apostila_matematica

AApostila Digital

Matemtica

1 - NOES DE LGICA

1.1 - DEFINIES INICIAIS

PROPOSIO toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, que pode ser valorada como

VERDADEIRA (V) ou FALSA (F).

Estas sentenas devem ser declarativas, pois as interrogativas, as exclamativas ou outras no

podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

- O Brasil um pas da Amrica do Sul.

- 2 um nmero par.

PROPOSIO SIMPLES ou ATMICA quando a proposio no contm qualquer outra

proposio.

PROPOSIO COMPOSTA ou MOLECULAR quando se pode extrair dela uma outra

proposio.

Exemplos:

- Proposio simples: A terra redonda.

- Proposio Composta: Eduarda filha de Lus e Cludia. Dessa proposio pode se extrair as

proposies: Eduarda filha de Lus e Eduarda filha de Cludia.

1.2 - CONECTIVOS LGICOS

Conectivos lgicos so palavras ou expresses que frequentemente esto presentes nas

proposies. So eles: no, e, ou, se ento, se e somente se.

Exemplo: Se Lus Felipe no adulto ento ele criana ou adolescente.

Essa uma proposio composta com os conectivos lgicos no, se ento, e ou.

Os conectivos agem sobre as proposies compostas a que esto ligados de modo que seu

valor lgico (verdadeiro ou falso) depende somente

a) do valor lgico de cada uma das proposies componentes; b) e da forma como essas preposies esto ligadas pelos conectivos lgicos utilizados.

Exemplo

Proposies Valor Lgico

3 um nmero primo V

3 um nmero fracionrio F

3 um nmero primo e fracionrio F

3 um nmero primo ou fracionrio V

1.3 - PRINCIPAIS ESTRUTURAS LGICAS E SUAS DENOMINAES

Estruturas

Fundamentais

Denominaes Representaes Exemplos

No A Negao A 10 no um

nmero par

A ou B Disjuno A B 10 um nmero par

ou um nmero

primo

Ou A ou B Disjuno Exclusiva A B Ou 10 um nmero

par ou 10 um

nmero primo

A e B Conjuno A B 10 um nmero par

e 10 um no primo

Se A, ento B Condicional A B Se 10 um nmero

par ento 10 um

nmero primo

A se e somente se B Bicondicional A B 10 um nmero par

se e somente se 10

um nmero primo.

1.4 - TABELAS-VERDADE DAS ESTRUTURAS FUNDAMENTAIS

Negao (A, A , A)

Dada uma proposio A chama-se negao de A preposio A acrescida do conectivo no

ou de outro equivalente.

Exemplo: A: 10 um nmero par

A: 10 no um nmero par.

Outras formas de se expressar a negao:

No verdade que A

falso que A

Tabela-verdade da negao

A A

V F

F V

Disjuno (A B)

Disjuno a proposio composta formada por duas preposies quaisquer que esto ligadas

pelo conectivo ou

Exemplo:

A: 5 um nmero primo

B: 10 um nmero mpar

A B 5 um nmero primo ou 10 um nmero mpar.

5

Tabela-verdade da disjuno (A B)

A B A B

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplos

A B A B

5 um nmero primo (V) 10 um nmero par (V) 5 um nmero primo ou 10

um nmero par (V)

5 um nmero primo (V) 10 um nmero mpar (F) 5 um nmero primo ou 10

um nmero mpar (V)

5 um nmero par (F) 10 um nmero par (V) 5 um nmero par ou 10

um nmero par (V)

5 um nmero par (F) 10 um nmero mpar (F) 5 nmero par ou 10 um

nmero mpar (F)

CONCLUSO: Para uma disjuno ser verdadeira basta uma das proposies ser verdadeira.

Disjuno Exclusiva (A B)

Disjuno exclusiva uma preposio composta formadas por duas preposies quaisquer em

cada uma delas tem est precedida pelo conectivo ou

Exemplo

A: 5 um nmero primo

B: 10 um nmero par

A B: Ou 5 um nmero primo ou 10 um nmero par.

Tabela-verdade da disjuno (A B)

A B A B

V V F

V F V

F V V

F F F

Exemplo:

A B A B

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero par (V) Ou 5 um nmero mpar ou

10 um nmero par (F)

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero mpar (F) Ou 5 um nmero mpar ou

10 um nmero mpar (V)

5 um nmero par (F) 10 um nmero par (V) Ou 5 um nmero par ou 10

um nmero par (V)

5 um nmero par (F) 10 um numero mpar (F) Ou 5 um nmero par ou 10

um nmero mpar (F)

CONCLUSO: Uma disjuno exclusiva verdadeira somente quando as preposies tm

valores lgicos contrrios

Conjuno (A B)

Conjuno a preposio composta por duas preposies quaisquer ligadas pelo conectivo e

Exemplo:

A: 5 um nmero primo

B: 10 um nmero par

A B: 5 um nmero primo e 10 um nmero par.

Tabela-verdade da conjuno (A B)

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo

A B A B

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero par (V) 5 um nmero mpar e 10

um nmero par (V)

5 um nmero mpar (V) 10 um nmero mpar (F) 5 um nmero mpar e 10

um nmero mpar (F)

5 um nmero par (F) 10 um nmero par (V) 5 um nmero par e 10 um

nmero par (F)

5 um nmero par (F) 10 um nmero mpar (F) 5 um nmero par e 10 um

nmero mpar (F)

CONCLUSO: Uma conjuno s verdadeira se as duas preposies so verdadeiras.

Condicional (A B)

Em uma preposio condicional Se A, ento B a preposio precedida da conjuno se

chamada condio ou antecedente, enquanto a preposio B, precedida da proposio

ento denominada de concluso ou conseqente

Exemplo

A: 5 um nmero mpar

B: O dobro de 5 um nmero par

A B: Se 5 um nmero mpar, ento o dobro de 5 um nmero par.

Outras formas de expressar a condicional

Se A, B

B, se A

A implica B

A somente se B

A suficiente para B

B necessrio para A

Tabela-verdade da condicional (A B)

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplo

Considere a afirmativa: Se um nmero mpar seu dobro par e as seguintes possibilidades:

A B A B

Um nmero mpar (V) O dobro do nmero par (V) Se um nmero mpar, ento

seu dobro par(V)

Um nmero mpar (V) O dobro do nmero mpar

(F)

Se um nmero mpar seu

dobro par (F)

Um nmero par (F) O dobro do nmero par (V) Se um nmero mpar, ento

seu dobro par (V) (porque

nada se disse sobre o dobro de

um nmero par. Como uma

preposio deve ser verdadeira

ou falsa e essa no falsa,

ento ela verdadeira)

Um nmero par (F) O dobro do nmero mpar Se um nmero par, ento

seu dobro mpar (V) (como o

dobro do nmero ser par

estava condicionado ao fato

do nmero ser mpar e sendo o

nmero par no

necessariamente ele deveria

ser par, logo a preposio no

falsa. Portanto ela

verdadeira)

IMPORTANTE: Usualmente quando se tem uma condicional necessrio que as preposies A

e B se relacionem de alguma forma ou guardem uma relao de causa ou efeito. Mas, segundo

as regras da Lgica, mesmo quando no existem essas relaes entre A e B, a proposio A

B s falsa se A verdadeira e B falsa.

Bicondicional (A B)

Bicondicional uma preposio composta de duas preposies quaisquer ligadas pelo

conectivo se e somente se.

Exemplo:

A: 14 mltiplo de 7

B: 14 divisvel por 7

A B: 14 mltiplo de 7 se e somente se 14 divisvel por 7

Outras formas de se expressar a bicondicional

A se e s se B

Todo A b e todo B A.

Todo A B e reciprocamente.

Se A ento B e reciprocamente.

A necessrio e suficiente para B.

A suficiente para B e B suficiente para A.

A necessrio para B e B necessrio para A.

Tabela-verdade da condicional (A B)

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo

A B A B

14 mltiplo de 7 (V) 14 divisvel por 7 (V) 14 mltiplo de 7 se e somente se

14 divisvel por 7 (V)

14 mltiplo de 7 (V) 14 no divisvel por 7F 14 mltiplo de 7 se e somente se

14 no divisvel por 7 (F)

14 no mltiplo de 7

(F)

14 divisvel por 7 (V) 14 no mltiplo de 7 se e

somente se 14 mltiplo de 7 (F)

14 no mltiplo de 7

(F)

14 no divisvel por 7 (F) 14 no mltiplo de 7 se e

somente se 14 no divisvel por 7

(V)

CONCLUSO: Uma preposio bicondicional s verdadeira se as preposies que a compem

tm o mesmo valor lgico.

1.5 - OUTRAS DEFINIES

Sentenas abertas: A expresso P(x) uma sentena aberta na varivel x se, e somente se,

P(x) se tornar uma preposio sempre que substituirmos a varivel x por qualquer elemento

de um certo conjunto denominado universo do discurso.

Universo do discurso: conjunto de todos os valores que a varivel x pode assumir.

Exemplo:

Universo do discurso: Conjunto de todos os nmeros inteiros

Sentena aberta: O dobro de um nmero inteiro igual a 6.

Sentena matemtica aberta: 2x = 6

Observe que a sentena aberta uma preposio verdadeira para x = 3 e falsa para todos os

demais nmeros inteiros. Entretanto, a preposio conseguida quando se substitui x por todos

os valores do universo ela no tem necessariamente verdadeira.

Tautologia Uma preposio composta uma tautologia se ela for sempre verdadeira,

independente dos valores lgicos das preposies que a compem.

Exemplo: Se 2 um nmero par e primo, ento 2 um nmero par ou 2 um nmero primo.

Tabela-verdade da tautoplogia

A B A B A B A B A B

2 nmero par 2 nmero 2 um nmero 2 um nmero

par ou um

Se 2 um

nmero par e

(V) primo (V) par e primo (V) nmero primo

(V)

primo, ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

2 um nmero

par (V)

2 no um

nmero primo

(F)

2 um nmero

par e no

primo (F)

2 um nmero

par ou no um

nmero primo

(V)

Se 2 um

nmero par e

primo ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

2 no um

nmero par (F)

2 um nmero

primo (V)

2 no um

nmero par e

um nmero

primo (F)

2 no um

nmero par ou 2

um nmero

primo (V)

Se 2 um

nmero par e

primo, ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

2 no um

nmero par (F)

2 no um

nmero primo

(F)

2 no um

nmero par e

um nmero

primo (F)

2 no um

nmero par ou 2

no um

nmero primo

(F)

Se 2 um

nmero par e

primo ento 2

um nmero par

ou um nmero

primo (V)

Contradio

Uma proposio composta formada por uma ou mais proposies uma contradio se, e

somente se, independente dos valores lgicos de suas preposies componentes, ela sempre

falsa.

Exemplo

Um nmero par se e somente se ele no par.

Tabela-verdade da Contradio

A A A B

V F F

F V F

OBSERVAO: A negao de uma tautologia sempre uma contradio e a negao se uma

contradio sempre uma tautologia.

Contingncia

Uma preposio composta uma contingncia se seu valor lgico depende dos valores lgicos

das preposies que a compem.

Proposies equivalentes:Duas proposies so equivalentes se so compostas pelas mesmas

proposies simples e tm tabelas-verdade idnticas. (A B)

1.6 - LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LGICO

1 Lei: Princpio da Identidade: Se uma preposio qualquer verdadeira ento ela

verdadeira. ( P P)

2 Lei: Princpio da no contradio: Nenhuma preposio pode ser verdadeira e tambm

falsa. (P P)

3 Lei: Princpio do terceiro excludo:Uma proposio ou verdadeira ou falsa. (ou P ou P)

1.7 - REGRAS DE EQUIVALNCIAS

Leis da Comutatividade

A B B A A B B A A B B A A B B B

Leis de Associatividade

(A B) C A (B C)

(A B) C A (B C)

Leis da Distributividade

A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

Lei da dupla negao

( A) A

Lei das Equivalncias da Condicional

A B A B A B B A

Leis das Equivalncias da Bicondicional

A B (A B) (B A) A B (A B) (B A) A B (A B)

1.8 - TABELA DAS NEGAES DE PROPOSIES COMPOSTAS

Proposio Negao direta Equivalente da negao

A e B No (A e B) No A e no B

A ou B No (A ou B) No A ou no B

Se A ento B No (se A ento B) A e no B

A se e somente se B No (A se e somente se B) Ou A ou B

Todo A B No (todo A B) Algum A no B

Algum A B No (algum A B) Nenhum A B

1.9 - PROPOSIES CATEGRICAS

Na Lgica clssica (aristotlica) usa-se apenas quatro tipos de proposies, denominadas

proposies categricas. Elas podem ser universais ou particulares e so

Afirmativas Negativas

Universais Todo A B Nenhum A B

Particulares Algum A B Algum A no B

1.10 - DIAGRAMAS LGICOS

Diagrama lgico um esquema de representao das relaes entre as diversas partes que

compem uma proposio. O modelo mais usado so os diagramas de Venn-Euler.

Nesses modelos, o universo do discurso (conjunto de tudo que se admite como possvel em

um dado contexto) representado por um retngulo e cada proposio indicada por uma

regio delimitada dentro do universo do discurso.

Ao representar uma estrutura lgica por um diagrama, somente as regies para as quais o

resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro sero sombreadas.

Diagrama da Negao

A

1

2

U Uma proposio verdadeira em qualquer ponto dentro de sua regio e falsa em todos os demais pontos do universo. Assim, na regio 1 do diagrama ao lado A verdadeira e na regio B ela falsa.

Diagrama da Conjuno

A B

Diagrama da Disjuno

A BA

Diagrama da disjuno exclusiva

A

A

Se a proposio for representada pelo conjunto A, ento a negao no A corresponder ao conjunto complementar de A.

A B corresponde interseo A B

A B corresponde unio A B

A BA

Diagrama da Condicional

a) Sombreando somente as regies correspondentes aos resultados V da tabela-verdade da

proposio condicional.

A BA B

b) Como a incluso do conjunto A no conjunto B

A AB

A B corresponde ao conjunto (A B) (B-A)

Diagrama da Bicondicional

A

A=B

A BB

1.11 - EXERCCIOS PROPOSTOS I

1) Considere a seguinte afirmativa : Todos os bons alunos tiram notas boas Em relao a essa

proposio correto afirmar que

(a) Alguns bons estudantes no tiram notas boas.

(b) O conjunto dos bons estudantes contm o conjunto dos alunos que tiram notas boas.

(c) Todo bom estudante tira notas boas.

(d) Nenhum bom estudante tira notas boas.

(e) O conjunto dos bons estudantes contm o conjunto dos estudantes que tiram notas boas.

2) ) Considere a seguinte afirmativa : Todo brasileiro gosta de samba Em relao a essa

proposio correto afirmar que

(a) toda pessoa que gosta de samba brasileira.

A B corresponde igualdade dos conjuntos A e B A (V) e B (V)

(V) B A (F)B~ e (F)A ~

(V) B e (V)A

(b) toda pessoa que no brasileira no gosta de samba.

(c) toda pessoa que no gosta de samba no brasileira.

(d) algum brasileiro no gosta de samba.

(e) alguma pessoa que no gosta de samba brasileira.

3) Se Duda bonita ento Marina graciosa. Se Marina graciosa ento Cludia autoritria.

Sabe-se que Cludia no autoritria. Nessas condies correto afirmar que

(a) Duda no graciosa.

(b) Marina no bonita.

(c) Duda no autoritria.

(d) Cludia no bonita.

(d) Duda no bonita

4) Todo atleta musculoso. Nenhum mineiro musculoso. Nessas condies correto afirmar

que

(a) algum atleta mineiro.

(b) nenhum atleta mineiro.

(c) nenhum atleta musculoso.

(d) algum que musculoso mineiro.

(e) nenhum mineiro atleta.

5) Se tem sol faz calor. Nessas condies correto afirmar que

(a) Ter sol condio necessria para fazer calor.

(b) Fazer calor condio suficiente para ter sol.

(c) Fazer sol condio necessria e suficiente

(d) Fazer sol condio suficiente para fazer calor.

(e) Fazer calor condio necessria e suficiente para ter sol.

6) Represente por diagrama de Venn-Euler

a) Algum A B

b) Algum A no B

c) todo A B

d) nenhum A B

7) Considere as seguintes proposies

I 4+3 = 7 e 2 + 6 = 8

II 5 > 2 e 10 < 12

III 4 = 7 e 5 < 1

Em relao a elas correto afirmar que

a) todas so falsas.

b) I e II so falsas

c) somente III falsa

d) Somente I verdadeira.

e) somente II falsa.

8) Considere as proposies

I 2 + 3 = 5 ou 4 + 5 = 9

II 8 < 3 e 6 < 5

III 3 < 0 ou 2 = 8

Em relao a elas correto afirmar que

a) todas as proposies so falsas

b) somente III falsa

c) somente II falsa

d) I e II so falsas.

e) I falsa ou II falsa.

9) Assinale a afirmativa falsa.

a) Se 2 mpar, ento 5 mpar.

b) Se 4 mpar, ento 1 menor que 5.

c) Se 6 par, ento 5 menor que 2.

d) Se 3 maior que 2, ento 8 menor que 9.

e) Se 5 par, ento 3 maior que 7

10) A negao da proposio Todas as mulheres so vaidosas

a) todos os homens so vaidosos.

b) algumas mulheres so vaidosas.

c) nenhuma mulher vaidosa.

d) todos os homens no so vaidosos.

e) nenhum homem vaidoso

11) Considere as proposies

P1: Todos os bebs so pequenos

P2: Pessoas pequenas tm baixa estatura

P3: Quem sabe jogar vlei no tem baixa estatura.

Assinale a nica alternativa que uma conseqncia lgica das trs proposies apresentadas.

a) Bebs no sabem jogar vlei.

b) Pessoas de baixa estatura so bebs.

c) Pessoas de baixa estatura no sabem jogar vlei.

d) Pessoas pequenas no sabem jogar vlei.

As questes 12 e 13, a seguir referem-se ao seguinte texto: Os sobrenomes de Ana, Beatriz

e Carla so Arantes, Braga e Castro, mas no necessariamente nesta ordem. A de sobrenome

Braga, que no Ana, mais velha que Carla e a de sobrenome Castro a mais velha das

trs.

12) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so respectivamente

a) Arantes, Braga e Castro.

b) Arantes, Castro e Braga

c) Castro, Arantes e Braga

d) Castro, Braga e Arantes.

e) Braga, Arantes e Castro

13) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos

a) Ana, Beatriz e Carla.

b) Carla, Ana e Beatriz.

c) Beatriz, Carla e Ana.

d) Ana, Carla e Beatriz

e) Carla, Beatriz e Ana

14) (AFC/96) Se Beto briga com Glria, ento Glria vai ao cinema. Se Glria vai ao cinema,

ento Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, ento Raul briga com Carla. Ora, Raul no briga

com Carla, logo

a) Carla no fica em casa e Beto No Briga com Glria.

b) Carla fica em casa e Glria vai ao cinema.

c) Carla no fica em casa e Glria vai ao cinema.

d) Glria vai ao cinema e Beto briga com Glria.

e) Glria no vai ao cinema e Beto briga com Glria.

15) (AFC/96) Trs irms Ana, Maria e Cludia foram a uma festa com vestidos de cores

diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando festa, o anfitrio

perguntou qual era uma delas. A de azul respondeu: Ana a que est de branco A de branco

falou: Eu sou MariaE a de preto disse Cludia quem est de branco Como o anfitrio

sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria s vezes diz a verdade e que Cludia nunca diz

a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos

vestidos de Ana, Maria e Cludia eram, respectivamente,

a) preto, branco, azul.

b) preto, azul, branco.

c) azul, preto, branco.

d) azul, branco, preto.

e) branco, azul, preto.

16) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Dizer que verdade que para todo x, se x r e se x

verde, ento x est saltando logicamente equivalente a dizer que no verdade que

a) algumas rs que no so verdes esto saltando.

b) algumas rs verdes esto saltando.

c) nenhuma r verde no est saltando.

d) existe uma r verde que no est saltando.

e) algo que no seja uma r verde est saltando.

17) Se voc no estudar, ento ser reprovado. Sobre essa proposio correto afirmar que

a) no estudar condio suficiente para ser reprovado.

b) no estudar condio necessria para ser reprovado.

c) se voc estudar ento ser aprovado.

d) voc ser reprovado s se no estudar.

e) mesmo que voc no estude voc no ser reprovado

18) Se os pais de professores so sempre professores, ento correto afirmar que

a) os filhos de no professores nunca so professores.

b) os filhos de no professores sempre so professores.

c) os filhos de professores sempre so professores

d) os filhos de professores quase sempre so professores.

e) alguns filhos de professores so professores.

19) Sejam x e y dois nmeros reais quaisquer. Sendo assim, assinale a alternativa correta.

a) Se verdade que x y ento falso que x y.

b) Se verdade que x > y e ento verdade que x y.

c) Se verdade que x y, ento falso que x y.

d) Se verdade que x < y, ento falso que x y

e) Se verdade que x y, ento verdade que x y

20) Sejam x e y dois nmeros reais quaisquer e as afirmativas

I Se falso que x < y, ento verdadeiro que x > y.

II Se falso que x < y, ento verdade que x y.

III Se falso que x = y, ento verdade que ou x < y ou x > y

Em relao as essas afirmativas correto dizer que

a) Todas as afirmativas so falsas.

b) As afirmativas I e III so falsas

c) As afirmativas I e II so verdadeiras.

d) As afirmativas II e III so verdadeiras.

e) Todas as afirmativas so verdadeiras

21) (VUNESP) Todos os marinheiros so republicanos. Assim sendo:

a) o conjunto de marinheiros contm o conjunto dos republicanos.

b) o conjunto dos republicanos contm o conjunto dos marinheiros.

c) todos os republicanos so marinheiros.

d) algum marinheiro no republicano.

e) nenhum marinheiro republicano.

22) (VUNESP) Assinale a afirmativa que apresenta uma contradio.

a) Todo espio no vegetariano e algum vegetariano espio.

b) Todo espio vegetariano e algum vegetariano no espio.

c) Nenhum espio vegetariano e algum espio no vegetariano

d) Algum espio vegetariano e algum espio no vegetariano.

e) Todo vegetariano espio e algum espio no vegetariano.

23) (VUNESP) Todos os que conhecem Joo e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem

Maria no a admiram. Logo:

a) todos que conhecem Maria a admiram.

b) ningum admira Maria.

c) Alguns que conhecem Maria no conhecem Joo.

d) quem conhece Joo admira Maria.

e) s quem conhece Joo e Maria conhece Maria.

24) (VUNESP) Valter tem inveja de quem mais rico do que ele. Geraldo no mais rico do

que quem o inveja. Logo:

a) quem no mais rico do que Valter mais pobre que Valter.

b) Geraldo mais rico do que Valter.

c) Valter no tem inveja de quem mais rico do ele.

d)Valter inveja s quem mais rico do que ele.

e) Geraldo no mais rico que Valter

25) (VUNESP) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de

jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:

a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria.

b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria.

c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal.

d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina.

e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.

26) (VUNESP) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Ftima corre tanto

quanto Juliana. Logo:

a) Ftima corre menos do que Rita.

b) Ftima corre mais que Marta.

c)Juliana corre menos do que Rita

d) Marta corre mais do que Juliana.

e) Juliana corre menos do que Marta.

27) (BACEN Analista) Aldo, Ben e Caio receberam uma proposta para executar um projeto.

A seguir esto registradas as declaraes dadas pelos trs, aps a concluso do projeto.

- Aldo: No verdade que ben e Caio executaram o projeto.

- Ben: Se Aldo no executou o projeto, ento Caio o executou.

- Caio: Eu no executei o projeto, mas Aldo e Ben o executaram.

Se somente a afirmao de Ben falsa, ento o projeto foi executado APENAS por

a) Aldo

b) Ben

c) Caio

d) Aldo e Ben

e) Aldo e Caio

28) (BACEN Analista) Sejam as proposies:

p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.

q: fazer frente ao fluxo positivo.

Se p implica q, ento

a) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio necessria para

fazer frente ao fluxo positivo.

b) Fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao compradora de dlares

por parte do Banco Central.

c) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio suficiente para

fazer frente ao fluxo positivo.

d) Fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a atuao compradora

de dlares por parte do Banco Central.

e) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no condio suficiente e

nem necessria para fazer frente ao fluxo positivo.

29) (IPER Tcnico) Quando no vejo Lcia, no passeio e fico deprimido. Quando chove, no

passeio e fico deprimido. Quando no faz calor e passeio, no vejo Lcia. Quando chove e

estou deprimido, no passeio.

Hoje passeio. Portanto, hoje

a) vejo Lcia, e no estou deprimido, e no chove e faz calor.

b) no vejo Lcia, e estou deprimido, e chove e faz calor.

c) no vejo Lcia, e estou deprimido, e no chove, e no faz calor.

d) vejo Lcia, e no estou deprimido, e chove, e faz calor.

e) vejo Lcia, e estou deprimido, e no chove, e faz calor.

30) (IPER Tcnico) Considerando toda prova de Lgica difcil uma proposio verdadeira,

correto inferir que

a) nenhuma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

b) alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

c) alguma prova de Lgica difcil uma proposio falsa e verdadeira.

d) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

e) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio verdadeira e falsa.

1.12 - GABARITO I

Questo Questo

1 e 2 c 3 e 4e

5 d 6 a

A B

6b

A BA

6c

B

A

6d

AB

7 c

8 e 9 b

10 c 11 a 12 d 13 e

14 a 15 b 16 a 17a

18 a 19b 20 d 21b

22 a 23 c 24 e 25 e

26 b 27 e 28 c 29 d

30 b

2 ANLISE COMBINATRIA

2.1 - PRICPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO

Em anlise Combinatria h dois princpios fundamentais o Princpio Aditivo e o Princpio

Multiplicativo ou Princpio Fundamental da Contagem

Vejamos um exemplo de um problema em que se usa o princpio aditivo para resolv-lo.

Em uma escola foi feita uma enquete para saber quem prefere futebol ou vlei. O resultado foi

o seguinte: 230 alunos gostam de futebol, 150 gostam de vlei e 80 alunos gostam dos dois

esportes. Quantos alunos tem essa escola?

Em princpio parecem ser 230 + 150 + 80 = 460 alunos. Entretanto, h que se observar que

entre os alunos que gostam de futebol podem existir alunos que tambm gostam de vlei,

portanto, o nmero de alunos que gostam somente de futebol 230 80 = 150. Da mesma

maneira, o nmero de alunos que gostam somente de vlei 150 80 = 70. Sendo assim, o

nmero de alunos da escola ser:

Nmero de alunos que gostam s de futebol + nmero de alunos que gostam s de vlei +

nmero de alunos que gostam de futebol e vlei, ou seja, 150 + 70 + 80 = 300 alunos.

Isto porque, segundo o teorema:

Sendo A e B conjuntos finitos, o nmero de elementos da unio de A e B dado por:

n(AB) = n(A) + n(B) - n(AnB);

Os nmeros inteiros: o conjunto Z

Z = {... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }O conjunto dos nmeros inteiros infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos nmeros inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemo, significar nmero.

trivial entender que o conjunto dos nmeros naturais N um subconjunto do conjunto dos nmeros inteiros Z, ou seja: N Z.

Define-se o mdulo de um nmero inteiro como sendo o nmero sem o seu sinal algbrico. Assim que , representando-se o mdulo de um nmero inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:| 7 | = 7; | 32 | = 32; | 0 | = 0; etcO mdulo de um nmero inteiro , ento, sempre positivo ou nulo.

Chama-se oposto (ou simtrico aditivo) de um nmero inteiro a ao nmero a.

Propriedades dos nmeros inteiros:

1 Todo nmero inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. Exemplos: suc( 3) = 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.

2 Dados dois nmeros inteiros m e n, ocorrer uma e somente uma das condies :m = n [ m igual a n ] (igualdade)m > n [ m maior do que n ] (desigualdade)m < n [ m menor do que n] (desigualdade).Esta propriedade conhecida como Tricotomia.

Nota: s vezes teremos que recorrer aos smbolos ou os quais possuem a seguinte leitura:a b [ a maior do que b ou a = b ].a b [ a menor do que b ou a = b ]

Assim por exemplo, x 3, significa que x poder assumir em Z os valores3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...

J x < 3, teramos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...

bvio que o zero maior do que qualquer nmero negativo ou na sua forma equivalente, qualquer nmero negativo menor do que zero.

... 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Operaes em Z

1 Adio: a + b = a mais b.

A adio de dois nmeros inteiros obedece s seguintes regras:

a ) nmeros de mesmo sinal : somam-se os mdulos e conserva-se o sinal comum.

Exemplos:

(-3) + (-5) + (-2) = - 10(-7) + (-6) = - 13

b) nmeros de sinais opostos: subtraem-se os mdulos e conserva-se o sinal do maior em mdulo.

Exemplos:

(-3) + (+7) = + 4(-12) + (+5) = -7

Propriedades:

Dados os nmeros inteiros a, b e c, so vlidas as seguintes propriedades:

1.1 Fechamento: a soma de dois nmeros inteiros sempre um nmero inteiro. Diz-se ento que o conjunto Z dos nmeros inteiros fechado em relao adio.

1.2 Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 Comutativa: a + b = b + a

1.4 Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero o elemento neutro da adio.

1.5 Unvoca: o resultado da adio de dois nmeros inteiros nico.

1.6 Monotnica: Uma desigualdade no se altera, se somarmos um mesmo nmero inteiro a ambos os membros, ou seja, se a > b ento a + c > b + c.

2 Subtrao: Observa-se que a subtrao (diferena) uma operao inversa da adio.Se a + b = c ento dizemos que a = c b ( c menos b). bvio que o conjunto Z fechado em relao subtrao, pois a subtrao (diferena) entre dois nmeros inteiros, sempre ser um outro nmero inteiro. Por exemplo, a operao 3 10 no teria resultado no conjunto N dos nmeros naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos nmeros inteiros, ou seja -7.

A subtrao de dois nmeros inteiros ser feita de acordo com a seguinte regra:

a b = a + (-b)

Exemplos:

10 (-3) = 10 + (+3) = 13(-5) (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5(-3) (+7) = (-3) + (-7) = - 10

3 Multiplicao: um caso particular da adio (soma), pois somando-se um nmero inteiro a si prprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x nNa igualdade a . n = b, dizemos que a e n so os fatores e b o produto.

A multiplicao de nmeros inteiros, dar-se- segundo a seguinte regra de sinais:

(+) x (+) = +

(+) x (-) = -

(-) x (+) = -

(-) x (-) = +

Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste captulo, ou seja, o porqu de MENOS x MENOS ser MAIS!

Exemplos:

(-3) x (-4) = +12 = 12(-4) x (+3) = -12

Propriedades:

Dados os nmeros inteiros a, b e c, so vlidas as seguintes propriedades:

3.1 Fechamento: a multiplicao de dois nmeros inteiros sempre outro nmero inteiro. Dizemos ento que o conjunto Z dos nmeros inteiros fechado em relao operao de multiplicao.

3.2 Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 Comutativa: a x b = b x a

3.4 Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O nmero 1 o elemento neutro da multiplicao.

3.5 Unvoca: o resultado da multiplicao de dois nmeros inteiros nico.

3.6 Uma desigualdade no se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo nmero inteiro positivo, ou seja, se a > b ento a . c > b . c

3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo nmero inteiro negativo, ou seja: a > b ento a . c < b . c

Exemplo: 10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por (-1) fica - 10 < - 5. Observe que o sentido da desigualdade mudou.

3.8 Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, atravs de um exemplo, para o fato do produto de dois nmeros negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:

Considere o seguinte produto:A = (7 5) x (10 6) cujo resultado j sabemos ser 2 x 4 = 8.Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao adio,vem:A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]A = 70 42 50 + [(-5)x(-6)]Como j sabemos que A = 8, substituindo fica:8 = 70 42 50 + [(-5)x(-6)]Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:[(-5)x(-6)] = 8 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 70 = 100 70 =

30

Observa-se ento que realmente

[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30.

4 Potenciao: um caso particular da multiplicao, onde os fatores so iguais. Assim que multiplicando-se um nmero inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que ser indicado pelo smbolo a n , onde a ser denominado base e n expoente. Assim que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

Com base nas regras de multiplicao de nmeros inteiros, fcil concluir que:

a) Toda potencia de base negativa e expoente par no nulo, tem como resultado um nmero positivo.

Exemplos:

(-2)4 = +16 = 16(-3)2 = +9 = 9(-5)4 = +625 = 625(-1)4 = + 1 = 1

b) Toda potencia de base negativa e expoente mpar, tem como resultado um nmero negativo.

Exemplos:

(-2)3 = - 8

(-5)3 = - 125(-1)13 = - 1

5 Diviso: O conjunto Z dos nmeros inteiros no fechado em relao diviso, pois o quociente de dois nmeros inteiros nem sempre um inteiro.

A diviso de nmeros inteiros, no que concerne regra de sinais, obedece s mesmas regras vistas para a multiplicao, ou seja:

(+) : (+) = +

(+) : (-) = -

(-) : (+) = -

(-) : (-) = +

Exemplos:

(10) : ( 2) = + 5 = 5( 30) : (+ 5) = 6

Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminao de parntesis ( ), que podero ser bastante teis:

R1) Todo parntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.

Exemplo:

+ (3 + 5 7) = 3 + 5 7 = 1

R2) Todo parntese precedido do sinal pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores.

Exemplos:

(3 + 4 7) = 3 4 + 7 = 0 (10 8 + 5 6 ) = 10 + 8 5 + 6 = 19 (8 3 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16

Exerccios resolvidos

1 A temperatura de um corpo variou de 20 C para 20 C. Qual a variao total da temperatura do corpo?

Soluo: Sendo T a variao total da temperatura, vem:T = Tfinal Tinicial = 20 ( 20) = 20 + 20 = 40 C.

2 Um veculo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou aps 50 m. Qual a variao da velocidade at o veculo parar?

Soluo: Sendo v a variao total da velocidade, vem:V = vfinal vinicial = 0 20 = 20 m/s.

Nmeros Racionais

Um nmero racional o que pode ser escrito na forma

m

nonde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser no nulo, isto , n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a diviso de m por n. Quando no existe possibilidade de diviso, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este nmero um nmero racional.

Como podemos observar, nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo (em Latim: ratio=razo=diviso=quociente) entre dois nmeros inteiros, razo pela qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmos na literatura a notao:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando h interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos nmeros racionais positivos e Q_ o conjunto dos nmeros racionais negativos. O nmero zero tambm um nmero racional.

Todo nmero racional pode ser posto na forma de uma frao, ento todas as propriedades vlidas para fraes so tambm vlidas para nmeros racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos nmeros racionais.

Representao, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos nmeros racionais atravs de uma reta numerada. Consideramos o nmero 0 como a origem e o nmero 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distncia entre 0 e 1 e por os nmeros racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nmeros racionais obedecem crescente da esquerda para a direita, razo pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um nmero racional r menor do que outro nmero racional s se a diferena r-s positiva. Quando esta diferena r-s negativa, dizemos que o nmero r maior do que s. Para indicar que r menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geomtrico, um nmero que est esquerda menor do que um nmero que est direita na reta numerada.

Todo nmero racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto -q e ele caracterizado pelo fato geomtrico que tanto q como -q esto mesma distncia da origem do conjunto Q que 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 -3/4.(b) O oposto de 5 -5.

Do ponto de vista geomtrico, o simtrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que est localizado na origem. A distncia do ponto real q ao espelho a mesma que a distncia do ponto virtual -q ao espelho.

Mdulo de um nmero racional

O mdulo ou valor absoluto de um nmero racional q maior valor entre o nmero q e seu elemento oposto

-q, que denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geomtrico, o mdulo de um nmero racional q a distncia comum do ponto q at a origem (zero) que a mesma distncia do ponto -q origem, na reta numrica racional.

A soma (adio) de nmeros racionais

Como todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito na forma de uma frao, definimos a adio entre os nmeros racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de fraes, atravs de:

a

b

+

c

d

=

ad+bc

bdPropriedades da adio de nmeros racionais

Fecho: O conjunto Q fechado para a operao de adio, isto , a soma de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o prprio q, isto :

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtrao de nmeros racionais: A subtrao de dois nmeros racionais p e q a prpria operao de adio do nmero p com o oposto de q, isto :

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta uma operao desnecessria no conjunto dos nmeros racionais.

A Multiplicao (produto) de nmeros racionais

Como todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito na forma de uma frao, definimos o produto de dois nmeros racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de fraes, atravs de:

a

b

c

d

=

ac

bdO produto dos nmeros racionais a e b tambm pode ser indicado por a b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicao de nmeros racionais, devemos obedecer mesma regra de sinais que vale em toda a Matemtica:

(+1) (+1) = (+1)(+1) (-1) = (-1)(-1) (+1) = (-1)(-1) (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois nmeros com o mesmo sinal positivo, mas o produto de dois nmeros com sinais diferentes negativo.

Propriedades da multiplicao de nmeros racionais

Fecho: O conjunto Q fechado para a multiplicao, isto , o produto de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a ( b c ) = ( a b ) c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a b = b a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o prprio q, isto :

q 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q q-1 = 1

Esta ltima propriedade pode ser escrita como:

a

b

b

a

= 1

Diviso de nmeros racionais: A diviso de dois nmeros racionais p e q a prpria operao de multiplicao do nmero p pelo inverso de q, isto :

p q = p q-1

Provavelmente voc j deve ter sido questionado: Porque a diviso de uma frao da forma a/b por outra da forma c/d realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A diviso de nmeros racionais esclarece a questo:

a

b

c

d

=

a

b

d

c

=

ad

bcNa verdade, a diviso um produto de um nmero racional pelo inverso do outro, assim esta operao tambm desnecessria no conjunto dos nmeros racionais.

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c )

Potenciao de nmeros racionais

A potncia qn do nmero racional q um produto de n fatores iguais. O nmero q denominado a base e o nmero n o expoente.

qn = q q q q ... q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5) =(2/5) (2/5)(2/5) = 8/125(b) (-1/2)=(-1/2)(-1/2)(-1/2) = -1/8(c) (-5) =(-5)(-5) = 25(d) (+5) =(+5)(+5) = 25

Observao: Se o expoente n=2, a potncia q pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente n=3, a potncia q pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto proveniente do fato que rea do quadrado pode ser obtida por A=q onde q a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q onde q a medida da aresta do cubo.

Razes de nmeros racionais

A raiz n-sima (raiz de ordem n) de um nmero racional q a operao que resulta em um outro nmero racional r que elevado potncia n fornece o nmero q. O nmero n o ndice da raiz enquanto que o nmero q o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observao seguinte para entender as razes pelas quais evito usar o smbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficincia da linguagem HTML, que ainda no implementou sinais matemticos, denotarei aqui a raiz n-sima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um nmero racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um nmero racional q a operao que resulta em um outro nmero racional r no negativo que elevado ao quadrado seja igual ao nmero q, isto , r=q.

No tem sentido R[-1] no conjunto dos nmeros racionais.

Exemplos:

(a) R[125] = 5 pois 5=125.(b) R[-125] = -5 pois (-5)=-125.(c) R[144] = 12 pois 12=144.(d) R[144] no igual a -12 embora (-12)=144.

Observao: No existe a raiz quadrada de um nmero racional negativo no conjunto dos nmeros racionais. A existncia de um nmero cujo quadrado seja igual a um nmero negativo s ser estudada mais tarde no contexto dos Nmeros Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didticos e at mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

R[9] = 3

mas isto est errado. O certo :

R[9] = +3

No existe um nmero racional no negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um nmero negativo.

A raiz cbica (de ordem 3) de um nmero racional q a operao que resulta na obteno de um um outro nmero racional que elevado ao cubo seja igual ao nmero q. Aqui no restringimos os nossos clculos so vlidos para nmeros positivos, negativos ou o prprio zero.

Exemplos:

(a) R[8] = 2, pois 2 = 8.(b) R[-8] = -2, pois (-2) = -8.(c) R[27] = 3, pois 3 = 27.(d) R[-27]= -3, pois (-3) = -27.

Observao: Obedecendo regra dos sinais para a multiplicao de nmeros racionais, conclumos que:

(1) Se o ndice n da raiz for par, no existe raiz de nmero racional negativo.

(2) Se o ndice n da raiz for mpar, possvel extrair a raiz de qualquer nmero racional.

Mdia aritmtica e mdia ponderada

Mdia aritmtica: Seja uma coleo formada por n nmeros racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A mdia aritmtica entre esses n nmeros a soma dos mesmos dividida por n, isto :

A= x1 + x2 + x3 +...+ xn

nExemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

ento a idade mdia do grupo pode ser calculada pela mdia aritmtica:

A=

12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33

9

=

352

9

= 39,11

o que significa que a idade mdia est prxima de 39 anos.

Mdia aritmtica ponderada: Consideremos uma coleo formada por n nmeros racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A mdia aritmtica ponderada desses n nmeros a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto :

P=

x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn

p1 + p2 + p3 +...+ pn

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salrio por dia), em uma empresa formado por sub-grupos com as seguintes caractersticas:

12 ganham R$ 50,0010 ganham R$ 60,0020 ganham R$ 25,0015 ganham R$ 90,007 ganham R$ 120,00

Para calcular a mdia salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a mdia aritmtica ponderada:

P=

5012 + 6010 + 2520 + 9015 + 1207

12 + 10 + 20 + 15 + 7

=

3890

64

=60,78

Mdias geomtrica e harmnica

Mdia geomtrica: Consideremos uma coleo formada por n nmeros racionais no negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A mdia geomtrica entre esses n nmeros a raiz n-sima do produto entre esses nmeros, isto :

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a mdia geomtrica entre os nmeros 12, 64, 126 e 345, dada por:

G = R4[12 64126345] = 76,013

Aplicao prtica: Dentre todos os retngulos com a rea igual a 64 cm, qual o retngulo cujo permetro o menor possvel, isto , o mais econmico? A resposta a este tipo de questo dada pela mdia geomtrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A mdia geomtrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a b] = R[64] = 8

Resposta: o retngulo cujo comprimento mede 8 cm e lgico que a altura tambm mede 8 cm, logo s pode ser um quadrado! O permetro neste caso p=32 cm. Em qualquer outra situao em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos permetros maiores do que 32 cm.

Interpretao grfica: A mdia geomtrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a juno dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa juno aparecer um novo segmento AC. Obtenha o ponto mdio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia comeando em A e terminando em C. O segmento vertical traado para cima a partir de B encontrar o ponto D na semi-circunferncia. A medida do segmento BD corresponde mdia geomtrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Mdia harmnica: Seja uma coleo formada por n nmeros racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A mdia harmnica H entre esses n nmeros a diviso de n pela soma dos inversos desses n nmeros, isto :

Expresses Numricas

EXPRESSES NUMRICAS COM ADIO E SUBTRAO

1) As operaes de adio e de subtrao so efetuadas na ordem em que aparecem

Exemplos

a) 7-3+1-2= =4+1-2= =5-2= =3

B) 15-1-2+5= =14-2+5= =12+5= =17

2) Existem expresses onde aparecem os sinais de associao e que devem ser eliminados nesta ordem

1) parnteses ( )2) colchetes [ ]3) Chaves { }

exemplos

a) 74+{10-[5-(6-4)+1]}= =74+{10-[5-2+1]}= =74+{10-[3+1]}= =74+{10-4}= =74+6= =80

EXERCCIOS

1) Calcule o valor das expresses

a) 10-1+8-4= (R:13)b) 12-8+9-3= (R:10)c) 25-1-4-7= (R:13)d) 45-18+3+1-2= (R:29)e) 75-10-8+5-1= (R:61)f) 10+5-6-3-3+1= (R:4)

2) Efetue as operaes

a) 237+98 = (R:335)b) 648+2334 = (R: 2982)c) 4040+404 = (R: 4444)d) 4620+1398+27 = (R: 6045)e) 3712+8109+105+79 = (R:12005)f) 256-84 = (R: 172 )g) 2711-348 = (R: 2363)h) 1768-999 = (R: 769)i) 5043-2584 = (R: 2459)j) 8742-6193 = (R: 2549)


a) 30-(5+3) = (R: 22)b) 15+(8+2) = (R: 25)c) 15-(10-1-3) = (R: 9)d) 23-(2+8)-7 = (R: 6 )e) (10+5)-(1+6) = (R: 8)f) 7-(8-3)+1= (R: 3 )


a) 25-[10+(7-4)] = (R:12)b) 32+[10-(9-4)+8] = (R:45)c) 45-[12-4+(2+1)] = (R:34)d) 70-{20-[10-(5-1)]} = (R:56)e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = (R:37)f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = (R:45)g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = (R:52)h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = (R:1)i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = (R:42)j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = (R:11)l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = (R:)

5) Calcule o valor da expresses

a) 7-(1+3)= (R:3)b) 9-(5-1+2)= (R:3)c) 10-(2+5)+4= (R:7)d) (13-7)+8-1= (R:13)e) 15-(3+2)-6= (R:4)f) (10-4)-(9-8)+3= (R:8)g) 50-[37-(15-8)]= (R:20)h) 28+[50-(24-2)-10]= (R:46)i) 20+[13+(10-6)+4]= (R:41)j) 52-{12+[15-(8-4)]}= (R:29)

6)Calcule o valor das expresses:

a) 25 + { 12 + [ 2 ( 8 6 ) + 2 ]} = (R:39)b) { [ ( 18 3 ) + ( 7 + 5) 2 ] + 5 } 12 = (R:18)c) 65 { 30 [ 20 ( 10 1 + 6) + 1 ]} = (R: 41)d)45 + { 15 [ ( 10 8 ) + ( 7 4) 3 ] 4 } = (R:54)e) 40 + { 50 [35 ( 25 +5) 1 ]} + 7 = (R:93)f)38 { 20 [ 22 ( 5 + 3) + ( 7 4 +1)]} = ( R:36)g) 26 + { 12 [ ( 30 18) + ( 4 1) 6 ] 1 } = (R:28)


a) 10 - 5 - 2 + 3 = (R: 6)b) 10 - ( 5 + 2) + 3 = (R:6)c) ( 10 - 5) - ( 2 + 3) = ( R: 0)d) 10 - ( 5 - 2 + 3) = ( R: 4)e) ( 17 + 9 ) - 8 - ( 11 + 4) = (R: 3)f) 86 + ( 31 - 16 + 60 ) - ( 200 - 70 - 50 ) = ( R: 81)g) ( 79 + 21 - 84) + ( 63 - 41 + 17 ) - 26 = ( R: 29)

8) Calcule o valor das expresses:

a) 10 1 + 8 4 = (R 13)b) 12 8 + 9 3 = (R: 10)c) 25 1 4 7 = ( R: 13)d) 30 ( 5 + 3 ) = ( R: 22)e) 15 + ( 8 + 2 ) = (R: 25)f) 25 ( 10 1 3 ) = (R: 19)

g) 45 18 + 3 + 1 2 = ( R: 29)h) 75 10 8 + 5 1 = (R: 61)i) 10 + 5 6 3 3 + 1 = (R: 4)j) 23 ( 2 + 8 ) 7 = (R: 6)k) ( 10 + 5 ) ( 1 + 6 ) = ( R: 8)l) 7 ( 8 3 ) + 1 = (R: 3)m) 25 [ 10 + ( 7 4 ) ] = (R: 12) n)32+ [ 10 ( 9 4 ) + 8 ] =- (R: 45)o) 45 [ 12 4 + ( 2 + 1 )] = (R: 34)p) 70 { 20 [ 10 ( 5 1 ) ]} = (R: 56)q) 28 + { 13 [ 6 ( 4 + 1 ) + 2 ] 1 } = ( R: 37)r) 53 { 20 [ 30 ( 15 1 + 6 ) + 2 ]} = (R: 45)s) 62 { 16 [ 7 ( 6 4 ) + 1 ]} = (R: 52)t) 20 { 8 + [ 3 + ( 8 5 ) 1 ] + 6} = (R: 1)u) 15 + { 25 [ 2 ( 8 6 )] + 2 } = ( R: 42)v) 56 [ 3 + ( 8 2 ) + ( 51 10 ) ( 7 2 )] = (R: 1)w) { 42 + [ (45 19) ( 18 3 ) + 1 (28 15 ) ]} = (R: 41)x) 7 ( 1 + 3 ) = (R: 3)y) 9 ( 5 1 + 2 ) = (R: 3)z) 10 ( 2 + 5 ) + 4 = (R: 7)

EXPRESSES NUMRICAS COM AS QUATRO OPERAES

Nessas expresses, as operaes se realizam obedecendo seguinte ordem:

1) multiplicaes e divises

2) adies e subtraes

Se houver sinais de associao (parnteses, colchetes e chaves) devemos proceder da seguinte maneira:

1) As contas dentro dos parnteses seguindo a ordem acima colocada

2) As contas dentro dos colchetes seguindo a ordem acima colocada

3) As contas dentro das chaves seguindo a ordem acima colocada

EXEMPLOS

1) 15+[(3x6-2)-(10-6:2)+1]= = 15+[(18-2)-(10-3)+1]= =15+[16-7+1]= =15+[9+1]= =15+10= =25

2) 50-{40-3x[5-(10-7)]}= = 50-{40-3x[5-3]}= = 50-{40-3x2}= = 50-{40-6}= = 50-34= =16

EXERCCIOS

1) Calcule as expresses

a) 3x75+3x25 = (R:300)b) 5x97+5x3 = (R:500 )c) 4x101+4x99 = (R:800)d) 20x47+80x47 = (R:4700)e) 12+16:8x3-5 = (R:13)f) 100-6x7+8:2 = (R:62)g) 64:8+5x5-3 = (R: 30)h) 1+3+5x7-9:3 = (R:36)


a) 7+15:3 = (R:12)b) 4x5+1 = (R:21)c) 10:2+8 = (R:13) d) 32+12:2 = (R:38)e) 20:10+10 = (R:12)f)7x3-2x5 = (R:11)g)40-2x4+5 = (R:37)h)4x3+10:2 = (R:17)i)50-16:8+7 = (R:55)j)32:4:2:2 = (R:2)


a) (13+2)x3+5 = (R:50)b)(7+2)x(3-1) = (R:18)c)(4+2x5)-3 = (R:11)d) 20-(15+6:3) = (R:3)e)15+[6+(8-4:2)] = (R:27)f)40-[3+(10-2):2] = (R:33)g)[30+2x(5-3)]x2-10 = (R:58)h) 10+[4+(7x3+1)]-3 = (R:33)


a) (3+2)x(5-1)+4 = (R:24)b) 82-8x7:(4-1x3) = (R:26)c) 25-[10-(2x3+1)] = (R:22)d) 70-[12+(5x2-1)+6] = (R:43)e)8:2+[15-(4x2+1)] = (R:10)f)9+[4+2x(6-4)+(2+5)]-8 = (R:16)g) 50+{10-2x[(6+4:2)-(10-3)]} = (R:58)h)180:{10+2x[20-45:(13-2x5)]} = (R:9)


a) 70:7-1= (R:9)b) 20+3x2= (R:26)c) 30+10:10 = (R:31) d) 150-7x12= (R:66)e) 48:16+20:4 = (R:8)f) 10-8:2+3 = (R:9)g) 30:5-1+2x3 = (R:11)

6) Calcule as expresses:

a) (3+4)x(9-8) = (R:7)b) (20+8):(3+4) = (R:4) c) 15+8x(2+3) = (R:55)d) (5+3x2)-1= (R:10)e) 25+(8:2+1)-1= (R:29)

f) 15+[5x(8-6:2)] = (R:40) g) 50-[13-(10-2):2] = (R:41)h) [40+2x(7-5)]x2-20 = (R:68)


a) 16+[10-(18:3+2)+5] = (R: 23)b) 25-[12-(3x2+1)] = (R: 20)c) 90-[25+(5x2-1)+3] = ( R: 53)d) 45+[(8x5-10:2)+(18:6-2)]e) 50-2x{7+8:2-[9-3x(5-4)]}f) 100-3x{5+8:2-[3x(7-6)]}

8) Determine o valor de cada expresso

a) 1000 - [(2 . 4 - 6) + ( 2 + 6 . 4)] = (R: 972)b) 60 + 2 . {[ 4 . ( 6 + 2 ) - 10 ] + 12} = ( R: 128 )c) [( 4 + 16 . 2) . 5 - 10] . 100 = (R: 17.000)d) { 10 + [ 5 . ( 4 + 2 . 5) - 8] . 2 } - 100 = ( R: 34)e) 80 - 5 . ( 28 - 6 . 4 ) + 6 - 3 . 4 = (R: 54)

9) Calcule

a) 4 . ( 10 + 20 + 15 + 30) = (R: 300)b) (10 . 6 + 12 . 4 + 5 . 8 ) - 40 = (R: 108) c) [ 6 . ( 3 . 4 - 2 . 5) - 4 ] + 3 . ( 4 - 2) - ( 10 : 2 ) = (R: 9)d) 67 + { 50 . [ 70 : ( 27 + 8 ) + 18 : 2 ] + 21 } = (R:638)e) [ 30 . ( 9 - 6)] + { 30 : ( 9 + 6 ) ] = (R: 92)f) 58 - [ 20 - ( 3 . 4 - 2) : 5 ] = (R: 40)g) 40 + 2 . [ 20 - ( 6 + 4 . 7 ) : 2 ] = ( R: 46)


a) (12 + 2 . 5) - 8 = (R: 14)b) 25 - ( 15 + 6 : 3) = (R: 8)c) 25 +[7 + ( 8 - 4 :2)] = (R: 38)d) 60 - [8 + ( 10 - 2 ) : 2] = (R: 46)e) 80 - [ 22 + ( 5 . 2 - 1 ) + 6] = (R: 43)f) 14 : 2 + [ 13 - ( 4 . 2 + 1 ) ] = (R: 11)

11) Resolva as expresses numricas:

a) 8 ( 1 + 3) = (R: 4)b) 7x 3 2 x 5 = (R: 11)c) ( 13 7 ) + 8 1 = (R : 13)d)4 x 3 + 10 : 2 = (R: 17)e) 15 ( 3 + 2 ) 6 = (R: 4)f) 40 2 x 4 + 5 = (R: 37)g) ( 10 4 ) ( 9 8 ) + 3 = (R: 8)h) 50 16 : 8 + 7 = ( R: 55)i) 50 [37 ( 15 8 ) ] = (R: 20)j) 32 : 4 : 2 : 2 = (R: 2)l) 28 + [ 50 ( 24 2 ) 10 ] = (R: 46)m) ( 13 + 2) x 3 + 5 = (R: 50)n) 20 + [ 13 + ( 10 6 ) + 4 ] = (R : 41)o) ( 7 + 2 ) x ( 3 1 ) = (R: 18)

Mximo Divisor Comum (MDC)

* Definio

Informados dois nmeros inteiros e que no sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes nmeros e que tero sempre dois ou mais nmeros comuns a todos eles, aos quais so denominados divisores comuns.

Ou seja, dois nmeros naturais tm sempre divisores comuns.

Faa a observao dos nmeros divisores dos seguintes elementos:

D (24) = {+/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/- 8, +/- 12, +/-24}

D (36) = {+/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/- 12, +/-36}

Chamamos de MDC (Mximo Divisor Comum) de dois elementos o nmero maior dentre os divisores dos nmeros apresentados.

Assim o MDC (24,36) = 12

* Como calcular o conjunto dos mltiplos

No processo para se calcular o MDC (Mximo Divisor Comum), efetuamos basicamente duas formas para chegar ao resultado:

1) a decomposio dos nmeros at chegar a uma diviso exata

MDC (12,16) =

Desta forma o MDC resultado da multiplicao dos fatores primos comuns entre os resultados na diviso.

MDC (12,16) = 2 x 2 = 4

2)Diviso do maior nmero pelo menor nmero

Regra prtica:

Nesta forma dividi-se o nmero maior pelo nmero menor, efetuando vrias divises at chegar uma diviso exata.

O divisor ento, deste clculo ser chamado de MDC (Mximo Divisor Comum).

Desta forma, efetuamos vrias divises at chegar a uma diviso exata. O divisor desta diviso ser ento o MDC. Acompanhe o clculo do m.d.c.(30,18).

Acompanhe:

1) dividimos o nmero maior pelo nmero menor

30 / 18 = 1 (com resto 12 )

2) dividimos o divisor 18, que divisor da diviso anterior, por 12, que o resto da diviso anterior, e assim sucessivamente:

18 / 12 = 1 (com resto 6 )

12 / 6 = 2 (com resto zero diviso exata)

3) O divisor da diviso exata 6. Ento MDC (30,18) = 6.

Exerccios Resolvidos

1) Determine o menor nmero positivo que mltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7.

Soluo:

O menor nmero chamamos de MMC (5,6,7)

Fatore os nmeros:

5, 6, 7 | 2

5, 3, 7 | 3

5, 1, 7 | 5

1, 1, 7 | 7

1, 1, 1

MMC (5,6,7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210

2) Determine o menor nmero inteiro positivo de trs algarismos, que divisvel, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

Soluo:

Ser divisvel por 4,8,12 ser mltiplo. Desta forma procuramos o MMC

MMC (4,8,12) = 24

Fatore os nmeros

4, 8, 12 |2

2, 4, 6 |2

1, 2, 3 |2

1, 1, 3 |3

1, 1, 1

Como 24 no tm trs algarismos, o nmero procurado dever ser mltiplo de 24 que tenha trs algarismos.

Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120

O menor mltiplo positivo de 24 de trs algarismos 120, que deste modo o nmero procurado.

3) Temos que os nmeros 24, 36 e 48 possuem vrios nmeros divisores comuns, como exemplo os nmeros 2 e 4. Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48.

Soluo:

O maior divisor entre os nmeros chamado de MDC.

Calculando o MDC:

24, 36, 48 |2

12, 18, 24 |2

6, 9, 12 |3

2, 3, 4 |

MDC (24,36,48) = 2 x 2 x 3 = 12

4) Determine os menores nmeros inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os nmeros 72 e 120 de modo que se obtenham divises exatas com quocientes iguais.

Soluo:

O quociente comum as duas divises dever ser o MDC(72, 120) que fazendo os clculos 24.

Temos: 72 / 24 = 3 e 120 / 24 = 5

Portanto: 72 / 3 = 24 e 120 / 5 = 24.

Mnimo Mltiplo Comum (MMC)

O Mnimo Mltiplo Comum (MMC) de dois ou mais nmeros inteiros e no nulos, pode ser definido ao menor nmero positivo que seja mltiplo de todos os nmeros dados na sentena.

Exemplo pratico:

1) M (4) ={0, +/-4, +/-8, +/- 12, +/-16, +/-20, +/-24, +/-28, +/-32, +/-36, +/-40...}

2) M (6) = {0, +/-6, +/-12, +/- 18, +/-24, +/-30, +/-36, +/-42, +/-48, +/-54, +/-60...}

3) M (8) = {0, +/-8, +/-16, +/- 24, +/-32, +/-40, +/-48, +/-56, +/-64, +/-72, +/-80...}

Temos que MMC de (4,6,8) = 24, pois este o menor nmero positivo que mltiplo de 4,6,8, simultaneamente.

* Determinando o MMC atravs do mtodo de decomposio em fatores primos

Siga o raciocnio dos clculos abaixo:

Ex.: Determinar o MMC dos nmeros 12, 18, 24

1) Decomponha os nmeros dados em fatores primos

12 , 18, 24 |2

6, 9, 12 |2

3, 9, 6 |2

3, 9, 3 |3

1, 3, 1 |3

1, 1, 1

2 x 3

Explicando os clculos:

Anotar a esquerda todos os nmeros envolvidos na sentena e traar um trao vertical.

Anotar na linha direita aps o trao vertical o menor nmero primo que seja capaz de dividir algum dos nmeros dados que esto esquerda. Faa a diviso e anote abaixo dos nmeros o resultado obtido da diviso (se divisvel claro) ou ento repita o mesmo nmero se no for possvel efetuar a diviso. Repita os mesmos procedimentos at que todos os nmeros propostos estejam em unidade.

2) O MMC dos nmeros 12,18,24 ser o produto de todos os fatores primos resultantes encontrados, tomando sempre os maiores expoentes encontrados, dentro todos os nmeros decompostos:

MMC (12,18,24) = 2 x 3 = (2x2x2)x(3x3) = 72

Ento, aps efetuado a decomposio de todos os fatores primos dos nmeros dados, basta fazer a multiplicao de todos os termos encontrados.

Relao entre grandezas

Proporcionalidade entre Grandezas

Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preo, idade, temperatura entre outros. As grandezas so classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais

So aquelas grandezas onde a variao de uma provoca a variao da outra numa mesma razo. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma divida em duas partes iguais a outra tambm divida metade.

Exemplo 1

Se trs cadernos custam R$ 8,00, o preo de seis cadernos custar R$ 16,00. Observe que se dobramos o nmero de cadernos tambm dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela:

Exemplo 2

Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de combustvel. Nas mesmas condies, quantos quilmetros o carro percorrer com 60 litros? E com 120 litros?

Grandezas inversamente proporcionais

Uma grandeza inversamente proporcional quando operaes inversas so utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por trs e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo so considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo reduzido, e se diminumos a velocidade, o tempo aumenta.

Exemplo 3

Para encher um tanque so necessrias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas sero necessrias?

Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o nmero de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque.

As duas grandezas so muito utilizadas em situaes de comparao, isto comum no cotidiano. A utilizao da regra de trs nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa de extrema importncia para a obteno dos resultados.

Grandeza, Razo e Proporo

Grandeza: uma relao numrica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma rvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pes, entre outros, so grandezas. Grandeza tudo que voc pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Razo: a diviso ou relao entre duas grandezas. Exemplo: se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual a razo entre o nmero de meninos e o nmero de meninas?

Razo =

Razo inversa: o inverso da razo, assim .

Proporo: a igualdade entre razes. Exemplo: meu carro faz 13km por litro de combustvel, ento para 26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante.

1 situao:

2 situao:

, logo formam uma proporo.

Observe , se voc multiplicar em cruz o resultado ser o mesmo: 26 x 3 = 2 x 39 = 78.

Numa proporo, quando multiplicamos em cruz, o resultado o mesmo. Mas alm desta propriedade, temos outras que sero muito teis:

Numa proporo quando somamos termo a termo: , a razo se

mantm.

Numa proporo quando subtramos termo a termo: , a razo se

mantm.

Dadas as propores:

Grandezas Proporcionais

O que estudaremos so grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, embora existam casos em que essas relaes no se observem, e que portanto, no faro parte de nosso estudo.

Por exemplo, "na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez trs gols, quantos gols ele far ao final do campeonato sabendo que o mesmo ter 46 partidas?".

Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.)

Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a reduo de uma implica na reduo da outra, ou seja, o que voc fizer com uma acontecer com a outra.

Observao necessrio que satisfaa a propriedade destacada abaixo.

Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita.

Observe a tabela abaixo que relaciona o preo que tenho que pagar em relao quantidade de pes que pea:PreoR$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00

N de pes 1 2 5 10 20 50

Preo e quantidade de pes so grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peo mais pes, pago mais, se peo menos pes, pago menos. Observe que quando dividimos o preo pela quantidade de pes obtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razo constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)

Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na reduo da outra, quando a reduo de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que voc fizer com uma acontecer o inverso com a outra.

Observao: necessrio que satisfaa a propriedade destacada abaixo.

Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade mdia no percurso, menor ser o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade mdia, maior ser o tempo de viagem.

Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade mdia e o tempo de viagem, para uma distncia de 600km.

Velocidade mdia(km/h) 60 100 120 150 200 300

Tempo de viagem 10 6 5 4 3 2

(h)

Velocidade mdia e Tempo de viagem so grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade mdia levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade mdia pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto constante.

Razo e Proporo

RAZO

Conceitualmente a razo do nmero a para o nmero b, sendo b 0, igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

As razes acima podem ser lidas como:

razo de a para b a est para b a para b

Em qualquer razo, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razo inversa ou recproca

Vejamos as seguintes razes:

e

Elas so tidas como razes inversas ou recprocas.

Note que o antecedente de uma o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razes inversas que o produto delas sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razes:

e

A primeira razo possui os nmeros 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, j a segunda razo possui o nmero 2 como o seu antecedente e o nmero 1, omitido, como o seu consequente. Em funo disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razes tambm so inversas uma em relao a outra.

Apesar de uma razo ser apresentada na forma de uma frao ou de uma diviso, voc pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razo de 15 para 5 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 o triplo de 5.

Neste outro caso, a razo de 3 para 4 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.

Razo centesimal

Como visto acima, a razo de 3 para 4 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% nada mais que uma razo de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. por isto chamada de razo centesimal.

Exemplos

O salrio de Paulo de R$ 2.000,00 e Joo tem um salrio de R$ 1.000,00. Qual a razo de um salrio para outro?

Temos: Salrio de Paulo : Salrio de Joo.

Ento:

A razo acima pode ser lida como a razo de 2000 para 1000, ou 2000 est para 1000. Esta razo igual a 2, o que equivale a dizer que o salrio de Paulo o dobro do salrio de Joo, ou seja, atravs da razo estamos fazendo uma comparao de grandezas, que neste caso so os salrios de Paulo e Joo.

Portanto a razo de um salrio para outro igual a 2.

Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual a razo de nossas alturas?

Como uma das medidas est em metros e a outra em centmetros, devemos coloc-las na mesma unidade. Sabemos que 1,80m equivalente a 180cm. Temos ento a razo de 180cm para 80cm:

2,25 a razo de nossas alturas.

Proporo

A igualdade entre razes denomina-se proporo.

Os nmeros a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporo se, e somente se, a razo a : b for igual razo c : d.

Indicamos esta proporo por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razo de 10 para 5 igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razo de 14 para 7 tambm igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos ento afirma que estas razes so iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporo:

L-se a proporo acima da seguinte forma:

"10 est para 5, assim como 14 est para 7".

Propriedade fundamental das propores

Qualquer que seja a proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os nmeros a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporo, ento o produto de a por d ser igual ao produto de b por c:

Segunda propriedade das propores

Qualquer que seja a proporo, a soma ou a diferena dos dois primeiros termos est para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferena dos dois ltimos termos est para o terceiro, ou para o quarto termo. Ento temos:

ou

Ou

ou

Terceira propriedade das propores

Qualquer que seja a proporo, a soma ou a diferena dos antecedentes est para a soma ou a diferena dos consequentes, assim como cada antecedente est para o seu respectivo consequente. Temos ento:

ou

Ou

ou

Quarta proporcional

Dados trs nmeros a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto nmero x que junto a eles formam a proporo:

Tendo o valor dos nmeros a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o nmero x, recorrendo propriedade fundamental das propores. O mesmo procedimento utilizado na resoluo de problemas de regra de trs simples.

Terceira proporcional

Em uma proporo onde os meios so iguais, um dos extremos a terceira proporcional do outro extremo:

Na proporo acima a a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exemplos

Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razo do preo de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporo?

Os termos da nossa suposta proporo so: 15, 1, 25 e 2.

Podemos utilizar a propriedade fundamental das propores para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou no uma proporo.

Temos ento:

Como 30 difere de 25, no temos uma igualdade, consequentemente no temos uma proporo.

Poderamos tambm ter analisado as duas razes:

Como as duas razes possuem valores diferentes, obviamente no se trata de uma proporo.

Como uma das razes resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, conclumos que no se trata de uma proporo, j que 15 difere de 12,5.

A proporo no ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preo do quilograma, o que deixaria as razes desproporcionais.

A soma de dois nmeros igual a 240. Sabe-se que um deles est para 5, assim como o outro est para 7. Quais so estes nmeros?

Para a resoluo deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das propores. Chamando um dos nmeros de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporo:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adio de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporo teremos:

Portanto:

Conclumos ento que os dois nmeros so 100 e 140.

Quatro nmeros, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporo. Qual o valor de x?

Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

O valor do nmero x 20.

Exerccios 1

1) Qual a razo que igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

Resoluo:

Vamos igualar as razes.

8 = 2

X 7

2x = 8 x 7

2x = 56

X = 56/2

X = 28

Desta forma a razo igual a 2/7, com antecedente igual a 8 : 8/28 = 2/7

2) Almejando desenhar uma representao de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual ser o comprimento no desenho:

Resoluo:

Escala: 1

20

Sabendo que 1m = 100 cm.

Ento 5m = 5 x 100 = 500 cm.

O comprimento no desenho ser:

500 x 1 = 500 / 20 =

20

25 cm

Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho ser 25 cm.

3) Em uma sala de aula, a razo de moas para o nmero de rapazes de 5/4. Se o nmero total de alunos desta turma de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moas ficariam sem par ?

Resoluo:

Primeiro vamos denominar o nmero de moas por X, e o nmero de rapazes por Y.

x/y = 5/4 (Igualam-se as razes)

x + y = 45 (Soma total de alunos)

x + y = 5 + 4 (Aplicao das propriedades das propores)

x 5

45/x = 9/5

45 x 5 = 9x

225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moas

Substituindo X = 25 na expresso x + y = 45, temos :

25 + y = 45 ---> y = 45 25 ----> y = 20 rapazes

Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moa, o nmero de moas que ficariam sem par ser : 25 20 = 5 moas

Ento, o nmero de moas que ficar sem par igual a 5.

EXERCCIOS 2

01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, ento o valor de x + y :

a) 20b) 22c) 24d) 28e) 32 02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) so grandezas inversamente proporcionais. 03. Dividir o nmero 160 em trs partes diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5. 04. Repartir uma herana de R$ 495.000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero de filhos e na razo inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1 pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2 pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3 pessoa 48 anos e 6 filhos. 05. Dois nmeros esto na razo de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas esto na razo de 3 para 5. Ento, o produto dos dois nmeros : a) 90b) 96c) 180d) 72e) -124

06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais, ento: a) x = 1 e y = 6b) x = 2 e y = 12c) x = 1 e y = 12d) x = 4 e y = 2e) x = 8 e y = 12 07. Sabe-se que y diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual: a) a sentena que relaciona y com x?b) o grfico da funo f: [-2; 3] definida pela sentena anterior?c) o valor de y quando x = 2? 08. So dados trs nmeros reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles a soma dos outros dois e o menor um quarto do maior. Ento a, b e c so, respectivamente, proporcionais a: a) 1, 2 e 3b) 1, 2 e 5c) 1, 3 e 4d) 1, 3 e 6e) 1, 5 e 12

09. Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte : a) 35b) 49c) 56d) 42e) 28 10. Trs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balano anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada scio receber, respectivamente: a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

Resoluo:

01. E

02. x = 3 e y = 6

03. As partes so: 32, 48 e 80.

04. A 1 pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2 pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.

05. B

06. C

07. a) y = 2x

c) y = 4

08. C09. B10. Cvg

Porcentagem

* Definio

PORCENTAGEM pode ser definida como a centsima parte de uma grandeza, ou o clculo baseado em 100 unidades. visto com freqncia as pessoas ou o prprio mercado usar expresses de acrscimo ou reduo nos preos de produtos ou servios.

Alguns exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25%Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acrscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma cala jeansQuer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

- Dos funcionrios que trabalham na empresa, 75% so dedicados.Significa que de cada 100 funcionrios, 75 so dedicados ao trabalho ou a empresa.

* Noo da porcentagem em nmeros

Exemplos: a) 60 de 150 dias de trabalho = 90 dias100 O nmero 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM

b) 70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00100 O valor de R$ 84,00 representa : PORCENTAGEM

* O que taxa de porcentagem

definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. Tambm pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma frao que tem como denominador o nmero 100. * Como calcular porcentagem Todo o clculo de porcentagem, como informado, baseado no nmero 100. O clculo de tantos por cento de uma expresso matemtica ou de um problema a ser resolvido indicado pelo smbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporo simples. Para que se possam fazer clculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte: 1) A taxa est para porcentagem (acrscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 est para a quantia a ser encontrada.

Exemplificando: Um ttulo tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do ttulo? 30% : R$ 100,00 100% : X X = R$ 30,00

2) O nmero que se efetua o clculo de porcentagem representado por 100. Exemplificando: Efetue o clculo 10% de 50 100% : 50 10% : X X = 5 Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de clculo de regra de trs, j ensinados em tutoriais anteriores.

3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100. Exemplificando: Efetua-se o resgate de um cheque pr-datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um desconto de 20% 100% : R$ 150,00 20% : X X = R$ 30,00

* Exemplos para fixao de definio

1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos. 10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25 100 100 Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.

2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ? Neste caso procurado um valor de porcentagem no qual so somados os R$ 300,00 iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00 300 + 300.X/100 = 340 3X = 340 300

X = 40/3 X = 13,333 (dzima peridica) Assim, a taxa de lucro obtida com esta operao de revenda foi de 13,33%

* Fator Multiplicante

H uma dica importante a ser seguida, no caso de clculo com porcentagem. No caso se houver acrscimo no valor, possvel fazer isto diretamente atravs de uma operao simples, multiplicando o valor do produto/servio pelo fator de multiplicao. Veja: Tenho um produto X, e este ter um acrscimo de 30% sobre o preo normal, devido ao prazo de pagamento. Ento basta multiplicar o valor do mesmo pelo nmero 1,30. Caso o mesmo produto ao invs de 30% tenha 20% de acrscimo ento o fator multiplicante 1,20. Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40 E assim sucessivamente, possvel montar uma tabela conforme o caso. Da mesma forma como possvel, ter um fator multiplicante quando se tem acrscimo a um certo valor, tambm no decrscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicao. Neste caso, faz-se a seguinte operao: 1 taxa de desconto (isto na forma decimal) Veja: Tenho um produto Y, e este ter um desconto de 30% sobre o preo normal. Ento basta multiplicar o valor do mesmo pelo nmero 0,70. Caso o mesmo produto ao invs de 30% tenha 20% de acrscimo ento o fator multiplicante 0,80. Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94 E assim sucessivamente, possvel montar uma tabela conforme o caso.

* Exerccios resolvidos de porcentagem Os exerccios propostos esto resolvidos, em um passo-a-passo prtico para que se possa acompanhar a soluo de problemas envolvendo porcentagem e tambm para que se tenha uma melhor fixao sobre o contedo. 1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? Soluo: 100% : 55517 X X = 555x17 /100 = 9435/100 X = 94,35 Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35 Preo Final: R$ 649,35 Obs. Este clculo poderia ser resolvido tambm pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35

2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ? Soluo: 100% : 3030% : X X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9 X = 9 Assim, o total de faltas que o aluno poder ter so 9 faltas.

3) Um imposto foi criado com alquota de 2% sobre cada transao financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receber lquido quanto? 100% : 15.250

0,7% : X Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que o valor do cheque : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00 Assim, o valor lquido do cheque aps descontado a alquota ser de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00. Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00

REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplos:

1) Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2m, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m, qual ser a energia produzida?

Soluo: montando a tabela:

rea (m) Energia (Wh)1,2--------4001,5-------- x

Identificao do tipo de relao:

rea--------Energia1,2---------4001,5---------- X

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

rea--------Energia1,2---------4001,5-----------x

1,2X = 400.1,5

x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)400-----------------3480---------------- x

2) Identificao do tipo de relao:

velocidade----------tempo400-----------------3480---------------- x

Obs: como as setas esto invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima

velocidade----------tempo400-----------------X480---------------- 3

480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna).Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo?


Camisetas----preo (R$)3------------- 1205---------------x

3x=5.120

o trs vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200

Observe que: Aumentando o nmero de camisetas, o preo aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho?


Horas por dia-----Prazo para trmino (dias)

8------------------------205------------------------x

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para trmino (dias)

8-------------------------x5------------------------20

5x = 8. 20

passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

apostila_matematica

Documents