetodososparesdafuno.Nestecasoparadefinirmos uma funo devemos estabelecer uma regra ou uma lei que nos permite identificar todos os valores da imagem de cada elemento do domnio. Destacamosaseguiralgumasmaneirasdeseencontraressaregraouleida equao. 1.DETERMINAR O PONTO DE INTERSECO CONHECENDO DUAS RETAS O ponto de interseco de duas retas fornece o mesmo valor de x e o mesmo valordeyparaambasasretas.Graficamenteopontoondeasduasretasse encontram. No grfico abaixo vemos que o ponto P(4, 5) pertencem tanto a reta azul como a reta vermelha, sendo portanto, o ponto de interseco das retas. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES58 Paradeterminaropontodeintersecodeduasretas,podemosutilizaro mtodo da igualdade para sistemas de equaes com duas incgnitas ou transformar as equaesdadasemsistemasdeequaeseresolv-lopelomtododasubstituioou adio. EXEMPLO RESOLVIDO Ex 18: Obtenha o ponto de interseco das retas: y = - x + 9 e y = 0,5x - 3 Resoluo: Utilizando o mtodo da igualdade, temos: 45 , 166 5 , 1 3 9 5 , 0 9 3 5 , 0 9 = = = = + + = + + = x x x x x x x ySubstituindo o valor x = 4 em uma das equaes temos:5 9 4 9 = + = + = y y x yPortanto o ponto de interseco entre as duas retas P (4, 5). EXERCCIOS DE APLICAES 135.Dadas s funes( ) 4 + = ax x fe( ) 1 + = bx x g , calcule a e b de modo que os grficos das funes se interceptem no ponto M(1, 6). 136.Calcular o ponto de interseco das retas. a)5 2 + = x ye 723 = x yb)x y 6 5 + =ex y 4 =c)x y 5 , 0 100 =e50 2 = x yd)x y 2 , 0 12 =e3 6 , 0 = x ye)5 2 + = x ye10 4 + = x y MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES59 137.Determinar o ponto de interseco das funes( ) x x f 4 =e( ) x x g 2 50 + = 138.Chama-sepontodeequilbriodemercadoopontodeintersecoentrearetada equaodaOfertaearetadaequaodaDemanda.Considereafunode demandadeumprodutodadapor10 002 , 0 + = x p eafunodaofertadadapor 4 005 , 0 + = p , determine o ponto de equilbrio. 139.Umapessoavaiescolherumplanodesadeentreduasopes:Unidoctore Palmeiras Sade. A funo que d o valor total gasto do plano Unidoctor ( ) x x C 45 120 + =A funo que d o valor total gasto do plano Sade Verde ( ) x x C 35 200 + =Determine em que condies os dois planos so equivalentes. 140.Chama-se ponto critico ou ponto de nivelamento o ponto de interseco entre a reta daequaodoCustoTotalearetadaequaodaReceita.Considereafunodo Custo Total de um produto dada por( ) x x C 100 500 . 1 + =e a funo da Receita dada por ( ) x x C 120 = , determine o ponto de nivelamento para essa situao. 2.DETERMINAR O PONTO DE INTERSECO DAS RETAS CONHECENDO DOIS PONTOS OU O GRFICO Comojsabemos,umafunodoprimeirograudefinidapory=a.x+b. Portando,paraencontraraequaoconhecendodoispontosouogrficodafuno devemos identificar os valores do coeficiente angular a e o coeficiente linear b. Observe o grfico abaixo: Ocoeficienteangularaatangentedoangulo ,ouseja: Adjacente CatetoOposto Catetotg = MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES60 Portanto para encontrar o valor do coeficiente angular de uma reta a partir das coordenadas de dois de seus pontos fazemos: Adjacente CatetoOposto Catetoa = 1 21 2x xy ya=Paraencontrarovalordocoeficientelineardeumaretaapartirdas coordenadas de dois de seus pontos fazemosx a y b . = , onde x e y so as coordenadas de um dos pontos e a o coeficiente angular calculado anteriormente. EXEMPLOS RESOLVIDOS Ex 19: Obter uma funo a partir dos pontos A(1, 2) e B(2, 7), ou seja, f(1) = 2 e f(2)Resoluo: Fazendo x1 = 1, x2 = 2, y1 = 2 e y2 = 7. Calculo do Coeficiente angular aClculo do Coeficiente Linear b 51 22 71 21 2= = = a ax xy ya3 1 . 5 2 . = = = b b x a y bSubstituindo os valores encontrados na equao y = a.x + b, obtemos a funo procurada: 3 . 5 3 . 5 ) ( = = = x y ou x x f Ex 20: O dono da Pizzaria gua na Boca verificou que quando o preo de uma pizza R$ 20,00,sovendidas150pordia.SeopreoaumentarparaR$22,00ototalde pizzas vendidas cai para 130 unidades por dia. Nessas condies determine: a)A Funo Demanda que relaciona o preo y das pizzas em funo da quantidade x de unidades vendidas. b)O preo necessrio para que sejam vendidas 200 pizzas por dia. c)Quantas unidades so vendidas quando o preo for de R$ 25,00? Resoluo: a)Calculo da Funo Demanda xy x1 15020y1 x2 13022y2 Calculo do Coeficiente angular aClculo do Coeficiente Linear b 1 , 0202130 15020 221 21 2 = == =a aax xy ya ( )35 15 201 , 0 . 150 20 .= + = = =b bb x a y b MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES61 Substituindoosvaloresencontradosnaequaoy=a.x+b,obtemosafuno procurada:35 . 1 , 0 35 . 1 , 0 ) ( + = = + = x y ou x x fb)Comojsabemosafunoquerelacionaopreodevendaemfunoda quantidade x, fazemos: 15 35 20 35 200 . 1 , 0 35 . 1 , 0 = + = + = + = y y y x yc)Paraencontraraquantidadevendida,substitumosovalordeypelopreo sugerido, ento: 1001 , 01010 1 , 0 25 35 1 , 35 . 1 , 0 25 35 . 1 , 0 = = = + = + = + = x x x x x x y EXERCCIOS DE APLICAES 141.Determineocoeficienteangulareocoeficientelineardaretaquepassapelos pontos. a)A(3, 2) e B( -3, -1) b)C(1, 2) e D( 3, 8) c)E(-3, -5) e F( -1, -0) d)G(200, 100) e H( 300, 80) e)P(0,2; 4) e Q( 0,5, 8) 142.O dono da Panificadora Soneca verificou que quando o preo de um po R$ 0,30, so vendidas 1.500 unidades por dia. Se o preo aumentar para R$ 0,40 o total de pes vendidos cai para 1.300 unidades por dia. Determine a funo que relaciona o preo y dos pes em funo da quantidade x de unidades vendidas. 143.Escrever a equao da reta que contm os pontos: a)P = (0, 0) e Q = (2, 4) b)P = (0, 3) e Q = (8, 3) c)P = (1,5; 4) e Q = (2, 6) d)P = (2, 10) e Q = (8, 1) e)P = (2, 20) e Q = (8, 50) 144.Escreva a funo afim f(x) = a.x + b, sabendo que: a)f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b)f(-1) = 7 e f(2) = 1 c)f(1) = 5 e f(-2) = - 4 145.A reta, grfico de uma funo afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa funo e calcule f(16). MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES62 146.Dada a funo y = (a.x + 2), determine o valor de a sendo y = 4 e x = 22. 147.Determine a lei da funo cuja reta est representa no grfico abaixo: 148.Determine a lei da funo cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique: a)Se a funo crescente ou decrescente; b)A raiz da funo; c)O grfico da funo; d)Calcule f(-1). 149.Dada a funo y = a.x + b e sabendo-se que para y = 3 tem-se x = 5 e para y = -2 tem-se x = -5 calcule qual ser o valor de x para y = 5. 150.Um vendedor recebe mensalmente um salrio composto de duas partes: uma parte fixa,novalordeR$1.000,00eumapartevarivelquecorrespondeacomissode 12% do total das vendas que ele faz durante o ms. a)Expressar a funo que representa seu salrio mensal. b)Calcule o salrio mensal do vendedor, sabendo que a venda foi R$ 10.000,00 em produtos. c)Determine a quantidade vendida sabendo que o valor recebido foi de R$ 3.500,00 151.DadososgrficosdasfunesdeRemR,escrevaafunof(x)=a.x+b correspondente. a)b)c) MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES63 3. REGRESSO LINEAR Anlise de regresso uma tcnica de modelagem utilizada para analisar a relao entre uma varivel dependente (y) e uma ou mais variveis independentes x1, x2, x3,..., xn. O objetivo dessa tcnica identificar (estimar) uma funo que descreve, o mais prximo possvel, a relao entre essas variveis e assim podermos predizer o valor que a varivel dependente (y) ir assumir para um determinado valor da varivel independente x. Exemplosderelaoentrevariveissooconsumoemrelaotaxade inflao; a produo de leite e temperatura ambiente; a resistncia de um material e sua composioqumica;onmerodepeascomdefeitoseamanutenodasmquinas; receita e gasto com publicidade e etc. Umaaplicaomuitocomumenvolvendoregressolinearaproximarum conjunto de pontos por uma reta e escrever a funo que a define. Suponhaqueumaempresaanotediariamenteaquantidadevendidadeum produto conforme a tabela abaixo. Dias (x)12345 Quantidade Vendida (y)2024303244 O grfico dos valores observados , ento: MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES64 0510152025303540450 1 2 3 4 5 6 Podemosperceberpelogrficoqueospontosnopertencemmesmareta, porm,elesestomuitoprximosdeuma, oquenosdapossibilidadedepassaruma retaentreospontosparaobservarocrescimentodasvendasepreveroquedever ocorrer nos prximos dias, isto , fazer uma estimativa das vendas para o dia seguinte. A reta y = a.x + b que melhor aproxima esse conjunto de pontos chamada de reta de regresso e calculada atravs do Mtodo dos Mnimos Quadrados. (MMQ) O valor de a calculado pela expresso: 2_2_ _.. . .||

\| =x n xy x n y xaO valor de b calculado pela expresso _ _. x a y b = , onde: y x. : a soma dos produtos de x pelo respectivo y n: o nmero de pontos ou observaes _x : a mdia aritmtica dos valores de x, ou seja, nxx=_ _y : a mdia aritmtica dos valores de y, ou seja, nyy=_ 2x : a soma dos quadrados dos valores de x observados Para facilitar os clculos conveniente colocar os dados em uma tabela, para aferir os valores que iro compor a frmula. xyx.yx2 MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES65 x1y1x1.y1 x12 x2y2x2.y2 x22 x3y3x3.y3 x32 x4y4x4.y5x42 xnynxn.yn xn2 xyx.yx2 EXEMPLO RESOLVIDO Ex 21: Determine a funo que melhor aproxima o conjunto de pontos: Dias (x)12345 Quantidade Vendida (y)2024303244 Resoluo: xyx.yx2 12020 1 22448 4 33090 9 43212816 544220 25 x = 15y = 150x.y = 476x2 = 55 Clculo das mdias: 3515_ _ _= = = x xnxx 305150_ _ _= = = y ynyy

Substituindo esses valores na frmula, obtm-se: 6 , 2102645 55450 4763 . 5 5530 . 3 . 5 476.. . .2 2_2_ _= == = ||

\| = a a a ax n xy x n y xa2 , 22 8 , 7 30 3 . 6 , 2 30 ._ _= = = = b b b x a y bLogo a funo que melhor aproxima o conjunto de pontos y = 2,6x + 22,2 Comafrmulapodemosfazerumaprojeoparaodiaseguinte,fazendox=6, temos que: 8 , 37 2 , 22 6 , 15 2 , 22 6 . 6 , 2 2 , 22 6 , 2 = + = + = + = y y y x yMATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES66 EXERCCIOS DE APLICAES 152.Calcule a equao da reta que melhor aproxima o conjunto de pontos: a)P = (0, 0); Q = (2, 4); R = (3, 7); S = (4, 10) b)P = (1, 3); Q = (2, 6); R = (4, 10); S = (5, 9) c)P = (200, 150); Q = (220, 180); R = (250, 210); S = (280, 220); T = (290, 250) d)P = (1500, 2000); Q = (1800, 1800); R = (2100, 1500); S = (2300, 1400); T = (2900, 1300) 153.Suponhaumfabricantequegastaumvalorfixoparaaconfecodefrascosde vidroeumvalorvarivelparaaproduodecada frasco.Vendoqueosvaloresno obedeciamaumalinearidade,foielaboradaumasentenamatemticacombasena tabelaaseguir.Nessascondiesqualasentenamatemticaquemaisaproxima esse conjunto de pontos? x = quantidade151825314054607986 y = custo15,0019,0030,0042,0052,0068,0079,0091,00101,00 154.Emumadeterminadaregiodopasforamcoletadososndicespluviomtricosea produo de leite do tipo C. Sabendo-se que existe uma previso para o prximo ano de um ndice pluviomtrico de 24 mm determine ento a produo estimada de leite dessa regio. ndice Pluviomtrico (x)23212827232827222625 Produo em 106 (y)26253129273132283030 155.Ummotoristaanotouosvalorescobradosparaalgunsquilmetrospercorridos conforme a tabela: x = km percorrido1015172040455260 y = valor cobrado12,5014,0017,0021,0050,0060,0071,0079,00 a)Qual a equao da reta que melhor aproxima o conjunto de pontos anotados? b)Qual a previso de cobrana para 30 e 100 quilmetros? c)Quanto quilmetro ter percorrido o txi para que o valor pago seja R$ 90,00? d)Quanto quilmetro ter percorrido o txi para que o valor pago seja R$ 120,00? 156.Sejaxoinvestimentoempublicidadeeyolucroparaumacertaempresanoano. Tem-se a tabela seguinte em que os valores de x e y esto em dezenas de milhares de reais. Determine a equao da reta que melhor aproxima esse conjunto de pontos Y50408010012090150140 Y5004007509001.3008001.5001.600 MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES67 4. FUNO DEFINIDA POR VRIAS SENTENAS Uma funo, f de R em R, pode ser definida por uma lei de formao, formada pormaisdeumasentena.NumsubconjuntoD1dodomnio eladadaatravsde uma sentena, em outro subconjunto D2, ela definida por outro lei, e assim sucessivamente. Vejamos a seguinte situao. Umrecipientecontendoumabarradegelo a 40colocadosobreachama de um fogo. Nessas condies, o grfico abaixo mostra-nos a evoluo da temperatura da gua em funo do tempo. Observe, por esse exemplo, que o grfico definido por trs sentenas. Paraointervalode2 0 < x minutosogrficoassumeumaleideformao, paraointervalode10 2 < x minutosumafunoconstanteede20 10 < x minutos temos novamente uma funo afim, definida por outra lei de formao. Porvezesosfenmenosestudadossecomportamdemaneirasdiferentesem diferentes estgios de sua observao, o que nem sempre possvel definir uma funo atravs de uma nica sentena. EssasfunessofreqentementeestudadasnaFsica,naBiologia,na Qumica, na Economia, na Estatstica, etc. Exemplos de funes definidas por vrias sentenas: a) > + +=2 , 32 , 1) (x se xx se xx f b) +=impar for x se xpar for x se xx f, 3, 5 2) ( EXEMPLO RESOLVIDO. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES68 Ex 22: Considere a funo f(x) definida por < < + < +=7 , 35 2 , 3 23 , 5 3) (x se xx se xx se xx fCalcule o valor de:a)f (8) b)f (- 4) c)f (3) d)f (7) Resoluo: Clculo de f(8). Como 8 > 7, usamos a terceira sentena f(x) = -x - 3. ( ) ( ) ( ) 1 1 8 3 8 8 3 = = = f f x x fClculo de f(-4). Como - 4 < - 3, usamos a primeira sentena f(x) = 3x + 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 4 5 12 4 5 4 . 3 4 5 3 = + = + = + = f f f x x fClculo de f(3). Como 2 < 3 < 5 usamos a segunda sentena f(x) = 2x + 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 9 3 3 6 3 3 3 . 2 3 3 2 = + = + = + = f f f x x fClculo de f(7). Como 7 7 usamos a terceira sentena f(x) = - x- 3. ( ) ( ) ( ) 10 7 3 7 7 3 = = = f f x x f EXERCCIOS DE APLICAES 157.DadaafunofdeRemRdefinidapor( )=racional for x seirracional for x sex f1, 2determineo valor da expresso: ) ( ) 4 () 7 ( ) 3 ( ) 9 ( f ff f fE +=158.Construa o grfico da funo definida por: < < + =2 , 22 2 ,2 , 1) (x sex se xx se xx f159.A temperatura de um forno de uma olaria varia linearmente de 20 0 C a 500 0 C de zero minutos a 15 minutos, a partir da, at 30 minutos sua temperatura permanece constanteedepoisvoltaaesfriar.Determinealeiqueexpressaatemperaturado forno em funo do tempo. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES69 160.Considere a funo cujo grfico est representado a seguir e calcule: a)f (10)b)f (30)c)f (x) = 400 161.Em um aougue o preo do quilograma de um tipo de carne R$ 4,00. Durante certo perodo foi feita a seguinte promoo: Na compra de uma quantia entre 3 kg e 5 kg, desconto de R$ 1,00 no total. Na compra de 5 kg ou mais, desconto de 10% no total. a)DetermineaequaodaquantiaQaserpagaemfunodaquantidadexde quilogramas comprados nos dois casos. b)Determine a quantia a ser paga na compra de 2 kg, 4 kg e 5 kg. c)Determine a quantidade que se pode comprar com R$ 17,00. 162.Dadaafunof(x)definidapor: < < + < +=7 , , 35 2 , 3 23 , 5 3) (x se xx se xx se xx f determineovalorda expresso: ) 5 ( ) 4 () 3 ( . 2 ) 4 ( ) 8 ( +=f ff f fR163.O grfico abaixo representa a relao entre a ingesto de certo remdio em mg/dia, e sua absoro pelo organismo, tambm em mg/dia. a)Determineaquantidadeabsorvidapeloorganismoquandosoingeridas10 mg/dia. b)Aabsororesultantedaingestodemaisde20mg/diaeigualabsoro MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES70 resultante da ingesto de 20 mg/dia? 164.Um fsico aqueceu certa quantidade de gua at ela comear a ferver. Seu objetivo eraestudaravariaodetemperaturadesseliquidoemfunodotempode aquecimento.Paratanto, acada minuto,elemergulhavaumtermmetronagua e liaatemperatura,Procedendoassim,construiuogrficoaseguir,querelacionaa temperaturaT(emgrausCelsius)eotempot(emminutos).Determineafuno descoberta pelo fsico. 165.Dadaafunof(x)definidapor: > + +< +=6 , , 36 3 , 33 , 5) (x se xx se xx se xx f determineovalorda expresso: ) 7 ( ) 4 () 3 ( ) 7 ( ) 2 (f ff f fR++ +=166.Suponhaqueoconsumonormal dirio deenergiadeum trabalhadorsejade 2.100 kcalequeototaldecaloriascorrespondentesaosalimentosingeridosqueexcede essevalorsejaarmazenadonoorganismo,naformadegordura.Ogrficoabaixo representa a evoluo da massa corporal, em kg, desse indivduo em um perodo de MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES71 660 dias. Observando o grfico e atento aos detalhes da questo, faa o que se pede nos itens. a)Determine a funo cujo grfico corresponde ao perodo 1. b)Determineafunocujogrficocorrespondeaoperodo3edescubraquanto temposepassaratoindividuovoltarater70kgconsiderandoqueataxade variao da massa em relao ao tempo continue a mesma. 167.OgrficomostraarelaoentreoespaoSpercorridoeotempotgastoporum motoristaemumaviagem.Noeixohorizontalestrepresentadootempo(t),em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distncia (S) percorrida, em quilmetros. Observando o grfico, voc poderia dizer que esse motorista ficou parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas horas esse motorista permaneceu parado? FUNES DO PRIMEIRO GRAU NA ECONOMIA Funes de Oferta e Demanda do Primeiro Grau Uma das definies de "curva de demanda" (procura) a seguinte: "A curva de MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES72 demanda uma construo terica que nos diz quantas unidades de um determinado bem deconsumoosconsumidoresestarodesejososdecomprar,duranteumperodode tempo, a todos os possveis preos, presumindo-se que os gostos dos consumidores, os preos das outras mercadorias e as rendas dos consumidores se mantenham inalterados". Ex: No vero h grande demanda por cerveja; Namesmalinha,acurvadeoferta"umaconstruotericaquenosdiz quantasunidadesosprodutoresdeumamercadoriaemdeterminadaindstriaesto dispostos a vender em um certo perodo de tempo. Ex: Na pscoa h uma grande oferta de ovos de chocolate. Na prtica, algumas curvas de oferta e demanda so aproximadamente lineares nafaixadevaloresqueinteressa;outrassono-lineares.Noentanto,mesmonesses casos,asequaeslinearespodemoferecerrepresentaesdeofertaedemanda razoavelmente precisa dentro de uma faixa limitada. AfiguraAmostraarepresentaodeumaequaodademandaeafiguraB mostra a representao de uma equao da oferta. a) b) CURVA DE DEMANDA LINEAR Definio:Quantidadedemercadoriaouservioqueumconsumidorou conjunto de consumidores esto dispostos a comprar, a determinado preo: MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES73 Ogrficoaoladorepresentao comportamentodademandaemrelaoaum produtogenrico.Quandoopreoestemum nvelelevado,ademandapeloproduto menor,ouseja,umaboapartedos consumidoresnoestdispostaaadquiriro produto a este nvel de preo. No grfico, ao preo de R$ 10,00 teremos somente 8.000 quilos vendidos.Se o preo est em um nvel mais baixo, a demanda pelo produto ser maior, pois mais consumidores estaro dispostos a adquirir o produto quele nvel de preo. Nota-se no grfico que ao preo de R$ 4,00 haver 15.000 quilos vendidos. Estecomportamentodademandadevidosdiferentesrestries oramentriasdosconsumidores,emoutraspalavras,cadaconsumidorpossuium determinadonvelderenda,maiselevadooumaisbaixo,e,portanto,seuconsumose dar de acordo com esta renda. Por isso, o consumidor que possui uma renda mais alta continuaradquirindooprodutomesmoaumpreoelevado,masaquelequepossui rendamaisbaixa,estarimpossibilitadodeadquiriroprodutoparanoprejudicaroseu oramento; ocorre uma queda da demanda. Quandoopreocai,osconsumidoresdebaixarendavoltamaadquiriro produto e h um aumento da demanda. Exemplo:SeacarnebovinaestivercompreomdiodeR$10,00oquilo,muitos consumidores no podero consumi-la, e passaro, desta forma, a consumir outro tipo de alimento, tais como carne de frango, peixes, ovos, etc., com isso, haver uma queda na demanda por carne bovina devido ao preo elevado. Mas,seopreomdiodacarnebovinacairparaR$4,00oquilo,vrios consumidoresvoltaroacomprarcarnebovina,conseqentementehaverumaumento na demanda por carne bovina. Normalmente, a declividade de uma curva de demanda linear negativa, isto , medida que o preo aumenta, a quantidade procurada diminui (e medida que o preo diminui,aquantidadeprocuradaaumenta),isto,afunodedemandalinear geralmente decrescente. Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula. Isto , o preo constante, independentemente da demanda. Em outros casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser indefinida, isto , a procura constante, independentemente do preo. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES74 Noscasosemqueafunodademandanegativaimportantedeterminar sua equao para fazer conjecturas e poder prever o comportamento do mercado. EXEMPLO RESOLVIDO Ex 23: Emumgrandefrigorficoverificou-sequequandoopreodoquilodacarnede dezreis,9.000quilosdoprodutosovendidosnasemana.Seopreoabaixar paraquatroreais,15.000quilosdoprodutosovendidosporsemana.Nessas condies determine: a)A equao da demanda admitindo que seja uma funo do primeiro grau. Resoluo: Comoafunodoprimeirograudotipo,p=a.q+b,temosquecalcularo coeficiente angular a e o coeficiente linear b. O Coeficiente angular dado por: 001 , 0000 . 66000 . 9 000 . 1510 41 21 2 = = = = a a ax xy yaO coeficiente linear dado por: 19 9 10 000 . 9 ). 001 , 0 ( 10 . = + = = = b b b x a y bAssimaequaodademandap=-0,001q+19,ondepopreoeqa quantidade vendida. b)Quantos quilos do produto so vendidos se o preo for de R$ 7,00. Substituindo o valor do preo na equao da demanda encontrada, fica: 000 . 12001 , 0127 19 . 001 , 0 19 . 001 , 0 7 19 . 001 , 0 = = + = + = q q q q pc)A que preo o frigorfico ter uma venda de 10.000 quilos de carne. Substituindo o valor da quantidade na equao da demanda encontrada, fica: 9 19 10 19 000 . 10 . 001 , 0 19 . 001 , 0 = + = + = + = p p p q pEXERCCIOS DE APLICAES MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES75 168.Numa relojoaria 10.000 relgios so vendidos quando seu preo R$ 60,00 e 20.000 relgios so vendidos quando seu preo R$ 40,00. Qual a equao da demanda, sabendo que ela linear? Esboce o grfico dessa funo. 169.QuandoopreoR$90,00nenhumrelgiovendido;quandoosrelgiosso liberadosgratuitamente,30.000soprocurados.Qualaequaodademanda sabendo que ela linear? Esboce seu grfico. 170.Umcertoprodutotemequaodedemanda2q+4p6=0,ondepopreo unitrio e q o nmero de milhares de unidades. Determine o preo por unidade para uma demanda de 1.000 unidades e determine a demanda se o produto for oferecido gratuitamente. 171.Num estacionamento pra automveis, o preo por dia de estacionamento R$ 20,00 eaessepreoestacionam50automveispordia.Oproprietrioacreditaque,se reduziropreoem20%terumaumentode25%nonmerodeautomveis estacionados. Admitindo linear a curva de demanda obtenha a sua equao. 172.Ogrficoabaixorepresentaafunodedemandadeumprodutoemfunoda quantidadevendidaq.QuantasunidadessovendidasquandoopreofordeR$ 6,00? 173.Uma locadora verificou que, quando o preo unitrio de cada dvd era de R$ 4,00 o nmerodedvdalugadosera170porsemana.Verificoutambmquandopreo passavaparaR$3,00aquantidadealugadaerade200unidades.Assimsendo determine: a)Qual sua funo demanda? b)Quantos DVD so alugados se o preo for de R$ 2,50? c)Se em determinada semana foram alugados 150 dvd, qual foi o preo praticado? MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES76 174.Umadeterminadaempresavendia3.000unidadespormsdeseuprodutoquando praticavaumpreodeR$6,00.Numdeterminadomomento,passouapraticaro preodeR$4,00,vendendo4.000unidadespormsdoproduto.Construauma tabela e um grfico demonstrando a situao. Deduza a equao da demanda para, logoapsresponderquantasunidadesseestardispostoacomercializarcasoo preo passe a ser R$ 25,00? 175.A Demanda de mercado de um produto que vendido em gales dada porp = - 120 q + 9.600. A que preo a quantidade vendida ser de 4.500 gales? 176.O preo do leite foi congelado por 6 meses, no valor de R$ 1,40. Qual a equao de demanda nesse perodo? Qual o grfico da curva de demanda? CURVA DE OFERTA LINEAR Definio:Quantidadedemercadoriaouservioqueumprodutorouconjunto de produtores est disposto a vender, a determinado preo. Nestegrficopodemosobservaro comportamentodaofertaemrelaoaum produtogenrico.Comonveldepreo elevado,osprodutorestendemaofertaruma quantidademaiordoproduto.Seopreo estiveremR$14,00(vejagrfico),a quantidadecolocadanomercadoserde400 unidades. Mas,seonveldepreocairparaR$6,00,muitosprodutoresdeixarode ofertaramercadoria,eaestepreoteremosumaofertade150unidades,ocasionando uma queda na quantidade ofertada. Istopodeocorrerporvriosmotivos.Seopreoestivermuitobaixo,alguns produtores tero o seu custo de produo acima deste preo e se torna invivel continuar produzindo;outrospreferiroproduziroutramercadoriaqueestejacompreodevenda mais atrativo, etc. Normalmente,adeclividadedeumacurvadeofertalinearpositiva,isto, medida que o preo aumenta, a oferta aumenta e medida que o preo diminui, a oferta diminui. Em certos casos, a declividade de uma curva de oferta linear pode ser zero, isto , o preo constante, independentemente da oferta (reta paralela a Ox). Em outros casos, a declividade pode ser indefinida, isto , a oferta constante, MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES77 independentemente do preo (reta paralela a Oy). Noscasosemqueafunoofertapositivaimportantedeterminarsua equao para poder prever o comportamento do mercado. EXEMPLO RESOLVIDO Ex 24: QuandoopreodacalculadorafinanceiraMektrefR$120,00,soofertadasao mercado 500 unidades do produto. Se o preo sofrer um reajuste de R$ 20,00, so ofertada 600 unidades do produto. Determine a funo oferta para admitindo que a mesma seja do primeiro grau. Resoluo: Comoafunodoprimeirograudotipo,p=a.q+b,temosquecalcularo coeficiente angular a e o coeficiente linear b. O Coeficiente angular dado por: 2 , 010020500 600120 1401 21 2= = = = a a ax xy yaO coeficiente linear dado por: 20 120 140 600 . 2 , 0 140 . = = = = b b b x a y bAssim a equao da oferta p = 0,2q + 20, onde p o preo e q a quantidade ofertada. EXERCCIOS DE APLICAES 177.Quando opreo fordeR$50,00,50.000 mquinas fotogrficasdeumdeterminado tipoestodisponveisnomercado;quandoopreofordeR$75,00,100.000 mquinasestodisponveisnomercado.Qualaequaodaoferta?Esboceo grfico dessa curva de oferta sabendo que ela linear. 178.QuandoopreofordeR$25,00nenhumaboladeumdeterminadotipoest MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES78 disponvelnomercado,enquantoqueparacadaR$10.00deaumentonopreo, 20.000 bolas a mais esto disponveis. Qual a equao da oferta, sabendo que a curva linear? 179.DeacordocomostermosdecontratoentreaCompanhiaAeacompanhia telefnica, a Companhia A paga companhia Telefnica R$ 1.000,00 por ms para chamadasalongadistncia,comduraodetempolimitada.Qualaequaoda oferta? 180.A forma de uma curva de oferta implica que: a)Quanto maior o preo, maior ser a quantidade demandada; b)Quanto menor o preo, menor ser a quantidade demandada; c)Quanto maior o preo, maior ser a quantidade ofertada; d)Quanto menor o preo, menor ser a quantidade ofertada. 181.Traceacurvadeoferta,conformeospreosequantidadesabaixoreferentesaum bem qualquer: Quantidade55677885100 Preo1012141618 182.O dono da fabrica de chocolates Nectar verificou que o preo de um ovo de Pscoa R$65,00,enessepreosovendidas1.500unidadesporms.Seopreo aumentarparaR$70,00eleestdispostoaofertar1.800unidadesporms. Determine a funo que relaciona o preo y em funo da quantidade x de unidades vendidas. 183.Umprodutordehortaliasestdispostoaofertaaomercado2.000psdealfaces quandoopreoforR$1,20,masseopreosofrerumreajustedeR$0,10ele pretende colocar no mercado 2.350 ps de alfaces. Determine quantidade de ps de alfaces ofertadas ao mercado quando o preo for de R$ 1,00. 184.Dada a equao de oferta 3x - 8p + 10 = 0, sendo x em centenas de unidades e p o preo unitrio, qual o preo por unidade pelo qual 200 unidades so ofertadas? 185.QuandoopreoR$80,00h10.000lmpadasdeumcertotipodisponveisno mercado.ParacadaR$10,00deaumentonopreo,8.000lmpadasamaisesto disponveis no mercado. Supondo linear a equao de oferta, determine: a)A equao da oferta b)O grfico da curva de oferta. MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES79 c)A quantidade ofertada quando o preo for de R$ 50,00? EQUILBRIO DO MERCADO Foi visto que no caso da funo de demanda, uma elevao no preo corresponde (geralmente)aumareduonaquantidadedemandadaenocasodafunodeoferta, uma elevao no preo corresponde a uma elevao na quantidade ofertada. Ento,atquenvelvariaropreosedeumlado,oconsumidordesejapreos sempre menores e de outro, o produtor interessa-se por preos sempre maiores? Eaessepreo,quaisseroasquantidadesconsumidas(demanda)eproduzidas (oferta)? Haverumpreoquesatisfar,emtermosdequantidade,aosconsumidorese produtores; o chamado "preo de equilbrio". O"equilbriodemercado"ocorreentonumpontonoqualaquantidadedeum artigoprocuradoigualquantidadeoferecida.Portanto,supondoqueasmesmas unidadesparaaquantidadedemandadaeaquantidadeofertadasejamusadasem ambas as equaes (oferta e demanda), a quantidade de equilbrio e o preo de equilbrio correspondemscoordenadasdopontodeinterseodascurvasdeofertaede demanda. Algebricamente,ascoordenadasdessepontosoencontradas,resolvendo-se o sistema formado pelas equaes de oferta e demanda. Outra maneira prtica de calcular o ponto de equilbrio igualar a equaes de oferta e demanda: OFERTA = DEMANDA EXERCCIOS DE APLICAES 186.Ache o ponto de equilbrio para as seguintes equaes de oferta e de demanda a)q p 2 10 =e123+ =qpMATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES80 b)q p 3 5 =e12 4 + = q pc)x p 2 10 =e1 5 + = x p 187.Uma empresa produz um certo produto de tal forma que sua funo de oferta diria x p 5 20 + =e a demanda diria x p 4 110 = . Determine: a)O preo para que a quantidade ofertada seja igual a 50; b)A quantidade vendida quando o preo R$ 10,00; c)A quantidade ofertada quando o preo for R$ 50,00 d)O ponto de equilbrio do mercado; 188.Considerando a funo demanda por sorvetes dada porx p 003 , 0 100 =e a funo oferta de sorvetes dada por150 003 , 0 + = x p , calcule o preo de equilbrio para essa situao. 189.O Dono do Aougue Boiadeiro verificou que quando o preo do quilo de carne R$ 7,00,sovendidos1.000kgpordia.SeopreoaumentarparaR$8,00ototalde quilos vendidos cai para 800 por dia. Por outro lado os donos de frigorficos, quando o preo da carne est em R$ 7,00 eles oferecem ao mercado 2.000 kg por dia, se o preoaumentarparaR$8,00elesoferecem2.500kgpordia.Determinea quantidade e o preo de equilbrio que seja bom para os donos de aougue e para os donos de frigorficos. 190.Dado o sistema + = =2 43 5x yx y a)Determine qual das equaes expressa curva de oferta; b)Determine qual expressa curva de demanda; c)Determine o ponto de equilbrio; 191.QuandoopreodecadabicicletaR$160,00;ento20bicicletassovendidas, mas se o preo R$ 150,00, ento 25 bicicletas so vendidas. Em relao oferta, quando o preo de cada bicicleta R$ 200,00, ento 20 bicicletas esto disponveis nomercado;masquandoopreoforR$220,00,ento30bicicletasesto disponveis no mercado. Nessas condies, determine: a)A funo demanda b)A quantidade de bicicletas vendidas quando o preo for R$ 100 c)A funo oferta d)A quantidade de bicicletas ofertadas quando o preo for R$ 250,00 e)O ponto de equilbrio MATEMTICA PARA CURSOS DE GRADUAO CONTEXTO & APLICAES81 FUNO RECEITA TOTAL diretamenteproporcionalquantidadevendida.entendidacomosendoo produto entre o preo de venda (PV), pela quantidade vendida (q).q Pv R . =Naatividade operacionaldeuma empresa, diversosfatorescontribuemparaa formao da receita proveniente do volume de vendas. Fatores como volume de produo epotencialdemercadon